Parábola acostada de lado. Significado geométrico del parámetro en la ecuación de la parábola.

Una parábola es el lugar geométrico de puntos para cada uno de los cuales la distancia a algún punto fijo en el plano, llamado foco, es igual a la distancia a alguna línea fija, llamada directriz (asumiendo que esta línea no pasa por el foco) .

El foco de una parábola suele denotarse con la letra F, distancia del foco a la letra directriz R. Tamaño pag llamado parámetro parábolas. La imagen de la parábola se da en la Fig. 61 (el lector recibirá una explicación completa de este dibujo después de leer los siguientes párrafos).

Comentario. De acuerdo con el PAG° 100 dice que la parábola tiene excentricidad =1.

Dejemos que se dé alguna parábola (al mismo tiempo, asumimos que el parámetro R). Introduzcamos un sistema de coordenadas rectangular cartesiano en el plano, cuyos ejes se posicionarán de forma especial con respecto a esta parábola. Es decir, dibujamos el eje de abscisas que pasa por el foco perpendicular a la directriz y lo consideramos dirigido desde la directriz al foco; Coloquemos el origen de coordenadas en el medio entre enfocar y directora (Fig. 61). Derivemos la ecuación de esta parábola en este sistema de coordenadas.

Tomemos un punto arbitrario en el avión. METRO y denotamos sus coordenadas por X Y Ud. Denotemos además por r distancia desde el punto METRO centrarse (r=FM), a través de r- distancia desde el punto METRO a la directora. Punto METRO estará en una parábola (dada) si y sólo si

Para obtener la ecuación requerida, es necesario reemplazar las variables en igualdad (1) r Y A sus expresiones a través de las coordenadas actuales x, y. Tenga en cuenta que el enfoque F tiene coordenadas ; teniendo esto en cuenta y aplicando la fórmula (2) PAG° 18. encontramos:

(2)

Denotemos por q base de una perpendicular caída desde un punto METRO a la directora. Obviamente, punto q tiene coordenadas ; desde aquí y desde la fórmula (2) PAG° 18 obtenemos:

(3),

(al extraer la raíz, tomamos con nuestro signo, ya que - el número es positivo; esto se desprende del hecho de que el punto M(x;y) debe estar del lado del director donde está el foco, es decir, debe haber x > , de donde Reemplazando en igualdad (1) g y d sus expresiones (2) y (3), encontramos:

(4)

Esta es la ecuación de la parábola en cuestión en el sistema de coordenadas designado, ya que se satisface con las coordenadas del punto M(x;y) si y sólo si el punto METRO se encuentra en esta parábola.

Queriendo obtener la ecuación de la parábola en una forma más simple, elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad (4); obtenemos:

(5),

Derivamos la ecuación (6) como consecuencia de la ecuación (4). Es fácil demostrar que la ecuación (4) a su vez puede derivarse como consecuencia de la ecuación (6). De hecho, la ecuación (5) se deriva de la ecuación (6) de manera obvia (“al revés”); Además, de la ecuación (5) tenemos.

Definición: Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano para los cuales la distancia a algún punto fijo F de este plano es igual a la distancia a alguna línea recta fija. El punto F se llama foco de la parábola y la línea fija se llama directriz de la parábola.

Para derivar la ecuación, construyamos:

CON según la definición:

Como 2 >=0, la parábola se encuentra en el semiplano derecho. Cuando x aumenta de 0 a infinito
. La parábola es simétrica con respecto a Ox. El punto de intersección de una parábola con su eje de simetría se llama vértice de la parábola.

45. Curvas de segundo orden y su clasificación. El teorema principal sobre kvp.

Hay 8 tipos de KVP:

1.elipses

2.hipérboles

3.parábolas

Las curvas 1,2,3 son secciones canónicas. Si cortamos el cono con un plano paralelo al eje del cono, obtenemos una hipérbola. Si el plano es paralelo a la generatriz, entonces es una parábola. No todos los planos pasan por el vértice del cono. Si es cualquier otro plano, entonces es una elipse.

4. par de rectas paralelas y 2 +a 2 =0, a0

5. par de líneas que se cruzan y 2 -k 2 x 2 =0

6.una línea recta y 2 =0

7.un punto x 2 + y 2 =0

8. conjunto vacío - curva vacía (curva sin puntos) x 2 + y 2 +1=0 o x 2 + 1=0

Teorema (teorema principal sobre KVP): Ecuación de la forma

a 11 X 2 + 2 un 12 x y + a 22 y 2 + 2 un 1 x+2a 2 y+a 0 = 0

Sólo puede representar una curva de uno de estos ocho tipos.

