¿Qué es la integración por partes? Para dominar este tipo de integración, recordemos primero la derivada de un producto:

$((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"$

Surge la pregunta: ¿qué tienen que ver las integrales con esto? Ahora integremos ambos lados de esta ecuación. Entonces vamos a escribirlo:

$\int(((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))\text(d)x=)\int((f)"\cdot g\,\text(d)x+\ int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

Pero, ¿qué es una primitiva de un derrame cerebral? Es sólo la función misma, que está dentro del trazo. Entonces vamos a escribirlo:

$f\cdot g=\int((f)"\cdot g\,\text(d)x+\int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

En esta ecuación propongo expresar el término. Tenemos:

$\int((f)"\cdot g\,\text(d)x=f\cdot g-\int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

Eso es lo que es fórmula de integración por partes. Por tanto, esencialmente estamos intercambiando la derivada y la función. Si inicialmente teníamos una integral de un trazo multiplicada por algo, entonces obtenemos una integral de algo nuevo multiplicado por un trazo. Esa es toda la regla. A primera vista, esta fórmula puede parecer complicada y sin sentido, pero en realidad puede simplificar enormemente los cálculos. Vamos a ver.

Ejemplos de cálculos integrales

Problema 1. Calcular:

\[\int(\ln x\,\text(d)x)\]\[\]

Reescribamos la expresión sumando 1 antes del logaritmo:

\[\int(\ln x\,\text(d)x)=\int(1\cdot \ln x\,\text(d)x)\]

Tenemos derecho a hacer esto porque ni el número ni la función cambiarán. Ahora comparemos esta expresión con lo que está escrito en la fórmula. El papel de $(f)"$ es 1, por lo que escribimos:

$\begin(align)& (f)"=1\Rightarrow f=x \\& g=\ln x\Rightarrow (g)"=\frac(1)(x) \\\end(align)$

Todas estas funciones están en las tablas. Ahora que hemos descrito todos los elementos que están incluidos en nuestra expresión, reescribiremos esta integral usando la fórmula de integración por partes:

\[\begin(align)& \int(1\cdot \ln x\,\text(d)x)=x\ln x-\int(x\cdot \frac(1)(x)\text(d )x)=x\ln x-\int(\text(d)x)= \\& =x\ln x-x+C=x\left(\ln x-1 \right)+C \\\ fin(alinear)\]

Eso es todo, se ha encontrado la integral.

Problema 2. Calcular:

$\int(x((\text(e))^(-x))\,\text(d)x=\int(x\cdot ((e)^(-x))\,\text(d )x))$

Si tomamos $x$ como derivada, de la cual ahora necesitamos encontrar la primitiva, obtendremos $((x)^(2))$, y la expresión final contendrá $((x)^(2) )( (\text(e))^(-x))$.

Obviamente el problema no está simplificado, por lo que intercambiamos los factores bajo el signo integral:

$\int(x\cdot ((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=\int(((\text(e))^(-x))\cdot x\,\texto(d)x)$

Ahora introduzcamos la notación:

$(f)"=((\text(e))^(-x))\Rightarrow f=\int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x) =-((\text(e))^(-x))$

Diferenciamos $((\text(e))^(-x))$:

$((\left(((\text(e))^(-x)) \right))^(\prime ))=((\text(e))^(-x))\cdot ((\ izquierda(-x \right))^(\prime ))=-((\text(e))^(-x))$

Es decir, primero se suma el menos y luego se integran ambos lados:

\[\begin(align)& ((\left(((\text(e))^(-x)) \right))^(\prime ))=-((\text(e))^(- x))\Rightarrow ((\text(e))^(-x))=-((\left(((\text(e))^(-x)) \right))^(\prime )) \\& \int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=-\int(((\left(((\text(e))^(- x)) \right))^(\prime ))\text(d)x)=-((\text(e))^(-x))+C \\\end(align)\]

Ahora veamos la función $g$:

$g=x\Flecha derecha (g)"=1$

Calculamos la integral:

$\begin(align)& \int(((\text(e))^(-x))\cdot x\,\text(d)x)=x\cdot \left(-((\text(e) ))^(-x)) \right)-\int(\left(-((\text(e))^(-x)) \right)\cdot 1\cdot \text(d)x)= \ \& =-x((\text(e))^(-x))+\int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=-x( (\text(e))^(-x))-((\text(e))^(-x))+C=-((\text(e))^(-x))\left(x +1 \right)+C \\\end(align)$

Entonces, hemos realizado la segunda integración por partes.

