Construya una gráfica de la función 23 oge. Cómo resolver ecuaciones de módulo: reglas básicas

Análisis de opciones típicas para las tareas No. 23 OGE en matemáticas.

Primera versión de la tarea.

Grafica la función

Algoritmo de solución:

1. Anotamos la respuesta.

Solución:

1. Transforma la función según el signo de la variable x.

2. Gráfica de una función de valores dados de x - parte de una parábola, cuyas ramas se dirigen hacia abajo.

El vértice se encuentra en el punto con coordenadas:

Encontremos los ceros de la función: La gráfica pasa por el origen y el punto (-2;-7).

La gráfica de la segunda función es una parábola, cuyas ramas se dirigen hacia arriba.

Su cima está en el punto:

Definamos los ceros de la parábola.

3. Representamos la gráfica de la función en el plano de coordenadas:

4. De la construcción es fácil ver que la recta y = m tiene exactamente dos puntos con la gráfica cuando pasa por el vértice de una de las parábolas que forman la gráfica de esta función.

Esto significa que la función y la recta tienen dos puntos comunes en m = -2,25 o m = 12,25.

Respuesta: -2,25; 12.25.

Segunda versión de la tarea.

Grafica la función

Determina para qué valores de m la recta y = m tiene exactamente dos puntos en común con la gráfica.

Algoritmo de solución:

1. Transformemos la fórmula que define la función.
2. Determinamos el tipo y puntos característicos de la función en cada intervalo.
3. Representamos la gráfica en el plano de coordenadas.
4. Sacamos una conclusión sobre el número de puntos de intersección.
5. Anotamos la respuesta.

Solución:

1. Transforma la fórmula según el signo de la variable x:

2. Gráfico de funciones es una parábola cuyas ramas se dirigen hacia abajo.

Su cima está en el punto:

Encontremos los ceros de la función: La gráfica pasa por el origen y el punto (0;4).

Gráfica de la segunda función. es una parábola cuyas ramas se dirigen hacia arriba.

Su cima está en el punto:

Definamos los ceros de la parábola.

3. Representamos la gráfica en el plano de coordenadas:

De la imagen se desprende claramente que la recta y= m tiene sólo dos puntos en común con la gráfica, cuando m=-9 o m=4. En el gráfico, la línea recta está representada por una línea roja en cada valor de m.

Respuesta: -9; 4.

Tercera versión de la tarea.

Grafica la función

Determina para qué valores de m la recta y = m tiene exactamente dos puntos en común con la gráfica.

Algoritmo de solución:

1. Transformemos la fórmula que define la función.
2. Determinamos el tipo y puntos característicos de la función en cada intervalo.
3. Representamos la gráfica en el plano de coordenadas.
4. Sacamos una conclusión sobre el número de puntos de intersección.
5. Anotamos la respuesta.

Solución:

1. Transformar la fórmula de la función según el signo de la variable.

2. Determina el tipo de función y encuentra puntos adicionales para cada sección de la gráfica.

La gráfica en es parte de una parábola, cuyas ramas se dirigen hacia abajo. Porque el coeficiente A=-1 – negativo.

Determinemos el vértice de la parábola. Y .

El vértice está en el punto (-3; 9).

La parábola también pasa por los puntos (0;0) y (0;6).

Si , las ramas de la parábola están dirigidas hacia arriba. Busquemos la cima:

, (2; -4).

La gráfica también pasa por los puntos (0;0) y (0;4).

3. Construimos el gráfico requerido:

De la construcción se desprende claramente que la recta y=m tiene sólo 2 puntos comunes con la gráfica de la función en los casos en que m=-4 o m=9. En la figura, las líneas rectas se muestran en rojo.

Respuesta: -4; 9.

Cuarta versión de la tarea.

Grafica la función

Determina en qué valores de k la recta y = kx no tiene puntos comunes con la gráfica.

Algoritmo de solución:

1. Estamos construyendo un cronograma.
2. Anotamos la respuesta.

Solución:

1. Si x< 0, то

La fracción resultante se define . La gráfica es parte de una hipérbola.

Puntos por trazar:

3. Construyamos una gráfica de la función dada:

4. La recta y=kx no tiene puntos comunes con la gráfica, cuando k=-1; 0 y 1, porque entonces la recta pasa por puntos que no están incluidos en el dominio de definición de la función dada.

En el gráfico hay líneas rectas para k=-1; 1 se muestran en rojo.

Respuesta 1; 0; 1.

Quinta versión de la tarea.

Grafica la función

Determina en qué valores de k la recta y = kx no tiene puntos comunes con la gráfica.

