Las caras opuestas de un paralelepípedo se llaman. Paralelepípedo y cubo

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En esta lección, todos podrán estudiar el tema "Paralelepípedo rectangular". Al comienzo de la lección repetiremos qué son los paralelepípedos rectos y arbitrarios, recordemos las propiedades de sus caras opuestas y diagonales del paralelepípedo. Luego veremos qué es un cuboide y discutiremos sus propiedades básicas.

Tema: Perpendicularidad de rectas y planos.

Lección: Cuboide

Una superficie compuesta por dos paralelogramos iguales ABCD y A 1 B 1 C 1 D 1 y cuatro paralelogramos ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 se llama paralelepípedo(Figura 1).

Arroz. 1 paralelepípedo

Es decir: tenemos dos paralelogramos iguales ABCD y A 1 B 1 C 1 D 1 (bases), se encuentran en planos paralelos de modo que los bordes laterales AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 son paralelos. Por tanto, una superficie compuesta de paralelogramos se llama paralelepípedo.

Así, la superficie de un paralelepípedo es la suma de todos los paralelogramos que forman el paralelepípedo.

1. Las caras opuestas de un paralelepípedo son paralelas e iguales.

(las formas son iguales, es decir, se pueden combinar superponiendo)

Por ejemplo:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (paralelogramos iguales por definición),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (ya que AA 1 B 1 B y DD 1 C 1 C son caras opuestas del paralelepípedo),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (ya que AA 1 D 1 D y BB 1 C 1 C son caras opuestas del paralelepípedo).

2. Las diagonales de un paralelepípedo se cortan en un punto y son atravesadas por este punto.

Las diagonales del paralelepípedo AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B se cruzan en un punto O, y cada diagonal se divide por la mitad por este punto (Fig. 2).

Arroz. 2 Las diagonales de un paralelepípedo se cortan y se dividen por la mitad por el punto de intersección.

3. Hay tres cuádruples de aristas iguales y paralelas de un paralelepípedo.: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

Definición. Un paralelepípedo se llama recto si sus bordes laterales son perpendiculares a las bases.

Deje que el borde lateral AA 1 sea perpendicular a la base (Fig. 3). Esto significa que la recta AA 1 es perpendicular a las rectas AD y AB, que se encuentran en el plano de la base. Esto significa que las caras laterales contienen rectángulos. Y las bases contienen paralelogramos arbitrarios. Denotemos ∠BAD = φ, el ángulo φ puede ser cualquiera.

Arroz. 3 paralelepípedo derecho

Entonces, un paralelepípedo recto es un paralelepípedo en el que los bordes laterales son perpendiculares a las bases del paralelepípedo.

Definición. El paralelepípedo se llama rectangular, si sus bordes laterales son perpendiculares a la base. Las bases son rectángulos.

El paralelepípedo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 es rectangular (Fig.4), si:

1. AA 1 ⊥ ABCD (borde lateral perpendicular al plano de la base, es decir, un paralelepípedo recto).

2. ∠BAD = 90°, es decir, la base es un rectángulo.

Arroz. 4 paralelepípedo rectangular

Un paralelepípedo rectangular tiene todas las propiedades de un paralelepípedo arbitrario. Pero hay propiedades adicionales que se derivan de la definición de cuboide.

Entonces, cuboides Es un paralelepípedo cuyos bordes laterales son perpendiculares a la base. La base de un cuboide es un rectángulo..

1. En un paralelepípedo rectangular, las seis caras son rectángulos.

ABCD y A 1 B 1 C 1 D 1 son rectángulos por definición.

2. Las costillas laterales son perpendiculares a la base.. Esto significa que todas las caras laterales de un paralelepípedo rectangular son rectángulos.

3. Todos los ángulos diédricos de un paralelepípedo rectangular son rectos.

Consideremos, por ejemplo, el ángulo diédrico de un paralelepípedo rectangular de arista AB, es decir, el ángulo diédrico entre los planos ABC 1 y ABC.

