Integral definida utilizando la fórmula de Newton-Leibniz. Cálculo de la integral definida.

Sea alguna función continua f en un determinado segmento del eje Ox. Supongamos que esta función no cambia de signo en todo el segmento.

Si f es una función continua y no negativa en un determinado segmento, y F es su antiderivada en este segmento, entonces el área del trapezoide curvilíneo S es igual al incremento de la antiderivada en este segmento.

Este teorema se puede escribir de la siguiente manera:

S = F(b) - F(a)

La integral de la función f(x) de a a b será igual a S. Aquí y además, para denotar la integral definida de alguna función f(x), con los límites de integración de a a b, usaremos la siguiente notación (a;b)∫f( x). A continuación se muestra un ejemplo de cómo se verá.

Fórmula de Newton-Leibniz

Esto significa que podemos equiparar estos dos resultados. Obtenemos: (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a), siempre que F sea una antiderivada de la función f en . Esta fórmula se llama Fórmulas de Newton-Leibniz. Será cierto para cualquier función continua f en un intervalo.

La fórmula de Newton-Leibniz se utiliza para calcular integrales. Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1: calcula la integral. Encuentra la primitiva de la función integrando x 2. Una de las antiderivadas será la función (x 3)/3.

Ahora usamos la fórmula de Newton-Leibniz:

(-1;2)∫x 2 dx = (2 3)/3 - ((-1) 3)/3 = 3

Respuesta: (-1;2)∫x 2 dx = 3.

Ejemplo 2: calcula la integral (0;pi)∫sen(x)dx.

Encuentra la primitiva de la función integrando sin(x). Una de las antiderivadas será la función -cos(x). Usemos la fórmula de Newton-Leibniz:

(0;pi)∫cos(x)dx = -cos(pi) + cos(0) = 2.

Respuesta: (0;pi)∫sen(x)dx=2

A veces, para simplificar y facilitar la grabación, el incremento de la función F en el segmento (F(b)-F(a)) se escribe de la siguiente manera:

Usando esta notación para el incremento, la fórmula de Newton-Leibniz se puede reescribir de la siguiente manera:

Como se señaló anteriormente, esto es sólo una abreviatura de facilidad de grabación; esta grabación no afecta nada más. Esta notación y la fórmula (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a) serán equivalentes.

Por una integral definida de una función continua F(X) en el segmento final [ a, b] (donde ) es el incremento de algunas de sus antiderivadas en este segmento. (En general, la comprensión será notablemente más fácil si repites el tema de la integral indefinida) En este caso, se utiliza la notación

Como se puede ver en los gráficos siguientes (el incremento de la función antiderivada se indica con ), una integral definida puede ser un número positivo o negativo(Se calcula como la diferencia entre el valor de la antiderivada en el límite superior y su valor en el límite inferior, es decir, como F(b) - F(a)).

Números a Y b se denominan límites de integración inferior y superior, respectivamente, y el segmento [ a, b] – segmento de integración.

Así, si F(X) – alguna función antiderivada para F(X), entonces, según la definición,

(38)

La igualdad (38) se llama Fórmula de Newton-Leibniz . Diferencia F(b) – F(a) se escribe brevemente de la siguiente manera:

Por tanto, escribiremos la fórmula de Newton-Leibniz así:

(39)

Demostremos que la integral definida no depende de qué antiderivada del integrando se tome al calcularla. Dejar F(X) y F( X) son antiderivadas arbitrarias del integrando. Como son antiderivadas de la misma función, se diferencian por un término constante: Ф( X) = F(X) + C. Es por eso

Esto establece que en el segmento [ a, b] incrementos de todas las antiderivadas de la función F(X) emparejar.

Por tanto, para calcular una integral definida, es necesario encontrar cualquier antiderivada del integrando, es decir Primero necesitas encontrar la integral indefinida. Constante CON excluidos de los cálculos posteriores. Luego se aplica la fórmula de Newton-Leibniz: el valor del límite superior se sustituye en la función antiderivada b , además - el valor del límite inferior a y se calcula la diferencia F(b) - F(a) . El número resultante será una integral definida..

