Trillizos pitagóricos. Triple pitagórico de números de alta tecnología moderna

A continuación, consideraremos métodos conocidos para generar ternas pitagóricas efectivas. Los alumnos de Pitágoras fueron los primeros en inventar una forma sencilla de generar ternas pitagóricas, utilizando una fórmula cuyas partes representan una terna pitagórica:

metro 2 + ((metro 2 − 1)/2) 2 = ((metro 2 + 1)/2) 2 ,

Dónde metro- no emparejado, metro>2. En realidad,

4metro 2 + metro 4 − 2metro 2 + 1
metro 2 + ((metro 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((metro 2 + 1)/2) 2 .
4

El antiguo filósofo griego Platón propuso una fórmula similar:

(2metro) 2 + (metro 2 − 1) 2 = (metro 2 + 1) 2 ,

Dónde metro- cualquier número. Para metro= 2,3,4,5 se generan los siguientes tripletes:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

Como vemos, estas fórmulas no pueden dar todos los tripletes primitivos posibles.

Considere el siguiente polinomio, que se puede expandir a una suma de polinomios:

(2metro 2 + 2metro + 1) 2 = 4metro 4 + 8metro 3 + 8metro 2 + 4metro + 1 =
=4metro 4 + 8metro 3 + 4metro 2 + 4metro 2 + 4metro + 1 = (2metro(metro+1)) 2 + (2metro +1) 2 .

De ahí las siguientes fórmulas para obtener ternas primitivas:

a = 2metro +1 , b = 2metro(metro+1) = 2metro 2 + 2metro , do = 2metro 2 + 2metro + 1.

Estas fórmulas generan tripletas en las que el número medio difiere del número mayor exactamente en uno, es decir, tampoco se generan todas las tripletas posibles. Aquí los primeros tres son iguales a: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

Para determinar cómo generar todos los tripletes primitivos, se deben examinar sus propiedades. En primer lugar, si ( abecedario) es un triple primitivo, entonces a Y b, b Y do, A Y do- debe ser relativamente primo. Dejar a Y b se dividen en d. Entonces a 2 + b 2 - también divisible por d. Respectivamente, do 2 y do debe dividirse por d. Es decir, este no es un tres primitivo.

En segundo lugar, entre las cifras a, b uno debe estar emparejado y el otro no emparejado. De hecho, si a Y b- emparejado, entonces Con estarán emparejados y los números se pueden dividir por al menos 2. Si ambos no están emparejados, entonces se pueden representar como 2 k+1 y 2 yo+1, donde k,yo- algunos números. Entonces a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+1+4yo 2 +4yo+1, es decir, Con 2, como a 2 + b 2 tiene un resto de 2 cuando se divide por 4.

Dejar Con- cualquier número, es decir Con = 4k+i (i=0,…,3). Entonces Con 2 = (4k+i) 2 tiene un resto 0 o 1 y no puede tener un resto 2. Por lo tanto, a Y b no se puede desemparejar, es decir a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+4yo 2 +4yo+1 y el resto de la división Con 2 por 4 debe ser 1, lo que significa que Con debe estar desemparejado.

Estos requisitos para los elementos de una terna pitagórica se satisfacen con los siguientes números:

a = 2Minnesota, b = metro 2 − norte 2 , do = metro 2 + norte 2 , metro > norte, (2)

Dónde metro Y norte– relativamente excelente con diferentes combinaciones. Estas dependencias se conocieron por primera vez a partir de las obras de Euclides, que vivió 2300 r. atrás.

Probemos la validez de las dependencias (2). Dejar A- emparejado, entonces b Y do- no emparejado. Entonces do + b i do − b- emparejado. Se pueden representar como do + b = 2tu Y do − b = 2v, Dónde tu,v- algunos números enteros. Es por eso

a 2 = Con 2 − b 2 = (do + b)(do − b) = 2tu·2 v = 4ultravioleta

Y por lo tanto ( a/2) 2 = ultravioleta.

Se puede demostrar por contradicción que tu Y v- mutuamente simples. Dejar tu Y v- dividido en d. Entonces ( do + b) Y ( do − b) se dividen en d. Y entonces do Y b debe dividirse por d, y esto contradice la condición del triple pitagórico.

Porque ultravioleta = (a/2) 2 y tu Y v son primos relativos, es fácil demostrar que tu Y v Deben ser cuadrados de algunos números.