AB es una arista, el punto A 1 se encuentra en un plano, en el plano ABB 1, y el punto D en el otro, en el plano A 1 B 1 C 1 D 1. Entonces el ángulo diédrico considerado también se puede denotar de la siguiente manera: ∠A 1 ABD.

Tomemos el punto A en el borde AB. AA 1 es perpendicular al borde AB en el plano AB-1, AD es perpendicular al borde AB en el plano ABC. Esto significa que ∠A 1 AD es el ángulo lineal de un ángulo diédrico dado. ∠A 1 AD = 90°, lo que significa que el ángulo diédrico en el borde AB es 90°.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

De manera similar, se demuestra que todos los ángulos diédricos de un paralelepípedo rectangular son rectos.

El cuadrado de la diagonal de un paralelepípedo rectangular es igual a la suma de los cuadrados de sus tres dimensiones.

Nota. Las longitudes de las tres aristas que emanan de un vértice de un cuboide son las medidas del cuboide. A veces se les llama largo, ancho, alto.

Dado: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - paralelepípedo rectangular (Fig. 5).

Probar: .

Arroz. 5 paralelepípedo rectangular

Prueba:

La recta CC 1 es perpendicular al plano ABC y, por tanto, a la recta AC. Esto significa que el triángulo CC 1 A es rectángulo. Según el teorema de Pitágoras:

Considere el triángulo rectángulo ABC. Según el teorema de Pitágoras:

Pero BC y AD son lados opuestos del rectángulo. Entonces BC = AD. Entonces:

Porque , A , Eso. Dado que CC 1 = AA 1, esto es lo que había que demostrar.

Las diagonales de un paralelepípedo rectangular son iguales.

Denotamos las dimensiones del paralelepípedo ABC como a, b, c (ver Fig.6), entonces AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Objetivos de la lección:

1. Educativo:

Introducir el concepto de paralelepípedo y sus tipos;
- formular (utilizando la analogía con un paralelogramo y un rectángulo) y demostrar las propiedades de un paralelepípedo y un cuboide;
- repetir preguntas relacionadas con el paralelismo y la perpendicularidad en el espacio.

2. De desarrollo:

Continuar el desarrollo de los procesos cognitivos en los estudiantes como la percepción, comprensión, pensamiento, atención, memoria;
- promover el desarrollo de elementos de la actividad creativa en los estudiantes como cualidades del pensamiento (intuición, pensamiento espacial);
- desarrollar en los estudiantes la capacidad de sacar conclusiones, incluso por analogía, lo que ayuda a comprender las conexiones intramateria en geometría.

3. Educativo:

Contribuir al desarrollo de la organización y hábitos de trabajo sistemático;
- contribuir a la formación de habilidades estéticas al tomar notas y realizar dibujos.

Tipo de lección: lección de aprendizaje de material nuevo (2 horas).

Estructura de la lección:

1. Momento organizativo.
2. Actualización de conocimientos.
3. Estudiar material nuevo.
4. Resumir y establecer tareas.

Equipo: carteles (diapositivas) con evidencia, modelos de diversos cuerpos geométricos, incluidos todo tipo de paralelepípedos, proyector gráfico.

Durante las clases.

1. Momento organizativo.

2. Actualización de conocimientos.

Comunicar el tema de la lección, formular metas y objetivos junto con los estudiantes, mostrar la importancia práctica del estudio del tema, repetir temas previamente estudiados relacionados con este tema.

3. Estudiar material nuevo.

3.1. Paralelepípedo y sus tipos.

Se demuestran modelos de paralelepípedos, identificando sus características, lo que ayuda a formular la definición de paralelepípedo utilizando el concepto de prisma.

Definición:

paralelepípedo Se llama prisma cuya base es un paralelogramo.

Se realiza un dibujo de un paralelepípedo (Figura 1), se enumeran los elementos de un paralelepípedo como caso especial de un prisma. Se muestra la diapositiva 1.

Notación esquemática de la definición:

Se formulan conclusiones de la definición:

1) Si ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 es un prisma y ABCD es un paralelogramo, entonces ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – paralelepípedo.

2) Si ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – paralelepípedo, entonces ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 es un prisma y ABCD es un paralelogramo.