En a = b por definición aceptado

Ejemplo 1.

Solución. Primero, encontremos la integral indefinida:

Aplicando la fórmula de Newton-Leibniz a la antiderivada

(en CON= 0), obtenemos

Sin embargo, al calcular una integral definida, es mejor no encontrar la primitiva por separado, sino escribir inmediatamente la integral en la forma (39).

Ejemplo 2. Calcular integral definida

Solución. Usando fórmula

Propiedades de la integral definida

Teorema 2.El valor de la integral definida no depende de la designación de la variable de integración., es decir.

(40)

Dejar F(X) – antiderivada para F(X). Para F(t) la antiderivada es la misma función F(t), en el que la variable independiente sólo se designa de forma diferente. Por eso,

Según la fórmula (39), la última igualdad significa la igualdad de las integrales.

Teorema 3.El factor constante se puede sacar del signo de la integral definida., es decir.

(41)

Teorema 4.La integral definida de una suma algebraica de un número finito de funciones es igual a la suma algebraica de integrales definidas de estas funciones, es decir.

(42)

Teorema 5.Si un segmento de integración se divide en partes, entonces la integral definida sobre todo el segmento es igual a la suma de las integrales definidas sobre sus partes, es decir. Si

(43)

Teorema 6.Al reorganizar los límites de integración, el valor absoluto de la integral definida no cambia, solo cambia su signo., es decir.

(44)

Teorema 7(teorema del valor medio). Una integral definida es igual al producto de la longitud del segmento de integración por el valor del integrando en algún punto dentro de él., es decir.

(45)

Teorema 8.Si el límite superior de integración es mayor que el inferior y el integrando no es negativo (positivo), entonces la integral definida también es no negativa (positiva), es decir Si

Teorema 9.Si el límite superior de integración es mayor que el inferior y las funciones y son continuas, entonces la desigualdad

se puede integrar término por término, es decir.

(46)

Las propiedades de la integral definida permiten simplificar el cálculo directo de integrales.

Ejemplo 5. Calcular integral definida

Usando los teoremas 4 y 3, y al encontrar antiderivadas - integrales de tabla (7) y (6), obtenemos

Integral definida con límite superior variable

Dejar F(X) – continua en el segmento [ a, b] función, y F(X) es su antiderivada. Considere la integral definida

(47)

y mediante t la variable de integración se designa para no confundirla con el límite superior. cuando cambia X la integral definida (47) también cambia, es decir es una función del límite superior de integración X, que denotamos por F(X), es decir.

(48)

Demostremos que la función F(X) es una antiderivada de F(X) = F(t). En efecto, diferenciando F(X), obtenemos

porque F(X) – antiderivada para F(X), A F(a) es un valor constante.

Función F(X) – una del número infinito de antiderivadas para F(X), es decir, el que X = a va a cero. Esta afirmación se obtiene si en igualdad (48) ponemos X = a y utilice el Teorema 1 del párrafo anterior.

Cálculo de integrales definidas por el método de integración por partes y el método de cambio de variable

donde, por definición, F(X) – antiderivada para F(X). Si cambiamos la variable en el integrando

entonces, de acuerdo con la fórmula (16), podemos escribir

en esta expresión

función antiderivada para

De hecho, su derivada, según regla de diferenciación de funciones complejas, es igual

Sean α y β los valores de la variable t, para lo cual la función

toma valores en consecuencia a Y b, es decir.

Pero, según la fórmula de Newton-Leibniz, la diferencia F(b) – F(a) Hay

Fórmula de Newton-Leibniz

Teorema principal de análisis. o Fórmula de Newton-Leibniz da una relación entre dos operaciones: tomar una integral definida y calcular la primitiva

Formulación

Considere la integral de la función. y = F(X) dentro de un número constante a hasta el numero X, que consideraremos variable. Escribamos la integral de la siguiente forma:

Este tipo de integral se llama integral con límite superior variable. Utilizando el teorema del valor medio en una integral definida, es fácil demostrar que esta función es continua y diferenciable. Y también la derivada de una función dada en el punto x es igual a la propia función integrable. De esto se deduce que cualquier función continua tiene una primitiva en forma de cuadratura: . Y dado que la clase de funciones primitivas de la función f difiere en una constante, es fácil demostrar que: la integral definida de la función f es igual a la diferencia en los valores de las primitivas en los puntos by a

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Fórmula de probabilidad total
Fórmula de Rayleigh-Jeans

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Fórmula rectangular

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Problema 1(sobre el cálculo del área de un trapezoide curvo).