Problema 3. Calcular:

$\int(x\cos 3x\,\text(d)x)$

En este caso, ¿qué debemos tomar para $(f)"$ y qué para $g$? Si $x$ actúa como una derivada, entonces durante la integración obtendremos $\frac(((x)^(2)) )(2 )$, y el primer factor no desaparecerá por ningún lado: será $\frac(((x)^(2)))(2)\cdot \cos 3x$ Por lo tanto, intercambiemos los factores nuevamente:

$\begin(align)& \int(x\cos 3x\,\text(d)x)=\int(\cos 3x\cdot x\,\text(d)x) \\& (f)"= \cos 3x\Rightarrow f=\int(\cos 3x\,\text(d)x)=\frac(\sin 3x)(3) \\& g=x\Rightarrow (g)"=1 \\\ final (alinear) $

Reescribimos nuestra expresión original y la expandimos según la fórmula de integración por partes:

\[\begin(align)& \int(\cos 3x\cdot x\ \text(d)x)=\frac(\sin 3x)(3)\cdot x-\int(\frac(\sin 3x) (3)\text(d)x)= \\& =\frac(x\sin 3x)(3)-\frac(1)(3)\int(\sin 3x\,\text(d)x) =\frac(x\sin 3x)(3)+\frac(\cos 3x)(9)+C \\\end(align)\]

Eso es todo, el tercer problema está resuelto.

En conclusión, echemos otro vistazo a fórmula de integración por partes. ¿Cómo elegimos qué factor será la derivada y cuál será la función real? Aquí sólo hay un criterio: el elemento que vamos a diferenciar debe dar una expresión "hermosa", que luego se reducirá, o desaparecer por completo durante la diferenciación. Esto concluye la lección.

Integración por partes. Ejemplos de soluciones

Hola de nuevo. Hoy en la lección aprenderemos a integrar por partes. El método de integración por partes es uno de los pilares del cálculo integral. Durante las pruebas o exámenes, casi siempre se pide a los estudiantes que resuelvan los siguientes tipos de integrales: la integral más simple (ver artículo) o una integral reemplazando una variable (ver artículo) o la integral está justo en método de integración por partes.

Como siempre, deberás tener a mano: Tabla de integrales Y tabla de derivados. Si aún no los tienes, visita el trastero de mi web: Fórmulas y tablas matemáticas.. No me cansaré de repetirlo: es mejor imprimirlo todo. Intentaré presentar todo el material de forma coherente, sencilla y clara; no existen dificultades especiales para integrar las partes.

¿Qué problema resuelve el método de integración por partes? El método de integración por partes soluciona un problema muy importante; te permite integrar algunas funciones que no están en la tabla, trabajar funciones y, en algunos casos, incluso cocientes. Como recordamos, no existe una fórmula conveniente: . Pero existe este: – fórmula de integración por partes presencialmente. Lo sé, lo sé, eres la única; trabajaremos con ella durante toda la lección (ahora es más fácil).

E inmediatamente la lista al estudio. Las integrales de los siguientes tipos se toman por partes:

1) , , – logaritmo, logaritmo multiplicado por algún polinomio.

2) ,es una función exponencial multiplicada por algún polinomio. Esto también incluye integrales como: una función exponencial multiplicada por un polinomio, pero en la práctica es 97 por ciento, debajo de la integral hay una bonita letra "e". ... el artículo resulta algo lírico, oh sí ... ha llegado la primavera.

3) , , son funciones trigonométricas multiplicadas por algún polinomio.

4), – funciones trigonométricas inversas (“arcos”), “arcos” multiplicados por algún polinomio.

Algunas fracciones también se toman en partes; también consideraremos los ejemplos correspondientes en detalle.

Integrales de logaritmos

Ejemplo 1

Clásico. De vez en cuando, esta integral se puede encontrar en tablas, pero no es aconsejable utilizar una respuesta ya preparada, ya que el profesor tiene deficiencia de vitaminas primaverales y maldecirá mucho. Porque la integral considerada no es en modo alguno tabular: se toma en partes. Nosotros decidimos:

Interrumpimos la solución para explicaciones intermedias.

Usamos la fórmula de integración por partes:

La fórmula se aplica de izquierda a derecha.

Nos fijamos en el lado izquierdo: . Obviamente, en nuestro ejemplo (y en todos los demás que consideraremos) algo debe designarse como y algo como .

En integrales del tipo considerado, siempre se denota el logaritmo.

Técnicamente, el diseño de la solución se implementa de la siguiente manera;

Es decir, denotamos el logaritmo como, y la parte restante expresión integrando.

Siguiente etapa: encontrar el diferencial:

Un diferencial es casi lo mismo que un derivado; ya hemos discutido cómo encontrarlo en lecciones anteriores.

Ahora encontramos la función. Para encontrar la función que necesita integrar lado derecho menor igualdad:

Ahora abrimos nuestra solución y construimos el lado derecho de la fórmula: .
Por cierto, aquí tenéis una muestra de la solución final con algunas notas:

El único punto del trabajo es que inmediatamente cambié y , ya que es costumbre escribir el factor antes del logaritmo.

Como puede ver, la aplicación de la fórmula de integración por partes esencialmente redujo nuestra solución a dos integrales simples.