Entonces hay números enteros positivos. metro Y norte, tal que tu = metro 2 y v = norte 2. Entonces

A 2 = 4ultravioleta = 4metro 2 norte 2 entonces
A = 2Minnesota; b = tu − v = metro 2 − norte 2 ; do = tu + v = metro 2 + norte 2 .

Porque b> 0, entonces metro > norte.

Queda por demostrar que metro Y norte tienen diferentes parejas. Si metro Y norte- emparejado, entonces tu Y v deben estar emparejados, pero esto es imposible, ya que son primos relativos. Si metro Y norte- desemparejado, entonces b = metro 2 − norte 2 y do = metro 2 + norte 2 estaría emparejado, lo cual es imposible, ya que do Y b- mutuamente simples.

Por tanto, cualquier tripleta pitagórica primitiva debe satisfacer las condiciones (2). Al mismo tiempo, los números metro Y norte son llamados generando números trillizos primitivos. Por ejemplo, tengamos una terna pitagórica primitiva (120,119,169). En este caso

A= 120 = 2·12·5, b= 119 = 144 − 25, y do = 144+25=169,

Dónde metro = 12, norte= 5 — generando números, 12 > 5; 12 y 5 son primos entre sí y de pares diferentes.

Puedes probar lo contrario, que los números metro, norte usando las fórmulas (2) dan un triple pitagórico primitivo (a,b,c). En realidad,

A 2 + b 2 = (2Minnesota) 2 + (metro 2 − norte 2) 2 = 4metro 2 norte 2 + (metro 4 − 2metro 2 norte 2 + norte 4) =
= (metro 4 + 2metro 2 norte 2 + norte 4) = (metro 2 + norte 2) 2 = do 2 ,

Eso es ( a,b,do) es una terna pitagórica. Demostremos que en este caso a,b,do son números mutuamente primos por contradicción. Sean estos números divisibles por pag> 1. Desde metro Y norte tienen diferentes parejas, entonces b Y do- no emparejado, es decir pag≠ 2. Desde r divide b Y do, Eso r debe dividir 2 metro 2 y 2 norte 2, pero esto es imposible, ya que pag≠ 2. Por lo tanto metro, norte- mutuamente primos y a,b,do- también son relativamente simples.

La Tabla 1 muestra todos los triples pitagóricos primitivos generados usando las fórmulas (2) para metro≤10.

Tabla 1. Triples pitagóricos primitivos para metro≤10

El análisis de esta tabla muestra la presencia de la siguiente serie de patrones:

• o a, o b divisible por 3;
• uno de los numeros a,b,do divisible por 5;
• número A divisible por 4;
• trabajar a· b divisible por 12.

En 1971, los matemáticos estadounidenses Teigan y Hedwin propusieron parámetros tan poco conocidos de un triángulo rectángulo como su altura para generar tripletes. h = do− b y exceso (éxito) mi = a + b − do. En la figura 1. estas cantidades se muestran en cierto triángulo rectángulo.

Figura 1. Triángulo rectángulo y su crecimiento y exceso.

El nombre de “exceso” se deriva de que es la distancia adicional que se debe pasar a lo largo de los catetos del triángulo de un vértice al opuesto, si no va por su diagonal.

Mediante el exceso y crecimiento de los lados del triángulo pitagórico se puede expresar como:

mi 2 mi 2
a = h + mi, b = mi + ——, do = h + mi + ——, (3)
2h 2h

No todas las combinaciones h Y mi puede corresponder a triángulos pitagóricos. para un determinado h valores posibles mi son productos de un cierto número d. este numero d tiene el nombre de crecimiento y se refiere a h como sigue: d es el menor entero positivo cuyo cuadrado es divisible por 2 h. Porque mi múltiple d, entonces se escribe como mi = kd, Dónde k es un número entero positivo.

Usando pares ( k,h) puedes generar todos los triángulos pitagóricos, incluidos los no primitivos y generalizados, de la siguiente manera:

(dk) 2 (dk) 2
a = h + dk, b = dk + ——, do = h + dk + ——, (4)
2h 2h

Además, un triple es primitivo si k Y h son primos relativos y si h =± q 2 en q- no emparejado.
Además, ésta será precisamente una terna pitagórica si k> √2· h/d Y h > 0.

para encontrar k Y h de ( a,b,do), realice las siguientes acciones:

• h = do − b;
• anotar h Cómo h = pq 2 donde pag> 0 y tal que no sea un cuadrado;
• d = 2pq Si pag- no emparejado y d = pq, si p está emparejado;
• k = (a − h)/d.