Idea de prueba es pasar a un sistema de coordenadas en el que la ecuación KVP tomará la forma más simple, cuando el tipo de curva que representa se vuelva obvio. El teorema se demuestra girando el sistema de coordenadas en un ángulo en el que desaparece el término con el producto de coordenadas. Y con la ayuda de la transferencia paralela del sistema de coordenadas en el que desaparece el término con la variable x o el término con la variable y.

Transición a un nuevo sistema de coordenadas: 1. Transferencia paralela

2. Girar

45. Superficies de segundo orden y su clasificación. El teorema principal sobre pvp. Superficies de rotación.

PAG VP: un conjunto de puntos cuyas coordenadas rectangulares satisfacen la ecuación de segundo grado: (1)

Se supone que al menos uno de los coeficientes de cuadrados o productos es distinto de 0. La ecuación es invariante respecto a la elección del sistema de coordenadas.

Teorema Cualquier plano intersecta al PVP a lo largo del CVP, con excepción de un caso especial cuando todo el plano está en la sección (El PVP puede ser un plano o un par de planos).

Hay 15 tipos de PvP. Enumerémoslos, indicando las ecuaciones mediante las cuales se especifican en sistemas de coordenadas adecuados. Estas ecuaciones se llaman canónicas (las más simples). Construir imágenes geométricas correspondientes a ecuaciones canónicas utilizando el método de secciones paralelas: intersecar la superficie con planos coordenados y planos paralelos a ellos. El resultado son tramos y curvas que dan una idea de la forma de la superficie.

1. Elipsoide.

Si a=b=c entonces obtenemos una esfera.

2. Hiperboloides.

1). Hiperboloide de una sola hoja:

Sección de un hiperboloide de una sola hoja por planos de coordenadas: XOZ:
- hipérbole.

YOZ:
- hipérbole.

Avión XOY:
- elipse.

2). Hiperboloide de dos hojas.

El origen es un punto de simetría.

Los planos de coordenadas son planos de simetría.

Avión z = h interseca un hiperboloide a lo largo de una elipse
, es decir. avión z = h comienza a cruzar el hiperboloide en | h |  C. Sección de un hiperboloide por planos. X = 0 Y y = 0 - Estas son hipérboles.

Los números a, b, c en las ecuaciones (2), (3), (4) se denominan semiejes de elipsoides e hiperboloides.

3. Paraboloides.

1). Paraboloide elíptico:

Sección plana z = h Hay
, Dónde
. De la ecuación se desprende claramente que z  0 es un cuenco infinito.

Intersección de planos y = h Y X= h
- esto es una parábola y en general

2). Paraboloide hiperbólico:

Evidentemente los planos XOZ y YOZ son planos de simetría, el eje z es el eje del paraboloide. Intersección de un paraboloide con un plano. z = h– hipérboles:
,
. Avión z=0 corta un paraboloide hiperbólico a lo largo de dos ejes
que son asíntotas.

4. Cono y cilindros de segundo orden.

1). Un cono es una superficie.
. El cono está formado por rectas que pasan por el origen 0 (0, 0, 0). La sección transversal de un cono es una elipse con semiejes.
.

2). Cilindros de segundo orden.

Este es un cilindro elíptico.
.

Cualquier línea que tomemos que corte las elipses y sea paralela al eje Oz satisface esta ecuación. Al mover esta recta alrededor de la elipse obtenemos una superficie.

GRAMO cilindro hiperbólico:

En el plano XOU es una hipérbola. Movemos la línea recta que cruza la hipérbola paralela a Oz a lo largo de la hipérbola.

Cilindro parabólico:

norte y el plano XOU es una parábola.

Las superficies cilíndricas están formadas por una línea recta (generativa) que se mueve paralela a sí misma a lo largo de una determinada línea recta (guía).

10. Par de planos que se cruzan

11.Par de planos paralelos

12.
- derecho

13. Línea recta: un "cilindro" construido sobre un punto

14.Un punto

15.Conjunto vacío

El teorema principal sobre PvP: Cada PVP pertenece a uno de los 15 tipos comentados anteriormente. No hay otros PvP.