En el sistema de coordenadas rectangular cartesiano xOy, se da una figura (ver figura) delimitada por el eje x, líneas rectas x = a, x = b (a por un trapecio curvilíneo. Se requiere calcular el área de un curvilíneo trapezoide.
Solución. La geometría nos da recetas para calcular las áreas de polígonos y algunas partes de un círculo (sector, segmento). Usando consideraciones geométricas, solo podemos encontrar un valor aproximado del área requerida, razonando de la siguiente manera.

Dividamos el segmento [a; b] (base de un trapecio curvo) en n partes iguales; esta partición se realiza utilizando los puntos x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Dibujemos líneas rectas a través de estos puntos paralelas al eje y. Luego, el trapezoide curvilíneo dado se dividirá en n partes, en n columnas estrechas. El área de todo el trapezoide es igual a la suma de las áreas de las columnas.

Consideremos la k-ésima columna por separado, es decir un trapecio curvo cuya base es un segmento. Reemplacémoslo con un rectángulo con la misma base y altura igual a f(x k) (ver figura). El área del rectángulo es igual a $f(x_k) \cdot \Delta x_k $, donde $\Delta x_k $ es la longitud del segmento; Es natural considerar el producto resultante como un valor aproximado del área de la k-ésima columna.

Si ahora hacemos lo mismo con todas las demás columnas, llegaremos al siguiente resultado: el área S de un trapezoide curvilíneo dado es aproximadamente igual al área S n de una figura escalonada formada por n rectángulos (ver figura):
$S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $
Aquí, en aras de la uniformidad de la notación, suponemos que a = x 0, b = x n; $\Delta x_0 $ - longitud del segmento, $\Delta x_1 $ - longitud del segmento, etc.; en este caso, como acordamos anteriormente, $\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) $

Entonces, $S \approx S_n $, y esta igualdad aproximada es más precisa cuanto mayor es n.
Por definición, se cree que el área requerida de un trapezoide curvilíneo es igual al límite de la secuencia (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Problema 2(sobre mover un punto)
Un punto material se mueve en línea recta. La dependencia de la velocidad con el tiempo se expresa mediante la fórmula v = v(t). Encuentre el movimiento de un punto durante un período de tiempo [a; b].
Solución. Si el movimiento fuera uniforme, entonces el problema se resolvería de forma muy sencilla: s = vt, es decir s = v(b-a). Para movimientos desiguales, hay que utilizar las mismas ideas en las que se basó la solución al problema anterior.
1) Dividir el intervalo de tiempo [a; b] en n partes iguales.
2) Considere un período de tiempo y suponga que durante este período la velocidad fue constante, igual que en el momento t k. Entonces suponemos que v = v(t k).
3) Encontremos el valor aproximado del movimiento del punto durante un período de tiempo. Denotaremos este valor aproximado como s k;
$s_k = v(t_k) \Delta t_k $
4) Encuentre el valor aproximado del desplazamiento s:
$s \aprox S_n $ donde
$S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) $
5) El desplazamiento requerido es igual al límite de la secuencia (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Resumamos. Las soluciones a varios problemas se redujeron al mismo modelo matemático. Muchos problemas de diversos campos de la ciencia y la tecnología conducen al mismo modelo en el proceso de solución. Esto significa que este modelo matemático debe ser estudiado especialmente.

El concepto de integral definida.

