Construcción matricial inversa de una matriz inversa. Encontrar la matriz inversa usando el método de transformaciones elementales.

Continuamos la conversación sobre acciones con matrices. Es decir, durante el estudio de esta conferencia aprenderá cómo encontrar la matriz inversa. Aprender. Incluso si las matemáticas son difíciles.

¿Qué es una matriz inversa? Aquí podemos hacer una analogía con los números inversos: consideremos, por ejemplo, el número optimista 5 y su número inverso. El producto de estos números es igual a uno: . ¡Todo es similar con las matrices! El producto de una matriz y su matriz inversa es igual a – matriz de identidad, que es el análogo matricial de la unidad numérica. Sin embargo, lo primero es lo primero: primero resolvamos una cuestión práctica importante: aprender a encontrar esta matriz tan inversa.

¿Qué necesitas saber y poder hacer para encontrar la matriz inversa? Debes poder decidir clasificados. Debes entender lo que es. matriz y poder realizar algunas acciones con ellos.

Hay dos métodos principales para encontrar la matriz inversa:
mediante el uso sumas algebraicas Y usando transformaciones elementales.

Hoy estudiaremos el primer método, más sencillo.

Empecemos por lo más terrible e incomprensible. Consideremos cuadrado matriz. La matriz inversa se puede encontrar usando la siguiente fórmula:

Donde está el determinante de la matriz, es la matriz transpuesta de complementos algebraicos de los elementos correspondientes de la matriz.

El concepto de matriz inversa existe sólo para matrices cuadradas., matrices “dos por dos”, “tres por tres”, etc.

Designaciones: Como ya habrás notado, la matriz inversa se denota con un superíndice

Comencemos con el caso más simple: una matriz de dos por dos. La mayoría de las veces, por supuesto, se requiere "tres por tres", pero, sin embargo, recomiendo encarecidamente estudiar una tarea más simple para comprender el principio general de la solución.

Ejemplo:

Encuentra la inversa de una matriz.

Vamos a decidir. Conviene desglosar punto por punto la secuencia de actuaciones.

1) Primero encontramos el determinante de la matriz..

Si su comprensión de esta acción no es buena, lea el material. ¿Cómo calcular el determinante?

¡Importante! Si el determinante de la matriz es igual a CERO– matriz inversa NO EXISTE.

En el ejemplo que estamos considerando, resultó que , lo que significa que todo está en orden.

2) Encuentra la matriz de menores..

Para solucionar nuestro problema no es necesario saber qué es un menor, sin embargo, es recomendable leer el artículo. Cómo calcular el determinante.

La matriz de menores tiene las mismas dimensiones que la matriz, es decir, en este caso.
Lo único que queda por hacer es encontrar cuatro números y ponerlos en lugar de asteriscos.

Volvamos a nuestra matriz.
Veamos primero el elemento superior izquierdo:

como encontrarlo menor?
Y esto se hace así: tacha MENTALMENTE la fila y columna en la que se encuentra este elemento:

El número restante es menor de este elemento, que escribimos en nuestra matriz de menores:

Considere el siguiente elemento de la matriz:

Tacha mentalmente la fila y columna en la que aparece este elemento:

Lo que queda es el menor de este elemento, que escribimos en nuestra matriz:

De manera similar, consideramos los elementos de la segunda fila y encontramos sus menores:


Listo.

Es sencillo. En la matriz de menores necesitas. CAMBIAR SIGNOS dos números:

¡Estos son los números que rodeé!

– matriz de sumas algebraicas de los elementos correspondientes de la matriz.

Y solo...

4) Encuentra la matriz transpuesta de sumas algebraicas..

– matriz transpuesta de complementos algebraicos de los elementos correspondientes de la matriz.

5) Responder.

Recordemos nuestra fórmula.
¡Todo ha sido encontrado!

Entonces la matriz inversa es:

Es mejor dejar la respuesta como está. NO HAY NECESIDAD divide cada elemento de la matriz por 2, ya que el resultado son números fraccionarios. Este matiz se analiza con más detalle en el mismo artículo. Acciones con matrices.

¿Cómo comprobar la solución?