Por ejemplo, para el triple (8,15,17) tenemos h= 17−15 = 2 1, entonces pag= 2 y q = 1, d= 2, y k= (8 − 2)/2 = 3. Entonces este triple está dado por ( k,h) = (3,2).

Para el triple (459,1260,1341) tenemos h= 1341 − 1260 = 81, entonces pag = 1, q= 9 y d= 18, desde aquí k= (459 − 81)/18 = 21, entonces el código de este triple es ( k,h) = (21, 81).

Configuración de tripletes usando h Y k tiene una serie de propiedades interesantes. Parámetro k es igual

k = 4S/(DP), (5)

Dónde S = ab/2 es el área del triángulo, y PAG = a + b + do- su perímetro. Esto se desprende de la igualdad eP = 4S, que se deriva del teorema de Pitágoras.

Para un triángulo rectángulo mi igual al diámetro del círculo inscrito en el triángulo. Esto se desprende del hecho de que la hipotenusa Con = (A − r)+(b − r) = a + b − 2r, Dónde r- radio del círculo. Desde aquí h = do − b = A − 2r Y mi = a − h = 2r.

Para h> 0 y k > 0, k es el número ordinal de trillizos a-b-do en una secuencia de triángulos pitagóricos con creciente h. De la Tabla 2, que presenta varias opciones para tripletes generados por pares h, k, está claro que a medida que aumenta k los tamaños de los lados del triángulo aumentan. Así, a diferencia de la numeración clásica, la numeración por pares h, k Tiene mayor orden en secuencias de tripletes.

Tabla 2. Triples pitagóricas generadas por los pares h, k.

Para h > 0, d satisface la desigualdad 2√ h ≤ d ≤ 2h, en el que el límite inferior se alcanza en pag= 1, y el de arriba - en q= 1. Por lo tanto el valor d relativo a 2√ h es una medida de cuánto es un número h distante del cuadrado de un cierto número.

Propiedades

Desde la ecuación. incógnita 2 + y 2 = z 2 homogéneamente, al multiplicar incógnita , y Y z por el mismo número se obtiene otro triple pitagórico. La terna pitagórica se llama primitivo, si no se puede obtener de esta forma, es decir, números coprimos.

Ejemplos

Algunas ternas pitagóricas (ordenadas en orden ascendente de número máximo, resaltadas las primitivas):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Basándose en las propiedades de los números de Fibonacci, es posible componer a partir de ellos, por ejemplo, los siguientes tripletes pitagóricos:

Historia

Los trillizos pitagóricos se conocen desde hace mucho tiempo. En la arquitectura de las lápidas antiguas mesopotámicas se encuentra un triángulo isósceles, compuesto por dos rectangulares con lados de 9, 12 y 15 codos. Las pirámides del faraón Snofru (siglo XXVII a. C.) se construyeron utilizando triángulos de lados de 20, 21 y 29, así como de 18, 24 y 30 decenas de codos egipcios.

Ver también

Campo de golf

• E. A. Gorin Potencias de números primos en ternas pitagóricas // educación matemática. - 2008. - V. 12. - P. 105-125.

Fundación Wikimedia.

2010.

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Libros

• El verano de Arquímedes o la historia de la comunidad de jóvenes matemáticos. Sistema de numeración binario, Bobrov Sergey Pavlovich. Sistema numérico binario, Torre de Hanoi, movimiento del caballero, cuadrados mágicos, triángulo aritmético, números calculados, combinaciones, concepto de probabilidad, cinta de Mobius y botella de Klein.…

Triples pitagóricos de números

Trabajo creativo

estudiante 8 "A" clase

MAOU "Gimnasio nº 1"

Distrito Oktyabrsky de Saratov

Panfilov Vladímir

Responsable – profesor de matemáticas de la categoría más alta

Grishina Irina Vladimirovna

Contenido

Introducción……………………………………………………………………………………3

Parte teórica del trabajo.

Encontrar el triángulo pitagórico básico

(fórmulas de los antiguos hindúes)………………………………………………………………4

Parte práctica del trabajo.

