En la etapa de preparación para el examen final, los estudiantes de secundaria deben mejorar sus conocimientos sobre el tema "Ecuaciones exponenciales". La experiencia de los últimos años indica que estas tareas plantean ciertas dificultades a los escolares. Por lo tanto, los estudiantes de secundaria, independientemente de su nivel de preparación, deben dominar a fondo la teoría, recordar las fórmulas y comprender el principio de resolución de dichas ecuaciones. Habiendo aprendido a afrontar este tipo de problemas, los graduados pueden contar con puntuaciones altas al aprobar el Examen Estatal Unificado de Matemáticas.
¡Prepárate para los exámenes con Shkolkovo!
Al revisar los materiales que han cubierto, muchos estudiantes se enfrentan al problema de encontrar las fórmulas necesarias para resolver ecuaciones. No siempre se dispone de un libro de texto escolar y seleccionar la información necesaria sobre un tema en Internet lleva mucho tiempo.
El portal educativo Shkolkovo invita a los estudiantes a utilizar nuestra base de conocimientos. Estamos implementando un método completamente nuevo de preparación para la prueba final. Al estudiar en nuestro sitio web, podrá identificar lagunas de conocimiento y prestar atención a aquellas tareas que causan mayor dificultad.
Los profesores de Shkolkovo reunieron, sistematizaron y presentaron todo el material necesario para aprobar con éxito el Examen Estatal Unificado de la forma más sencilla y accesible.
Las definiciones y fórmulas básicas se presentan en la sección "Antecedentes teóricos".
Para comprender mejor el material, le recomendamos que practique completando las tareas. Revise detenidamente los ejemplos de ecuaciones exponenciales con soluciones presentados en esta página para comprender el algoritmo de cálculo. Luego de eso, proceda a realizar tareas en la sección “Directorios”. Puedes comenzar con las tareas más sencillas o pasar directamente a resolver ecuaciones exponenciales complejas con varias incógnitas o . La base de datos de ejercicios de nuestro sitio web se complementa y actualiza constantemente.
Aquellos ejemplos con indicadores que le causaron dificultades se pueden agregar a "Favoritos". De esta manera podrás encontrarlos rápidamente y discutir la solución con tu profesor.
Para aprobar con éxito el Examen Estatal Unificado, ¡estudie en el portal Shkolkovo todos los días!
No te asustes por mis palabras, ya te topaste con este método en séptimo grado cuando estudiabas polinomios.
Por ejemplo, si necesitaras:
Agrupemos: el primer y tercer término, así como el segundo y cuarto.
Está claro que el primero y el tercero son la diferencia de cuadrados:
y el segundo y el cuarto tienen un factor común de tres:
Entonces la expresión original es equivalente a esta:
Dónde derivar el factor común ya no es difícil:
Por eso,
Esto es aproximadamente lo que haremos al resolver ecuaciones exponenciales: buscar "común" entre los términos y sacarlo de los paréntesis, y luego, pase lo que pase, creo que tendremos suerte =))
Ejemplo No. 14
La derecha está lejos de una potencia de siete (¡lo comprobé!) Y la izquierda no es mucho mejor...
Por supuesto, puede "cortar" el factor a del segundo término del primer término y luego lidiar con lo que obtuvo, pero seamos más prudentes con usted.
No quiero lidiar con las fracciones que inevitablemente se forman al "seleccionar", así que ¿no debería eliminarlas?
Entonces no tendré fracciones: como dicen, los lobos están alimentados y las ovejas están a salvo:
Calcula la expresión entre paréntesis.
Mágicamente, mágicamente, resulta que (sorprendentemente, aunque ¿qué más deberíamos esperar?).
Luego reducimos ambos lados de la ecuación por este factor. Obtenemos: , de.
Aquí hay un ejemplo más complicado (bastante, en realidad):
¡Que problema! ¡Aquí no tenemos ningún punto en común!
No está del todo claro qué hacer ahora.
Hagamos lo que podamos: primero, mueva los “cuatros” hacia un lado y los “cinco” hacia el otro:
Ahora eliminemos al "general" de izquierda y derecha:
¿Y ahora qué?
¿Cuál es el beneficio de un grupo tan estúpido? A primera vista no se ve nada, pero veamos más profundamente:
Bueno, ahora nos aseguraremos de que a la izquierda solo tengamos la expresión c, y a la derecha, todo lo demás.
Cómo hacemos esto?
He aquí cómo: divide ambos lados de la ecuación primero por (para eliminar el exponente de la derecha) y luego divide ambos lados por (para eliminar el factor numérico de la izquierda).
Finalmente obtenemos:
¡Increíble!
