Razones de la aparición de raíces extrañas al resolver ecuaciones. Lección “Equivalencia de ecuaciones Comprobación de raíces

Puede provocar la aparición de las llamadas raíces extrañas. En este artículo analizaremos en primer lugar en detalle qué es raíces extrañas. En segundo lugar, hablemos de las razones de su aparición. Y en tercer lugar, utilizando ejemplos, consideraremos los métodos principales para filtrar raíces extrañas, es decir, verificar la presencia de raíces extrañas entre ellas para excluirlas de la respuesta.

Raíces extrañas de la ecuación, definición, ejemplos.

Los libros de texto de álgebra escolar no proporcionan una definición de raíz extraña. Allí, la idea de una raíz extraña se forma describiendo la siguiente situación: con la ayuda de algunas transformaciones de la ecuación, se hace una transición de la ecuación original a la ecuación corolaria, se encuentran las raíces de la ecuación corolaria resultante , y las raíces encontradas se verifican sustituyendo en la ecuación original, lo que muestra que algunas de las raíces encontradas no son raíces de la ecuación original; estas raíces se llaman raíces extrañas de la ecuación original.

A partir de esta base, puede aceptar usted mismo la siguiente definición de raíz extraña:

Definición

Raíces extranjeras son las raíces de la ecuación corolaria obtenida como resultado de transformaciones, que no son las raíces de la ecuación original.

Pongamos un ejemplo. Consideremos la ecuación y la consecuencia de esta ecuación x·(x−1)=0, obtenida reemplazando la expresión con la expresión idénticamente igual x·(x−1) . La ecuación original tiene una única raíz 1. La ecuación obtenida como resultado de la transformación tiene dos raíces 0 y 1. Esto significa que 0 es una raíz extraña para la ecuación original.

Razones de la posible aparición de raíces extranjeras.

Si para obtener la ecuación corolaria no se utiliza ninguna transformación "exótica", sino sólo transformaciones básicas de ecuaciones, entonces pueden surgir raíces extrañas sólo por dos razones:

• debido a la expansión de ODZ y
• debido a que ambos lados de la ecuación se elevan a la misma potencia par.

Vale la pena recordar aquí que la expansión de la ODZ como resultado de la transformación de la ecuación ocurre principalmente

• Al reducir fracciones;
• Al reemplazar un producto con uno o más factores cero por cero;
• Al reemplazar una fracción con cero el numerador es cero;
• Cuando se utilizan algunas propiedades de potencias, raíces, logaritmos;
• Cuando se utilizan algunas fórmulas trigonométricas;
• Cuando ambos lados de una ecuación se multiplican por la misma expresión, ésta desaparece en la ODZ de esa ecuación;
• Al liberarse de los signos logarítmicos en el proceso de solución.

El ejemplo del párrafo anterior del artículo ilustra la aparición de una raíz extraña debido a la expansión de la ODZ, que ocurre al pasar de la ecuación a la ecuación corolaria x·(x−1)=0. La ODZ de la ecuación original es el conjunto de todos los números reales, a excepción del cero, la ODZ de la ecuación resultante es el conjunto R, es decir, la ODZ se expande en el número cero. En última instancia, este número resulta ser una raíz extraña.

También daremos un ejemplo de la aparición de una raíz extraña debido a que ambos lados de la ecuación se elevan a la misma potencia par. La ecuación irracional tiene una única raíz 4, y la consecuencia de esta ecuación, obtenida de ella elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación, es decir, la ecuación , tiene dos raíces 1 y 4. De esto queda claro que elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación condujo a la aparición de una raíz extraña para la ecuación original.

Tenga en cuenta que expandir la ODZ y elevar ambos lados de la ecuación a la misma potencia par no siempre conduce a la aparición de raíces extrañas. Por ejemplo, al pasar de la ecuación a la ecuación corolaria x=2, la ODZ se expande del conjunto de todos los números no negativos al conjunto de todos los números reales, pero no aparecen raíces extrañas. 2 es la única raíz de la primera y la segunda ecuación. Además, no aparecen raíces extrañas al pasar de una ecuación a una ecuación corolaria. La única raíz de la primera y la segunda ecuación es x=16. Por eso no estamos hablando de los motivos de la aparición de raíces extrañas, sino de los motivos de la posible aparición de raíces extrañas.

¿Qué es lo que elimina las raíces extrañas?

El término "tamizar raíces extrañas" sólo puede llamarse establecido; no se encuentra en todos los libros de texto de álgebra, pero es intuitivo, por lo que se suele utilizar. Lo que se entiende por tamizar raíces extrañas queda claro en la siguiente frase: "... la verificación es un paso obligatorio para resolver una ecuación, que ayudará a detectar raíces extrañas, si las hay, y descartarlas (generalmente dicen "eliminar raíces extrañas"). ”).”

De este modo,

Definición

Detección de raíces extrañas- Esta es la detección y descarte de raíces extrañas.

Ahora puede pasar a los métodos para detectar raíces extrañas.

Métodos para detectar raíces extrañas.

cheque de sustitución

La principal forma de filtrar raíces extrañas es una prueba de sustitución. Le permite eliminar raíces extrañas que podrían surgir tanto debido a la expansión de la ODZ como al elevar ambos lados de la ecuación a la misma potencia uniforme.

La prueba de sustitución es la siguiente: las raíces encontradas de la ecuación corolaria se sustituyen a su vez en la ecuación original o en cualquier ecuación equivalente a ella, las que dan la igualdad numérica correcta son las raíces de la ecuación original, y las que dan la La igualdad numérica o expresión incorrecta son raíces de la ecuación original que no tienen sentido, son raíces extrañas para la ecuación original.

Demostremos con un ejemplo cómo filtrar raíces extrañas mediante sustitución en la ecuación original.

En algunos casos, es más conveniente filtrar las raíces extrañas utilizando otros métodos. Esto se aplica principalmente a aquellos casos en los que la verificación por sustitución está asociada con importantes dificultades computacionales o cuando el método estándar para resolver ecuaciones de un determinado tipo requiere otra verificación (por ejemplo, la detección de raíces extrañas al resolver ecuaciones racionales fraccionarias se lleva a cabo de acuerdo con el condición de que el denominador de la fracción no sea igual a cero). Veamos formas alternativas de eliminar raíces extrañas.

Según DL

A diferencia de las pruebas por sustitución, filtrar raíces extrañas utilizando ODZ no siempre es apropiado. El hecho es que este método permite filtrar solo las raíces extrañas que surgen debido a la expansión de la ODZ, y no garantiza la eliminación de raíces extrañas que podrían surgir por otras razones, por ejemplo, debido a la elevación de ambos lados. de la ecuación a la misma potencia par. Además, no siempre es fácil encontrar la DO de la ecuación que se está resolviendo. Sin embargo, vale la pena mantener en servicio el método de tamizar raíces extrañas utilizando ODZ, ya que su uso a menudo requiere menos trabajo computacional que el uso de otros métodos.

La eliminación de raíces extrañas según ODZ se lleva a cabo de la siguiente manera: se verifican todas las raíces encontradas de la ecuación corolaria para ver si pertenecen al rango de valores permitidos de la variable para la ecuación original o cualquier ecuación equivalente a ella, las que pertenecen a la ODZ son raíces de la ecuación original, las que pertenecen a la ODZ son raíces de la ecuación original, y las que no pertenecen a la ODZ son raíces extrañas a la ecuación original.

El análisis de la información proporcionada lleva a la conclusión de que es aconsejable tamizar las raíces extrañas con ODZ si al mismo tiempo:

• es fácil encontrar la ODZ para la ecuación original,
• raíces extrañas solo podrían surgir debido a la expansión de la ODZ,
• Las pruebas de sustitución están asociadas con importantes dificultades computacionales.

Mostraremos cómo se realiza en la práctica la eliminación de raíces extrañas.

Según los términos del DL

Como dijimos en el párrafo anterior, si pudieran surgir raíces extrañas solo debido a la expansión de la ODZ, entonces se pueden eliminar usando la ODZ para la ecuación original. Pero no siempre es fácil encontrar ODZ en forma de conjunto numérico. En tales casos, es posible descartar raíces extrañas no según la ODZ, sino según las condiciones que determinan la ODZ. Expliquemos cómo se eliminan las raíces extrañas en las condiciones de ODZ.

Las raíces encontradas a su vez se sustituyen en las condiciones que determinan la ODZ para la ecuación original o cualquier ecuación equivalente a ella. Las que cumplen todas las condiciones son las raíces de la ecuación. Y aquellas que no cumplen al menos una condición o dan una expresión que no tiene sentido son raíces extrañas a la ecuación original.

Pongamos un ejemplo de cómo eliminar raíces extrañas según las condiciones de ODZ.

Eliminar raíces extrañas que surgen al elevar ambos lados de la ecuación a una potencia par

Está claro que se pueden eliminar las raíces extrañas que surgen al elevar ambos lados de la ecuación a la misma potencia par sustituyéndolas en la ecuación original o en cualquier ecuación equivalente a ella. Pero tal verificación puede implicar importantes dificultades computacionales. En este caso, vale la pena conocer un método alternativo para tamizar raíces extrañas, del que hablaremos ahora.

