Ecuación diferencial homogénea con coeficientes constantes. Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes

Este artículo aborda la cuestión de la resolución de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes. La teoría se discutirá junto con ejemplos de problemas dados. Para descifrar términos poco claros, es necesario consultar el tema sobre las definiciones y conceptos básicos de la teoría de ecuaciones diferenciales.

Consideremos una ecuación diferencial lineal (LDE) de segundo orden con coeficientes constantes de la forma y "" + p · y " + q · y = f (x), donde p y q son números arbitrarios, y la función existente f (x) es continua en el intervalo de integración x.

Pasemos a la formulación del teorema para la solución general del LNDE.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Teorema general de solución para LDNU

Una solución general, ubicada en el intervalo x, de una ecuación diferencial no homogénea de la forma y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) · y = f (x) con coeficientes de integración continua en el intervalo x f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) y una función continua f (x) es igual a la suma de la solución general y 0, que corresponde al LOD y alguna solución particular y ~, donde la ecuación no homogénea original es y = y 0 + y~.

Esto muestra que la solución a dicha ecuación de segundo orden tiene la forma y = y 0 + y ~ . El algoritmo para encontrar y 0 se analiza en el artículo sobre ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes. Después de lo cual debemos proceder a la definición de y ~.

La elección de una solución particular al LPDE depende del tipo de función disponible f (x) ubicada en el lado derecho de la ecuación. Para hacer esto, es necesario considerar por separado las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes.

Cuando se considera que f (x) es un polinomio de enésimo grado f (x) = P n (x), se deduce que una solución particular del LPDE se encuentra utilizando una fórmula de la forma y ~ = Q n (x ) x γ, donde Q n ( x) es un polinomio de grado n, r es el número de raíces cero de la ecuación característica. El valor y ~ es una solución particular y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , entonces los coeficientes disponibles los cuales están definidos por el polinomio
Q n (x), lo encontramos utilizando el método de coeficientes indefinidos a partir de la igualdad y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).

Ejemplo 1

Calcule usando el teorema de Cauchy y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

Solución

En otras palabras, es necesario pasar a una solución particular de una ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden con coeficientes constantes y "" - 2 y " = x 2 + 1, que satisfará las condiciones dadas y (0) = 2, y " (0) = 1 4 .

La solución general de una ecuación lineal no homogénea es la suma de la solución general, que corresponde a la ecuación y 0 o una solución particular a la ecuación no homogénea y ~, es decir, y = y 0 + y ~.

Primero busquemos una solución general para el LNDU y luego una particular.

Pasemos a encontrar y 0. Escribir la ecuación característica te ayudará a encontrar las raíces. lo entendemos

k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0 , k 2 = 2

Descubrimos que las raíces son diferentes y reales. Por tanto, anotemos

y 0 = C 1 mi 0 x + C 2 mi 2 x = C 1 + C 2 mi 2 x.

Busquemos y ~ . Se puede ver que el lado derecho de la ecuación dada es un polinomio de segundo grado, entonces una de las raíces es igual a cero. De esto obtenemos que una solución particular para y ~ será

y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, donde los valores de A, B, C toman coeficientes indeterminados.

Encontrémoslos a partir de una igualdad de la forma y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .

Entonces obtenemos eso:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

Igualando los coeficientes con los mismos exponentes de x, obtenemos un sistema de expresiones lineales - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. Al resolver por cualquiera de los métodos, encontraremos los coeficientes y escribiremos: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 e y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

Esta entrada se denomina solución general de la ecuación diferencial lineal original no homogénea de segundo orden con coeficientes constantes.

Para encontrar una solución particular que satisfaga las condiciones y (0) = 2, y "(0) = 1 4, es necesario determinar los valores C 1 Y C 2, basado en una igualdad de la forma y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

Obtenemos eso:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

Trabajamos con el sistema de ecuaciones resultante de la forma C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4, donde C 1 = 3 2, C 2 = 1 2.

Aplicando el teorema de Cauchy tenemos que

y = C 1 + C 2 y 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 y 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Respuesta: 3 2 + 1 2 y 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Cuando la función f (x) se representa como el producto de un polinomio de grado n y un exponente f (x) = P n (x) · e a x , entonces obtenemos que una solución particular del LPDE de segundo orden será una ecuación de la forma y ~ = e a x · Q n ( x) x γ, donde Q n (x) es un polinomio de enésimo grado y r es el número de raíces de la ecuación característica igual a α.

Los coeficientes pertenecientes a Q n (x) se encuentran mediante la igualdad y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).

Ejemplo 2

Encuentre la solución general a una ecuación diferencial de la forma y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .

Solución

La ecuación general es y = y 0 + y ~ . La ecuación indicada corresponde al LOD y "" - 2 y " = 0. Del ejemplo anterior se puede observar que sus raíces son iguales k 1 = 0 y k 2 = 2 y y 0 = C 1 + C 2 e 2 x por la ecuación característica.

Se puede ver que el lado derecho de la ecuación es x 2 + 1 · e x . A partir de aquí el LPDE se encuentra mediante y ~ = e a x · Q n (x) · x γ, donde Q n (x) es un polinomio de segundo grado, donde α = 1 y r = 0, porque la ecuación característica no tener raíz igual a 1. De aquí entendemos eso

y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .

A, B, C son coeficientes desconocidos que se pueden encontrar mediante la igualdad y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x.

Lo tengo

y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

Igualamos los indicadores con los mismos coeficientes y obtenemos un sistema de ecuaciones lineales. De aquí encontramos A, B, C:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

Respuesta: está claro que y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 es una solución particular del LNDDE, y y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - una solución general para una ecuación dif no homogénea de segundo orden.

Cuando la función se escribe como f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x, y un 1 Y EN 1 son números, entonces una solución parcial de la LPDE se considera una ecuación de la forma y ~ = A cos β x + B sen β x · x γ, donde A y B se consideran coeficientes indeterminados, y r es el número de raíces conjugadas complejas relacionadas con la ecuación característica, igual a ± i β . En este caso, la búsqueda de coeficientes se realiza mediante la igualdad y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).