3) Si ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 no es un prisma o ABCD no es un paralelogramo, entonces
ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – no paralelepípedo.

4). Si ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – no paralelepípedo, entonces ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 no es un prisma o ABCD no es un paralelogramo.

A continuación, se consideran casos especiales de paralelepípedo con la construcción de un esquema de clasificación (ver Fig. 3), se demuestran modelos, se resaltan las propiedades características de los paralelepípedos rectos y rectangulares y se formulan sus definiciones.

Definición:

Un paralelepípedo se llama recto si sus bordes laterales son perpendiculares a la base.

Definición:

El paralelepípedo se llama rectangular, si sus bordes laterales son perpendiculares a la base y la base es un rectángulo (ver Figura 2).

Después de registrar las definiciones de forma esquemática, se formulan conclusiones a partir de ellas.

3.2. Propiedades de los paralelepípedos.

Busque figuras planimétricas cuyos análogos espaciales sean paralelepípedos y cuboides (paralelogramo y rectángulo). En este caso, estamos ante la similitud visual de las figuras. Utilizando la regla de inferencia por analogía, se completan las tablas.

Regla de inferencia por analogía:

1. Seleccionar de entre las figuras previamente estudiadas una figura similar a ésta.
2. Formule la propiedad de la figura seleccionada.
3. Formule una propiedad similar de la figura original.
4. Probar o refutar la afirmación formulada.

Luego de formular las propiedades, se realiza la demostración de cada una de ellas según el siguiente esquema:

discusión del plan de prueba;
demostración de una diapositiva con evidencia (diapositivas 2 a 6);
Estudiantes completando evidencia en sus cuadernos.

3.3 Cubo y sus propiedades.

Definición: Un cubo es un paralelepípedo rectangular en el que las tres dimensiones son iguales.

Por analogía con un paralelepípedo, los estudiantes hacen de forma independiente una notación esquemática de la definición, derivan consecuencias de ella y formulan las propiedades del cubo.

4. Resumir y establecer tareas.

Tarea:

Utilizando las notas de la lección del libro de texto de geometría para los grados 10-11, L.S. Atanasyan y otros, estudian el Capítulo 1, §4, párrafo 13, Capítulo 2, §3, párrafo 24.
Probar o refutar la propiedad de un paralelepípedo, punto 2 de la tabla.
Responder preguntas de seguridad.

Preguntas de control.

1. Se sabe que sólo dos caras laterales del paralelepípedo son perpendiculares a la base. ¿Qué tipo de paralelepípedo?

2. ¿Cuántas caras laterales de forma rectangular puede tener un paralelepípedo?

3. ¿Es posible tener un paralelepípedo con una sola cara lateral?

1) perpendicular a la base;
2) tiene la forma de un rectángulo.

4. En un paralelepípedo recto, todas las diagonales son iguales. ¿Es rectangular?

5. ¿Es cierto que en un paralelepípedo recto los tramos diagonales son perpendiculares a los planos de la base?

6. Enuncie el teorema inverso al teorema sobre el cuadrado de la diagonal de un paralelepípedo rectangular.

7. ¿Qué características adicionales distinguen a un cubo de un paralelepípedo rectangular?

8. ¿Será un paralelepípedo un cubo en el que todas las aristas de uno de los vértices sean iguales?