A la izquierda tenemos una expresión y a la derecha tenemos una expresión simple.
Entonces inmediatamente concluimos que
Ejemplo No. 15
Le daré una breve solución (sin molestarme mucho con explicaciones), intentaré comprender usted mismo todas las "sutilezas" de la solución.
Ahora vamos a la consolidación final del material cubierto.
Resolver de forma independiente los siguientes 7 problemas (con respuestas)
- Saquemos el factor común de paréntesis: Donde:
- Presentemos la primera expresión en la forma: , divida ambos lados por y obtenga eso
- , luego la ecuación original se transforma a la forma: Bueno, ahora una pista: ¡busca dónde tú y yo ya hemos resuelto esta ecuación!
- Imagina cómo, cómo, ah, bueno, luego divide ambos lados entre, para obtener la ecuación exponencial más simple.
- Sácalo de los soportes.
- Sácalo de los soportes.
ECUACIONES EXPONENTARIAS. NIVEL PROMEDIO
Supongo que después de leer el primer artículo, que hablaba de ¿Qué son las ecuaciones exponenciales y cómo resolverlas?, has dominado los conocimientos mínimos necesarios para resolver los ejemplos más simples.
Ahora veré otro método para resolver ecuaciones exponenciales, este es...
Método para introducir una nueva variable (o reemplazo)
Resuelve la mayoría de los problemas "difíciles" sobre el tema de ecuaciones exponenciales (y no sólo ecuaciones).
Este método es uno de más frecuentemente utilizado en la práctica. Primero, te recomiendo que te familiarices con el tema.
Como ya entendiste por el nombre, la esencia de este método es introducir tal cambio de variable que tu ecuación exponencial se transformará milagrosamente en una que puedas resolver fácilmente.
Lo único que le queda después de resolver esta “ecuación simplificada” es hacer un “reemplazo inverso”: es decir, regresar de lo reemplazado a lo reemplazado.
Ilustremos lo que acabamos de decir con un ejemplo muy sencillo:
Ejemplo 16. Método de reemplazo simple
Esta ecuación se puede resolver usando "reemplazo sencillo", como lo llaman despectivamente los matemáticos.
De hecho, el reemplazo aquí es el más obvio. Sólo hay que ver que
Entonces la ecuación original se convertirá en esta:
Si además imaginas cómo, entonces está absolutamente claro que es necesario reemplazar...
Por supuesto, .
¿En qué se convierte entonces la ecuación original? Esto es lo que:
Puedes encontrar fácilmente sus raíces por tu cuenta: .
¿Qué debemos hacer ahora?
Es hora de volver a la variable original.
¿Qué se me olvidó mencionar?
A saber: al reemplazar un cierto grado con una nueva variable (es decir, al reemplazar un tipo), me interesará ¡Solo raíces positivas!
Usted mismo puede responder fácilmente por qué.
Por lo tanto, a usted y a mí no nos interesa, pero la segunda raíz nos conviene bastante:
Entonces de dónde.
Respuesta:
Como puedes ver, en el ejemplo anterior, un reemplazo solo pedía nuestras manos. Desafortunadamente, este no es siempre el caso.
Sin embargo, no vayamos directamente a lo triste, sino que practiquemos con un ejemplo más con un reemplazo bastante simple.
Ejemplo 17. Método de reemplazo simple
Está claro que lo más probable es que sea necesario reemplazarlo (este es el grado más pequeño incluido en nuestra ecuación).
Sin embargo, antes de introducir un reemplazo, nuestra ecuación debe estar “preparada” para ello, a saber: , .
Luego puedes reemplazar, como resultado obtengo la siguiente expresión:
Oh horror: una ecuación cúbica con fórmulas absolutamente terribles para resolverla (bueno, hablando en términos generales).
Pero no nos desesperemos de inmediato, sino pensemos en lo que debemos hacer.
Sugeriré hacer trampa: sabemos que para obtener una respuesta “hermosa”, necesitamos obtenerla en forma de alguna potencia de tres (¿por qué sería eso, eh?).
Intentemos adivinar al menos una raíz de nuestra ecuación (comenzaré a adivinar con potencias de tres).
Primera suposición. No es una raíz. Ay y ah...
.
El lado izquierdo es igual.
Parte derecha: !
¡Comer! Adiviné la primera raíz. ¡Ahora las cosas serán más fáciles!
¿Conoce el esquema de división en “esquinas”? Por supuesto que sí, lo usas cuando divides un número por otro.
Pero pocas personas saben que se puede hacer lo mismo con los polinomios.
Hay un teorema maravilloso:
Aplicando a mi situación, esto me dice que es divisible sin resto por.