Ejemplo 3

Encuentra la solución general a una ecuación diferencial de la forma y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x).

Solución

Antes de escribir la ecuación característica, encontramos y 0. Entonces

k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 yo , k 2 = - 2 yo

Tenemos un par de raíces conjugadas complejas. Transformemos y obtengamos:

y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 pecado (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 pecado (2 x)

Se considera que las raíces de la ecuación característica son el par conjugado ± 2 i, luego f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x). Esto muestra que la búsqueda de y ~ se realizará a partir de y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Incógnitas Buscaremos los coeficientes A y B a partir de una igualdad de la forma y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x).

Transformemos:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sen (2 x)) x - 2 A sen (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sen (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sen (2 x)) x - 4 A sen (2 x) + 4 B cos (2 x)

Entonces está claro que

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sen (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sen (2 x) ⇔ - 4 A sen (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 sen (2 x)

Es necesario igualar los coeficientes de senos y cosenos. Obtenemos un sistema de la forma:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

Se deduce que y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x.

Respuesta: Se considera la solución general del LDDE original de segundo orden con coeficientes constantes.

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 pecado (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 pecado (2 x) x

Cuando f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x), entonces y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ Tenemos que r es el número de pares de raíces conjugadas complejas relacionadas con la ecuación característica, igual a α ± i β, donde P n (x), Q k (x), L m (x) y Nm(x) son polinomios de grado n, k, m, m, donde m = m a x (n, k). Encontrar coeficientes Lm(x) Y Nm(x) se realiza con base en la igualdad y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).

Ejemplo 4

Encuentre la solución general y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)).

Solución

Según la condición está claro que

α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1

Entonces m = m a x (n, k) = 1. Encontramos y 0 escribiendo primero una ecuación característica de la forma:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1 , k 2 = 3 + 1 2 = 2

Descubrimos que las raíces son reales y distintas. Por tanto y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. A continuación, es necesario buscar una solución general basada en la ecuación no homogénea y ~ de la forma

y ~ = e α x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) · x γ = = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sen (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sen (5 x))

Se sabe que A, B, C son coeficientes, r = 0, porque no hay ningún par de raíces conjugadas relacionadas con la ecuación característica con α ± i β = 3 ± 5 · i. Encontramos estos coeficientes a partir de la igualdad resultante:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sen (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) pecado (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) pecado (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

Encontrar la derivada y términos similares da

E 3 x ((15 A + 23 C) x sen (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sen (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · sen (5 x) + 45 · sen (5 x ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))

Después de igualar los coeficientes, obtenemos un sistema de la forma

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

De todo se sigue que

y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sen (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) pecado (5 x))

Respuesta: Ahora hemos obtenido una solución general a la ecuación lineal dada:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

Algoritmo para resolver LDNU

Cualquier otro tipo de función f (x) para solución requiere el cumplimiento del algoritmo de solución:

• encontrar una solución general a la ecuación lineal homogénea correspondiente, donde y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, donde y 1 Y y 2 son soluciones parciales linealmente independientes de LODE, C 1 Y C 2 se consideran constantes arbitrarias;
• adopción como solución general del LNDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
• determinación de derivadas de una función mediante un sistema de la forma C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " (x ) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) , y encontrar funciones C 1 (x) y C 2 (x) mediante integración.

Ejemplo 5

Encuentre la solución general para y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x.

Solución

Procedemos a escribir la ecuación característica, habiendo escrito previamente y 0, y "" + 36 y = 0. Escribamos y resolvamos:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 yo , k 2 = - 6 yo ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 pecado (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = sen (6 x)

Tenemos que la solución general de la ecuación dada se escribirá como y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x). Es necesario pasar a la definición de funciones derivadas. C 1 (x) Y C2(x) según un sistema con ecuaciones:

C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sen (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = = 24 sen (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

Es necesario tomar una decisión respecto C 1" (x) Y C2" (x) utilizando cualquier método. Luego escribimos:

C 1 " (x) = - 4 sen 2 (6 x) + 2 sen (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sen (6 x) C 2 " (x) = 4 sen (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

Cada una de las ecuaciones debe estar integrada. Luego escribimos las ecuaciones resultantes:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 y 6 x pecado (6 x) + C 4

De ello se deduce que la solución general tendrá la forma:

y = 1 3 sen (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sen (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x pecado (6 x) + C 4 pecado (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x pecado (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 pecado (6 x)

Respuesta: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sen (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sen (6 veces)

Si nota un error en el texto, resáltelo y presione Ctrl+Enter

Institución educativa "Estado bielorruso

Academia Agrícola"

Departamento de Matemáticas Superiores

Pautas

estudiar el tema “Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden” por estudiantes de la facultad de contabilidad de educación por correspondencia (NISPO)

Gorki, 2013

Ecuaciones diferenciales lineales

segundo orden con constantescoeficientes

Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas

Ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes. llamada ecuación de la forma

aquellos. una ecuación que contiene la función deseada y sus derivadas solo hasta el primer grado y no contiene sus productos. En esta ecuación Y
- algunos números y una función
dado en un cierto intervalo
.

Si
en el intervalo
, entonces la ecuación (1) tomará la forma

, (2)

y se llama lineal homogéneo . De lo contrario, la ecuación (1) se llama lineal no homogéneo .

Considere la función compleja

, (3)

Dónde
Y
- funciones reales. Si la función (3) es una solución compleja de la ecuación (2), entonces la parte real
, y la parte imaginaria
soluciones
por separado son soluciones de la misma ecuación homogénea. Por tanto, cualquier solución compleja de la ecuación (2) genera dos soluciones reales de esta ecuación.

Las soluciones de una ecuación lineal homogénea tienen las siguientes propiedades:

Si es una solución a la ecuación (2), entonces la función
, Dónde CON– una constante arbitraria también será una solución a la ecuación (2);

Si Y hay soluciones a la ecuación (2), entonces la función
también será una solución a la ecuación (2);

Si Y hay soluciones a la ecuación (2), entonces su combinación lineal
también será una solución a la ecuación (2), donde Y
– constantes arbitrarias.