Demos una descripción matemática del modelo construido en los tres problemas considerados para la función y = f(x), continua (pero no necesariamente no negativa, como se supuso en los problemas considerados) en el intervalo [a; b]:
1) dividir el segmento [a; b] en n partes iguales;
2) hacer la suma $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) calcular $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

En el curso del análisis matemático se demostró que este límite existe en el caso de una función continua (o continua por partes). El es llamado cierta integral de la función y = f(x) sobre el segmento [a; b] y denotado de la siguiente manera:
$\int\limits_a^b f(x) dx $
Los números a y b se denominan límites de integración (inferior y superior, respectivamente).

Volvamos a las tareas comentadas anteriormente. La definición de área dada en el problema 1 ahora se puede reescribir de la siguiente manera:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx $
aquí S es el área del trapecio curvo que se muestra en la figura anterior. Esto es Significado geométrico de una integral definida.

La definición del desplazamiento s de un punto que se mueve en línea recta con una velocidad v = v(t) durante el período de tiempo desde t = a hasta t = b, dada en el problema 2, se puede reescribir de la siguiente manera:

Fórmula de Newton-Leibniz

Primero, respondamos la pregunta: ¿cuál es la conexión entre la integral definida y la primitiva?

La respuesta se puede encontrar en el problema 2. Por un lado, el desplazamiento s de un punto que se mueve en línea recta con una velocidad v = v(t) durante el período de tiempo desde t = a hasta t = b se calcula mediante la formula
$S = \int\limits_a^b v(t) dt $

Por otro lado, la coordenada de un punto en movimiento es una antiderivada de la velocidad; denotémosla s(t); esto significa que el desplazamiento s se expresa mediante la fórmula s = s(b) - s(a). Como resultado obtenemos:
$S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) $
donde s(t) es la antiderivada de v(t).

El siguiente teorema fue demostrado en el curso del análisis matemático.
Teorema. Si la función y = f(x) es continua en el intervalo [a; b], entonces la fórmula es válida
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) $
donde F(x) es la antiderivada de f(x).

La fórmula dada generalmente se llama Fórmula de Newton-Leibniz en honor al físico inglés Isaac Newton (1643-1727) y al filósofo alemán Gottfried Leibniz (1646-1716), quienes lo recibieron de forma independiente y casi simultáneamente.

En la práctica, en lugar de escribir F(b) - F(a), usan la notación $\left. F(x)\right|_a^b $ (a veces se la llama doble sustitución) y, en consecuencia, reescribe la fórmula de Newton-Leibniz de esta forma:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b $

Al calcular una integral definida, primero encuentre la primitiva y luego realice una doble sustitución.

Basándonos en la fórmula de Newton-Leibniz, podemos obtener dos propiedades de la integral definida.

Propiedad 1. La integral de la suma de funciones es igual a la suma de las integrales:
$\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx $

Propiedad 2. El factor constante se puede sacar del signo integral:
$\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx $

Calcular las áreas de figuras planas usando una integral definida.

Con la ayuda de la integral, es posible calcular las áreas no solo de trapecios curvos, sino también de figuras planas de un tipo más complejo, por ejemplo, el que se muestra en la figura. La figura P está limitada por las rectas x = a, x = b y gráficas de funciones continuas y = f(x), y = g(x), y en el segmento [a; b] la desigualdad $g(x) \leq f(x) $ se cumple. Para calcular el área S de dicha figura procederemos de la siguiente manera:
$S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = $
$= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Entonces, el área S de una figura delimitada por rectas x = a, x = b y gráficas de funciones y = f(x), y = g(x), continuas en el segmento y tales que para cualquier x del segmento [a; b] se satisface la desigualdad $g(x) \leq f(x) $, calculada mediante la fórmula
$S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Tabla de integrales indefinidas (antiderivadas) de algunas funciones

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch )x+C$$

Avance:

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Títulos de diapositivas:

Integral. Fórmula de Newton-Leibniz. Compilado por: Profesora de matemáticas de la Institución Educativa Estatal de la Institución Educativa PU No. 27 Shchelyayur Semyashkina Irina Vasilievna

Objetivo de la lección: Introducir el concepto de integral y su cálculo utilizando la fórmula de Newton-Leibniz, utilizando conocimientos sobre la antiderivada y las reglas para su cálculo; Ilustrar la aplicación práctica de la integral utilizando ejemplos de cómo encontrar el área de un trapecio curvo; Reforza lo aprendido durante los ejercicios.

