La transformación de Laplace de la DE permite introducir un concepto conveniente de función de transferencia que caracteriza las propiedades dinámicas del sistema.
Por ejemplo, la ecuación del operador
3s 2 Y(s) + 4sY(s) + Y(s) = 2sX(s) + 4X(s)
se puede transformar quitando X(s) e Y(s) de paréntesis y dividiéndolos entre sí:
Y(s)*(3s 2 + 4s + 1) = X(s)*(2s + 4)
La expresión resultante se llama función de transferencia.
Función de transferencia se denomina relación entre la imagen del efecto de salida Y (s) y la imagen de la entrada X (s) en condiciones iniciales cero.
(2.4)
La función de transferencia es una función racional fraccionaria de una variable compleja:
,
donde B(s) = b 0 + b 1 s + b 2 s 2 + … + b m s m - polinomio numerador,
A(s) = a 0 + a 1 s + a 2 s 2 + … + a n s n - polinomio denominador.
La función de transferencia tiene un orden que está determinado por el orden del polinomio denominador (n).
De (2.4) se deduce que la imagen de la señal de salida se puede encontrar como
Y(s) = W(s)*X(s).
Dado que la función de transferencia del sistema determina completamente sus propiedades dinámicas, la tarea inicial de calcular el ASR se reduce a determinar su función de transferencia.
2.6.2 Ejemplos de enlaces típicos
Un vínculo de un sistema es un elemento de un sistema que tiene ciertas propiedades dinámicas. Los enlaces de los sistemas de control pueden tener diferente naturaleza física (enlaces eléctricos, neumáticos, mecánicos, etc.), pero se describen mediante el mismo control remoto, y la relación entre las señales de entrada y salida en los enlaces se describe mediante las mismas funciones de transferencia. .
En TAU se distingue un grupo de unidades más simples, que suelen denominarse típicas. Las características estáticas y dinámicas de los enlaces típicos se han estudiado con bastante detalle. Los enlaces estándar se utilizan ampliamente para determinar las características dinámicas de los objetos de control. Por ejemplo, conociendo la respuesta transitoria construida utilizando un dispositivo de registro, a menudo es posible determinar a qué tipo de enlaces pertenece el objeto de control y, por tanto, su función de transferencia, ecuación diferencial, etc., es decir. modelo de objeto. Enlaces típicos Cualquier enlace complejo se puede representar como una conexión de enlaces más simples.
Los enlaces típicos más simples incluyen:
amplificación,
inercial (aperiódico de primer orden),
integrando (real e ideal),
diferenciando (real e ideal),
aperiódico de segundo orden,
oscilatorio,
demorado.
1) Enlace de refuerzo.
El enlace amplifica la señal de entrada K veces. La ecuación de enlace y = K*x, función de transferencia W(s) = K. El parámetro K se llama ganar .
La señal de salida de dicho enlace repite exactamente la señal de entrada, amplificada K veces (ver Figura 1.18).
Con acción gradual h(t) = K.
Ejemplos de dichos enlaces son: transmisiones mecánicas, sensores, amplificadores sin inercia, etc.
2) Integrar.
2.1) Integrante ideal.
El valor de salida del enlace integrador ideal es proporcional a la integral del valor de entrada:
; W(s) = 
Cuando se aplica un enlace de acción escalonada x(t) = 1 a la entrada, la señal de salida aumenta constantemente (consulte la Figura 1.19):
Este enlace es estático, es decir. no tiene un estado estacionario.
Un ejemplo de tal vínculo es un recipiente lleno de líquido. El parámetro de entrada es el caudal del líquido entrante, el parámetro de salida es el nivel. Inicialmente, el recipiente está vacío y, en ausencia de flujo, el nivel es cero, pero si abre el suministro de líquido, el nivel comienza a aumentar de manera uniforme.
2.2) Integración real.
PAG 
La función de transferencia de este enlace tiene la forma
W(s) = 
.
La respuesta de transición, a diferencia de un vínculo ideal, es una curva (ver figura 1.20):
h(t) = K . (t – T) + K . T. e-t/T.
Un ejemplo de enlace integrador es un motor de CC con excitación independiente, si se toma la tensión de alimentación del estator como efecto de entrada y el ángulo de rotación del rotor como efecto de salida. Si no se suministra voltaje al motor, entonces el rotor no se mueve y su ángulo de rotación puede considerarse igual a cero. Cuando se aplica voltaje, el rotor comienza a girar y su ángulo de rotación primero es lento debido a la inercia y luego aumenta más rápido hasta alcanzar una cierta velocidad de rotación.
3) Diferenciar.
3.1) Diferenciador ideal.
La cantidad de salida es proporcional a la derivada temporal de la entrada:
; W(s) = K*s
Con una señal de entrada escalonada, la señal de salida es un impulso (función ): h(t) = K. (t).
3.2) Diferenciación real.
