Instrucciones
Antes de comenzar la prueba, asegúrese de que las líneas estén en el mismo plano y se puedan dibujar en él. La forma más sencilla de comprobarlo es midiendo con una regla. Para hacer esto, use una regla para medir la distancia entre las líneas rectas en varios lugares lo más separados posible. Si la distancia permanece sin cambios, las rectas dadas son paralelas. Pero este método no es lo suficientemente preciso, por lo que es mejor utilizar otros métodos.
Dibuja una tercera línea para que cruce ambas líneas paralelas. Con ellos forma cuatro esquinas exteriores y cuatro interiores. Considere las esquinas interiores. Los que pasan por la recta secante se llaman cruzados. Los que se encuentran de un lado se llaman unilaterales. Usando un transportador, mida los dos ángulos internos que se cruzan. Si son iguales entre sí, entonces las rectas serán paralelas. En caso de duda, mida los ángulos internos unilaterales y sume los valores resultantes. Las rectas serán paralelas si la suma de los ángulos internos de un lado es igual a 180º.
Si no tienes transportador, utiliza un cuadrado de 90º. Úselo para construir una perpendicular a una de las líneas. Después de esto, continúa esta perpendicular para que se cruce con otra línea. Usando el mismo cuadrado, verifica en qué ángulo lo cruza esta perpendicular. Si este ángulo también es de 90º, entonces las rectas son paralelas entre sí.
Si las rectas están dadas en el sistema de coordenadas cartesiano, encuentre su dirección o vectores normales. Si estos vectores, respectivamente, son colineales entre sí, entonces las rectas son paralelas. Reducir la ecuación de rectas a una forma general y encontrar las coordenadas del vector normal de cada recta. Sus coordenadas son iguales a los coeficientes A y B. Si la relación de las coordenadas correspondientes de los vectores normales es la misma, son colineales y las rectas son paralelas.
Por ejemplo, las líneas rectas vienen dadas por las ecuaciones 4x-2y+1=0 y x/1=(y-4)/2. La primera ecuación es de forma general, la segunda es canónica. Lleva la segunda ecuación a su forma general. Utilice la regla de conversión de proporciones para esto, el resultado será 2x=y-4. Después de la reducción a la forma general, se obtiene 2x-y+4=0. Dado que la ecuación general para cualquier línea se escribe Ax+By+C=0, entonces para la primera línea: A=4, B=2, y para la segunda línea A=2, B=1. Para la primera coordenada directa del vector normal (4;2), y para la segunda – (2;1). Encuentre la razón de las coordenadas correspondientes de los vectores normales 4/2=2 y 2/1=2. Estos números son iguales, lo que significa que los vectores son colineales. Como los vectores son colineales, las rectas son paralelas.
Definición 1
La recta $c$ se llama secante para las rectas $a$ y $b$, si las intersecta en dos puntos.
Considere dos líneas $a$ y $b$ y una línea secante $c$.
Cuando se cruzan, surgen ángulos, que denotamos con números del $1$ al $8$.
Cada uno de estos ángulos tiene un nombre que se suele utilizar en matemáticas:
- los pares de ángulos $3$ y $5$, $4$ y $6$ se llaman acostado transversalmente;
- los pares de ángulos $1$ y $5$, $4$ y $8$, $2$ y $6$, $3$ y $7$ se llaman adecuado;
- los pares de ángulos $4$ y $5$, $5$ y $6$ se llaman Unilateral.
Signos de líneas paralelas
Teorema 1
La igualdad de un par de ángulos transversales para las rectas $a$ y $b$ y la secante $c$ indica que las rectas $a$ y $b$ son paralelas:
Prueba.
Sean iguales los ángulos transversales de las líneas $a$ y $b$ y la transversal $c$: $∠1=∠2$.
Demostremos que $a \parallel b$.
Siempre que los ángulos $1$ y $2$ sean ángulos rectos, obtenemos que las rectas $a$ y $b$ serán perpendiculares a la recta $AB$, y por tanto paralelas.
Siempre que los ángulos $1$ y $2$ no sean ángulos rectos, trazamos desde el punto $O$ - el centro del segmento $AB$, una perpendicular $OH$ a la recta $a$.