Definición: Sea dada una función positiva f(x), definida en un segmento finito [ a;b ] . La integral de una función f(x) sobre [ a;b ] es el área de su trapecio curvilíneo. y=f(x) b a 0 x y

Designación:  “integral de a a b eff de x de x”

Información histórica: Leibniz derivó la notación de la integral a partir de la primera letra de la palabra “Summa”. Newton no propuso un simbolismo alternativo para la integral en sus obras, aunque probó varias opciones. El término integral fue acuñado por Jacob Bernoulli. Suma Isaac Newton Gottfried Wilhelm von Leibniz Jacob Bernoulli

Euler introdujo la notación para la integral indefinida. Jean Baptiste Joseph Fourier Leonard Euler El diseño de la integral definida en la forma que conocemos fue inventado por Fourier.

Fórmula de Newton-Leibniz

Ejemplo 1. Calcular la integral definida: = Solución:

Ejemplo 2. Calcular integrales definidas: 5 9 1

Ejemplo 3. S y x Calcula el área de la figura delimitada por las rectas y el eje x. Primero, encontremos los puntos de intersección del eje x con la gráfica de la función. Para hacer esto, resolvamos la ecuación. = Solución: S =

y x S A B D C Ejemplo 4. Calcula el área de la figura delimitada por las rectas y encuentra los puntos de intersección (abscisas) de estas rectas resolviendo la ecuación S=S BADC - S BAC S BADC = = S BAC = S = 9 – 4.5 = 4.5 ver ejemplo 1 Solución:

REGLAS SINCWAIN 1 línea - el tema del vino sincronizado 1 palabra 2 líneas - 2 adjetivos que describen los signos y propiedades del tema 3 líneas - 3 verbos que describen la naturaleza de la acción 4 líneas - una oración corta de 4 palabras que muestra su actitud personal hacia el tema 5 líneas - 1 palabra, sinónimo o su asociación tema del tema.

Integral 2. Definida, positiva Contar, sumar, multiplicar 4. Calcular usando la fórmula de Newton-Leibniz 5. Área

Lista de literatura usada: libro de texto de A.N. y otros Álgebra e inicios de análisis 10 - 11 grados.

¡Gracias por su atención! “El TALENTO es el 99% del trabajo y el 1% de la capacidad” sabiduría popular

Ejemplo 1. Calcular la integral definida: = Solución: ejemplo 4

Avance:

Materia: matemáticas (álgebra e inicios del análisis), grado: 11º grado.

Tema de la lección: "Integral. Fórmula de Newton-Leibniz."

Tipo de lección: Aprender material nuevo.

Duración de la lección: 45 minutos.

Objetivos de la lección: introducir el concepto de integral y su cálculo mediante la fórmula de Newton-Leibniz, utilizando conocimientos sobre la antiderivada y las reglas para su cálculo; ilustrar la aplicación práctica de la integral utilizando ejemplos de cómo encontrar el área de un trapezoide curvo; Consolida lo aprendido durante los ejercicios.

Objetivos de la lección:

Educativo:

formar el concepto de integral;
desarrollar habilidades para calcular una integral definida;
desarrollando habilidades en la aplicación práctica de la integral para encontrar el área de un trapecio curvilíneo.

Educativo:

desarrollar el interés cognitivo de los estudiantes, desarrollar el habla matemática, la capacidad de observar, comparar y sacar conclusiones;
Desarrollar el interés por el tema utilizando las TIC.

Educativo:

intensificar el interés por adquirir nuevos conocimientos, desarrollar la precisión y exactitud en el cálculo de la integral y realizar dibujos.

Equipo: PC, sistema operativo Microsoft Windows 2000/XP, programa MS Office 2007: Power Point, Microsoft Word; proyector multimedia, pantalla.

Literatura: libro de texto de Kolmagorov A.N. y otros Álgebra y principios de análisis 10-11 grados.