Los vínculos diferenciadores ideales no son realizables físicamente. La mayoría de los objetos que representan enlaces diferenciadores pertenecen a enlaces diferenciadores reales, cuyas funciones de transferencia tienen la forma
W(s) = 
.
Respuesta al paso: 
.
Ejemplo de enlace: generador eléctrico. El parámetro de entrada es el ángulo de rotación del rotor, el parámetro de salida es el voltaje. Si el rotor se gira en un cierto ángulo, aparecerá voltaje en los terminales, pero si el rotor no se gira más, el voltaje caerá a cero. No puede caer bruscamente debido a la presencia de inductancia en el devanado.
4) Aperiódico (inercial).
Este enlace corresponde a DE y PF del formulario
; W(s) = 
.
Determinemos la naturaleza del cambio en el valor de salida de este enlace cuando se aplica un efecto gradual del valor x 0 a la entrada.
Imagen del efecto escalonado: X(s) = 
. Entonces la imagen de la cantidad de salida es:
Y(s) = W(s) X(s) = 
= K x 0 
.
Dividamos la fracción en primos:
=
+
=
=
-
=
-
El original de la primera fracción según la tabla: L -1 () = 1, la segunda:
L -1 ( 
}
=
.
Entonces finalmente conseguimos
y(t) = K x 0 (1 - 
).
La constante T se llama tiempo constante.
La mayoría de los objetos térmicos son enlaces aperiódicos. Por ejemplo, cuando se aplica voltaje a la entrada de un horno eléctrico, su temperatura cambiará según una ley similar (ver Figura 1.22).
5) Enlaces de segundo orden
Los enlaces tienen control remoto y PF de la forma.
,
W(s) = 
.
Cuando se aplica un efecto escalonado con amplitud x 0 a la entrada, la curva de transición tendrá uno de dos tipos: aperiódica (en T 1 2T 2) u oscilatoria (en T 1< 2Т 2).
En este sentido, se distinguen enlaces de segundo orden:
aperiódico de segundo orden (T 1 2T 2),
inercial (T 1< 2Т 2),
conservador (T 1 = 0).
6) Retrasado.
Si, cuando se aplica una determinada señal a la entrada de un objeto, este no reacciona a esta señal inmediatamente, sino después de un tiempo, se dice que el objeto tiene un retraso.
Retraso– este es el intervalo de tiempo desde el momento en que cambia la señal de entrada hasta que la señal de salida comienza a cambiar.
Un vínculo retrasado es un vínculo en el que el valor de salida y repite exactamente el valor de entrada x con cierto retraso :
y(t) = x(t - ).
Función de transferencia de enlace:
W(s) = mi - s .
Ejemplos de retrasos: el movimiento de líquido a lo largo de una tubería (cuánto líquido se bombeó al comienzo de la tubería, gran parte saldrá al final, pero después de un tiempo mientras el líquido se mueve a través de la tubería), el movimiento de carga a lo largo de un transportador (el retraso está determinado por la longitud del transportador y la velocidad de la cinta), etc. .d.
La transformación de Laplace de la DE permite introducir un concepto conveniente de función de transferencia que caracteriza las propiedades dinámicas del sistema.
Por ejemplo, la ecuación del operador
3s 2 Y(s) + 4sY(s) + Y(s) = 2sX(s) + 4X(s)
se puede transformar quitando X(s) e Y(s) de paréntesis y dividiéndolos entre sí:
Y(s)*(3s 2 + 4s + 1) = X(s)*(2s + 4)
La expresión resultante se llama función de transferencia.
Función de transferencia se denomina relación entre la imagen del efecto de salida Y (s) y la imagen de la entrada X (s) en condiciones iniciales cero.
(2.4)
La función de transferencia es una función racional fraccionaria de una variable compleja:
,
donde B(s) = b 0 + b 1 s + b 2 s 2 + … + b m s m - polinomio numerador,
A(s) = a 0 + a 1 s + a 2 s 2 + … + a n s n - polinomio denominador.
La función de transferencia tiene un orden que está determinado por el orden del polinomio denominador (n).
De (2.4) se deduce que la imagen de la señal de salida se puede encontrar como
Y(s) = W(s)*X(s).
Dado que la función de transferencia del sistema determina completamente sus propiedades dinámicas, la tarea inicial de calcular el ASR se reduce a determinar su función de transferencia.
Ejemplos de enlaces típicos
Un vínculo de un sistema es un elemento de un sistema que tiene ciertas propiedades dinámicas. Los enlaces de los sistemas de control pueden tener diferente naturaleza física (enlaces eléctricos, neumáticos, mecánicos, etc.), pero se describen mediante el mismo control remoto, y la relación entre las señales de entrada y salida en los enlaces se describe mediante las mismas funciones de transferencia. .