Tenga en cuenta que en algunos casos justo después de Al aplicar la fórmula, necesariamente se realiza una simplificación en la integral restante; en el ejemplo considerado, reducimos el integrando a "x".

Vamos a revisar. Para hacer esto, debes tomar la derivada de la respuesta:

Se ha obtenido la función integrando original, lo que significa que la integral se ha resuelto correctamente.

Durante la prueba utilizamos la regla de diferenciación de productos: . Y esto no es una coincidencia.

Fórmula de integración por partes. y fórmula – estas son dos reglas mutuamente inversas.

Ejemplo 2

Encuentra la integral indefinida.

El integrando es el producto de un logaritmo y un polinomio.
Vamos a decidir.

Una vez más describiré en detalle el procedimiento para aplicar la regla, los ejemplos se presentarán más brevemente y, si tiene dificultades para resolverlo usted mismo, debe volver a los dos primeros ejemplos de la lección; .

Como ya se mencionó, es necesario denotar el logaritmo (no importa el hecho de que sea una potencia). denotamos por la parte restante expresión integrando.

Escribimos en la columna:

Primero encontramos el diferencial:

Aquí usamos la regla para derivar una función compleja. . No es casualidad que en la primera lección del tema Integral indefinida. Ejemplos de soluciones Me centré en el hecho de que para dominar las integrales, es necesario "tener en sus manos" las derivadas. Tendrás que lidiar con derivados más de una vez.

Ahora encontramos la función, para ello integramos lado derecho menor igualdad:

Para la integración utilizamos la fórmula tabular más simple.

Ahora todo está listo para aplicar la fórmula. . Abra con un asterisco y “construya” la solución de acuerdo con el lado derecho:

¡Bajo la integral tenemos nuevamente un polinomio para el logaritmo! Por tanto, se vuelve a interrumpir la solución y se aplica por segunda vez la regla de integración por partes. No olvide que en situaciones similares siempre se denota el logaritmo.

Sería bueno que ya supieras cómo encontrar las integrales y derivadas más simples de forma oral.

(1) ¡No te confundas con las señales! Muy a menudo el menos se pierde aquí, tenga en cuenta también que el menos se refiere a a todos soporte , y estos corchetes deben expandirse correctamente.

(2) Abra los soportes. Simplificamos la última integral.

(3) Tomamos la última integral.

(4) “Combinar” la respuesta.

La necesidad de aplicar la regla de integración por partes dos veces (o incluso tres veces) no surge muy raramente.

Y ahora un par de ejemplos para su propia solución:

Ejemplo 3

Encuentra la integral indefinida.

¡Este ejemplo se resuelve cambiando la variable (o sustituyéndola bajo el signo diferencial)! ¿Por qué no? Puedes intentar hacerlo en partes, resultará algo divertido.

Ejemplo 4

Encuentra la integral indefinida.

Pero esta integral está integrada por partes (la fracción prometida).

Estos son ejemplos para que los resuelvas por tu cuenta, soluciones y respuestas al final de la lección.

Parece que en los ejemplos 3 y 4 los integrandos son similares, ¡pero los métodos de solución son diferentes! Ésta es la principal dificultad para dominar las integrales: si eliges el método incorrecto para resolver una integral, podrás jugar con ella durante horas, como con un rompecabezas real. Por lo tanto, cuanto más resuelvas varias integrales, mejor y más fácil será la prueba y el examen. Además, en el segundo año habrá ecuaciones diferenciales, y sin experiencia en la resolución de integrales y derivadas no hay nada que hacer allí.

En términos de logaritmos, esto probablemente sea más que suficiente. Además, también recuerdo que los estudiantes de ingeniería usan logaritmos para llamar a los senos femeninos =). Por cierto, es útil conocer de memoria las gráficas de las principales funciones elementales: seno, coseno, arcotangente, exponente, polinomios de tercer, cuarto grado, etc. No, por supuesto, un condón en el mundo.
No lo extenderé, pero ahora recordarás mucho de la sección. Gráficos y funciones =).

Integrales de una exponencial multiplicada por un polinomio

Regla general:

Ejemplo 5

Encuentra la integral indefinida.

Usando un algoritmo familiar, integramos por partes:

Si tienes dificultades con la integral, deberías volver al artículo. Método de cambio de variable en integral indefinida..

Lo único que puedes hacer es modificar la respuesta:

Pero si tu técnica de cálculo no es muy buena, entonces la opción más rentable es dejarla como respuesta. o incluso

Es decir, el ejemplo se considera resuelto cuando se toma la última integral. No será un error, otra cosa es que el profesor te pida que simplifiques la respuesta.

Ejemplo 6

Encuentra la integral indefinida.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Esta integral se integra dos veces por partes. Se debe prestar especial atención a los signos: es fácil confundirse con ellos, también recordamos que se trata de una función compleja.