En la recta $b$ trazamos el segmento $BH_1=AH$ y dibujamos el segmento $OH_1$. Obtenemos dos triángulos iguales $ОНА$ y $ОH_1В$ en dos lados y el ángulo entre ellos ($∠1=∠2$, $АО=ВО$, $BH_1=AH$), por lo tanto $∠3=∠4$ y $ ∠5=∠6$. Porque $∠3=∠4$, entonces el punto $H_1$ se encuentra en el rayo $ON$, por lo tanto los puntos $H$, $O$ y $H_1$ pertenecen a la misma recta. Porque $∠5=∠6$, entonces $∠6=90^(\circ)$. Así, las rectas $a$ y $b$ son perpendiculares a la recta $HH_1$ y son paralelas. El teorema ha sido demostrado.
Teorema 2
La igualdad de un par de ángulos correspondientes para las rectas $a$ y $b$ y la secante $c$ indica que las rectas $a$ y $b$ son paralelas:
si $∠1=∠2$, entonces $a \parallel b$.
Prueba.
Sean iguales los ángulos correspondientes a las rectas $а$ y $b$ y la secante $с$: $∠1=∠2$. Los ángulos $2$ y $3$ son verticales, entonces $∠2=∠3$. Entonces $∠1=∠3$. Porque Los ángulos $1$ y $3$ son transversales, entonces las líneas $a$ y $b$ son paralelas. El teorema ha sido demostrado.
Teorema 3
Si la suma de dos ángulos unilaterales para las líneas $a$ y $b$ y la transversal $c$ es igual a $180^(\circ)C$, entonces las líneas $a$ y $b$ son paralelas:
si $∠1+∠4=180^(\circ)$, entonces $a \parallel b$.
Prueba.
Deje que los ángulos unilaterales de las líneas rectas $a$ y $b$ y la transversal $c$ sumen $180^(\circ)$, por ejemplo
$∠1+∠4=180^(\circ)$.
Los ángulos $3$ y $4$ son adyacentes, entonces
$∠3+∠4=180^(\circ)$.
De las igualdades obtenidas queda claro que los ángulos transversales $∠1=∠3$, de lo cual se deduce que las rectas $a$ y $b$ son paralelas.
El teorema ha sido demostrado.
De las características consideradas se deduce que las líneas son paralelas.
Ejemplos de resolución de problemas
Ejemplo 1
El punto de intersección divide los segmentos $AB$ y $CD$ por la mitad. Demuestre que $AC \parallel BD$.
Dado: $AO=OB$, $CO=OD$.
Probar: $AC \paralelo BD$.
Prueba.
De las condiciones del problema $AO=OB$, $CO=OD$ y la igualdad de los ángulos verticales $∠1=∠2$ según el primer criterio para la igualdad de triángulos se deduce que $\bigtriangleup COA=\bigtriangleup DOB$ . Por lo tanto, $∠3=∠4$.
Los ángulos $3$ y $4$ están transversalmente con dos rectas $AC$ y $BD$ y una transversal $AB$. Entonces, según el primer criterio para el paralelismo de rectas, $AC \parallel BD$. La afirmación ha sido probada.
Ejemplo 2
Dado un ángulo $∠2=45^(\circ)$, y $∠7$ es $3$ veces mayor que el ángulo dado. Demuestre que $a \parallel b$.
Dado: $∠2=45^(\circ)$, $∠7=3∠2$.
Probar: $a \paralelo b$.
Prueba:
- Encontremos el valor del ángulo $7$:
$∠7=3 \cdot 45^(\circ)=135^(\circ)$.
- Ángulos verticales $∠5=∠7=135^(\circ)$, $∠2=∠4=45^(\circ)$.
- Encontremos la suma de los ángulos interiores $∠5+∠4=135^(\circ)+45^(\circ)=180^(\circ)$.
Según el tercer criterio para el paralelismo de las rectas $a \parallel b$. La afirmación ha sido probada.
Ejemplo 3
Dado: $\bigtriangleup ABC=\bigtriangleup ADB$.
Probar: $AC \paralelo BD$, $AD \paralelo BC$.
Prueba:
Para los dibujos considerados, el lado $AB$ es común.