En TAU se distingue un grupo de unidades más simples, que suelen denominarse típicas. Las características estáticas y dinámicas de los enlaces típicos se han estudiado con bastante detalle. Los enlaces estándar se utilizan ampliamente para determinar las características dinámicas de los objetos de control. Por ejemplo, conociendo la respuesta transitoria construida utilizando un dispositivo de registro, a menudo es posible determinar a qué tipo de enlaces pertenece el objeto de control y, por tanto, su función de transferencia, ecuación diferencial, etc., es decir. modelo de objeto. Enlaces típicos Cualquier enlace complejo se puede representar como una conexión de enlaces más simples.
Los enlaces típicos más simples incluyen:
· intensificando,
· inercial (aperiódico de primer orden),
integrando (real e ideal),
diferenciando (real e ideal),
· aperiódico de segundo orden,
· oscilatorio,
· demorado.
1) Enlace de refuerzo.
El enlace amplifica la señal de entrada K veces. La ecuación de enlace y = K*x, función de transferencia W(s) = K. El parámetro K se llama ganar
.
La señal de salida de dicho enlace repite exactamente la señal de entrada, amplificada K veces (ver Figura 1.18).
Con acción gradual h(t) = K.
Ejemplos de dichos enlaces son: transmisiones mecánicas, sensores, amplificadores sin inercia, etc.
2) Integrar.
2.1) Integrante ideal.
El valor de salida del enlace integrador ideal es proporcional a la integral del valor de entrada:
; W(s) =
Cuando se aplica un enlace de acción escalonada x(t) = 1 a la entrada, la señal de salida aumenta constantemente (consulte la Figura 1.19):
Este enlace es estático, es decir. no tiene un estado estacionario.
Un ejemplo de tal vínculo es un recipiente lleno de líquido. El parámetro de entrada es el caudal del líquido entrante, el parámetro de salida es el nivel. Inicialmente, el recipiente está vacío y, en ausencia de flujo, el nivel es cero, pero si abre el suministro de líquido, el nivel comienza a aumentar de manera uniforme.
2.2) Integración real.
La función de transferencia de este enlace tiene la forma
La respuesta de transición, a diferencia de un vínculo ideal, es una curva (ver figura 1.20):
h(t) = K . (t – T) + K . T. e-t/T.
Un ejemplo de enlace integrador es un motor de CC con excitación independiente, si se toma la tensión de alimentación del estator como efecto de entrada y el ángulo de rotación del rotor como efecto de salida. Si no se suministra voltaje al motor, entonces el rotor no se mueve y su ángulo de rotación puede considerarse igual a cero. Cuando se aplica voltaje, el rotor comienza a girar y su ángulo de rotación primero es lento debido a la inercia y luego aumenta más rápido hasta alcanzar una cierta velocidad de rotación.
3) Diferenciar.
3.1) Diferenciador ideal.
La cantidad de salida es proporcional a la derivada temporal de la entrada:
Con una señal de entrada escalonada, la señal de salida es un pulso (función d): h(t) = K. re(t).
3.2) Diferenciación real.
Los vínculos diferenciadores ideales no son realizables físicamente. La mayoría de los objetos que representan enlaces diferenciadores pertenecen a enlaces diferenciadores reales, cuyas funciones de transferencia tienen la forma
Característica de transición: .
Ejemplo de enlace: generador eléctrico. El parámetro de entrada es el ángulo de rotación del rotor, el parámetro de salida es el voltaje. Si el rotor se gira en un cierto ángulo, aparecerá voltaje en los terminales, pero si el rotor no se gira más, el voltaje caerá a cero. No puede caer bruscamente debido a la presencia de inductancia en el devanado.
4) Aperiódico (inercial).
Este enlace corresponde a DE y PF del formulario
; W(s) = .
Determinemos la naturaleza del cambio en el valor de salida de este enlace cuando se aplica un efecto gradual del valor x 0 a la entrada.
Imagen del efecto escalonado: X(s) = . Entonces la imagen de la cantidad de salida es:
Y(s) = W(s) X(s) = = K x 0 .
Dividamos la fracción en primos:
= + = 
= - = -
El original de la primera fracción según la tabla: L -1 ( ) = 1, la segunda:
Entonces finalmente conseguimos
y(t) = K x 0 (1 - ).
La constante T se llama tiempo constante.
La mayoría de los objetos térmicos son enlaces aperiódicos. Por ejemplo, cuando se aplica voltaje a la entrada de un horno eléctrico, su temperatura cambiará según una ley similar (ver Figura 1.22).
5) Enlaces de segundo orden
Los enlaces tienen control remoto y PF de la forma.
,
W(s) = 
.
Cuando se aplica un efecto escalonado con amplitud x 0 a la entrada, la curva de transición tendrá uno de dos tipos: aperiódica (en T 1 ³ 2T 2) u oscilatoria (en T 1< 2Т 2).
En este sentido, se distinguen enlaces de segundo orden:
· aperiódico de 2º orden (T 1 ³ 2T 2),
· inercial (T 1< 2Т 2),
· conservador (T 1 = 0).
6) Retrasado.