No hay nada más que decir sobre el expositor. Solo puedo agregar que el logaritmo exponencial y natural son funciones mutuamente inversas, este soy yo sobre el tema de las gráficas entretenidas de matemáticas superiores =) Detente, detente, no te preocupes, el profesor está sobrio.

Integrales de funciones trigonométricas multiplicadas por un polinomio

Regla general: porque siempre denota un polinomio

Ejemplo 7

Encuentra la integral indefinida.

Integramos por partes:

Mmmm...y no hay nada que comentar.

Ejemplo 8

Encuentra la integral indefinida

Este es un ejemplo para que lo resuelvas tú mismo.

Ejemplo 9

Encuentra la integral indefinida

Otro ejemplo con una fracción. Como en los dos ejemplos anteriores, for denota un polinomio.

Integramos por partes:

Si tiene alguna dificultad o malentendido para encontrar la integral, le recomiendo asistir a la lección. Integrales de funciones trigonométricas..

Ejemplo 10

Encuentra la integral indefinida

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta.

Sugerencia: antes de usar el método de integración por partes, debes aplicar alguna fórmula trigonométrica que convierta el producto de dos funciones trigonométricas en una sola función. La fórmula también se puede utilizar al aplicar el método de integración por partes, el que te resulte más conveniente.

Probablemente eso esté todo en este párrafo. Por alguna razón recordé una línea del himno de física y matemáticas “Y el gráfico sinusoidal corre onda tras onda a lo largo del eje de abscisas”….

Integrales de funciones trigonométricas inversas.
Integrales de funciones trigonométricas inversas multiplicadas por un polinomio

Regla general: siempre denota la función trigonométrica inversa.

Permítanme recordarles que las funciones trigonométricas inversas incluyen arcoseno, arcocoseno, arcotangente y arcocotangente. En aras de la brevedad del registro los llamaré "arcos".

Integral definida. Ejemplos de soluciones

Hola de nuevo. En esta lección examinaremos en detalle algo tan maravilloso como una integral definida. Esta vez la introducción será breve. Todo. Porque hay una tormenta de nieve fuera de la ventana.

Para aprender a resolver integrales definidas necesitas:

1) Ser capaz de encontrar Integrales indefinidas.

2) Ser capaz de calcular integral definida.

Como puede ver, para dominar una integral definida, es necesario tener un conocimiento bastante bueno de las integrales indefinidas "ordinarias". Por lo tanto, si recién está comenzando a sumergirse en el cálculo integral y la tetera aún no ha hervido, entonces es mejor comenzar con la lección. Integral indefinida. Ejemplos de soluciones. Además, hay cursos en pdf para preparación ultrarrápida- si literalmente tienes un día, te queda medio día.

En forma general, la integral definida se escribe de la siguiente manera:

¿Qué se suma respecto a la integral indefinida? Más límites de integración.

Límite inferior de integración
Límite superior de integración se denota normalmente con la letra .
El segmento se llama segmento de integración.

Antes de pasar a ejemplos prácticos, unas preguntas frecuentes rápidas sobre la integral definida.

¿Qué significa resolver una integral definida? Resolver una integral definida significa encontrar un número.

¿Cómo resolver una integral definida? Usando la fórmula de Newton-Leibniz que conocemos de la escuela:

Es mejor reescribir la fórmula en una hoja de papel separada; debe estar frente a sus ojos durante toda la lección.

Los pasos para resolver una integral definida son los siguientes:

1) Primero encontramos la función antiderivada (integral indefinida). Tenga en cuenta que la constante en la integral definida no añadido. La designación es puramente técnica y el palo vertical no tiene ningún significado matemático, de hecho, es sólo una marca; ¿Por qué se necesita la grabación en sí? Preparación para la aplicación de la fórmula de Newton-Leibniz.

2) Sustituir el valor del límite superior en la función antiderivada: .

3) Sustituir el valor del límite inferior en la función antiderivada: .

4) Calculamos (¡sin errores!) la diferencia, es decir, encontramos el número.

¿Existe siempre una integral definida? No, no siempre.

Por ejemplo, la integral no existe porque el segmento de integración no está incluido en el dominio de definición del integrando (los valores bajo la raíz cuadrada no pueden ser negativos). He aquí un ejemplo menos obvio: . Tal integral tampoco existe, ya que no hay tangente en los puntos del segmento. Por cierto, ¿quién no ha leído todavía el material didáctico? Gráficas y propiedades básicas de funciones elementales.– el momento de hacerlo es ahora. Será fantástico ayudar durante todo el curso de matemáticas superiores.

Para eso Para que exista una integral definida, es suficiente que el integrando sea continuo en el intervalo de integración..

