Determinación de rectas y planos perpendiculares en el espacio. Recta y plano perpendiculares, signo y condiciones de perpendicularidad de recta y plano

Esquema de una lección de geometría en el grado 10 sobre el tema "Perpendicularidad de una línea recta y un plano"

Objetivos de la lección:

educativo

introducción del signo de perpendicularidad de una recta y un plano;

formar ideas de los estudiantes sobre la perpendicularidad de una línea recta y un plano, sus propiedades;

desarrollar la capacidad de los estudiantes para resolver problemas típicos sobre un tema, la capacidad de probar afirmaciones;

desarrollando

desarrollar independencia y actividad cognitiva;

Desarrollar la capacidad de analizar, sacar conclusiones, sistematizar la información recibida,

desarrollar el pensamiento lógico;

Desarrollar la imaginación espacial.

educativo

fomentar la cultura del habla y la perseverancia de los estudiantes;

Inculcar en los estudiantes el interés por el tema.

Tipo de lección: Lección de estudio y consolidación primaria de conocimientos.

Formas de trabajo de los estudiantes: estudio frontal.

Equipo: computadora, proyector, pantalla.

Literatura:"Geometría 10-11", Libro de texto. Atanasyan L.S. y etc.

(2009, 255 págs.)

Plan de estudios:

Momento organizacional (1 minuto);

Actualización de conocimientos (5 minutos);

Aprender material nuevo (15 minutos);

Consolidación primaria del material estudiado (20 minutos);

Resumiendo (2 minutos);

Tarea (2 minutos).

Durante las clases.

Momento organizacional (1 minutos)

Saludo a los estudiantes. Comprobar la preparación de los estudiantes para la lección: comprobar la disponibilidad de cuadernos y libros de texto. Control de ausencias a clase.

Actualización de conocimientos (5 minutos)

Maestro. ¿Qué recta se llama perpendicular al plano?

Alumno. Una línea perpendicular a cualquier línea que se encuentre en este plano se llama línea perpendicular a este plano.

Maestro. ¿Cuál es el lema de dos rectas paralelas perpendiculares a una tercera?

Alumno. Si una de dos líneas paralelas es perpendicular a la tercera línea, entonces la otra línea es perpendicular a esta línea.

Maestro. Teorema sobre la perpendicularidad de dos rectas paralelas a un plano.

Alumno. Si una de dos rectas paralelas es perpendicular a un plano, entonces la segunda recta es perpendicular a ese plano.

Maestro. ¿Cómo suena lo contrario de este teorema?

Alumno. Si dos rectas son perpendiculares al mismo plano, entonces son paralelas.

revisando la tarea

La tarea se revisa si los estudiantes tienen dificultades para resolverla.

Aprender material nuevo (15 minutos)

Maestro. Usted y yo sabemos que si una línea es perpendicular a un plano, entonces será perpendicular a cualquier línea que se encuentre en este plano, pero en la definición, la perpendicularidad de una línea a un plano se da como un hecho. En la práctica, a menudo es necesario determinar si una línea recta será perpendicular al plano o no. Se pueden dar ejemplos de la vida real: durante la construcción de edificios, los pilotes se hincan perpendicularmente a la superficie de la tierra, de lo contrario la estructura podría colapsar. En este caso, es imposible utilizar la definición de plano perpendicular recto. ¿Por qué? ¿Cuántas líneas rectas se pueden dibujar en un plano?

Alumno. En un plano se pueden dibujar infinitas líneas rectas.

Maestro. Bien. Y es imposible comprobar la perpendicularidad de una línea recta a cada plano individual, ya que esto llevará un tiempo infinitamente largo. Para saber si una recta es perpendicular a un plano, introducimos el signo de perpendicularidad de una recta y un plano. Anótalo en tu cuaderno. Si una línea es perpendicular a dos líneas que se cruzan en un plano, entonces es perpendicular a este plano.

Escribiendo en un cuaderno. Si una línea es perpendicular a dos líneas que se cruzan en un plano, entonces es perpendicular a este plano.

Maestro. Por tanto, no es necesario comprobar la perpendicularidad de una recta para cada plano recto; basta con comprobar la perpendicularidad sólo para dos rectas de este plano;

Maestro. Probemos este signo.