Porque los triángulos $ABC$ y $ADB$ son iguales, entonces $AD=CB$, $AC=BD$, así como los ángulos correspondientes son iguales $∠1=∠2$, $∠3=∠4$, $∠ 5=∠6$.
El par de ángulos $3$ y $4$ son transversales para las rectas $AC$ y $BD$ y la secante correspondiente $AB$, por lo tanto, según el primer criterio para el paralelismo de las rectas $AC \parallel BD$.
El par de ángulos $5$ y $6$ son transversales para las rectas $AD$ y $BC$ y la secante correspondiente $AB$, por lo tanto, según el primer criterio para el paralelismo de las rectas $AD \parallel BC$.
Clase: 2
El propósito de la lección:
- forme el concepto de paralelismo de 2 rectas, considere el primer signo de paralelismo de rectas;
- Desarrollar la capacidad de aplicar un signo al resolver problemas.
Tareas:
- Educativo: repetición y consolidación del material estudiado, formación del concepto de paralelismo de 2 rectas, prueba del 1er signo de paralelismo de 2 rectas.
- Educativo: desarrollar la capacidad de tomar notas con precisión en un cuaderno y seguir las reglas para la construcción de dibujos.
- Tareas de desarrollo: desarrollo del pensamiento lógico, memoria, atención.
Equipo de lección:
- proyector multimedia;
- pantalla, presentaciones;
- herramientas de dibujo.
durante las clases
I. Momento organizativo.
Saludo, comprobando la preparación para la lección.
II. Preparación para la UPD activa.
Nivel 1.
En la primera lección de geometría, observamos la posición relativa de dos líneas rectas en un plano.
Pregunta.¿Cuántos puntos comunes pueden tener dos rectas en común?
Respuesta. Dos rectas pueden tener un punto común o no tener un punto común.
Pregunta.¿Cómo se ubicarán las 2 rectas entre sí si tienen un punto común?
Respuesta. Si las rectas tienen un punto en común, entonces se cortan.
Pregunta.¿Cómo se ubican 2 rectas entre sí si no tienen puntos comunes?
Respuesta. Entonces, en este caso, estas líneas no se cruzan.
Etapa 2.
En la última lección, recibiste la tarea de hacer una presentación donde encontramos líneas que no se cruzan en nuestra vida y en la naturaleza. Ahora veremos estas presentaciones y seleccionaremos las mejores. (El jurado estuvo compuesto por estudiantes que, debido a su baja inteligencia, tienen dificultades para crear sus presentaciones).
Vea las presentaciones realizadas por los estudiantes: “Líneas paralelas en la naturaleza y la vida”, y seleccione las mejores.
III. UPD activo (explicación de nuevo material).
Nivel 1.
Foto 1
Definición. Dos rectas en un plano que no se cortan se llaman paralelas.
Esta tabla muestra varios casos de disposición de 2 rectas paralelas en un plano.
Consideremos qué segmentos serán paralelos.
Figura 2
1) Si la recta a es paralela a b, entonces los segmentos AB y CD son paralelos.
2) Un segmento puede ser paralelo a una recta. Entonces el segmento MN es paralelo a la recta a.
figura 3
3) El segmento AB es paralelo al rayo h. El rayo h es paralelo al rayo k.
4) Si la línea a es perpendicular a la línea c y la línea b es perpendicular a la línea c, entonces las líneas a y b son paralelas.
Etapa 2.
Ángulos formados por dos rectas paralelas y una transversal.
Figura 4
Dos rectas paralelas cortan a una tercera recta en dos puntos. En este caso se forman ocho ángulos, indicados con números en la figura.
Algunos pares de estos ángulos tienen nombres especiales (ver Figura 4).
existe tres signos de paralelismo de dos rectas asociado con estos ángulos. En esta lección veremos primer signo.
Etapa 3.
Repitamos el material necesario para demostrar esta característica.
Figura 5
Pregunta.¿Cuáles son los nombres de los ángulos que se muestran en la Figura 5?
Respuesta. Los ángulos AOC y COB se llaman adyacentes.
Pregunta.¿Qué ángulos se llaman adyacentes? Da una definición.