Descartar raíces extrañas que pueden surgir al elevar ambos lados de ecuaciones irracionales de la forma a la misma potencia par , donde n es un número par, se puede realizar de acuerdo con la condición g(x)≥0. Esto se desprende de la definición de raíz de grado par: una raíz de grado par n es un número no negativo, cuya enésima potencia es igual al número radical, de donde . Por tanto, el enfoque expresado es una especie de simbiosis del método de elevar ambos lados de la ecuación a la misma potencia y el método de resolver ecuaciones irracionales determinando la raíz. Es decir, la ecuación , donde n es un número par, se resuelve elevando ambos lados de la ecuación a la misma potencia par, y la eliminación de raíces extrañas se realiza de acuerdo con la condición g(x)≥0, tomada del método de resolución de ecuaciones irracionales por determinando la raíz.

Métodos básicos para resolver ecuaciones.

¿Cuál es la solución de una ecuación?

Transformación idéntica. Básico

tipos de transformaciones de identidad.

Raíz extranjera. Pérdida de raíces.

Resolviendo la ecuación es un proceso que consiste principalmente en reemplazar una ecuación dada por otra ecuación que sea equivalente a ella . Este reemplazo se llamatransformación idéntica . Las principales transformaciones de identidad son las siguientes:

1.

Reemplazar una expresión por otra que sea idénticamente igual a ella. Por ejemplo, la ecuación (3 x+ 2 ) 2 = 15 x+ 10 podrá sustituirse por el siguiente equivalente:9 X 2 + 12 x+ 4 = 15 x+ 10 .

2.

Transferir términos de una ecuación de un lado al otro con signos inversos. Así, en la ecuación anterior podemos trasladar todos sus términos del lado derecho al izquierdo con el signo “-”: 9 X 2 + 12 x+ 4 – 15 X - 10 = 0, después de lo cual obtenemos:9 X 2 – 3 X - 6 = 0 .

3.

Multiplicar o dividir ambos lados de una ecuación por la misma expresión (número) distinta de cero. Esto es muy importante porquela nueva ecuación puede no ser equivalente a la anterior si la expresión por la que estamos multiplicando o dividiendo puede ser igual a cero.

EJEMPLO La ecuacionX - 1 = 0 tiene una sola raízx = 1.

Multiplicando ambos lados porX - 3 , obtenemos la ecuación

( X - 1)( X - 3) = 0, que tiene dos raíces:x = 1 yX = 3.

El último valor no es la raíz de la ecuación dada.

X - 1 = 0. Este es el llamadoraíz extraña .

Por el contrario, la división puede conducir apérdida de raíz . Entonces

en nuestro caso, si (X - 1 )( X - 3 ) = 0 es el original

ecuación, entonces la raízx = 3 se perderán en la división

ambos lados de la ecuación enX - 3 .

En la última ecuación (elemento 2), podemos dividir todos sus términos por 3 (¡no por cero!) y finalmente obtener:

3 X 2 - X - 2 = 0 .

Esta ecuación es equivalente a la original:

(3 x+ 2) 2 = 15 x+ 10 .

4.

Podereleva ambos lados de la ecuación a una potencia impar oextraer la raíz impar de ambos lados de la ecuación . Es necesario recordar que:

a) construcción engrado par puede causara la adquisición de raíces extranjeras ;

b)equivocado extracciónincluso raíz puede llevar aperdida de raices .

EJEMPLOS. Ecuación 7X = 35 tiene una sola raízX = 5 .

Al elevar al cuadrado ambos lados de esta ecuación, obtenemos

la ecuacion:

49 X 2 = 1225 .

teniendo dos raíces:X = 5 YX = – 5. Último valor

es una raíz extraña.

Incorrecto sacando la raíz cuadrada de ambos

partes de la ecuación 49X 2 = 1225 resulta en 7X = 35,

y estamos perdiendo nuestras raícesX = – 5.

Correcto sacando la raíz cuadrada se obtiene

ecuación: | 7X | = 35, A de ahí a dos casos:

1) 7 X = 35, EntoncesX = 5 ; 2) – 7 X = 35, EntoncesX = – 5 .

Por lo tanto, cuandocorrecto extrayendo cuadrado

raíces no perdemos las raíces de la ecuación.

Que significaBien extraer la raíz? Aquí es donde nos encontramos

con un concepto muy importanteraíz aritmética

(cm. ).

El tema de las ecuaciones trigonométricas comienza con una conferencia escolar, que se estructura en forma de conversación heurística. La conferencia analiza material teórico y ejemplos de resolución de todos los problemas típicos según el plan:

• Las ecuaciones trigonométricas más simples.
• Métodos básicos para la resolución de ecuaciones trigonométricas.
• Ecuaciones homogéneas.

En las siguientes lecciones se inicia el desarrollo autónomo de habilidades, basado en la aplicación del principio de actividad conjunta entre profesor y alumno. Primero, se establecen metas para los estudiantes, es decir. se determina quién no quiere saber más de lo que exige el estándar estatal y quién está dispuesto a hacer más.

El diagnóstico final se elabora teniendo en cuenta la diferenciación de niveles, lo que permite a los estudiantes determinar conscientemente los conocimientos mínimos necesarios para recibir una calificación de “3”. En base a esto, se seleccionan materiales multinivel para diagnosticar los conocimientos de los estudiantes. Este trabajo permite un enfoque individual de los estudiantes, incluyendo a todos en actividades de aprendizaje consciente, desarrollando habilidades de autoorganización y autoaprendizaje y asegurando una transición al pensamiento activo e independiente.

El seminario se lleva a cabo después de practicar las habilidades básicas de resolución de ecuaciones trigonométricas. Varias lecciones antes del seminario, los estudiantes reciben preguntas que se discutirán durante el seminario.

El seminario consta de tres partes.

1. La parte introductoria cubre todo el material teórico, incluyendo una introducción a los problemas que surgirán en la resolución de ecuaciones complejas.

2. La segunda parte analiza la solución de ecuaciones de la forma:

• y cosx + bsenx = c.
• a (senx + cosx) + bsin2x + c = 0.
• ecuaciones solucionables reduciendo el grado.

Estas ecuaciones utilizan sustitución universal, fórmulas de reducción de grados y el método del argumento auxiliar.

3. La tercera parte trata de los problemas de pérdida de raíces y de adquisición de raíces extrañas. Muestra cómo seleccionar raíces.

Los alumnos trabajan en grupos. Para resolver los ejemplos se llama a personas bien formadas que puedan mostrar y explicar el material.

El seminario está diseñado para un estudiante bien preparado, porque... aborda cuestiones que van un poco más allá del alcance del material del programa. Incluye ecuaciones de una forma más compleja y aborda especialmente los problemas que surgen al resolver ecuaciones trigonométricas complejas.

El seminario se llevó a cabo para estudiantes de los grados 10 y 11. Cada estudiante tuvo la oportunidad de ampliar y profundizar sus conocimientos sobre este tema, comparar el nivel de sus conocimientos no solo con los requisitos para un egresado de la escuela, sino también con los requisitos para quienes ingresan a la V.U.Z.

SEMINARIO

Sujeto:"Resolución de ecuaciones trigonométricas"

Objetivos:

• Generalizar conocimientos sobre la resolución de ecuaciones trigonométricas de todo tipo.
• Centrarse en los problemas: pérdida de raíces; raíces extrañas; selección de raíces.

DURANTE LAS CLASES.

I. Parte introductoria

1. Métodos básicos para resolver ecuaciones trigonométricas.

• Factorización.
• Introducción de una nueva variable.
• Método gráfico funcional.

2. Algunos tipos de ecuaciones trigonométricas.

• Ecuaciones que se reducen a ecuaciones cuadráticas con respecto a cos x = t, sen x = t.

Asín 2 x + Bcosx + C = 0; Acos 2 x + Bsenx + C = 0.

Se resuelven introduciendo una nueva variable.

• Ecuaciones homogéneas de primer y segundo grado.

Ecuación de primer grado: Asinx + Bcosx = 0 dividimos por cos x, obtenemos Atg x + B = 0

Ecuación de segundo grado: Asin 2 x + Bsinx cosx + Сcos 2 x = 0 dividimos por cos 2 x, obtenemos Atg 2 x + Btgx + C = 0

Se resuelven mediante factorización e introduciendo una nueva variable.

Se aplican todos los métodos.

• Degradar:

1). Аcos2x + Вcos 2 x = C; Acos2x + Bsin 2 x = C.

Resuelto por el método de factorización.

2). Asín2x + Bsen2 x = C; Asín2x + Bcos 2 x = C.

• Ecuación de la forma: A(senx + cosx) + Bsen2x + C = 0.

Reducido al cuadrado con respecto a t = sinx + cosx; sen2x = t 2 – 1.

3. Fórmulas.

x + 2n; ¡Es necesario comprobarlo!

• Potencia decreciente: cos 2 x = (1 + cos2x): 2; pecado 2 x = (1 – cos 2x): 2
• Método de argumento auxiliar.

Reemplacemos Acosx + Bsinx por Csin (x + ), donde sin = a/C; cos=v/c;

– argumento auxiliar.

4. Reglas.

• Si ve un cuadrado, baje el grado.
• Si ves una pieza, haz una cantidad.
• Si ves la cantidad, haz el trabajo.

