Un dodecaedro regular tiene cuantos ejes y planos de simetría. Dodecaedro, el secreto del calendario egipcio, ciclos del Sistema Solar y “Aritmética del Universo”

Esta es una leyenda apócrifa, es decir, secreta, donde una gran verdad se esconde detrás de bellas imágenes... El Signo del Poder de la Madre del Mundo es un brillante Dodecaedro en espiral. ¿Qué poder contiene? Después de todo, “toda fuerza en la naturaleza es consecuencia de la voluntad y representa un grado mayor o menor de su objetividad”. Está claro que se trata de una hermosa figura geométrica tridimensional que consta de doce pentágonos regulares (Fig. 1). Pero para comprender y abrazar su poder y grandeza, recurramos a fuentes esotéricas que nos ayudarán a acercarnos a la verdad escondida en esta figura y sus constituyentes números 12 y 5.

"La armonía y el equilibrio matemático de la doble evolución - espiritual y física - sólo pueden ser unidos por los números universales de Pitágoras... a partir de la conexión mística de cada número con todo lo que la mente humana puede comprender".

“En el Libro de Dzyan, como en la Cabalá, hay dos tipos de números para estudiar: los Números, a menudo velos simples, y los Números Sagrados, cuyo significado los esoteristas conocen a través de la iniciación. Los primeros son sólo glifos condicionales; estos últimos son los símbolos principales de todo... Ambos se relacionan entre sí como Materia y Espíritu, los polos extremos de la Esencia Única. Como dice en alguna parte Balzac, el esoterista inconsciente de la literatura, el Número es Esencia y al mismo tiempo Aliento, que emana de lo que él llamó Dios y lo que nosotros llamamos TODO. El Aliento, que es el único que puede formar el Cosmos físico, donde nada toma su forma excepto la Divinidad, que es consecuencia del Número."

“Platón afirmó claramente que todo lo visible fue creado y evolucionó a partir de y a imagen de la VOLUNTAD invisible y eterna. "Nuestros cielos", dice, "fueron creados según la imagen eterna del Mundo Ideal, contenido, como todo lo demás, en el dodecágono, el modelo geométrico utilizado por la deidad".

H.P. Blavatsky en sus obras “Isis Develada” y “La Doctrina Secreta” escribe repetidamente que el dodecaedro es la principal forma de Pensamiento-Voluntad para la creación de nuestro Universo. En El Diccionario Teosófico confirma nuevamente que “el Universo fue construido por el “primogénito” sobre la base de la figura geométrica del Dodecaedro”.

En los templos iniciáticos se enseñaba que el Universo de Espíritu y Materia es sólo una Imagen concreta de una Abstracción Ideal; fue modelado según el Primer Pensamiento Divino.

Nuestro Universo existió en un estado potencial desde la Eternidad. El alma que anima este Universo puramente espiritual es el Sol Central, él mismo la Deidad Suprema. En los Mundos Distantes, como se sabe por el Agni Yoga, los Principios Masculino y Femenino, Espíritu y Alma son uno. Están unidos sobre la base de la Ley Ardiente. Tal unidad en la Tierra hasta ahora ha sido lograda solo por la Madre del Agni Yoga y el Gran Maestro: “Moria es el espíritu, Urusvati es el alma” (21/12/22). Se han convertido para nosotros en un símbolo de la Ardiente Dualidad de las Jerarquías Solares. Precisamente este tipo de acomodación de la unidad de dos Principios estaba contenida en la enseñanza de Pitágoras sobre los números, cuando consideraba el número 12, uno de los componentes del dodecaedro. Este número se denominó “par-impar, que preserva por igual la masculinidad y la feminidad”. La encarnación de este número en la antigua Grecia era la diosa Anesidora [una deidad andrógina ateniense], venerada por los atenienses. Su estatua era completamente afeminada, pero le dieron barba como expresión simbólica de masculinidad. El símbolo del andrógino es una expresión de unidad en el espíritu. La búsqueda de tal fusión será la vibración clave de la Sexta Raza: “El principio del fuego da dirección a todas las nuevas corrientes Cósmicas. Por lo tanto, como clave de la Sexta Raza, se manifestará la afirmación de la fusión. Las corrientes inherentes a la fundación de la vida destinada a un nuevo rumbo. Así afirmamos esta gran dirección... Así construimos una gran etapa maravillosa de la vida mundial”.

El número 12 como uno de los componentes del dodecaedro es especial. La Doctrina Secreta menciona que “12 grandes transformaciones del Espíritu en Materia son 12.000 años Divinos... Comenzando por lo metafísico y sobrehumano... terminan en la naturaleza física y puramente humana del Cosmos y del hombre”. Los caldeos ocultaban este conocimiento bajo especial reverencia por las 12 horas.

El misterio del número 12 ha sido indicado durante mucho tiempo por muchos fenómenos de diferentes áreas de la vida: las horas del día y de la noche, los trabajos de Hércules, las musas de Apolo, los principios de la razón (según Kant), las categorías de filosofía (Hegel), el templo de Salomón se dividió en 12 partes; En el Apocalipsis de Juan, la ciudad de Jerusalén, que desciende del cielo, tiene 12 puertas; había 12 ancianos en la comunidad de Qumrán; El profeta Mahoma tuvo 12 imanes, sucesores espirituales y políticos; 12 Caballeros de la Mesa Redonda, 12 Pares de Francia, tradicionalmente hay 12 jurados en el tribunal; Hace 12 mil años, el eje polar de la Tierra apuntaba a la estrella Vega.

Es imposible no recordar a los 12 apóstoles de Jesucristo, quienes reflejaban el simbolismo de los 12 signos del Zodíaco, el anillo de fuego de los Mundos Superiores. E.I. Roerich escribió: “¡Si tan solo la gente pudiera darse cuenta de que la Historia de la humanidad está escrita en las runas estelares! Las Grandes Imágenes, o mejor dicho, las Más Grandes, están asociadas con las Constelaciones y el Sol, y Su historia es la historia de estas Luminarias”. En la antigua India enseñaban que cada estrella es un planeta independiente que, como nuestra Tierra, tiene su propia alma y cada átomo de materia está saturado con la emanación del Alma del Mundo. Él [estrella, planeta] respira y vive, siente, sufre y disfruta la vida a su manera.

En el prefacio del “Libro de las reglas de oro”, H. P. Blavatsky habla de una de las formas de componer el alfabeto: “... Los doce signos del zodíaco, repetidos cinco veces por los elementos y los siete colores del arco iris, Forman un alfabeto completo que consta de 60 letras y 12 signos”. Es decir, ¡en algún lugar hay un alfabeto dodecaedro!

