numero constante A llamado límite secuencias(x n ), si para cualquier número positivo arbitrariamente pequeñoε > 0 hay un numero n que tiene todos los valores xn, para lo cual n>N, satisface la desigualdad
|x norte - a|< ε. (6.1)
Escríbalo de la siguiente manera: o x n → a.
La desigualdad (6.1) equivale a la doble desigualdad
un- ε< x n < a + ε, (6.2)
lo que significa que los puntos xn, a partir de algún número n>N, se encuentran dentro del intervalo (a-ε, a+ ε ), es decir. caer en cualquier pequeñoε -barrio de un punto A.
Una secuencia que tiene un límite se llama convergente, de lo contrario - divergente.
El concepto de límite de función es una generalización del concepto de límite de secuencia, ya que el límite de una secuencia puede considerarse como el límite de una función x n = f(n) de un argumento entero norte.
Sea la función f(x) dada y sea a - punto límite dominio de definición de esta función D(f), es decir tal punto, cuya vecindad contiene puntos del conjunto D(f) distintos de a. Punto a puede pertenecer o no al conjunto D(f).
Definición 1.El número constante A se llama límite funciones f(x) en x→a, si para cualquier secuencia (x n ) de valores de argumentos que tienden a A, las secuencias correspondientes (f(x n)) tienen el mismo límite A.
Esta definición se llama definiendo el límite de una función según Heine, o " en lenguaje secuencial”.
Definición 2. El número constante A se llama límite funciones f(x) en x→a, si, especificando un número positivo arbitrariamente pequeño ε, se puede encontrar tal δ>0 (dependiendo de ε), que es para todos X, acostado enε-barrios del número A, es decir. Para X, satisfaciendo la desigualdad
0 <
x-a< ε
, los valores de la función f(x) estarán enε-vecindad del número A, es decir|f(x)-A|<
ε.
Esta definición se llama definiendo el límite de una función según Cauchy, o “en el idioma ε - δ “.
Las definiciones 1 y 2 son equivalentes. Si la función f(x) como x →un tiene límite, igual a A, esto se escribe en la forma
. (6.3)
En el caso de que la secuencia (f(x n)) aumente (o disminuya) sin límite para cualquier método de aproximación X a tu limite A, entonces diremos que la función f(x) tiene límite infinito, y escríbelo en la forma:
Una variable (es decir, una secuencia o función) cuyo límite es cero se llama infinitamente pequeño.
Una variable cuyo límite es infinito se llama infinitamente grande.
Para encontrar el límite en la práctica, se utilizan los siguientes teoremas.
Teorema 1 . Si todo límite existe
(6.4)
(6.5)
(6.6)
Comentario. Expresiones como 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - son inciertos, por ejemplo, la proporción de dos cantidades infinitamente pequeñas o infinitamente grandes, y encontrar un límite de este tipo se llama "descubrir incertidumbres".
Teorema 2. (6.7)
aquellos. se puede ir al límite basándose en la potencia con un exponente constante, en particular, 
;
(6.8)
(6.9)
Teorema 3.
(6.10)
(6.11)
Dónde mi » 2,7 - base del logaritmo natural. Las fórmulas (6.10) y (6.11) se denominan primeras limite maravilloso y el segundo límite destacable.
Las consecuencias de la fórmula (6.11) también se utilizan en la práctica:
(6.12)
(6.13)
(6.14)
en particular el límite,
si x → a y al mismo tiempo x > a, luego escribe x→a + 0. Si, en particular, a = 0, entonces en lugar del símbolo 0+0 escribe +0. De manera similar si x→a y al mismo tiempo x 
y son llamados en consecuencia límite derecho Y límite izquierdo funciones f(x) en el punto A. Para que haya un límite de la función f(x) cuando x→a es necesario y suficiente para que 
. La función f(x) se llama continuo en el punto x 0 si límite
. (6.15)
La condición (6.15) se puede reescribir como:
,
es decir, el paso al límite bajo el signo de una función es posible si ésta es continua en un punto dado.