¿Cómo se lleva a cabo la división? Así es como:
Miro para ver por qué monomio debo multiplicar para obtener
Está claro que, entonces:
Resto la expresión resultante y obtengo:
Ahora bien, ¿por qué necesito multiplicar para obtener?
Está claro que, entonces obtendré:
y nuevamente restamos la expresión resultante de la restante:
Bueno, el último paso es multiplicar y restar de la expresión restante:
¡Hurra, se acabó la división! ¿Qué hemos acumulado en privado?
Por sí mismo: .
Luego obtuvimos la siguiente expansión del polinomio original:
Resolvamos la segunda ecuación:
Tiene raíces:
Entonces la ecuación original:
tiene tres raíces:
Por supuesto, descartaremos la última raíz, ya que es menor que cero.
Y los dos primeros después del reemplazo inverso nos darán dos raíces:
Respuesta: ..
¡No quise asustarte con este ejemplo!
Más bien, por el contrario, mi objetivo era mostrar que, aunque teníamos un reemplazo bastante simple, conducía a una ecuación bastante compleja, cuya solución requería algunas habilidades especiales de nuestra parte.
Bueno, nadie es inmune a esto. Pero el reemplazo en este caso fue bastante obvio.
Ejemplo No. 18 (con un reemplazo menos obvio)
No está nada claro qué debemos hacer: el problema es que en nuestra ecuación hay dos bases diferentes y no se puede obtener una base de la otra elevándola a cualquier potencia (razonable, naturalmente).
Sin embargo, ¿qué vemos?
Ambas bases difieren sólo en signo, y su producto es la diferencia de cuadrados igual a uno:
Definición:
Por tanto, los números que son las bases en nuestro ejemplo son conjugados.
En este caso, el paso inteligente sería Multiplica ambos lados de la ecuación por el número conjugado.
Por ejemplo, en, entonces el lado izquierdo de la ecuación será igual a, y el derecho.
Si hacemos una sustitución, entonces nuestra ecuación original quedará así:
sus raíces, entonces, y recordando eso, lo entendemos.
Respuesta: , .
Como regla general, el método de reemplazo es suficiente para resolver la mayoría de las ecuaciones exponenciales "escolares".
Las siguientes tareas de mayor nivel de complejidad se toman de las variantes del Examen Estatal Unificado.
Tres tareas de mayor complejidad de las variantes del Examen Estatal Unificado
Ya eres lo suficientemente alfabetizado como para resolver estos ejemplos por tu cuenta. Sólo daré el reemplazo requerido.
- Resuelve la ecuación:
- Encuentra las raíces de la ecuación:
- Resuelve la ecuación: . Encuentra todas las raíces de esta ecuación que pertenecen al segmento:
Y ahora algunas breves explicaciones y respuestas:
Ejemplo No. 19
Aquí nos basta señalar que...
Entonces la ecuación original será equivalente a esta:
Esta ecuación se puede resolver reemplazando
Haga usted mismo los cálculos adicionales.
Al final, tu tarea se reducirá a resolver problemas trigonométricos sencillos (según seno o coseno). Veremos soluciones a ejemplos similares en otras secciones.
Ejemplo No. 20
Aquí puedes incluso prescindir de repuestos...
Basta con mover el sustraendo hacia la derecha y representar ambas bases mediante potencias de dos: , y luego pasar inmediatamente a la ecuación cuadrática.
Ejemplo No. 21
Esto también se soluciona de una forma bastante estándar: imaginemos cómo.
Luego, reemplazando, obtenemos una ecuación cuadrática: entonces,
Ya sabes qué es un logaritmo, ¿verdad? ¿No? ¡Entonces lea el tema con urgencia!
La primera raíz obviamente no pertenece al segmento, ¡pero la segunda no está clara!
¡Pero lo descubriremos muy pronto!
Desde entonces (¡ésta es una propiedad del logaritmo!)
Restando de ambos lados obtenemos:
El lado izquierdo se puede representar como:
multiplica ambos lados por:
se puede multiplicar por, entonces
Entonces compare:
Desde entonces:
Entonces la segunda raíz pertenece al intervalo requerido.
Respuesta:
Como ves, La selección de raíces de ecuaciones exponenciales requiere un conocimiento bastante profundo de las propiedades de los logaritmos., por lo que te aconsejo que tengas el mayor cuidado posible al resolver ecuaciones exponenciales.
Como comprenderás, ¡en matemáticas todo está interconectado!
Como decía mi profesor de matemáticas: “las matemáticas, como la historia, no se pueden leer de la noche a la mañana”.
Como regla general, todos La dificultad para resolver problemas de mayor nivel de complejidad es precisamente la selección de las raíces de la ecuación.