El calendario Kalachakra, basado en un ciclo de 60 años, períodos de 12 años y 5 elementos, al desplegarse adquiere las propiedades y apariencia de un dodecaedro. El dodecaedro de Kalachakra refleja la evolución del microcosmos en el macrocosmos, la formación de una persona perfecta, el paso del espíritu por la “rueda del tiempo” en su constante deseo de escapar de sus garras, ganando el equilibrio del Arhat. Según la leyenda, que se transmite de Maestro a alumno, el Maestro de Shambhala entregó el calendario Kalachakra al Tíbet en el siglo X.

Teniendo todo esto en cuenta, comenzamos a comprender más profundamente el Poder de Su Signo, ahondando en el significado del Sagrado Número 12.

La ciencia de la astrología se ocupa de la influencia de los 12 signos del zodíaco en una persona. Parece que en nuestra época casi todo el mundo tiene algún conocimiento sobre sus propiedades, al menos sobre su signo de nacimiento. ¿Cómo funcionan y qué son los cinco elementos o elementos que se manifiestan en cada signo? En primer lugar, son las fuerzas de la Madre del Mundo, y "El poder, según los Sabios de Oriente, es una transición de un estado de sustancia o energía a otro, una transición cuyos resultados serán visibles". en planos de acción diferentes de aquel en el que se produce y realiza la energía iniciadora”. Esto significa que la energía de los cinco elementos nos ayuda a cambiar y mejorar.

Los cinco elementos en unidad forman un pentágono o pentaedro, uno de los componentes del dodecaedro de la Madre del Mundo. Platón, seguidor de Pitágoras, consideraba que el dodecaedro era el más regular de los poliedros, ya que sus caras, pentágonos regulares, están tejidas con proporciones áureas. Según Pitágoras, es en las formas pentagonales [estrella de cinco puntas, o pentáculo y pentágono] donde se establecen las proporciones logarítmicas áureas o la sagrada espiral áurea, la base de las profundas correspondencias ocultas de la evolución de la vida en el Cosmos, símbolo del movimiento, desarrollo y despliegue del Universo. Se sabe que la quíntuple naturaleza se manifiesta en toda la naturaleza viviente de la Tierra (estrellas de mar, flores, cinco dedos de la mano, cinco extremidades del cuerpo, etc.).

La proporción áurea está incrustada en los edificios de la antigüedad: la tumba del faraón Menes (c. 3050 a. C.), la pirámide de Keops (c. 2600 a. C.), el relieve del faraón Ramsés del templo de Abydos (c. 1300 a. C.) ). Desde la antigüedad, el pentagrama ha sido un signo-amuleto, símbolo de la diosa Ishtar y del inframundo, poder (en los sellos reales), omnipotencia intelectual (entre los gnósticos), etc. Desde la antigüedad se conocen imágenes en color del pentagrama, que se remontan al 3500 a.C. Las estrellas de cinco puntas simbolizaban la trayectoria del planeta Venus.

En astronomía, el pentagrama de Venus es el tipo de trayectoria que toma Venus cuando se observa desde la Tierra. Está en una resonancia orbital con la Tierra de aproximadamente 13:8 (8 revoluciones de la Tierra alrededor del Sol en 13 revoluciones de Venus), o una revolución orbital ocurre en aproximadamente 8/13 de un año terrestre - un número cercano al proporción áurea. Durante su ciclo de 8 años, Venus se acerca a la Tierra 13 veces, hace un bucle y se aleja nuevamente, avanzando cada vez tres intervalos, o 144 grados, como si arrastrara un pétalo de una flor de cinco pétalos al espacio. En 8 años, crea un pentáculo regular completo con anillos (bucles) en los extremos, y cada "flor de cinco pétalos" posterior se desplaza varios grados con respecto a la anterior, razón por la cual este pentagrama complejo de Venus se llama “rosa de Venus” (Fig. 2).

Arroz. 2. Rosa de Venus

Pitágoras llamó Venus Sol alter ( lat.) - otro sol. Según la doctrina esotérica, este Planeta es la Cabeza de nuestra Tierra y su prototipo espiritual... El Portador de la Luz de nuestra Tierra en un sentido tanto filosófico como místico. N.K. Roerich llama a esta estrella "la morada brillante de la Madre del Mundo", y durante la vida de nuestro planeta, la Madre del Mundo crea constantemente una cubierta espiritual brillante y de alta vibración para el planeta en el espacio alrededor de la Tierra. . “Cada hilo de la Madre del Mundo corre de arriba a abajo y viceversa” (05/06/24). En sus notas, E.I. Roerich cita las palabras del Señor sobre "la influencia de los rayos espaciales de Venus en la lucha contra la radiación de la Tierra". Ella señala que sintió este impacto "desde el plexo solar hasta el kundalini y luego desde el kundalini hacia atrás" (05/09/28). En verdad, existe un Paño de Fuego sagrado de cinco pétalos tejido por la Madre del Mundo. “El tejido del hilo se compone de muchos hilos y el fenómeno del hilo se repite muchas veces. El tejido cósmico consta de todas las manifestaciones de energía psíquica y está decorado con Materia Lúcida” (B. 71).

“El Cosmos consta de varias bases manifiestas psicoespaciales de Matter Matrix. La energía que separa y la energía que conecta es la misma, pero la psicodinámica las conecta materialmente” (B. 66). Los pitagóricos, como los chinos, enseñaron que el mundo consta de cinco elementos o elementos interconectados. “La ciencia esotérica reconoce cuatro elementos completamente físicos: fuego, aire, agua, tierra y el quinto (éter), semimaterial, que será visible en el aire al final de nuestro Cuarto círculo, para dominar a los demás a lo largo de todo el Quinto. .”

El alumno de H. P. Blavatsky, el famoso filósofo místico y astrólogo M. Hall, informa muchas cosas interesantes sobre los cinco elementos. “Los filósofos antiguos usaban el término “elemento” en relación con los cinco estados, o cinco grados de condensación, de la materia, que distinguieron al analizar la estructura del mundo. El éter, el más raro de los cinco elementos, surgió primero, pues la formación del mundo, según la cosmogonía antigua, se produjo desde el borde del círculo hasta su centro. De la esfera luminosa del éter las partículas más gruesas cayeron hacia adentro para formar la esfera de aire. El aire liberó de sí mismo el principio ardiente, dando como resultado la formación de una esfera de fuego. Del fuego surgió su opuesto, el principio húmedo, y surgió el agua. Las partículas más pesadas contenidas en el elemento agua se hundieron y de este sedimento surgió el "más bajo" de los elementos: la tierra misma. Los cinco elementos son los cinco polos negativos de los cinco principios universales.