De lo anterior, se desprende la primera recomendación importante: antes de comenzar a resolver CUALQUIER integral definida, debes asegurarte de que la función integrando es continua en el intervalo de integración. Cuando era estudiante, tuve repetidamente un incidente en el que luché durante mucho tiempo para encontrar una antiderivada difícil, y cuando finalmente la encontré, me devané los sesos con otra pregunta: "¿Qué clase de tontería resultó ser?" ?” En una versión simplificada, la situación se parece a esto:

???! ¡No puedes sustituir números negativos debajo de la raíz! ¡¿Qué demonios es esto?! Falta de atención inicial.

Si para una solución (en una prueba, prueba, examen) se le ofrece una integral inexistente como , entonces debe responder que la integral no existe y justificar por qué.

¿Puede una integral definida ser igual a un número negativo? Tal vez. Y un número negativo. Y cero. Incluso puede resultar infinito, pero ya será integral impropia, que reciben una conferencia separada.

¿Puede el límite inferior de integración ser mayor que el límite superior de integración? Quizás esta situación realmente se dé en la práctica.

– la integral se puede calcular fácilmente utilizando la fórmula de Newton-Leibniz.

¿Qué son indispensables las matemáticas superiores? Por supuesto, sin todo tipo de propiedades. Por tanto, consideremos algunas propiedades de la integral definida.

En una integral definida, puedes reorganizar los límites superior e inferior, cambiando el signo.:

Por ejemplo, en una integral definida, antes de la integración, es recomendable cambiar los límites de integración al orden "habitual":

– De esta forma es mucho más conveniente integrarse.

– esto es válido no sólo para dos, sino también para cualquier número de funciones.

En una integral definida se puede realizar reemplazo de variable de integración Sin embargo, en comparación con la integral indefinida, esta tiene sus propias particularidades, de las que hablaremos más adelante.

Para una integral definida se cumple lo siguiente: fórmula de integración por partes:

Ejemplo 1

Solución:

(1) Sacamos la constante del signo integral.

(2) Integrar sobre la tabla usando la fórmula más popular . Es aconsejable separar la constante emergente y sacarla del soporte. No es necesario hacer esto, pero sí recomendable: ¿por qué hacer cálculos adicionales?

. Primero sustituimos el límite superior, luego el límite inferior. Realizamos más cálculos y obtenemos la respuesta final.

Ejemplo 2

Calcular integral definida

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta, la solución y la respuesta se encuentran al final de la lección.

Compliquemos un poco la tarea:

Ejemplo 3

Calcular integral definida

Solución:

(1) Usamos las propiedades de linealidad de la integral definida.

(2) Integramos según la tabla, eliminando todas las constantes; no participarán en la sustitución de los límites superior e inferior.

(3) Para cada uno de los tres términos aplicamos la fórmula de Newton-Leibniz:

EL ENLACE DÉBIL en la integral definida son los errores de cálculo y la común CONFUSIÓN EN SIGNOS. ¡Ten cuidado! Pongo especial atención en el tercer término: – primer lugar en el hit parade de errores por falta de atención, muy a menudo se escriben automáticamente (especialmente cuando la sustitución de los límites superior e inferior se realiza verbalmente y no está escrita con tanto detalle). Una vez más, estudie detenidamente el ejemplo anterior.

Cabe señalar que el método considerado para resolver una integral definida no es el único. Con algo de experiencia, la solución se puede reducir significativamente. Por ejemplo, yo mismo estoy acostumbrado a resolver integrales como esta:

Aquí utilicé verbalmente las reglas de linealidad y las integré verbalmente usando la tabla. Terminé con solo un soporte con los límites marcados: (a diferencia de tres corchetes en el primer método). Y en la función antiderivada “completa”, primero sustituí 4, luego –2, realizando nuevamente todas las acciones en mi mente.

¿Cuáles son las desventajas de la solución corta? Aquí no todo es muy bueno desde el punto de vista de la racionalidad de los cálculos, pero personalmente no me importa: calculo fracciones ordinarias en una calculadora.
Además, existe un mayor riesgo de cometer un error en los cálculos, por lo que es mejor que un estudiante de té utilice el primer método; con "mi" método de resolución, el signo definitivamente se perderá en alguna parte.

Sin embargo, las ventajas indudables del segundo método son la velocidad de solución, la compacidad de la notación y el hecho de que la antiderivada está entre paréntesis.

Consejo: antes de utilizar la fórmula de Newton-Leibniz, conviene comprobar: ¿se encontró correctamente la antiderivada?

Entonces, en relación con el ejemplo considerado: antes de sustituir los límites superior e inferior en la función antiderivada, es aconsejable verificar en el borrador si la integral indefinida se encontró correctamente. Diferenciamos:

Se ha obtenido la función integrando original, lo que significa que se ha encontrado correctamente la integral indefinida. Ahora podemos aplicar la fórmula de Newton-Leibniz.

Esta verificación no será superflua al calcular cualquier integral definida..

Ejemplo 4

Calcular integral definida

Este es un ejemplo para que lo resuelvas tú mismo. Intenta resolverlo de forma breve y detallada.