Otro ejemplo para practicar...
Ejemplo 22
Está claro que la ecuación en sí se resuelve de forma bastante sencilla.
Al hacer una sustitución, reducimos nuestra ecuación original a lo siguiente:
Primero veamos primera raíz.
Comparemos y: desde entonces. (propiedad de una función logarítmica, en).
Entonces queda claro que la primera raíz no pertenece a nuestro intervalo.
Ahora la segunda raíz: . Está claro que (ya que la función a es creciente).
Queda por comparar y...
desde entonces, al mismo tiempo.
De esta manera puedo “clavar una clavija” entre y.
Esta clavija es un número.
La primera expresión es menor y la segunda es mayor.
Entonces la segunda expresión es mayor que la primera y la raíz pertenece al intervalo.
Respuesta: .
Finalmente, veamos otro ejemplo de una ecuación donde la sustitución es bastante inusual.
Ejemplo No. 23 (¡Ecuación con reemplazo no estándar!)
Comencemos de inmediato con lo que se puede hacer y lo que, en principio, se puede hacer, pero es mejor no hacerlo.
Puedes imaginarlo todo a través de las potencias de tres, dos y seis.
¿A dónde lleva?
No conducirá a nada: un revoltijo de títulos, algunos de los cuales serán bastante difíciles de eliminar.
¿Qué se necesita entonces?
Notemos que un
¿Y qué nos dará esto?
¡Y el hecho de que podemos reducir la solución de este ejemplo a la solución de una ecuación exponencial bastante simple!
Primero, reescribamos nuestra ecuación como:
Ahora dividamos ambos lados de la ecuación resultante entre:
¡Eureka! Ahora podemos reemplazar, obtenemos:
Bueno, ahora te toca a ti resolver problemas de demostración, ¡y solo les daré breves comentarios para que no te extravíes! ¡Buena suerte!
Ejemplo No. 24
¡Lo más dificil!
¡Es tan difícil ver un reemplazo aquí! Sin embargo, este ejemplo se puede resolver completamente usando resaltando un cuadrado completo.
Para solucionarlo basta señalar que:
Entonces aquí está tu reemplazo:
(¡¡Ten en cuenta que aquí durante nuestro reemplazo no podemos descartar la raíz negativa!!! ¿Por qué crees?)
Ahora para resolver el ejemplo solo tienes que resolver dos ecuaciones:
Ambos pueden resolverse mediante un “reemplazo estándar” (¡pero el segundo en un ejemplo!)
Ejemplo No. 25
2. Observe eso y haga un reemplazo.
Ejemplo No. 26
3. Descomponga el número en factores coprimos y simplifique la expresión resultante.
Ejemplo No. 27
4. Divide el numerador y denominador de la fracción por (o, si lo prefieres) y haz la sustitución o.
Ejemplo No. 28
5. Observa que los números y están conjugados.
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES EXPONENTARIAS MEDIANTE EL MÉTODO LOGARIFHM. NIVEL AVANZADO
Además, veamos de otra manera: resolver ecuaciones exponenciales usando el método de logaritmo.
No puedo decir que resolver ecuaciones exponenciales usando este método sea muy popular, pero en algunos casos solo puede llevarnos a la solución correcta de nuestra ecuación.
Se utiliza especialmente para resolver el llamado " ecuaciones mixtas": es decir, aquellas donde se dan funciones de distinto tipo.
Ejemplo No. 29
en el caso general, solo se puede resolver tomando logaritmos de ambos lados (por ejemplo, a la base), en lo que la ecuación original quedará como sigue:
Veamos el siguiente ejemplo:
Está claro que según el ODZ de la función logarítmica, solo nos interesa.
Sin embargo, esto se desprende no sólo de la ODZ del logaritmo, sino también por una razón más.
Creo que no te resultará difícil adivinar cuál es.
Llevemos el logaritmo de ambos lados de nuestra ecuación a la base:
Como puedes ver, tomar el logaritmo de nuestra ecuación original nos llevó rápidamente a la respuesta correcta (¡y hermosa!).
Practiquemos con un ejemplo más.
Ejemplo No. 30
Aquí tampoco hay nada de malo: llevemos el logaritmo de ambos lados de la ecuación a la base, luego obtenemos:
Hagamos un reemplazo:
Sin embargo, ¡nos perdimos algo! ¿Notaste dónde cometí un error? Después de todo, entonces:
que no cumple con el requisito (¡piense de dónde viene!)