Funciones
Y
son llamados linealmente dependiente en el intervalo
, si tales números existen Y
, no igual a cero al mismo tiempo, que en este intervalo la igualdad

Si la igualdad (4) ocurre sólo cuando
Y
, entonces las funciones
Y
son llamados independiente linealmente en el intervalo
.

Ejemplo 1 . Funciones
Y
son linealmente dependientes, ya que
en toda la recta numérica. En este ejemplo
.

Ejemplo 2 . Funciones
Y
son linealmente independientes en cualquier intervalo, ya que la igualdad
sólo es posible en el caso de que
, Y
.

Construcción de una solución general a un homogéneo lineal.

ecuaciones

Para encontrar una solución general a la ecuación (2), es necesario encontrar dos de sus soluciones linealmente independientes. Y . Combinación lineal de estas soluciones.
, Dónde Y
son constantes arbitrarias y darán una solución general a una ecuación lineal homogénea.

Buscaremos soluciones linealmente independientes a la ecuación (2) en la forma

, (5)

Dónde – un cierto número. Entonces
,
. Sustituyamos estas expresiones en la ecuación (2):

o
.

Porque
, Eso
. Entonces la función
será una solución a la ecuación (2) si satisfará la ecuación

. (6)

La ecuación (6) se llama Ecuación característica para la ecuación (2). Esta ecuación es una ecuación cuadrática algebraica.

Dejar Y hay raíces de esta ecuación. Pueden ser reales y diferentes, complejos o reales e iguales. Consideremos estos casos.

deja que las raices Y las ecuaciones características son reales y distintas. Entonces las soluciones a la ecuación (2) serán las funciones
Y
. Estas soluciones son linealmente independientes, ya que la igualdad
sólo puede llevarse a cabo cuando
, Y
. Por tanto, la solución general de la ecuación (2) tiene la forma

,

Dónde Y
- constantes arbitrarias.

Ejemplo 3
.

Solución . La ecuación característica para este diferencial será
. Habiendo resuelto esta ecuación cuadrática, encontramos sus raíces.
Y
. Funciones
Y
son soluciones de la ecuación diferencial. La solución general de esta ecuación es
.

Número complejo llamada expresión de la forma
, Dónde Y son números reales y
llamada unidad imaginaria. Si
, entonces el número
Se llama puramente imaginario. Si
, entonces el número
se identifica con un número real .

Número se llama parte real de un número complejo, y - parte imaginaria. Si dos números complejos se diferencian entre sí sólo por el signo de la parte imaginaria, se llaman conjugados:
,
.

Ejemplo 4 . Resolver ecuación cuadrática
.

Solución . Ecuación discriminante
. Entonces. Asimismo,
. Por tanto, esta ecuación cuadrática tiene raíces complejas conjugadas.

Sean complejas las raíces de la ecuación característica, es decir
,
, Dónde
.
,
Las soluciones de la ecuación (2) se pueden escribir en la forma
,
o

,
.

.
Y
Según las fórmulas de Euler

Entonces ,. Como se sabe, si una función compleja es una solución de una ecuación lineal homogénea, entonces las soluciones de esta ecuación son tanto la parte real como la imaginaria de esta función. Por tanto, las soluciones a la ecuación (2) serán las funciones
Y
. Desde la igualdad

Dónde Y
- constantes arbitrarias.

sólo se puede ejecutar si . Encuentra la solución general a la ecuación diferencial.
.

Solución . La ecuacion
es característico de un diferencial dado. Resolvámoslo y consigamos raíces complejas.
,
. Funciones
Y
son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial. La solución general de esta ecuación es:

Sean reales e iguales las raíces de la ecuación característica, es decir
. Entonces las soluciones a la ecuación (2) son las funciones
Y
. Estas soluciones son linealmente independientes, ya que la expresión puede ser idénticamente igual a cero sólo cuando
Y
. Por tanto, la solución general de la ecuación (2) tiene la forma
.

Ejemplo 6 . Encuentra la solución general a la ecuación diferencial.
.

Solución . Ecuación característica
tiene raíces iguales
. En este caso, las soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial son las funciones
Y
. La solución general tiene la forma
.

Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes

y el lado derecho especial

La solución general de la ecuación lineal no homogénea (1) es igual a la suma de la solución general
la ecuación homogénea correspondiente y cualquier solución particular
ecuación no homogénea:
.

En algunos casos, una solución particular a una ecuación no homogénea se puede encontrar simplemente mediante la forma del lado derecho
ecuación (1). Veamos casos en los que esto es posible.

aquellos. el lado derecho de la ecuación no homogénea es un polinomio de grado metro. Si
no es una raíz de la ecuación característica, entonces se debe buscar una solución particular a la ecuación no homogénea en forma de un polinomio de grado metro, es decir.

Impares
se determinan en el proceso de encontrar una solución particular.

Si
es la raíz de la ecuación característica, entonces se debe buscar una solución particular a la ecuación no homogénea en la forma

Ejemplo 7 . Encuentra la solución general a la ecuación diferencial.
.

Solución . La ecuación homogénea correspondiente para esta ecuación es
. Su ecuación característica
tiene raíces
Y
. La solución general de la ecuación homogénea tiene la forma.
.

Porque
no es raíz de la ecuación característica, entonces buscaremos una solución particular de la ecuación no homogénea en forma de función
. Encontremos las derivadas de esta función.
,
y sustituirlos en esta ecuación:

o . Igualemos los coeficientes para y miembros gratuitos:
Habiendo resuelto este sistema, obtenemos
,
. Entonces una solución particular de la ecuación no homogénea tiene la forma
, y la solución general de una ecuación no homogénea dada será la suma de la solución general de la ecuación homogénea correspondiente y la solución particular de la no homogénea:
.

Sea la ecuación no homogénea la forma

Si
no es una raíz de la ecuación característica, entonces se debe buscar en la forma una solución particular a la ecuación no homogénea. Si
es la raíz de la ecuación de multiplicidad característica k (k=1 o k=2), entonces en este caso una solución particular de la ecuación no homogénea tendrá la forma .