9. Enuncia el teorema sobre el cuadrado de la diagonal de un cuboide para el caso de un cubo.

Un paralelepípedo es un prisma cuyas bases son paralelogramos. En este caso, todos los bordes serán paralelogramos.
Cada paralelepípedo puede considerarse como un prisma de tres formas distintas, ya que cada dos caras opuestas pueden tomarse como bases (en la Fig. 5, las caras ABCD y A"B"C"D", o ABA"B" y CDC"D ", o BCB "C" y ADA"D").
El cuerpo en cuestión tiene doce aristas, cuatro iguales y paralelas entre sí.
Teorema 3 . Las diagonales de un paralelepípedo se cruzan en un punto, coincidiendo con la mitad de cada una de ellas.
El paralelepípedo ABCDA"B"C"D" (Fig. 5) tiene cuatro diagonales AC", BD", CA", DB". Debemos demostrar que los puntos medios de dos de ellos, por ejemplo AC y BD", coinciden. Esto se desprende del hecho de que la figura ABC"D", que tiene lados iguales y paralelos AB y C"D", es un paralelogramo.
Definición 7 . Un paralelepípedo recto es un paralelepípedo que también es un prisma recto, es decir, un paralelepípedo cuyos bordes laterales son perpendiculares al plano de la base.
Definición 8 . Un paralelepípedo rectangular es un paralelepípedo recto cuya base es un rectángulo. En este caso todas sus caras serán rectángulos.
Un paralelepípedo rectangular es un prisma recto, no importa cuál de sus caras tomemos como base, ya que cada una de sus aristas es perpendicular a las aristas que emergen de un mismo vértice, y será, por tanto, perpendicular a los planos de las caras definidas. por estos bordes. Por el contrario, un paralelepípedo recto, pero no rectangular, sólo puede considerarse un prisma recto de una manera.
Definición 9 . Las longitudes de tres aristas de un paralelepípedo rectangular, de las cuales no hay dos paralelas entre sí (por ejemplo, tres aristas que emergen del mismo vértice), se denominan dimensiones. Dos paralelepípedos rectangulares que tienen dimensiones correspondientemente iguales son evidentemente iguales entre sí.
Definición 10 .Un cubo es un paralelepípedo rectangular cuyas tres dimensiones son iguales, de modo que todas sus caras son cuadradas. Dos cubos cuyas aristas son iguales son iguales.
Definición 11 . Un paralelepípedo inclinado en el que todas las aristas son iguales entre sí y los ángulos de todas las caras son iguales o complementarios se llama romboedro.
Todas las caras de un romboedro son rombos iguales. (Algunos cristales de gran importancia tienen forma de romboedro, por ejemplo, los cristales de espato de Islandia). En un romboedro se puede encontrar un vértice (e incluso dos vértices opuestos) tal que todos los ángulos adyacentes a él sean iguales entre sí.
Teorema 4 . Las diagonales de un paralelepípedo rectangular son iguales entre sí. El cuadrado de la diagonal es igual a la suma de los cuadrados de las tres dimensiones.
En el paralelepípedo rectangular ABCDA"B"C"D" (Fig. 6), las diagonales AC" y BD" son iguales, ya que el cuadrilátero ABC"D" es un rectángulo (la recta AB es perpendicular al plano ECB" C", en el que se encuentra BC") .
Además, AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 basado en el teorema sobre el cuadrado de la hipotenusa. Pero basado en el mismo teorema AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2; por lo tanto, tener:
AC" 2 = AB 2 + AA" 2 + A" D" 2 = AB 2 + AA" 2 + AD 2.

Definición

Poliedro llamaremos a una superficie cerrada compuesta de polígonos y que delimita una determinada parte del espacio.

Los segmentos que son los lados de estos polígonos se llaman costillas poliedro, y los polígonos mismos son bordes. Los vértices de los polígonos se llaman vértices de poliedro.

Consideraremos solo poliedros convexos (este es un poliedro que se encuentra en un lado de cada plano que contiene su cara).

Los polígonos que forman un poliedro forman su superficie. La parte del espacio que está delimitada por un poliedro dado se llama interior.

definición: prisma

Considere dos polígonos iguales \(A_1A_2A_3...A_n\) y \(B_1B_2B_3...B_n\) ubicados en planos paralelos de modo que los segmentos \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) paralelo. Un poliedro formado por los polígonos \(A_1A_2A_3...A_n\) y \(B_1B_2B_3...B_n\) , así como paralelogramos \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), se llama (\(n\)-gonal) prisma.

Los polígonos \(A_1A_2A_3...A_n\) y \(B_1B_2B_3...B_n\) se llaman bases de prismas, paralelogramos \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– caras laterales, segmentos \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- costillas laterales.
Por tanto, los bordes laterales del prisma son paralelos e iguales entre sí.

Veamos un ejemplo: un prisma. \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), en cuya base se encuentra un pentágono convexo.