Componer trillizos pitagóricos de varias maneras…………………….....6

Una propiedad importante de los triángulos pitagóricos…………………………………………………………...8

Conclusión………………………………………………………………………………...9

Literatura….…………………………………………………………………………………………...10

Introducción

Este año escolar, en las lecciones de matemáticas, estudiamos uno de los teoremas de geometría más populares: el teorema de Pitágoras. El teorema de Pitágoras se utiliza en geometría en cada paso; ha encontrado una amplia aplicación en la práctica y en la vida cotidiana. Pero, además del teorema en sí, también estudiamos el teorema inverso al teorema de Pitágoras. En relación con el estudio de este teorema, nos familiarizamos con los tripletes de números pitagóricos, es decir, con conjuntos de 3 números naturalesa , b Ydo , para el cual la relación es válida: = + . Estos conjuntos incluyen, por ejemplo, los siguientes tripletes:

3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 20,21,29; 9,40,41; 12,35,37

Inmediatamente tuve preguntas: ¿cuántas ternas pitagóricas se te ocurren? ¿Cómo componerlos?

En nuestro libro de texto de geometría, después de presentar el teorema inverso al teorema de Pitágoras, se hizo una observación importante: se puede demostrar que los catetosA Yb y hipotenusaCon Los triángulos rectángulos, cuyas longitudes de lados se expresan en números naturales, se pueden encontrar mediante las fórmulas:

A = 2kmn b = k( - ) c = k( + , (1)

Dóndek , metro , norte – cualquier número natural, ymetro > norte .

Naturalmente surge la pregunta: ¿cómo probar estas fórmulas? ¿Y sólo utilizando estas fórmulas se pueden componer trillizos pitagóricos?

En mi trabajo intenté responder a las preguntas que surgían en mí.

Parte teórica del trabajo.

Encontrar el triángulo pitagórico básico (fórmulas hindúes antiguas)

Primero probamos las fórmulas (1):

Denotemos las longitudes de los catetos porincógnita Yen , y la longitud de la hipotenusa a través dez . Según el teorema de Pitágoras tenemos la igualdad:+ = .(2)

Esta ecuación se llama ecuación pitagórica. El estudio de los triángulos pitagóricos se reduce a resolver la ecuación (2) en números naturales.

Si cada lado de un determinado triángulo pitagórico se aumenta el mismo número de veces, entonces obtenemos un nuevo triángulo rectángulo similar a éste con lados expresados ​​en números naturales, es decir De nuevo el triángulo pitagórico.

Entre todos los triángulos semejantes existe el más pequeño, es fácil adivinar que será un triángulo cuyos ladosincógnita Yen expresado por números mutuamente primos

(MCD (x,y )=1).

Llamemos a este triángulo pitagóricoprincipal .

Encontrar los triángulos pitagóricos básicos.

Sea el triángulo (incógnita , y , z ) es el triángulo pitagórico básico. Númerosincógnita Yen son primos relativos y, por lo tanto, no pueden ser ambos pares. Demostremos que ambos no pueden ser extraños. Para hacer esto, tenga en cuenta queEl cuadrado de un número impar al dividirlo por 8 deja como resto 1. De hecho, cualquier número natural impar se puede representar como2 k -1 , Dóndek pertenecenorte .

Desde aquí: = -4 k +1 = 4 k ( k -1)+1.

Números( k -1) Yk – consecutivos, uno de ellos es necesariamente par. Entonces la expresiónk ( k -1) dividido por2 , 4 k ( k -1) divisible por 8, lo que significa el número Al dividirlo por 8, el resto es 1.

La suma de los cuadrados de dos números impares da un resto de 2 cuando se divide por 8, por lo tanto, la suma de los cuadrados de dos números impares es un número par, pero no múltiplo de 4, y por lo tanto este númerono puede ser el cuadrado de un número natural.

Entonces, la igualdad (2) no puede tener lugar siincógnita Yen ambos son extraños.

Por tanto, si un triángulo pitagórico (x, y, z ) - básico, luego entre los númerosincógnita Yen uno debe ser par y el otro debe ser impar. Sea el número y par. Númerosincógnita Yz impar (imparz se sigue de la igualdad (2)).

De la ecuación.+ = entendemos eso= ( z + incógnita )( z - incógnita ) (3).

Númerosz + incógnita Yz - incógnita ya que la suma y la diferencia de dos números impares son números pares, y por tanto (4):

z + incógnita = 2 a , z - incógnita = 2 b , DóndeA Yb pertenecernorte .

z + incógnita =2 a , z - incógnita = 2 b ,

z = a+b , incógnita = a - b. (5)

De estas igualdades se deduce quea Yb son números mutuamente primos.

