Leyes condicionales de distribución. Regresión.
Definición. La ley de distribución condicional de uno de los componentes unidimensionales de una variable aleatoria bidimensional (X, Y) es su ley de distribución, calculada bajo la condición de que el otro componente tomó un cierto valor (o cayó en algún intervalo). En la conferencia anterior, analizamos cómo encontrar distribuciones condicionales para variables aleatorias discretas. Allí también se dan fórmulas para probabilidades condicionales:
En el caso de variables aleatorias continuas, es necesario determinar las densidades de probabilidad de las distribuciones condicionales j y (x) y j X (y). ¡Para ello, en las fórmulas dadas, reemplazamos las probabilidades de los eventos con sus “elementos de probabilidad”!
Después de reducir por dx y dy obtenemos:
aquellos. la densidad de probabilidad condicional de uno de los componentes unidimensionales de una variable aleatoria bidimensional es igual a la relación entre su densidad conjunta y la densidad de probabilidad del otro componente. Estas relaciones se escriben en la forma
se denominan teorema (regla) para multiplicar densidades de distribución.
Densidades condicionales j y (x) y j X (y). tienen todas las propiedades de la densidad "incondicional".
Al estudiar variables aleatorias bidimensionales, se consideran las características numéricas de los componentes unidimensionales X e Y: expectativas matemáticas y varianzas. Para una variable aleatoria continua (X, Y), están determinadas por las fórmulas:
Junto a ellas, también se consideran las características numéricas de las distribuciones condicionales: expectativas matemáticas condicionales M x (Y) y M y (X) y varianzas condicionales D x (Y) y D Y (X). Estas características se encuentran utilizando las fórmulas habituales de expectativa y varianza matemáticas, en las que se utilizan probabilidades condicionales o densidades de probabilidad condicionales en lugar de probabilidades de eventos o densidades de probabilidad.
Expectativa matemática condicional de una variable aleatoria Y en X = x, es decir M x (Y) es una función de x, llamada función de regresión o simplemente regresión de Y sobre X. De manera similar, M Y (X) se llama función de regresión o simplemente regresión de X sobre Y. Las gráficas de estas funciones son llamadas líneas de regresión (o curvas de regresión) Y respectivamente por X o X por Y.
Variables aleatorias dependientes e independientes.
Definición. Las variables aleatorias X e Y se denominan independientes si su función de distribución conjunta F(x,y) se representa como un producto de las funciones de distribución F 1 (x) y F 2 (y) de estas variables aleatorias, es decir
De lo contrario, las variables aleatorias X e Y se denominan dependientes.
Derivando la igualdad dos veces con respecto a los argumentos x e y, obtenemos
aquellos. para las variables aleatorias continuas independientes X e Y, su densidad conjunta j(x,y) es igual al producto de las densidades de probabilidad j 1 (x) y j 2 (y) de estas variables aleatorias.
Hasta ahora nos hemos encontrado con el concepto de relación funcional entre las variables X e Y, cuando cada valor x de una variable correspondía a un valor estrictamente definido de la otra. Por ejemplo, la relación entre dos variables aleatorias (el número de equipos que fallan durante un cierto período de tiempo y su costo) es funcional.
En general, se enfrentan a un tipo de dependencia diferente, menos grave que la funcional.
Definición. La relación entre dos variables aleatorias se llama probabilística (estocástica o estadística) si cada valor de una de ellas corresponde a una determinada distribución (condicional) de la otra.
En el caso de una dependencia probabilística (estocástica), es imposible, conociendo el valor de uno de ellos, determinar con precisión el valor del otro, pero sólo se puede indicar la distribución de la otra cantidad. Por ejemplo, la relación entre el número de averías del equipo y el coste de sus reparaciones preventivas, el peso y la altura de una persona, el tiempo que un escolar pasa viendo programas de televisión y leyendo libros, etc. son probabilísticos (estocásticos).
En la Fig. La figura 5.10 muestra ejemplos de variables aleatorias dependientes e independientes X e Y.
Dos variables aleatorias $X$ y $Y$ se llaman independientes si la ley de distribución de una variable aleatoria no cambia dependiendo de los posibles valores que tome la otra variable aleatoria. Es decir, para cualquier $x$ e $y$, los eventos $X=x$ y $Y=y$ son independientes. Dado que los eventos $X=x$ y $Y=y$ son independientes, entonces por el teorema del producto de probabilidades de eventos independientes $P\left(\left(X=x\right)\left(Y=y\ derecha)\derecha)=P \left(X=x\right)P\left(Y=y\right)$.
Ejemplo 1 . Sea la variable aleatoria $X$ expresar las ganancias en efectivo de los billetes de una lotería "Russian Lotto", y la variable aleatoria $Y$ exprese las ganancias en efectivo de los billetes de otra lotería "Golden Key". Es obvio que las variables aleatorias $X,\Y$ serán independientes, ya que las ganancias de los billetes de una lotería no dependen de la ley de distribución de las ganancias de los billetes de otra lotería. En el caso en que las variables aleatorias $X,\Y$ expresaran las ganancias de la misma lotería, entonces, obviamente, estas variables aleatorias serían dependientes.
Ejemplo 2 . Dos trabajadores trabajan en diferentes talleres y producen diversos productos que no están relacionados entre sí ni por las tecnologías de fabricación ni por las materias primas utilizadas. La ley de distribución del número de productos defectuosos fabricados por el primer trabajador por turno tiene la siguiente forma:
$\begin(matriz)(|c|c|)
\hline
Número de productos \ defectuosos \ x & 0 & 1 \\
\hline
Probabilidad y 0,8 y 0,2 \\
\hline
\end(matriz)$
El número de productos defectuosos producidos por el segundo trabajador por turno obedece a la siguiente ley de distribución.