Los elementos son portadores de fuerzas que emanan de las estrellas y almacenadas por los planetas. Los elementos son depósitos de vitalidad, y cada elemento imparte a los organismos en los que entra alguna fuerza moral o intelectual. La Tierra como elemento imparte estabilidad, resiliencia, fundamentalidad; El agua es el principio de la vitalidad, la fertilidad y el poder del crecimiento. El fuego está asociado con el poder del movimiento, las emociones, la percepción sensorial y el complejo del alma. El aire es portador del impulso intelectual. El éter es portador de energía intuitiva y extrasensorial, el poder de la inspiración. Se intensifica en quienes han desarrollado estas habilidades y capacidades”. En diversas combinaciones entre sí, los cinco elementos, o elementos, forman los reinos mineral, vegetal, animal y humano, y el quinto, la esfera del éter, que impregna todos los demás elementos y apoya su existencia.

Los cinco elementos son Fuerzas espaciales de la Madre del Mundo, cuya poderosa acción es quíntuple en cada persona. “Los brahmanes creían que los cinco elementos se distribuyen en el cuerpo humano según el siguiente patrón: el elemento tierra domina la zona desde los pies hasta las rodillas, el elemento agua domina desde las rodillas hasta la cintura, el fuego domina desde la cintura hasta la cintura. En la laringe, el aire domina desde la laringe hasta la frente y el éter desde la frente hasta la coronilla.

Los antiguos consideraban al éter como un mediador entre nuestro mundo y el otro mundo. El Gran Maestro aclara la esencia del quinto elemento, llamándolo “depósitos de energía psíquica” (11.03.28).

Dado que se sabe que el éter se condensará de modo que será visible en el aire y dominará a otros elementos, queda claro por qué en el Agni Yoga se presta tanta atención al cultivo de la energía psíquica. Cada pensamiento es una imagen mental cristalina, transparente y brillante, como el Dodecaedro de la Madre del Mundo, u oscura, peluda y espinosa en el caso de los malos pensamientos. Así nos preparamos un futuro bonito o feo. El tejido cósmico está formado por todas las manifestaciones de energía psíquica.

Volviendo de los números que lo componen a la figura del dodecaedro, podemos alegrarnos de que el conocimiento esotérico sobre la estructura del Universo haya resultado ser idéntico a los resultados de los estudios modernos sobre la radiación cósmica de fondo de microondas a gran escala del Universo. Los científicos han llegado a la conclusión de que el Universo tiene forma de dodecaedro. El Universo es un hermoso cristal de tamaño inimaginable, impregnado del Poder de la Madre, y este cristal está vivo y amoroso. E.I. Roerich compara el Universo entero con una red interminable, "en la que numerosas arañas, o conciencias de diversos grados, tejen nuevos patrones". “El Universo está tejido con el hilo de la Materia Lúcida y la palanca del Amor” (B. 49). La estructura de la Tierra, según los últimos datos científicos, es un dodecaedro dentro de un icosaedro. Platón volvió a hablar de esto: “La tierra, si la miras desde arriba, parece una bola cosida con 12 piezas de cuero”.

Hay un secreto bastante interesante y antiguo, que los arqueólogos de muchos países de Europa occidental y central están desconcertando sin éxito, cuando durante las excavaciones de asentamientos de la época del Imperio Romano (siglos I-IV d.C.) encuentran pequeños, del 4 al 4. Dodecaedros huecos de bronce o piedra de 10 cm de diámetro. Ya se han encontrado alrededor de un centenar de ellos. En el centro de cada pentágono hay un agujero redondo alrededor del cual se dibujan círculos concéntricos, cada uno de los 20 vértices rematados con una perilla en forma de bola. Aún se desconoce el propósito de estos artículos. Tienen contrapartes de piedra que datan del 3000-1500. ANTES DE CRISTO. Un dodecaedro de plomo fundido con lados de 1,5 cm encontrado en Ginebra estaba cubierto con placas de plata con los nombres de los signos del zodíaco en latín. Un monumento en Bélgica está dedicado a este secreto (Fig. 3).

Arroz. 3. Monumento al dodecaedro en Toggeren (Bélgica)

Pitágoras consideraba que el dodecaedro y el icosaedro eran la esencia de los cristales de pirita, que se encuentran en Italia.

N.K. Roerich en su diario de viaje “Altai - Himalaya” escribe: “Hablan de los experimentos de Manoilov, quien estudió el sexo de las plantas y los minerales, así como los principios masculino y femenino en la sangre. Un experimento con el mineral pirita da un resultado predicho desde hace mucho tiempo por la ciencia oriental. “La pirita produce cristales de dos tipos: en forma de cubo y en forma de dodecaedro. Si se vierte el mismo reactivo en un tubo de ensayo con cristales cúbicos, el líquido se decolorará (una reacción masculina), y si se hace lo mismo con cristales de doce lados, se obtendrá un color violeta: una reacción femenina”. Para Occidente, este descubrimiento es nuevo, pero Oriente, en sus fórmulas antiguas, habla del dodecaedro de la Madre del Mundo: el Principio Femenino. Imagínese con qué sonrisa tranquila un científico oriental escucha los “nuevos” descubrimientos de Occidente... y asiente con la cabeza en señal de un acuerdo conocido desde hace mucho tiempo”.

Los antiguos griegos consideraban que el mineral pirita estaba cerca del principio del fuego. Se utilizaba para hacer fuego, como su nombre indica ( pir- en griego "fuego"). Si se golpea pirita sobre un acero, se forman chispas que son tan largas como el pedernal y al mismo tiempo duran más, encendiendo la yesca con mayor facilidad. Así, la asociación entre el fuego y el dodecaedro podría haberse formado por sí sola.

En la Tierra existe una conexión aún más estrecha entre el principio del fuego y el dodecaedro: el relámpago en forma de bola. En la década de 1970, el científico soviético I.P. Stakhanov hizo un descubrimiento sobre la estructura pentagonal de los rayos en forma de bola. Consiste en una sustancia en estado de plasma, pero su fuego no arde, y hay mucha evidencia de ello. Hubo testigos presenciales que afirmaron que N. Tesla podía crear un rayo en forma de bola que "vivía" hasta varios minutos, mientras lo tomaba en sus manos, lo metía en una caja, lo cubría con una tapa y lo sacaba de nuevo. Los testigos presenciales modernos de los fenómenos naturales de las centellas "interpretan", en palabras de N.K. Roerich, sobre su comportamiento razonable.