Demostremos esto argumentando por contradicción.

Deja que MCD (a , b )= d , Dónded >1 .

Entoncesd z Yincógnita , y por lo tanto los númerosz + incógnita Yz - incógnita . Entonces, basado en la igualdad (3) seria divisor del numero . en ese casod sería un divisor común de númerosen Yincógnita , pero los númerosen Yincógnita debe ser relativamente primo.

Númeroen , como se sabe, es par, por lo tantoy = 2c , DóndeCon – número natural. La igualdad (3) basada en la igualdad (4) toma la siguiente forma: =2a*2 b , o = ab.

De la aritmética se sabe queSi el producto de dos números relativamente primos es el cuadrado de un número natural, entonces cada uno de estos números es también el cuadrado de un número natural.

Medio,un = Yb = , Dóndemetro Ynorte son números relativamente primos, porque son divisores de números coprimosA Yb .

Basado en la igualdad (5) tenemos:

z = + , incógnita = - , = ab = * = ; c = Minnesota

Entoncesy = 2 Minnesota .

Númerosmetro Ynorte , porque son primos relativos y no pueden ser pares al mismo tiempo. Pero no pueden ser extraños al mismo tiempo, porque en este casox = - sería parejo, lo cual es imposible. Entonces uno de los númerosmetro onorte es par y el otro es impar. Obviamente,y = 2 Minnesota es divisible por 4. En consecuencia, en todo triángulo pitagórico básico al menos uno de los catetos es divisible por 4. De ello se deduce que no hay triángulos pitagóricos cuyos lados sean todos números primos.

Los resultados obtenidos se pueden expresar en forma del siguiente teorema:

Todos los triángulos básicos en los queen es un número par, obtenido de la fórmula

x = - , y =2 Minnesota , z = + ( metro > norte ), Dóndemetro Ynorte – todos los pares de números coprimos, uno de los cuales es par y el otro impar (no importa cuál). Cada terna pitagórica básica (x, y, z ), Dóndeen – incluso, se determina de esta manera de manera inequívoca.

Númerosmetro Ynorte ambos no pueden ser pares ni ambos impares, porque en estos casos

x = sería parejo, lo cual es imposible. Entonces uno de los númerosmetro onorte es par y el otro es impar (y = 2 Minnesota divisible por 4).

Parte práctica del trabajo.

Componer trillizos pitagóricos de diversas formas

En las fórmulas de los hindúes.metro Ynorte – son relativamente primos, pero pueden ser números de paridad arbitraria y es bastante difícil formar trillizos pitagóricos usándolos. Por lo tanto, intentemos encontrar un enfoque diferente para componer trillizos pitagóricos.

= - = ( z - y )( z + y ), Dóndeincógnita - extraño,y - incluso,z - extraño

v = z - y , tu = z + y

= ultravioleta , Dóndetu - extraño,v – impar (coprimo)

Porque el producto de dos números coprimos impares es el cuadrado de un número natural, entoncestu = , v = , Dóndek Yyo – números relativamente primos e impares.

z - y = z + y = k 2 , de donde, sumando las igualdades y restando la otra a una, obtenemos:

2 z = + 2 y = - eso es

z = y = x = kl

k

yo

incógnita

y

z

37

9

1

9

40

41 (sceros)*(100…0 (sceros) +1)+1 =200…0 (t-1ceros) 200…0 (t-1ceros) 1

Propiedad importante de los triángulos pitagóricos.

Teorema

En el triángulo pitagórico básico, uno de los catetos es necesariamente divisible por 4, uno de los catetos es necesariamente divisible por 3 y el área del triángulo pitagórico es necesariamente múltiplo de 6.

Prueba

Como sabemos, en todo triángulo pitagórico al menos uno de los catetos es divisible por 4.

Demostremos que uno de los catetos también es divisible por 3.

Para probar esto, supongamos que en un triángulo pitagórico (incógnita , y , z incógnita oy múltiplo de 3.

Ahora demostramos que el área de un triángulo pitagórico es divisible por 6.

Todo triángulo pitagórico tiene un área expresada por un número natural divisible por 6. Esto se desprende del hecho de que al menos uno de los catetos es divisible por 3 y al menos uno de los catetos es divisible por 4. El área del triángulo , determinado por el producto medio de los catetos, debe expresarse por un número divisible por 6 .

Conclusión

En curso

- Se han probado fórmulas de los antiguos hindúes.