Algoritmo de solución:

1. Abrimos el módulo y transformamos las fórmulas de funciones.
2. Determinamos el tipo de función en cada intervalo y encontramos puntos adicionales en la gráfica.
3. Estamos construyendo un cronograma.
4. Determinamos los valores requeridos de k.
5. Anotamos la respuesta.

Nos estamos preparando para la OGE en matemáticas, resolviendo la tarea 23 sobre trazar una función con un módulo. Puedes obtener un máximo de 2 puntos por esta tarea en el examen.

Traza la función y= |x 2 + 4x + 3|. ¿Cuál es el mayor número de puntos comunes que puede tener la gráfica de esta función con una recta paralela al eje x?

Para graficar la función y= |x 2 + 4x + 3|, primero debes graficar la función y= x 2 + 4x + 3. Esta es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola con ramas apuntando hacia arriba. Aislamos el cuadrado del binomio para encontrar el vértice de la parábola: x 2 + 4x + 3 = (x 2 + 4x + 4) - 1 = (x + 2) 2 -1. Hemos transformado la función y = (x + 2) 2 - 1. El vértice de la parábola tiene coordenadas (-2;-1) y un eje de simetría x = -2. Construyamos una parábola a partir de puntos. La tabla muestra los valores de la rama derecha. La rama izquierda está construida simétricamente.

Se ha completado la primera parte de la tarea 23 de la OGE en matemáticas, es decir Se traza una gráfica de una función cuadrática bajo el módulo. Queda por determinar cuál es el mayor número de puntos comunes que puede tener la gráfica de esta función con la recta paralela OX:

1. si trazamos una recta y=0, obtenemos 2 puntos comunes;
2. si los valores de y están en el intervalo (0;1), entonces hay 4 puntos en común;
3. si trazamos una línea recta y =1, entonces vemos 3 puntos en común;
4. si y>1, entonces 2 puntos.

Respuesta: el mayor número de puntos comunes en la gráfica de una función con una recta paralela al eje x 4.

El módulo es una de esas cosas de las que todo el mundo parece haber oído hablar, pero en realidad nadie lo entiende realmente. Por eso, hoy habrá una gran lección dedicada a la resolución de ecuaciones con módulos.

Diré de inmediato: la lección no será difícil. Y, en general, los módulos son un tema relativamente sencillo. “¡Sí, claro, no es complicado! ¡Me deja boquiabierto! - dirán muchos estudiantes, pero todas estas rupturas cerebrales se deben a que la mayoría de las personas no tienen conocimientos en la cabeza, sino algún tipo de basura. Y el objetivo de esta lección es convertir la basura en conocimiento :)

una pequeña teoría

Entonces vamos. Empecemos por lo más importante: ¿qué es un módulo? Permítanme recordarles que el módulo de un número es simplemente el mismo número, pero sin el signo menos. Es decir, por ejemplo, $\left| -5 \derecha|=5$. O $\izquierda| -129,5 \derecha|=$129,5.

¿Es así de simple? Sí, sencillo. ¿Cuál es entonces el valor absoluto de un número positivo? Aquí es aún más simple: el módulo de un número positivo es igual a este número mismo: $\left| 5 \derecha|=5$; $\izquierda| 129,5 \right|=$129,5, etc.

Resulta algo curioso: diferentes números pueden tener el mismo módulo. Por ejemplo: $\izquierda| -5 \derecha|=\izquierda| 5 \derecha|=5$; $\izquierda| -129,5 \derecha|=\izquierda| 129,5\derecha|=$129,5. Es fácil ver qué tipo de números son estos que tienen los mismos módulos: estos números son opuestos. Así, observamos por nosotros mismos que los módulos de números opuestos son iguales:

\[\izquierda| -a \derecha|=\izquierda| a\derecho|\]

Otro dato importante: El módulo nunca es negativo.. Cualquiera que sea el número que tomemos, ya sea positivo o negativo, su módulo siempre resulta positivo (o, en casos extremos, cero). Es por eso que al módulo a menudo se le llama valor absoluto de un número.

Además, si combinamos la definición del módulo para un número positivo y negativo, obtenemos una definición global del módulo para todos los números. A saber: el módulo de un número es igual al número mismo si el número es positivo (o cero), o igual al número opuesto si el número es negativo. Puedes escribir esto como una fórmula:

También existe un módulo cero, pero siempre es igual a cero. Además, el cero es el único número que no tiene opuesto.

Así, si consideramos la función $y=\left| x \right|$ e intenta dibujar su gráfica, obtendrás algo como esto:

Gráfico de módulo y ejemplo de resolución de la ecuación.