En verdad, el Signo del Poder de la Madre del Mundo lleva dentro de sí los componentes multifacéticos tanto del Infinito como de nuestra vida planetaria. En las notas de E.I. Roerich sobre la visión de la Madre del Mundo hay una descripción más detallada de este hermoso signo: “...De repente, la plata de la ropa se desmoronó en chispas multicolores, que rápidamente se volvieron a unir en plata y la armonía de los movimientos magnéticos - en una estrella espiral arcoíris - el Dodecaedro, de extraordinaria belleza y que forma casi un círculo sobre un deslumbrante campo plateado. La estrella vibró y parecía viva..."

Aquí y más adelante en las notas y cartas de E.I. Roerich, en las Enseñanzas de Agni Yoga, se escucha la palabra "dodecaedro", derivada de "dodecaedro", y este es un ritmo cósmico de fuego vibratorio especial que lleva la estructura cristalina del dodecaedro. e irradia hacia el espacio. Desde 1924, la Tierra ha entrado en un nuevo ritmo ardiente de la Madre Universal. “En el Cosmos vive esa fuerza inteligente llamada ritmo cósmico, y toda la vida humana depende del círculo del ritmo” (B.73). Un ejemplo sencillo de ritmo es un año, 12 períodos de tiempo rítmicos.

La visión de la Madre del Mundo le llegó a Helena Roerich la noche del 18 de julio de 1924, cuando la Estrella de la Madre del Mundo se acercó a la Tierra sin precedentes. “Comienza la Gran Época, porque la comprensión espiritual está conectada con la Madre del Mundo. Lo importante es la llegada de una gran era que cambiará significativamente la vida en la Tierra. Nuevos rayos llegan a la Tierra por primera vez desde su formación... la sustancia de los rayos penetra profundamente” (16/04/24). “Detrás de la Estrella de la Mañana hay un cuerpo planetario. Disponemos de vigas dobles. La zona del corazón los recibe, y a lo largo del cerebro de la columna producen contracciones de los pequeños centros occipitales” (17/04/24).

Hablando del brillante Dodecaedro, podemos recordar la igualmente hermosa estrella navideña. “La estrella que guió a los Magos, que brilló en el cielo hace más de dos mil años, según Ignacio el Portador de Dios, “brillaba como un diamante, más que todas las demás estrellas”. Ella marcó el comienzo de la Era del Cristo Maestro, el hermoso y resplandeciente Dodecaedro, la Era de la Madre del Mundo.

¿Cómo ayudará a la humanidad la brillante estrella espiral de la Señora de la Luz? Ella “debe negar la grosería de la materia” (18/07/24). “El fenómeno de la corrupción en el Mundo Sutil impide que la humanidad continúe mejorando continuamente. Pero el Mundo Sutil está pervertido por el mundo terrenal, por lo que la curación debe comenzar desde aquí” (A.Y., 226). “El Rayo de la Madre del Mundo puede eliminar imágenes indignas” (16/05/24). Este ritmo creó el Universo sobre la base de un equilibrio armonioso, y gradualmente surgirá un nuevo mundo en la Tierra. Con la manifestación de este ritmo en nuestro planeta, aumenta el poder de la Luz. La Luz Brillante del Dodecaedro es invisible a la visión física, pero sus vibraciones magnéticas se dirigen al corazón, al espíritu de las personas y gradualmente comenzarán a atraer al trabajo creativo y a un estilo de vida creativo a todos los que sean capaces de sentir este ritmo, que honra el equilibrio de los Comienzos. En aquellos que sean menos sensibles, plantará semillas de Luz que algún día crecerán.

La era de la Madre del Mundo es una época de percepción sincera de la vida, o comprensión por espíritu, comprensión espiritual. Y es esta vibración, o ritmo de fuego, la que es inherente al Dodecaedro en espiral. La Madre del Mundo tejió un Signo a partir de una espiral. ¿Cómo se puede hacer esto? - “Mencioné el núcleo del espíritu en medio de la espiral; recuerden esta construcción, porque la inflexibilidad, rodeada de movimiento centrífugo, puede resistir todas las perturbaciones” (General, 90). Esto significa que cada línea del Dodecaedro tiene un núcleo espiritual de inflexibilidad y es espiral (el desarrollo evolutivo avanza en espiral). Y cada onda o hilo del Dodecaedro, que penetra en el cuerpo humano sutil, lo satura con una alta vibración de conciencia espiritual.

A escala universal, las caras espirales del dodecaedro pueden compararse con supercuerdas cósmicas: tubos delgados de vacío simétrico de alta energía, en los que todas las interacciones se combinan en una sola. Las supercuerdas forman una red del Universo, cuando se estiran, la estructura de la red no cambia (¡el dodecaedro es un medio elástico!), sino que solo da lugar a bucles, cuya frecuencia de oscilación se acerca a la velocidad de la luz. Los bucles atraen la materia circundante formando grupos que luego se convierten en galaxias. El bucle más pequeño tiene un diámetro de 1 millón de años luz. La supercuerda más cercana se encuentra a 300 millones de años luz de la Tierra.

¿Es posible sentir ahora la vibración del ardiente Dodecaedro? Datos al respecto están contenidos en las cartas de Helena Roerich y en el libro “Agni Yoga” (“Signos de Agni Yoga”): “Logramos mostrar el dodecaedro, porque no es fácil. Celebraremos todos los signos de fuego y energía psíquica. Así, confirmemos la similitud de estos conceptos superiores” (A.Y., 378).