Tecnologías: TIC, entrenamiento individual.

DURANTE LAS CLASES

etapa de lección	actividades docentes	Actividades estudiantiles	Tiempo
Parte introductoria
Organizar el tiempo	Saluda, comprueba la preparación de los estudiantes para la lección, organiza la atención. Distribuye notas de apoyo.	Escucha, anota la fecha.	3 minutos
Comunicar el tema y los objetivos de la lección.	Actualización de conocimientos básicos y experiencia subjetiva con acceso a los objetivos de la lección.	Escuche y escriba el tema de la lección en su cuaderno.Participa activamente en la actividad mental. Analizar, comparar, sacar conclusiones para alcanzar los objetivos de la lección.	Presentación TIC 3 minutos
Parte principal de la lección. Presentación de material nuevo con una prueba de conocimiento de temas anteriores.
Definición de la integral (diapositiva 3)	Da una definición. TIC ¿Qué es un trapecio curvo?	Una figura acotada por la gráfica de una función, un segmento y las rectas x=a y x=b.	10 minutos
Notación integral (diapositiva 4)	Presenta la notación de la integral y cómo se lee.	Escuche, escriba.
Historia de la integral (diapositivas 5 y 6)	Cuenta la historia del término "integral".	Escuche y escriba brevemente.
Fórmula de Newton-Leibniz (diapositiva 7)	Da la fórmula de Newton-Leibniz. ¿Qué significa F en la fórmula?	Escuche, tome notas, responda las preguntas del profesor. Antiderivada.
La parte final de la lección.
Fijación del material. Resolver ejemplos utilizando el material estudiado.
Ejemplo 1 (diapositiva 8)	Analiza la solución del ejemplo, haciendo preguntas sobre cómo encontrar antiderivadas para los integrandos.	Escuchar, anotar, demostrar conocimiento de la tabla de antiderivadas.	20 minutos
Ejemplo 2 (diapositiva 9). Ejemplos para que los estudiantes los resuelvan de forma independiente.	Supervisa la solución de ejemplos.	Completa la tarea uno por uno, comentando (tecnología de aprendizaje individual), escucharse unos a otros, escribir, mostrar conocimiento de temas pasados.
Ejemplo 3 (diapositiva 10)	Analiza la solución del ejemplo. ¿Cómo encontrar los puntos de intersección del eje x con la gráfica de una función?	Escuchan, responden preguntas, demuestran conocimientos de temas anteriores y anotan. Iguala el integrando a 0 y resuelve la ecuación.
Ejemplo 4 (diapositiva 11)	Analiza la solución del ejemplo. ¿Cómo encontrar los puntos de intersección (abscisas) de gráficas de funciones? Determina el tipo de triángulo ABC. ¿Cómo encontrar el área de un triángulo rectángulo?	Escuchan y responden preguntas. Iguala las funciones entre sí y resuelve la ecuación resultante. Rectangular. donde a y b son los catetos de un triángulo rectángulo.
Resumiendo la lección (diapositivas 12 y 13)	Organiza el trabajo de compilación de syncwine.	Participa en la preparación del vino sincronizado. Analizar, comparar, sacar conclusiones sobre el tema.	5 minutos.
Asignación de tareas según el nivel de dificultad.	Da tarea y explica.	Escuche, escriba.	1 minuto.
Evaluar el trabajo de los estudiantes en clase.	Evalúa el trabajo de los estudiantes en la lección y lo analiza.	Estan escuchando.	1 minuto

Avance:

Resumen básico sobre el tema “Integral. Fórmula de Newton-Leibniz."

	Definición: Sea una función positiva f(x) , definido en un segmento finito.Integral de la función f(x) ense llama área de su trapecio curvilíneo.
	Designación: Lee: “integral de a a b ef de x de x”
	Fórmula de Newton-Leibniz
	Ejemplo 1. Calcula la integral definida: Solución:
	Ejemplo 3. y eje x. Solución:
	Ejemplo 3. Calcular el área de una figura delimitada por líneas. Y .