Si se viola la igualdad (6.15), entonces decimos que en x = xo función f(x) Tiene brecha Considere la función y = 1/x. El dominio de definición de esta función es el conjunto R, excepto x = 0. El punto x = 0 es un punto límite del conjunto D(f), ya que en cualquier vecindad del mismo, es decir en cualquier intervalo abierto que contenga el punto 0, hay puntos de D(f), pero él mismo no pertenece a este conjunto. El valor f(x o)= f(0) no está definido, por lo que en el punto x o = 0 la función tiene una discontinuidad.
La función f(x) se llama continua a la derecha en el punto x o si el límite
,
Y continua a la izquierda en el punto x o, si el límite
.
Continuidad de una función en un punto. x o es equivalente a su continuidad en este punto tanto hacia la derecha como hacia la izquierda.
Para que la función sea continua en el punto x o, por ejemplo, a la derecha, es necesario, en primer lugar, que haya un límite finito y, en segundo lugar, que este límite sea igual a f(x o). Por tanto, si no se cumple al menos una de estas dos condiciones, entonces la función tendrá una discontinuidad.
1. Si el límite existe y no es igual a f(x o), entonces dicen que función f(x) en el punto xo tiene ruptura del primer tipo, o salto.
2. Si el límite es+∞ o -∞ o no existe, entonces dicen que en punto x o la función tiene una discontinuidad segundo tipo.
Por ejemplo, función y = cot x en x→ +0 tiene un límite igual a +∞, lo que significa que en el punto x=0 tiene una discontinuidad de segundo tipo. Función y = E(x) (parte entera de X) en puntos con abscisas enteras tiene discontinuidades del primer tipo, o saltos.
Una función que es continua en todo punto del intervalo se llama continuo V. Una función continua está representada por una curva sólida.
Muchos problemas asociados con el crecimiento continuo de alguna cantidad conducen al segundo límite notable. Tales tareas, por ejemplo, incluyen: crecimiento de depósitos según la ley del interés compuesto, crecimiento de la población del país, desintegración de sustancias radiactivas, proliferación de bacterias, etc.
Consideremos ejemplo de Ya. I. Perelman, dando una interpretación del número mi en el problema de interés compuesto. Número mi hay un limite 
. En las cajas de ahorros, el dinero de los intereses se añade anualmente al capital fijo. Si la adhesión se realiza con más frecuencia, el capital crece más rápido, ya que en la formación de intereses interviene una cantidad mayor. Tomemos un ejemplo puramente teórico y muy simplificado. Depositemos 100 denarios en el banco. unidades basado en el 100% anual. Si el dinero de los intereses se añade al capital fijo sólo después de un año, entonces en este período 100 den. unidades se convertirá en 200 unidades monetarias. Ahora veamos en qué se convertirán 100 denize. unidades, si el dinero de los intereses se añade al capital fijo cada seis meses. Después de seis meses, 100 den. unidades crecerá a 100×
1,5 = 150, y después de otros seis meses - 150×
1,5 = 225 (unidades poblacionales). Si la adhesión se realiza cada 1/3 del año, luego de un año 100 den. unidades se convertirá en 100× (1 +1/3) 3 " 237 (unidades poblacionales). Aumentaremos los plazos para agregar dinero de intereses a 0,1 año, a 0,01 año, a 0,001 año, etc. Luego de 100 den. unidades después de un año será:
100 × (1 +1/10) 10 » 259 (unidades pobladas),
100 × (1+1/100) 100 » 270 (unidades pobladas),
100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (unidades poblacionales).