Respuesta. Dos ángulos se llaman adyacentes si tienen un lado en común y los otros dos son extensiones entre sí.
Pregunta.¿Qué propiedades tienen los ángulos adyacentes?
Respuesta. Los ángulos adyacentes suman 180 grados.
AOC + COB = 180°
Pregunta.¿Cómo se llaman los ángulos 1 y 2?
Respuesta. Los ángulos 1 y 2 se llaman verticales.
Pregunta.¿Qué propiedades tienen los ángulos verticales?
Respuesta. Los ángulos verticales son iguales entre sí.
Etapa 4.
Prueba del primer signo de paralelismo.
Teorema. Si cuando dos rectas se cortan transversalmente los ángulos que forman son iguales, entonces las rectas son paralelas.
Figura 6
Dado: a y b son rectas
AB - secante
1 =
2
Probar: a//b.
1er caso.
Figura 7
Si 1 y 2 son líneas rectas, entonces a es perpendicular a AB y b es perpendicular a AB, entonces a//b.
2do caso.
Figura 8
Consideremos el caso en el que 1 y 2 no son rectas Divida el segmento AB por la mitad por el punto O.
Pregunta.¿Cuáles son las longitudes de los segmentos AO y OB?
Respuesta. Los segmentos AO y OB tienen la misma longitud.
1) Desde el punto O trazamos una perpendicular a la recta a, OH es perpendicular a a.
Pregunta.¿Cuál será el ángulo 3?
Respuesta. El ángulo 3 será el correcto.
2) Desde el punto A en la recta b trazamos con un compás el segmento AH 1 = ВН.
3) Dibujemos el segmento OH 1.
Pregunta.¿Qué triángulos se formaron como resultado de la demostración?
Respuesta. Triángulo ONV y triángulo OH 1 A.
Demostremos que son iguales.
Pregunta.¿Qué ángulos son iguales según el teorema?
Respuesta. El ángulo 1 es igual al ángulo 2.
Pregunta. Qué lados son iguales en construcción.
Respuesta. AO = OV y AN 1 = VN
Pregunta.¿Según qué criterios los triángulos son congruentes?
Respuesta. Los triángulos son iguales en dos lados y el ángulo entre ellos (el primer signo de igualdad de los triángulos).
Pregunta.¿Qué propiedad tienen los triángulos congruentes?
Respuesta. En triángulos iguales, ángulos iguales se encuentran frente a lados iguales.
Pregunta.¿Qué ángulos serán iguales?
Respuesta.
5 =
6,
3 =
4.
Pregunta.¿Cómo se llaman el 5 y el 6?
Respuesta. Estos ángulos se llaman verticales.
De esto se deduce que los puntos: H 1, O, H se encuentran en la misma línea recta.
Porque
Pregunta. 3 es recto y 3 = 4, entonces 4 es recto.
Respuesta.¿Cómo se ubican las rectas a y b en relación con la recta НН 1, si los ángulos 3 y 4 son rectos?
Pregunta. Las líneas a y b son perpendiculares a HH 1.
Respuesta.¿Qué podemos decir de dos perpendiculares a una recta?
Dos perpendiculares a una recta son paralelas.
Ahora repetiré toda la prueba desde el principio, y me escucharás atentamente y tratarás de comprender y recordar todo.
IV. Consolidación de nuevo material.
Trabajar en grupos con diferentes niveles de desarrollo de la inteligencia, seguido de pruebas en la pantalla y en la pizarra. 3 alumnos trabajan en la pizarra (uno de cada grupo).
№1 (para estudiantes con un nivel reducido de desarrollo intelectual).
Dado: a y b son rectos
c - secante
1 = 37°
7 = 143°
Probar: a//b.
Solución.
7 = 6 (vertical) 6 = 143°
1 + 4 = 180° (adyacente) 4 =180° – 37° = 143°
4 = 6 = 143°, y se encuentran transversalmente a//b 5 = 48°, 3 y 5 son ángulos transversales, son iguales a a//b.
Figura 11
V. Resumen de la lección.
La lección se resume utilizando las Figuras 1-8.
Se evalúan las actividades de los estudiantes en la lección (cada estudiante recibe un emoticón correspondiente).