- se realizó un estudio sobre el número de trillizos pitagóricos (hay una infinidad de ellos)

- Se indican métodos para encontrar ternas pitagóricas.

- se estudiaron algunas propiedades de los triángulos pitagóricos

Este fue un tema muy interesante para mí y encontrar respuestas a mis preguntas se convirtió en una actividad muy interesante. En el futuro, planeo considerar la conexión de los triples pitagóricos con la secuencia de Fibonacci y el teorema de Fermat y aprender muchas más propiedades de los triángulos pitagóricos.

Literatura

L.S. Atanasyan “Geometría 7-9 grados” M.: Educación, 2012.

V. Sierpinsky “Triángulos pitagóricos” M.: Uchpedgiz, 1959.

Sarátov

2014

Progreso de la lección

I. Momento organizacional

II. Explicación del nuevo material.

Maestro: El misterio del poder de atracción de los trillizos pitagóricos ha preocupado a la humanidad durante mucho tiempo. Las propiedades únicas de los trillizos pitagóricos explican su papel especial en la naturaleza, la música y las matemáticas. El hechizo de Pitágoras, el teorema de Pitágoras, permanece en el cerebro de millones, si no miles de millones, de personas. Este es un teorema fundamental que todo escolar está obligado a memorizar. Aunque el teorema de Pitágoras puede ser comprendido por niños de diez años, es un comienzo inspirador para un problema que las mentes más brillantes de la historia de las matemáticas no han logrado resolver: el teorema de Fermat. Pitágoras de la isla de Samos (ver. Apéndice 1 , diapositiva 4) fue una de las figuras más influyentes y, sin embargo, misteriosas de las matemáticas. Debido a que no sobreviven relatos confiables de su vida y obra, su vida se ha visto envuelta en mitos y leyendas, y a los historiadores les puede resultar difícil separar los hechos de la ficción. No hay duda, sin embargo, de que Pitágoras desarrolló la idea de la lógica de los números y que a él le debemos la primera edad de oro de las matemáticas. Gracias a su genio, los números dejaron de usarse sólo para contar y calcular y fueron apreciados por primera vez. Pitágoras estudió las propiedades de determinadas clases de números, las relaciones entre ellos y las figuras que forman los números. Pitágoras se dio cuenta de que los números existen independientemente del mundo material y, por lo tanto, el estudio de los números no se ve afectado por la inexactitud de nuestros sentidos. Esto significó que Pitágoras adquirió la capacidad de descubrir verdades independientemente de la opinión o prejuicio de los demás. Verdades más absolutas que cualquier conocimiento previo. Con base en la literatura estudiada sobre las ternas pitagóricas, nos interesará la posibilidad de utilizar las ternas pitagóricas en la resolución de problemas de trigonometría. Por lo tanto, nos fijaremos el objetivo: estudiar una serie de trillizos pitagóricos, desarrollar un algoritmo para su uso, redactar una nota sobre su uso y realizar investigaciones sobre su uso en diversas situaciones.

Triángulo ( diapositiva 14), cuyos lados son iguales a los números pitagóricos, es rectangular. Además, cualquier triángulo de este tipo es heroniano, es decir. uno en el que todos los lados y el área son números enteros. El más simple de ellos es el triángulo egipcio de lados (3, 4, 5).

Creemos una serie de ternas pitagóricas multiplicando los números (3, 4, 5) por 2, por 3, por 4. Obtendremos una serie de ternas pitagóricas, las ordenaremos en orden ascendente del número máximo y seleccionaremos las primitivas. .

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50).

III. Progreso de la lección

1. Demos una vuelta por las tareas:

1) Usando relaciones entre funciones trigonométricas del mismo argumento, encuentre si

se sabe que.

2) Encontrar el valor de las funciones trigonométricas del ángulo?, si se sabe que:

3) Sistema de tareas formativas sobre el tema “Fórmulas de suma”.

sabiendo que sen = 8/17, cos = 4/5, y son los ángulos del primer cuarto, halla el valor de la expresión:

sabiendo que y son los ángulos del segundo cuarto, sen = 4/5, cos = – 15/17, encuentra: .