De esta imagen queda inmediatamente claro que $\left| -m \derecha|=\izquierda| m \right|$, y la gráfica del módulo nunca cae por debajo del eje x. Pero eso no es todo: la línea roja marca la recta $y=a$, que, para $a$ positivo, nos da dos raíces a la vez: $((x)_(1))$ y $((x) _(2)) $, pero hablaremos de eso más adelante :)

Además de la definición puramente algebraica, existe una geométrica. Digamos que hay dos puntos en la recta numérica: $((x)_(1))$ y $((x)_(2))$. En este caso, la expresión $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ es simplemente la distancia entre los puntos especificados. O, si lo prefieres, la longitud del segmento que conecta estos puntos:

Esta definición también implica que el módulo siempre es no negativo. Pero basta de definiciones y teoría: pasemos a las ecuaciones reales :)

Fórmula básica

Bien, hemos resuelto la definición. Pero eso no lo hizo más fácil. ¿Cómo resolver ecuaciones que contienen este mismo módulo?

Calma, solo calma. Empecemos por las cosas más sencillas. Considere algo como esto:

\[\izquierda| x\derecha|=3\]

Entonces, el módulo de $x$ es 3. ¿A qué podría ser igual $x$? Bueno, a juzgar por la definición, estamos bastante contentos con $x=3$. En realidad:

\[\izquierda| 3\derecha|=3\]

¿Hay otros números? Cap parece estar insinuando que sí. Por ejemplo, $x=-3$ también es $\left| -3 \right|=3$, es decir se cumple la igualdad requerida.

Entonces, ¿tal vez si buscamos y pensamos, encontraremos más números? Pero seamos realistas: no hay más números. Ecuación $\izquierda| x \right|=3$ tiene solo dos raíces: $x=3$ y $x=-3$.

Ahora compliquemos un poco la tarea. Deje que la función $f\left(x \right)$ cuelgue debajo del signo del módulo en lugar de la variable $x$, y coloque un número arbitrario $a$ en lugar del triple de la derecha. Obtenemos la ecuación:

\[\izquierda| f\left(x \right) \right|=a\]

Entonces, ¿cómo podemos solucionar esto? Déjame recordarte: $f\left(x \right)$ es una función arbitraria, $a$ es cualquier número. Aquellos. ¡Nada en absoluto! Por ejemplo:

\[\izquierda| 2x+1 \derecha|=5\]

\[\izquierda| 10x-5 \derecha|=-65\]

Prestemos atención a la segunda ecuación. Se puede decir inmediatamente de él: no tiene raíces. ¿Por qué? Todo es correcto: porque requiere que el módulo sea igual a un número negativo, lo que nunca ocurre, pues ya sabemos que el módulo es siempre un número positivo o, en casos extremos, cero.

Pero con la primera ecuación todo es más divertido. Hay dos opciones: o hay una expresión positiva bajo el signo del módulo y luego $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, o esta expresión sigue siendo negativa, y luego $\left| 2x+1 \right|=-\left(2x+1 \right)=-2x-1$. En el primer caso, nuestra ecuación se reescribirá de la siguiente manera:

\[\izquierda| 2x+1 \right|=5\Flecha derecha 2x+1=5\]

Y de repente resulta que la expresión submodular $2x+1$ es realmente positiva: es igual al número 5. Es decir Podemos resolver esta ecuación con seguridad: la raíz resultante será una parte de la respuesta:

Aquellos que sean particularmente desconfiados pueden intentar sustituir la raíz encontrada en la ecuación original y asegurarse de que realmente haya un número positivo debajo del módulo.

Ahora veamos el caso de una expresión submodular negativa:

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Flecha derecha 2x+1=-5\]

¡Ups! Nuevamente, todo está claro: asumimos que $2x+1 \lt 0$, y como resultado obtuvimos que $2x+1=-5$; de hecho, esta expresión es menor que cero. Resolvemos la ecuación resultante, sabiendo con certeza que la raíz encontrada nos conviene:

En total, nuevamente recibimos dos respuestas: $x=2$ y $x=3$. Sí, la cantidad de cálculos resultó ser un poco mayor que en la ecuación muy simple $\left| x \right|=3$, pero nada ha cambiado fundamentalmente. Entonces, ¿tal vez exista algún tipo de algoritmo universal?

Sí, existe tal algoritmo. Y ahora lo analizaremos.

Deshacerse del signo del módulo

Tengamos la ecuación $\left| f\left(x \right) \right|=a$, y $a\ge 0$ (de lo contrario, como ya sabemos, no hay raíces). Luego puedes deshacerte del signo del módulo usando la siguiente regla:

\[\izquierda| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]

Por lo tanto, nuestra ecuación con módulo se divide en dos, pero sin módulo. ¡Eso es toda la tecnología! Intentemos resolver un par de ecuaciones. Empecemos con esto

\[\izquierda| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]

Consideremos por separado cuando hay un diez más a la derecha y por separado cuando hay un menos. Tenemos:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Flecha derecha 5x=-14\Flecha derecha x=-\frac(14)(5)=-2.8. \\\end(alinear)\]

¡Eso es todo! Tenemos dos raíces: $x=1.2$ y $x=-2.8$. La solución completa tomó literalmente dos líneas.