Tarea: enseñar – págs. 52-53; resuelve el número 186 (b, c).
Este artículo trata sobre rectas paralelas y rectas paralelas. Primero, se da la definición de rectas paralelas en un plano y en el espacio, se introducen notaciones, se dan ejemplos e ilustraciones gráficas de rectas paralelas. A continuación, se analizan los signos y condiciones para el paralelismo de líneas. En conclusión, se muestran soluciones a problemas típicos de demostración del paralelismo de rectas, que están dados por ciertas ecuaciones de una recta en un sistema de coordenadas rectangulares en un plano y en un espacio tridimensional.
Navegación de páginas.
Líneas paralelas: información básica.
Definición.
Dos rectas en un plano se llaman paralelo, si no tienen puntos en común.
Definición.
Dos líneas en el espacio tridimensional se llaman paralelo, si se encuentran en el mismo plano y no tienen puntos comunes.
Tenga en cuenta que la cláusula "si se encuentran en el mismo plano" en la definición de líneas paralelas en el espacio es muy importante. Aclaremos este punto: dos rectas en el espacio tridimensional que no tienen puntos comunes y no se encuentran en el mismo plano no son paralelas, sino que se cruzan.
A continuación se muestran algunos ejemplos de rectas paralelas. Los bordes opuestos de la hoja del cuaderno se encuentran en líneas paralelas. Las líneas rectas a lo largo de las cuales el plano de la pared de la casa cruza los planos del techo y el piso son paralelas. Los rieles de ferrocarril en terreno llano también pueden considerarse líneas paralelas.
Para indicar líneas paralelas, utilice el símbolo "". Es decir, si las líneas a y b son paralelas, entonces podemos escribir brevemente a b.
Tenga en cuenta: si las líneas a y b son paralelas, entonces podemos decir que la línea a es paralela a la línea b, y también que la línea b es paralela a la línea a.
Expresemos una afirmación que juega un papel importante en el estudio de las rectas paralelas en un plano: por un punto que no se encuentra en una recta dada, pasa la única recta paralela a la recta dada. Esta afirmación se acepta como un hecho (no se puede probar sobre la base de los axiomas conocidos de la planimetría) y se denomina axioma de las rectas paralelas.
Para el caso en el espacio, el teorema es válido: por cualquier punto del espacio que no se encuentre en una recta dada, pasa una única recta paralela a la dada. Este teorema se prueba fácilmente utilizando el axioma de rectas paralelas anterior (puede encontrar su demostración en el libro de texto de geometría para los grados 10-11, que se encuentra al final del artículo en la lista de referencias).
Para el caso en el espacio, el teorema es válido: por cualquier punto del espacio que no se encuentre en una recta dada, pasa una única recta paralela a la dada. Este teorema se puede demostrar fácilmente utilizando el axioma de líneas paralelas anterior.
Paralelismo de rectas: signos y condiciones de paralelismo.
Un signo de paralelismo de líneas. es una condición suficiente para que las rectas sean paralelas, es decir, una condición cuyo cumplimiento garantiza que las rectas sean paralelas. En otras palabras, el cumplimiento de esta condición es suficiente para establecer que las rectas son paralelas.
También existen condiciones necesarias y suficientes para el paralelismo de líneas en un plano y en un espacio tridimensional.
Expliquemos el significado de la frase “condición necesaria y suficiente para líneas paralelas”.
Ya nos hemos ocupado de la condición suficiente para las rectas paralelas. ¿Cuál es una “condición necesaria para líneas paralelas”? Del nombre "necesario" se desprende claramente que el cumplimiento de esta condición es necesario para líneas paralelas. En otras palabras, si no se cumple la condición necesaria para que las rectas sean paralelas, entonces las rectas no son paralelas. De este modo, condición necesaria y suficiente para líneas paralelas es una condición cuyo cumplimiento es necesario y suficiente para líneas paralelas. Es decir, por un lado, es un signo de paralelismo de rectas y, por otro lado, es una propiedad que tienen las rectas paralelas.
Antes de formular una condición necesaria y suficiente para el paralelismo de rectas, conviene recordar algunas definiciones auxiliares.