Necesitas realizar una multiplicación de matrices o

Examen:

Recibido ya mencionado matriz de identidad es una matriz con unos por diagonal principal y ceros en otros lugares.

Por tanto, la matriz inversa se encuentra correctamente.

Si realizas la acción, el resultado también será una matriz de identidad. Este es uno de los pocos casos en los que la multiplicación de matrices es conmutativa; se pueden encontrar más detalles en el artículo. Propiedades de las operaciones sobre matrices. Expresiones matriciales. También tenga en cuenta que durante la verificación, la constante (fracción) se adelanta y se procesa al final, después de la multiplicación de matrices. Esta es una técnica estándar.

Pasemos a un caso más común en la práctica: la matriz de tres por tres:

Ejemplo:

Encuentra la inversa de una matriz.

El algoritmo es exactamente el mismo que para el caso “dos por dos”.

Encontramos la matriz inversa usando la fórmula: , donde es la matriz transpuesta de complementos algebraicos de los elementos correspondientes de la matriz.

1) Encuentra el determinante de la matriz..

Aquí se revela el determinante. en la primera linea.

Además, no lo olvides, lo que significa que todo está bien. existe matriz inversa.

2) Encuentra la matriz de menores..

La matriz de menores tiene una dimensión de “tres por tres” , y necesitamos encontrar nueve números.

Miraré un par de menores en detalle:

Considere el siguiente elemento de la matriz:

MENTALMENTE tacha la fila y columna en la que se encuentra este elemento:

Escribimos los cuatro números restantes en el determinante “dos por dos”.

Este determinante de dos por dos y es el menor de este elemento. Es necesario calcularlo:


Listo, el menor ha sido encontrado, lo escribimos en nuestra matriz de menores:

Como probablemente habrás adivinado, necesitas calcular nueve determinantes de dos por dos. El proceso, por supuesto, es tedioso, pero el caso no es el más grave, puede ser peor.

Bueno, para consolidar – encontrar otro menor en las imágenes:

Intente calcular usted mismo los menores restantes.

Resultado final:
– matriz de menores de los elementos correspondientes de la matriz.

El hecho de que todos los menores hayan resultado negativos es pura casualidad.

3) Encuentra la matriz de sumas algebraicas..

En la matriz de menores es necesario CAMBIAR SIGNOS estrictamente para los siguientes elementos:

En este caso:

No consideramos encontrar la matriz inversa para una matriz de “cuatro por cuatro”, ya que tal tarea solo puede ser encomendada por un maestro sádico (para que el estudiante calcule un determinante de “cuatro por cuatro” y 16 determinantes de “tres por tres” ). En mi práctica, solo hubo un caso de este tipo, y el cliente de la prueba pagó bastante caro por mi tormento =).

En varios libros de texto y manuales puede encontrar un enfoque ligeramente diferente para encontrar la matriz inversa, pero recomiendo utilizar el algoritmo de solución descrito anteriormente. ¿Por qué? Porque la probabilidad de confundirse en cálculos y signos es mucho menor.

La matriz inversa para una matriz dada es dicha matriz, multiplicando la original por la que da la matriz identidad: Una condición obligatoria y suficiente para la presencia de una matriz inversa es que el determinante de la matriz original sea distinto de cero (lo que a su vez implica que la matriz debe ser cuadrada). Si el determinante de una matriz es igual a cero, entonces se llama singular y dicha matriz no tiene inversa. En matemáticas superiores, las matrices inversas son importantes y se utilizan para resolver una serie de problemas. Por ejemplo, en encontrar la matriz inversa Se construyó un método matricial para la resolución de sistemas de ecuaciones. Nuestro sitio de servicio permite calcular matriz inversa en línea dos métodos: el método de Gauss-Jordan y el uso de la matriz de sumas algebraicas. El primero implica una gran cantidad de transformaciones elementales dentro de la matriz, el segundo implica el cálculo del determinante y sumas algebraicas de todos los elementos. Para calcular el determinante de una matriz en línea, puede utilizar nuestro otro servicio: Cálculo del determinante de una matriz en línea

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Consideremos el problema de definir la operación inversa de la multiplicación de matrices.

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Matriz A^(-1) que satisface, junto con la matriz A dada, las igualdades:

A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E,

De la definición se deduce que si existe la matriz inversa A^(-1), entonces es un cuadrado del mismo orden que A. Sin embargo, no todas las matrices cuadradas tienen inversa. Si el determinante de una matriz A es igual a cero (\det(A)=0), entonces no existe su inversa. De hecho, aplicando el teorema sobre el determinante del producto de matrices para la matriz identidad E=A^(-1)A obtenemos una contradicción

\det(E)=\det(A^(-1)\cdot A)=\det(A^(-1))\det(A)=\det(A^(-1))\cdot0=0

Teorema 4.1 sobre la existencia y unicidad de la matriz inversa. Matriz cuadrada A=\begin(pmatrix)a_(11)&\cdots&a_(1n)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_(n1)&\cdots&a_(nn) \end(pmatrix), cuyo determinante es distinto de cero, tiene una matriz inversa y, además, una sola:

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot\! \begin(pmatrix)A_(11)&A_(21)&\cdots&A_(1n)\\ A_(12)&A_(22)&\cdots&A_(n2)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_(1n) )&A_(2n)&\cdots&A_(nn) \end(pmatrix)= \frac(1)(\det(A))\cdot A^(+),

donde A^(+) es la matriz transpuesta para una matriz compuesta de complementos algebraicos de elementos de la matriz A.

La matriz A^(+) se llama matriz adjunta con respecto a la matriz A.

De hecho, la matriz \frac(1)(\det(A))\,A^(+) existe bajo la condición \det(A)\ne0 . Es necesario demostrar que es inversa a A, es decir satisface dos condiciones:

\begin(alineado)\mathsf(1))&~A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)=E;\\ \mathsf (2))&~ \!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)\!\cdot A=E.\end(alineado)

Demostremos la primera igualdad. Según el párrafo 4 de las observaciones 2.3, de las propiedades del determinante se deduce que AA^(+)=\det(A)\cdot E. Es por eso

A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)= \frac(1)(\det(A))\cdot AA^(+) = \frac(1)(\det(A))\cdot \det(A)\cdot E=E,

que es lo que había que mostrar. La segunda igualdad se demuestra de manera similar. Por lo tanto, bajo la condición \det(A)\ne0, la matriz A tiene una inversa

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+).

Probaremos la unicidad de la matriz inversa por contradicción. Sea, además de la matriz A^(-1), otra matriz inversa B\,(B\ne A^(-1)) tal que AB=E. Multiplicando ambos lados de esta igualdad desde la izquierda por la matriz A^(-1), obtenemos \underbrace(A^(-1)AB)_(E)=A^(-1)E. Por lo tanto B=A^(-1) , lo que contradice el supuesto B\ne A^(-1) . Por tanto, la matriz inversa es única.

Notas 4.1

1. De la definición se deduce que las matrices A y A^(-1) conmutan.

2. La inversa de una matriz diagonal no singular también es diagonal:

\Bigl[\operatorname(diag)(a_(11),a_(22),\ldots,a_(nn))\Bigr]^(-1)= \operatorname(diag)\!\left(\frac(1 )(a_(11)),\,\frac(1)(a_(22)),\,\ldots,\,\frac(1)(a_(nn))\right)\!.

3. La inversa de una matriz triangular inferior (superior) no singular es triangular inferior (superior).

4. Las matrices elementales tienen inversas, que también son elementales (ver párrafo 1 de las observaciones 1.11).

Propiedades de una matriz inversa

La operación de inversión de matrices tiene las siguientes propiedades:

\begin(alineado)\bold(1.)&~~ (A^(-1))^(-1)=A\,;\\ \bold(2.)&~~ (AB)^(-1 )=B^(-1)A^(-1)\,;\\ \bold(3.)&~~ (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T\ ,;\\ \bold(4.)&~~ \det(A^(-1))=\frac(1)(\det(A))\,;\\ \bold(5.)&~~ E^(-1)=E\,. \end(alineado)

Demostremos la propiedad 2: si el producto AB de matrices cuadradas no singulares del mismo orden tiene una matriz inversa, entonces (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1).

De hecho, el determinante del producto de las matrices AB no es igual a cero, ya que

\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B), Dónde \det(A)\ne0,~\det(B)\ne0

Por tanto, la matriz inversa (AB)^(-1) existe y es única. Demostremos por definición que la matriz B^(-1)A^(-1) es la inversa de la matriz AB. En realidad.

Para encontrar la matriz inversa en línea, deberá indicar el tamaño de la propia matriz. Para hacer esto, haga clic en los íconos “+” o “-” hasta que esté satisfecho con la cantidad de columnas y filas. A continuación, ingrese los elementos requeridos en los campos. A continuación se muestra el botón "Calcular"; al hacer clic en él, recibirá una respuesta en la pantalla con una solución detallada.

En álgebra lineal, muy a menudo uno tiene que lidiar con el proceso de calcular la matriz inversa. Existe sólo para matrices no expresadas y para matrices cuadradas siempre que el determinante sea distinto de cero. En principio, calcularlo no es particularmente difícil, especialmente si se trata de una matriz pequeña. Pero si necesita cálculos más complejos o una doble verificación exhaustiva de su decisión, es mejor utilizar esta calculadora en línea. Con su ayuda, puedes resolver de forma rápida y precisa una matriz inversa.

Con esta calculadora en línea, podrás hacer tus cálculos mucho más fáciles. Además, ayuda a consolidar el material obtenido en teoría: es una especie de simulador del cerebro. No debe considerarse como un reemplazo de los cálculos manuales; puede brindarle mucho más, facilitando la comprensión del algoritmo en sí. Además, nunca está de más volver a comprobarlo.

Métodos para encontrar la matriz inversa. Considere una matriz cuadrada

Denotemos Δ =det A.

La matriz cuadrada A se llama no degenerado, o no especial, si su determinante es distinto de cero, y degenerar, o especial, SiΔ = 0.

Una matriz cuadrada B es para una matriz cuadrada A del mismo orden si su producto es A B = B A = E, donde E es la matriz identidad del mismo orden que las matrices A y B.

Teorema . Para que la matriz A tenga matriz inversa es necesario y suficiente que su determinante sea distinto de cero.

La matriz inversa de la matriz A, denotada por A- 1, entonces B = A - 1 y se calcula mediante la fórmula

, (1)

donde A i j son complementos algebraicos de los elementos a i j de la matriz A.

Calcular A -1 usando la fórmula (1) para matrices de alto orden requiere mucha mano de obra, por lo que en la práctica es conveniente encontrar A -1 usando el método de transformaciones elementales (ET). Cualquier matriz A no singular se puede reducir a la matriz identidad E aplicando solo las columnas (o solo las filas) a la matriz identidad. Si las transformaciones perfectas sobre la matriz A se aplican en el mismo orden a la matriz identidad E, el resultado será una matriz inversa. Es conveniente realizar EP sobre las matrices A y E simultáneamente, escribiendo ambas matrices una al lado de la otra a través de una línea. Notemos una vez más que al buscar la forma canónica de una matriz, para encontrarla se pueden utilizar transformaciones de filas y columnas. Si necesita encontrar la inversa de una matriz, debe usar solo filas o solo columnas durante el proceso de transformación.

Ejemplo 2.10. Para matriz encontrar A -1 .

Solución.Primero encontramos el determinante de la matriz A.
Esto significa que la matriz inversa existe y podemos encontrarla usando la fórmula: , donde A i j (i,j=1,2,3) son sumas algebraicas de elementos a i j de la matriz original.

Dónde .

Ejemplo 2.11. Usando el método de transformaciones elementales, encuentre A -1 para la matriz: A = .

Solución.Asignamos a la matriz original de la derecha una matriz identidad del mismo orden: . Usando transformaciones elementales de las columnas, reduciremos la “mitad” izquierda a la identidad, realizando simultáneamente exactamente las mismas transformaciones en la matriz derecha.
Para hacer esto, intercambie la primera y la segunda columna: ~ . A la tercera columna sumamos la primera, y a la segunda, la primera, multiplicada por -2: . De la primera columna restamos el segundo duplicado, y de la tercera, el segundo multiplicado por 6; . Agreguemos la tercera columna a la primera y a la segunda: . Multiplica la última columna por -1: . La matriz cuadrada obtenida a la derecha de la barra vertical es la matriz inversa de la matriz A dada. Entonces,
.