Ok, no hay duda, veamos algo un poco más serio:

\[\izquierda| 7-5x\derecha|=13\]

Nuevamente abrimos el módulo con más y menos:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Flecha derecha -5x=-20\Flecha derecha x=4. \\\end(alinear)\]

Un par de líneas más y ¡la respuesta está lista! Como dije, los módulos no tienen nada de complicado. Sólo necesitas recordar algunas reglas. Por tanto, seguimos adelante y comenzamos con tareas verdaderamente más complejas.

El caso de una variable del lado derecho

Ahora considere esta ecuación:

\[\izquierda| 3x-2 \derecha|=2x\]

Esta ecuación es fundamentalmente diferente de todas las anteriores. ¿Cómo? Y el hecho de que a la derecha del signo igual está la expresión $2x$, y no podemos saber de antemano si es positiva o negativa.

¿Qué hacer en este caso? Primero, debemos entender de una vez por todas que Si el lado derecho de la ecuación resulta ser negativo, entonces la ecuación no tendrá raíces.- ya sabemos que el módulo no puede ser igual a un número negativo.

Y en segundo lugar, si la parte derecha sigue siendo positiva (o igual a cero), entonces puedes actuar exactamente de la misma manera que antes: simplemente abre el módulo por separado con un signo más y por separado con un signo menos.

Por lo tanto, formulamos una regla para funciones arbitrarias $f\left(x \right)$ y $g\left(x \right)$ :

\[\izquierda| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right) ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(align) \right.\]

En relación a nuestra ecuación obtenemos:

\[\izquierda| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Bueno, de alguna manera podremos hacer frente al requisito $2x\ge 0$. Al final, podemos sustituir estúpidamente las raíces que obtenemos de la primera ecuación y comprobar si la desigualdad se cumple o no.

Entonces resolvamos la ecuación en sí:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Flecha derecha 3x=0\Flecha derecha x=0. \\\end(alinear)\]

Bueno, ¿cuál de estas dos raíces satisface el requisito $2x\ge 0$? ¡Si ambos! Por lo tanto, la respuesta serán dos números: $x=(4)/(3)\;$ y $x=0$. Esa es la solución :)

Sospecho que algunos de los estudiantes ya están empezando a aburrirse. Bueno, veamos una ecuación aún más compleja:

\[\izquierda| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\]

Aunque parezca malo, en realidad sigue siendo la misma ecuación de la forma “módulo es igual a función”:

\[\izquierda| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\]

Y se soluciona exactamente de la misma forma:

\[\izquierda| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\Rightarrow \left\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \right), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Nos ocuparemos de la desigualdad más adelante; de ​​alguna manera es demasiado mala (de hecho, es simple, pero no la resolveremos). Por ahora, es mejor ocuparnos de las ecuaciones resultantes. Consideremos el primer caso: es cuando el módulo se expande con un signo más:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Bueno, es obvio que necesitas recolectar todo lo de la izquierda, traer otros similares y ver qué pasa. Y esto es lo que pasa:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\end(alinear)\]

Sacamos el factor común $((x)^(2))$ de paréntesis y obtenemos una ecuación muy simple:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(align) \right.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1.5.\]

Aquí aprovechamos una propiedad importante del producto, por la cual factorizamos el polinomio original: el producto es igual a cero cuando al menos uno de los factores es igual a cero.

Ahora tratemos exactamente de la misma manera la segunda ecuación, que se obtiene expandiendo el módulo con un signo menos:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\izquierda(-3x+2 \derecha)=0. \\\end(alinear)\]

De nuevo lo mismo: el producto es igual a cero cuando al menos uno de los factores es igual a cero. Tenemos:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \right.\]

Bueno, tenemos tres raíces: $x=0$, $x=1.5$ y $x=(2)/(3)\;$. Bueno, ¿cuál de este conjunto entrará en la respuesta final? Para ello recordemos que tenemos una restricción adicional en forma de desigualdad:

¿Cómo tener en cuenta este requisito? Simplemente sustituyamos las raíces encontradas y comprobemos si la desigualdad se cumple para estos $x$ o no. Tenemos:

\[\begin(align)& x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1.5\Rightarrow x-((x)^(3))=1.5-((1.5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\end(alinear)\]

Por tanto, la raíz $x=1.5$ no nos conviene. Y en respuesta solo habrá dos raíces:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Como puede ver, incluso en este caso no hubo nada complicado: las ecuaciones con módulos siempre se resuelven mediante un algoritmo. Sólo necesitas tener un buen conocimiento de los polinomios y las desigualdades. Por lo tanto, pasamos a tareas más complejas: ya no habrá uno, sino dos módulos.