Ejemplo 8 . Encuentra la solución general a la ecuación diferencial.
.

Solución . La ecuación característica de la ecuación homogénea correspondiente tiene la forma
. Sus raices
,
. En este caso, la solución general de la ecuación homogénea correspondiente se escribe en la forma
.

Dado que el número 3 no es raíz de la ecuación característica, se debe buscar una solución particular a la ecuación no homogénea en la forma
. Encontremos las derivadas de primer y segundo orden:

Sustituyamos en la ecuación diferencial:
+ +,
+,.

Igualemos los coeficientes para y miembros gratuitos:

De aquí
,
. Entonces una solución particular de esta ecuación tiene la forma
y la solución general

.

Método de Lagrange de variación de constantes arbitrarias.

El método de variación de constantes arbitrarias se puede aplicar a cualquier ecuación lineal no homogénea con coeficientes constantes, independientemente del tipo de lado derecho. Este método le permite encontrar siempre una solución general a una ecuación no homogénea si se conoce la solución general de la ecuación homogénea correspondiente.

Dejar
Y
son soluciones linealmente independientes de la ecuación (2). Entonces la solución general de esta ecuación es
, Dónde Y
- constantes arbitrarias. La esencia del método de variación de constantes arbitrarias es que la solución general a la ecuación (1) se busca en la forma

Dónde
Y
- nuevas funciones desconocidas que es necesario encontrar. Como hay dos funciones desconocidas, para encontrarlas se necesitan dos ecuaciones que contengan estas funciones. Estas dos ecuaciones forman el sistema.

que es un sistema algebraico lineal de ecuaciones con respecto a
Y
. Resolviendo este sistema encontramos
Y
. Integrando ambos lados de las igualdades obtenidas, encontramos

Y
.

Sustituyendo estas expresiones en (9), obtenemos una solución general a la ecuación lineal no homogénea (1).

Ejemplo 9 . Encuentra la solución general a la ecuación diferencial.
.

Solución. La ecuación característica de la ecuación homogénea correspondiente a una ecuación diferencial dada es
. Sus raíces son complejas
,
. Porque
Y
, Eso
,
, y la solución general de la ecuación homogénea tiene la forma. Luego buscaremos una solución general a esta ecuación no homogénea en la forma donde
Y
- funciones desconocidas.

El sistema de ecuaciones para encontrar estas funciones desconocidas tiene la forma

Resolviendo este sistema encontramos
,
. Entonces

,
. Sustituyamos las expresiones resultantes en la fórmula de la solución general:

Esta es la solución general de esta ecuación diferencial, obtenida mediante el método de Lagrange.

Preguntas para el autocontrol del conocimiento.

¿Qué ecuación diferencial se llama ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes?

¿Qué ecuación diferencial lineal se llama homogénea y cuál no homogénea?

¿Qué propiedades tiene una ecuación lineal homogénea?

¿Qué ecuación se llama característica de una ecuación diferencial lineal y cómo se obtiene?

¿De qué forma se escribe la solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes en el caso de diferentes raíces de la ecuación característica?

¿De qué forma se escribe la solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes en el caso de raíces iguales de la ecuación característica?

¿De qué forma se escribe la solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes en el caso de raíces complejas de la ecuación característica?

¿Cómo se escribe la solución general de una ecuación lineal no homogénea?

¿De qué forma se busca una solución particular a una ecuación lineal no homogénea si las raíces de la ecuación característica son diferentes y distintas de cero, y el lado derecho de la ecuación es un polinomio de grado? metro?

¿De qué forma se busca una solución particular a una ecuación lineal no homogénea si hay un cero entre las raíces de la ecuación característica y el lado derecho de la ecuación es un polinomio de grado? metro?

¿Cuál es la esencia del método de Lagrange?

Hemos visto que, en el caso de que se conozca la solución general de una ecuación lineal homogénea, es posible encontrar la solución general de una ecuación no homogénea utilizando el método de variación de constantes arbitrarias. Sin embargo, la cuestión de cómo encontrar una solución general a una ecuación homogénea permaneció abierta. En el caso especial cuando en la ecuación diferencial lineal (3) todos los coeficientes Pi(X)= un yo - constantes, se puede resolver de forma bastante sencilla, incluso sin integración.

Considere una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes, es decir, ecuaciones de la forma

y (norte) + un 1 y (norte – 1) +...un norte – 1 y " + un norte y = 0, (14)

Dónde y yo- constantes (i= 1, 2, ...,norte).

Como se sabe, para una ecuación lineal homogénea de primer orden, la solución es función de la forma mi kx. Buscaremos una solución a la ecuación (14) en la forma j (X) = mi kx.

Sustituyamos la función en la ecuación (14) j (X) y sus derivadas de orden metro (1 £ metro£ norte)j (metro) (X) = k me kx. Obtenemos

(kn + a 1 kn – 1 +...un – 1 k + una norte)mikx = 0,

Pero mi k x ¹ 0 para cualquier X, Es por eso

k norte + a 1 k norte – 1 +...un norte – 1 k + una norte = 0. (15)

La ecuación (15) se llama Ecuación característica, el polinomio del lado izquierdo- polinomio característico , sus raices- raíces características ecuación diferencial (14).

Conclusión:

funciónj (X) = mi kx - solución a la ecuación lineal homogénea (14) si y solo si el número k - raíz de la ecuación característica (15).

Así, el proceso de resolución de la ecuación lineal homogénea (14) se reduce a resolver la ecuación algebraica (15).

Son posibles varios casos de raíces características.

1.Todas las raíces de la ecuación característica son reales y distintas.

En este caso norte diferentes raíces características k 1 ,k 2 ,..., k n corresponde norte diferentes soluciones de la ecuación homogénea (14)

Se puede demostrar que estas soluciones son linealmente independientes y, por tanto, forman un sistema fundamental de soluciones. Por tanto, la solución general de la ecuación es la función

Dónde CON 1 , C 2 , ..., C norte - constantes arbitrarias.