Con una reducción ilimitada en los plazos para agregar intereses, el capital acumulado no crece indefinidamente, sino que se acerca a un cierto límite igual a aproximadamente 271. El capital depositado al 100% anual no puede aumentar más de 2,71 veces, incluso si los intereses acumulados se agregaron al capital cada segundo porque el límite
Ejemplo 3.1.Utilizando la definición del límite de una secuencia numérica, demuestre que la secuencia x n =(n-1)/n tiene un límite igual a 1.
Solución.Necesitamos demostrar que, pase lo que paseε > 0, no importa lo que tomemos, para él existe un número natural N tal que para todo n N la desigualdad se cumple|x norte -1|< ε.
Tomemos cualquier e > 0. Desde ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, entonces para encontrar N basta con resolver la desigualdad 1/n< mi. Por lo tanto n>1/e y, por tanto, N puede tomarse como parte entera de 1/ mi , norte = mi(1/ mi ). De este modo hemos demostrado que el límite .
Ejemplo 3.2
. Encuentra el límite de una secuencia dada por un término común. 
.
Solución.Apliquemos el límite del teorema de la suma y encontremos el límite de cada término. cuando norte→ ∞ el numerador y denominador de cada término tienden al infinito y no podemos aplicar directamente el teorema del límite del cociente. Por lo tanto, primero transformamos xn, dividiendo el numerador y denominador del primer término por norte 2, y el segundo en norte. Luego, aplicando el límite del cociente y el límite del teorema de la suma, encontramos:
.
Ejemplo 3.3. 
. Encontrar .
Solución. 
.
Aquí utilizamos el teorema del límite de grados: el límite de un grado es igual al grado del límite de la base.
Ejemplo 3.4
. Encontrar ( 
).
Solución.Es imposible aplicar el teorema del límite de diferencias, ya que tenemos una incertidumbre de la forma ∞-∞ . Transformemos la fórmula del término general:
.
Ejemplo 3.5 . Se da la función f(x)=2 1/x. Demuestra que no hay límite.
Solución.Usemos la definición 1 del límite de una función a través de una secuencia. Tomemos una secuencia ( x n ) que converge a 0, es decir Demostremos que el valor f(x n)= se comporta de manera diferente para diferentes secuencias. Sea xn = 1/n. Obviamente, entonces el límite 
Elijamos ahora como xn una secuencia con un término común x n = -1/n, que también tiende a cero. 
Por lo tanto no hay límite.
Ejemplo 3.6 . Demuestra que no hay límite.
Solución.Sea x 1 , x 2 ,..., x n ,... una secuencia para la cual
. ¿Cómo se comporta la secuencia (f(x n)) = (sen x n) para diferentes x n → ∞
Si x n = p n, entonces sen x n = sen p n = 0 para todos norte y el límite si
xn=2 p n+ p /2, entonces sen x n = sin(2 p n+ p /2) = sen p /2 = 1 para todos norte y por tanto el límite. Entonces no existe.
Widget para calcular límites online
En la ventana superior, en lugar de sin(x)/x, ingrese la función cuyo límite desea encontrar. En la ventana inferior, ingrese el número al que tiende x y haga clic en el botón Calcular, obtenga el límite deseado. Y si en la ventana de resultados haces clic en Mostrar pasos en la esquina superior derecha, obtendrás una solución detallada.
Reglas para ingresar funciones: sqrt(x) - raíz cuadrada, cbrt(x) - raíz cúbica, exp(x) - exponente, ln(x) - logaritmo natural, sin(x) - seno, cos(x) - coseno, tan (x) - tangente, cot(x) - cotangente, arcsin(x) - arcoseno, arccos(x) - arcocoseno, arctan(x) - arcotangente. Signos: * multiplicación, / división, ^ exponenciación, en lugar infinidad Infinidad. Ejemplo: la función se ingresa como sqrt(tan(x/2)).
La teoría de los límites es una de las ramas del análisis matemático. La cuestión de la resolución de límites es bastante extensa, ya que existen decenas de métodos para resolver límites de varios tipos. Hay decenas de matices y trucos que te permitirán solucionar tal o cual límite. Sin embargo, intentaremos comprender los principales tipos de límites que se encuentran con mayor frecuencia en la práctica.
