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Pirámide. Pirámide truncada

Pirámide es un poliedro, una de cuyas caras es un polígono ( base ), y todas las demás caras son triángulos con un vértice común ( caras laterales ) (Figura 15). La pirámide se llama correcto , si su base es un polígono regular y la cima de la pirámide se proyecta hacia el centro de la base (Fig. 16). Una pirámide triangular con todas las aristas iguales se llama tetraedro .

costilla lateral de una pirámide es el lado de la cara lateral que no pertenece a la base Altura pirámide es la distancia desde su cima hasta el plano de la base. Todas las aristas laterales de una pirámide regular son iguales entre sí, todas las caras laterales son triángulos isósceles iguales. La altura de la cara lateral de una pirámide regular trazada desde el vértice se llama apotema . sección diagonal Se llama sección de una pirámide a un plano que pasa por dos aristas laterales que no pertenecen a la misma cara.

Superficie lateral La pirámide es la suma de las áreas de todas las caras laterales. Superficie total se llama suma de las áreas de todas las caras laterales y la base.

Teoremas

1. Si en una pirámide todos los bordes laterales están igualmente inclinados con respecto al plano de la base, entonces la cima de la pirámide se proyecta hacia el centro del círculo circunscrito cerca de la base.

2. Si todos los bordes laterales de una pirámide tienen longitudes iguales, entonces la cima de la pirámide se proyecta hacia el centro de un círculo circunscrito cerca de la base.

3. Si todas las caras de una pirámide están igualmente inclinadas con respecto al plano de la base, entonces la cima de la pirámide se proyecta en el centro del círculo inscrito en la base.

Para calcular el volumen de una pirámide arbitraria, la fórmula correcta es:

Dónde V- volumen;

base S- área de la base;

h– altura de la pirámide.

Para una pirámide regular, las siguientes fórmulas son correctas:

Dónde pag– perímetro de la base;

Ja– apotema;

h- altura;

S lleno

lado S

base S- área de la base;

V– volumen de una pirámide regular.

Pirámide truncada Se llama la parte de la pirámide encerrada entre la base y un plano de corte paralelo a la base de la pirámide (Fig. 17). Pirámide truncada regular Se llama la parte de una pirámide regular encerrada entre la base y un plano cortante paralelo a la base de la pirámide.

Jardines pirámide truncada - polígonos similares. caras laterales – trapecios. Altura de una pirámide truncada es la distancia entre sus bases. Diagonal una pirámide truncada es un segmento que conecta sus vértices que no se encuentran en la misma cara. sección diagonal Es una sección de una pirámide truncada por un plano que pasa por dos aristas laterales que no pertenecen a la misma cara.

Para una pirámide truncada son válidas las siguientes fórmulas:

(4)

Dónde S 1 , S 2 – áreas de las bases superior e inferior;

S lleno- superficie total;

lado S– superficie lateral;

h- altura;

V– volumen de una pirámide truncada.

Para una pirámide truncada regular la fórmula es correcta:

Dónde pag 1 , pag 2 – perímetros de las bases;

Ja– apotema de una pirámide truncada regular.

Ejemplo 1. En una pirámide triangular regular, el ángulo diédrico en la base es de 60º. Encuentra la tangente del ángulo de inclinación del borde lateral al plano de la base.

Solución. Hagamos un dibujo (Fig. 18).

La pirámide es regular, lo que significa que en la base hay un triángulo equilátero y todas las caras laterales son triángulos isósceles iguales. El ángulo diédrico en la base es el ángulo de inclinación de la cara lateral de la pirámide con respecto al plano de la base. El ángulo lineal es el ángulo. a entre dos perpendiculares: etc. La cima de la pirámide se proyecta en el centro del triángulo (el centro de la circunferencia circunscrita y del círculo inscrito del triángulo). A B C). El ángulo de inclinación del borde lateral (por ejemplo SB) es el ángulo entre el propio borde y su proyección sobre el plano de la base. para la costilla SB este ángulo será el ángulo SBD. Para encontrar la tangente necesitas conocer los catetos. ENTONCES Y TRANSMISIÓN EXTERIOR.. Sea la longitud del segmento BD es igual a 3 A. Punto ACERCA DE segmento de línea BD se divide en partes: y de encontramos ENTONCES: De encontramos:

Respuesta:

Ejemplo 2. Calcula el volumen de una pirámide cuadrangular truncada regular si las diagonales de sus bases son iguales a cm y cm, y su altura es de 4 cm.