Superficies de rotación. Sea el PDSC Oxyz y en el plano Oyz la recta e definida por la ecuación F(y,z)=0 (1). Creemos una ecuación para la superficie obtenida al rotar esta línea alrededor del eje Oz. Tomemos un punto M(y,z) en la línea e. Cuando el avión Oyz gira alrededor de Oz, el punto M describirá un círculo. Sea N(X,Y,Z) un punto arbitrario de este círculo. Está claro que z=Z.

.

Sustituyendo los valores encontrados de zey en la ecuación (1) obtenemos la igualdad correcta:
aquellos. las coordenadas del punto N satisfacen la ecuación
. Por tanto, cualquier punto de la superficie de rotación satisface la ecuación (2). No es difícil demostrar que si un punto N(x 1,y 1,z 1) satisface la ecuación (2), entonces pertenece a la superficie considerada. Ahora podemos decir que la ecuación (2) es la ecuación deseada para la superficie de revolución.

Definición 1

Una parábola es una curva formada por un conjunto geométrico de puntos ubicados a la misma distancia de un determinado punto $F$, llamado foco y que no se encuentra ni en esta curva ni en la recta $d$.

Es decir, la relación entre las distancias desde un punto arbitrario de una parábola hasta el foco y desde el mismo punto hasta la directriz es siempre igual a uno, esta relación se llama excentricidad.

El término "excentricidad" también se utiliza para hipérbolas y elipses.

Términos básicos de la ecuación de parábola canónica.

El punto $F$ se llama foco de la parábola y la recta $d$ es su directriz.

El eje de simetría de una parábola es una recta que pasa por el vértice de la parábola $O$ y su foco $F$, de modo que forma un ángulo recto con la directriz $d$.

El vértice de una parábola es el punto a partir del cual la distancia a la directriz es mínima. Este punto divide a la mitad la distancia del foco a la directriz.

¿Cuál es la ecuación canónica de una parábola?

Definición 2

La ecuación canónica de una parábola es bastante simple, fácil de recordar y tiene la siguiente forma:

$y^2 = 2px$, donde el número $p$ debe ser mayor que cero.

El número $p$ de la ecuación se llama "parámetro focal".

Esta ecuación de una parábola, o más bien esta fórmula más utilizada en matemáticas superiores, es aplicable en el caso en que el eje de la parábola coincide con el eje $OX$, es decir, la parábola está ubicada como de lado.

Una parábola descrita por la ecuación $x^2 = 2py$ es una parábola cuyo eje coincide con el eje $OY$ al que estamos acostumbrados en la escuela;

Y la parábola, que tiene un signo menos delante de la segunda parte de la ecuación ($y^2 = - 2px$), está rotada 180° con respecto a la parábola canónica.

Una parábola es un caso especial de una curva de segundo orden; por lo tanto, en general, la ecuación de una parábola es exactamente la misma que para todas esas curvas y es adecuada para todos los casos, y no sólo cuando la parábola es paralela a $OX$; .

En este caso, el discriminante calculado por la fórmula $B^2 – 4AC$ es igual a cero, y la ecuación en sí se ve así: $Ax^2 + B \cdot x \cdot y + C\cdot y^2 + D\cdot x + E\ cdot y + F = 0$

Derivación graficando la ecuación canónica de una parábola

Figura 1. Gráfica y derivación de la ecuación de parábola canónica

A partir de la definición dada anteriormente en este artículo, componeremos una ecuación para una parábola con el vértice ubicado en la intersección de los ejes de coordenadas.

Usando el gráfico existente, determinamos a partir de él los puntos $x$ e $y$ $F$ a partir de la definición de una curva parabólica dada anteriormente, $x = \frac(p)(2)$ y $y = 0$.

Primero, creemos una ecuación para la línea recta $d$ y escribámosla: $x = - \frac(p)(2)$.

Para un punto arbitrario M que se encuentra en nuestra curva, según la definición, es válida la siguiente relación:

$FM$ = $MM_d$ (1), donde $M_d$ es el punto de intersección de la perpendicular trazada desde el punto $M$ con la directriz $d$.

X e Y para este punto son iguales a $\frac(p)(2)$ $y$ respectivamente.

Escribamos la ecuación (1) en forma de coordenadas:

$\sqrt((x - \frac(p)(2))^2 + y^2 )= x + \frac(p)(2)$

Ahora, para deshacerte de la raíz, necesitas elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación:

$(x - \frac(p)(2))^2 + y^2 = x^2 +px^2 + \frac(p^2)(4)$

Después de la simplificación, obtenemos la ecuación canónica de la parábola: $y^2 = px$.