Ecuaciones con dos módulos

Hasta ahora, hemos estudiado sólo las ecuaciones más simples: había un módulo y algo más. Enviamos este “algo más” a otra parte de la desigualdad, lejos del módulo, para que al final todo se redujera a una ecuación de la forma $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ o incluso más simple $\left| f\left(x \right) \right|=a$.

Pero el jardín de infancia terminó: es hora de pensar en algo más serio. Comencemos con ecuaciones como esta:

\[\izquierda| f\left(x \right) \right|=\left| g\izquierda(x \derecha) \derecha|\]

Esta es una ecuación de la forma “módulo es igual a módulo”. Lo fundamental es la ausencia de otros términos y factores: sólo un módulo a la izquierda, otro módulo a la derecha y nada más.

Alguien pensará ahora que este tipo de ecuaciones son más difíciles de resolver que las que hemos estudiado hasta ahora. Pero no: estas ecuaciones son aún más fáciles de resolver. Aquí está la fórmula:

\[\izquierda| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]

¡Todo! Simplemente equiparamos expresiones submodulares poniendo un signo más o menos delante de una de ellas. Y luego resolvemos las dos ecuaciones resultantes, ¡y las raíces están listas! Sin restricciones adicionales, sin desigualdades, etc. Todo es muy sencillo.

Intentemos resolver este problema:

\[\izquierda| 2x+3 \derecha|=\izquierda| 2x-7 \derecha|\]

¡Watson elemental! Ampliando los módulos:

\[\izquierda| 2x+3 \derecha|=\izquierda| 2x-7 \right|\Rightarrow 2x+3=\pm \left(2x-7 \right)\]

Consideremos cada caso por separado:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\left(2x-7 \right)\Rightarrow 2x+3=-2x+7. \\\end(alinear)\]

La primera ecuación no tiene raíces. Porque ¿cuándo es $3=-7$? ¿A qué valores de $x$? “¿Qué diablos es $x$? ¿Estas drogado? No hay ningún $x$ allí en absoluto”, dices. Y tendrás razón. Hemos obtenido una igualdad que no depende de la variable $x$, y al mismo tiempo la igualdad en sí es incorrecta. Por eso no hay raíces :)

Con la segunda ecuación todo es un poco más interesante, pero también muy, muy sencillo:

Como puedes ver, todo se resolvió literalmente en un par de líneas; no esperábamos nada más de una ecuación lineal :)

Como resultado, la respuesta final es: $x=1$.

¿Así que cómo? ¿Difícil? Por supuesto que no. Probemos algo más:

\[\izquierda| x-1 \derecha|=\izquierda| ((x)^(2))-3x+2 \derecha|\]

Nuevamente tenemos una ecuación de la forma $\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. Por lo tanto, lo reescribimos inmediatamente, revelando el signo del módulo:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]

Quizás ahora alguien pregunte: “Oye, ¿qué tontería? ¿Por qué aparece “más-menos” en la expresión de la derecha y no en la izquierda? Cálmate, ahora te lo explicaré todo. De hecho, en el buen sentido deberíamos haber reescrito nuestra ecuación de la siguiente manera:

Luego debes abrir los corchetes, mover todos los términos a un lado del signo igual (ya que la ecuación, obviamente, será cuadrada en ambos casos) y luego encontrar las raíces. Pero hay que admitirlo: cuando "más-menos" aparece antes de tres términos (especialmente cuando uno de estos términos es una expresión cuadrática), de alguna manera parece más complicado que la situación cuando "más-menos" aparece antes de sólo dos términos.

Pero nada nos impide reescribir la ecuación original de la siguiente manera:

\[\izquierda| x-1 \derecha|=\izquierda| ((x)^(2))-3x+2 \right|\Rightarrow \left| ((x)^(2))-3x+2 \right|=\left| x-1 \derecha|\]

¿Qué pasó? Nada especial: simplemente intercambiaron los lados izquierdo y derecho. Una cosita que al final nos hará la vida un poco más fácil :)

En general, resolvemos esta ecuación considerando opciones con más y menos:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\Rightarrow ((x)^(2))-2x+1=0. \\\end(alinear)\]

La primera ecuación tiene raíces $x=3$ y $x=1$. El segundo es generalmente un cuadrado exacto:

\[((x)^(2))-2x+1=((\left(x-1 \right))^(2))\]

Por lo tanto, tiene una sola raíz: $x=1$. Pero esta raíz ya la hemos obtenido anteriormente. Por lo tanto, sólo dos números entrarán en la respuesta final:

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

¡Misión cumplida! Puedes coger un pastel del estante y comértelo. Hay 2, el tuyo es el del medio :)

Nota IMPORTANTE. La presencia de raíces idénticas para diferentes variantes de expansión del módulo significa que los polinomios originales están factorizados, y entre estos factores seguramente habrá uno común. En realidad:

\[\begin(align)& \left| x-1 \derecha|=\izquierda| ((x)^(2))-3x+2 \derecha|; \\& \izquierda| x-1 \derecha|=\izquierda| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\end(alinear)\]

Una de las propiedades del módulo: $\left| a\cdot b \right|=\left| a \right|\cdot \left| b \right|$ (es decir, el módulo del producto es igual al producto de los módulos), por lo que la ecuación original se puede reescribir de la siguiente manera:

\[\izquierda| x-1 \derecha|=\izquierda| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \derecha|\]

Como puedes ver, realmente tenemos un factor común. Ahora, si recoges todos los módulos en un lado, puedes sacar este factor del soporte:

\[\begin(align)& \left| x-1 \derecha|=\izquierda| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \derecha|; \\& \izquierda| x-1 \derecha|-\izquierda| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \derecha|=0; \\& \izquierda| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\end(alinear)\]

Bueno, ahora recuerda que el producto es igual a cero cuando al menos uno de los factores es igual a cero:

\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2\derecha|=1. \\\end(align) \right.\]

Así, la ecuación original con dos módulos se ha reducido a las dos ecuaciones más simples de las que hablamos al principio de la lección. Estas ecuaciones se pueden resolver literalmente en un par de líneas :)

Esta observación puede parecer innecesariamente compleja e inaplicable en la práctica. Sin embargo, en realidad, es posible que se encuentre con problemas mucho más complejos que los que analizamos hoy. En ellos se pueden combinar módulos con polinomios, raíces aritméticas, logaritmos, etc. Y en tales situaciones, la capacidad de reducir el grado general de la ecuación quitando algo entre paréntesis puede resultar muy, muy útil :)

Ahora me gustaría ver otra ecuación, que a primera vista puede parecer una locura. Muchos estudiantes se quedan estancados, incluso aquellos que creen que comprenden bien los módulos.

Sin embargo, esta ecuación es incluso más fácil de resolver que la que vimos anteriormente. Y si entiendes por qué, obtendrás otro truco para resolver rápidamente ecuaciones con módulos.

Entonces la ecuación es:

\[\izquierda| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\]

No, esto no es un error tipográfico: es un plus entre los módulos. Y necesitamos encontrar en qué $x$ la suma de dos módulos es igual a cero :)

¿Cuál es el problema de todos modos? Pero el problema es que cada módulo es un número positivo o, en casos extremos, cero. ¿Qué pasa si sumas dos números positivos? Obviamente un número positivo nuevamente:

\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0.004+0.0001=0.0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(align)\]

La última línea puede darte una idea: la única vez que la suma de los módulos es cero es si cada módulo es cero:

\[\izquierda| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\Rightarrow \left\( \begin(align)& \left| x-((x)^(3)) \right|=0, \\& \left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0.

¿Y cuándo el módulo es igual a cero? Sólo en un caso, cuando la expresión submodular es igual a cero:

\[((x)^(2))+x-2=0\Rightarrow \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(align) \right.\]

Así, tenemos tres puntos en los que el primer módulo se pone a cero: 0, 1 y −1; así como dos puntos en los que el segundo módulo se pone a cero: −2 y 1. Sin embargo, necesitamos que ambos módulos se pongan a cero al mismo tiempo, por lo que entre los números encontrados debemos elegir aquellos que están incluidos en ambos conjuntos. Obviamente, sólo existe uno de esos números: $x=1$; esta será la respuesta final.

método de escisión

Bueno, ya cubrimos muchos problemas y aprendimos muchas técnicas. ¿Crees que eso es todo? ¡Pero no! Ahora veremos la técnica final y, al mismo tiempo, la más importante. Hablaremos de dividir ecuaciones con módulo. ¿De qué hablaremos siquiera? Retrocedamos un poco y veamos una ecuación simple. Por ejemplo este:

\[\izquierda| 3x-5 \derecha|=5-3x\]

En principio, ya sabemos cómo resolver dicha ecuación, porque es una construcción estándar de la forma $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Pero intentemos ver esta ecuación desde un ángulo ligeramente diferente. Más precisamente, considere la expresión bajo el signo del módulo. Permítanme recordarles que el módulo de cualquier número puede ser igual al número mismo o puede ser opuesto a este número:

\[\izquierda| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

En realidad, esta ambigüedad es todo el problema: dado que el número bajo el módulo cambia (depende de la variable), no tenemos claro si es positivo o negativo.