Ejemplo 7. Encuentre la solución general de la ecuación lineal homogénea:

A) en¢ ¢ (X) - 6en¢ (X) + 8en(X) = 0,b) en¢ ¢ ¢ (X) + 2en¢ ¢ (X) - 3en¢ (X) = 0.

Solución. Creemos una ecuación característica. Para ello, reemplazamos la derivada de orden. metro funciones y(X) en el grado apropiado

k(en (metro) (X) « k m),

mientras que la función en sí en(X) ya que la derivada de orden cero se reemplaza por k 0 = 1.

En el caso (a) la ecuación característica tiene la forma k 2 - 6k + 8 = 0. Las raíces de esta ecuación cuadrática. k 1 = 2,k 2 = 4. Como son reales y diferentes, la solución general tiene la forma j (X)=C 1 mi 2X + C 2 mi 4x.

Para el caso (b), la ecuación característica es la ecuación de tercer grado. k 3 + 2k 2 - 3k = 0. Encontremos las raíces de esta ecuación:

k(k 2 + 2 k - 3)= 0 Þ k = 0i k 2 + 2 k - 3 = 0 Þ k = 0, (k - 1)(k + 3) = 0,

t . mi . k 1 = 0, k 2 = 1, k 3 = - 3.

Estas raíces características corresponden al sistema fundamental de soluciones de la ecuación diferencial:

j 1 (X)= mi 0X = 1, j 2 (X) = e x, j 3 (X)= mi - 3X .

La solución general, según la fórmula (9), es la función

j (X)=C 1 +C 2 e x + C 3 mi - 3X .

II . Todas las raíces de la ecuación característica son diferentes, pero algunas de ellas son complejas.

Todos los coeficientes de la ecuación diferencial (14), y por tanto de su ecuación característica (15)- números reales, lo que significa que si c entre las raíces características hay una raíz compleja k 1 = a + ib, es decir, su raíz conjugada k 2 = ` k 1 = un- Ib.A la primera raíz k 1 corresponde a la solución de la ecuación diferencial (14)

j 1 (X)= mi (a+ib)X = e a x e ibx = e ax(cosbx + isinbx)

(usamos la fórmula de Euler mi yo x = cosx + isinx). Asimismo, la raíz k 2 = un- ib corresponde a la solución

j 2 (X)= mi (a - -ib)X = e a x e - ibx= e hacha(cosbx - isinbx).

Estas soluciones son integrales. Para obtener soluciones reales a partir de ellas, utilizamos las propiedades de las soluciones de una ecuación lineal homogénea (ver 13.2). Funciones

son soluciones reales de la ecuación (14). Además, estas soluciones son linealmente independientes. Así, podemos sacar la siguiente conclusión.

Regla 1.Un par de raíces complejas conjugadas a± ib de la ecuación característica en el FSR de la ecuación lineal homogénea (14) corresponde a dos soluciones parciales realesY .

Ejemplo 8. Encuentra la solución general de la ecuación:

A) en¢ ¢ (X) - 2en ¢ (X) + 5en(X) = 0 ;b) en¢ ¢ ¢ (X) - en¢ ¢ (X) + 4en ¢ (X) - 4en(X) = 0.

Solución. En el caso de la ecuación (a), las raíces de la ecuación característica k 2 - 2k + 5 = 0 son dos números complejos conjugados

k 1, 2 = .

En consecuencia, según la regla 1, corresponden a dos soluciones reales linealmente independientes: y , y la solución general de la ecuación es la función

j (X)=C 1 e x porque 2x + C 2 ex pecado 2X.

En el caso (b), para encontrar las raíces de la ecuación característica. k 3 - k 2 + 4k- 4 = 0, factorizamos su lado izquierdo:

k 2 (k - 1) + 4(k - 1) = 0 Þ (k - 1)(k 2 + 4) = 0 Þ (k - 1) = 0, (k 2 + 4) = 0.

Por tanto, tenemos tres raíces características: k 1 = 1,k 2 , 3 = ± 2i. Cornú k 1 corresponde a la solución , y un par de raíces complejas conjugadas k 2, 3 = ± 2yo = 0 ± 2i- dos soluciones válidas: y . Redactamos una solución general a la ecuación:

j (X)=C 1 e x + C 2 porque 2x + C 3 pecado 2X.

III . Entre las raíces de la ecuación característica hay múltiplos.

Dejar k 1 - raíz real de la multiplicidad metro ecuación característica (15), es decir entre las raíces hay metro raíces iguales. Cada uno de ellos corresponde a la misma solución de la ecuación diferencial (14) Sin embargo, incluya metro No existen soluciones iguales en el FSR, ya que constituyen un sistema de funciones linealmente dependiente.

Se puede demostrar que en el caso de una raíz múltiple k 1 las soluciones a la ecuación (14), además de la función, son las funciones

Las funciones son linealmente independientes en todo el eje numérico, ya que , es decir, pueden incluirse en el FSR.

Regla 2. Raíz característica real k 1 multiplicidad metro en el FSR corresponde metro soluciones:

Si k 1 - multiplicidad de raíces complejas metro ecuación característica (15), entonces hay una raíz conjugada k 1 multiplicidad metro. Por analogía obtenemos la siguiente regla.

Regla 3. Un par de raíces complejas conjugadas a± ib en el FSR corresponde a soluciones linealmente independientes de 2mreal:

, , ..., ,

, , ..., .

Ejemplo 9. Encuentra la solución general de la ecuación:

A) en¢ ¢ ¢ (X) + 3en¢ ¢ (X) + 3en¢ (X)+ y ( X)= 0;b) en IV(X) + 6en¢ ¢ (X) + 9en(X) = 0.

Solución. En el caso (a) la ecuación característica tiene la forma

k 3 + 3 k 2 + 3 k + 1 = 0

(k + 1) 3 = 0,

es decir. k =- 1 - raíz de multiplicidad 3. Basándonos en la regla 2, escribimos la solución general:

j (X)=C 1 +C 2 x + C 3 X 2 .