Linea secante es una línea que intersecta cada una de dos líneas dadas no coincidentes.
Cuando dos rectas se cruzan con una transversal se forman ocho no desarrolladas. La llamada acostado transversalmente, correspondiente Y ángulos unilaterales. Mostrémoslos en el dibujo.
Teorema.
Si dos rectas en un plano son intersecadas por una transversal, entonces para que sean paralelas es necesario y suficiente que los ángulos que se cruzan sean iguales, o los ángulos correspondientes sean iguales, o la suma de los ángulos unilaterales sea igual a 180. grados.
Mostremos una ilustración gráfica de esta condición necesaria y suficiente para el paralelismo de rectas en un plano.
Puede encontrar pruebas de estas condiciones para el paralelismo de líneas en los libros de texto de geometría para los grados 7-9.
Tenga en cuenta que estas condiciones también se pueden utilizar en el espacio tridimensional; lo principal es que las dos rectas y la secante se encuentran en el mismo plano.
A continuación se muestran algunos teoremas más que se utilizan a menudo para demostrar el paralelismo de rectas.
Teorema.
Si dos rectas en un plano son paralelas a una tercera recta, entonces son paralelas. La prueba de este criterio se deriva del axioma de rectas paralelas.
Existe una condición similar para las líneas paralelas en el espacio tridimensional.
Teorema.
Si dos rectas en el espacio son paralelas a una tercera recta, entonces son paralelas. La prueba de este criterio se analiza en las lecciones de geometría del décimo grado.
Ilustremos los teoremas enunciados.
Presentemos otro teorema que nos permite demostrar el paralelismo de rectas en un plano.
Teorema.
Si dos rectas en un plano son perpendiculares a una tercera recta, entonces son paralelas.
Existe un teorema similar para las rectas en el espacio.
Teorema.
Si dos líneas en el espacio tridimensional son perpendiculares al mismo plano, entonces son paralelas.
Hagamos dibujos correspondientes a estos teoremas.
Todos los teoremas, criterios y condiciones necesarias y suficientes formulados anteriormente son excelentes para demostrar el paralelismo de rectas utilizando los métodos de la geometría. Es decir, para demostrar el paralelismo de dos rectas dadas, es necesario demostrar que son paralelas a una tercera recta, o mostrar la igualdad de los ángulos transversales, etc. Muchos problemas similares se resuelven en las lecciones de geometría en la escuela secundaria. Sin embargo, cabe señalar que en muchos casos es conveniente utilizar el método de coordenadas para demostrar el paralelismo de rectas en un plano o en un espacio tridimensional. Formulemos las condiciones necesarias y suficientes para el paralelismo de líneas que se especifican en un sistema de coordenadas rectangular.
Paralelismo de rectas en un sistema de coordenadas rectangular.
En este párrafo del artículo formularemos Condiciones necesarias y suficientes para líneas paralelas. en un sistema de coordenadas rectangular, dependiendo del tipo de ecuaciones que definen estas rectas, y también brindamos soluciones detalladas a problemas característicos.
Comencemos con la condición de paralelismo de dos rectas en un plano en el sistema de coordenadas rectangular Oxy. Su prueba se basa en la definición del vector director de una recta y la definición del vector normal de una recta en un plano.
Teorema.
Para que dos rectas no coincidentes sean paralelas en un plano, es necesario y suficiente que los vectores directores de estas rectas sean colineales, o los vectores normales de estas rectas sean colineales, o el vector director de una recta sea perpendicular a la normal. vector de la segunda línea.
Evidentemente, la condición de paralelismo de dos rectas en un plano se reduce a (vectores directores de rectas o vectores normales de rectas) o a (vector director de una recta y vector normal de la segunda recta). Por tanto, si y son vectores directores de las rectas a y b, y 
Y 
son vectores normales de las rectas a y b, respectivamente, entonces la condición necesaria y suficiente para el paralelismo de las rectas a y b se escribirá como 
, o 
, o , donde t es un número real. A su vez, las coordenadas de las guías y (o) los vectores normales de las rectas ayb se encuentran utilizando las ecuaciones de rectas conocidas.