Si, cuando se aplica una determinada señal a la entrada de un objeto, este no reacciona a esta señal inmediatamente, sino después de un tiempo, se dice que el objeto tiene un retraso.
Retraso– este es el intervalo de tiempo desde el momento en que cambia la señal de entrada hasta que la señal de salida comienza a cambiar.
Un vínculo retrasado es un vínculo en el que el valor de salida y repite exactamente el valor de entrada x con algún retraso t:
y(t) = x(t - t).
Función de transferencia de enlace:
W(s) = mi - t s .
Ejemplos de retrasos: el movimiento de líquido a lo largo de una tubería (cuánto líquido se bombeó al comienzo de la tubería, gran parte saldrá al final, pero después de un tiempo mientras el líquido se mueve a través de la tubería), el movimiento de carga a lo largo de un transportador (el retraso está determinado por la longitud del transportador y la velocidad de la cinta), etc. .d.
Conexiones de enlace
Dado que el objeto en estudio, para simplificar el análisis de su funcionamiento, se divide en enlaces, luego de determinar las funciones de transferencia para cada enlace, surge la tarea de combinarlas en una función de transferencia del objeto. El tipo de función de transferencia del objeto depende de la secuencia de conexiones de los enlaces:
1) Conexión en serie.
W rev = W 1. W2. W 3...
Cuando los enlaces están conectados en serie, sus funciones de transferencia multiplicar.
2) Conexión en paralelo.
W rev = W 1 + W 2 + W 3 +…
Cuando los enlaces están conectados en paralelo, sus funciones de transferencia plegar.
3) Comentarios
Función de transferencia por referencia (x):
“+” corresponde al sistema operativo negativo,
"-" - positivo.
Para determinar las funciones de transferencia de objetos con conexiones de enlaces más complejas, se utiliza la ampliación secuencial del circuito o se convierten mediante la fórmula del mesón.
Funciones de transferencia de ASR
Para la investigación y el cálculo, el diagrama estructural del ASR mediante transformaciones equivalentes se lleva a la forma estándar más simple "objeto - controlador" (ver Figura 1.27). Casi todos los métodos de ingeniería para calcular y determinar la configuración de los reguladores se aplican a una estructura estándar de este tipo.
En el caso general, cualquier ASR unidimensional con retroalimentación principal se puede llevar a esta forma ampliando gradualmente los enlaces.
Si la salida del sistema y no se alimenta a su entrada, entonces se obtiene un sistema de control de bucle abierto, cuya función de transferencia se define como el producto:
W ¥ = W p . W y
(W p - PF del regulador, W y - PF del objeto de control).
|
|
|
Esta función de transferencia Фз(s) determina la dependencia de y de x y se denomina función de transferencia de un sistema de circuito cerrado a lo largo del canal de acción de referencia (por referencia).
Para ASR también existen funciones de transferencia a través de otros canales:
Ф e (s) = = - por error,
Ф en (s) = = - por perturbación,
donde W (s) – función de transferencia del objeto de control a través del canal de transmisión de perturbaciones.
En cuanto a tener en cuenta la perturbación, son posibles dos opciones:
La perturbación tiene un efecto aditivo sobre la acción de control (ver Figura 1.29a);
La perturbación afecta las mediciones del parámetro controlado (ver Figura 1.29b).
Un ejemplo de la primera opción podría ser la influencia de las fluctuaciones de voltaje en la red sobre el voltaje suministrado por el regulador al elemento calefactor del objeto. Un ejemplo de la segunda opción: errores en la medición de un parámetro controlado debido a cambios en la temperatura ambiente. W u.v. – modelo de la influencia del medio ambiente en las mediciones.
Figura 1.30
Parámetros K0 = 1, K1 = 3, K2 = 1,5, K4 = 2, K5 = 0,5.
En el diagrama de bloques del ASR, los enlaces correspondientes al dispositivo de control se encuentran delante de los enlaces del objeto de control y generan una acción de control sobre el objeto u. El diagrama muestra que el circuito regulador incluye los enlaces 1, 2 y 3, y el circuito objeto incluye los enlaces 4 y 5.
Considerando que los enlaces 1, 2 y 3 están conectados en paralelo, obtenemos la función de transferencia del controlador como la suma de las funciones de transferencia de los enlaces:
Los enlaces 4 y 5 están conectados en serie, por lo que la función de transferencia del objeto de control se define como el producto de las funciones de transferencia de los enlaces:
Función de transferencia de bucle abierto:
de lo cual se desprende claramente que el numerador B(s) = 1,5. s 2 + 3 . s + 1, denominador (también el polinomio característico de un sistema en bucle abierto) A(s) = 2. s 3 + 3 . s 2 + s. Entonces el polinomio característico del sistema cerrado es igual a:
D(s) = A(s) + B(s) = 2 . s 3 + 3 . s 2 + s + 1,5. s 2 + 3 . s + 1 = 2. s 3 + 4,5. s 2 + 4 . s+1.
Funciones de transferencia del sistema de circuito cerrado:
en asignamiento 
,
por error 
.