Respuesta:
Intenta escribir la solución de las ecuaciones exponenciales a continuación:
Ahora compara tu decisión con esto:
Ejemplo No. 31
Logaritmemos ambos lados hasta la base, teniendo en cuenta que:
(la segunda raíz no nos conviene debido a un reemplazo)
Ejemplo No. 32
Llevemos logaritmos a la base:
Transformemos la expresión resultante a la siguiente forma:
ECUACIONES EXPONENTARIAS. BREVE DESCRIPCIÓN Y FÓRMULAS BÁSICAS
Ecuación exponencial
Ecuación de la forma:
llamado la ecuación exponencial más simple.
Propiedades de los grados
Enfoques de solución
- Reducción a la misma base
- Reducción al mismo exponente.
- Reemplazo de variables
- Simplificando la expresión y aplicando una de las anteriores.
Resolver ecuaciones exponenciales. Ejemplos.
¡Atención!
Hay adicionales
materiales en la Sección Especial 555.
Para los que son muy "no muy..."
Y para los que “mucho…”)
Qué ha pasado ecuación exponencial? Esta es una ecuación en la que las incógnitas (x) y las expresiones con ellas están en indicadores algunos grados. ¡Y sólo allí! Es importante.
Ahí tienes ejemplos de ecuaciones exponenciales:
3x2x = 8x+3
¡Nota! En las bases de grados (abajo) - sólo números. EN indicadores grados (arriba): una amplia variedad de expresiones con una X. Si, de repente, aparece una X en la ecuación en algún lugar que no sea un indicador, por ejemplo:
esta ya será una ecuación de tipo mixto. Estas ecuaciones no tienen reglas claras para resolverlas. No los consideraremos por ahora. Aquí nos ocuparemos resolver ecuaciones exponenciales en su forma más pura.
De hecho, incluso las ecuaciones exponenciales puras no siempre se resuelven con claridad. Pero hay ciertos tipos de ecuaciones exponenciales que pueden y deben resolverse. Estos son los tipos que consideraremos.
Resolver ecuaciones exponenciales simples.
Primero, resolvamos algo muy básico. Por ejemplo:
Incluso sin ninguna teoría, por simple selección queda claro que x = 2. Nada más, ¿verdad? Ningún otro valor de X funciona. Ahora veamos la solución a esta complicada ecuación exponencial:
¿Qué hemos hecho? De hecho, simplemente tiramos las mismas bases (triples). Completamente descartado. ¡Y la buena noticia es que hemos dado en el clavo!
De hecho, si en una ecuación exponencial hay izquierda y derecha lo mismo números en cualquier potencia, estos números se pueden eliminar y los exponentes se pueden igualar. Las matemáticas lo permiten. Queda por resolver una ecuación mucho más simple. Genial, ¿verdad?)
Sin embargo, recordemos firmemente: ¡Puedes eliminar bases solo cuando los números de base a la izquierda y a la derecha estén espléndidamente aislados! Sin vecinos ni coeficientes. Digamos en las ecuaciones:
2 x +2 x +1 = 2 3, o
¡Los dos no se pueden eliminar!
Bueno, hemos dominado lo más importante. Cómo pasar de malvadas expresiones exponenciales a ecuaciones más simples.
"¡Esos son los tiempos!" - tu dices. “¿¡Quién daría una lección tan primitiva sobre pruebas y exámenes!?”
Tengo que estar de acuerdo. Nadie lo hará. Pero ahora sabes hacia dónde apuntar al resolver ejemplos complicados. Debe llevarse al formulario donde esté el mismo número base a la izquierda y a la derecha. Entonces todo será más fácil. En realidad, este es un clásico de las matemáticas. Tomamos el ejemplo original y lo transformamos al deseado. a nosotros mente. Por supuesto, según las reglas de las matemáticas.
Veamos ejemplos que requieren un esfuerzo adicional para reducirlos a lo más simple. llamémoslos ecuaciones exponenciales simples.
Resolver ecuaciones exponenciales simples. Ejemplos.
Al resolver ecuaciones exponenciales, las reglas principales son acciones con grados. Sin conocimiento de estas acciones nada funcionará.
A las acciones con grados hay que añadir la observación personal y el ingenio. ¿Necesitamos los mismos números base? Por eso los buscamos en el ejemplo de forma explícita o cifrada.
Veamos cómo se hace esto en la práctica.
Pongamos un ejemplo:
2 2x - 8x+1 = 0
La primera mirada atenta es hacia jardines. Ellos... ¡Son diferentes! Dos y ocho. Pero es demasiado pronto para desanimarse. Es hora de recordar eso
Dos y ocho son parientes de grado.) Es muy posible escribir:
8x+1 = (2 3)x+1
Si recordamos la fórmula de operaciones con grados:
(un norte) m = un norte m,
esto funciona genial:
8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)
El ejemplo original empezó a verse así:
2 2x - 2 3(x+1) = 0
transferimos 2 3 (x+1) a la derecha (¡nadie ha cancelado las operaciones elementales de matemáticas!), obtenemos:
2 2x = 2 3(x+1)
Eso es prácticamente todo. Quitando las bases:
Resolvemos este monstruo y obtenemos
Esta es la respuesta correcta.