4) Sistema de tareas formativas sobre el tema “Fórmulas de doble ángulo”.

a) Sea sin = 5/13 el ángulo del segundo cuarto. Encuentre sen2, cos2, tg2, ctg2.

b) Se sabe que tg? = 3/4, – ángulo del tercer cuarto. Encuentre sen2, cos2, tg2, ctg2.

c) Se sabe que , 0< < . Найдите sin, cos, tg, ctg.

d) Se sabe que , < < 2. Найдите sin, cos, tg.

e) Calcula tan( + ) si se sabe que cos = 3/5, cos = 7/25, donde y son los ángulos del primer cuarto.

f) encontrar , – ángulo del tercer cuarto.

Resolvemos el problema de la forma tradicional utilizando identidades trigonométricas básicas y luego resolvemos los mismos problemas de una forma más racional. Para ello utilizamos un algoritmo de resolución de problemas utilizando ternas pitagóricas. Creemos una guía para resolver problemas usando ternas pitagóricas. Para ello, recordamos la definición de seno, coseno, tangente y cotangente, el ángulo agudo de un triángulo rectángulo, lo dibujamos, dependiendo de las condiciones del problema, colocamos correctamente los triples pitagóricos en los lados del triángulo rectángulo ( arroz. 1). Anotamos la proporción y ordenamos los signos. El algoritmo ha sido desarrollado.

Figura 1

Algoritmo para resolver problemas.

Revisar (estudiar) material teórico.

Saber de memoria las ternas pitagóricas primitivas y, si es necesario, ser capaz de construir otras nuevas.

Aplicar el teorema de Pitágoras para puntos con coordenadas racionales.

Conocer la definición de seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, ser capaz de dibujar un triángulo rectángulo y, según las condiciones del problema, colocar correctamente las ternas pitagóricas en los lados del triángulo.

Conocer los signos del seno, coseno, tangente y cotangente en función de su ubicación en el plano coordenado.

Requisitos necesarios:

1. saber qué signos tienen seno, coseno, tangente, cotangente en cada uno de los cuartos del plano coordenado;
2. conocer la definición de seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo;
3. conocer y saber aplicar el teorema de Pitágoras;
4. conocer identidades trigonométricas básicas, fórmulas de suma, fórmulas de doble ángulo, fórmulas de medio argumento;
5. Conocer fórmulas de reducción.

Teniendo en cuenta lo anterior, completemos la tabla ( tabla 1). Se debe completar siguiendo la definición de seno, coseno, tangente y cotangente o utilizando el teorema de Pitágoras para puntos con coordenadas racionales. En este caso, siempre es necesario recordar los signos del seno, coseno, tangente y cotangente, según su ubicación en el plano coordenado.

Tabla 1

		Triples de números		pecado	porque	tg	ctg
		(3, 4, 5)	yo hora
		(6, 8, 10)	Parte II			-	-
		(5, 12, 13)	Parte III	-	-
		(8, 15, 17)	Parte IV	-		-	-
		(9, 40, 41)	yo hora

Para un trabajo exitoso, puede utilizar las instrucciones para usar ternas pitagóricas.

Tabla 2

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50), …

2. decidamos juntos.

1) Problema: encuentra cos, tg y ctg, si sin = 5/13, si - el ángulo del segundo cuarto.

Un método conveniente y muy preciso utilizado por los topógrafos para dibujar líneas perpendiculares en el suelo es el siguiente. Sea necesario trazar una perpendicular a través del punto A a la recta MN (Fig. 13). Retrase una cierta distancia a desde A en la dirección AM tres veces. Luego se hacen tres nudos en la cuerda, siendo la distancia entre ellos 4a y 5a. Después de unir los nudos extremos a los puntos A y B, tire del cordón por el nudo del medio. La cuerda quedará dispuesta formando un triángulo, en el que el ángulo A es recto.

Este antiguo método, aparentemente utilizado hace miles de años por los constructores de las pirámides egipcias, se basa en que todo triángulo cuyos lados están en la proporción 3:4:5, según el conocido teorema de Pitágoras, es rectangular, desde

3 2 + 4 2 = 5 2 .

Además de los números 3, 4, 5, existe, como se sabe, un conjunto infinito de números enteros positivos a, b, c, que satisfacen la relación

Un 2 + segundo 2 = c 2.

Se llaman números pitagóricos. Según el teorema de Pitágoras, tales números pueden servir como las longitudes de los lados de un determinado triángulo rectángulo; por lo tanto, a y b se llaman “catetos” y c se llama “hipotenusa”.