5. Pérdida de raíces, raíces sobrantes.

• Pérdida de raíces: dividir por g(x); Fórmulas peligrosas (sustitución universal). Con estas operaciones estrechamos el alcance de la definición.

• Raíces adicionales: elevadas a una potencia uniforme; multiplica por g(x) (elimina el denominador). Con estas operaciones ampliamos el alcance de la definición.

II. Ejemplos de ecuaciones trigonométricas

1. Ecuaciones de la forma Asinx + Bcosx = C

1) Sustitución universal.O.D.Z. x – cualquiera.

3 sen 2x + cos 2x + 1= 0.

tgx = u. x/2 + norte;

tu = – 1/3.

tan x = –1/3, x = arctan (–1/3) + k, k Z.

Examen: 3sin( + 2n) + cos( + 2n) + 1= 3 pecado + cos + 1 = 0 – 1 + 1 = 0.

x = /2 + n, n e Z. Es la raíz de la ecuación.

Respuesta: x = arctan(–1/3) + k, k Z. x = /2 + n, n Z.

2) Método gráfico funcional. O.D.Z. x – cualquiera.

Sinx – cosx = 1
Sinx = cosx + 1.

Tracemos las funciones: y = sinx, y = cosx + 1.

Respuesta: x = /2 + 2 n, Z; x = + 2k, kZ.

3) Introducción de un argumento auxiliar. O.D.Z.: x – cualquiera.

8cosx + 15 senx = 17.

8/17 cosx + 15/17 senx = 1, porque (8/17) 2 + (15/17) 2 = 1, entonces existe tal que sin = 8/17,

cos = 15/17, lo que significa sen cosx + senx cos = 1; = arcosen 8/17.

Respuesta: x = /2 + 2n – , x = /2 + 2n – arcosen 8/17, n Z.

2. Reduciendo el orden: Acos2x + Bsin2x = C. Acos2x + Bcos2x = C.

1). sen 2 3x + sen 2 4x + sen 2 6x + sen 2 7x = 2. O.D.Z.: x – cualquiera.

1 – porque 6x + 1 – porque 8x + 1 – porque 12x + 1 – porque 14x = 4
porque 6x + porque 8x + porque 12x + porque 14x = 0
2cos10x porque 4x + 2cos 10x porque 2x = 0
2cos 10x(cos 4x + cos 2x) = 0
2cos10x 2cos3x cosx = 0
cos10x = 0, cos3x = 0, cosx = 0.

Respuesta: x = /20 + n/10, n Z. x = /6 + k/3, k Z, x = /2 + m, m Z.

3. Reducción a la homogeneidad. Asin2x + Bsin 2 x = C, Asin2x + Bcos 2 x = C.

1) 5 sen 2 x + 3 senx cosx + 6 cos 2 x = 5. ODZ: x – cualquiera.
5 sen 2 x + 3 senx cosx + 6cos 2 x – 5 sen 2 x – 5 cos 2 x = 0
3 senxcosx + cos 2 x = 0 (1) no se puede dividir por cos 2 x, ya que perdemos raíces.
cos 2 x = 0 satisface la ecuación.
cosx (3 senx + cosx) = 0
cosx = 0. 3 senx + cosx = 0.
x = /2 + k, k Z. tgx = –1/3, x = –/6 + n, n Z.

Respuesta: x = /2 + k, k Z. , x = –/6 + n, n Z

4. Ecuación de la forma: A(sinx + cosx) + B sin2x + C = 0.

1). 4 + 2sen2x – 5(senx + cosx) = 0. O.D.Z.: x – cualquiera.
senx + cosx = t, sen2x = t 2 – 1.
4 + 2t 2 – 2 – 5t = 0, | t | < 2
2 t 2 – 5t + 2 = 0. t 1 = 2, t 2 = S.
senx + cosx = S. cosx = pecado(x + /2),
senx + sen(x + /2) = 1/2,
2sen(x + /4) cos(–/4) = 1/2
pecado(x + /4) = 1/22;
x +/4 = (–1) k arcosen(1/2 O 2) + k, k Z.

Respuesta: x = (–1) k arcosen(1/22) – /4 + k, k Z.

5. Factorización.

1) cos 2 x – 2 cosx = 4 senx – sen2x
cosx(cosx – 2) = 2 senx (2 – cosx),
(cosx – 2)(cosx + 2 senx) = 0.

1) cosx = 2, sin raíces.
2) cosx + 2 senx = 0
2tgx + 1 = 0

Respuesta: x = arctan(1/2) + n, n Z.

III. Problemas que surgen al resolver ecuaciones trigonométricas.

1. Pérdida de raíces: dividir por g(x); Usamos fórmulas peligrosas.

1) Encuentra el error.

1 – cosx = senx *senx/2,
1 – cosx = 2sen 2 x/2 fórmula.
2 sin 2 x/2 = 2 sinx/2* сosx/2* sinx/2 dividir por 2 sin 2 x/2,
1 = cosx/2
x/2 = 2n, x = 4n, n"Z.
Raíces perdidas senx/2 = 0, x = 2k, k Z.

Solución correcta: 2sen 2 x/2(1 – cosx/2) = 0.

2. Raíces extrañas: nos deshacemos del denominador; elevar a una potencia uniforme.

1). (sin4x – sin2x – сos3x + 2sinx – 1) : (2sen2x – 3) = 0. O.D.Z.: sen2x 3 / 2.

2сos3х senx – сos3x + 2sinx – 1 = 0
(cos3x + 1)(2sinx – 1) = 0

Respuesta: x = + 2k, x = 5/3 + 2k, x = 5/6 + 2k, k Z. t = 5 sin3x = 0

§ 1. RAÍCES PERDIDAS Y EXTRAÍDAS AL RESOLVER ECUACIONES (POR EJEMPLOS)

MATERIAL DE REFERENCIA

1. Dos teoremas del § 3 del Capítulo VII hablaban de qué acciones sobre ecuaciones no violan su equivalencia.

2. Consideremos ahora operaciones sobre ecuaciones que pueden conducir a una nueva ecuación que no es igual a la ecuación original. En lugar de consideraciones generales, nos limitaremos a considerar sólo ejemplos específicos.

3. Ejemplo 1. Dada una ecuación, abramos los corchetes en esta ecuación, muevamos todos los términos al lado izquierdo y resolvamos la ecuación cuadrática. Sus raíces son

Si reduces ambos lados de la ecuación por un factor común, obtienes una ecuación que es desigual a la original, ya que solo tiene una raíz.

Por lo tanto, reducir ambos lados de la ecuación por un factor que contenga la incógnita puede resultar en la pérdida de las raíces de la ecuación.

4. Ejemplo 2. Dada una ecuación. Esta ecuación tiene una única raíz. Elevamos al cuadrado ambos lados de esta ecuación y obtenemos dos raíces:

Vemos que la nueva ecuación no es equivalente a la ecuación original. La raíz es la raíz de la ecuación que, después de elevar al cuadrado ambos lados, da como resultado la ecuación.

5. También pueden aparecer raíces extrañas cuando ambos lados de la ecuación se multiplican por un factor que contiene una incógnita, si este factor desaparece para valores reales de x.

Ejemplo 3. Si multiplicamos ambos lados de la ecuación por entonces obtenemos una nueva ecuación que, después de transferir el término del lado derecho al izquierdo y factorizarlo, da una ecuación de cualquiera de los dos lados de la ecuación por

La raíz no satisface una ecuación que tiene una sola raíz.

De aquí concluimos: al elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación (en general a una potencia par), así como al multiplicar por un factor que contiene una incógnita y que desaparece en los valores reales de la incógnita, pueden aparecer raíces extrañas.

Todas las consideraciones expresadas aquí sobre la cuestión de la pérdida y aparición de raíces extrañas de una ecuación se aplican igualmente a cualquier ecuación (algebraica, trigonométrica, etc.).

6. Una ecuación se llama algebraica si solo se realizan operaciones algebraicas con lo desconocido: suma, resta, multiplicación, división, exponenciación y extracción de raíces con un exponente natural (y el número de tales operaciones es finito).

Así, por ejemplo, las ecuaciones

son algebraicas y las ecuaciones

Las siguientes transformaciones se utilizan con mayor frecuencia al resolver ecuaciones:

Otras transformaciones

En la lista presentada en el párrafo anterior, deliberadamente no incluimos transformaciones como elevar ambos lados de la ecuación a la misma potencia natural, logaritmo, potenciar ambos lados de la ecuación, extraer la raíz del mismo grado de ambos lados de la ecuación, liberación de una función externa y otros. El hecho es que estas transformaciones no son tan generales: las transformaciones de la lista anterior se utilizan para resolver ecuaciones de todo tipo, y las transformaciones que acabamos de mencionar se utilizan para resolver ciertos tipos de ecuaciones (irracionales, exponenciales, logarítmicas, etc.). Se analizan en detalle en el marco de los métodos correspondientes para resolver los tipos correspondientes de ecuaciones. Aquí hay enlaces a sus descripciones detalladas:

• Elevando ambos lados de una ecuación a la misma potencia natural.
• Tomando logaritmos de ambos lados de la ecuación..
• Potenciando ambos lados de la ecuación.
• Extraer la raíz de la misma potencia de ambos lados de una ecuación.
• Reemplazar una expresión correspondiente a una de las partes de la ecuación original con una expresión de otra parte de la ecuación original.

