Digamos que Aquiles corre diez veces más rápido que la tortuga y está mil pasos detrás de ella. Durante el tiempo que le toma a Aquiles correr esta distancia, la tortuga se arrastrará cien pasos en la misma dirección. Cuando Aquiles corre cien pasos, la tortuga gatea otros diez pasos, y así sucesivamente. El proceso continuará hasta el infinito, Aquiles nunca alcanzará a la tortuga.

Este razonamiento se convirtió en un shock lógico para todas las generaciones posteriores. Aristóteles, Diógenes, Kant, Hegel, Hilbert... Todos ellos consideraron de una forma u otra la aporía de Zenón. El shock fue tan fuerte que " ... las discusiones continúan hasta el día de hoy; la comunidad científica aún no ha podido llegar a una opinión común sobre la esencia de las paradojas ... en el estudio del tema intervinieron el análisis matemático, la teoría de conjuntos y nuevos enfoques físicos y filosóficos. ; Ninguno de ellos se convirtió en una solución generalmente aceptada al problema..."[Wikipedia, "La aporía de Zenón". Todos entienden que están siendo engañados, pero nadie entiende en qué consiste el engaño.

Desde un punto de vista matemático, Zenón en su aporía demostró claramente la transición de la cantidad a. Esta transición implica aplicaciones en lugar de permanentes. Según tengo entendido, el aparato matemático para utilizar unidades de medida variables aún no se ha desarrollado o no se ha aplicado a la aporía de Zenón. Aplicar nuestra lógica habitual nos lleva a una trampa. Nosotros, por inercia del pensamiento, aplicamos unidades de tiempo constantes al valor recíproco. Desde un punto de vista físico, esto parece como si el tiempo se desacelerara hasta detenerse por completo en el momento en que Aquiles alcanza a la tortuga. Si el tiempo se detiene, Aquiles ya no podrá escapar de la tortuga.

Si damos la vuelta a nuestra lógica habitual, todo encaja. Aquiles corre a velocidad constante. Cada segmento posterior de su camino es diez veces más corto que el anterior. En consecuencia, el tiempo dedicado a superarlo es diez veces menor que el anterior. Si aplicamos el concepto de "infinito" en esta situación, entonces sería correcto decir "Aquiles alcanzará a la tortuga infinitamente rápido".

¿Cómo evitar esta trampa lógica? Permanezca en unidades de tiempo constantes y no cambie a unidades recíprocas. En el lenguaje de Zenón se ve así:

En el tiempo que le toma a Aquiles correr mil pasos, la tortuga gateará cien pasos en la misma dirección. Durante el siguiente intervalo de tiempo igual al primero, Aquiles correrá otros mil pasos y la tortuga se arrastrará cien pasos. Ahora Aquiles está ochocientos pasos por delante de la tortuga.

Este enfoque describe adecuadamente la realidad sin paradojas lógicas. Pero esta no es una solución completa al problema. La afirmación de Einstein sobre la irresistibilidad de la velocidad de la luz es muy similar a la aporía de Zenón “Aquiles y la tortuga”. Todavía tenemos que estudiar, repensar y resolver este problema. Y la solución no debe buscarse en números infinitamente grandes, sino en unidades de medida.

Otra aporía interesante de Zenón habla de una flecha voladora:

Una flecha voladora está inmóvil, ya que en cada momento está en reposo, y como está en reposo en cada momento, siempre está en reposo.

En esta aporía, la paradoja lógica se supera de manera muy simple: basta con aclarar que en cada momento una flecha voladora está en reposo en diferentes puntos del espacio, lo que, de hecho, es movimiento. Es necesario señalar aquí otro punto. A partir de una fotografía de un automóvil en la carretera es imposible determinar ni el hecho de su movimiento ni la distancia hasta él. Para determinar si un automóvil se está moviendo, necesita dos fotografías tomadas desde el mismo punto en diferentes momentos del tiempo, pero no puede determinar la distancia desde ellas. Para determinar la distancia a un automóvil, necesita dos fotografías tomadas desde diferentes puntos del espacio en un momento dado, pero a partir de ellas no puede determinar el hecho del movimiento (por supuesto, aún necesita datos adicionales para los cálculos, la trigonometría lo ayudará ). Lo que quiero llamar la atención especialmente es que dos puntos en el tiempo y dos puntos en el espacio son cosas diferentes que no deben confundirse, porque brindan diferentes oportunidades para la investigación.

miércoles, 4 de julio de 2018

Las diferencias entre conjunto y multiconjunto se describen muy bien en Wikipedia. Vamos a ver.