Al determinar la función de transferencia de una perturbación, se toma W a.v. = W ou. Entonces
. ¨
El objetivo final del análisis ACS es resolver (si es posible) o estudiar la ecuación diferencial del sistema en su conjunto. Habitualmente se conocen las ecuaciones de los eslabones individuales que forman el SCA, y surge la tarea intermedia de obtener la ecuación diferencial del sistema a partir de las DE conocidas de sus eslabones. En la forma clásica de representar las ED, esta tarea está plagada de dificultades significativas. Usar el concepto de función de transferencia lo simplifica enormemente.
Describa algún sistema mediante una ecuación diferencial de la forma.
Introduciendo la notación = p, donde p se llama operador o símbolo de diferenciación, y ahora tratando este símbolo como un número algebraico ordinario, después de quitar x y x de los paréntesis, obtenemos la ecuación diferencial de este sistema. en forma de operador:
(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p +a 0)x fuera = (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x adentro. (3.38)
El polinomio en p en el valor de salida es
D(p)=a n p n +a n -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0 (3.39)
se llama operador propio y el polinomio en el valor de entrada se llama operador de influencia
K(p) = b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0 . (3.40)
La función de transferencia es la relación entre el operador de influencia y su propio operador:
W(p) = K(p)/D(p) = x afuera / x adentro. (3.41)
En lo que sigue, usaremos casi en todas partes la forma de operador para escribir ecuaciones diferenciales.
Tipos de conexiones de enlaces y álgebra de funciones de transferencia.
Obtener la función de transferencia de un sistema de control automático requiere conocimiento de las reglas para encontrar las funciones de transferencia de grupos de enlaces en los que los enlaces están conectados entre sí de una determinada manera. Hay tres tipos de conexiones.
1. Secuencial, en el que la salida del enlace anterior es la entrada del siguiente (Fig. 3.12):
| x fuera |
Arroz. 3.14. Espalda con espalda: conexión paralela.
Dependiendo de si la señal de retroalimentación x se suma a la señal de entrada xin o se resta de ella, se distingue entre retroalimentación positiva y negativa.
Aún basándonos en la propiedad de la función de transferencia, podemos escribir
W 1 (p) =x salida /(x entrada ±x); W 2 (p) = x/x fuera; W c = x salida / x entrada. (3.44)
Eliminando la coordenada interna x de las dos primeras ecuaciones, obtenemos la función de transferencia para tal conexión:
W c (p) = W 1 (p)/ . (3.45)
Hay que tener en cuenta que en la última expresión el signo más corresponde a negativo comentario.
En el caso de que un enlace tenga varias entradas (como, por ejemplo, un objeto de control), se consideran varias funciones de transferencia de este enlace, correspondientes a cada una de las entradas, por ejemplo, si la ecuación del enlace tiene la forma
D(p)y = K x (p)x + K z (p)z (3.46)
donde K x (p) y K z (p) son operadores de influencia en las entradas x y z, respectivamente, entonces este enlace tiene funciones de transferencia en las entradas x y z:
W x (p) = K x (p)/D(p); W z (p) = K z (p)/D(p). (3.47)
En el futuro, para reducir las entradas en las expresiones de funciones de transferencia y operadores correspondientes, omitiremos el argumento "p".
De una consideración conjunta de las expresiones (3.46) y (3.47) se deduce que
y = W x x+W z z, (3.48)
es decir, en el caso general, el valor de salida de cualquier enlace con varias entradas es igual a la suma de los productos de los valores de entrada y las funciones de transferencia para las entradas correspondientes.
Función de transferencia de SCA basada en perturbación.
La forma habitual de la estructura ACS, que opera sobre la desviación de una variable controlada, es la siguiente:
| W o z =K z /D objeto W o x =K x /D |
| W p y |
| z |
| y |
| -X |
Fig.3.15. ATS cerrado.
Prestemos atención al hecho de que la influencia reguladora se aplica al objeto con un signo cambiado. La conexión entre la salida de un objeto y su entrada a través del regulador se denomina retroalimentación principal (a diferencia de la posible retroalimentación adicional en el propio regulador). Según el significado mismo filosófico de regulación, la acción del regulador tiene como objetivo reducción de la desviación variable controlada, y por lo tanto La retroalimentación principal es siempre negativa. En la Fig. 3.15:
W o z - función de transferencia del objeto por perturbación;
W o x - función de transferencia del objeto según la influencia reguladora;
W p y - función de transferencia del controlador según la desviación y.
Las ecuaciones diferenciales de la planta y el controlador se ven así:
y=W o x x +W o z z
x = - W p y y. (3.49)
Sustituyendo x de la segunda ecuación en la primera y realizando la agrupación, obtenemos la ecuación ATS:
(1+W o x W p y)y = W o z z . (3.50)
De ahí la función de transferencia del ACS para la perturbación.