Carta de E.I. Roerich del 09/02/39: “Todos estos ritmos e incluso el Dodecaedro, o doble mahavan, me fueron revelados durante mi acercamiento a diferentes grados de tensión ardiente... Pero para experimentar tales fenómenos, es necesario Para tener un organismo completamente sano, también es necesaria la purificación del pensamiento y una importante expansión de la conciencia con total abstinencia de irritaciones. Además, es necesario tener cierto grado de valentía para poder percibir con total calma todos los fenómenos inusuales en el cuerpo que invariablemente acompañan a los fenómenos de fuego. Es necesario superar la desconfianza y al mismo tiempo desarrollar el reconocimiento y la vigilancia constante. Un organismo así puede dedicarse al fuego en la naturaleza, es decir, estando en la capa terrestre, pero con cierto aislamiento y permaneciendo a gran altura para evitar una presión sanguínea excesiva durante el paso de un grado ya alto de comunión ardiente. Mi cuerpo, ante la imposibilidad de tener todas las condiciones, por ejemplo, aislamiento total, sufrió de saturación excesiva, por lo que mi corazón está dañado y debo tener cuidado. Como saben, estuve dos veces al borde de una muerte ardiente. Todas las reglas o instrucciones éticas, si se siguen, son pasos preparatorios para la percepción de energías superiores. Me alegra que comprendas que los logros espirituales y ardientes no son tan fáciles como les parecen a las personas desinformadas. Estos logros son precisamente las cosas más difíciles de la vida, pero sin un trabajo persistente, constante e incesante sobre uno mismo, un trabajo para erradicar todos los hábitos no deseados, tanto propios como atávicos, el éxito es imposible. Todas las estrellas, puntos de luz y destellos de fuego que veis son los grados iniciales de aproximación al fuego del espacio. El cuerpo humano se ha vuelto tan refinado debido a la evolución humana universal que ahora se observan en muchas personas fenómenos como el sonido de diversas corrientes cósmicas”.

Después de la gran tragedia durante la época de la Atlántida, cuando el culto al espíritu recibió un golpe, el mundo recibió un contrapeso en la forma de la Fuente magnética del Poder de la Madre, el brillante Dodecaedro, y el ritmo vibratorio de fuego, el Dodecaedro. saturando cada átomo con amor ardiente cósmico, el amor de la Madre, del que tanto carecía nuestro planeta. La creatividad unida de la Madre del Mundo y los Hermanos Mayores de la humanidad, liderada por el Gran Maestro, abre para nuestro mundo la construcción de un nuevo ciclo ardiente de milenios. El dodecaedro es el signo de la Madre y transmite Su llamado como el llamado del espacio que brilla con amor. Y es precisamente esta llamada la que encuentra quien sigue el camino del espíritu, el camino del corazón o la comprensión espiritual. La consonancia con esta Fuerza vibratoria magnética abre la “Puerta de entrada”, porque la Madre del Mundo es la Cabeza de la Jerarquía de la Luz, y Su vibración llena el espacio.

En el Cosmos vive la unidad espiritual, la unidad de conciencia, pero en la Tierra la conciencia grupal colapsa por el desconocimiento de la veneración de los Principios. Pero la creciente energía ardiente crea, y la vida tomará nuevos caminos, palancas de amor y fe, la belleza de la vida y la energía cósmica, y la Madre del Mundo llama a la belleza y la unidad cósmicas. ¡Y solo necesitas desear nuevas imágenes y esforzarte! “¡La Justicia Cósmica conoce el plan de la evolución, y el plan se lleva a cabo según los esquemas del mismo Fuego de la Madre del Mundo! ¡Que la Llama Ardiente ilumine a la gente! (B., 49).

La unidad interplanetaria vive en todo el Cosmos espiritualizado, y sólo la pobre humanidad sufre de desunión. Sin embargo, el siguiente paso de la evolución son los Mundos Distantes. Y es a ellos a quienes llama el ritmo ardiente del cristal de la Madre del Mundo. Pero el descubrimiento de este nuevo camino no es para distraerse de la vida, sino para cooperar con los Mundos Distantes: “Las formas del tiempo presente pueden llamarse aquellas que buscan alcanzar la perfección. Las formas del futuro corresponden a los Mundos Distantes. Habiendo perdido el conocimiento de las distancias cósmicas... la humanidad ha perdido el hilo de conexión con la belleza de la vida. Como un hermoso reino, que los mundos lejanos vivan en la mente de los hombres... como una semilla que crece y da flor...” (B., 44).

El Dodecaedro, que brilla con amor cósmico, el Signo del Poder de la Madre del Mundo, está en la base de todos los mundos. Allí vive la Madre del Mundo en la belleza de la vida, donde brilla el fuego del espíritu, y todos los males terrenales serán transmutados en ardiente creatividad. La creatividad conjunta creará un futuro mejor y una escalera de evolución para la humanidad. La Madre del Mundo y los Hermanos de la Humanidad están llamando a los Mundos Lejanos. ¿Cómo iniciar este camino? Puedes simplemente mirar el hermoso cielo estrellado y decir desde tu corazón: “¡Ave, Madre del Mundo!” Puedes concentrarte en la estrella y decir: “¡Hola, hermanos y hermanas!” Y un día el espacio responderá en tu alma. Al fin y al cabo, “todo lo que la humanidad posee, lo obtiene del tesoro del Cosmos. La gran palanca de la fe ayudará al espíritu a encontrar su camino. Muestre su deseo de nuevas imágenes. Muestra tu deseo de nuevos caminos. Habiendo despertado el deseo por la belleza del Infinito en todo, la humanidad irá sin mirar atrás. Sólo la grandeza del Cosmos dirigirá el espíritu a Alturas inalcanzables” (B., 46).

La derecha muchos grandes científicos. Y este in-te-res salió da-le-ko por el pre-de-ly ma-te-ma-ti-ki. Platón (427 aC - 347 aC) los consideraba la base de la estructura del Universo, Kepler (1571-1630) py -quería conectar muchas facetas con el movimiento de los planetas del sistema solar (que en su vez habría sabido cinco). Quizás, sea la belleza y gar-mo-niya de los muchos-gran-ni-kovs detrás de los grandes científicos -era hora de sugerir algún significado más profundo de ellos que solo los objetos-geo-met-ri-che- Camarada

Las muchas caras correctas se llaman muchas caras, todas las caras de alguien son las muchas-go-coal-ni-ki de la derecha de la derecha, todos los ángulos planos son de alguna manera iguales entre sí y los ángulos diédricos son de alguna manera iguales entre ellos mismos. (Esquinas planas-ki-mi-la-mi-many-go-gra-n-ka na-zy-va-yut-sha-ly esquinas-ly-go-coal-ni-cov-gra-ney, dos- lados tenemos muchos ángulos entre los bordes que tienen ro común.)

Tenga en cuenta que de esta definición de av-to-ma-ti-che-ski se deduce que hay mucha razón, abuela, que se incluye en la definición de algunos libros.

En el espacio tridimensional hay exactamente cinco poliedros rectos: tetraedro, octaedro, cubo (hek-sa-edr), iko-sa-edr, do-de-ca-edr. El hecho de que no existan otras multifacéticas correctas fue antes de Ev-kli-dom (alrededor del 300 a. C.) en su gran Na-cha-la.