Los enlaces proporcionados contienen información completa sobre las transformaciones enumeradas. Por lo tanto, ya no nos detendremos en ellos en este artículo. Toda la información siguiente se aplica a las transformaciones de la lista de transformaciones básicas.

¿Qué sucede como resultado de transformar la ecuación?

Al realizar todas las transformaciones anteriores se puede obtener una ecuación que tenga las mismas raíces que la ecuación original, o una ecuación cuyas raíces contengan todas las raíces de la ecuación original, pero que también puede tener otras raíces, o una ecuación cuyas raíces no incluya todas las raíces de la ecuación transformada. En los siguientes párrafos analizaremos cuáles de estas transformaciones, bajo qué condiciones, conducen a qué ecuaciones. Es extremadamente importante saber esto para resolver ecuaciones con éxito.

Transformaciones equivalentes de ecuaciones.

De particular interés son las transformaciones de ecuaciones que dan como resultado ecuaciones equivalentes, es decir, ecuaciones que tienen el mismo conjunto de raíces que la ecuación original. Estas transformaciones se llaman transformaciones equivalentes. En los libros de texto escolares, la definición correspondiente no se da explícitamente, pero es fácil de leer en el contexto:

Definición

Transformaciones equivalentes de ecuaciones. son transformaciones que dan ecuaciones equivalentes.

Entonces, ¿por qué son interesantes las transformaciones equivalentes? El hecho es que si con su ayuda es posible pasar de la ecuación que se está resolviendo a una ecuación equivalente bastante simple, entonces resolver esta ecuación dará la solución deseada a la ecuación original.

De las transformaciones enumeradas en el párrafo anterior, no todas son siempre equivalentes. Algunas transformaciones son equivalentes sólo bajo ciertas condiciones. Hagamos una lista de afirmaciones que determinan qué transformaciones y bajo qué condiciones son transformaciones equivalentes de la ecuación. Para ello tomaremos como base la lista anterior, y a las transformaciones que no siempre son equivalentes le añadiremos condiciones que les den equivalencia. Aquí está la lista:

• Reemplazar una expresión en el lado izquierdo o derecho de una ecuación con una expresión que no cambia las variables de la ecuación es una transformación equivalente de la ecuación.

Expliquemos por qué esto es así. Para hacer esto, tomamos una ecuación con una variable (se puede realizar un razonamiento similar para ecuaciones con varias variables) de la forma A(x)=B(x), denotamos las expresiones en sus lados izquierdo y derecho como A( x) y B(x), respectivamente. Sea la expresión C(x) idénticamente igual a la expresión A(x), y la ODZ de la variable x de la ecuación C(x)=B(x) coincide con la ODZ de la variable x de la ecuación original. Probemos que la transformación de la ecuación A(x)=B(x) en la ecuación C(x)=B(x) es una transformación equivalente, es decir, demostraremos que las ecuaciones A(x)=B (x) y C(x) =B(x) son equivalentes.

Para hacer esto, basta con demostrar que cualquier raíz de la ecuación original es una raíz de la ecuación C(x)=B(x), y cualquier raíz de la ecuación C(x)=B(x) es una raíz de la ecuación original.

Empecemos por la primera parte. Sea q la raíz de la ecuación A(x)=B(x), luego cuando la sustituimos por x obtendremos la igualdad numérica correcta A(q)=B(q). Dado que las expresiones A(x) y C(x) son idénticamente iguales y la expresión C(q) tiene sentido (esto se deduce de la condición de que la DO para la ecuación C(x)=B(x) coincida con la DO para la ecuación original), entonces la igualdad numérica A(q)=C(q) es verdadera. A continuación usamos las propiedades de las igualdades numéricas. Debido a la propiedad de simetría, la igualdad A(q)=C(q) se puede reescribir como C(q)=A(q) . Entonces, debido a la propiedad de transitividad, las igualdades C(q)=A(q) y A(q)=B(q) implican la igualdad C(q)=B(q). Esto prueba que q es la raíz de la ecuación C(x)=B(x).

La segunda parte, y con ella toda la afirmación en su conjunto, se demuestra de manera absolutamente análoga.

La esencia de la transformación equivalente analizada es la siguiente: le permite trabajar por separado con expresiones en los lados izquierdo y derecho de las ecuaciones, reemplazándolas con expresiones idénticamente iguales en la ODZ de variables original.

El ejemplo más común: podemos reemplazar la suma de números en el lado derecho de la ecuación x=2+1 con su valor, lo que dará como resultado una ecuación equivalente de la forma x=3. De hecho, reemplazamos la expresión 2+1 con la expresión idénticamente igual 3, y la ODZ de la ecuación no cambió. Otro ejemplo: en el lado izquierdo de la ecuación 3·(x+2)=7·x−2·x+4−1 podemos, y en el derecho – , lo que nos llevará a la ecuación equivalente 3·x+ 6=5·x+ 3. La ecuación resultante es efectivamente equivalente, ya que reemplazamos las expresiones con expresiones idénticamente iguales y al mismo tiempo obtuvimos una ecuación que tiene una OD que coincide con la OD de la ecuación original.

• Sumar el mismo número a ambos lados de una ecuación o restar el mismo número a ambos lados de una ecuación es una transformación equivalente de la ecuación.

Demostremos que sumando el mismo número c a ambos lados de la ecuación A(x)=B(x) se obtiene la ecuación equivalente A(x)+c=B(x)+c y que restando de ambos lados de la ecuación A(x) =B(x) del mismo número c da la ecuación equivalente A(x)−c=B(x)−c.

Sea q la raíz de la ecuación A(x)=B(x), entonces la igualdad A(q)=B(q) es verdadera. Las propiedades de las igualdades numéricas nos permiten sumar a ambos lados de una igualdad numérica verdadera o restar el mismo número de sus partes. Denotemos este número como c, entonces las igualdades A(q)+c=B(q)+c y A(q)−c=B(q)−c son válidas. De estas igualdades se deduce que q es la raíz de la ecuación A(x)+c=B(x)+c y la ecuación A(x)−c=B(x)−c.

Ahora de nuevo. Sea q la raíz de la ecuación A(x)+c=B(x)+c y la ecuación A(x)−c=B(x)−c, entonces A(q)+c=B(q) +c y A (q)−c=B(q)−c . Sabemos que restar el mismo número de ambos lados de una igualdad numérica verdadera produce una igualdad numérica verdadera. También sabemos que sumar la igualdad numérica correcta a ambos lados da la igualdad numérica correcta. Restemos el número c de ambos lados de la igualdad numérica correcta A(q)+c=B(q)+c, y agreguemos el número c a ambos lados de la igualdad A(x)−c=B(x) −c. Esto nos dará las igualdades numéricas correctas A(q)+c−c=B(q)+c−c y A(q)−c+c=B(q)+c−c, de las cuales concluimos que A (q) =B(q) . De la última igualdad se deduce que q es la raíz de la ecuación A(x)=B(x) .

Esto prueba la afirmación original en su conjunto.

Pongamos un ejemplo de tal transformación de ecuaciones. Tomemos la ecuación x−3=1 y transformémosla sumando el número 3 a ambos lados, después de lo cual obtenemos la ecuación x−3+3=1+3, que es equivalente a la original. Está claro que en la ecuación resultante se pueden realizar operaciones con números, como comentamos en el punto anterior de la lista, como resultado tenemos la ecuación x=4. Entonces, realizando transformaciones equivalentes, resolvimos accidentalmente la ecuación x−3=1, su raíz es el número 4. La transformación equivalente considerada se utiliza muy a menudo para deshacerse de términos numéricos idénticos ubicados en diferentes partes de la ecuación. Por ejemplo, tanto en el lado izquierdo como en el derecho de la ecuación x 2 +1=x+1 existe el mismo término 1, restar el número 1 de ambos lados de la ecuación nos permite pasar a la ecuación equivalente x 2 + 1−1=x+1−1 y además a la ecuación equivalente x 2 =x, y así deshacerse de estos términos idénticos.

• Sumar a ambos lados de la ecuación o restar de ambos lados de la ecuación una expresión para la cual la ODZ no es más estrecha que la ODZ de la ecuación original es una transformación equivalente.

Probemos esta afirmación. Es decir, demostramos que las ecuaciones A(x)=B(x) y A(x)+C(x)=B(x)+C(x) son equivalentes, siempre que la ODZ para la expresión C(x ) aún no lo es, que ODZ para la ecuación A(x)=B(x) .

Primero demostramos un punto auxiliar. Demostremos que, bajo las condiciones especificadas, las ecuaciones OD antes y después de la transformación son las mismas. De hecho, la ODZ para la ecuación A(x)+C(x)=B(x)+C(x) puede considerarse como la intersección de la ODZ para la ecuación A(x)=B(x) y la ODZ para la expresión C(x) . De esto y del hecho de que la ODZ para la expresión C(x) no es más estrecha por condición que la ODZ para la ecuación A(x)=B(x), se deduce que la ODZ para las ecuaciones A(x)= B(x) y A (x)+C(x)=B(x)+C(x) son iguales.