Parábola descrita por una función cuadrática

La ecuación que describe una parábola con su vértice ubicado en cualquier lugar del gráfico y no necesariamente coincidiendo con la intersección de los ejes de coordenadas se ve así:

$y = ax^2 + bx + c$.

Para calcular $x$ e $y$ para el vértice de dicha parábola, necesitas usar las siguientes fórmulas:

$x_A = - \frac(b)(2a)$

$y_A = - \frac(D)(4a)$, donde $D = b^2 – 4ac$.

Ejemplo 1

Un ejemplo de cómo componer una ecuación de parábola clásica.

Tarea. Conociendo la ubicación del punto focal, crea la ecuación canónica de la parábola. Las coordenadas del punto focal $F$ son $(4; 0)$.

Dado que estamos considerando una parábola, cuya gráfica está dada por la ecuación canónica, su vértice $O$ se encuentra en la intersección de los ejes x e y, por lo tanto la distancia del foco al vértice es igual a $\frac (1)(2)$ del parámetro focal $\frac(p )(2) = $4. Mediante cálculos simples encontramos que el parámetro focal en sí es $p = 8$.

Después de sustituir el valor de $p$ en la forma canónica de la ecuación, nuestra ecuación se convierte en $y^2 = 16x$.

Cómo escribir una ecuación de parábola usando una gráfica existente

Ejemplo 2

Figura 2. Ecuación canónica de una parábola, gráfica y ejemplo de solución

Primero, debemos seleccionar el punto $M$, que pertenece a la gráfica de nuestra función, y, omitiendo sus perpendiculares a los ejes $OX$ y $OY$, escribir sus x e y, en nuestro caso, el punto $M$ es $(2;2) $.

Ahora necesitamos sustituir los $x$ y los $y$ obtenidos para este punto en la ecuación canónica de la parábola $y^2 = px$, obtenemos:

$2^2 = 2 \cdot 2p$

Reduciendo, obtenemos la siguiente ecuación parabólica $y^2 = 2 \cdot x$.

Introduzcamos un sistema de coordenadas rectangular, donde . Deja que el eje pase por el foco. F parábola y perpendicular a la directriz, y el eje pasa a medio camino entre el foco y la directriz. Denotemos por la distancia entre el foco y la directriz. Luego la ecuación de directriz.

El número se llama parámetro focal de la parábola. Sea el punto actual de la parábola. Sea el radio focal del punto de la hipérbola. Sea la distancia del punto a la directriz. Entonces( dibujo 27.)

Dibujo 27.

Por definición de parábola. Por eso,

Elevemos la ecuación al cuadrado y obtengamos:

(15)

donde (15) es la ecuación canónica de una parábola que es simétrica con respecto al eje y pasa por el origen.

Estudio de las propiedades de una parábola.

1) Vértice de la parábola:

La ecuación (15) se satisface con números y, por tanto, la parábola pasa por el origen.

2) Simetría de parábola:

Pertenecemos a la parábola, es decir, verdadera igualdad. El punto es simétrico al punto con respecto al eje, por lo tanto, la parábola es simétrica con respecto al eje de abscisas.

Excentricidad de la parábola:

Definición 4.2. La excentricidad de una parábola es un número igual a uno.

Ya que por definición de parábola.

4) Tangente de la parábola:

La tangente a una parábola en el punto de tangencia viene dada por la ecuación

Dónde ( dibujo 28.)

Dibujo 28.

Imagen de parábola

Dibujo 29.

Usando ESO-Mathcad:

dibujo 30.)

Dibujo 30.

a) Construcción sin el uso de TIC: Para construir una parábola, establecemos un sistema de coordenadas rectangular con centro en el punto O y un segmento unitario. Marcamos el foco en el eje OX, ya que dibujamos tal que, y la directriz de la parábola. Construimos un círculo en un punto con un radio igual a la distancia desde la línea recta hasta la directriz de la parábola. El círculo corta a la recta en puntos. Construimos una parábola de modo que pase por el origen y por los puntos.( dibujo 31.)

Dibujo 31.

b)Usando ESO-Mathcad:

La ecuación resultante se parece a: . Para construir una recta de segundo orden en el programa Mathcad, reducimos la ecuación a la forma: .( dibujo 32.)