W c z = y/z =W o z /(1+W o x W p y) . (3.51)
De manera similar se puede obtener la función de transferencia del ACS para la acción de control:
W c u = W o x W p u /(1+W o x W p y) , (3.52)
donde W p u es la función de transferencia del controlador según la acción de control.
3.4 Oscilaciones forzadas y características de frecuencia del ACS.
En condiciones reales de funcionamiento, el ACS suele estar expuesto a fuerzas perturbadoras periódicas, que van acompañadas de cambios periódicos en cantidades controladas e influencias regulatorias. Se trata, por ejemplo, de vibraciones del barco cuando navega en mares agitados, fluctuaciones en la velocidad de rotación de la hélice y otras cantidades. En algunos casos, las amplitudes de las oscilaciones de las cantidades de salida del sistema pueden alcanzar valores inaceptablemente grandes, y esto corresponde al fenómeno de resonancia. Las consecuencias de la resonancia suelen ser desastrosas para el sistema que la experimenta, por ejemplo, volcar un barco o destruir un motor. En los sistemas de control, tales fenómenos son posibles cuando las propiedades de los elementos cambian debido al desgaste, reemplazo, reconfiguración o fallas. Entonces existe la necesidad de determinar rangos seguros de condiciones operativas o configurar adecuadamente el ATS. Estas cuestiones se considerarán aquí tal como se aplican a los sistemas lineales.
Deje que algún sistema tenga la estructura que se muestra a continuación:
| x=A x senωt |
| y=A y pecado(ωt+φ) |
Fig.3.16. ACS en modo de oscilación forzada.
Si el sistema está sujeto a una influencia periódica x con amplitud A x y frecuencia circular w, luego del final del proceso de transición, se producirán oscilaciones de la misma frecuencia con amplitud A y y desplazadas con respecto a las oscilaciones de entrada en un ángulo de fase j. establecerse en la salida. Los parámetros de oscilación de salida (amplitud y cambio de fase) dependen de la frecuencia de la fuerza impulsora. La tarea consiste en determinar los parámetros de las oscilaciones de salida a partir de los parámetros conocidos de las oscilaciones en la entrada.
De acuerdo con la función de transferencia ACS que se muestra en la figura 3.14, su ecuación diferencial tiene la forma
(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)y=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x. (3.53)
Sustituyamos en (3.53) las expresiones para xey que se muestran en la figura. 3.14:
(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y sin(wt+j)=
=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x senwt. (3.54)
Si consideramos el patrón de oscilación desplazado un cuarto del período, entonces en la ecuación (3.54) las funciones seno serán reemplazadas por funciones coseno:
(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y cos(wt+j)=
=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x coswt. (3.55)
Multipliquemos la ecuación (3.54) por i = y sumemos el resultado con (3.55):
(a n p n +a n -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0)A y =
= (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x (coswt+isinwt). (3.56)
Usando la fórmula de Euler
exp(±ibt)=cosbt±isinbt,
Reduzcamos la ecuación (3.56) a la forma
(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y exp=
= (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x exp(iwt). (3.57)
Realicemos la operación de diferenciación con respecto al tiempo proporcionada por el operador p=d/dt:
A y exp=
A x exp(iwt). (3.58)
Después de transformaciones simples relacionadas con la reducción por exp(iwt), obtenemos
El lado derecho de la expresión (3.59) es similar a la expresión de la función de transferencia ACS y se puede obtener de ella reemplazando p=iw. Por analogía, se denomina función de transferencia compleja W(iw), o característica de fase de amplitud (APC). También se utiliza con frecuencia el término respuesta de frecuencia. Está claro que esta fracción es función de un argumento complejo y también se puede representar de esta forma:
W(iw) = M(w) +iN(w), (3.60)
donde M(w) y N(w) son características de frecuencia real e imaginaria, respectivamente.
La relación A y / A x es el módulo AFC y es función de la frecuencia:
A y / A x = R (w)
y se llama respuesta de amplitud-frecuencia (AFC). Fase
el desplazamiento j =j (w) también es función de la frecuencia y se denomina respuesta de frecuencia de fase (PFC). Calculando R(w) y j(w) para el rango de frecuencia (0…¥), es posible construir un gráfico AFC en el plano complejo en las coordenadas M(w) e iN(w) (Fig. 3.17).
| ω |
| R(ω) |
| ω cp |
| ω res |
Fig.3.18. Características amplitud-frecuencia.