Cambiar una variable en una integral definida

Para una integral definida, todos los tipos de sustituciones son válidos como para la integral indefinida. Por lo tanto, si no eres muy bueno con las sustituciones, debes leer atentamente la lección. Método de sustitución en integral indefinida.

No hay nada aterrador ni difícil en este párrafo. La novedad radica en la cuestión. cómo cambiar los límites de integración al reemplazar.

En los ejemplos, intentaré dar tipos de reemplazos que aún no se han encontrado en ninguna parte del sitio.

Ejemplo 5

Calcular integral definida

La pregunta principal aquí no es en absoluto la integral definida, sino cómo realizar correctamente la sustitución. Miremos a tabla de integrales y descubrir cómo se parece más nuestra función integrando. Obviamente, para el logaritmo largo: . Pero hay una discrepancia, en la tabla integral bajo la raíz, y en la nuestra: "x" elevada a la cuarta potencia. La idea de reemplazo también se desprende del razonamiento: sería bueno convertir de alguna manera nuestro cuarto grado en un cuadrado. Es real.

Primero, preparamos nuestra integral para reemplazo:

De las consideraciones anteriores, surge naturalmente un reemplazo:
Así, todo estará bien en el denominador: .
Averiguamos en qué se convertirá la parte restante del integrando, para ello encontramos el diferencial:

En comparación con el reemplazo en la integral indefinida, agregamos un paso adicional.

Encontrar nuevos límites de integración.

Es bastante simple. Miremos nuestro reemplazo y los viejos límites de la integración.

Primero, sustituimos el límite inferior de integración, es decir, cero, en la expresión de reemplazo:

Luego sustituimos el límite superior de integración en la expresión de reemplazo, es decir, la raíz de tres:

Listo. Y solo...

Sigamos con la solución.

(1) Según sustitución escribir una nueva integral con nuevos límites de integración.

(2) Esta es la integral de tabla más simple, la integramos sobre la tabla. Es mejor dejar la constante fuera de los corchetes (no es necesario hacerlo) para que no interfiera con cálculos posteriores. A la derecha dibujamos una línea que indica los nuevos límites de integración: esto es una preparación para aplicar la fórmula de Newton-Leibniz.

(3) Usamos la fórmula de Newton-Leibniz .

Nos esforzamos por escribir la respuesta en la forma más compacta; aquí utilicé las propiedades de los logaritmos.

Otra diferencia con la integral indefinida es que, después de haber hecho la sustitución, no es necesario realizar ningún reemplazo inverso.

Y ahora un par de ejemplos para que decidas por ti mismo. Qué reemplazos hacer: intente adivinar usted mismo.

Ejemplo 6

Calcular integral definida

Ejemplo 7

Calcular integral definida

Estos son ejemplos para que decidas por tu cuenta. Soluciones y respuestas al final de la lección.

Y al final del párrafo, un par de puntos importantes, cuyo análisis apareció gracias a los visitantes del sitio. El primero se refiere legalidad del reemplazo. ¡En algunos casos no se puede hacer! Por lo tanto, el ejemplo 6, al parecer, se puede resolver usando sustitución trigonométrica universal, sin embargo, el límite superior de integración ("Pi") no incluido en dominio¡Esta tangente y por tanto esta sustitución es ilegal! De este modo, la función de “reemplazo” debe ser continua en todo puntos del segmento de integración.

En otro correo electrónico se recibió la siguiente pregunta: “¿Necesitamos cambiar los límites de integración cuando subsumimos una función bajo el signo diferencial?” Al principio quise “desechar las tonterías” y responder automáticamente “por supuesto que no”, pero luego pensé en el motivo de tal pregunta y de repente descubrí que no había información. carece. Pero esto, aunque obvio, es muy importante:

Si subsumimos la función bajo el signo diferencial, entonces no hay necesidad de cambiar los límites de integración.! ¿Por qué? Porque en este caso no hay transición real a la nueva variable. Por ejemplo:

Y aquí la suma es mucho más conveniente que la sustitución académica con el posterior “pintado” de nuevos límites de integración. De este modo, Si la integral definida no es muy complicada, intente siempre poner la función bajo el signo diferencial.! Es más rápido, más compacto y algo común, ¡como verás docenas de veces!

¡Muchas gracias por tus cartas!

Método de integración por partes en una integral definida

Aquí hay aún menos novedad. Todos los cálculos del artículo. Integración por partes en la integral indefinida son totalmente válidos para la integral definida.
Sólo hay un detalle que es un plus; en la fórmula de integración por partes se añaden los límites de integración:

La fórmula de Newton-Leibniz debe aplicarse aquí dos veces: para el producto y después de tomar la integral.

Para el ejemplo, elegí nuevamente el tipo de integral que aún no se ha encontrado en ninguna parte del sitio. El ejemplo no es el más simple, pero sí muy, muy informativo.