En este ejemplo, conocer las potencias de dos nos ayudó. Nosotros identificado en ocho hay un dos cifrado. ¡Esta técnica (codificar bases comunes bajo diferentes números) es una técnica muy popular en ecuaciones exponenciales! Sí, y también en logaritmos. Debes poder reconocer potencias de otros números en los números. Esto es extremadamente importante para resolver ecuaciones exponenciales.
El hecho es que elevar cualquier número a cualquier potencia no es un problema. Multiplica, incluso en papel, y listo. Por ejemplo, cualquiera puede elevar 3 a la quinta potencia. 243 funcionará si conoces la tabla de multiplicar.) Pero en ecuaciones exponenciales, mucho más a menudo no es necesario elevar a una potencia, sino viceversa... Descúbrelo qué número en qué grado está escondido detrás del número 243, o, digamos, 343... Ninguna calculadora te ayudará aquí.
Necesitas conocer las potencias de algunos números de vista, ¿no? ¿Vamos a practicar?
Determina qué potencias y qué números son los números:
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
Respuestas (¡en un lío, por supuesto!):
5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .
Si miras de cerca, puedes ver un hecho extraño. ¡Hay muchas más respuestas que tareas! Bueno, sucede... Por ejemplo, 2 6, 4 3, 8 2, eso es todo 64.
Supongamos que ha tomado nota de la información sobre la familiaridad con los números). Permítame recordarle también que para resolver ecuaciones exponenciales usamos todo acervo de conocimientos matemáticos. Incluidos los de clases junior y media. No fuiste directamente a la escuela secundaria, ¿verdad?)
Por ejemplo, al resolver ecuaciones exponenciales, suele ser útil poner el factor común entre paréntesis (¡hola al séptimo grado!). Veamos un ejemplo:
3 2x+4 -11 9 x = 210
Y de nuevo, ¡el primer vistazo está en los cimientos! Las bases de los grados son diferentes... Tres y nueve. Pero queremos que sean iguales. Pues en este caso el deseo se cumple por completo!) Porque:
9x = (3 2)x = 3 2x
Utilizando las mismas reglas para tratar los títulos:
3 2x+4 = 3 2x ·3 4
Eso es genial, puedes escribirlo:
3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210
Dimos un ejemplo por las mismas razones. Entonces, ¿qué sigue? No se pueden tirar tres... ¿Callejón sin salida?
De nada. Recuerde la regla de decisión más universal y poderosa todos tareas de matemáticas:
Si no sabes lo que necesitas, ¡haz lo que puedas!
Mira, todo saldrá bien).
¿Qué hay en esta ecuación exponencial? Poder¿hacer? Sí, en el lado izquierdo ¡solo pide que lo saquen de paréntesis! El multiplicador general de 3 2x así lo indica claramente. Probemos y luego veremos:
3 2x (3 4 - 11) = 210
3 4 - 11 = 81 - 11 = 70
¡El ejemplo es cada vez mejor!
Recordemos que para eliminar motivos necesitamos un grado puro, sin ningún coeficiente. El número 70 nos molesta. Entonces dividimos ambos lados de la ecuación entre 70 y obtenemos:
¡Ups! ¡Todo mejoró!
Esta es la respuesta final.
Sucede, sin embargo, que se consigue rodar sobre las mismas bases, pero su eliminación no es posible. Esto sucede en otros tipos de ecuaciones exponenciales. Dominemos este tipo.
Reemplazo de una variable al resolver ecuaciones exponenciales. Ejemplos.
Resolvamos la ecuación:
4 x - 3 2 x +2 = 0
Primero, como siempre. Pasemos a una base. A un dos.
4 x = (2 2) x = 2 2 x
Obtenemos la ecuación:
2 2x - 3 2x +2 = 0
Y aquí es donde nos quedamos. Las técnicas anteriores no funcionarán, se mire como se mire. Tendremos que sacar de nuestro arsenal otro método poderoso y universal. Se llama reemplazo de variables.
La esencia del método es sorprendentemente sencilla. En lugar de un icono complejo (en nuestro caso, 2 x), escribimos otro más simple (por ejemplo, t). ¡Un reemplazo aparentemente sin sentido conduce a resultados sorprendentes!) ¡Todo se vuelve claro y comprensible!