La respuesta de frecuencia del sistema 1 muestra un pico resonante correspondiente a la mayor amplitud de oscilaciones forzadas. El trabajo en un área cercana a la frecuencia de resonancia puede ser desastroso y, a menudo, completamente inaceptable según las reglas de funcionamiento de un objeto regulado en particular. La respuesta de frecuencia tipo 2 no tiene un pico resonante y es más preferible para sistemas mecánicos. También se puede observar que a medida que aumenta la frecuencia, la amplitud de las oscilaciones de salida disminuye. Físicamente, esto se explica fácilmente: cualquier sistema, debido a sus propiedades inerciales inherentes, está más fácilmente sujeto a oscilaciones por bajas frecuencias que por altas frecuencias. A partir de una determinada frecuencia, la oscilación de salida se vuelve insignificante y esta frecuencia se denomina frecuencia de corte, y el rango de frecuencias por debajo de la frecuencia de corte se denomina ancho de banda. En la teoría del control automático, se considera que la frecuencia de corte es aquella en la que el valor de respuesta de frecuencia es 10 veces menor que en la frecuencia cero. La propiedad de un sistema de amortiguar las vibraciones de alta frecuencia se denomina propiedad de un filtro de paso bajo.
Consideremos el método para calcular la respuesta de frecuencia usando el ejemplo de un enlace de segundo orden, cuya ecuación diferencial
(T 2 2 p 2 + T 1 p + 1)y = kx. (3.62)
En problemas de oscilación forzada, a menudo se usa una forma más visual de la ecuación.
(p 2 +2xw 0 p + w 0 2)y = kw 0 2 x, (3.63)
donde se llama frecuencia natural de oscilaciones en ausencia de amortiguación, x =T 1 w 0 /2 es el coeficiente de amortiguación.
La función de transferencia se ve así:
Reemplazando p = iw obtenemos la característica de fase de amplitud
Usando la regla para dividir números complejos, obtenemos la expresión para la respuesta en frecuencia:
Determinemos la frecuencia de resonancia a la que la respuesta de frecuencia tiene un máximo. Esto corresponde al mínimo denominador de la expresión (3.66). Igualando la derivada del denominador con respecto a la frecuencia w a cero, tenemos:
2(w 0 2 - w 2)(-2w) +4x 2 w 0 2 *2w = 0, (3.67)
de donde obtenemos el valor de la frecuencia de resonancia, que no es igual a cero:
w res = w 0 Ö 1 - 2x 2 . (3.68)
Analicemos esta expresión, para lo cual consideramos casos individuales que corresponden a diferentes valores del coeficiente de atenuación.
1. x = 0. La frecuencia de resonancia es igual a la frecuencia natural y la magnitud de la respuesta de frecuencia se vuelve infinita. Este es un caso de la llamada resonancia matemática.
2. . Dado que la frecuencia se expresa como un número positivo, y de (68) para este caso se obtiene cero o un número imaginario, se deduce que con tales valores del coeficiente de atenuación la respuesta de frecuencia no tiene un pico resonante (curva 2 en la figura 3.18).
3. . La respuesta de frecuencia tiene un pico resonante y con una disminución en el coeficiente de atenuación, la frecuencia resonante se acerca a la suya y el pico resonante se vuelve más alto y más agudo.
Supondremos que los procesos que tienen lugar en el ACS se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Así, nos limitaremos a considerar ACS lineal con parámetros constantes, es decir. parámetros que no dependen ni del tiempo ni del estado del sistema.
Sea para un sistema dinámico (ver figura)
la ecuación diferencial está escrita en forma de operador
donde D(P) y M(P) son polinomios en P.
P – operador de diferenciación;
x(t) – coordenada de salida del sistema;
g(t) – influencia de entrada.
Transformemos (1) según Laplace, suponiendo condiciones iniciales cero.
Introduzcamos la notación
;
,
obtenemos, teniendo en cuenta que
Usamos la notación
, (5)
entonces la ecuación (3) tomará la forma:
. (6)
La ecuación (6) conecta la imagen X (S) de la coordenada de salida del sistema con la imagen G(S) de la acción de entrada. Función Ф(S) Caracteriza las propiedades dinámicas del sistema. Como se desprende de (4) y (5), esta función no depende del impacto aplicado al sistema, sino que depende únicamente de los parámetros del sistema. Teniendo en cuenta (6) la función F(S) se puede escribir de la siguiente manera
Función Ф(S) se llama función de transferencia del sistema. De (7) queda claro que la función de transferencia es la relación entre la imagen de Laplace de la coordenada de entrada del sistema y la imagen de Laplace de la acción de entrada en condiciones iniciales cero.
Conocer la función de transferencia del sistema. Ф(S) Habiendo determinado la imagen G(S) de la influencia g(t) aplicada al sistema, se puede encontrar mediante (6) la imagen X(S) de la coordenada de salida del sistema x (t), luego, moviéndose desde la imagen X(S) a la x(t) original obtiene el proceso de cambiar la coordenada de salida de un sistema cuando se aplica una influencia de entrada a este sistema.
El polinomio en el denominador de la función de transferencia se llama polinomio característico y la ecuación
Ecuación característica.
Para un sistema descrito por una ecuación de enésimo orden, la ecuación característica es una ecuación algebraica de enésimo grado y tiene n raíces, S 1 S 2 ... S n , entre las cuales puede haber conjugadas tanto reales como complejas.
La raíz del polinomio en el denominador de la función de transferencia se llama polos de esta función de transferencia, y en el numerador, ceros.