$\begin(matriz)(|c|c|)
\hline
Número de productos \ defectuosos \ y & 0 & 1 \\
\hline
Probabilidad y 0,7 y 0,3 \\
\hline
\end(matriz)$
Encontremos la ley de distribución para el número de productos defectuosos producidos por dos trabajadores por turno.
Sea la variable aleatoria $X$ el número de productos defectuosos producidos por el primer trabajador por turno, y $Y$ el número de productos defectuosos producidos por el segundo trabajador por turno. Por condición, las variables aleatorias $X,\Y$ son independientes.
El número de productos defectuosos producidos por dos trabajadores por turno es una variable aleatoria $X+Y$. Sus valores posibles son $0,\1$ y $2$. Encontremos las probabilidades con las que la variable aleatoria $X+Y$ toma sus valores.
$P\left(X+Y=0\right)=P\left(X=0,\ Y=0\right)=P\left(X=0\right)P\left(Y=0\right) =0,8\cdot 0,7=0,56.$
$P\left(X+Y=1\right)=P\left(X=0,\ Y=1\ o\ X=1,\ Y=0\right)=P\left(X=0\right) )P\left(Y=1\right)+P\left(X=1\right)P\left(Y=0\right)=0.8\cdot 0.3+0.2\cdot 0.7 =0.38.$
$P\left(X+Y=2\right)=P\left(X=1,\ Y=1\right)=P\left(X=1\right)P\left(Y=1\right) =0.2\cdot 0.3=0.06.$
Entonces la ley de distribución del número de productos defectuosos fabricados por dos trabajadores por turno:
$\begin(matriz)(|c|c|)
\hline
Número de productos \ defectuosos \ & 0 & 1 & 2 \\
\hline
Probabilidad y 0,56 y 0,38 y 0,06\\
\hline
\end(matriz)$
En el ejemplo anterior, realizamos una operación con variables aleatorias $X,\Y$, es decir, encontramos su suma $X+Y$. Demos ahora una definición más rigurosa de operaciones (suma, diferencia, multiplicación) sobre variables aleatorias y demos ejemplos de soluciones.
Definición 1. El producto $kX$ de una variable aleatoria $X$ por una variable constante $k$ es una variable aleatoria que toma valores $kx_i$ con las mismas probabilidades $p_i$ $\left(i=1,\ 2,\ \puntos,\ n\ derecha)$.
Definición 2. La suma (diferencia o producto) de las variables aleatorias $X$ y $Y$ es una variable aleatoria que toma todos los valores posibles de la forma $x_i+y_j$ ($x_i-y_i$ o $x_i\cdot y_i$) , donde $i=1 ,\ 2,\dots ,\ n$, con probabilidades $p_(ij)$ de que la variable aleatoria $X$ tome el valor $x_i$, y $Y$ el valor $y_j$:
$$p_(ij)=P\left[\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right].$$
Dado que las variables aleatorias $X,\Y$ son independientes, entonces, según el teorema de multiplicación de probabilidad para eventos independientes: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ derecha)= p_i\cdot p_j$.
Ejemplo 3 . Las variables aleatorias independientes $X,\ Y$ se especifican mediante sus leyes de distribución de probabilidad.
$\begin(matriz)(|c|c|)
\hline
x_i y -8 y 2 y 3 \\
\hline
p_i y 0,4 y 0,1 y 0,5 \\
\hline
\end(matriz)$
$\begin(matriz)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i y 0,3 y 0,7 \\
\hline
\end(matriz)$
Formulemos la ley de distribución de la variable aleatoria $Z=2X+Y$. La suma de las variables aleatorias $X$ y $Y$, es decir, $X+Y$, es una variable aleatoria que toma todos los valores posibles de la forma $x_i+y_j$, donde $i=1,\ 2 ,\dots ,\ n$ , con probabilidades $p_(ij)$ de que la variable aleatoria $X$ tome el valor $x_i$, y $Y$ el valor $y_j$: $p_(ij)=P\left [\left(X=x_i\right )\left(Y=y_j\right)\right]$. Dado que las variables aleatorias $X,\Y$ son independientes, entonces, según el teorema de multiplicación de probabilidad para eventos independientes: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ derecha)= p_i\cdot p_j$.
Entonces, tiene leyes de distribución para las variables aleatorias $2X$ e $Y$, respectivamente.
$\begin(matriz)(|c|c|)
\hline
x_i y -16 y 4 y 6 \\
\hline
p_i y 0,4 y 0,1 y 0,5 \\
\hline
\end(matriz)$
$\begin(matriz)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i y 0,3 y 0,7 \\
\hline
\end(matriz)$
Para facilitar la búsqueda de todos los valores de la suma $Z=2X+Y$ y sus probabilidades, elaboraremos una tabla auxiliar, en cada celda de la cual colocaremos en la esquina izquierda los valores de la suma $ Z=2X+Y$, y en la esquina derecha, las probabilidades de estos valores obtenidas como resultado de multiplicar las probabilidades de los valores correspondientes de las variables aleatorias $2X$ y $Y$.
Como resultado, obtenemos la distribución $Z=2X+Y$:
$\begin(matriz)(|c|c|)
\hline
z_i y -14 y -8 y 6 y 12 y 10 y 16 \\
\hline
p_i y 0,12 y 0,28 y 0,03 y 0,07 y 0,15 y 0,35 \\
\hline
\end(matriz)$