En particular, si la línea recta a en el sistema de coordenadas rectangulares Oxy en el plano define una ecuación general de línea recta de la forma 
, y la línea recta b - 
, entonces los vectores normales de estas rectas tienen coordenadas y, respectivamente, y la condición para el paralelismo de las rectas a y b se escribirá como .
Si la recta a corresponde a la ecuación de una recta con un coeficiente angular de la forma , y la recta b - , entonces los vectores normales de estas rectas tienen coordenadas y , y la condición de paralelismo de estas rectas toma la forma 
. En consecuencia, si las líneas en un plano en un sistema de coordenadas rectangulares son paralelas y pueden especificarse mediante ecuaciones de líneas con coeficientes angulares, entonces los coeficientes angulares de las líneas serán iguales. Y viceversa: si líneas no coincidentes en un plano en un sistema de coordenadas rectangulares pueden especificarse mediante ecuaciones de una línea con coeficientes angulares iguales, entonces dichas líneas son paralelas.
Si una recta a y una recta b en un sistema de coordenadas rectangulares están determinadas por las ecuaciones canónicas de una recta en un plano de la forma 
Y 
, o ecuaciones paramétricas de una línea recta en un plano de la forma 
Y 
en consecuencia, los vectores directores de estas rectas tienen coordenadas y , y la condición para el paralelismo de las rectas a y b se escribe como .
Veamos soluciones a varios ejemplos.
Ejemplo.
¿Las rectas son paralelas? 
Y ?
Solución.
Reescribamos la ecuación de una recta en segmentos en forma de ecuación general de una recta: 
. Ahora podemos ver que es el vector normal de la recta. , a es el vector normal de la recta. Estos vectores no son colineales, ya que no existe un número real t para el cual la igualdad ( 
). En consecuencia, no se cumple la condición necesaria y suficiente para el paralelismo de rectas en un plano, por tanto, las rectas dadas no son paralelas.
Respuesta:
No, las líneas no son paralelas.
Ejemplo.
¿Son rectas y paralelas?
Solución.
Reduzcamos la ecuación canónica de una línea recta a la ecuación de una línea recta con un coeficiente angular: . Obviamente, las ecuaciones de las rectas y no son iguales (en este caso, las rectas dadas serían las mismas) y los coeficientes angulares de las rectas son iguales, por lo tanto, las rectas originales son paralelas.
Segunda solución.
Primero, mostramos que las rectas originales no coinciden: tome cualquier punto de la recta, por ejemplo, (0, 1), las coordenadas de este punto no satisfacen la ecuación de la recta, por lo tanto, las rectas no coinciden. Ahora comprobemos el cumplimiento de la condición de paralelismo de estas líneas. El vector normal de una recta es el vector y el vector director de la recta es el vector. Calculemos y: 
. En consecuencia, los vectores y son perpendiculares, lo que significa que se cumple la condición necesaria y suficiente para el paralelismo de las rectas dadas. Por tanto, las rectas son paralelas.
Respuesta:
Las rectas dadas son paralelas.
Para demostrar el paralelismo de líneas en un sistema de coordenadas rectangulares en un espacio tridimensional, utilice la siguiente condición necesaria y suficiente.
Teorema.
Para el paralelismo de rectas divergentes en el espacio tridimensional, es necesario y suficiente que sus vectores directores sean colineales.
Por lo tanto, si se conocen las ecuaciones de las rectas en un sistema de coordenadas rectangulares en el espacio tridimensional y es necesario responder a la pregunta de si estas rectas son paralelas o no, entonces es necesario encontrar las coordenadas de los vectores directores de estas rectas y comprobar el cumplimiento de la condición de colinealidad de los vectores directores. En otras palabras, si 
Y 
- vectores de dirección de líneas rectas unas rectas dadas tienen coordenadas y . Porque 
, Eso . Por tanto, se cumple la condición necesaria y suficiente para el paralelismo de dos rectas en el espacio. Esto demuestra el paralelismo de las rectas. 
Y 
.
Bibliografía.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometría. Grados 7 – 9: libro de texto para instituciones de educación general.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometría. Libro de texto para 10-11 grados de escuela secundaria.
- Pogorelov A.V., Geometría. Libro de texto para los grados 7-11 en instituciones de educación general.
- Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Matemáticas avanzadas. Volumen uno: elementos de álgebra lineal y geometría analítica.
- Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometría analítica.
Primero, veamos la diferencia entre los conceptos de signo, propiedad y axioma.
Definición 1
Firmar llaman a un hecho determinado por el cual se puede determinar la verdad de un juicio sobre un objeto de interés.
Ejemplo 1
Las rectas son paralelas si sus transversales forman ángulos transversales iguales.
Definición 2
Propiedad se formula en el caso en que hay confianza en la imparcialidad de la sentencia.
Ejemplo 2
Cuando las rectas paralelas son paralelas, sus transversales forman ángulos transversales iguales.
Definición 3
Axioma llaman a una afirmación que no requiere prueba y se acepta como verdad sin ella.
Cada ciencia tiene axiomas en los que se basan los juicios posteriores y sus pruebas.
Axioma de rectas paralelas
A veces, el axioma de las rectas paralelas se acepta como una de las propiedades de las rectas paralelas, pero al mismo tiempo otras pruebas geométricas se basan en su validez.
Teorema 1
A través de un punto que no se encuentra en una línea dada, solo se puede trazar una línea recta en el plano, que será paralela a la dada.
El axioma no requiere demostración.
Propiedades de las rectas paralelas
Teorema 2
Propiedad1. Propiedad de transitividad de rectas paralelas:
Cuando una de dos líneas paralelas es paralela a la tercera, entonces la segunda línea será paralela a ella.
Las propiedades requieren prueba.
Prueba:
Sean dos rectas paralelas $a$ y $b$. La línea $c$ es paralela a la línea $a$. Comprobemos si en este caso la recta $c$ también será paralela a la recta $b$.
Para demostrarlo usaremos la proposición contraria:
Imaginemos que es posible que la línea $c$ sea paralela a una de las líneas, por ejemplo, la línea $a$, y corte a la otra línea, la línea $b$, en algún punto $K$.
Obtenemos una contradicción según el axioma de rectas paralelas. Esto da como resultado una situación en la que dos líneas se cruzan en un punto, además, paralelo a la misma línea $a$. Esta situación es imposible; por lo tanto, las líneas $b$ y $c$ no pueden cruzarse.
Así, se ha demostrado que si una de dos líneas paralelas es paralela a la tercera línea, entonces la segunda línea es paralela a la tercera línea.
Teorema 3
Propiedad 2.
Si una de dos líneas paralelas es intersectada por una tercera, entonces la segunda línea también será intersectada por esta.
Prueba:
Sean dos rectas paralelas $a$ y $b$. Además, supongamos que haya alguna línea $c$ que interseque a una de las líneas paralelas, por ejemplo, la línea $a$. Es necesario demostrar que la línea $c$ también intersecta a la segunda línea, la línea $b$.
Construyamos una prueba por contradicción.
Imaginemos que la línea $c$ no intersecta a la línea $b$. Entonces por el punto $K$ pasan dos rectas $a$ y $c$, que no cortan a la recta $b$, es decir, son paralelas a ésta. Pero esta situación contradice el axioma de las rectas paralelas. Esto significa que la suposición era incorrecta y la línea $c$ se cruzará con la línea $b$.
El teorema ha sido demostrado.
Propiedades de las esquinas, que forman dos rectas paralelas y una secante: los ángulos opuestos son iguales, los ángulos correspondientes son iguales, * la suma de los ángulos unilaterales es $180^(\circ)$.
Ejemplo 3
Dadas dos rectas paralelas y una tercera recta perpendicular a una de ellas. Demuestre que esta recta es perpendicular a otra de las rectas paralelas.
Prueba.
Tengamos las rectas $a \parallel b$ y $c \perp a$.
Dado que la línea $c$ intersecta a la línea $a$, entonces, de acuerdo con la propiedad de las líneas paralelas, también cortará a la línea $b$.
La secante $c$, que corta las líneas paralelas $a$ y $b$, forma ángulos internos iguales que se encuentran transversalmente a ellas.
Porque $c \perp a$, entonces los ángulos serán $90^(\circ)$.
Por lo tanto, $c \perp b$.
La prueba está completa.