Dado: pag Y q- derecho, pag ∩ q = oh, a⊥ pag, a⊥ q, pag ϵ α, q ϵ α.

Probar: a⊥ α.

Maestro. Y sin embargo, para demostrarlo usaremos la definición de recta perpendicular a un plano, ¿qué te parece?

Alumno. Si una recta es perpendicular a un plano, entonces es perpendicular a cualquier recta que se encuentre en ese plano.

Maestro. Bien. Dibujemos cualquier recta m en el plano α. Dibujemos una línea recta l ║ m que pase por el punto O. En la recta a, marca los puntos A y B de modo que el punto O sea el punto medio del segmento AB. Dibujemos una línea recta z de tal manera que cruce las líneas p, q, l, denotamos los puntos de intersección de estas líneas como P, Q, L, respectivamente; Conectemos los extremos del segmento AB con los puntos P,Q y L.

Maestro. ¿Qué podemos decir de los triángulos ∆APQ y ∆BPQ?

Alumno. Estos triángulos serán iguales (según el tercer signo de igualdad de triángulos).

Maestro. ¿Por qué?

Alumno. Porque Las rectas p y q son bisectrices perpendiculares, entonces AP = BP, AQ = BQ y el lado PQ es común.

Maestro. Bien. ¿Qué podemos decir de los triángulos ∆APL y ∆BPL?

Alumno. Estos triángulos también serán iguales (según 1 signo de igualdad de triángulos).

Maestro. ¿Por qué?

Alumno. AP = B.P., P.L.– lado general, APL =  BPL(de la igualdad ∆ APQ y ∆ B.P.Q.)

Maestro. Bien. Esto significa AL = BL. Entonces, ¿cuál será ∆ALB?

Alumno. Esto significa que ∆ALB será isósceles.

Maestro. LO es la mediana en ∆ALB, entonces, ¿cuál será en este triángulo?

Alumno. Esto significa que LO también será la altura.

Maestro. Por lo tanto rectoyoserá perpendicular a la líneaa. Y como es rectoyoes cualquier línea recta que pertenece al plano α, entonces por definición una línea rectaa⊥ α. Q.E.D.

Probado por presentación

Maestro. ¿Qué hacer si la recta a no corta el punto O, pero permanece perpendicular a las rectas p y q? ¿Qué pasa si la recta a corta cualquier otro punto del plano dado?

Alumno. Puedes construir una línea recta. 1 , que será paralela a la recta a, cortará el punto O, y usando el lema de dos rectas paralelas perpendiculares a la tercera, se puede demostrar quea 1 ⊥ pag, a 1 ⊥ q.

Maestro. Bien.

Consolidación primaria del material estudiado (20 minutos)

Maestro. Para consolidar el material que hemos estudiado, resolveremos el número 126. Lee la tarea.

Alumno. La recta MB es perpendicular a los lados AB y BC del triángulo ABC. Determine el tipo de triángulo МВD, donde D es un punto arbitrario de la línea AC.

Dibujo.

Dado: ∆ A B C, MEGABYTE.⊥ LICENCIADO EN LETRAS., MEGABYTE.⊥ ANTES DE CRISTO., D ϵ C.A..

Encontrar: ∆ MBD.

Solución.

Maestro. ¿Es posible dibujar un plano que pase por los vértices de un triángulo?

Alumno. Sí tu puedes. El avión se puede dibujar a lo largo de tres puntos.

Maestro. ¿Cómo se ubicarán las rectas BA y NE con respecto a este plano?

Alumno. Estas líneas estarán en este plano.

Maestro. Resulta que tenemos un avión y en él hay dos líneas que se cruzan. ¿Cómo se relaciona el MV directo con estas líneas directas?

Alumno. VM directa⊥ VA, VM ⊥ VS.

Escriba en la pizarra y en cuadernos. Porque VM⊥ VA, VM ⊥ VS

Maestro. Si una recta es perpendicular a dos rectas que se cruzan en un plano, ¿estará relacionada la recta con este plano?

Alumno. La recta MV será perpendicular al plano ABC.

⊥ABC.

Maestro. El punto D es un punto arbitrario en el segmento AC, entonces, ¿cómo se relaciona la línea recta BD con el plano ABC?