Comencemos con el concepto mismo de límite. Pero primero, un breve contexto histórico. En el siglo XIX vivió un francés, Augustin Louis Cauchy, que dio definiciones estrictas a muchos de los conceptos de matan y sentó sus bases. Hay que decir que este respetado matemático estuvo, está y estará en la pesadilla de todos los estudiantes de los departamentos de física y matemáticas, ya que demostró una gran cantidad de teoremas de análisis matemático, y un teorema es más letal que el otro. En este sentido, no consideraremos todavía determinación del límite de Cauchy, pero intentemos hacer dos cosas:
1. Entender qué es un límite.
2. Aprender a resolver los principales tipos de límites.
Pido disculpas por algunas explicaciones poco científicas, es importante que el material sea comprensible incluso para una tetera, que, de hecho, es tarea del proyecto.
Entonces ¿cuál es el límite?
Y solo un ejemplo de por qué a la abuela peluda....
Cualquier límite consta de tres partes.:
1) El conocido icono de límite.
2) Entradas bajo el ícono de límite, en este caso . La entrada dice "X tiende a uno". La mayoría de las veces, exactamente, aunque en lugar de "X" en la práctica hay otras variables. En tareas prácticas, el lugar de uno puede ser absolutamente cualquier número, así como el infinito ().
3) Funciones bajo el signo de límite, en este caso .
La grabación en sí. 
dice así: "el límite de una función cuando x tiende a la unidad".
Veamos la siguiente pregunta importante: ¿qué significa la expresión "x"? se esfuerza a uno"? ¿Y qué significa “esforzarse”?
El concepto de límite es un concepto, por así decirlo, dinámica. Construyamos una secuencia: primero, luego,,…, 
, ….
Es decir, la expresión “x se esfuerza a uno” debe entenderse de la siguiente manera: “x” toma consistentemente los valores que se acercan infinitamente a la unidad y prácticamente coinciden con ella.
¿Cómo resolver el ejemplo anterior? Con base en lo anterior, solo necesitas sustituir uno en la función debajo del signo de límite:
Entonces, la primera regla: Cuando se nos da un límite, primero simplemente intentamos introducir el número en la función.
Hemos considerado el límite más simple, pero esto también ocurre en la práctica, ¡y no tan raramente!
Ejemplo con infinito:
¿Averigüemos qué es? Este es el caso cuando aumenta sin límite, es decir: primero, luego, luego, luego, y así hasta el infinito.
¿Qué sucede con la función en este momento?
, , 
, …
Entonces: si , entonces la función tiende a menos infinito:
En términos generales, según nuestra primera regla, en lugar de "X" sustituimos infinito en la función y obtenemos la respuesta.
Otro ejemplo con infinito:
Nuevamente comenzamos a aumentar hasta el infinito y observamos el comportamiento de la función: 
Conclusión: cuando la función aumenta sin límite:
Y otra serie de ejemplos:
Intente analizar mentalmente lo siguiente por sí mismo y recuerde los tipos de límites más simples:
, , , , 
, , , , 
,
Si tienes dudas, puedes coger una calculadora y practicar un poco.
En ese caso, intenta construir la secuencia , , . Si , entonces , , .
! Nota: Estrictamente hablando, este enfoque para construir secuencias de varios números es incorrecto, pero para comprender los ejemplos más simples es bastante adecuado.
También preste atención a lo siguiente. Incluso si se da un límite con un número grande en la parte superior, o incluso con un millón: , entonces es lo mismo 
, ya que tarde o temprano “X” empezará a adquirir valores tan gigantescos que un millón en comparación será un microbio real.
¿Qué necesitas recordar y entender de lo anterior?
1) Cuando se nos da algún límite, primero simplemente intentamos sustituir el número en la función.