Ejemplo 8

Calcular integral definida

Vamos a decidir.

Integramos por partes:

Cualquiera que tenga dificultades con la integral, eche un vistazo a la lección. Integrales de funciones trigonométricas., se analiza en detalle allí.

(1) Escribimos la solución de acuerdo con la fórmula de integración por partes.

(2) Para el producto aplicamos la fórmula de Newton-Leibniz. Para la integral restante usamos las propiedades de linealidad, dividiéndola en dos integrales. ¡No te dejes confundir por las señales!

(4) Aplicamos la fórmula de Newton-Leibniz para las dos antiderivadas encontradas.

Para ser honesto, no me gusta la fórmula. y, si es posible,... ¡prescindo de él en absoluto! Consideremos la segunda solución; desde mi punto de vista, es más racional.

Calcular integral definida

En la primera etapa encuentro la integral indefinida.:

Integramos por partes:

Se ha encontrado la función antiderivada. En este caso no tiene sentido añadir una constante.

¿Cuál es la ventaja de tal caminata? No es necesario “llevar consigo” los límites de la integración; de hecho, puede resultar agotador escribir los pequeños símbolos de los límites de la integración una docena de veces;

En la segunda etapa verifico(normalmente en borrador).

También lógico. Si encontré la función antiderivada incorrectamente, resolveré incorrectamente la integral definida. Es mejor averiguarlo inmediatamente, diferenciemos la respuesta:

Se ha obtenido la función integrando original, lo que significa que se ha encontrado correctamente la función antiderivada.

La tercera etapa es la aplicación de la fórmula de Newton-Leibniz.:

¡Y aquí hay un beneficio significativo! En "mi" método de solución existe un riesgo mucho menor de confundirse en las sustituciones y cálculos: la fórmula de Newton-Leibniz se aplica solo una vez. Si la tetera resuelve una integral similar usando la fórmula (de la primera forma), entonces definitivamente cometerá un error en alguna parte.

El algoritmo de solución considerado se puede aplicar para cualquier integral definida..

Estimado estudiante, imprima y guarde:

¿Qué hacer si te dan una integral definida que parece complicada o no queda claro de inmediato cómo resolverla?

1) Primero encontramos la integral indefinida (función antiderivada). Si en la primera etapa hubo un fastidio, no tiene sentido seguir agitando las cosas con Newton y Leibniz. Solo hay una manera: aumentar su nivel de conocimientos y habilidades para resolver Integrales indefinidas.

2) Verificamos la función antiderivada encontrada por diferenciación. Si se encuentra incorrectamente, el tercer paso será una pérdida de tiempo.

3) Usamos la fórmula de Newton-Leibniz. Realizamos todos los cálculos CON EXTREMO CUIDADO: este es el eslabón más débil de la tarea.

Y, para la merienda, una solución integral para autoservicio.

Ejemplo 9

Calcular integral definida

La solución y la respuesta están en algún lugar cercano.

La siguiente lección recomendada sobre el tema es ¿Cómo calcular el área de una figura usando una integral definida?
Integramos por partes:

¿Estás seguro de que los resolviste y obtuviste estas respuestas? ;-) Y hay porno para una anciana.

Anteriormente, dada una función determinada, guiándonos por varias fórmulas y reglas, encontramos su derivada. La derivada tiene numerosos usos: es la velocidad del movimiento (o, más generalmente, la velocidad de cualquier proceso); el coeficiente angular de la tangente a la gráfica de la función; utilizando la derivada, puedes examinar una función para determinar su monotonicidad y sus extremos; Ayuda a resolver problemas de optimización.

Pero junto con el problema de encontrar la velocidad según una ley de movimiento conocida, también existe un problema inverso: el problema de restaurar la ley del movimiento según una velocidad conocida. Consideremos uno de estos problemas.

Ejemplo 1. Un punto material se mueve en línea recta, la velocidad de su movimiento en el tiempo t viene dada por la fórmula v=gt. Encuentra la ley del movimiento.
Solución. Sea s = s(t) la ley de movimiento deseada. Se sabe que s"(t) = v(t). Esto significa que para resolver el problema es necesario seleccionar una función s = s(t), cuya derivada sea igual a gt. No es difícil adivinar que \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Respuesta: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

Observemos inmediatamente que el ejemplo se resuelve correctamente, pero de forma incompleta. Obtuvimos \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). De hecho, el problema tiene infinitas soluciones: cualquier función de la forma \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), donde C es una constante arbitraria, puede servir como ley de movimiento, ya que \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)

Para hacer el problema más específico, necesitábamos arreglar la situación inicial: indicar la coordenada de un punto en movimiento en algún momento, por ejemplo en t = 0. Si, digamos, s(0) = s 0, entonces a partir del igualdad s(t) = (gt 2)/2 + C obtenemos: s(0) = 0 + C, es decir C = s 0. Ahora la ley del movimiento está definida de forma única: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

En matemáticas, las operaciones mutuamente inversas reciben diferentes nombres, se inventan notaciones especiales, por ejemplo: elevación al cuadrado (x 2) y raíz cuadrada (\(\sqrt(x)\)), seno (sin x) y arcoseno (arcsin x) y etc. El proceso de encontrar la derivada de una función dada se llama diferenciación, y la operación inversa, es decir, el proceso de encontrar una función a partir de una derivada dada, es integración.