Dibujo 32.

Para resumir el trabajo sobre la teoría de las líneas de segundo orden en matemáticas elementales y para la conveniencia de utilizar información sobre las líneas al resolver problemas, incluiremos todos los datos sobre las líneas de segundo orden en la Tabla No. 1.

Cuadro No. 1.

Rectas de segundo orden en matemáticas elementales.

Posibilidades de utilizar las TIC en el estudio de líneas de segundo orden

El proceso de informatización, que hoy ha abarcado todos los aspectos de la vida de la sociedad moderna, tiene varias áreas prioritarias, entre las que, por supuesto, debería incluirse la informatización de la educación. Es la base fundamental para la racionalización global de la actividad intelectual humana mediante el uso de las tecnologías de la información y la comunicación (TIC).

Desde mediados de los años 90 del siglo pasado hasta hoy se caracteriza por el uso generalizado y la disponibilidad de computadoras personales en Rusia, el uso generalizado de las telecomunicaciones, que permite la introducción de tecnologías de la información educativa desarrolladas en el proceso educativo, mejorándolas y modernizándolas, mejorando. la calidad del conocimiento, aumentando la motivación para aprender, aprovechando al máximo el principio de individualización del aprendizaje. Las tecnologías de la información para la educación son una herramienta necesaria en esta etapa de informatización de la educación.

Las tecnologías de la información no solo facilitan el acceso a la información y abren oportunidades para la variabilidad de las actividades educativas, su individualización y diferenciación, sino que también permiten reorganizar de una manera nueva la interacción de todos los sujetos de aprendizaje, para construir un sistema educativo en el que El estudiante sería un participante activo e igualitario en las actividades educativas.

La formación de nuevas tecnologías de la información en el marco de las lecciones temáticas estimula la necesidad de crear nuevos software y complejos metodológicos destinados a aumentar cualitativamente la efectividad de la lección. Por lo tanto, para el uso exitoso y decidido de las herramientas de tecnología de la información en el proceso educativo, los docentes deben conocer la descripción general de los principios de funcionamiento y las capacidades didácticas de las aplicaciones de software y luego, en base a su experiencia y recomendaciones, “construirlas”. en el proceso educativo.

El estudio de las matemáticas presenta actualmente una serie de características y dificultades en el desarrollo de la educación escolar en nuestro país.

Ha surgido la llamada crisis de la educación matemática. Las razones de esto son las siguientes:

Al cambiar las prioridades en la sociedad y en la ciencia, es decir, la prioridad de las humanidades está creciendo actualmente;

Reducir el número de lecciones de matemáticas en la escuela;

El aislamiento del contenido de la educación matemática de la vida;

Tiene poco impacto en los sentimientos y emociones de los estudiantes.

Hoy la pregunta sigue abierta: "¿Cómo utilizar de la manera más eficaz las capacidades potenciales de las modernas tecnologías de la información y la comunicación en la enseñanza a los escolares, incluso en la enseñanza de matemáticas?"

Una computadora es una excelente ayuda en el estudio de un tema como la "Función cuadrática", porque con la ayuda de programas especiales se pueden construir gráficas de varias funciones, explorar funciones, determinar fácilmente las coordenadas de los puntos de intersección, calcular las áreas de figuras cerradas, etc. Por ejemplo, en una lección de álgebra de noveno grado dedicada a la transformación de gráficos (estirar, comprimir, mover ejes de coordenadas), solo se puede ver el resultado congelado de la construcción, mientras que se puede ver toda la dinámica de las acciones secuenciales del maestro y el alumno. en la pantalla del monitor.

La computadora, como ninguna otra herramienta técnica, revela al estudiante de manera precisa, visual y emocionante modelos matemáticos ideales, es decir, lo que un niño debe esforzarse en sus acciones prácticas.

¿Cuántas dificultades tiene que atravesar un profesor de matemáticas para convencer a sus estudiantes de que la tangente a la gráfica de una función cuadrática en el punto de tangencia prácticamente se fusiona con la gráfica de la función? Es muy fácil demostrar este hecho en una computadora: basta con reducir el intervalo a lo largo del eje Ox y descubrir que en una vecindad muy pequeña del punto de tangencia, la gráfica de la función y la recta tangente coinciden. Todas estas acciones se desarrollan frente a los estudiantes. Este ejemplo proporciona un impulso para la reflexión activa en la lección. El uso del ordenador es posible tanto durante la explicación de material nuevo en clase como en la fase de control. Con la ayuda de estos programas, por ejemplo "Mi examen", el estudiante puede probar de forma independiente su nivel de conocimientos teóricos y completar tareas teóricas y prácticas. Los programas son convenientes por su versatilidad. Se pueden utilizar tanto para el autocontrol como para el control del profesor.