Entonces deja
Entonces 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2
En nuestra ecuación reemplazamos todas las potencias con x por t:
Bueno, ¿te das cuenta?) ¿Ya olvidaste las ecuaciones cuadráticas? Resolviendo por el discriminante obtenemos:
Lo principal aquí es no parar, como sucede... Esta aún no es la respuesta, necesitamos x, no t. Volvamos a las X, es decir. hacemos un reemplazo inverso. Primero para t 1:
Eso es,
Se encontró una raíz. Buscamos el segundo del t 2:
Hm... 2 x a la izquierda, 1 a la derecha... ¿Problema? ¡De nada! Basta recordar (de operaciones con poderes, sí...) que una unidad es cualquier número elevado a la potencia cero. Cualquier. Lo que sea necesario, lo instalaremos. Necesitamos un dos. Medio:
Eso es todo ahora. Tenemos 2 raíces:
Esta es la respuesta.
En resolver ecuaciones exponenciales Al final a veces terminas con algún tipo de expresión incómoda. Tipo:
Siete no se puede convertir en dos mediante una simple potencia. No son parientes... ¿Cómo podemos serlo nosotros? Alguien puede estar confundido... Pero la persona que leyó en este sitio el tema “¿Qué es un logaritmo?” , simplemente sonríe moderadamente y escribe con mano firme la respuesta absolutamente correcta:
No puede haber tal respuesta en las tareas "B" del Examen Estatal Unificado. Allí se requiere un número específico. Pero en las tareas "C" es fácil.
Esta lección proporciona ejemplos de cómo resolver las ecuaciones exponenciales más comunes. Destaquemos los puntos principales.
Consejos prácticos:
1. En primer lugar, analizamos jardines grados. Nos preguntamos si es posible hacerlos. idéntico. Intentemos hacer esto usando activamente acciones con grados.¡No olvides que los números sin x también se pueden convertir a potencias!
2. Intentamos llevar la ecuación exponencial a la forma cuando a la izquierda y a la derecha hay lo mismo números en cualquier potencia. Usamos acciones con grados Y factorización. Lo que se puede contar en números, lo contamos.
3. Si el segundo consejo no funcionó, intente utilizar el reemplazo de variables. El resultado puede ser una ecuación que se pueda resolver fácilmente. Más a menudo - cuadrado. O fraccionario, que también se reduce al cuadrado.
4. Para resolver con éxito ecuaciones exponenciales, necesitas conocer de vista las potencias de algunos números.
Como de costumbre, al final de la lección se te invita a decidir un poco). Por tu cuenta. De lo simple a lo complejo.
Resolver ecuaciones exponenciales:
Más difícil:
2x+3 - 2x+2 - 2x = 48
9 x - 8 3 x = 9
2x - 2 0.5x+1 - 8 = 0
Encuentra el producto de raíces:
2 3 + 2 x = 9
¿Sucedió?
Bueno, entonces un ejemplo muy complicado (aunque se puede resolver mentalmente...):
7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3
¿Qué es más interesante? Entonces aquí tienes un mal ejemplo. Bastante tentador para mayor dificultad. Déjame insinuar que en este ejemplo, lo que te salva es el ingenio y la regla más universal para resolver todos los problemas matemáticos).
2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x
Un ejemplo más sencillo, para relajarse):
9 2 x - 4 3 x = 0
Y de postre. Encuentra la suma de las raíces de la ecuación:
x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0
¡Sí Sí! ¡Esta es una ecuación de tipo mixto! Lo cual no consideramos en esta lección. ¡Por qué considerarlos, es necesario resolverlos!) Esta lección es suficiente para resolver la ecuación. Bueno, necesitas ingenio... Y que séptimo grado te ayude (¡esto es una pista!).
Respuestas (en desorden, separadas por punto y coma):
1; 2; 3; 4; no hay soluciones; 2; -2; -5; 4; 0.
¿Está todo bien? Excelente.
¿Hay un problema? ¡Ningún problema! La Sección Especial 555 resuelve todas estas ecuaciones exponenciales con explicaciones detalladas. Qué, por qué y por qué. Y, por supuesto, hay información adicional valiosa sobre cómo trabajar con todo tipo de ecuaciones exponenciales. No sólo estos.)
Una última pregunta divertida a considerar. En esta lección trabajamos con ecuaciones exponenciales. ¿Por qué no dije ni una palabra sobre ODZ aquí? En ecuaciones, esto es algo muy importante, por cierto...
Si te gusta este sitio...
Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).
Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)
Puede familiarizarse con funciones y derivadas.