Una estructura análoga en el caso más general. Echemos un vistazo a la multifacética que sobresale libremente y tomemos los puntos en el medio de sus bordes. Conecte entre los puntos adyacentes a los bordes de los cortes. Ahí es donde aparecen los puntos top-on-mi, from-cuts - edge-on-mi, y muchos carbon-ni-ki, que ogros -no-chi-va-yut estos from-cut-ki, gra- nya-mi uno más-pero-tú-lejos-lo-go-go-gra-no-ka. Este poliedro se llama dual al resultado.

Como si estuviera arriba, dual al tet-ra-ed-ru es el tet-ra-edro.

Aumentando el tamaño de tet-ra-ed-ra, top-shi-on-mi-to-ro-th aparece-s-re-di-ny bordes-de-modo -no-go tet-ra-ed- ra, al siguiente tamaño. Ocho picos de filas tetra-ed-así distribuidas son el top-shi-on-mi ku-ba.

Más allá de estos tetraedros hay otro poliedro correcto: el octaedro (del griego οκτώ - ocho). El octaedro tiene 8 caras triangulares, 6 vértices, 12 aristas. Los ángulos planos del oc-ta-ed son iguales a $\pi/3$, ya que sus caras son triangulares rectángulos no, los ángulos diédricos son iguales a $\arccos(–1/3) ≈ 107.47^\. circulo$.

Desde los bordes se-re-di-ny del ok-ta-ed-ra y per-rey-dem hasta el dual-to-ok-ta-ed-ru del multigrano no way. Es un cubo o hexaedro (del griego εξά - seis). El ku-ba gran-ni tiene un quad-ra-ta-mi. Tiene 6 aristas, 8 vértices, 12 aristas. Los ángulos planos de un cubo son iguales a $\pi/2$, y los ángulos de dos lados también son iguales a $\pi/2$.

Si toma puntos en las caras se-re-di-nah del cubo y considera que el poliedro es dual, entonces puede convencerse de que espero que obtengan un octaedro nuevamente. Una afirmación más general también es cierta: si para una multiplicidad construyes una dual y la dual a la dual, entonces serán el poliedro fuente (con una precisión de hasta la misma).

Tomemos el ok-ta-ed-ra en los bordes en el punto , con la condición de que cada borde de-la en el co-from-no-she-nii $1 :(\sqrt5+1)/2$ (dorado sección) y al mismo tiempo aparecieron los puntos que se encontraban sobre una cara ver-shi-na-mi right-vil-no-go tri-coal-no. Los 12 puntos obtenidos son el top-shi-on-mi de otro derecho-de-muchos-granos-de-an-ico-sa-ed-ra (del griego είκοσι - veinte). El icosaedro es un multifacético recto, que tiene 20 caras triangulares. Tiene 12 vértices, 30 costillas. Los ángulos planos son iguales a $\pi/3$, los ángulos diédricos son iguales a $\arccos(–1/3\cdot\sqrt5) ≈ 138.19^\circ$ .

El ico-sa-edro se puede inscribir en un cubo. A cada lado del cubo habrá dos vértices del iko-sa-ed-ra.

Ponemos el iko-sa-edr encima, “poniéndolo encima”, y dándole una apariencia más familiar: dos tapas desde el talón: hay tres triángulos cerca de los polos sur y norte y una capa intermedia que consta de diez triángulos. no-cov.

Se-re-di-ny gra-nay iko-sa-ed-ra yav-la-ut-sya ver-shi-na-mi uno más derecho-vil-no-go-many-grain- no-ka - do -de-ka-ed-ra (del griego δώδεκα - dos y veinte). Gra-ni do-de-ka-ed-ra son los cinco-coal-ni-ki correctos. Por lo tanto, sus ángulos planos son iguales a $3\pi/5$. Do-de-ka-ed-ra tiene 12 aristas, 20 vértices y 30 nervaduras. Los ángulos diédricos son iguales a $\arccos(–1/5\cdot\sqrt5) ≈116.57^\circ$.

Tomando las facetas se-re-di-ny del do-de-ka-ed-ra, y pasando a la dualidad del multifacético-no-ku, on-lu-chim nuevamente ico-sa-edr. Entonces, iko-sa-edro y do-de-ka-edro son duales entre sí. Esto ilustra una vez más el hecho de que se utilizará el poliedro de dos caras.

Tenga en cuenta que al pasar a una multifacética dual, los vértices usan una multifacética -no-co-del-veterinario-se enfrentan a dual-no-go, costillas-ra - costillas-ram-dual-pero-go y bordes - top-shi-us two -stvenno-go-go-gran-ni-ka. Si el iko-sa-ed-ra tiene 20 lados, eso significa que el do-de-ka-ed-ra dual tiene 20 vértices y tienen el mismo número de aristas, si un cubo tiene 8 vértices, entonces su dual oc-ta-ed-ra tiene 8 caras.

Hay diferentes maneras de insertar las múltiples facetas correctas entre sí, cuando se unen a muchas construcciones diferentes. In-te-res-nye y beautiful many-gran-ni-ki po-lu-cha-yut-sya de la misma manera al unir y re-se-che -nii de las múltiples facetas correctas.

Encajamos el cubo en el do-de-ka-edr de modo que los 8 vértices del cubo queden alineados con el top-shi-on-mi do-de-ka-ed-ra. Describimos el ico-sa-edr alrededor del do-de-ka-ed-ra para que sus vértices terminen en los bordes se-re-di-nah del iko-sa-ed -ra. Describimos un ok-ta-edr alrededor del iko-sa-ed-ra, de modo que la parte superior del iko-sa-ed-ra quede en los bordes del ok-ta-ed-ra. Finalmente, alrededor del ok-ta-ed-ra describimos el tetra-edro de modo que los vértices del ok-ta-ed-ra estén en el se-re-di -ny ryo-ber tet-ra-ed. -real academia de bellas artes.

Esta estructura se hizo a partir de trozos de zapatos de esquí de madera rotos cuando aún era un niño cue ma-te-ma-tik del siglo XX V. I. Arnold. Vladimir Igo-re-vich la retuvo durante muchos años y luego la entregó a la-bo-ra-to-riya para bala-ri-za-ción y prop-pa-gan-dy ma-te-ma-ti- ki Ma-te-ma-ti-che-sko-go in-sti-tu-ta lleva el nombre. V. A. Stek-lo-va.