Una integración razonable de las matemáticas y la tecnología informática nos permitirá observar de manera más rica y profunda el proceso de resolución de un problema y el proceso de comprensión de las leyes matemáticas. Además, la computadora ayudará a formar una cultura gráfica, matemática y mental de los estudiantes, y con la ayuda de una computadora se podrán preparar materiales didácticos: fichas, hojas de encuestas, pruebas, etc. oportunidad de desarrollar de forma independiente pruebas sobre el tema, durante las cuales se muestra interés y creatividad.

Por tanto, existe la necesidad de utilizar las computadoras en las lecciones de matemáticas lo más ampliamente posible. El uso de tecnologías de la información ayudará a mejorar la calidad del conocimiento, ampliará los horizontes del estudio de la función cuadrática y, por lo tanto, ayudará a encontrar nuevas perspectivas para mantener el interés de los estudiantes en la materia y el tema y, por lo tanto, en una actitud mejor y más atenta hacia él. . Hoy en día, las tecnologías de la información modernas se están convirtiendo en la herramienta más importante para modernizar la escuela en su conjunto, desde la gestión hasta la educación y garantizar la accesibilidad de la educación.

Una parábola es un conjunto de puntos en un plano equidistantes de un punto dado.(enfocar)y desde una recta dada que no pasa por un punto dado (directoras), ubicado en el mismo plano(Figura 5).

En este caso, el sistema de coordenadas se elige de modo que el eje
pasa perpendicular a la directriz a través del foco, su dirección positiva se elige desde la directriz hacia el foco. El eje de ordenadas corre paralelo a la directriz, en el medio entre la directriz y el foco, de donde la ecuación de la directriz
, coordenadas de enfoque
. El origen es el vértice de la parábola y el eje x es su eje de simetría. Excentricidad de la parábola
.

En varios casos, se consideran parábolas definidas por las ecuaciones.

A)

b)
(para todos los casos
)

V)
.

En el caso a) la parábola es simétrica con respecto al eje.
y está dirigido en su dirección negativa (Fig. 6).

En los casos b) y c) el eje de simetría es el eje
(Figura 6). Coordenadas de enfoque para estos casos:

A)
b)
V)
.

Ecuación de directriz:

A)
b)
V)
.

Ejemplo 4. Una parábola con vértice en el origen pasa por un punto.
y simétrico respecto al eje
. Escribe su ecuación.

Solución:

Como la parábola es simétrica con respecto al eje
y pasa por el punto con abscisa positiva, entonces tiene la forma que se muestra en la Fig. 5.

Sustitución de coordenadas de puntos en la ecuación de tal parábola
, obtenemos
, es decir.
.

Por lo tanto, la ecuación requerida

,

El foco de esta parábola.
, ecuación de directriz
.

4. Transformación de la ecuación lineal de segundo orden a forma canónica.

La ecuación general de segundo grado tiene la forma

donde estan los coeficientes
no vayas a cero al mismo tiempo.

Cualquier recta definida por la ecuación (6) se llama recta de segundo orden. Utilizando una transformación del sistema de coordenadas, la ecuación de una recta de segundo orden se puede reducir a su forma más simple (canónica).

1. En la ecuación (6)
. En este caso, la ecuación (6) tiene la forma

Se convierte a su forma más simple mediante la traducción paralela de los ejes de coordenadas según las fórmulas.

(8)

Dónde
– coordenadas del nuevo comienzo
(en el antiguo sistema de coordenadas). Ejes nuevos
Y
paralelos a los antiguos. Punto
es el centro de una elipse o hipérbola y el vértice en el caso de una parábola.

Es conveniente reducir la ecuación (7) a su forma más simple utilizando el método de aislar cuadrados completos, similar a como se hizo para un círculo.

Ejemplo 5. Reduzca la ecuación lineal de segundo orden a su forma más simple. Determine el tipo y la ubicación de esta línea. Encuentra las coordenadas de los focos. Haz un dibujo.