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Primero, recordemos las fórmulas básicas de las potencias y sus propiedades.
producto de un numero a ocurre sobre sí mismo n veces, podemos escribir esta expresión como a a … a=a n
1. un 0 = 1 (un ≠ 0)
3. una norte una metro = una norte + metro
4. (un n) m = un nm
5. a n b n = (ab) n
7. un norte / un metro = un norte - metro
Ecuaciones de potencia o exponenciales– son ecuaciones en las que las variables están en potencias (o exponentes) y la base es un número.
Ejemplos de ecuaciones exponenciales:
En este ejemplo, el número 6 es la base, siempre está abajo y la variable; X grado o indicador.
Demos más ejemplos de ecuaciones exponenciales.
2×5=10
16x - 4x - 6=0
Ahora veamos cómo se resuelven las ecuaciones exponenciales.
Tomemos una ecuación simple:
2 x = 2 3
Este ejemplo se puede resolver incluso en tu cabeza. Se puede ver que x=3. Después de todo, para que los lados izquierdo y derecho sean iguales, debes poner el número 3 en lugar de x.
Ahora veamos cómo formalizar esta decisión:
2 x = 2 3
x = 3
Para resolver dicha ecuación, eliminamos motivos idénticos(es decir, dos) y anotó lo que quedaba, estos son grados. Obtuvimos la respuesta que estábamos buscando.
Ahora resumamos nuestra decisión.
Algoritmo para resolver la ecuación exponencial:
1. Necesidad de comprobar lo mismo si la ecuación tiene bases a la derecha y a la izquierda. Si los motivos no son los mismos, buscamos opciones para solucionar este ejemplo.
2. Después de que las bases sean iguales, equiparar grados y resuelve la nueva ecuación resultante.
Ahora veamos algunos ejemplos:
Comencemos con algo simple.
Las bases de los lados izquierdo y derecho son iguales al número 2, lo que significa que podemos descartar la base e igualar sus grados.
x+2=4 Se obtiene la ecuación más simple.
x=4 – 2
x=2
Respuesta:x=2
En el siguiente ejemplo puedes ver que las bases son diferentes: 3 y 9.
3 3x - 9x+8 = 0
Primero, movemos el nueve hacia el lado derecho y obtenemos:
Ahora necesitas hacer las mismas bases. Sabemos que 9=3 2. Usemos la fórmula de potencia (an) m = a nm.
3 3x = (3 2)x+8
Obtenemos 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16
3 3x = 3 2x+16 Ahora está claro que en los lados izquierdo y derecho las bases son iguales e iguales a tres, lo que significa que podemos descartarlas e igualar los grados.
3x=2x+16 obtenemos la ecuación más simple
3x - 2x=16
x=16
Respuesta:x=16.
Veamos el siguiente ejemplo:
2 2x+4 - 10 4 x = 2 4
En primer lugar, nos fijamos en las bases, bases dos y cuatro. Y necesitamos que sean iguales. Transformamos los cuatro usando la fórmula (an) m = a nm.
4 x = (2 2) x = 2 2 x
Y también usamos una fórmula a n a m = a n + m:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
Suma a la ecuación:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
Dimos un ejemplo por las mismas razones. Pero nos molestan otros números 10 y 24. ¿Qué hacer con ellos? Si miras de cerca puedes ver que en el lado izquierdo tenemos 2 2x repetido, aquí está la respuesta: podemos poner 2 2x entre paréntesis:
2 2x (2 4 - 10) = 24
Calculemos la expresión entre paréntesis:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Dividimos toda la ecuación por 6:
Imaginemos 4=2 2:
2 2x = 2 2 bases son iguales, las descartamos e igualamos los grados.
2x = 2 es la ecuación más simple. lo dividimos por 2 y obtenemos
x = 1
Respuesta: x = 1.
Resolvamos la ecuación:
9x – 12*3x +27= 0
Convirtamos:
9x = (3 2)x = 3 2x
Obtenemos la ecuación:
3 2x - 12 3x +27 = 0
Nuestras bases son iguales, iguales a tres. En este ejemplo, puedes ver que las tres primeras tienen un grado dos veces (2x) que la segunda (solo x). En este caso puedes resolver método de reemplazo. Reemplazamos el número con el grado más pequeño:
Entonces 3 2x = (3 x) 2 = t 2
Reemplazamos todas las potencias x en la ecuación con t:
t 2 - 12t+27 = 0
Obtenemos una ecuación cuadrática. Resolviendo por el discriminante obtenemos:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3
Volviendo a la variable X.
Tome t 1:
t 1 = 9 = 3x
Eso es,
3 x = 9
3 x = 3 2
x1 = 2
Se encontró una raíz. Buscamos el segundo del t 2:
t 2 = 3 = 3x
3 x = 3 1
x2 = 1
Respuesta: x 1 = 2; x2 = 1.
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