Alumno. Esto significa que BD pertenece al plano ABC.

Escriba en la pizarra y en cuadernos. Porque BD ϵ ABC

Maestro. ¿Cuáles serán los MV y BD directos entre sí?

Alumno. Estas líneas serán perpendiculares por definición de línea perpendicular al plano.

Escriba en la pizarra y en cuadernos. ↔ VM⊥ BD

Maestro. Si MB es perpendicular a BD, ¿cuál será el triángulo MBD?

Alumno. El triángulo MBD será rectangular.

Escriba en la pizarra y en cuadernos. ↔ ∆MBD – rectangular.

Maestro. Bien. Resolvamos el número 127. Lee la tarea.

Alumno. en un trianguloA B C suma de angulos A Y Bigual a 90°. DerechoBDperpendicular al planoA B C. Pruebalo CD⊥ C.A.

El alumno se acerca al pizarrón. Hace un dibujo.

Escribe en la pizarra y en tu cuaderno.

Dado: ∆ A B C,  A +  B= 90°, BD⊥ A B C.

Probar: CD⊥ C.A..

Prueba:

Maestro. ¿Cuál es la suma de los ángulos de un triángulo?

Alumno. La suma de los ángulos de un triángulo es 180°.

Maestro. ¿Cuál será el ángulo C en el triángulo ABC?

Alumno. El ángulo C en el triángulo ABC será igual a 90°.

Escriba en la pizarra y en cuadernos. C = 180° - A- B= 90°

Maestro. Si el ángulo C mide 90°, ¿cómo se ubicarán las líneas rectas AC y BC entre sí?

Alumno. entonces aire acondicionado⊥ dom.

Escriba en la pizarra y en cuadernos. ↔ aire acondicionado⊥ sol

Maestro. La recta BD es perpendicular al plano ABC. ¿Qué se sigue de esto?

Alumno. Entonces BD es perpendicular a cualquier recta que parta de ABC.

BD⊥ A B C ↔ BDperpendicular a cualquier rectaA B C(un priorato)

Maestro. Según esto, ¿cómo se relacionarán directamente BD y AC?

Alumno. Esto significa que estas líneas serán perpendiculares.

BD⊥ C.A.

Maestro. AC es perpendicular a dos líneas que se cruzan en el plano DBC, pero AC no pasa por el punto de intersección. ¿Como arreglarlo?

Alumno. Por el punto B trazamos una recta paralela a AC. Dado que AC es perpendicular a BC y BD, entonces a será perpendicular a BC y BD según el lema.

Escriba en la pizarra y en cuadernos. Por el punto B trazamos una recta a ║AC ↔ a⊥ ANTES DE CRISTO., y ⊥ BD

Maestro. Si la recta a es perpendicular a BC y BD, ¿qué se puede decir acerca de la posición relativa de la recta a y el plano BDC?

Alumno. Esto significa que la recta a será perpendicular al plano BDC y, por tanto, la recta AC será perpendicular a BDC.

Escriba en la pizarra y en cuadernos. ↔ un⊥ BDC↔ CA ⊥ BDC.

Maestro. Si AC es perpendicular a BDC, ¿cómo se ubicarán las líneas AC y DC entre sí?

Alumno. AC y DC serán perpendiculares por definición de una línea perpendicular al plano.

Escriba en la pizarra y en cuadernos. Porque C.A.⊥ BDC↔ CA ⊥ corriente continua

Maestro. Bien hecho. Resolvamos el número 129. Lea la tarea.

Alumno. DerechoSOY.perpendicular al plano del cuadradoA B C D, cuyas diagonales se cortan en el punto O. Demuestre que: a) rectaBDperpendicular al planoAmo; b)MES.⊥ BD.

Un estudiante se acerca a la pizarra. Hace un dibujo.

Escribe en la pizarra y en tu cuaderno.

Dado:A B C D- cuadrado,SOY.⊥ A B C D, C.A. ∩ BD = oh

Probar:BD⊥ AMO, MO⊥ BD

Prueba:

Maestro. Necesitamos demostrar que la línea rectaBD⊥ Amo. ¿Qué condiciones deben darse para que esto suceda?

Alumno. tiene que ser recto BD era perpendicular a al menos dos líneas rectas que se cruzaban desde el plano AMO.