La ecuación característica en el caso (b) es la ecuación

k 4 + 6k 2 + 9 = 0

o de otro modo,

(k 2 + 3) 2 = 0 Þ k 2 = - 3 Þ k 1, 2 = ± i.

Tenemos un par de raíces complejas conjugadas, cada una de las cuales tiene multiplicidad 2. Según la regla 3, la solución general se escribe como

j (X)=C 1 +C 2 x + C 3 +C 4 X.

De lo anterior se deduce que para cualquier ecuación lineal homogénea con coeficientes constantes es posible encontrar un sistema fundamental de soluciones y componer una solución general. En consecuencia, la solución a la ecuación no homogénea correspondiente para cualquier función continua F(X) en el lado derecho se puede encontrar usando el método de variación de constantes arbitrarias (ver sección 5.3).

Ejemplo 10. Usando el método de variación, encuentre la solución general a la ecuación no homogénea. en¢ ¢ (X) - en¢ (X) - 6en(X) = xe 2X .

Solución. Primero encontramos la solución general de la ecuación homogénea correspondiente. en¢ ¢ (X) - en¢ (X) - 6en(X) = 0. Raíces de la ecuación característica k 2 - k- 6 = 0 son k 1 = 3,k 2 = - 2, un solución general de la ecuación homogénea - función ` en ( X) =C 1 mi 3X +C 2 mi - 2X .

Buscaremos una solución a la ecuación no homogénea en la forma

en( X) = CON 1 (X)mi 3X +C 2 (X)mi 2X . (*)

Encontremos el determinante de Wronski.

W.[mi 3X , mi 2X ] = .

Compongamos un sistema de ecuaciones (12) para las derivadas de funciones desconocidas. CON ¢ 1 (X) Y CON¢ 2 (X):

Resolviendo el sistema usando las fórmulas de Cramer, obtenemos

Integrando encontramos CON 1 (X) Y CON 2 (X):

Funciones de sustitución CON 1 (X) Y CON 2 (X) en igualdad (*), obtenemos una solución general a la ecuación en¢ ¢ (X) - en¢ (X) - 6en(X) = xe 2X :

En el caso de que el lado derecho de una ecuación lineal no homogénea con coeficientes constantes tenga una forma especial, se puede encontrar una solución particular a la ecuación no homogénea sin recurrir al método de variación de constantes arbitrarias.

Considere la ecuación con coeficientes constantes.

y (norte) + un 1 año (norte– 1) +...un norte – 1 año " + un norte y = f (X), (16)

F( X) = mihacha(p norte(X)cosbx + R m(X)sinbx), (17)

Dónde p norte(X) Y habitación(X) - polinomios de grado norte Y metro respectivamente.

solución privada y*(X) de la ecuación (16) está determinada por la fórmula

en* (X) = xsmi hacha(Señor(X)cosbx + SUST.(X)sinbx), (18)

Dónde Señor(X) Y nº(X) - polinomios de grado r = máx.(norte, metro) con coeficientes inciertos , A s igual al múltiplo de la raíz k 0 = a + ib polinomio característico de la ecuación (16), y asumimos s = 0 si k 0 no es una raíz característica.

Para componer una solución particular usando la fórmula (18), necesita encontrar cuatro parámetros - a, b, r Y s. Los primeros tres se determinan desde el lado derecho de la ecuación, y r- este es en realidad el grado más alto X, que se encuentra en el lado derecho. Parámetro s encontrado a partir de la comparación de números k 0 = a + ib Y el conjunto de todas las raíces características (teniendo en cuenta las multiplicidades) de la ecuación (16), que se encuentran resolviendo la ecuación homogénea correspondiente.

Consideremos casos especiales de la forma de función (17):

1) en a ¹ 0, b= 0F(X)= mi hacha P n(X);

2) cuando a= 0, b ¹ 0F(X)= p norte(X) Conosbx + RM(X)sinbx;

3) cuando a = 0, b = 0F(X)=Pn(X).

Observación 1. Si P n (x) º 0 o Rm(x)º 0, entonces el lado derecho de la ecuación f(x) = e ax P n (x)с osbx o f(x) = e ax R m (x)sinbx, es decir contiene solo una de las funciones - coseno o seno. Pero al registrar una solución particular, ambos deben estar presentes, ya que, según la fórmula (18), cada uno de ellos se multiplica por un polinomio con coeficientes indeterminados del mismo grado r = max(n, m).

Ejemplo 11. Determine el tipo de solución parcial de una ecuación lineal homogénea de cuarto orden con coeficientes constantes si se conoce el lado derecho de la ecuación. F(X) = e x(2xcos 3x+(X 2 + 1)pecado 3X) y las raíces de la ecuación característica:

A ) k 1 =k 2 = 1, k 3 = 3,k 4 = - 1;

b ) k 1, 2 = 1 ± 3i,k 3, 4 = ± 1;

V ) k 1, 2 = 1 ± 3i,k 3, 4 = 1 ± 3i.

Solución. Del lado derecho encontramos que en la solución particular en*(X), que está determinado por la fórmula (18), parámetros: a= 1, b= 3, r= 2. Siguen siendo los mismos para los tres casos, de ahí el número k 0 que especifica el último parámetro s la fórmula (18) es igual a k 0 = 1+ 3i. En el caso (a) no hay ningún número entre las raíces características k 0 = 1 + 3i, Medio, s= 0, y una solución particular tiene la forma

y*(X) = X 0 ex(METRO 2 (X)porque 3x+N 2 (X)pecado 3X) =

= miX( (Hacha 2 +Bx+C)porque 3x+(A 1 X 2 +B 1 x+c 1)pecado 3X.

En el caso (b) el número k 0 = 1 + 3i ocurre una vez entre las raíces características, lo que significa s = 1 Y

y*(X) = x e x((Hacha 2 +Bx+C)porque 3x+(A 1 X 2 +B 1 x+c 1)pecado 3X.

Para el caso (c) tenemos s = 2 y

y*(X) =x 2 ex((Hacha 2 +Bx+C)porque 3x+(Un 1 X 2 +B 1 x+c 1)pecado 3X.