Representemos los polinomios en la forma:
Por lo tanto la función de transferencia
. (11)
De ello se deduce que especificar ceros y polos determina la función de transferencia hasta un factor constante 
.
En el caso de que las partes reales de todos los polos de la función de transferencia sean negativas, es decir
, k=1,2…n, el sistema se llama estable. En él, el componente de transición de la cantidad de salida (movimiento propio) se desvanece con el tiempo.
Características de frecuencia del sistema.
Conversión de una señal de entrada armónica por un sistema lineal.
La función de transferencia del sistema automático con respecto a la acción de control g(t) es
(1)
deja que el impacto
g(t) = A 1 pecado ω 1 t,
Y se requiere determinar el cambio en X(t) en un proceso estacionario, es decir Encuentre una solución particular a la ecuación (1), analizada anteriormente.
Tenga en cuenta que como resultado de la aplicación de una influencia, ocurre un proceso transitorio en el sistema, que tiende a 0 con el tiempo, porque se supone que el sistema es estable. No lo estamos considerando. Tal transición nos permite considerar la acción g(t) tal como se especifica en todo el eje del tiempo (no se considera el momento inicial de aplicación de la acción de control al sistema) y usar la expresión obtenida previamente para la característica espectral de la sinusoide. .
Para determinar x(t) en estado estacionario, transformamos ambos lados de la ecuación diferencial (1) según Fourier. Con esto queremos decir que
;
,
Darse cuenta de
función de transferencia en la que S 
Además
Luego, la característica espectral de las oscilaciones forzadas de la cantidad controlada se determina a partir de (3) en la forma
En (4) el multiplicador funcional Ф(jω) tiene en cuenta el cambio en la característica espectral cuando la influencia g(t) pasa a través de un sistema dinámico lineal.
Imaginemos una función compleja. Ф(jω) en forma demostrativa
y encuentre x(t) usando la fórmula de la transformada de Fourier inversa:
utilizando las propiedades de filtrado de la función delta, y teniendo en cuenta (5), tendremos
Porque 
,,
(6)
De ello se deduce que en estado estacionario la respuesta x(t) de un sistema automático lineal a influencias sinusoidales también es sinusoide. Las frecuencias angulares de las señales de entrada y salida son las mismas. La amplitud en la salida del sistema es A 1 │ Ф(jω)│, y la fase inicial es arg Ф(jω).
Si la entrada de un sistema lineal recibe una influencia periódica en la forma
,
luego, usando el principio de superposición, que es válido para un sistema lineal, encontramos que en este caso el movimiento estacionario forzado del sistema
(7)
Además, al valor de ω aquí se le deben dar valores discretos, es decir asumir ω=kω 1
Conociendo los espectros de frecuencia de la señal de entrada, puede determinar fácilmente los espectros de frecuencia de la señal en la entrada del sistema. Si, por ejemplo, se conoce el espectro de frecuencia de amplitud A k de la señal de entrada g(t), entonces el espectro de frecuencia de amplitud de la señal de salida es A k │ Ф(jkω 1 ) │.
En las expresiones consideradas, la función Ф(jω) caracteriza las propiedades dinámicas del propio sistema automático y no depende de la naturaleza de las influencias aplicadas al sistema. Se puede obtener fácilmente a partir de la función de transferencia reemplazando formalmente S con jω
Función Ф(jω) del argumento continuo ω se denomina característica de fase de amplitud del sistema AFC en relación con la acción de control g(t) aplicada al sistema.
Con base en (3), AFC también se puede definir como la relación de las características espectrales de la señal en su entrada. Módulo AF Ф(j ) caracteriza el cambio en la amplitud de una señal armónica a su paso por el sistema, y su argumento es el desfase de la señal.
Función Ф(j ) recibió el nombre de respuesta de frecuencia de amplitud (AFC) y la función arg Ф(j ) – respuesta de fase-frecuencia (PFC).
Sea la influencia g(t) aplicada al sistema automático un armónico complejo con frecuencia 1, es decir
La respuesta del sistema a tal impacto en un estado estacionario está determinada por la igualdad
O usando la fórmula de Euler
y también eso
;
Encontraremos la integral en el lado derecho de la igualdad usando las propiedades de filtrado de la función delta.
determina en forma compleja la respuesta en estado estacionario del sistema a la influencia en forma de un armónico complejo con frecuencia 1.
El AFC se puede utilizar no sólo para analizar oscilaciones de estado estable en la salida de un sistema automático, sino también para determinar el proceso de control en su conjunto. En este último caso, conviene considerar el momento de tiempo t 0 de aplicación al sistema de control como el momento de tiempo cero y utilizar las fórmulas de la transformada de Fourier unilateral. Habiendo determinado la característica espectral. 
y encontrar la característica espectral de la variable controlada usando la fórmula
El cambio en la variable controlada x(t) después de aplicar la influencia g(t) se encuentra utilizando la fórmula de la transformada inversa de Fourier.