Está claro que si a, b, c es un triple de números pitagóricos, entonces pa, pb, pc, donde p es un factor entero, son números pitagóricos. Por el contrario, si los números pitagóricos tienen un factor común, entonces todos pueden reducirse por este factor común y nuevamente se obtiene un triple de los números pitagóricos. Por lo tanto, primero examinaremos solo los tripletes de números pitagóricos coprimos (el resto se obtiene de ellos multiplicando por un factor entero p).

Demostremos que en cada una de esas ternas a, b, c, uno de los “catetos” debe ser par y el otro impar. Argumentemos por contradicción. Si ambos "catetos" a y b son pares, entonces el número a 2 + b 2 será par y, por tanto, la "hipotenusa". Esto, sin embargo, contradice el hecho de que los números a, b, c no tienen factores comunes, ya que tres números pares tienen un factor común de 2. Por lo tanto, al menos uno de los "catetos" a, b es impar.

Queda una posibilidad más: ambos “catetos” son impares y la “hipotenusa” es par. No es difícil demostrar que esto no puede ser. En efecto: si las “piernas” tienen la forma

2x + 1 y 2y + 1,

entonces la suma de sus cuadrados es igual

4x 2 + 4x + 1 + 4y 2 + 4y + 1 = 4(x 2 + x + y 2 + y) + 2,

es decir, es un número que al dividirse entre 4 deja como resto 2. Mientras tanto, el cuadrado de cualquier número par debe ser divisible entre 4 sin resto. Esto significa que la suma de los cuadrados de dos números impares no puede ser el cuadrado de un número par; en otras palabras, nuestros tres números no son pitagóricos.

Entonces, de los “catetos” a, b, uno es par y el otro es impar. Por lo tanto, el número a 2 + b 2 es impar, lo que significa que la “hipotenusa” c también es impar.

Supongamos, para ser más precisos, que el “lado” a es impar y b es par. Desde la igualdad

un 2 + segundo 2 = c 2

obtenemos fácilmente:

A 2 = c 2 - segundo 2 = (c + segundo)(c - segundo).

Los factores c + b y c - b del lado derecho son coprimos. De hecho, si estos números tuvieran un factor primo común diferente de uno, entonces la suma se dividiría por este factor

(c + b) + (c - b) = 2c,

y diferencia

(c + b) - (c - b) = 2b,

y trabajar

(c + b)(c - b) = a 2,

es decir, los números 2c, 2b y a tendrían un factor común. Como a es impar, este factor es diferente de dos y, por tanto, los números a, b, c tienen el mismo factor común, lo que, sin embargo, no puede ser. La contradicción resultante muestra que los números c + b y c - b son coprimos.

Pero si el producto de números primos relativos es un cuadrado exacto, entonces cada uno de ellos es un cuadrado, es decir

Resolviendo este sistema encontramos:

C = (m 2 + n 2)/2, b = (m 2 - n 2)/2, a 2 = (c + b)(c - b) = m 2 n 2, a = mn.

Entonces, los números pitagóricos considerados tienen la forma

A = mn, b = (m 2 - n 2)/2, c = (m 2 + n 2)/2.

donde m y n son algunos números impares relativamente primos. El lector puede comprobar fácilmente lo contrario: para cualquier tipo impar, las fórmulas escritas dan tres números pitagóricos a, b, c.

A continuación se muestran varios tripletes de números pitagóricos obtenidos con diferentes tipos:

Para m = 3, n = 1 3 2 + 4 2 = 5 2 para m = 5, n = 1 5 2 + 12 2 = 13 2 para m = 7, n = 1 7 2 + 24 2 = 25 2 para m = 9, n = 1 9 2 + 40 2 = 41 2 con m = 11, n = 1 11 2 + 60 2 = 61 2 con m = 13, n = 1 13 2 + 84 2 = 85 2 con m = 5 , n = 3 15 2 + 8 2 = 17 2 para m = 7, n = 3 21 2 + 20 2 = 29 2 para m = 11, n = 3 33 2 + 56 2 = 65 2 para m = 13, n = 3 39 2 + 80 2 = 89 2 para m = 7, n = 5 35 2 + 12 2 = 37 2 para m = 9, n = 5 45 2 + 28 2 = 53 2 para m = 11, n = 5 55 2 + 48 2 = 73 2 con m = 13, n = 5 65 2 + 72 2 = 97 2 con m = 9, n = 7 63 2 + 16 2 = 65 2 con m = 11, n = 7 77 2 + 36 2 = 85 2

(Todos los demás tripletes de números pitagóricos tienen factores comunes o contienen números mayores que cien).