Como puede ver, "no puede haber dos elementos idénticos en un conjunto", pero si hay elementos idénticos en un conjunto, dicho conjunto se denomina "multiconjunto". Los seres razonables nunca entenderán una lógica tan absurda. Este es el nivel de los loros parlantes y los monos entrenados, que no tienen inteligencia de la palabra "completamente". Los matemáticos actúan como simples entrenadores, predicándonos sus ideas absurdas.

Érase una vez, los ingenieros que construyeron el puente estaban en un bote debajo del puente mientras lo probaban. Si el puente se derrumbaba, el mediocre ingeniero moría bajo los escombros de su creación. Si el puente podía soportar la carga, el talentoso ingeniero construyó otros puentes.

No importa cómo los matemáticos se escondan detrás de la frase "fíjense, estoy en casa", o más bien, "las matemáticas estudian conceptos abstractos", hay un cordón umbilical que los conecta inextricablemente con la realidad. Este cordón umbilical es dinero. Apliquemos la teoría matemática de conjuntos a los propios matemáticos.

Estudiamos muy bien matemáticas y ahora estamos sentados en la caja registradora repartiendo sueldos. Entonces un matemático viene a nosotros por su dinero. Le contamos el monto total y lo colocamos sobre nuestra mesa en diferentes montones, en los que colocamos billetes de la misma denominación. Luego tomamos un billete de cada montón y le damos al matemático su “salario matemático”. Expliquemos al matemático que recibirá los billetes restantes sólo cuando demuestre que un conjunto sin elementos idénticos no es igual a un conjunto con elementos idénticos. Aquí es donde comienza la diversión.

En primer lugar, funcionará la lógica de los diputados: “¡Esto se puede aplicar a otros, pero a mí no!” Luego empezarán a asegurarnos que los billetes de la misma denominación tienen diferentes números de billete, por lo que no pueden considerarse los mismos elementos. Bien, contemos los salarios en monedas; no hay números en las monedas. Aquí el matemático comenzará a recordar frenéticamente la física: diferentes monedas tienen diferentes cantidades de suciedad, la estructura cristalina y la disposición de los átomos es única para cada moneda...

Y ahora tengo la pregunta más interesante: ¿dónde está la línea más allá de la cual los elementos de un multiconjunto se convierten en elementos de un conjunto y viceversa? Tal línea no existe: todo lo deciden los chamanes, la ciencia ni siquiera está cerca de mentir aquí.

Mira aquí. Seleccionamos estadios de fútbol con la misma superficie de campo. Las áreas de los campos son las mismas, lo que significa que tenemos un conjunto múltiple. Pero si miramos los nombres de estos mismos estadios, encontramos muchos, porque los nombres son diferentes. Como puede ver, el mismo conjunto de elementos es a la vez un conjunto y un multiconjunto. ¿Cual es correcta? Y aquí el matemático-chamán-afilador saca un as de triunfo de su manga y comienza a hablarnos de un conjunto o de un multiconjunto. En cualquier caso, nos convencerá de que tiene razón.

Para comprender cómo operan los chamanes modernos con la teoría de conjuntos, vinculándola a la realidad, basta responder a una pregunta: ¿en qué se diferencian los elementos de un conjunto de los elementos de otro conjunto? Te lo mostraré, sin ningún "concebible como un todo único" o "no concebible como un todo único".

domingo, 18 de marzo de 2018

La suma de las cifras de un número es una danza de chamanes con pandero, que nada tiene que ver con las matemáticas. Sí, en las lecciones de matemáticas nos enseñan a encontrar la suma de los dígitos de un número y usarla, pero es por eso que son chamanes, para enseñar a sus descendientes sus habilidades y sabiduría, de lo contrario los chamanes simplemente desaparecerán.