Maestro. La condición dice que BD perpendicular a dos líneas que se cruzan¿AMO?

Alumno. No.

Maestro. Pero sabemos que SOY. perpendicular A B C D . ¿Qué conclusión se puede sacar de esto?

Alumno. significa que SOY. perpendicular a cualquier línea recta desde este plano, es decir SOY. perpendicular B.D.

SOY.⊥ A B C D ↔ SOY.⊥ BD(un-priorato).

Maestro. Una recta es perpendicular BD Hay. Preste atención al cuadrado, cómo se ubicarán las líneas rectas entre sí.¿AC y BD?

Alumno. C.A. será perpendicular BD por la propiedad de las diagonales de un cuadrado.

Escribe en la pizarra y en tu cuaderno. PorqueA B C D- cuadrado, entoncesC.A.⊥ BD(por la propiedad de las diagonales de un cuadrado)

Maestro. Encontramos dos líneas que se cruzan en el plano. Amo perpendicular a una recta BD . ¿Qué se sigue de esto?

Alumno. significa que BD perpendicular al plano AMO.

Escriba en la pizarra y en cuadernos. PorqueC.A.⊥ BDYSOY.⊥ BD ↔ BD⊥ Amo(por atributo)

Maestro. ¿Qué recta se llama recta perpendicular a un plano?

Alumno. Una recta se llama perpendicular a un plano si es perpendicular a cualquier recta procedente de ese plano.

Maestro. Esto significa cómo se interconectan las líneas.¿BD y OM?

Alumno. entonces bd perpendicular om . Q.E.D.

Escriba en la pizarra y en cuadernos. ↔BD⊥ MES.(un-priorato). Q.E.D.

Resumiendo (2 minutos)

Maestro. Hoy estudiamos el signo de perpendicularidad de una recta y un plano. ¿Cómo suena?

Alumno. Si una línea es perpendicular a dos líneas que se cruzan en un plano, entonces esta línea es perpendicular a este plano.

Maestro. Bien. Aprendimos a utilizar esta función al resolver problemas. Enhorabuena a quienes respondieron en el pizarrón y ayudaron desde el lugar.

Tarea (2 minutos)

Maestro. El párrafo 1, párrafos 15 a 17, enseña: lema, definición y todos los teoremas. N° 130, 131.

En este artículo hablaremos de la perpendicularidad de una recta y un plano. Primero, se da la definición de una línea perpendicular a un plano, se da una ilustración gráfica y un ejemplo, y se muestra la designación de una línea perpendicular a un plano. Después de esto, se formula el signo de perpendicularidad de una recta y un plano. A continuación se obtienen condiciones que permiten demostrar la perpendicularidad de una recta y un plano, cuando la recta y el plano están especificados por determinadas ecuaciones en un sistema de coordenadas rectangular en un espacio tridimensional. En conclusión, se muestran soluciones detalladas a ejemplos y problemas típicos.

Navegación de páginas.

Recta perpendicular y plano: información básica.

Te recomendamos repetir primero la definición de rectas perpendiculares, ya que la definición de recta perpendicular a un plano viene dada por la perpendicularidad de las rectas.

Definición.

Ellos dijeron eso la recta es perpendicular al plano, si es perpendicular a cualquier recta que se encuentre en este plano.

También podemos decir que un plano es perpendicular a una recta, o que una recta y un plano son perpendiculares.

Para indicar perpendicularidad, utilice un icono como "". Es decir, si la recta c es perpendicular al plano, entonces podemos escribir brevemente .

Un ejemplo de línea perpendicular a un plano es la línea a lo largo de la cual se cruzan dos paredes adyacentes de una habitación. Esta línea es perpendicular al plano y al plano del techo. Una cuerda en un gimnasio también se puede considerar como un segmento de línea recta perpendicular al plano del suelo.

Como conclusión de este párrafo del artículo, observamos que si una línea recta es perpendicular a un plano, entonces el ángulo entre la línea recta y el plano se considera igual a noventa grados.

Perpendicularidad de una línea recta y un plano: signo y condiciones de perpendicularidad.