Solución. Para encontrar el volumen de una pirámide truncada usamos la fórmula (4). Para encontrar el área de las bases, debes encontrar los lados de los cuadrados de las bases, conociendo sus diagonales. Los lados de las bases son iguales a 2 cm y 8 cm, respectivamente. Esto significa que las áreas de las bases y Sustituyendo todos los datos en la fórmula, calculamos el volumen de la pirámide truncada:

Respuesta: 112cm3.

Ejemplo 3. Encuentre el área de la cara lateral de una pirámide truncada triangular regular, cuyos lados de las bases miden 10 cm y 4 cm, y la altura de la pirámide es de 2 cm.

Solución. Hagamos un dibujo (Fig. 19).

La cara lateral de esta pirámide es un trapezoide isósceles. Para calcular el área de un trapecio, necesitas saber la base y la altura. Las bases se dan según el estado, sólo se desconoce la altura. La encontraremos de donde A 1 mi perpendicular a un punto A 1 en el plano de la base inferior, A 1 D– perpendicular desde A 1 por C.A.. A 1 mi= 2 cm, ya que esta es la altura de la pirámide. Encontrar Delaware Hagamos un dibujo adicional que muestre la vista superior (Fig. 20). Punto ACERCA DE– proyección de los centros de las bases superior e inferior. desde (ver Fig. 20) y Por otro lado DE ACUERDO– radio inscrito en el círculo y om– radio inscrito en un círculo:

MK = DE.

Según el teorema de Pitágoras de

Área de la cara lateral:

Respuesta:

Ejemplo 4. En la base de la pirámide se encuentra un trapezoide isósceles, cuyas bases A Y b (a> b). Cada cara lateral forma un ángulo igual al plano de la base de la pirámide. j. Encuentra el área de superficie total de la pirámide.

Solución. Hagamos un dibujo (Fig. 21). Superficie total de la pirámide SABCD igual a la suma de las áreas y el área del trapezoide A B C D.

Usemos la afirmación de que si todas las caras de la pirámide están igualmente inclinadas con respecto al plano de la base, entonces el vértice se proyecta hacia el centro del círculo inscrito en la base. Punto ACERCA DE– proyección de vértice S en la base de la pirámide. Triángulo CÉSPED es la proyección ortogonal del triángulo CDS al plano de la base. Utilizando el teorema del área de proyección ortogonal de una figura plana, obtenemos:

De la misma manera significa Así, el problema se redujo a encontrar el área del trapezoide. A B C D. Dibujemos un trapecio A B C D por separado (Fig. 22). Punto ACERCA DE– el centro de un círculo inscrito en un trapezoide.

Dado que un círculo puede inscribirse en un trapezoide, entonces o Del teorema de Pitágoras tenemos

Es un poliedro que está formado por la base de la pirámide y una sección paralela a ella. Podemos decir que una pirámide truncada es una pirámide con la cima cortada. Esta figura tiene muchas propiedades únicas:

• Las caras laterales de la pirámide son trapezoides;
• Los bordes laterales de una pirámide truncada regular tienen la misma longitud y están inclinados hacia la base en el mismo ángulo;
• Las bases son polígonos semejantes;
• En una pirámide truncada regular, las caras son trapecios isósceles idénticos, cuyo área es igual. También están inclinados hacia la base en un ángulo.

La fórmula para calcular el área de la superficie lateral de una pirámide truncada es la suma de las áreas de sus lados:

Dado que los lados de una pirámide truncada son trapecios, para calcular los parámetros tendrás que utilizar la fórmula área trapezoidal. Para una pirámide truncada regular, puedes aplicar una fórmula diferente para calcular el área. Como todos sus lados, caras y ángulos en la base son iguales, podemos aplicar los perímetros de la base y la apotema, y ​​también derivar el área a través del ángulo en la base.

Si, de acuerdo con las condiciones en una pirámide truncada regular, se dan la apotema (altura del lado) y las longitudes de los lados de la base, entonces el área se puede calcular mediante el medio producto de la suma de los perímetros de las bases y la apotema:

Veamos un ejemplo de cálculo del área de la superficie lateral de una pirámide truncada.
Dada una pirámide pentagonal regular. Apotema yo= 5 cm, la longitud del borde en la base grande es a= 6 cm, y el borde está en la base más pequeña b= 4 cm Calcula el área de la pirámide truncada.