Literatura

GSM Coxter. Introducción a la geometría. - M.: Na-u-ka, 1966.

J. Adam-mar. Geometría elemental. Parte 2. Estereometría. - M.: Pro-sve-shche-nie, 1951.

Euclides. Na-cha-la Ev-kli-da. Libros XXI-XXV. - M.-L.: GITTL, 1950.

Un dodecaedro es un poliedro regular formado por doce pentágonos regulares. Esta espectacular figura tridimensional tiene un centro de simetría llamado centro del dodecaedro. Además, contiene quince planos de simetría (en cada cara, cualquiera de ellos pasa por el medio de la arista opuesta y el vértice) y quince ejes de simetría (que cortan los puntos medios de aristas opuestas paralelas). Cada uno de los vértices del dodecaedro es el vértice de tres pentágonos de forma regular.

El diseño debe su nombre a la cantidad de caras que contiene (tradicionalmente, los antiguos griegos daban nombres a los poliedros que reflejaban la cantidad de caras que componen la estructura de la figura). Así, el concepto de “dodecaedro” se forma a partir del significado de dos palabras: “dodeca” (doce) y “hedra” (cara). La figura pertenece a uno de los cinco sólidos platónicos (junto con el tetraedro, el octaedro, el hexaedro (cubo) y). Curiosamente, según numerosos documentos históricos, todos ellos fueron utilizados activamente por los habitantes de la antigua Grecia en forma de dados de mesa y estaban hechos de una amplia variedad de materiales.

Los poliedros regulares siempre han atraído a las personas por su belleza, naturaleza orgánica y extraordinaria perfección de formas, pero el dodecaedro tiene una historia especial, que año tras año adquiere hechos nuevos, a veces completamente místicos. Representantes de muchas civilizaciones vieron en él una esencia sobrenatural y misteriosa, afirmando que: “A partir del número doce surgen muchas cosas”. En los territorios de los antiguos estados destruidos todavía se encuentran pequeñas figuras en forma de dodecaedros hechas de bronce, piedra o hueso. Además, durante las excavaciones en las tierras de la actual Inglaterra, Francia, Alemania, Hungría e Italia, los arqueólogos descubrieron varios cientos de los llamados "dodecaedros romanos" que datan de los siglos II-III d.C. Las dimensiones principales de las figuras oscilan entre cuatro y once centímetros y se distinguen por los patrones, texturas y técnicas de ejecución más increíbles. La versión de la época de Platón de que el Universo es un enorme dodecaedro se confirmó a principios del siglo XXI. Después de un análisis exhaustivo de los datos obtenidos utilizando WMAP (la nave espacial multifuncional de la NASA), los científicos coincidieron con la suposición de los astrónomos, matemáticos y físicos griegos antiguos, que en un momento se ocuparon del estudio de la esfera celeste y su estructura. Además, los investigadores modernos creen que nuestro Universo es un conjunto de dodecaedros que se repite infinitamente.

Cómo hacer un dodecaedro normal con tus propias manos.

Hoy en día, el diseño de esta figura se refleja en muchas formas de creatividad artística, arquitectura y construcción. Los artesanos hacen origami inusualmente hermosos en forma de dodecaedros calados con papel blanco o de colores, los originales con cartón, etc.). A la venta puedes comprar kits ya preparados que contienen todo lo necesario para hacer souvenirs, pero lo más interesante es realizar todo el proceso de trabajo con tus propias manos, desde la construcción de piezas individuales hasta el montaje de la estructura terminada.

Materiales:

Para hacer un dodecaedro normal a partir de cartón, necesita el material en sí y las herramientas disponibles:

• tijeras,
• lápiz,
• borrador,
• gobernante,
• pegamento.

Es bueno tener un cuchillo sin filo o algún tipo de dispositivo para doblar los márgenes de costura, pero si no los tienes, una regla de metal o las mismas tijeras te servirán.

Cómo hacer un dodecaedro estrellado

Los dodecaedros estrellados tienen una estructura más compleja en comparación con los ordinarios. Estos poliedros se dividen en pequeños (de la primera extensión), medianos (de la segunda extensión) y grandes (la última forma estrellada del dodecaedro regular). Cada uno de ellos tiene sus propias características de diseño y montaje. Para trabajar, necesitará los mismos materiales y herramientas que para hacer un dodecaedro estándar. Si decide hacer la primera opción (un pequeño dodecaedro), entonces necesita construir un dibujo del primer elemento, que se convertirá en la base de toda la estructura (luego se pega o las piezas se ensamblan con clips).

Durante todo el período, los arqueólogos han planteado aproximadamente 27 hipótesis sobre el propósito de estos extraños objetos, pero ninguna de ellas ha sido probada.

El dodecaedro romano es un pequeño objeto fabricado en bronce o piedra con 12 caras pentagonales planas. Su origen se remonta al siglo II-II d.C. mi. Los tamaños de los dodecaedros varían de 4 a 11 cm, y el patrón y la decoración exterior son completamente diferentes. Los dodecaedros son huecos por dentro y tienen un agujero redondo en cada cara. Entre ellos, en las esquinas, hay 20 bolitas pequeñas. Gracias a estas bolas, los dodecaedros se mantienen estables en el plano en cualquier posición. Hubo un tiempo en que estos artículos eran muy comunes. Los propietarios valoraban mucho los dodecaedros romanos. Prueba de ello son los numerosos hallazgos de estos artefactos entre tesoros, monedas y otros objetos valiosos.

Han pasado más de doscientos años desde el descubrimiento del primer dodecaedro, y los científicos no están ni un paso más cerca de resolver el misterio de su origen y funciones. Durante todo el período, los arqueólogos han planteado aproximadamente 27 hipótesis sobre el propósito de estos extraños objetos, pero ninguna de ellas ha sido probada. Se han encontrado alrededor de un centenar de dodecaedros romanos en Inglaterra, Italia, Alemania y Francia. Estos elementos no se mencionan en textos históricos ni en imágenes de la época. Las versiones más comunes de su uso son las siguientes:

• candelabros;
• dado;
• herramientas de calibración de tuberías de agua;
• elementos del estandarte del ejército;
• telémetros;
• espacios en blanco para tejer guantes para diferentes tamaños de dedos;
• símbolos religiosos o herramientas de adivinación.