En la práctica, a menudo surge la pregunta: "¿Son perpendiculares la línea recta y el plano dados?" Para responder a esto hay Condición suficiente para la perpendicularidad de una recta y un plano., es decir, tal condición, cuyo cumplimiento garantiza la perpendicularidad de la recta y el plano. Esta condición suficiente se llama signo de perpendicularidad de una recta y un plano. Formulémoslo en forma de teorema.

Teorema.

Para que una línea y un plano dados sean perpendiculares, es suficiente que la línea sea perpendicular a dos líneas que se cruzan y que se encuentran en este plano.

Puede consultar la prueba del signo de perpendicularidad de una línea recta y un plano en un libro de texto de geometría para los grados 10-11.

Al resolver problemas para establecer la perpendicularidad de una línea recta y un plano, también se suele utilizar el siguiente teorema.

Teorema.

Si una de dos rectas paralelas es perpendicular a un plano, entonces la segunda recta también es perpendicular al plano.

En la escuela se consideran muchos problemas, para cuya solución se utiliza el signo de perpendicularidad de una recta y un plano, así como el último teorema. No nos detendremos aquí en ellos. En esta sección del artículo nos centraremos en la aplicación de la siguiente condición necesaria y suficiente para la perpendicularidad de una recta y un plano.

Esta condición se puede reescribir de la siguiente forma.

Dejar es el vector de dirección de la línea a, y es el vector normal del avión. Para que la recta a y el plano sean perpendiculares, es necesario y suficiente que Y : , donde t es un número real.

La prueba de esta condición necesaria y suficiente para la perpendicularidad de una recta y un plano se basa en las definiciones del vector director de una recta y del vector normal de un plano.

Obviamente, esta condición es conveniente para demostrar la perpendicularidad de una recta y un plano, cuando las coordenadas del vector director de la recta y las coordenadas del vector normal del plano en un espacio tridimensional fijo se pueden encontrar fácilmente. . Esto es cierto para los casos en los que se dan las coordenadas de los puntos por los que pasan el plano y la línea, así como para los casos en los que la línea está determinada por algunas ecuaciones de una línea en el espacio y el plano está dado por la ecuación de un avión de algún tipo.

Veamos soluciones a varios ejemplos.

Ejemplo.

Demostrar la perpendicularidad de la recta. y aviones.

Solución.

Sabemos que los números en los denominadores de las ecuaciones canónicas de una recta en el espacio son las coordenadas correspondientes del vector director de esta recta. De este modo, - vector directo .

Los coeficientes de las variables x, y y z en la ecuación general de un plano son las coordenadas del vector normal de este plano, es decir, es el vector normal del avión.

Comprobemos el cumplimiento de la condición necesaria y suficiente para la perpendicularidad de una recta y un plano.

Porque , entonces los vectores y están relacionados por la relación , es decir, son colineales. Por lo tanto, directamente perpendicular al plano.

Ejemplo.

¿Las rectas son perpendiculares? y avión.

Solución.

Encontremos el vector director de una recta dada y el vector normal del plano para comprobar si se cumple la condición necesaria y suficiente para la perpendicularidad de la recta y el plano.

El vector director es recto. es

Para que una línea recta en el espacio sea un plano, es necesario y suficiente que en el diagrama la proyección horizontal de la línea sea una proyección horizontal de la horizontal, y la proyección frontal sea a la proyección frontal del frente de esta. avión.

Determinar la distancia de un punto a un plano.(Figura 19)

1. Desde un punto bajar una perpendicular al plano (para hacerlo en el plano

mantenga h,f);

2. Encuentre el punto de intersección de la línea recta con el plano (ver Fig. 18);

3. Encuentra n.v. segmento perpendicular (ver Fig. 7).

Segunda sección Método de sustitución de planos de proyección.

(para las tareas 5, 6,7)

Esta figura geométrica queda inmóvil en el sistema de planos de proyección. Se instalan nuevos planos de proyección para que las proyecciones obtenidas sobre los mismos aporten una solución racional al problema considerado. En este caso, cada nuevo sistema de planos de proyección debe ser un sistema ortogonal. Después de proyectar objetos en planos, se combinan en uno solo girándolos alrededor de líneas rectas comunes (ejes de proyección) de cada par de planos mutuamente perpendiculares.