Primero, encontremos los perímetros de las bases. Como nos dan una pirámide pentagonal, entendemos que las bases son pentágonos. Esto significa que las bases contienen una figura con cinco lados idénticos. Encontremos el perímetro de la base más grande:

De la misma forma encontramos el perímetro de la base más pequeña:

Ahora podemos calcular el área de una pirámide truncada regular. Sustituye los datos en la fórmula:

Así, calculamos el área de una pirámide truncada regular a través de los perímetros y la apotema.

Otra forma de calcular el área de la superficie lateral de una pirámide regular es la fórmula a través de los ángulos en la base y el área de estas mismas bases.

Veamos un ejemplo de cálculo. Recordamos que esta fórmula se aplica únicamente a una pirámide truncada regular.

Sea una pirámide cuadrangular regular. El borde de la base inferior es a = 6 cm y el borde de la base superior es b = 4 cm. El ángulo diédrico en la base es β = 60°. Calcula el área de la superficie lateral de una pirámide truncada regular.

Primero, calculemos el área de las bases. Como la pirámide es regular, todas las aristas de las bases son iguales entre sí. Considerando que la base es un cuadrilátero, entendemos que será necesario calcular área de la plaza. Es el producto del ancho y el largo, pero al elevarlos al cuadrado estos valores son iguales. Encontremos el área de la base mayor:


Ahora usamos los valores encontrados para calcular el área de la superficie lateral.

Conociendo algunas fórmulas simples, calculamos fácilmente el área del trapezoide lateral de una pirámide truncada utilizando varios valores.

Un poliedro en el que una de sus caras es un polígono y todas las demás caras son triángulos con un vértice común, se llama pirámide.

Estos triángulos que forman la pirámide se llaman caras laterales, y el polígono restante es base pirámides.

En la base de la pirámide se encuentra una figura geométrica: un n-gón. En este caso, la pirámide también se llama n-carbono.

Una pirámide triangular cuyas aristas son todas iguales se llama tetraedro.

Las aristas de la pirámide que no pertenecen a la base se llaman lateral, y su punto en común es vértice pirámides. Las otras aristas de la pirámide suelen denominarse partes de la base.

La pirámide se llama correcto, si tiene un polígono regular en su base y todas las aristas laterales son iguales entre sí.

La distancia desde la cima de la pirámide al plano de la base se llama altura pirámides. Podemos decir que la altura de la pirámide es un segmento perpendicular a la base, cuyos extremos están en la cima de la pirámide y en el plano de la base.

Para cualquier pirámide se aplican las siguientes fórmulas:

1) S completo = S lateral + S principal, Dónde

S total – superficie total de la pirámide;

Lado S – área de la superficie lateral, es decir la suma de las áreas de todas las caras laterales de la pirámide;

S principal – área de la base de la pirámide.

2) V = 1/3 S base N, Dónde

V – volumen de la pirámide;

H – altura de la pirámide.

Para pirámide regular ocurre:

Lado S = 1/2 P h principal, Dónde

P principal – perímetro de la base de la pirámide;

h es la longitud de la apotema, es decir, la longitud de la altura de la cara lateral que desciende desde la cima de la pirámide.

La parte de la pirámide encerrada entre dos planos: el plano de la base y el plano de corte paralelo a la base se llama pirámide truncada.

La base de la pirámide y la sección de la pirámide por un plano paralelo se llaman razones pirámide truncada. Las caras restantes se llaman lateral. La distancia entre los planos de las bases se llama. altura pirámide truncada. Las aristas que no pertenecen a las bases se llaman lateral.

Además, la base de la pirámide truncada n-gons similares. Si las bases de una pirámide truncada son polígonos regulares y todos los bordes laterales son iguales entre sí, entonces dicha pirámide truncada se llama correcto.

Para pirámide truncada arbitraria se aplican las siguientes fórmulas:

1) S completo = S lado + S 1 + S 2, Dónde

S total – superficie total;

Lado S – área de la superficie lateral, es decir la suma de las áreas de todas las caras laterales de una pirámide truncada, que son trapecios;

S 1, S 2 – áreas de base;

2) V = 1/3(S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2))H, Dónde

V – volumen de la pirámide truncada;

H – altura de la pirámide truncada.

Para pirámide truncada regular también tenemos:

Lado S = 1/2(P 1 + P 2) h, Dónde

P 1, P 2 – perímetros de las bases;

h – apotema (altura de la cara lateral, que es un trapezoide).

Consideremos varios problemas que involucran una pirámide truncada.

Tarea 1.

En una pirámide truncada triangular de altura igual a 10, los lados de una de las bases miden 27, 29 y 52. ​​Determina el volumen de la pirámide truncada si el perímetro de la otra base es 72.