Solución:

Agrupamos miembros que contienen solo pero sólo , sacando los coeficientes para Y detrás del soporte:

Completamos las expresiones entre paréntesis para completar cuadrados:

Por lo tanto, esta ecuación se transforma a la forma

designamos

o

Comparando con las ecuaciones (8), vemos que estas fórmulas determinan la transferencia paralela de los ejes de coordenadas al punto
. En el nuevo sistema de coordenadas, la ecuación se escribirá de la siguiente manera:

Moviendo el término libre hacia la derecha y dividiéndolo por él, obtenemos:

.

Entonces, esta recta de segundo orden es una elipse con semiejes
,
. El centro de la elipse está en el nuevo origen.
, y su eje focal es el eje
. Distancia de los focos desde el centro, por lo que nuevas coordenadas del foco derecho
. Las antiguas coordenadas del mismo foco se encuentran a partir de las fórmulas de traducción paralela:

Asimismo, las nuevas coordenadas de enfoque izquierdo
,
. Sus antiguas coordenadas:
,
.

Comentario. Para aclarar el dibujo, es útil encontrar los puntos de intersección de esta línea (7) con los antiguos ejes de coordenadas. Para ello primero debemos poner en la fórmula (7)
, y luego
y resuelve las ecuaciones resultantes.

La aparición de raíces complejas hará que la línea (7) no corte al eje de coordenadas correspondiente.

Por ejemplo, para la elipse del problema que acabamos de comentar, se obtienen las siguientes ecuaciones:

La segunda de estas ecuaciones tiene raíces complejas, por lo que el eje de la elipse
no se cruza. Las raíces de la primera ecuación son:

En puntos
Y
la elipse cruza el eje
(Figura 7).

Ejemplo 6. Reducir la ecuación de una recta de segundo orden a su forma más simple. Determine el tipo y ubicación de la línea, encuentre las coordenadas focales.

Solución:

Dado que el miembro con falta, entonces necesita seleccionar un cuadrado completo solo :

También sacamos el coeficiente en

.

designamos

o

Esto da como resultado una transferencia paralela del sistema de coordenadas al punto
. Después de la traducción, la ecuación tomará la forma

.

Por lo tanto el foco tiene nuevas coordenadas.

.

Sus antiguas coordenadas

Si ponemos en esta ecuación
o
, entonces encontramos que la parábola corta al eje
en el punto
, y el eje
ella no cruza.

2. En la ecuación (1)
. La ecuación general (1) de segundo grado se transforma a la forma (2), es decir a lo discutido en el párrafo 1. caso, girando los ejes de coordenadas en un ángulo
según fórmulas

(9)

Dónde
– nuevas coordenadas. Esquina
se encuentra a partir de la ecuación

Los ejes de coordenadas se giran de modo que los nuevos ejes
Y
eran paralelos a los ejes de simetría de la recta de segundo orden.

Conocimiento
, puede ser encontrado
Y
usando fórmulas de trigonometría

,
.

Si el ángulo de rotación
aceptamos ser considerados agudos, entonces en estas fórmulas debemos tomar el signo más, y para
También debemos tomar una solución positiva a la ecuación (5).

En particular, cuando
el sistema de coordenadas debe girarse un ángulo
. Las fórmulas de rotación para los carbones son:

(11)

Ejemplo 7. Reduzca la ecuación lineal de segundo orden a su forma más simple. Establezca el tipo y la ubicación de esta línea.

Solución:

En este caso
, 1
,
, entonces el ángulo de rotación
se encuentra a partir de la ecuación

.

Solución a esta ecuación
Y
. Limitando a un ángulo agudo
, tomamos el primero de ellos. Entonces

,

,
.

Sustituyendo estos valores Y en esta ecuación

Abriendo los corchetes y trayendo otros similares, obtenemos

.

Finalmente, dividiendo por el término ficticio, llegamos a la ecuación de la elipse

.

Resulta que
,
, y el eje mayor de la elipse se dirige a lo largo del eje
, y el pequeño – a lo largo del eje
.

Tienes un punto
, cuyo radio
inclinado al eje
en un angulo
, para cual
. Por lo tanto, a través de este punto
y pasará un nuevo eje x. Luego marcamos en los ejes.
Y
los vértices de la elipse y dibuje una elipse (Fig. 9).

Tenga en cuenta que esta elipse intersecta los antiguos ejes de coordenadas en puntos que se encuentran a partir de ecuaciones cuadráticas (si ponemos en esta ecuación
o
):

Y
.