Por ejemplo, supongamos que el punto A se especifique en un sistema de dos planos P 1 y P 2. Complementemos el sistema con otro plano P 4 (Fig.20), P 1 P 4. Tiene una línea común X 14 con el plano P 1. Construimos una proyección de A 4 sobre P 4.

AA1 =A2A12 =A4A14.

En la Fig. 21, donde los planos P 1, P 2 y P 4 se alinean, este hecho está determinado por el resultado A 1 A 4 X 14, y A 14 A 4 A 2 A 12.

La distancia de la nueva proyección del punto al nuevo eje de proyección (A 4 A 14) es igual a la distancia desde la proyección reemplazada del punto al eje reemplazado (A 2 A 12).

Una gran cantidad de problemas métricos de geometría descriptiva se resuelven a partir de los siguientes cuatro problemas:

1. Transformación de una recta de posición general en una recta de nivel (Fig.22):

a) P 4 || AB (eje X 14 || A 1 B 1);

b) A 1 A 4 X 14; B 1 B 4 X 14 ;

c) A 4 A 14 = A 12 A 2;

V 4 V 14 = V 12 V 2;

A 4 B 4 - n.v.

2. Conversión de una línea general en una línea saliente (Fig.23):

a) P 4 || AB (X 14 || A 1 B 1);

A 1 A 4 X 14;

B 1 B 4 X 14 ;

Un 14 Un 4 = Un 12 Un 2;

V 14 V 4 = V 12 V 2;

A 4 B 4 - presente;

b) P 5 AB (X 45 A 4 B 4);

A 4 A 5 X 45;

B 4 B 5 X 45 ;

A 45 A 5 =B 45 V 5 =A 14 A 1 =B 14 V 1;

3. Conversión del plano de posición general a la posición de proyección (Fig. 24):

El avión se puede llevar a una posición saliente si se hace que una línea recta del avión sobresalga. En el plano ABC dibujamos una línea horizontal (h 2, h 1), que se puede hacer proyectada en una transformación. Dibujemos el plano P 4 perpendicular a la horizontal; sobre este plano se proyectará como un punto, y el plano del triángulo como una recta.

4. Transformación del plano de posición general en plano de nivel (Fig. 25).

Haz que el avión sea un plano nivelado usando dos transformaciones. Primero, el plano debe sobresalir (ver Fig. 25) y luego dibujar P 5 || A 4 B 4 C 4, obtenemos A 5 B 5 C 5 - n.v.

Problema #5

Determine la distancia desde el punto C a una línea recta en posición general (Fig. 26).

La solución se reduce al segundo problema principal. Entonces la distancia en el diagrama se define como la distancia entre dos puntos

A 5 B 5 D 5 y C 5.

Proyección C 4 D 4 || X 45.

Problema #6

Determine la distancia desde ()D al plano especificado por los puntos A, B, C (Fig. 27).

El problema se resuelve utilizando el segundo problema principal. La distancia (E 4 D 4), desde ()D 4 hasta la recta A 4 C 4 B 4, en la que se proyectó el plano ABC, es el valor natural del segmento ED.

Proyección D 1 E 1 || X14;

mi 2 mi x12 = mi 4 mi x14.

Constrúyalo usted mismo D 1 E 1.

Constrúyalo usted mismo D 2 E 2.

Problema número 7

Determine el tamaño real del triángulo ABC (ver solución al cuarto problema principal) (Fig. 25)

Construcción Línea recta perpendicular a un plano dado desde un punto fuera de este plano.
Dejar a- plano, A – el punto desde el cual se debe bajar la perpendicular. Dibujemos una línea recta en el avión. A. Por el punto A y la recta A dibujemos un avión b(una recta y un punto definen un plano, y sólo uno). En plano b desde el punto A bajamos a una línea recta A perpendicular AB. Del punto B al avión a Restablezcamos la perpendicular y designemos la línea recta en la que se encuentra esta perpendicular más allá Con. Por el segmento AB y la recta Con dibujemos un avión gramo(dos líneas que se cruzan definen un plano, y solo una). En plano gramo desde el punto A bajamos a una línea recta Con perpendicular a AC. Demostremos que el segmento AC es perpendicular al plano. b. Prueba. Derecho A perpendicular a rectas Con y AB (por construcción), lo que significa que es perpendicular al plano mismo gramo, en el que se encuentran estas dos líneas que se cruzan (basado en la perpendicularidad de la línea y el plano). Y como es perpendicular a este plano, entonces es perpendicular a cualquier línea recta en este plano, lo que significa que es una línea recta. A perpendicular a AC. La línea AC es perpendicular a dos líneas que se encuentran en el plano α: Con(por construcción) y A(según lo comprobado), significa que es perpendicular al plano α (en base a la perpendicularidad de la recta y el plano)