Solución.

Considere la pirámide truncada ABCA 1 B 1 C 1 que se muestra en Figura 1.

1. El volumen de una pirámide truncada se puede encontrar mediante la fórmula

V = 1/3H · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)), donde S 1 es el área de una de las bases, se puede encontrar usando la fórmula de Heron

S = √(p(p – a)(p – b)(p – c)),

porque El problema da las longitudes de los tres lados de un triángulo.

Tenemos: p 1 = (27 + 29 + 52)/2 = 54.

S 1 = √(54(54 – 27)(54 – 29)(54 – 52)) = √(54 27 25 2) = 270.

2. La pirámide está truncada, lo que significa que en las bases se encuentran polígonos similares. En nuestro caso, el triángulo ABC es similar al triángulo A 1 B 1 C 1. Además, el coeficiente de similitud se puede encontrar como la relación de los perímetros de los triángulos considerados, y la relación de sus áreas será igual al cuadrado del coeficiente de similitud. Así tenemos:

S 1 /S 2 = (P 1) 2 /(P 2) 2 = 108 2 /72 2 = 9/4. Por tanto S 2 = 4S 1 /9 = 4 270/9 = 120.

Entonces, V = 1/3 10(270 + 120 + √(270 120)) = 1900.

Respuesta: 1900.

Tarea 2.

En una pirámide truncada triangular, se dibuja un plano a través del lado de la base superior paralelo al borde del lado opuesto. ¿En qué proporción se divide el volumen de una pirámide truncada si los lados correspondientes de las bases están en la proporción 1:2?

Solución.

Considere ABCA 1 B 1 C 1 - una pirámide truncada que se muestra en arroz. 2.

Dado que los lados de las bases están en una proporción de 1:2, las áreas de las bases están en una proporción de 1:4 (el triángulo ABC es similar al triángulo A 1 B 1 C 1).

Entonces el volumen de la pirámide truncada es:

V = 1/3h · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)) = 1/3h · (4S 2 + S 2 + 2S 2) = 7/3 · h · S 2, donde S 2 – área de la base superior, h – altura.

Pero el volumen del prisma ADEA 1 B 1 C 1 es V 1 = S 2 h y, por tanto,

V 2 = V – V 1 = 7/3 · h · S 2 - h · S 2 = 4/3 · h · S 2.

Entonces, V 2: V 1 = 3: 4.

Respuesta: 3:4.

Tarea 3.

Los lados de las bases de una pirámide truncada cuadrangular regular son iguales a 2 y 1, y la altura es 3. A través del punto de intersección de las diagonales de la pirámide, paralelo a las bases de la pirámide, se traza un plano que divide la pirámide. en dos partes. Calcula el volumen de cada uno de ellos.

Solución.

Considere la pirámide truncada ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 que se muestra en arroz. 3.

Denotemos O 1 O 2 = x, luego OO₂ = O 1 O – O 1 O 2 = 3 – x.

Considere el triángulo B 1 O 2 D 1 y el triángulo BO 2 D:

el ángulo B 1 O 2 D 1 es igual al ángulo BO 2 D como vertical;

el ángulo BDO 2 es igual al ángulo D 1 B 1 O 2 y el ángulo O 2 ВD es igual al ángulo B 1 D 1 O 2 que se encuentra transversalmente en B 1 D 1 || BD y secantes B₁D y BD₁, respectivamente.

Por lo tanto, el triángulo B 1 O 2 D 1 es similar al triángulo BO 2 D y la razón de los lados es:

В1D 1 /ВD = О 1 О 2 /ОО 2 o 1/2 = x/(x – 3), de donde x = 1.

Considere el triángulo B 1 D 1 B y el triángulo LO 2 B: el ángulo B es común y también hay un par de ángulos unilaterales en B 1 D 1 || LM, lo que significa que el triángulo B 1 D 1 B es similar al triángulo LO 2 B, de donde B 1 D: LO 2 = OO 1: OO 2 = 3: 2, es decir

LO 2 = 2/3 · B 1 D 1 , LN = 4/3 · B 1 D 1 .

Entonces S KLMN = 16/9 · S A 1 B 1 C 1 D 1 = 16/9.

Entonces, V 1 = 1/3 · 2(4 + 16/9 + 8/3) = 152/27.

V2 = 1/3 · 1 · (16/9 + 1 + 4/3) = 37/27.

Respuesta: 152/27; 37/27.

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