¿Necesitas pruebas? Abra Wikipedia e intente encontrar la página "Suma de dígitos de un número". Ella no existe. No existe ninguna fórmula en matemáticas que pueda usarse para encontrar la suma de los dígitos de cualquier número. Después de todo, los números son símbolos gráficos con los que escribimos números, y en el lenguaje matemático la tarea suena así: "Encuentra la suma de los símbolos gráficos que representan cualquier número". Los matemáticos no pueden resolver este problema, pero los chamanes pueden hacerlo fácilmente.

Averigüemos qué y cómo hacemos para encontrar la suma de los dígitos de un número determinado. Y entonces, tengamos el número 12345. ¿Qué hay que hacer para encontrar la suma de los dígitos de este número? Consideremos todos los pasos en orden.

1. Escribe el número en una hoja de papel. ¿Qué hemos hecho? Hemos convertido el número en un símbolo numérico gráfico. Esta no es una operación matemática.

2. Cortamos una imagen resultante en varias imágenes que contienen números individuales. Cortar un cuadro no es una operación matemática.

3. Convierta símbolos gráficos individuales en números. Esta no es una operación matemática.

4. Suma los números resultantes. Ahora esto son matemáticas.

La suma de los dígitos del número 12345 es 15. Estos son los “cursos de corte y costura” impartidos por chamanes que utilizan los matemáticos. Pero eso no es todo.

Desde un punto de vista matemático, no importa en qué sistema numérico escribimos un número. Entonces, en diferentes sistemas numéricos la suma de los dígitos de un mismo número será diferente. En matemáticas, el sistema numérico se indica como un subíndice a la derecha del número. Con el gran número 12345, no quiero engañarme, consideremos el número 26 del artículo sobre. Escribamos este número en sistemas numéricos binario, octal, decimal y hexadecimal. No veremos cada paso bajo un microscopio; eso ya lo hemos hecho. Veamos el resultado.

Como puedes ver, en diferentes sistemas numéricos la suma de los dígitos de un mismo número es diferente. Este resultado no tiene nada que ver con las matemáticas. Es lo mismo que si determinaras el área de un rectángulo en metros y centímetros, obtendrías resultados completamente diferentes.

El cero tiene el mismo aspecto en todos los sistemas numéricos y no tiene suma de dígitos. Este es otro argumento a favor del hecho de que. Pregunta para los matemáticos: ¿cómo se designa en matemáticas algo que no es un número? ¿Para los matemáticos nada existe excepto los números? Puedo permitir esto a los chamanes, pero no a los científicos. La realidad no se trata sólo de números.

El resultado obtenido debe considerarse como prueba de que los sistemas numéricos son unidades de medida de números. Después de todo, no podemos comparar números con diferentes unidades de medida. Si las mismas acciones con diferentes unidades de medida de la misma cantidad conducen a resultados diferentes después de compararlas, entonces esto no tiene nada que ver con las matemáticas.

¿Qué son las matemáticas reales? Esto es cuando el resultado de una operación matemática no depende del tamaño del número, de la unidad de medida utilizada y de quién realiza esta acción.

¡Oh! ¿No es este el baño de mujeres?
- ¡Mujer joven! ¡Este es un laboratorio para el estudio de la santidad indefílica de las almas durante su ascensión al cielo! Halo en la parte superior y flecha hacia arriba. ¿Qué otro baño?

Mujer... El halo de arriba y la flecha de abajo son masculinos.

Si una obra de arte de diseño así aparece ante sus ojos varias veces al día,

Entonces no es de extrañar que de repente encuentres un icono extraño en tu coche:

Personalmente, me esfuerzo en ver menos cuatro grados en una persona que hace caca (una imagen) (una composición de varias imágenes: un signo menos, el número cuatro, una designación de grados). Y no creo que esta chica sea una tonta que no sabe física. Simplemente tiene un fuerte estereotipo de percepción de imágenes gráficas. Y los matemáticos nos enseñan esto todo el tiempo. He aquí un ejemplo.