Pero ¿qué pasa si inicialmente requieres que este número sea positivo? Por ejemplo, requerimos que $3x-5 \gt 0$; en este caso, tenemos la garantía de obtener un número positivo bajo el signo del módulo, y podemos deshacernos por completo de este mismo módulo:

Así, nuestra ecuación se volverá lineal, lo que se puede resolver fácilmente:

Es cierto que todos estos pensamientos tienen sentido solo bajo la condición $3x-5 \gt 0$; nosotros mismos introdujimos este requisito para revelar el módulo sin ambigüedades. Por lo tanto, sustituyamos el $x=\frac(5)(3)$ encontrado en esta condición y verifiquemos:

Resulta que para el valor especificado de $x$ nuestro requisito no se cumple, porque la expresión resultó ser igual a cero y necesitamos que sea estrictamente mayor que cero. Triste. :(

¡Pero esta bien! Después de todo, existe otra opción $3x-5 \lt 0$. Además, también existe el caso $3x-5=0$; esto también debe tenerse en cuenta, de lo contrario la solución estará incompleta. Entonces, considere el caso $3x-5 \lt 0$:

Evidentemente el módulo se abrirá con un signo menos. Pero entonces surge una situación extraña: tanto a la izquierda como a la derecha de la ecuación original sobresaldrá la misma expresión:

Me pregunto ¿en qué $x$ la expresión $5-3x$ será igual a la expresión $5-3x$? Incluso el Capitán Obviedad se atragantaría con la saliva con tales ecuaciones, pero lo sabemos: esta ecuación es una identidad, es decir. ¡Es cierto para cualquier valor de la variable!

Esto significa que cualquier $x$ nos conviene. Sin embargo, tenemos una limitación:

En otras palabras, la respuesta no será un solo número, sino un intervalo completo:

Finalmente, queda un caso más por considerar: $3x-5=0$. Aquí todo es simple: debajo del módulo habrá cero, y el módulo cero también es igual a cero (esto se desprende directamente de la definición):

Pero entonces la ecuación original $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ se reescribirá de la siguiente manera:

Ya obtuvimos esta raíz arriba, cuando consideramos el caso de $3x-5 \gt 0$. Además, esta raíz es una solución a la ecuación $3x-5=0$; esta es la limitación que nosotros mismos introdujimos para restablecer el módulo :)

Así, además del intervalo, también estaremos satisfechos con el número que se encuentra al final de este intervalo:

Respuesta final total: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ No es muy común ver semejante basura en la respuesta a una ecuación bastante simple (esencialmente lineal) con módulo , ¿En serio? Bueno, acostúmbrate: la dificultad del módulo es que las respuestas en tales ecuaciones pueden ser completamente impredecibles.

Algo más es mucho más importante: ¡acabamos de analizar un algoritmo universal para resolver una ecuación con módulo! Y este algoritmo consta de los siguientes pasos:

1. Iguala cada módulo de la ecuación a cero. Obtenemos varias ecuaciones;
2. Resuelve todas estas ecuaciones y marca las raíces en la recta numérica. Como resultado, la línea recta se dividirá en varios intervalos, en cada uno de los cuales todos los módulos se revelan de forma única;
3. Resuelve la ecuación original para cada intervalo y combina tus respuestas.

¡Eso es todo! Sólo queda una pregunta: ¿qué hacer con las raíces obtenidas en el paso 1? Digamos que tenemos dos raíces: $x=1$ y $x=5$. Dividirán la recta numérica en 3 partes:

¿Cuáles son entonces los intervalos? Está claro que hay tres de ellos:

1. El de más a la izquierda: $x \lt 1$ — la unidad en sí no está incluida en el intervalo;
2. Central: $1\le x \lt 5$ - aquí se incluye uno en el intervalo, pero cinco no;
3. Extremo derecho: $x\ge 5$ - ¡cinco solo se incluyen aquí!

Creo que ya entiendes el patrón. Cada intervalo incluye el extremo izquierdo y no incluye el derecho.

A primera vista, una entrada de este tipo puede parecer inconveniente, ilógica y, en general, una especie de locura. Pero créame: después de un poco de práctica, descubrirá que este enfoque es el más confiable y no interfiere con la apertura inequívoca de los módulos. Es mejor utilizar este esquema que pensar cada vez: dar el extremo izquierdo/derecho al intervalo actual o "lanzarlo" al siguiente.

Este artículo está dedicado a la resolución de ejemplos de las tareas 23 de la OGE en matemáticas. En estas tareas, generalmente se pide a los escolares que construyan una gráfica de una función particular y luego indiquen en qué valores del parámetro esta gráfica se cruza con alguna otra gráfica, la toca o, por ejemplo, tiene varios puntos de intersección con él. Bueno, y cosas así. En este artículo encontrará un análisis de ejemplos de resolución de las tareas 23 de la OGE en matemáticas por parte de un tutor profesional que lleva muchos años preparando a los escolares para este examen.