Ahora demostraremos la equivalencia de las ecuaciones A(x)=B(x) y A(x)+C(x)=B(x)+C(x), siempre que los rangos de valores aceptables para estas las ecuaciones son las mismas. No daremos una prueba de la equivalencia de las ecuaciones A(x)=B(x) y A(x)−C(x)=B(x)−C(x) bajo la condición especificada, ya que es similar .

Sea q la raíz de la ecuación A(x)=B(x), entonces la igualdad numérica A(q)=B(q) es verdadera. Dado que las ODZ de las ecuaciones A(x)=B(x) y A(x)+C(x)=B(x)+C(x) son iguales, entonces la expresión C(x) tiene sentido en x =q, lo que significa que C(q) es algún número. Si sumamos C(q) a ambos lados de la igualdad numérica correcta A(q)=B(q), esto dará la desigualdad numérica correcta A(q)+C(q)=B(q)+C(q ) , de lo que se deduce que q es la raíz de la ecuación A(x)+C(x)=B(x)+C(x) .

Atrás. Sea q la raíz de la ecuación A(x)+C(x)=B(x)+C(x), entonces A(q)+C(q)=B(q)+C(q) es una verdadera igualdad numérica. Sabemos que restar el mismo número de ambos lados de una igualdad numérica verdadera produce una igualdad numérica verdadera. Resta C(q) de ambos lados de la igualdad A(q)+C(q)=B(q)+C(q) , esto da A(q)+C(q)−C(q)=B(q)+C(q)−C(q) y además A(q)=B(q) . Por lo tanto, q es la raíz de la ecuación A(x)=B(x).

Por tanto, la afirmación en cuestión queda completamente probada.

Pongamos un ejemplo de esta transformación. Tomemos la ecuación 2 x+1=5 x+2. Podemos sumar a ambos lados, por ejemplo, la expresión −x−1. Agregar esta expresión no cambiará la ODZ, lo que significa que dicha transformación es equivalente. Como resultado de esto, obtenemos la ecuación equivalente 2 x+1+(−x−1)=5 x+2+(−x−1). Esta ecuación se puede transformar aún más: abra los corchetes y reduzca los términos similares en sus lados izquierdo y derecho (consulte el primer elemento de la lista). Tras realizar estas acciones obtenemos la ecuación equivalente x=4·x+1. La transformación de ecuaciones considerada se utiliza a menudo para deshacerse de términos idénticos que se encuentran simultáneamente en los lados izquierdo y derecho de la ecuación.

• Si mueves un término de una ecuación de una parte a otra, cambiando el signo de este término al contrario, obtendrás una ecuación equivalente a la dada.

Esta afirmación es consecuencia de las anteriores.

Demostremos cómo se lleva a cabo esta transformación equivalente de la ecuación. Tomemos la ecuación 3·x−1=2·x+3. Movamos el término, por ejemplo, 2 x del lado derecho al izquierdo, cambiando su signo. En este caso obtenemos la ecuación equivalente 3·x−1−2·x=3. También puedes mover menos uno del lado izquierdo de la ecuación hacia la derecha, cambiando el signo a más: 3 x−2 x=3+1. Finalmente, traer términos similares nos lleva a la ecuación equivalente x=4.

• Multiplicar o dividir ambos lados de una ecuación por el mismo número distinto de cero es una transformación equivalente.

Demos una prueba.

Sea A(x)=B(x) una ecuación y c un número diferente de cero. Demostremos que multiplicar o dividir ambos lados de la ecuación A(x)=B(x) por el número c es una transformación equivalente de la ecuación. Para ello demostramos que las ecuaciones A(x)=B(x) y A(x) c=B(x) c, así como las ecuaciones A(x)=B(x) y A(x) :c= B(x):c - equivalente. Esto se puede hacer de esta manera: demuestre que cualquier raíz de la ecuación A(x)=B(x) es una raíz de la ecuación A(x) c=B(x) c y una raíz de la ecuación A(x) :c=B(x) :c , y luego demostrar que cualquier raíz de la ecuación A(x) c=B(x) c , como cualquier raíz de la ecuación A(x):c=B(x):c , es una raíz de la ecuación A(x) =B(x) . Vamos a hacerlo.

Sea q la raíz de la ecuación A(x)=B(x). Entonces la igualdad numérica A(q)=B(q) es verdadera. Habiendo estudiado las propiedades de las igualdades numéricas, aprendimos que multiplicar o dividir ambos lados de una verdadera igualdad numérica por el mismo número distinto de cero conduce a una verdadera igualdad numérica. Multiplicando ambos lados de la igualdad A(q)=B(q) por c, obtenemos la igualdad numérica correcta A(q) c=B(q) c, de donde se deduce que q es la raíz de la ecuación A( x) c= B(x)·c . Y dividiendo ambos lados de la igualdad A(q)=B(q) por c, obtenemos la igualdad numérica correcta A(q):c=B(q):c, de lo que se deduce que q es la raíz de la ecuación A(x):c =B(x):c .

Ahora en la otra dirección. Sea q la raíz de la ecuación A(x)·c=B(x)·c. Entonces A(q)·c=B(q)·c es una verdadera igualdad numérica. Dividiendo ambas partes por un número c distinto de cero, obtenemos la igualdad numérica correcta A(q)·c:c=B(q)·c:c y además A(q)=B(q) . Se deduce que q es la raíz de la ecuación A(x)=B(x) . Si q es la raíz de la ecuación A(x):c=B(x):c . Entonces A(q):c=B(q):c es una verdadera igualdad numérica. Multiplicando ambas partes por un número c distinto de cero, obtenemos la igualdad numérica correcta A(q):c·c=B(q):c·c y además A(q)=B(q) . Se deduce que q es la raíz de la ecuación A(x)=B(x) .

La afirmación ha sido probada.

Pongamos un ejemplo de esta transformación. Con su ayuda, puedes, por ejemplo, deshacerte de fracciones en la ecuación. Para hacer esto, puedes multiplicar ambos lados de la ecuación por 12. El resultado es una ecuación equivalente de la forma , que luego se puede transformar en la ecuación equivalente 7 x−3=10, que no contiene fracciones en su notación.

• Multiplicar o dividir ambos lados de una ecuación por la misma expresión, cuya OD no es más estrecha que la OD de la ecuación original y no anula la OD de la ecuación original, es una transformación equivalente.

Probemos esta afirmación. Para ello, demostramos que si la ODZ de la expresión C(x) no es más estrecha que la ODZ de la ecuación A(x)=B(x), y C(x) no desaparece en la ODZ de la ecuación A(x)=B( x) , entonces las ecuaciones A(x)=B(x) y A(x) C(x)=B(x) C(x), así como las ecuaciones A(x) =B(x) y A( x):C(x)=B(x):C(x) - equivalente.

Sea q la raíz de la ecuación A(x)=B(x). Entonces A(q)=B(q) es una verdadera igualdad numérica. Del hecho de que la ODZ para la expresión C(x) no es la misma ODZ para la ecuación A(x)=B(x), se deduce que la expresión C(x) tiene sentido cuando x=q. Esto significa que C(q) es algún número. Además, C(q) es distinto de cero, lo que se sigue de la condición de que la expresión C(x) no desaparezca. Si multiplicamos ambos lados de la igualdad A(q)=B(q) por un número distinto de cero C(q), esto dará la igualdad numérica correcta A(q)·C(q)=B(q)· C(q) , de lo que se deduce que q es la raíz de la ecuación A(x)·C(x)=B(x)·C(x) . Si dividimos ambos lados de la igualdad A(q)=B(q) por un número distinto de cero C(q), esto dará la igualdad numérica correcta A(q):C(q)=B(q): C(q) , de donde se deduce que q es la raíz de la ecuación A(x):C(x)=B(x):C(x) .

Atrás. Sea q la raíz de la ecuación A(x)·C(x)=B(x)·C(x) . Entonces A(q)·C(q)=B(q)·C(q) es una verdadera igualdad numérica. Tenga en cuenta que la ODZ para la ecuación A(x) C(x)=B(x) C(x) es la misma que la ODZ para la ecuación A(x)=B(x) (justificamos esto en una de las párrafos anteriores lista actual). Dado que C(x) por condición no desaparece en la ODZ para la ecuación A(x)=B(x), entonces C(q) es un número distinto de cero. Dividiendo ambos lados de la igualdad A(q) C(q)=B(q) C(q) por un número distinto de cero C(q) obtenemos la igualdad numérica correcta A(q)·C(q):C(q)=B(q)·C(q):C(q) y además A(q)=B(q) . Se deduce que q es la raíz de la ecuación A(x)=B(x) . Si q es la raíz de la ecuación A(x):C(x)=B(x):C(x) . Entonces A(q):C(q)=B(q):C(q) es una verdadera igualdad numérica. Multiplicando ambos lados de la igualdad A(q):C(q)=B(q):C(q) por un número distinto de cero C(q) obtenemos la igualdad numérica correcta A(q):C(q)·C(q)=B(q):C(q)·C(q) y además A(q)=B(q) . Se deduce que q es la raíz de la ecuación A(x)=B(x) .

La afirmación ha sido probada.