1A no es “menos cuatro grados” ni “uno a”. Este es el "hombre que hace caca" o el número "veintiséis" en notación hexadecimal. Aquellas personas que trabajan constantemente en este sistema numérico perciben automáticamente un número y una letra como un símbolo gráfico.

Tabla de valores de funciones trigonométricas.

Nota. Esta tabla de valores de funciones trigonométricas utiliza el signo √ para representar la raíz cuadrada. Para indicar una fracción, utilice el símbolo "/".

ver también materiales útiles:

Para determinar el valor de una función trigonométrica, encuéntralo en la intersección de la línea que indica la función trigonométrica. Por ejemplo, seno 30 grados: buscamos la columna con el encabezado sin (seno) y encontramos la intersección de esta columna de la tabla con la fila "30 grados", en su intersección leemos el resultado: la mitad. De manera similar encontramos coseno 60 grados, seno 60 grados (una vez más, en la intersección de la columna sin y la línea de 60 grados encontramos el valor sin 60 = √3/2), etc. Los valores de los senos, cosenos y tangentes de otros ángulos “populares” se encuentran de la misma forma.

Seno pi, coseno pi, tangente pi y otros ángulos en radianes

La siguiente tabla de cosenos, senos y tangentes también es adecuada para encontrar el valor de funciones trigonométricas cuyo argumento es dado en radianes. Para hacer esto, use la segunda columna de valores de ángulos. Gracias a esto, puedes convertir el valor de los ángulos populares de grados a radianes. Por ejemplo, busquemos el ángulo de 60 grados en la primera línea y leamos su valor en radianes debajo. 60 grados es igual a π/3 radianes.

El número pi expresa inequívocamente la dependencia de la circunferencia de la medida en grados del ángulo. Por tanto, pi radianes equivalen a 180 grados.

Cualquier número expresado en términos de pi (radianes) se puede convertir fácilmente a grados reemplazando pi (π) por 180..

Ejemplos:
1. Seno pi.
pecado π = pecado 180 = 0
por tanto, el seno de pi es igual al seno de 180 grados y es igual a cero.

2. coseno pi.
porque π = porque 180 = -1
por tanto, el coseno de pi es igual al coseno de 180 grados y es igual a menos uno.

3. pi tangente
tg π = tg 180 = 0
por tanto, la tangente pi es igual a la tangente de 180 grados y es igual a cero.

Tabla de valores de seno, coseno y tangente para ángulos de 0 a 360 grados (valores comunes)

Si en la tabla de valores de funciones trigonométricas se indica un guión en lugar del valor de la función (tangente (tg) 90 grados, cotangente (ctg) 180 grados), entonces para un valor dado de la medida en grados del ángulo la función no tiene un valor específico. Si no hay un guión, la celda está vacía, lo que significa que aún no hemos ingresado el valor requerido. Nos interesa saber qué consultas nos solicitan los usuarios y complementar la tabla con nuevos valores, a pesar de que los datos actuales sobre los valores de cosenos, senos y tangentes de los valores de ángulos más comunes son suficientes para resolver la mayoría. problemas.

Tabla de valores de funciones trigonométricas sen, cos, tg para los ángulos más populares
0, 15, 30, 45, 60, 90... 360 grados
(valores numéricos “según tablas Bradis”)

Este artículo contiene tablas de senos, cosenos, tangentes y cotangentes. Primero, proporcionaremos una tabla de los valores básicos de funciones trigonométricas, es decir, una tabla de senos, cosenos, tangentes y cotangentes de ángulos de 0, 30, 45, 60, 90,..., 360 grados ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2,…, 2π radián). Después de esto, daremos una tabla de senos y cosenos, así como una tabla de tangentes y cotangentes de V. M. Bradis, y mostraremos cómo usar estas tablas para encontrar los valores de funciones trigonométricas.

Navegación de páginas.

Tabla de senos, cosenos, tangentes y cotangentes para ángulos de 0, 30, 45, 60, 90,... grados

Bibliografía.

• Álgebra: Libro de texto para noveno grado. promedio escuela/yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky - M.: Educación, 1990. - 272 págs.: enfermo - ISBN 5-09-002727-7.
• Bashmakov M.I.Álgebra y los inicios del análisis: Libro de texto. para 10-11 grados. promedio escuela - 3ª edición. - M.: Educación, 1993. - 351 p.: enfermo. - ISBN 5-09-004617-4.
• Álgebra y el inicio del análisis: Proc. para 10-11 grados. educación general instituciones / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn y otros; Ed. A. N. Kolmogorov - 14ª ed. - M.: Educación, 2004. - 384 págs.: Ill.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matemáticas (un manual para aspirantes a escuelas técnicas): Proc. asignación.- M.; Más alto escuela, 1984.-351 p., enfermo.
• Bradis V. M. Tablas de matemáticas de cuatro dígitos: Para educación general. libro de texto establecimientos. - 2ª ed. - M.: Avutarda, 1999.- 96 p.: enfermo. ISBN 5-7107-2667-2

1. Funciones trigonométricas son funciones elementales cuyo argumento es esquina. Las funciones trigonométricas describen las relaciones entre los lados y los ángulos agudos de un triángulo rectángulo. Los campos de aplicación de las funciones trigonométricas son extremadamente diversos. Por ejemplo, cualquier proceso periódico se puede representar como una suma de funciones trigonométricas (serie de Fourier). Estas funciones suelen aparecer al resolver ecuaciones diferenciales y funcionales.

2. Las funciones trigonométricas incluyen las siguientes 6 funciones: seno, coseno, tangente,cotangente, secante Y cosecante. Para cada una de estas funciones existe una función trigonométrica inversa.

3. Es conveniente introducir la definición geométrica de funciones trigonométricas utilizando circulo unitario. La siguiente figura muestra un círculo con radio r=1. El punto M(x,y) está marcado en el círculo. El ángulo entre el vector de radio OM y la dirección positiva del eje Ox es igual a α.

4. Seno El ángulo α es la relación entre la ordenada y del punto M(x,y) y el radio r:
senα=y/r.
Como r=1, entonces el seno es igual a la ordenada del punto M(x,y).

5. Coseno El ángulo α es la relación entre la abscisa x del punto M(x,y) y el radio r:
cosα=x/r

6. Tangente El ángulo α es la relación entre la ordenada y de un punto M(x,y) y su abscisa x:
tanα=y/x,x≠0

7. Cotangente El ángulo α es la relación entre la abscisa x de un punto M(x,y) y su ordenada y:
cotα=x/y,y≠0

8. Secante El ángulo α es la relación entre el radio r y la abscisa x del punto M(x,y):
segundoα=r/x=1/x,x≠0

9. Cosecante El ángulo α es la relación entre el radio r y la ordenada y del punto M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. En el círculo unitario, las proyecciones x, y, los puntos M(x,y) y el radio r forman un triángulo rectángulo, en el que x,y son los catetos y r es la hipotenusa. Por lo tanto, las definiciones anteriores de funciones trigonométricas aplicadas a un triángulo rectángulo se formulan de la siguiente manera:
Seno El ángulo α es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
Coseno El ángulo α es la relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
Tangente Se llama ángulo α al cateto opuesto al adyacente.
Cotangente El ángulo α se llama lado adyacente al lado opuesto.
Secante El ángulo α es la relación entre la hipotenusa y el cateto adyacente.
Cosecante El ángulo α es la relación entre la hipotenusa y el cateto opuesto.

11. Gráfica de la función seno
y=sinx, dominio de definición: x∈R, rango de valores: −1≤sinx≤1

12. Gráfica de la función coseno
y=cosx, dominio: x∈R, rango: −1≤cosx≤1

13. Gráfica de la función tangente
y=tanx, rango de definición: x∈R,x≠(2k+1)π/2, rango de valores: −∞

14. Gráfica de la función cotangente
y=cotx, dominio: x∈R,x≠kπ, rango: −∞

15. Gráfica de la función secante
y=secx, dominio: x∈R,x≠(2k+1)π/2, rango: secx∈(−∞,−1]∪∪)