El propio término “derivada” puede justificarse “en términos cotidianos”: la función y = f(x) “da origen” a una nueva función y" = f"(x). La función y = f(x) actúa como si fuera una “padre”, pero los matemáticos, naturalmente, no la llaman “padre” o “productora” dicen que lo es, en relación a la función y" =; f"(x), imagen primaria o primitiva.

Definición. La función y = F(x) se llama antiderivada para la función y = f(x) en el intervalo X si la igualdad F"(x) = f(x) se cumple para \(x \in X\)

En la práctica, el intervalo X no suele especificarse, pero está implícito (como dominio natural de definición de la función).

Pongamos ejemplos.
1) La función y = x 2 es antiderivada para la función y = 2x, ya que para cualquier x la igualdad (x 2)" = 2x es verdadera
2) La función y = x 3 es antiderivada para la función y = 3x 2, ya que para cualquier x la igualdad (x 3)" = 3x 2 es cierta
3) La función y = sin(x) es antiderivada para la función y = cos(x), ya que para cualquier x la igualdad (sin(x))" = cos(x) es verdadera

Al encontrar antiderivadas, así como derivadas, no solo se utilizan fórmulas, sino también algunas reglas. Están directamente relacionados con las reglas correspondientes para el cálculo de derivados.

Sabemos que la derivada de una suma es igual a la suma de sus derivadas. Esta regla genera la regla correspondiente para encontrar antiderivadas.

Regla 1. La antiderivada de una suma es igual a la suma de las antiderivadas.

Sabemos que el factor constante se puede quitar del signo de la derivada. Esta regla genera la regla correspondiente para encontrar antiderivadas.

Regla 2. Si F(x) es una antiderivada de f(x), entonces kF(x) es una antiderivada de kf(x).

Teorema 1. Si y = F(x) es una primitiva de la función y = f(x), entonces la primitiva de la función y = f(kx + m) es la función \(y=\frac(1)(k)F (kx+m)\)

Teorema 2. Si y = F(x) es una primitiva de la función y = f(x) en el intervalo X, entonces la función y = f(x) tiene infinitas primitivas, y todas tienen la forma y = F(x) + C.

Métodos de integración

Método de reemplazo de variables (método de sustitución)

El método de integración por sustitución implica introducir una nueva variable de integración (es decir, sustitución). En este caso, la integral dada se reduce a una nueva integral, que es tabular o reducible a ella. No existen métodos generales para seleccionar sustituciones. La capacidad de determinar correctamente la sustitución se adquiere mediante la práctica.
Sea necesario calcular la integral \(\textstyle \int F(x)dx \). Hagamos la sustitución \(x= \varphi(t) \) donde \(\varphi(t) \) es una función que tiene una derivada continua.
Entonces \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) y con base en la propiedad de invariancia de la fórmula de integración para la integral indefinida, obtenemos la fórmula de integración por sustitución:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

Integración de expresiones de la forma \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)

Si m es impar, m > 0, entonces es más conveniente hacer la sustitución sen x = t.
Si n es impar, n > 0, entonces es más conveniente hacer la sustitución cos x = t.
Si n y m son pares, entonces es más conveniente realizar la sustitución tg x = t.

Integración por partes

Integración por partes - aplicando la siguiente fórmula de integración:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
o:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Tabla de integrales indefinidas (antiderivadas) de algunas funciones

Integración por partes- un método utilizado para resolver integrales definidas e indefinidas, cuando uno de los integrandos es fácilmente integrable y el otro es diferenciable. Un método bastante común para encontrar integrales, tanto indefinidas como definidas. El signo principal cuando es necesario utilizarlo es una determinada función que consta del producto de dos funciones que no se pueden integrar a quemarropa.

Fórmula

Para utilizar este método con éxito, es necesario comprender y aprender las fórmulas.

Fórmula de integración por partes en la integral indefinida:

$$ \int udv = uv - \int vdu $$

Fórmula de integración por partes en una integral definida:

$$ \int \limits_(a)^(b) udv = uv \bigg |_(a)^(b) - \int \limits_(a)^(b) vdu $$

Ejemplos de soluciones

Consideremos en la práctica ejemplos de soluciones a la integración por partes, que los profesores suelen proponer durante las pruebas. Tenga en cuenta que bajo el símbolo integral hay un producto de dos funciones. Esta es una señal de que este método es adecuado para la solución.