Ejemplos de resolución de tareas 23 de la OGE en matemáticas.

Al construir una gráfica de una función, siempre debes comenzar indicando el dominio de definición de esta función. En este caso, las restricciones en esta área vienen dadas por el hecho de que no debe haber un cero en el denominador, porque la división por cero no tiene sentido matemático. Es decir, el dominio de definición de esta función son todos los números excepto el 1. Esto se puede escribir de la siguiente manera:

Una vez que hayamos indicado el alcance de la función original, podemos intentar simplificarla. Para hacer esto, saquemos el menos del denominador del paréntesis y reduzcamos. Como resultado, obtenemos la siguiente expresión:

La gráfica de esta función se obtiene a partir de la gráfica de la función reflejándola con respecto al eje. BUEY y transferencia paralela de todos los puntos 0,25 segmentos de unidad hacia abajo. En este caso, debemos quitar el punto de este gráfico. , porque no está dentro del alcance de la función original. Es decir, el gráfico deseado se ve así:

Ahora respondemos a la pregunta principal del problema. La gráfica de una función es una recta que pasa por el origen. Además, dependiendo del coeficiente, esta recta tiene una inclinación diferente con respecto al eje. BUEY. ¿Cuándo tiene esta recta exactamente un punto en común con la gráfica que se muestra? Sólo en dos casos. Veámoslos por separado.

primer caso. Cuando esta línea toca el gráfico que se muestra. Esta situación se muestra en la figura:

La dificultad está en determinar los valores en los que se produce esta situación. Se pueden utilizar varios enfoques diferentes para resolver este problema. Nosotros utilizamos el más típico.

La cuestión es que en el punto de contacto, las gráficas pasan por el mismo punto en el plano coordenado. Esto significa que en este punto se cumple la igualdad:

El discriminante de la última ecuación cuadrática es igual a , y dependiendo del coeficiente puede ser:

• negativo, entonces esta ecuación no tendrá raíces, así como no habrá puntos de intersección de la línea correspondiente con la gráfica representada;
• positivo, entonces habrá dos raíces, lo que significa que habrá dos puntos de intersección (este caso tampoco nos conviene);
• es igual a cero, este caso particular corresponde a la tangencia de la recta con la gráfica, ya que la ecuación escrita en este caso tendrá una sola solución.

Eso es, eso es. Las líneas rectas correspondientes se muestran exactamente en la figura de arriba.

Segundo caso. No olvides que el punto con la abscisa no pertenece a nuestra gráfica. Esto significa que se abre otra posibilidad cuando la recta tiene exactamente un punto común con la gráfica. Aquí está este caso:

Para encontrar en este caso sustituimos las coordenadas del punto. en la ecuación de una línea recta. Como resultado obtenemos.

Observemos inmediatamente que el alcance de esta función incluye todos los números: . Nuestra tarea ahora, como suele suceder al resolver los problemas 23 de la OGE en matemáticas, es construir una gráfica de esta función. Para aquellos que nunca antes se han enfrentado a tareas similares, esto puede parecer extraño, pero la gráfica de esta función se puede construir a partir de la gráfica de la función. Sólo necesitas seleccionar el cuadrado completo en la expresión submodular. Para ello realizaremos las siguientes transformaciones:

De este último, utilizando la fórmula de la “diferencia al cuadrado”, obtenemos:

Primero construyamos una gráfica de la función. . Esta gráfica se obtiene de la gráfica de la función moviéndola un segmento unitario hacia la derecha y un segmento unitario hacia abajo:

En este caso, los ceros de la función son 2 y -1. ¿Qué pasa con esta parábola si tomamos el módulo de toda la expresión de la derecha? Todos los puntos debajo del eje. BUEY(con ordenadas negativas), se reflejará hacia arriba con respecto al eje BUEY. El resultado será un gráfico como este:

Ahora, mirando este gráfico, ya está claro que el número máximo de puntos de intersección de este gráfico con una línea paralela al eje x será igual a 4. Como ejemplo, podemos tomar la línea recta:

Así se resuelve la tarea 23 de la OGE en matemáticas. Como ya dije, se trata de tareas bastante interesantes, que también puedes aprender a resolver utilizando un algoritmo claro y fácil de recordar. Y tan pronto como domines esta habilidad, todos los problemas 23 de la OGE en matemáticas te parecerán simples e incluso obvios. Esta se convertirá en otra clave preciada para usted que le ayudará a obtener la máxima puntuación en el examen. ¡Así que te deseo éxito en tu preparación y mucha suerte en el examen!

Serguéi Valérievich