Para mayor claridad, damos un ejemplo de cómo realizar una transformación desmontada. Dividamos ambos lados de la ecuación x 3 ·(x 2 +1)=8·(x 2 +1) por la expresión x 2 +1. Esta transformación es equivalente, ya que la expresión x 2 +1 no desaparece en la OD de la ecuación original y la OD de esta expresión no es más estrecha que la OD de la ecuación original. Como resultado de esta transformación, obtenemos la ecuación equivalente x 3 ·(x 2 +1):(x 2 +1)=8·(x 2 +1):(x 2 +1), que se puede transformar aún más en la ecuación equivalente x 3 =8.

Transformaciones que conducen a ecuaciones corolarias.

En el párrafo anterior, examinamos qué transformaciones de la lista de transformaciones básicas y bajo qué condiciones son equivalentes. Ahora veamos cuál de estas transformaciones y bajo qué condiciones conducen a ecuaciones corolarias, es decir, a ecuaciones que contienen todas las raíces de la ecuación transformada, pero que además de ellas también pueden tener otras raíces, raíces extrañas a la ecuación original.

Las transformaciones que conducen a ecuaciones corolarias tienen una demanda no menor que las transformaciones equivalentes. Si con su ayuda es posible obtener una ecuación que sea bastante simple en términos de solución, entonces su solución y la posterior eliminación de raíces extrañas darán una solución a la ecuación original.

Tenga en cuenta que todas las transformaciones equivalentes pueden considerarse casos especiales de transformaciones que conducen a ecuaciones corolarias. Esto es comprensible, porque una ecuación equivalente es un caso especial de ecuación corolario. Pero desde un punto de vista práctico, es más útil saber que la transformación considerada es exactamente equivalente y no conduce a una ecuación corolaria. Expliquemos por qué esto es así. Si sabemos que la transformación es equivalente, entonces la ecuación resultante definitivamente no tendrá raíces ajenas a la ecuación original. Y la transformación que conduce a la ecuación corolaria puede ser la causa de la aparición de raíces extrañas, lo que nos obliga en el futuro a realizar una acción adicional: tamizar raíces extrañas. Por lo tanto, en esta sección del artículo nos centraremos en las transformaciones, como resultado de las cuales pueden aparecer raíces extrañas a la ecuación original. Y es realmente importante poder distinguir tales transformaciones de transformaciones equivalentes para comprender claramente cuándo es necesario filtrar raíces extrañas y cuándo no.

Analicemos la lista completa de transformaciones básicas de ecuaciones que figura en el segundo párrafo de este artículo para buscar transformaciones como resultado de las cuales pueden aparecer raíces extrañas.

• Reemplazar expresiones en los lados izquierdo y derecho de la ecuación con expresiones idénticamente iguales.

Hemos demostrado que esta transformación es equivalente si su implementación no cambia el OD. Y si cambia la lista de lesionados, ¿qué pasará? El estrechamiento de la ODZ puede provocar la pérdida de raíces; esto se analizará con más detalle en el siguiente párrafo. Y con la expansión de la ODZ, pueden aparecer raíces extrañas. No es difícil justificar esto. Presentemos el razonamiento correspondiente.

Sea la expresión C(x) tal que sea idénticamente igual a la expresión A(x) y la DO de la ecuación C(x)=B(x) sea más ancha que la DO de la ecuación A(x)=B (X). Demostremos que la ecuación C(x)=B(x) es consecuencia de la ecuación A(x)=B(x), y que entre las raíces de la ecuación C(x)=B(x) puede haber ser raíces que son ajenas a la ecuación A( x)=B(x) .

Sea q la raíz de la ecuación A(x)=B(x). Entonces A(q)=B(q) es una verdadera igualdad numérica. Dado que la ODZ para la ecuación C(x)=B(x) es más ancha que la ODZ para la ecuación A(x)=B(x), entonces la expresión C(x) se define en x=q. Luego, teniendo en cuenta la igualdad idéntica de las expresiones C(x) y A(x) , concluimos que C(q)=A(q) . De las igualdades C(q)=A(q) y A(q)=B(q), debido a la propiedad de transitividad, se sigue la igualdad C(q)=B(q). De esta igualdad se deduce que q es la raíz de la ecuación C(x)=B(x) . Esto demuestra que bajo las condiciones especificadas la ecuación C(x)=B(x) es consecuencia de la ecuación A(x)=B(x) .

Queda por demostrar que la ecuación C(x)=B(x) puede tener raíces diferentes de las raíces de la ecuación A(x)=B(x). Demostremos que cualquier raíz de la ecuación C(x)=B(x) de la ODZ para la ecuación A(x)=B(x) es una raíz de la ecuación A(x)=B(x). La ruta p es la raíz de la ecuación C(x)=B(x), perteneciente a la ODZ para la ecuación A(x)=B(x). Entonces C(p)=B(p) es una verdadera igualdad numérica. Dado que p pertenece a la ODZ para la ecuación A(x)=B(x), entonces la expresión A(x) está definida para x=p. De esto y de la igualdad idéntica de las expresiones A(x) y C(x) se sigue que A(p)=C(p) . De las igualdades A(p)=C(p) y C(p)=B(p), debido a la propiedad de transitividad, se deduce que A(p)=B(p), lo que significa que p es la raíz de la ecuación A(x)= B(x) . Esto prueba que cualquier raíz de la ecuación C(x)=B(x) de la ODZ para la ecuación A(x)=B(x) es una raíz de la ecuación A(x)=B(x). En otras palabras, en la ODZ para la ecuación A(x)=B(x) no puede haber raíces de la ecuación C(x)=B(x), que son raíces extrañas para la ecuación A(x)=B( X). Pero según la condición, la ODZ para la ecuación C(x)=B(x) es más ancha que la ODZ para la ecuación A(x)=B(x). Y esto permite la existencia de un número r que pertenece a la ODZ para la ecuación C(x)=B(x) y no pertenece a la ODZ para la ecuación A(x)=B(x), que es la raíz de la ecuación C(x)=B(x). Es decir, la ecuación C(x)=B(x) puede tener raíces ajenas a la ecuación A(x)=B(x), y todas ellas pertenecerán al conjunto al que pertenece la ODZ de la ecuación A. (x)=B se extiende (x) cuando se reemplaza la expresión A(x) con la expresión idénticamente igual C(x).

Entonces, reemplazar las expresiones en los lados izquierdo y derecho de la ecuación con expresiones idénticamente iguales, como resultado de lo cual se expande la ODZ, en el caso general conduce a una ecuación corolaria (es decir, puede llevar a la aparición de extraños raíces) y sólo en un caso particular conduce a una ecuación equivalente (en el caso de que la ecuación resultante no tenga raíces ajenas a la ecuación original).

Pongamos un ejemplo de cómo realizar una transformación analizada. Reemplazo de la expresión en el lado izquierdo de la ecuación. idénticamente igual a él por la expresión x·(x−1) conduce a la ecuación x·(x−1)=0, en este caso se produce la expansión de la ODZ - se le suma el número 0. La ecuación resultante tiene dos raíces 0 y 1, y al sustituir estas raíces en la ecuación original se muestra que 0 es una raíz extraña para la ecuación original y 1 es la raíz de la ecuación original. De hecho, sustituir cero en la ecuación original da la expresión sin sentido , ya que contiene división por cero, y sustituyendo uno da la igualdad numérica correcta , que es lo mismo que 0=0 .

Tenga en cuenta que una transformación similar de una ecuación similar en la ecuación (x−1)·(x−2)=0, como resultado de lo cual la ODZ también se expande, no da lugar a la aparición de raíces extrañas. De hecho, ambas raíces de la ecuación resultante (x−1)·(x−2)=0 - números 1 y 2, son raíces de la ecuación original, lo cual es fácil de verificar comprobando por sustitución. Con estos ejemplos, una vez más queríamos enfatizar que reemplazar una expresión en el lado izquierdo o derecho de la ecuación con una expresión idénticamente igual, que expande la ODZ, no necesariamente conduce a la aparición de raíces extrañas. Pero también puede influir en su aparición. Entonces, si tal transformación tuvo lugar en el proceso de resolución de la ecuación, entonces es necesario realizar una verificación para identificar y filtrar raíces extrañas.

Muy a menudo, la ODZ de una ecuación puede expandirse y pueden aparecer raíces extrañas debido a la sustitución por cero de la diferencia de expresiones idénticas o la suma de expresiones con signos opuestos, debido a la sustitución por cero de productos con uno o más factores cero. , por la reducción de fracciones y por el uso de propiedades raíces, potencias, logaritmos, etc.

• Sumar el mismo número a ambos lados de una ecuación o restar el mismo número a ambos lados de una ecuación.

Mostramos anteriormente que esta transformación siempre es equivalente, es decir, conduce a una ecuación equivalente. Adelante.

• Sumar la misma expresión a ambos lados de una ecuación o restar la misma expresión a ambos lados de una ecuación.

En el párrafo anterior, agregamos la condición de que la ODZ de la expresión que se suma o resta no debe ser más estrecha que la ODZ de la ecuación que se transforma. Esta condición hacía equivalente la transformación en cuestión. Aquí hay argumentos similares a los dados al comienzo de este párrafo del artículo sobre el hecho de que una ecuación equivalente es un caso especial de una ecuación corolaria y que el conocimiento sobre la equivalencia de una transformación es prácticamente más útil que el conocimiento sobre la misma. transformación, sino desde el punto de vista del hecho de que conduce a una ecuación corolaria.