Altura Los prismas son una perpendicular que cae desde cualquier punto de una base al plano de otra base.

Si los bordes laterales no son perpendiculares a la base, entonces dicho prisma se llama inclinado(Fig. 1), de lo contrario – derecho. En un prisma recto, las aristas laterales son alturas y las caras laterales son rectángulos iguales.

Si un polígono regular se encuentra en la base de un prisma recto, entonces el prisma se llama correcto.

Definición: concepto de volumen

La unidad de medida de volumen es una unidad cúbica (un cubo que mide \(1\times1\times1\) unidades\(^3\), donde unidad es una determinada unidad de medida).

Podemos decir que el volumen de un poliedro es la cantidad de espacio que limita este poliedro. En caso contrario: se trata de una cantidad cuyo valor numérico muestra cuántas veces cabe un cubo unitario y sus partes en un poliedro determinado.

El volumen tiene las mismas propiedades que el área:

1. Los volúmenes de figuras iguales son iguales.

2. Si un poliedro se compone de varios poliedros que no se cruzan, entonces su volumen es igual a la suma de los volúmenes de estos poliedros.

3. El volumen es una cantidad no negativa.

4. El volumen se mide en cm\(^3\) (centímetros cúbicos), m\(^3\) (metros cúbicos), etc.

Teorema

1. El área de la superficie lateral del prisma es igual al producto del perímetro de la base por la altura del prisma.
El área de la superficie lateral es la suma de las áreas de las caras laterales del prisma.

2. El volumen del prisma es igual al producto del área de la base por la altura del prisma: \

definición: paralelepípedo

Paralelepípedo es un prisma con un paralelogramo en su base.

Todas las caras del paralelepípedo (hay \(6\): \(4\) caras laterales y \(2\) bases) son paralelogramos, y las caras opuestas (paralelas entre sí) son paralelogramos iguales (Fig. 2) .

Diagonal de un paralelepípedo es un segmento que conecta dos vértices de un paralelepípedo que no se encuentran en la misma cara (hay \(8\) de ellos: \(AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D\) etc.).

Paralelepípedo rectangular es un paralelepípedo recto con un rectángulo en su base.
Porque Como se trata de un paralelepípedo recto, las caras laterales son rectángulos. Esto quiere decir que en general todas las caras de un paralelepípedo rectangular son rectángulos.

Todas las diagonales de un paralelepípedo rectangular son iguales (esto se desprende de la igualdad de triángulos \(\triangle ACC_1=\triangle AA_1C=\triangle BDD_1=\triangle BB_1D\) etc.).

Comentario

Por tanto, un paralelepípedo tiene todas las propiedades de un prisma.

Teorema

El área de la superficie lateral de un paralelepípedo rectangular es \

La superficie total de un paralelepípedo rectangular es \

Teorema

El volumen de un cuboide es igual al producto de sus tres aristas que emergen de un vértice (tres dimensiones del cuboide): \

Prueba

Porque En un paralelepípedo rectangular, las aristas laterales son perpendiculares a la base, entonces también son sus alturas, es decir, \(h=AA_1=c\) Porque la base es un rectángulo, entonces \(S_(\text(principal))=AB\cdot AD=ab\). De aquí surge esta fórmula.

Teorema

La diagonal \(d\) de un paralelepípedo rectangular se encuentra usando la fórmula (donde \(a,b,c\) son las dimensiones del paralelepípedo) \

Prueba

Veamos la figura. 3. Porque la base es un rectángulo, entonces \(\triangle ABD\) es rectangular, por lo tanto, según el teorema de Pitágoras \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

Porque todos los bordes laterales son perpendiculares a las bases, entonces \(BB_1\perp (ABC) \Flecha derecha BB_1\) perpendicular a cualquier línea recta en este plano, es decir \(BB_1\perp BD\) . Esto significa que \(\triangle BB_1D\) es rectangular. Entonces, por el teorema de Pitágoras \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), th.

definición: cubo

Cubo es un paralelepípedo rectangular, todas cuyas caras son cuadrados iguales.