El dodecaedro romano podría utilizarse como telémetro en el campo de batalla. Con su ayuda pudieron calcular la trayectoria de los proyectiles. Para ello podrían haberse destinado misteriosos agujeros de diferentes diámetros en las caras pentagonales. Los dodecaedros romanos también podían servir como instrumentos de medición astronómicos, con la ayuda de los cuales se determinaba el momento de la siembra de cereales. Sin embargo, algunos investigadores creen que es poco probable que tales objetos fueran instrumentos de medición debido a su falta de estandarización, aunque tenían diferentes tamaños y diseños.

También existen teorías más plausibles sobre el propósito de los dodecaedros romanos. Podrían ser parte del patrimonio cultural de tribus y pueblos locales que han habitado los territorios del norte de Europa y Gran Bretaña desde la antigüedad. Es posible que los dodecaedros de la época romana estén relacionados con las bolas de piedra más antiguas con poliedros tallados en sus superficies, que datan del período comprendido entre el 2500 y el 1500 a.C. mi. y se encuentran en Escocia, Irlanda y el norte de Inglaterra. Además, los pequeños dodecaedros podrían estar relacionados con el famoso complejo de Stonehenge. Nadie sabe cuál era el propósito de esta estructura. Quizás las bolas poliédricas desempeñaron para los antiguos pueblos de Gran Bretaña el mismo papel que el misterioso Stonehenge, personificando ideas espirituales y secretos del orden mundial.

El dodecaedro alguna vez fue considerado una figura sagrada por la escuela pitagórica de la antigua Grecia. Personificó el éter, el quinto elemento del universo, además del fuego, el aire, el agua y la tierra. Quizás los dodecaedros romanos encontrados pertenecían a seguidores de las enseñanzas de los pitagóricos. Esta sociedad secreta ocultó cuidadosamente su existencia. Podrían eliminar específicamente de los registros históricos todos los textos relacionados con los dodecaedros, considerándolos figuras sagradas que explican el orden existente de las cosas.

El dodecaedro está compuesto por doce pentágonos regulares, que son sus caras. Cada vértice del dodecaedro es el vértice de tres pentágonos regulares. Así, el dodecaedro tiene 12 caras (pentagonales), 30 aristas y 20 vértices (3 aristas convergen en cada una).

Historia

Quizás el objeto con forma de dodecaedro más antiguo se encontró en el norte de Italia, cerca de Padua, a finales del siglo XIX, y data del año 500 a.C. mi. y supuestamente fue utilizado como dado por los etruscos.

El dodecaedro fue considerado por los antiguos científicos griegos en sus escritos. Platón comparó varios elementos clásicos con poliedros regulares. Platón escribió sobre el dodecaedro que "... Dios lo determinó para el Universo y recurrió a él como modelo". Euclides, en la frase 17 del Libro XIII de los Elementos, construye un dodecaedro sobre las aristas de un cubo: 132-136. Pappus de Alejandría en su “Colección Matemática” trata de la construcción de un dodecaedro inscrito en una esfera determinada, demostrando al mismo tiempo que los vértices del dodecaedro se encuentran en planos paralelos: 318-319.

En el territorio de varios países europeos se encontraron muchos objetos llamados dodecaedros romanos que datan de los siglos II-III. norte. e., cuyo propósito no está del todo claro.

Fórmulas básicas

Si tomamos la longitud del borde $a$, entonces el área de superficie del dodecaedro es igual a

$S=3a^2\backslash sqrt(5(5+2\backslash sqrt(5)))\backslash aproximadamente\; 20,65a^2$

Volumen de un dodecaedro:

$V=\backslash frac(a^3)(4)(15+7\backslash sqrt(5))\backslash aproximadamente\; 7.66a^3$

$R=\backslash frac(a)(4)(1+\backslash sqrt(5))\backslash sqrt(3)\backslash aproximadamente\; 1.4a$

$r=\backslash frac(a)(4)\backslash sqrt(10+\backslash frac(22)(\backslash sqrt(5)))\backslash aprox\; 1.11a$

Propiedades

Elementos de simetría del dodecaedro.

• El dodecaedro tiene un centro de simetría y 15 ejes de simetría. Cada uno de los ejes pasa por los puntos medios de aristas paralelas opuestas.
• El dodecaedro tiene 15 planos de simetría. Cualquiera de los planos de simetría pasa en cada cara por la parte superior y media del borde opuesto.

en cultura

• El dodecaedro se utiliza como generador de números aleatorios (junto con otros dados) en juegos de rol de mesa y se denomina d12 (dado).
• Los calendarios de escritorio están hechos con forma de dodecaedro de papel, donde cada uno de los doce meses se ubica en una de las caras.
• En el juego Pentacore, el mundo está representado en forma de esta figura geométrica. [ ] .
• En los juegos "Sonic the Hedgehog 3" y "Sonic & Knuckles" de la serie Sonic the Hedgehog, las Chaos Emeralds tienen forma de dodecaedro. [ ] .
• En el juego Destiny, los engramas tienen forma de dodecaedro. [ ] .

ver también

• Pentagondodecaedro - dodecaedro irregular

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Notas

1. Selivanov D. F.// Diccionario enciclopédico de Brockhaus y Efron: en 86 volúmenes (82 volúmenes y 4 adicionales). - San Petersburgo. , 1890-1907.
2. Stefano De" Stefani (1885-86). "". Atti del Reale Istituto veneto di scienze, letras y artículos: 1437-1459. Véase también la imagen de este artículo al final del volumen,
3. Amelia Carolina Spavigna Un dodecaedro etrusco. -arXiv:1205.0706.
4. Platón. "Timeo"
5. .
6. . - M.-L.: Editorial Estatal de Literatura Técnica y Teórica, 1950.- Además de la traducción rusa de la obra de Euclides, esta edición contiene en el comentario una traducción de las propuestas de Pappus sobre los poliedros regulares.
7. Texto original en griego antiguo con traducción paralela al latín: Liber III. Proposiciones. 58 // . - 1876. - Vol. I. - págs. 156-163.
8. Roger Herz-Fischler.. - Publicaciones Courier Dover, 2013. - P. 117-118.
9. La prueba se da en: Cobb, John W.(inglés) (2005-2007). Consultado el 1 de junio de 2014.
10. En el cuarto volumen de su monografía sobre radiolarios se le designa con el número 2.
11. (Inglés) .
12. (Inglés) .
13. Semanas de Jeffrey.(Inglés) . .
14. A. T. Blanco.. - Elsevier, 2001. - P. 45. - 378 p. - ISBN 0-080-50758-1, 978-0-080-50758-3.

Enlaces

Extracto que caracteriza al Dodecaedro.