¿Es posible, como resultado de sumar la misma expresión o restar la misma expresión de ambos lados de una ecuación, obtener una ecuación que, además de todas las raíces de la ecuación original, tendrá algunas otras raíces? No, no puede. Si la ODZ de la expresión que se suma o resta no es más estrecha que la ODZ de la ecuación original, entonces, como resultado de la suma o resta, se obtendrá una ecuación equivalente. Si la ODZ de la expresión que se suma o resta es más estrecha que la ODZ de la ecuación original, esto puede provocar la pérdida de raíces y no la aparición de raíces extrañas. Hablaremos más sobre esto en el siguiente párrafo.

• Transferir un término de una parte de la ecuación a otra con el signo cambiado al opuesto.

Esta transformación de la ecuación es siempre equivalente. Por tanto, no tiene sentido considerarla como una transformación que conduce a una ecuación-consecuencia, por las razones expuestas anteriormente.

• Multiplicar o dividir ambos lados de una ecuación por el mismo número.

En el párrafo anterior demostramos que si la multiplicación o división de ambos lados de la ecuación se realiza por un número distinto de cero, entonces esta es una transformación equivalente de la ecuación. Por lo tanto, nuevamente, no tiene sentido hablar de ello como una transformación que conduce a una ecuación corolaria.

Pero aquí vale la pena prestar atención a la reserva sobre la diferencia con respecto a cero del número por el cual se multiplican o dividen ambos lados de la ecuación. Para la división, esta reserva es comprensible: desde la escuela primaria entendimos que No puedes dividir por cero. ¿Por qué esta cláusula para la multiplicación? Pensemos en lo que resulta al multiplicar ambos lados de la ecuación por cero. Para mayor claridad, tomemos una ecuación específica, por ejemplo, 2 x+1=x+5. Esta es una ecuación lineal que tiene una única raíz, que es el número 4. Anotamos la ecuación que se obtendrá multiplicando ambos lados de esta ecuación por cero: (2 x+1) 0=(x+5) 0. Obviamente, la raíz de esta ecuación es cualquier número, porque cuando sustituyes cualquier número en esta ecuación en lugar de la variable x, obtienes la igualdad numérica correcta 0=0. Es decir, en nuestro ejemplo, multiplicar ambos lados de la ecuación por cero condujo a una ecuación corolaria, que provocó la aparición de un número infinito de raíces extrañas a la ecuación original. Además, vale la pena señalar que en este caso los métodos habituales para detectar raíces extrañas no cumplen con su tarea. Esto significa que la transformación realizada es inútil para resolver la ecuación original. Y ésta es una situación típica de la transformación que estamos considerando. Esta es la razón por la que una transformación como multiplicar ambos lados de una ecuación por cero no se utiliza para resolver ecuaciones. Todavía tenemos que mirar esta transformación y otras transformaciones que no deberían usarse para resolver ecuaciones en el último párrafo.

• Multiplicar o dividir ambos lados de una ecuación por la misma expresión.

En el párrafo anterior demostramos que esta transformación es equivalente si se cumplen dos condiciones. Recordémosles. La primera condición: la DO de esta expresión no debe ser más estrecha que la DO de la ecuación original. La segunda condición: la expresión por la cual se realiza la multiplicación o división no debe desaparecer en la ODZ de la ecuación original.

Cambiemos la primera condición, es decir, asumiremos que la OD de la expresión por la cual planeamos multiplicar o dividir ambas partes de la ecuación es más estrecha que la OD de la ecuación original. Como resultado de dicha transformación, se obtendrá una ecuación para la cual la ODZ será más estrecha que la ODZ de la ecuación original. Estas transformaciones pueden provocar la pérdida de raíces; hablaremos de ellas en el siguiente párrafo.

¿Qué pasará si eliminamos la segunda condición sobre los valores distintos de cero de la expresión por la cual ambos lados de la ecuación se multiplican o dividen por la ODZ de la ecuación original?

Dividir ambos lados de la ecuación por la misma expresión, que desaparece por la OD de la ecuación original, dará como resultado una ecuación cuya OD es más estrecha que la OD de la ecuación original. De hecho, los números se caerán, convirtiendo en cero la expresión mediante la cual se realizó la división. Esto puede provocar la pérdida de raíces.

¿Qué tal multiplicar ambos lados de la ecuación por la misma expresión, que desaparece en la ODZ de la ecuación original? Se puede demostrar que cuando ambos lados de la ecuación A(x)=B(x) se multiplican por la expresión C(x), para la cual la ODZ no es más estrecha que la ODZ de la ecuación original, y que desaparece en la ODZ para la ecuación original, la ecuación que se obtiene es consecuencia de que, además de todas las raíces de la ecuación A(x)=B(x), también puede tener otras raíces. Hagámoslo, sobre todo porque este párrafo del artículo está dedicado precisamente a las transformaciones que conducen a ecuaciones corolarias.

Sea la expresión C(x) tal que la ODZ para ella no sea más estrecha que la ODZ para la ecuación A(x)=B(x), y desaparezca en la ODZ para la ecuación A(x)=B(x ). Probemos que en este caso la ecuación A(x)·C(x)=B(x)·C(x) es consecuencia de la ecuación A(x)=B(x) .

Sea q la raíz de la ecuación A(x)=B(x). Entonces A(q)=B(q) es una verdadera igualdad numérica. Dado que la ODZ para la expresión C(x) no es más estrecha que la ODZ para la ecuación A(x)=B(x), entonces la expresión C(x) se define en x=q, lo que significa que C(q) es un número determinado. Multiplicar ambos lados de una igualdad numérica verdadera por cualquier número da una igualdad numérica verdadera, por lo tanto, A(q)·C(q)=B(q)·C(q) es una igualdad numérica verdadera. Esto significa que q es la raíz de la ecuación A(x)·C(x)=B(x)·C(x). Esto prueba que cualquier raíz de la ecuación A(x)=B(x) es una raíz de la ecuación A(x) C(x)=B(x) C(x), lo que significa que la ecuación A(x) C (x)=B(x)·C(x) es consecuencia de la ecuación A(x)=B(x) .

Tenga en cuenta que bajo las condiciones especificadas, la ecuación A(x)·C(x)=B(x)·C(x) puede tener raíces que son extrañas a la ecuación original A(x)=B(x). Todos son números de la ODZ para la ecuación original que convierte la expresión C(x) en cero (todos los números que convierten la expresión C(x) en cero son las raíces de la ecuación A(x) C(x)=B (x) C(x) , ya que su sustitución en la ecuación indicada da la igualdad numérica correcta 0=0 ), pero que no son raíces de la ecuación A(x)=B(x) . Las ecuaciones A(x)=B(x) y A(x)·C(x)=B(x)·C(x) bajo las condiciones especificadas serán equivalentes cuando todos los números de la ODZ para la ecuación A(x )=B (x) , que hacen que la expresión C(x) desaparezca, son las raíces de la ecuación A(x)=B(x) .

Entonces, multiplicar ambos lados de la ecuación por la misma expresión, cuya ODZ no es más estrecha que la ODZ de la ecuación original, y que desaparece por la ODZ de la ecuación original, en el caso general conduce a una ecuación corolaria, que es decir, puede dar lugar a la aparición de raíces extrañas.

Pongamos un ejemplo para ilustrar. Tomemos la ecuación x+3=4. Su única raíz es el número 1. Multipliquemos ambos lados de esta ecuación por la misma expresión, que anula la ODZ de la ecuación original, por ejemplo, por x·(x−1) . Esta expresión desaparece en x=0 y x=1. Multiplicar ambos lados de la ecuación por esta expresión nos da la ecuación (x+3) x (x−1)=4 x (x−1). La ecuación resultante tiene dos raíces: 1 y 0. El número 0 es una raíz extraña de la ecuación original que apareció como resultado de la transformación.

Transformaciones que pueden provocar la pérdida de raíces.

Algunas conversiones bajo ciertas condiciones pueden provocar la pérdida de raíces. Por ejemplo, al dividir ambos lados de la ecuación x·(x−2)=x−2 por la misma expresión x−2, la raíz se pierde. De hecho, como resultado de tal transformación, la ecuación x=1 se obtiene con una sola raíz, que es el número 1, y la ecuación original tiene dos raíces 1 y 2.

Es necesario comprender claramente cuándo se pierden raíces como resultado de transformaciones, para no perder raíces al resolver ecuaciones. Resolvamos esto.

Como resultado de estas transformaciones, la pérdida de raíces puede ocurrir si y sólo si la ODZ de la ecuación transformada resulta ser más estrecha que la ODZ de la ecuación original.

Para probar esta afirmación es necesario fundamentar dos puntos. Primero, es necesario demostrar que si, como resultado de las transformaciones indicadas de la ecuación, la ODZ se estrecha, entonces puede ocurrir una pérdida de raíces. Y, en segundo lugar, es necesario justificar que si como resultado de estas transformaciones se pierden las raíces, entonces la ODZ de la ecuación resultante es más estrecha que la ODZ de la ecuación original.

Si la ODZ de la ecuación obtenida como resultado de la transformación es más estrecha que la ODZ de la ecuación original, entonces, naturalmente, ni una sola raíz de la ecuación original ubicada fuera de la ODZ de la ecuación resultante puede ser la raíz de la ecuación. obtenido como resultado de la transformación. Esto significa que todas estas raíces se perderán al pasar de la ecuación original a una ecuación en la que la ODZ es más estrecha que la ODZ de la ecuación original.