2) Debes comprender y resolver inmediatamente los límites más simples, como 
, , etc.
Además, el límite tiene un muy buen significado geométrico. Para una mejor comprensión del tema, te recomiendo leer el material didáctico. Gráficas y propiedades de funciones elementales.. Después de leer este artículo, no solo comprenderá finalmente qué es un límite, sino que también se familiarizará con casos interesantes en los que el límite de una función en general no existe!
En la práctica, lamentablemente, los regalos son pocos. Y por tanto pasamos a considerar límites más complejos. Por cierto, sobre este tema hay curso intensivo en formato pdf, lo cual es especialmente útil si tienes MUY poco tiempo para prepararlo. Pero los materiales del sitio, por supuesto, no son peores:
Ahora consideraremos el grupo de límites cuando , y la función es una fracción cuyo numerador y denominador contienen polinomios
Ejemplo:
Calcular límite 
Según nuestra regla, intentaremos sustituir el infinito en la función. ¿Qué obtenemos en la cima? Infinidad. ¿Y qué pasa a continuación? También el infinito. Así, tenemos lo que se llama incertidumbre de especie. Se podría pensar que , y la respuesta está lista, pero en el caso general no es así en absoluto, y es necesario aplicar alguna técnica de solución, que consideraremos ahora.
¿Cómo resolver límites de este tipo?
Primero miramos el numerador y encontramos la potencia más alta: 
La potencia principal en el numerador es dos.
Ahora miramos el denominador y también lo encontramos elevado a la potencia más alta: 
El grado más alto del denominador es dos.
Luego elegimos la potencia más alta del numerador y denominador: en este ejemplo, son iguales e iguales a dos.
Entonces, el método de solución es el siguiente: para revelar la incertidumbre, es necesario dividir el numerador y el denominador entre la potencia más alta.
Aquí está la respuesta, y no el infinito en absoluto.
¿Qué es fundamentalmente importante en el diseño de una decisión?
Primero, indicamos la incertidumbre, si la hay.
En segundo lugar, es aconsejable interrumpir la solución para dar explicaciones intermedias. Normalmente uso el signo, no tiene ningún significado matemático, pero significa que la solución se interrumpe para una explicación intermedia.
En tercer lugar, en el límite conviene marcar qué va hacia dónde. Cuando el trabajo está elaborado a mano, es más conveniente hacerlo de esta forma: 
Es mejor utilizar un simple lápiz para las notas.
Por supuesto, no es necesario hacer nada de esto, pero entonces, tal vez, el profesor señalará las deficiencias en la solución o comenzará a hacer preguntas adicionales sobre la tarea. ¿Lo necesitas?
Ejemplo 2
Encuentra el límite 
Nuevamente en el numerador y denominador encontramos en mayor grado: 
Grado máximo en numerador: 3
Grado máximo en denominador: 4
Elegir mayor valor, en este caso cuatro.
Según nuestro algoritmo, para revelar la incertidumbre, dividimos el numerador y el denominador entre .
La tarea completa podría verse así:
Dividir el numerador y denominador por
Ejemplo 3
Encuentra el límite 
Grado máximo de “X” en el numerador: 2
Grado máximo de “X” en el denominador: 1 (se puede escribir como)
Para revelar la incertidumbre, es necesario dividir el numerador y el denominador entre . La solución final podría verse así:
Dividir el numerador y denominador por
La notación no significa división por cero (no se puede dividir por cero), sino división por un número infinitesimal.
Por lo tanto, al descubrir la incertidumbre sobre las especies, podremos ser capaces de numero final, cero o infinito.
Límites con incertidumbre de tipo y método para resolverlos.
El siguiente grupo de límites es algo similar a los límites que acabamos de considerar: el numerador y el denominador contienen polinomios, pero “x” ya no tiende al infinito, sino a Número finito.
Ejemplo 4
Límite de resolución 
Primero, intentemos sustituir -1 en la fracción: 
En este caso se obtiene la llamada incertidumbre.
Regla general: si el numerador y el denominador contienen polinomios y hay incertidumbre en la forma, entonces revelarlo necesitas factorizar el numerador y el denominador.
Para hacer esto, la mayoría de las veces necesitas resolver una ecuación cuadrática y/o usar fórmulas de multiplicación abreviadas. Si estas cosas se han olvidado, entonces visita la página. Fórmulas y tablas matemáticas. y leer el material didáctico Fórmulas calientes para el curso de matemáticas escolares.. Por cierto, es mejor imprimirlo; es necesario con mucha frecuencia y la información se absorbe mejor en papel.
Entonces, resolvamos nuestro límite. 
Factorizar el numerador y el denominador
Para factorizar el numerador es necesario resolver la ecuación cuadrática: 
Primero encontramos el discriminante:
Y la raíz cuadrada del mismo: .
Si el discriminante es grande, por ejemplo 361, utilizamos una calculadora; la función de extraer la raíz cuadrada está en la calculadora más sencilla.
! Si la raíz no se extrae en su totalidad (se obtiene un número fraccionario con coma), es muy probable que el discriminante se haya calculado incorrectamente o haya habido un error tipográfico en la tarea.
A continuación encontramos las raíces: 
De este modo:
Todo. El numerador está factorizado.
Denominador. El denominador ya es el factor más simple y no hay forma de simplificarlo.
Obviamente, se puede abreviar a:
Ahora sustituimos -1 en la expresión que queda debajo del signo de límite:
Naturalmente, en una prueba, prueba o examen, la solución nunca se describe con tanto detalle. En la versión final, el diseño debería verse así:
Factoricemos el numerador. 
Ejemplo 5
Calcular límite 
Primero, la versión "final" de la solución.
Factoricemos el numerador y el denominador.
Numerador:
Denominador: 
, 
¿Qué es importante en este ejemplo?
En primer lugar, debes tener una buena comprensión de cómo se revela el numerador, primero quitamos 2 entre paréntesis y luego usamos la fórmula para la diferencia de cuadrados. Esta es la fórmula que necesitas conocer y ver.
Recomendación: Si en un límite (de casi cualquier tipo) es posible sacar un número entre paréntesis, entonces siempre lo hacemos.
Además, es aconsejable mover dichos números más allá del icono de límite.. ¿Para qué? Sí, sólo para que no estorben. Lo principal es no perder estos números más adelante durante la solución.
Tenga en cuenta que en la etapa final de la solución, saqué dos del ícono de límite y luego el menos.
! Importante
Durante la solución, el fragmento tipo ocurre con mucha frecuencia. Reducir esta fracciónesta prohibido
. Primero necesitas cambiar el signo del numerador o denominador (coloca -1 entre paréntesis).
, es decir, aparece un signo menos, que se tiene en cuenta a la hora de calcular el límite y no es necesario perderlo en absoluto.
En general, noté que la mayoría de las veces para encontrar límites de este tipo es necesario resolver dos ecuaciones cuadráticas, es decir, tanto el numerador como el denominador contienen trinomios cuadráticos.
Método de multiplicar el numerador y el denominador por la expresión conjugada.
Seguimos considerando la incertidumbre de la forma.
El siguiente tipo de límites es similar al tipo anterior. Lo único, además de los polinomios, sumaremos raíces.
Ejemplo 6
Encuentra el límite 
Empecemos a decidir.
Primero intentamos sustituir 3 en la expresión bajo el signo de límite.
Repito una vez más: esto es lo primero que debes hacer para CUALQUIER límite.. Esta acción suele realizarse mentalmente o en forma de borrador.
Se ha obtenido una incertidumbre de la forma que es necesario eliminar. 
Como probablemente hayas notado, nuestro numerador contiene la diferencia de las raíces. Y en matemáticas se acostumbra deshacerse de las raíces, si es posible. ¿Para qué? Y la vida es más fácil sin ellos.
La incertidumbre de tipo y especie son las incertidumbres más comunes que deben revelarse al resolver límites.
La mayoría de los problemas de límites que encuentran los estudiantes contienen precisamente ese tipo de incertidumbres. Para revelarlos o, más precisamente, para evitar incertidumbres, existen varias técnicas artificiales para transformar el tipo de expresión bajo el signo de límite. Estas técnicas son las siguientes: división término por término del numerador y denominador por la potencia más alta de la variable, multiplicación por la expresión conjugada y factorización para su posterior reducción utilizando soluciones a ecuaciones cuadráticas y fórmulas de multiplicación abreviadas.
Incertidumbre de especies
Ejemplo 1.
norte es igual a 2. Por lo tanto, dividimos el numerador y el denominador término a término por:
.
Comente en el lado derecho de la expresión. Las flechas y los números indican a qué tienden las fracciones después de la sustitución. norte es decir infinito. Aquí, como en el ejemplo 2, el grado norte Hay más en el denominador que en el numerador, como resultado de lo cual la fracción entera tiende a ser infinitesimal o “superpequeña”.
Obtenemos la respuesta: el límite de esta función con una variable que tiende al infinito es igual a .
Ejemplo 2. .
Solución. Aquí la potencia más alta de la variable. X es igual a 1. Por lo tanto, dividimos el numerador y el denominador término por término por X:
Comentario sobre el avance de la decisión. En el numerador colocamos “x” debajo de la raíz del tercer grado, y para que su grado original (1) permanezca sin cambios, le asignamos el mismo grado que la raíz, es decir, 3. No hay flechas ni números adicionales. en esta entrada, inténtalo mentalmente, pero por analogía con el ejemplo anterior, determina a qué tienden las expresiones en el numerador y denominador después de sustituir infinito en lugar de “x”.
Recibimos la respuesta: el límite de esta función con una variable que tiende al infinito es igual a cero.
Incertidumbre de especies
Ejemplo 3. Descubre la incertidumbre y encuentra el límite.
Solución. El numerador es la diferencia de cubos. Factoricémoslo usando la fórmula de multiplicación abreviada del curso de matemáticas de la escuela:
El denominador contiene un trinomio cuadrático, que factorizaremos resolviendo una ecuación cuadrática (una vez más un enlace para resolver ecuaciones cuadráticas):
Anotamos la expresión obtenida como resultado de las transformaciones y encontramos el límite de la función:
Ejemplo 4. Libera la incertidumbre y encuentra el límite
Solución. El teorema del límite del cociente no se aplica aquí, ya que
Por lo tanto, transformamos la fracción de manera idéntica: multiplicando el numerador y el denominador por el binomio conjugado al denominador, y reduciendo por X+1. Según el corolario del Teorema 1, obtenemos una expresión, resolviendo la cual encontramos el límite deseado:
Ejemplo 5. Libera la incertidumbre y encuentra el límite
Solución. Sustitución de valor directo X= 0 en una función dada conduce a una incertidumbre de la forma 0/0. Para revelarlo, realizamos transformaciones idénticas y finalmente obtenemos el límite deseado: 
Ejemplo 6. Calcular 
Solución: Usemos los teoremas sobre límites.
Respuesta: 11
Ejemplo 7. Calcular 
Solución: en este ejemplo los límites del numerador y denominador en son iguales a 0:
; 
. Hemos recibido, por tanto, que el teorema del límite del cociente no se puede aplicar.
Factoricemos el numerador y el denominador para reducir la fracción por un factor común que tiende a cero y, por tanto, permitir aplicar el Teorema 3.
Expandamos el trinomio cuadrado en el numerador usando la fórmula , donde x 1 y x 2 son las raíces del trinomio. Habiendo factorizado y denominador, reduce la fracción por (x-2), luego aplica el Teorema 3.
Respuesta:
Ejemplo 8. Calcular
Solución: Cuando el numerador y denominador tienden al infinito, por lo tanto, al aplicar directamente el Teorema 3, obtenemos la expresión , que representa la incertidumbre. Para deshacerse de la incertidumbre de este tipo, debes dividir el numerador y el denominador entre la potencia más alta del argumento. En este ejemplo, necesitas dividir por X:
Respuesta:
Ejemplo 9. Calcular 
Solución: x3:
Respuesta: 2
Ejemplo 10. Calcular 
Solución: Cuando el numerador y el denominador tienden al infinito. Dividamos el numerador y el denominador por la potencia más alta del argumento, es decir x5:
= 
El numerador de la fracción tiende a 1, el denominador tiende a 0, por lo que la fracción tiende a infinito.
Respuesta:
Ejemplo 11. Calcular
Solución: Cuando el numerador y el denominador tienden al infinito. Dividamos el numerador y el denominador por la potencia más alta del argumento, es decir x7:
Respuesta: 0
Derivado.
Derivada de la función y = f(x) con respecto al argumento x se llama límite de la relación entre su incremento y y el incremento x del argumento x, cuando el incremento del argumento tiende a cero: . Si este límite es finito, entonces la función y = f(x) se dice que es diferenciable en el punto x. Si este límite existe, entonces se dice que la función y = f(x) tiene una derivada infinita en el punto x.
Derivadas de funciones elementales básicas:
1. (constante)=0 9.
3. 11. 
4. 
12. 
5. 13. 
6. 
14. 
Reglas de diferenciación:
a) 
V) 
Ejemplo 1. Encuentra la derivada de una función. 
Solución: Si la derivada del segundo término se encuentra utilizando la regla de diferenciación de fracciones, entonces el primer término es una función compleja, cuya derivada se encuentra mediante la fórmula:
Donde entonces
Al resolver se utilizaron las siguientes fórmulas: 1,2,10,a,c,d.
Respuesta:
Ejemplo 21. Encuentra la derivada de una función. 
Solución: ambos términos son funciones complejas, donde para el primero, y para el segundo, entonces
Respuesta: 
Aplicaciones derivadas.
1. Velocidad y aceleración
Deje que la función s(t) describa posición objeto en algún sistema de coordenadas en el tiempo t. Entonces la primera derivada de la función s(t) es instantánea velocidad objeto:
v=s′=f′(t)
La segunda derivada de la función s(t) representa la instantánea aceleración objeto:
w=v′=s′′=f′′(t)
2. Ecuación tangente
y−y0=f′(x0)(x−x0),
donde (x0,y0) son las coordenadas del punto tangente, f′(x0) es el valor de la derivada de la función f(x) en el punto tangente.
3. ecuación normal
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),
donde (x0,y0) son las coordenadas del punto en el que se traza la normal, f′(x0) es el valor de la derivada de la función f(x) en este punto.
4. Funciones crecientes y decrecientes.
Si f′(x0)>0, entonces la función aumenta en el punto x0. En la siguiente figura, la función aumenta cuando x
Si f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1
5. Extremos locales de una función
La función f(x) tiene máximo local en el punto x1, si hay una vecindad del punto x1 tal que para todo x de esta vecindad se cumple la desigualdad f(x1)≥f(x).
De manera similar, la función f(x) tiene mínimo local en el punto x2, si hay una vecindad del punto x2 tal que para todo x de esta vecindad se cumple la desigualdad f(x2)≤f(x).
6. Puntos críticos
El punto x0 es punto crítico función f(x), si la derivada f′(x0) en ella es igual a cero o no existe.
7. El primer signo suficiente de la existencia de un extremo.
Si la función f(x) aumenta (f′(x)>0) para todo x en algún intervalo (a,x1] y disminuye (f′(x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) para todo x del intervalo )