Teorema 1 . Si dos rectas que se cortan son paralelas a dos rectas perpendiculares, entonces también son perpendiculares.
Prueba. Dejar A Y b- lineas perpendiculares, A 1 y b 1 - líneas que se cruzan paralelas a ellas. Demostremos que las rectas A 1 y b 1 son perpendiculares.
si es heterosexual A, b, A 1 y b 1 se encuentran en el mismo plano, entonces tienen la propiedad especificada en el teorema, como se sabe por planimetría.
Supongamos ahora que nuestras líneas no se encuentran en el mismo plano. Entonces recto A Y b se encuentran en algún plano α, y las líneas rectas A 1 y b 1 - en algún plano β. Según el paralelismo de los planos, los planos α y β son paralelos. Sea C el punto de intersección de las rectas A Y b, y C 1 - intersecciones de líneas A 1 y b 1 . Dibujemos en el plano líneas paralelas. A Y A A Y A 1 en los puntos A y A 1. En el plano de rectas paralelas. b Y b 1 recta paralela a la recta CC 1. Ella cruzará las líneas b Y b 1 en los puntos B y B 1.
Los cuadriláteros CAA 1 C 1 y SVV 1 C 1 son paralelogramos, ya que sus lados opuestos son paralelos. El cuadrilátero ABC 1 A 1 también es un paralelogramo. Sus lados AA 1 y BB 1 son paralelos, porque cada uno de ellos es paralelo a la recta CC 1. Por tanto, el cuadrilátero se encuentra en el plano que pasa por las rectas paralelas AA 1 y BB 1. Y cruza los planos paralelos α y β a lo largo de rectas paralelas AB y A 1 B 1.
Dado que los lados opuestos de un paralelogramo son iguales, entonces AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1. Según el tercer signo de igualdad, los triángulos ABC y A 1 B 1 C 1 son iguales. Entonces, el ángulo A 1 C 1 B 1, igual al ángulo ACB, es recto, es decir derecho A 1 y b 1 son perpendiculares. Etc.

Propiedades Perpendicular a una recta y a un plano.
Teorema 2 . Si un plano es perpendicular a una de dos rectas paralelas, entonces también lo es a la otra.
Prueba. Dejar A 1 y A 2 - dos rectas paralelas y α - un plano perpendicular a la recta A 1 . Demostremos que este plano es perpendicular a la recta. A 2 .
Dibujemos 2 intersecciones de una recta que pasa por el punto A. A 2 con plano α una recta arbitraria Con 2 en el plano α. Dibujemos en el plano α que pasa por el punto A 1 la intersección de la recta A 1 con plano α recto Con 1, paralela a la línea Con 2. ya que es recto A 1 es perpendicular al plano α, luego líneas rectas A 1 y Con 1 son perpendiculares. Y según el teorema 1, las líneas que se cruzan paralelas a ellas A 2 y Con 2 también son perpendiculares. Así, directamente A 2 es perpendicular a cualquier recta Con 2 en el plano α. Y esto significa que directamente A 2 es perpendicular al plano α. El teorema ha sido demostrado.

Teorema 3 . Dos rectas perpendiculares al mismo plano son paralelas entre sí.
Tenemos un plano α y dos rectas perpendiculares a él. A Y b. Probemos que A || b.
A través de los puntos de intersección de las líneas rectas del avión, traza una línea recta. Con. Según la característica que obtenemos A ^ C Y b ^ C. A través de líneas rectas A Y b Dibujemos un plano (dos rectas paralelas definen un plano, y solo una). En este plano tenemos dos rectas paralelas A Y b y secante Con. Si la suma de los ángulos internos de un lado es 180°, entonces las rectas son paralelas. Tenemos un caso así: dos ángulos rectos. Es por eso A || b.