En el ejemplo 11, la solución particular contiene dos polinomios de segundo grado con coeficientes indeterminados. Para encontrar una solución, es necesario determinar los valores numéricos de estos coeficientes. Formulemos una regla general.

Para determinar los coeficientes desconocidos de polinomios. Señor(X) Y nº(X) la igualdad (17) se deriva el número requerido de veces y se sustituye la función y*(X) y sus derivadas en la ecuación (16). Comparando sus lados izquierdo y derecho, se obtiene un sistema de ecuaciones algebraicas para encontrar los coeficientes.

Ejemplo 12. Encuentra una solución a la ecuación. en¢ ¢ (X) - en¢ (X) - 6en(X) = xe 2X, habiendo determinado una solución particular de la ecuación no homogénea mediante la forma del lado derecho.

Solución. La solución general de la ecuación no homogénea tiene la forma

en( X) = ` en(X)+ y*(X),

Dónde ` en ( X) - la solución general de la ecuación homogénea correspondiente, y y*(X) - solución particular de una ecuación no homogénea.

Primero resolvemos la ecuación homogénea. en¢ ¢ (X) - en¢ (X) - 6en(X) = 0. Su ecuación característica k 2 - k- 6 = 0 tiene dos raíces k 1 = 3,k 2 = - 2, por eso, ` en ( X) =C 1 mi 3X +C 2 mi - 2X .

Usemos la fórmula (18) para determinar el tipo de solución particular. en*(X). Función F(X) = xe 2X representa un caso especial (a) de la fórmula (17), mientras que un = 2,segundo = 0 Y r= 1, es decir. k 0 = 2 + 0yo = 2. Comparando con las raíces características, concluimos que s = 0. Sustituyendo los valores de todos los parámetros en la fórmula (18), tenemos y*(X) = (Ah + B)mi 2X .

Para encontrar los valores A Y EN, Encontremos las derivadas de primer y segundo orden de la función. y*(X) = (Ah + B)mi 2X :

y*¢ (X)= Ae 2X + 2(Ah + B)mi 2X = (2Ah + Ah + 2B)mi 2x,

y*¢ ¢ (X) = 2ae 2X + 2(2Ah + Ah + 2B)mi 2X = (4Ah + 4A+ 4B)mi 2X .

Después de la sustitución de funciones y*(X) y sus derivadas en la ecuación que tenemos

(4Ah + 4A+ 4B)mi 2X - (2Ah + Ah + 2B)mi 2X - 6(Ah + B)mi 2X =xe 2X Þ Þ A =- 1/4,B=- 3/16.

Por tanto, una solución particular de la ecuación no homogénea tiene la forma

y*(X) = (- 1/4X- 3/16)mi 2X ,

y la solución general - en ( X) =C 1 mi 3X +C 2 mi - 2X + (- 1/4X- 3/16)mi 2X .

Nota 2.En el caso de que el problema de Cauchy se plantee para una ecuación no homogénea, primero se debe encontrar una solución general a la ecuación

en( X) = ,

habiendo determinado todos los valores numéricos de los coeficientes en en*(X). Luego use las condiciones iniciales y, sustituyéndolas en la solución general (y no en y*(X)), encuentre los valores de las constantes. C yo.

Ejemplo 13. Encuentre una solución al problema de Cauchy:

en¢ ¢ (X) - en¢ (X) - 6en(X) = xe 2X ,y(0) = 0, y ¢ (X) = 0.

Solución. La solución general de esta ecuación es

en(X) =C 1 mi 3X +C 2 mi - 2X + (- 1/4X- 3/16)mi 2X

se encontró en el ejemplo 12. Para encontrar una solución particular que satisfaga las condiciones iniciales de este problema de Cauchy, obtenemos un sistema de ecuaciones

Resolviendolo tenemos C 1 = 1/8, C 2 = 1/16. Por tanto, la solución al problema de Cauchy es la función

en(X) = 1/8mi 3X + 1/16mi - 2X + (- 1/4X- 3/16)mi 2X .

Nota 3(principio de superposición). Si en una ecuación lineal ln[y(X)]=f(X), Dónde F(X) =f 1 (X)+f 2 (X) Y y* 1 (X) - solución a la ecuación ln[y(X)]=f 1 (X), A y* 2 (X) - solución a la ecuación ln[y(X)]=f 2 (X), entonces la función y*(X)= y* 1 (X)+ y* 2 (X) es resolviendo la ecuación ln[y(X)]=f(X).

Ejemplo 14. Indicar el tipo de solución general de una ecuación lineal.

en¢ ¢ (X) + 4en(X) = x + senx.

Solución. Solución general de la ecuación homogénea correspondiente.

` en(X) =C 1 porque 2x + C 2 pecado 2X,

desde la ecuación característica k 2 + 4 = 0 tiene raíces k 1, 2 = ± 2i.El lado derecho de la ecuación no corresponde a la fórmula (17), pero si introducimos la notación F 1 (X) =x, F 2 (X) = sinx y utilizar el principio de superposición , entonces se puede encontrar una solución particular a la ecuación no homogénea en la forma y*(X)= y* 1 (X)+ y* 2 (X), Dónde y* 1 (X) - solución a la ecuación en¢ ¢ (X) + 4en(X) =x, A y* 2 (X) - solución a la ecuación en¢ ¢ (X) + 4en(X) = sinx. Según la fórmula (18)

y* 1 (X) = Hacha + B,y* 2 (X) = Ссosx + Dsinx.

Entonces la solución particular

y*(X) = Ax + B + Ccosx + Dsenx,

por lo tanto, la solución general tiene la forma

en(X) =C 1 porque 2x + C 2 mi - 2X +A x + B + Ccosx + Dsinx.

Ejemplo 15. Un circuito eléctrico consta de una fuente de corriente conectada en serie con una fem. mi(t) = E pecadow t, inductancia l y contenedores CON, y

Fundamentos de la resolución de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden (LNDE-2) con coeficientes constantes (PC)

Un LDDE de segundo orden con coeficientes constantes $p$ y $q$ tiene la forma $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, donde $f\left(x \right)$ es una función continua.