Ahora de nuevo. Demostremos que si, como resultado de estas transformaciones, las raíces se pierden, entonces la ODZ de la ecuación resultante es más estrecha que la ODZ de la ecuación original. Esto se puede hacer mediante el método opuesto. La suposición de que como resultado de estas transformaciones se pierden las raíces, pero la ODZ no se estrecha, contradice las afirmaciones probadas en los párrafos anteriores. De hecho, de estas afirmaciones se deduce que si al realizar las transformaciones indicadas no se reduce la ODZ, entonces se obtienen ecuaciones equivalentes o ecuaciones corolarias, lo que significa que no puede ocurrir pérdida de raíces.

Entonces, la razón de la posible pérdida de raíces al realizar transformaciones básicas de ecuaciones es el estrechamiento de la ODZ. Está claro que a la hora de resolver ecuaciones no debemos perder raíces. Aquí, naturalmente, surge la pregunta: "¿Qué hacer para no perder raíces al transformar ecuaciones"? La responderemos en el siguiente párrafo. Ahora repasemos la lista de transformaciones básicas de ecuaciones para ver con más detalle qué transformaciones pueden llevar a la pérdida de raíces.

• Reemplazar expresiones en los lados izquierdo y derecho de la ecuación con expresiones idénticamente iguales.

Si reemplaza la expresión en el lado izquierdo o derecho de la ecuación con una expresión idénticamente igual, cuya OD es más estrecha que la OD de la ecuación original, esto conducirá a un estrechamiento de la OD y, debido a esto, las raíces puede perderse. Muy a menudo, la sustitución de expresiones en el lado izquierdo o derecho de las ecuaciones por expresiones idénticamente iguales, realizada sobre la base de algunas propiedades de raíces, potencias, logaritmos y algunas fórmulas trigonométricas, conduce a un estrechamiento de la ODZ y, como consecuencia , a la posible pérdida de raíces. Por ejemplo, reemplazar la expresión en el lado izquierdo de la ecuación con una expresión idénticamente igual estrecha la ODZ y conduce a la pérdida de la raíz −16. De manera similar, reemplazar la expresión en el lado izquierdo de la ecuación con una expresión idénticamente igual conduce a una ecuación para la cual la ODZ es más estrecha que la ODZ de la ecuación original, lo que implica la pérdida de la raíz −3.

• Sumar el mismo número a ambos lados de una ecuación o restar el mismo número a ambos lados de una ecuación.

Esta transformación es equivalente, por lo tanto, no se pueden perder raíces durante su implementación.

• Sumar la misma expresión a ambos lados de una ecuación o restar la misma expresión a ambos lados de una ecuación.

Si sumas o restas una expresión cuya ODZ es más estrecha que la ODZ de la ecuación original, esto conducirá a un estrechamiento de la ODZ y, como consecuencia, a una posible pérdida de raíces. Vale la pena tener esto en cuenta. Pero aquí vale la pena señalar que en la práctica generalmente es necesario recurrir a la suma o resta de expresiones que están presentes en el registro de la ecuación original, lo que no conduce a un cambio en la ODZ y no implica la pérdida de raíces.

• Transferir un término de una parte de la ecuación a otra con el signo cambiado al opuesto.

Esta transformación de la ecuación es equivalente, por lo tanto, como resultado de su implementación, las raíces no se pierden.

• Multiplicar o dividir ambos lados de una ecuación por el mismo número distinto de cero.

Esta transformación también es equivalente, por lo que no se produce la pérdida de raíces.

• Multiplicar o dividir ambos lados de una ecuación por la misma expresión.

Esta transformación puede conducir a un estrechamiento de la OD en dos casos: cuando la OD de la expresión por la que se realiza la multiplicación o división es más estrecha que la OD de la ecuación original, y cuando la división se realiza mediante una expresión que se convierte en cero en la OD de la ecuación original. Tenga en cuenta que, en la práctica, normalmente no es necesario recurrir a multiplicar y dividir ambos lados de la ecuación por una expresión con un VA más estrecho. Pero tienes que lidiar con la división por una expresión que se convierte en cero para la ecuación original. Existe un método que le permite hacer frente a la pérdida de raíces durante dicha división, hablaremos de ello en el siguiente párrafo de este artículo.

¿Cómo evitar la pérdida de raíces?

Si usa solo transformaciones de para transformar ecuaciones y al mismo tiempo no permite el estrechamiento de la ODZ, entonces no se producirá la pérdida de raíces.

¿Significa esto que no se pueden realizar otras transformaciones de las ecuaciones? No, no significa eso. Si se le ocurre alguna otra transformación de la ecuación y la describe completamente, es decir, indica cuándo conduce a ecuaciones equivalentes, cuándo a ecuaciones corolarias y cuándo puede conducir a la pérdida de raíces, entonces bien podría adoptarse.

¿Deberíamos abandonar por completo las reformas que limitarían el DPD? No debería estar haciendo eso. No estaría de más tener en nuestro arsenal transformaciones en las que un número finito de números salgan de la ODZ de la ecuación original. ¿Por qué no deberían abandonarse tales transformaciones? Porque existe un método para evitar la pérdida de raíces en estos casos. Consiste en una verificación separada de los números que salen de la ODZ para ver si entre ellos hay raíces de la ecuación original. Puedes comprobar esto sustituyendo estos números en la ecuación original. Aquellas de ellas que, al ser sustituidas, dan la igualdad numérica correcta, son las raíces de la ecuación original. Deben incluirse en la respuesta. Después de dicha verificación, podrá llevar a cabo de manera segura la transformación planificada sin temor a perder sus raíces.

Una transformación típica en la que la ODZ de una ecuación se reduce a varios números es dividir ambos lados de la ecuación por la misma expresión, que se vuelve cero en varios puntos de la ODZ de la ecuación original. Esta transformación es la base del método de solución. ecuaciones recíprocas. Pero también se utiliza para resolver otro tipo de ecuaciones. Pongamos un ejemplo.

La ecuación se puede resolver introduciendo una nueva variable. Para introducir una nueva variable, debes dividir ambos lados de la ecuación entre 1+x. Pero con tal división, puede ocurrir una pérdida de raíz, ya que aunque la ODZ para la expresión 1+x no es más estrecha que la ODZ para la ecuación original, la expresión 1+x se vuelve cero en x=−1, y este número pertenece a la ODZ para la ecuación original. Esto significa que la raíz −1 puede perderse. Para eliminar la pérdida de una raíz, debes verificar por separado si −1 es una raíz de la ecuación original. Para hacer esto, puedes sustituir −1 en la ecuación original y ver qué igualdad obtienes. En nuestro caso, la sustitución da la igualdad, que es lo mismo que 4=0. Esta igualdad es falsa, lo que significa que −1 no es la raíz de la ecuación original. Después de dicha verificación, puede realizar la división prevista de ambos lados de la ecuación por 1 + x, sin temor a que se pierdan las raíces.

Al final de este párrafo, volvamos una vez más a las ecuaciones del párrafo anterior y. Transformación de estas ecuaciones basadas en identidades y Conduce a un estrechamiento de la ODZ, y esto conlleva la pérdida de raíces. En este punto dijimos que para no perder nuestras raíces debemos abandonar las reformas que estrechan la ZD. Esto significa que hay que abandonar estas transformaciones. ¿Pero qué debemos hacer? Es posible realizar transformaciones no basadas en identidades y , por lo que la ODZ se reduce, y sobre la base de identidades y . Como resultado de la transición de las ecuaciones originales a las ecuaciones y no hay estrechamiento de la ODZ, lo que significa que no se perderán las raíces.

Aquí observamos especialmente que al reemplazar expresiones con expresiones idénticamente iguales, debe asegurarse cuidadosamente de que las expresiones sean exactamente idénticamente iguales. Por ejemplo, en la ecuación. es imposible reemplazar la expresión x+3 con una expresión para simplificar la apariencia del lado izquierdo para , ya que las expresiones x+3 y no son idénticamente iguales, porque sus valores no coinciden en x+3<0 . В нашем примере такое преобразование приводит к потере корня. А в общем случае замена выражения не тождественно равным выражением приводит к уравнению, которое не позволяет получить решение исходного уравнения.

Transformaciones de ecuaciones que no deben usarse

Las transformaciones mencionadas en este artículo suelen ser suficientes para las necesidades prácticas. Es decir, no deberías preocuparte demasiado por idear otras transformaciones; es mejor centrarte en el uso correcto de las ya probadas.

Literatura

1. Mordkovich A.G.Álgebra e inicio del análisis matemático. Grado 11. En 2 horas Parte 1. Libro de texto para estudiantes de instituciones de educación general (nivel de perfil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2ª ed., borrada. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: enfermo. ISBN 978-5-346-01027-2.
2. Álgebra y el comienzo del análisis matemático. Décimo grado: libro de texto. para educación general Instituciones: básica y perfil. niveles / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; editado por A. B. Zhizhchenko. - 3ª edición. - M.: Educación, 2010.- 368 p.: ill.-ISBN 978-5-09-022771-1.