La construcción de líneas y planos mutuamente perpendiculares es una operación gráfica importante para resolver problemas métricos.

La construcción de una perpendicular a una recta o plano se basa en la propiedad de un ángulo recto, la cual se formula de la siguiente manera: si uno de los lados del ángulo recto es paralelo al plano de proyección y el otro no es perpendicular a él, luego el ángulo se proyecta en tamaño completo sobre este plano.

Figura 28

El lado BC del ángulo recto ABC, que se muestra en la Figura 28, es paralelo al plano P 1. En consecuencia, la proyección del ángulo ABC sobre este plano representará un ángulo recto A 1 B 1 C 1 =90.

Una recta es perpendicular a un plano si es perpendicular a dos rectas que se cruzan en ese plano. Al construir una perpendicular a partir de un conjunto de líneas rectas que pertenecen al plano, elija líneas rectas niveladas: horizontales y frontales. En este caso, la proyección horizontal de la perpendicular se realiza perpendicular a la horizontal, y la proyección frontal es perpendicular al frente. El ejemplo que se muestra en la Figura 29 muestra la construcción de una perpendicular al plano definido por el triángulo ABC desde el punto K. Para hacer esto, primero dibuje las líneas horizontal y frontal en el plano. Luego, desde la proyección frontal del punto K dibujamos una perpendicular a la proyección frontal del frontal, y desde la proyección horizontal del punto, una perpendicular a la proyección horizontal del horizontal. Luego construimos el punto de intersección de esta perpendicular con el plano utilizando el plano de corte auxiliar Σ. El punto requerido es F. Por tanto, el segmento resultante KF es perpendicular al plano ABC.

Figura 29

La Figura 29 muestra la construcción de un KF perpendicular al plano ABC.

Dos planos son perpendiculares si una recta que se encuentra en un plano es perpendicular a dos rectas que se cruzan en el otro plano. La construcción de un plano perpendicular a este plano ABC se muestra en la Figura 30. Se traza una línea recta MN que pasa por el punto M, perpendicular al plano ABC. La proyección horizontal de esta recta es perpendicular a AC, ya que AC es horizontal, y la proyección frontal es perpendicular a AB, ya que AB es frontal. Luego se traza una recta arbitraria EF que pasa por el punto M. Por lo tanto, el plano es perpendicular a ABC y está definido por dos líneas que se cruzan EF y MN.

Figura 30

Este método se utiliza para determinar los valores naturales de los segmentos en posición general, así como sus ángulos de inclinación con respecto a los planos de proyección. Para determinar el tamaño natural de un segmento mediante este método, es necesario completar un triángulo rectángulo hasta una de las proyecciones del segmento. El otro cateto será la diferencia de alturas o profundidades de los puntos finales del segmento, y la hipotenusa será el valor natural.

Consideremos un ejemplo: La Figura 31 muestra un segmento AB en posición general. Se requiere determinar su tamaño natural y los ángulos de inclinación con respecto a los planos de proyección frontal y horizontal.

Dibujamos una perpendicular a uno de los extremos del segmento en un plano horizontal. Trazamos la diferencia de altura (ZA-ZB) de los extremos del segmento y completamos la construcción de un triángulo rectángulo. Su hipotenusa es el valor natural del segmento, y el ángulo entre el valor natural y la proyección del segmento es el valor natural del ángulo de inclinación del segmento con respecto al plano P 1. El orden de construcción en el plano frontal es el mismo. A lo largo de la perpendicular trazamos la diferencia en las profundidades de los extremos del segmento (YA-YB). El ángulo resultante entre el tamaño natural del segmento y su proyección frontal es el ángulo de inclinación del segmento con respecto al plano P 2.

Figura 31

1. Enuncie un teorema sobre la propiedad de los ángulos rectos.

2. ¿En qué caso una recta es perpendicular a un plano?

3. ¿Cuántas líneas rectas y cuántos planos perpendiculares a un plano dado se pueden trazar a través de un punto en el espacio?

4. ¿Para qué se utiliza el método del triángulo rectángulo?

5. ¿Cómo utilizar este método para determinar el ángulo de inclinación de un segmento en posición general respecto al plano horizontal de proyecciones?