Con respecto a LNDU 2 con PC, las dos afirmaciones siguientes son ciertas.

Supongamos que alguna función $U$ es una solución parcial arbitraria de una ecuación diferencial no homogénea. Supongamos también que alguna función $Y$ es la solución general (GS) de la correspondiente ecuación diferencial lineal homogénea (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Entonces la GS de LHDE-2 es igual a la suma de las soluciones privadas y generales indicadas, es decir, $y=U+Y$.

Si el lado derecho de un LMDE de segundo orden es una suma de funciones, es decir, $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \right)+ ..+f_(r) \left(x\right)$, entonces primero podemos encontrar los PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ que corresponden. a cada una de las funciones $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, y después de eso escriba el CR LNDU-2 en la forma $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

Solución de LPDE de 2do orden con PC

Es obvio que el tipo de uno u otro PD $U$ de un LNDU-2 dado depende de la forma específica de su lado derecho $f\left(x\right)$. Los casos más simples de búsqueda de PD LNDU-2 se formulan en forma de las siguientes cuatro reglas.

Regla 1.

El lado derecho de LNDU-2 tiene la forma $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, donde $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, es decir, se llama a polinomio de grado $n$. Entonces su PD $U$ se busca en la forma $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, donde $Q_(n) \left(x\right)$ es otra polinomio de ese mismo grado que $P_(n) \left(x\right)$, y $r$ es el número de raíces de la ecuación característica del LODE-2 correspondiente que son iguales a cero. Los coeficientes del polinomio $Q_(n) \left(x\right)$ se encuentran mediante el método de coeficientes indefinidos (UK).

Regla número 2.

El lado derecho de LNDU-2 tiene la forma $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, donde $P_(n) \left( x\right)$ es un polinomio de grado $n$. Entonces su PD $U$ se busca en la forma $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, donde $Q_(n ) \ left(x\right)$ es otro polinomio del mismo grado que $P_(n) \left(x\right)$, y $r$ es el número de raíces de la ecuación característica del correspondiente LODE-2 igual a $\alfa $. Los coeficientes del polinomio $Q_(n) \left(x\right)$ se encuentran mediante el método NC.

Regla número 3.

El lado derecho de LNDU-2 tiene la forma $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, donde $a$, $b$ y $\beta$ son números conocidos. Entonces su PD $U$ se busca en la forma $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \right )\cdot x^(r) $, donde $A$ y $B$ son coeficientes desconocidos, y $r$ es el número de raíces de la ecuación característica de la LODE-2 correspondiente, igual a $i\cdot \beta$. Los coeficientes $A$ y $B$ se encuentran utilizando el método no destructivo.

Regla número 4.

El lado derecho de LNDU-2 tiene la forma $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, donde $P_(n) \left(x\right)$ es un polinomio de grado $ n$, y $P_(m) \left(x\right)$ es un polinomio de grado $m$. Entonces su PD $U$ se busca en la forma $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, donde $Q_(s) \left(x\right)$ y $ R_(s) \left(x\right)$ son polinomios de grado $s$, el número $s$ es el máximo de dos números $n$ y $m$, y $r$ es el número de raíces de la ecuación característica de la LODE-2 correspondiente, igual a $\alpha +i\cdot \beta $. Los coeficientes de los polinomios $Q_(s) \left(x\right)$ y $R_(s) \left(x\right)$ se encuentran mediante el método NC.

El método NK consiste en aplicar la siguiente regla. Para encontrar los coeficientes desconocidos del polinomio que forman parte de la solución parcial de la ecuación diferencial no homogénea LNDU-2, es necesario:

• sustituir el PD $U$, escrito en forma general, en el lado izquierdo de LNDU-2;
• en el lado izquierdo de LNDU-2, realice simplificaciones y agrupe términos con las mismas potencias $x$;
• en la identidad resultante, igualar los coeficientes de términos con las mismas potencias $x$ de los lados izquierdo y derecho;
• Resuelva el sistema resultante de ecuaciones lineales para coeficientes desconocidos.

Ejemplo 1

Tarea: encontrar OR LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Encuentra también PD , satisfaciendo las condiciones iniciales $y=6$ para $x=0$ y $y"=1$ para $x=0$.

Anotamos el LOD-2 correspondiente: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Ecuación característica: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Las raíces de la ecuación característica son: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Estas raíces son válidas y distintas. Por lo tanto, el OR de la LODE-2 correspondiente tiene la forma: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

El lado derecho de este LNDU-2 tiene la forma $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Es necesario considerar el coeficiente del exponente $\alpha =3$. Este coeficiente no coincide con ninguna de las raíces de la ecuación característica. Por lo tanto, la PD de este LNDU-2 tiene la forma $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Buscaremos los coeficientes $A$, $B$ usando el método NC.

Encontramos la primera derivada de la República Checa:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^(() ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Encontramos la segunda derivada de la República Checa:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^(() ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Sustituimos las funciones $U""$, $U"$ y $U$ en lugar de $y""$, $y"$ y $y$ en el NLDE-2 $y""-3\cdot y" dado -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x $ Además, dado que el exponente $e^(3\cdot x) $ se incluye como factor. en todos los componentes, entonces se puede omitir. Obtenemos:

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

Realizamos las acciones en el lado izquierdo de la igualdad resultante:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Utilizamos el método END. Obtenemos un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

La solución a este sistema es: $A=-2$, $B=-1$.

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ para nuestro problema se ve así: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

El OR $y=Y+U$ para nuestro problema se ve así: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ izquierda(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Para buscar una PD que satisfaga las condiciones iniciales dadas, encontramos la derivada $y"$ del OP:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Sustituimos en $y$ y $y"$ las condiciones iniciales $y=6$ por $x=0$ y $y"=1$ por $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Recibimos un sistema de ecuaciones:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

Resolvámoslo. Encontramos $C_(1) $ usando la fórmula de Cramer, y $C_(2) $ lo determinamos a partir de la primera ecuación:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ comenzar(matriz)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

Por lo tanto, la PD de esta ecuación diferencial tiene la forma: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $.