Unidad de medida constante de Boltzmann. La esencia física de la constante de Boltzmann.

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Para conocer una constante relacionada con la energía de la radiación del cuerpo negro, consulte Constante de Stefan-Boltzmann.

constante de Boltzmann (k o k B) es una constante física que determina la relación entre la temperatura de una sustancia y la energía del movimiento térmico de las partículas de esta sustancia. Debe su nombre al físico austriaco Ludwig Boltzmann, quien hizo importantes contribuciones a la física estadística, en la que esta constante juega un papel clave. Su valor experimental en el sistema SI es

En la tabla, los últimos números entre paréntesis indican el error estándar del valor constante. En principio, la constante de Boltzmann se puede obtener a partir de la definición de temperatura absoluta y otras constantes físicas. Sin embargo, calcular con precisión la constante de Boltzmann utilizando los primeros principios es demasiado complejo e inviable con el estado actual de los conocimientos.

La constante de Boltzmann se puede determinar experimentalmente utilizando la ley de radiación térmica de Planck, que describe la distribución de energía en el espectro de radiación de equilibrio a una determinada temperatura del cuerpo emisor, así como otros métodos.

Existe una relación entre la constante universal de los gases y el número de Avogadro, de la cual se deduce el valor de la constante de Boltzmann:

La dimensión de la constante de Boltzmann es la misma que la de la entropía.

Historia

En 1877, Boltzmann fue el primero en conectar la entropía y la probabilidad, pero un valor bastante preciso de la constante k como coeficiente de acoplamiento en la fórmula de la entropía apareció sólo en las obras de M. Planck. Al deducir la ley de la radiación del cuerpo negro, Planck en 1900-1901. para la constante de Boltzmann, encontró un valor de 1,346 · 10 −23 J/K, casi un 2,5% menos que el valor actualmente aceptado.

Antes de 1900, las relaciones que ahora se escriben con la constante de Boltzmann se escribían utilizando la constante de los gases. R, y en lugar de la energía promedio por molécula, se utilizó la energía total de la sustancia. Fórmula lacónica de la forma. S = k registro W. en el busto de Boltzmann se convirtió en tal gracias a Planck. En su conferencia Nobel en 1920, Planck escribió:

Esta constante a menudo se llama constante de Boltzmann, aunque, hasta donde yo sé, el propio Boltzmann nunca la presentó; una situación extraña, a pesar de que las declaraciones de Boltzmann no hablaban de la medición exacta de esta constante.

Esta situación puede explicarse por el debate científico en curso en ese momento para aclarar la esencia de la estructura atómica de la materia. En la segunda mitad del siglo XIX, hubo un considerable desacuerdo sobre si los átomos y las moléculas eran reales o simplemente una forma conveniente de describir los fenómenos. Tampoco hubo consenso sobre si las "moléculas químicas" distinguidas por su masa atómica eran las mismas moléculas que en la teoría cinética. Más adelante en la conferencia Nobel de Planck se puede encontrar lo siguiente:

“Nada puede demostrar mejor el ritmo positivo y acelerado del progreso que el arte de experimentar durante los últimos veinte años, cuando se han descubierto muchos métodos a la vez para medir la masa de las moléculas con casi la misma precisión que medir la masa de un planeta. "

Ecuación de estado del gas ideal

Para un gas ideal, es válida la ley unificada de los gases que relaciona la presión. PAG, volumen V, cantidad de sustancia norte en moles, constante de gas R y temperatura absoluta t:

En esta igualdad, puedes hacer una sustitución. Entonces la ley de los gases se expresará en términos de la constante de Boltzmann y el número de moléculas. norte en volumen de gas V:

Relación entre temperatura y energía.

En un gas ideal homogéneo a temperatura absoluta. t, la energía por cada grado de libertad de traslación es igual, como se desprende de la distribución de Maxwell, kt/ 2 . A temperatura ambiente (≈ 300 K), esta energía es J, o 0,013 eV.

Relaciones termodinámicas de los gases.

En un gas ideal monoatómico, cada átomo tiene tres grados de libertad, correspondientes a tres ejes espaciales, lo que significa que para cada átomo hay una energía de 3 kt/ 2 . Esto concuerda bien con los datos experimentales. Conociendo la energía térmica, podemos calcular la velocidad cuadrática media de los átomos, que es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la masa atómica. La velocidad cuadrática media a temperatura ambiente varía de 1370 m/s para el helio a 240 m/s para el xenón.

La teoría cinética da una fórmula para la presión promedio. PAG gas ideal:

Considerando que la energía cinética promedio del movimiento rectilíneo es igual a:

encontramos la ecuación de estado de un gas ideal:

Esta relación es válida para los gases moleculares; sin embargo, la dependencia de la capacidad calorífica cambia, ya que las moléculas pueden tener grados de libertad internos adicionales en relación con aquellos grados de libertad asociados con el movimiento de las moléculas en el espacio. Por ejemplo, un gas diatómico ya tiene aproximadamente cinco grados de libertad.

multiplicador de Boltzmann

En general, el sistema está en equilibrio con un depósito térmico a una temperatura t tiene una probabilidad pag ocupar un estado de energía mi, que se puede escribir usando el correspondiente multiplicador exponencial de Boltzmann:

Esta expresión implica la cantidad kt con la dimensión de la energía.

El cálculo de probabilidad se utiliza no sólo para cálculos en la teoría cinética de los gases ideales, sino también en otras áreas, por ejemplo en la cinética química en la ecuación de Arrhenius.

Papel en la determinación estadística de la entropía.

articulo principal: Entropía termodinámica

entropía S de un sistema termodinámico aislado en equilibrio termodinámico se determina mediante el logaritmo natural del número de microestados diferentes W., correspondiente a un estado macroscópico dado (por ejemplo, un estado con una energía total dada mi):

Factor de proporcionalidad k es la constante de Boltzmann. Esta es una expresión que define la relación entre estados microscópicos y macroscópicos (a través de W. y entropía S en consecuencia), expresa la idea central de la mecánica estadística y es el principal descubrimiento de Boltzmann.

La termodinámica clásica utiliza la expresión de Clausius para la entropía:

Así, la aparición de la constante de Boltzmann k puede verse como una consecuencia de la conexión entre las definiciones termodinámicas y estadísticas de entropía.

La entropía se puede expresar en unidades. k, que da lo siguiente:

En tales unidades, la entropía corresponde exactamente a la entropía de la información.

Energía característica kt igual a la cantidad de calor necesaria para aumentar la entropía S"por un nat.

Papel en la física de semiconductores: estrés térmico

A diferencia de otras sustancias, en los semiconductores existe una fuerte dependencia de la conductividad eléctrica de la temperatura:

donde el factor σ 0 depende bastante débilmente de la temperatura en comparación con el exponencial, E A– energía de activación de la conducción. La densidad de los electrones de conducción también depende exponencialmente de la temperatura. Para la corriente a través de una unión p-n semiconductora, en lugar de la energía de activación, considere la energía característica de una unión p-n dada a temperatura t como la energía característica de un electrón en un campo eléctrico:

Dónde q- , A VT hay estrés térmico dependiendo de la temperatura.

Esta relación es la base para expresar la constante de Boltzmann en unidades de eV∙K −1. A temperatura ambiente (≈ 300 K), el valor del voltaje térmico es de aproximadamente 25,85 milivoltios ≈ 26 mV.

En la teoría clásica, a menudo se utiliza una fórmula según la cual la velocidad efectiva de los portadores de carga en una sustancia es igual al producto de la movilidad del portador μ por la intensidad del campo eléctrico. Otra fórmula relaciona la densidad de flujo del portador con el coeficiente de difusión. D y con un gradiente de concentración de portadores norte :

Según la relación de Einstein-Smoluchowski, el coeficiente de difusión está relacionado con la movilidad:

constante de Boltzmann k También está incluido en la ley de Wiedemann-Franz, según la cual la relación entre el coeficiente de conductividad térmica y el coeficiente de conductividad eléctrica en los metales es proporcional a la temperatura y al cuadrado de la relación entre la constante de Boltzmann y la carga eléctrica.

Aplicaciones en otras áreas

Para delimitar regiones de temperatura en las que se describe el comportamiento de la materia mediante métodos cuánticos o clásicos se utiliza la temperatura de Debye:

Como ciencia cuantitativa exacta, la física no puede prescindir de un conjunto de constantes muy importantes que se incluyen como coeficientes universales en ecuaciones que establecen relaciones entre determinadas cantidades. Se trata de constantes fundamentales, gracias a las cuales dichas relaciones se vuelven invariantes y pueden explicar el comportamiento de los sistemas físicos a diferentes escalas.

Entre los parámetros que caracterizan las propiedades inherentes a la materia de nuestro Universo se encuentra la constante de Boltzmann, una cantidad incluida en varias de las ecuaciones más importantes. Sin embargo, antes de pasar a considerar sus características y significado, no podemos dejar de decir algunas palabras sobre el científico cuyo nombre lleva.

Ludwig Boltzmann: logros científicos

Uno de los más grandes científicos del siglo XIX, el austriaco Ludwig Boltzmann (1844-1906), hizo una importante contribución al desarrollo de la teoría cinética molecular, convirtiéndose en uno de los creadores de la mecánica estadística. Fue autor de la hipótesis ergódica, un método estadístico en la descripción de un gas ideal y de la ecuación básica de la cinética física. Trabajó mucho en cuestiones de termodinámica (teorema H de Boltzmann, principio estadístico de la segunda ley de la termodinámica), teoría de la radiación (ley de Stefan-Boltzmann). En sus obras también abordó algunas cuestiones de electrodinámica, óptica y otras ramas de la física. Su nombre está inmortalizado en dos constantes físicas, de las que hablaremos a continuación.

Ludwig Boltzmann fue un partidario convencido y consecuente de la teoría de la estructura atómico-molecular de la materia. Durante muchos años tuvo que luchar contra la incomprensión y el rechazo de estas ideas en la comunidad científica de la época, cuando muchos físicos consideraban que los átomos y las moléculas eran una abstracción innecesaria, en el mejor de los casos, un dispositivo convencional para facilitar los cálculos. Una dolorosa enfermedad y los ataques de colegas conservadores provocaron en Boltzmann una grave depresión que, incapaz de soportar, llevó al destacado científico al suicidio. En la tumba, encima del busto de Boltzmann, como señal de reconocimiento a sus méritos, está grabada la ecuación S = k∙logW, uno de los resultados de su fructífero trabajo científico. La constante k en esta ecuación es la constante de Boltzmann.

Energía de las moléculas y temperatura de la materia.

El concepto de temperatura sirve para caracterizar el grado de calentamiento de un cuerpo en particular. En física, se utiliza una escala de temperatura absoluta, que se basa en la conclusión de la teoría cinética molecular sobre la temperatura como medida que refleja la cantidad de energía del movimiento térmico de las partículas de una sustancia (es decir, por supuesto, la energía cinética promedio de un conjunto de partículas).

Tanto el julio SI como el ergio utilizados en el sistema CGS son unidades demasiado grandes para expresar la energía de las moléculas y, en la práctica, era muy difícil medir la temperatura de esta manera. Una unidad de temperatura cómoda es el grado, y la medición se realiza de forma indirecta, registrando las características macroscópicas cambiantes de una sustancia, por ejemplo el volumen.

¿Cómo se relacionan la energía y la temperatura?

Para calcular los estados de la materia real a temperaturas y presiones cercanas a la normal se utiliza con éxito el modelo de un gas ideal, es decir, aquel cuyo tamaño molecular es mucho menor que el volumen que ocupa una determinada cantidad de gas, y la distancia entre partículas excede significativamente el radio de su interacción. Con base en las ecuaciones de la teoría cinética, la energía promedio de tales partículas se determina como E av = 3/2∙kT, donde E es la energía cinética, T es la temperatura y 3/2∙k es el coeficiente de proporcionalidad introducido por Boltzmann. El número 3 aquí caracteriza el número de grados de libertad del movimiento de traslación de las moléculas en tres dimensiones espaciales.

El valor k, que más tarde recibió el nombre de constante de Boltzmann en honor al físico austriaco, muestra cuánto de un julio o ergio contiene un grado. En otras palabras, su valor determina cuánto aumenta estadísticamente, en promedio, la energía del movimiento térmico caótico de una partícula de un gas monoatómico ideal, en promedio, con un aumento de temperatura de 1 grado.

¿Cuántas veces es un grado menor que un julio?

El valor numérico de esta constante se puede obtener de varias maneras, por ejemplo, midiendo la temperatura y la presión absolutas, utilizando la ecuación del gas ideal o utilizando un modelo de movimiento browniano. La derivación teórica de este valor con el nivel actual de conocimiento no es posible.

La constante de Boltzmann es 1,38 × 10 -23 J/K (aquí K es kelvin, un grado en la escala de temperatura absoluta). Para un grupo de partículas en 1 mol de gas ideal (22,4 litros), el coeficiente que relaciona la energía con la temperatura (constante universal de los gases) se obtiene multiplicando la constante de Boltzmann por el número de Avogadro (el número de moléculas en un mol): R = kN A, y es 8,31 J/(mol∙kelvin). Sin embargo, a diferencia de esta última, la constante de Boltzmann es de naturaleza más universal, ya que está incluida en otras relaciones importantes y también sirve para determinar otra constante física.

Distribución estadística de energías moleculares.

Dado que los estados macroscópicos de la materia son el resultado del comportamiento de una gran colección de partículas, se describen mediante métodos estadísticos. Esto último también incluye descubrir cómo se distribuyen los parámetros energéticos de las moléculas de gas:

• Distribución maxwelliana de energías cinéticas (y velocidades). Muestra que en un gas en estado de equilibrio, la mayoría de las moléculas tienen velocidades cercanas a alguna rapidez más probable v = √(2kT/m 0), donde m 0 es la masa de la molécula.
• Distribución de Boltzmann de energías potenciales para gases ubicados en el campo de cualquier fuerza, por ejemplo, la gravedad de la Tierra. Depende de la relación entre dos factores: la atracción hacia la Tierra y el caótico movimiento térmico de las partículas de gas. Como resultado, cuanto menor es la energía potencial de las moléculas (más cerca de la superficie del planeta), mayor es su concentración.

Ambos métodos estadísticos se combinan en una distribución de Maxwell-Boltzmann que contiene un factor exponencial e - E/ kT, donde E es la suma de las energías cinética y potencial, y kT es la energía promedio del movimiento térmico, ya conocido por nosotros, controlado por el Constante de Boltzmann.

Constante k y entropía

En sentido general, la entropía se puede caracterizar como una medida de la irreversibilidad de un proceso termodinámico. Esta irreversibilidad está asociada a la disipación -disipación- de la energía. En el enfoque estadístico propuesto por Boltzmann, la entropía es función del número de formas en que se puede realizar un sistema físico sin cambiar su estado: S = k∙lnW.

Aquí la constante k especifica la escala de crecimiento de la entropía con un aumento en este número (W) de opciones de implementación del sistema, o microestados. Max Planck, quien llevó esta fórmula a su forma moderna, sugirió darle a la constante k el nombre de Boltzmann.

Ley de radiación de Stefan-Boltzmann

La ley física que establece cómo depende la luminosidad energética (potencia de radiación por unidad de superficie) de un cuerpo absolutamente negro de su temperatura tiene la forma j = σT 4, es decir, el cuerpo emite proporcionalmente a la cuarta potencia de su temperatura. Esta ley se utiliza, por ejemplo, en astrofísica, ya que la radiación de las estrellas tiene características cercanas a la radiación del cuerpo negro.

En esta relación hay otra constante, que también controla la escala del fenómeno. Esta es la constante de Stefan-Boltzmann σ, que es aproximadamente 5,67 × 10 -8 W/(m 2 ∙K 4). Su dimensión incluye los grados Kelvin, lo que significa que está claro que aquí también interviene la constante de Boltzmann k. De hecho, el valor de σ se define como (2π 2 ∙k 4)/(15c 2 h 3), donde c es la velocidad de la luz y h es la constante de Planck. Así, la constante de Boltzmann, combinada con otras constantes mundiales, forma una cantidad que nuevamente conecta la energía (potencia) y la temperatura, en este caso en relación con la radiación.

La esencia física de la constante de Boltzmann.

Ya se señaló anteriormente que la constante de Boltzmann es una de las llamadas constantes fundamentales. La cuestión no es solo que nos permite establecer una conexión entre las características de los fenómenos microscópicos a nivel molecular y los parámetros de los procesos observados en el macrocosmos. Y no sólo que esta constante está incluida en una serie de ecuaciones importantes.

Actualmente se desconoce si existe algún principio físico a partir del cual se pueda deducir teóricamente. En otras palabras, de nada se sigue que el valor de una constante dada deba ser exactamente ese. Podríamos usar otras cantidades y otras unidades en lugar de grados como medida de cumplimiento de la energía cinética de las partículas, entonces el valor numérico de la constante sería diferente, pero seguiría siendo un valor constante. Junto con otras cantidades fundamentales de este tipo (la velocidad límite c, la constante de Planck h, la carga elemental e, la constante gravitacional G), la ciencia acepta la constante de Boltzmann como un dato de nuestro mundo y la utiliza para una descripción teórica de la física. procesos que ocurren en él.

constante de Boltzmann (k o k b) es una constante física que define la relación entre y . El nombre del físico austriaco que hizo importantes contribuciones al campo, en el que esta constante juega un papel clave. Su valor experimental en el sistema es

Los números entre paréntesis indican el error estándar en los últimos dígitos del valor de la cantidad. En principio, la constante de Boltzmann se puede obtener a partir de la definición de temperatura absoluta y otras constantes físicas. Sin embargo, calcular la constante de Boltzmann utilizando los primeros principios es demasiado complejo e inviable con el estado actual de los conocimientos. En el sistema natural de unidades de Planck, la unidad natural de temperatura está dada de modo que la constante de Boltzmann es igual a la unidad.

Relación entre temperatura y energía.

Definición de entropía.

Un sistema termodinámico se define como el logaritmo natural del número de microestados Z diferentes correspondientes a un estado macroscópico determinado (por ejemplo, un estado con una energía total determinada).

Factor de proporcionalidad k y es la constante de Boltzmann. Esta expresión, que define la relación entre los estados microscópicos (Z) y macroscópicos (S), expresa la idea central de la mecánica estadística.

Boltzmann Luis (1844-1906)- gran físico austriaco, uno de los fundadores de la teoría cinética molecular. En los trabajos de Boltzmann, la teoría cinética molecular apareció por primera vez como una teoría física consistente y lógicamente coherente. Boltzmann dio una interpretación estadística de la segunda ley de la termodinámica. Hizo mucho para desarrollar y popularizar la teoría del campo electromagnético de Maxwell. Luchador por naturaleza, Boltzmann defendió apasionadamente la necesidad de una interpretación molecular de los fenómenos térmicos y llevó la peor parte de la lucha contra los científicos que negaban la existencia de moléculas.

La ecuación (4.5.3) incluye la relación de la constante universal de los gases R a la constante de Avogadro norte A . Esta proporción es la misma para todas las sustancias. Se llama constante de Boltzmann, en honor a L. Boltzmann, uno de los fundadores de la teoría cinética molecular.

La constante de Boltzmann es:

La ecuación (4.5.3) teniendo en cuenta la constante de Boltzmann se escribe de la siguiente manera:

Significado físico de la constante de Boltzmann

Históricamente, la temperatura se introdujo por primera vez como una magnitud termodinámica y se estableció su unidad de medida: los grados (ver § 3.2). Después de establecer la relación entre la temperatura y la energía cinética promedio de las moléculas, resultó obvio que la temperatura puede definirse como la energía cinética promedio de las moléculas y expresarse en julios o ergios, es decir, en lugar de la cantidad. t introducir valor T* de modo que

La temperatura así definida está relacionada con la temperatura expresada en grados de la siguiente manera:

Por tanto, la constante de Boltzmann puede considerarse como una cantidad que relaciona la temperatura, expresada en unidades de energía, con la temperatura, expresada en grados.

Dependencia de la presión del gas de la concentración de sus moléculas y la temperatura.

Habiendo expresado mi De la relación (4.5.5) y sustituyéndola en la fórmula (4.4.10), obtenemos una expresión que muestra la dependencia de la presión del gas de la concentración de moléculas y la temperatura:

De la fórmula (4.5.6) se deduce que a las mismas presiones y temperaturas, la concentración de moléculas en todos los gases es la misma.

Esto implica la ley de Avogadro: volúmenes iguales de gases a las mismas temperaturas y presiones contienen el mismo número de moléculas.

La energía cinética promedio del movimiento de traslación de las moléculas es directamente proporcional a la temperatura absoluta. Factor de proporcionalidad- constante de Boltzmannk = 10 -23 J/K - Necesito recordar.

§ 4.6. Distribución Maxwell

En una gran cantidad de casos, el conocimiento de los valores medios de cantidades físicas por sí solo no es suficiente. Por ejemplo, conocer la altura promedio de las personas no nos permite planificar la producción de ropa en diferentes tallas. Necesita saber el número aproximado de personas cuya altura se encuentra en un intervalo determinado. Asimismo, es importante conocer el número de moléculas que tienen velocidades diferentes al valor promedio. Maxwell fue el primero en descubrir cómo se podían determinar estos números.

Probabilidad de un evento aleatorio

En §4.1 ya mencionamos que para describir el comportamiento de una gran colección de moléculas, J. Maxwell introdujo el concepto de probabilidad.

Como se ha enfatizado repetidamente, en principio es imposible monitorear el cambio de velocidad (o momento) de una molécula durante un largo intervalo de tiempo. También es imposible determinar con precisión las velocidades de todas las moléculas de gas en un momento dado. De las condiciones macroscópicas en las que se encuentra un gas (un cierto volumen y temperatura), no necesariamente se derivan ciertos valores de velocidades moleculares. La velocidad de una molécula se puede considerar como una variable aleatoria, que bajo determinadas condiciones macroscópicas puede tomar diferentes valores, así como al lanzar un dado se puede obtener cualquier número de puntos del 1 al 6 (el número de lados del dado es seis). Es imposible predecir la cantidad de puntos que obtendrás al lanzar un dado. Pero la probabilidad de obtener, digamos, cinco puntos es determinable.

¿Cuál es la probabilidad de que ocurra un evento aleatorio? Que se produzca un número muy grande. norte pruebas (norte - número de lanzamientos de dados). Al mismo tiempo, en norte" En los casos, hubo un resultado favorable de las pruebas (es decir, bajando un cinco). Entonces, la probabilidad de un evento dado es igual a la relación entre el número de casos con resultado favorable y el número total de juicios, siempre que este número sea tan grande como se desea:

Para un dado simétrico, la probabilidad de obtener cualquier número elegido de puntos del 1 al 6 es.

Vemos que en el contexto de muchos eventos aleatorios, se revela un cierto patrón cuantitativo, aparece un número. Este número, la probabilidad, permite calcular promedios. Entonces, si lanzas 300 dados, entonces el número promedio de cinco, como se muestra en la fórmula (4.6.1), será igual a: 300 = 50, y no importa en absoluto si lanzas el mismo dado 300 veces o 300 Dados idénticos al mismo tiempo.

No hay duda de que el comportamiento de las moléculas de gas en un recipiente es mucho más complejo que el movimiento de un dado lanzado. Pero aquí también se puede esperar descubrir ciertos patrones cuantitativos que permitan calcular promedios estadísticos, siempre que el problema se plantee del mismo modo que en la teoría de juegos y no como en la mecánica clásica. Es necesario abandonar el problema insoluble de determinar el valor exacto de la velocidad de una molécula en un momento dado y tratar de encontrar la probabilidad de que la velocidad tenga un valor determinado.