Errores sistemáticos. Los errores sistemáticos cambian naturalmente los valores de la cantidad medida. Los errores introducidos en las mediciones de los instrumentos se evalúan más fácilmente si están asociados con las características de diseño de los propios instrumentos. Estos errores están indicados en los pasaportes de los dispositivos. Los errores de algunos dispositivos se pueden evaluar sin consultar la hoja de datos. En muchos instrumentos de medición eléctricos, la clase de precisión se indica directamente en la escala.

Clase de precisión del instrumento- esta es la relación entre el error absoluto del dispositivo y el valor máximo de la magnitud medida que se puede determinar con este dispositivo (este es el error relativo sistemático de este dispositivo, expresado como un porcentaje de la calificación de la escala).

Entonces el error absoluto de dicho dispositivo está determinado por la relación:

.

Para los instrumentos de medida eléctricos, se han introducido 8 clases de precisión: 0,05; 0,1; 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 4.

Cuanto más cerca esté el valor medido del valor nominal, más preciso será el resultado de la medición. La precisión máxima (es decir, el error relativo más pequeño) que puede proporcionar un dispositivo determinado es igual a la clase de precisión. Esta circunstancia debe tenerse en cuenta a la hora de utilizar instrumentos multiescala. La escala debe seleccionarse de tal manera que el valor medido, aunque permanezca dentro de la escala, sea lo más cercano posible al valor nominal.

Si no se especifica la clase de precisión del dispositivo, se deben seguir las siguientes reglas:

· El error absoluto de los instrumentos con vernier es igual a la precisión del vernier.

· El error absoluto de los instrumentos con paso de flecha fijo es igual al valor de división.

· El error absoluto de los dispositivos digitales es igual a un dígito mínimo.

· Para todos los demás instrumentos, se supone que el error absoluto es igual a la mitad del valor de la división.

Errores aleatorios. Estos errores son de naturaleza estadística y se describen mediante la teoría de la probabilidad. Se ha establecido que con un número muy grande de mediciones, la probabilidad de obtener uno u otro resultado en cada medición individual se puede determinar utilizando la distribución normal gaussiana. Con un número pequeño de mediciones, la descripción matemática de la probabilidad de obtener uno u otro resultado de medición se llama distribución de Student (puede leer más sobre esto en el manual de I.L. Skvortsova "Errores de medición en cantidades físicas").

¿Cómo evaluar el valor real de la cantidad medida?

Supongamos que al medir un determinado valor recibimos N resultados: . La media aritmética de una serie de mediciones está más cerca del valor real de la cantidad medida que la mayoría de las mediciones individuales. Para obtener el resultado de medir un determinado valor, se utiliza el siguiente algoritmo.

1). Calculado promedio serie de N mediciones directas:

2). Calculado error aleatorio absoluto de cada medición es la diferencia entre la media aritmética de una serie de N mediciones directas y esta medición:

.

3). Calculado error cuadrático medio absoluto:

.

4). Calculado error aleatorio absoluto. Con un pequeño número de mediciones, el error aleatorio absoluto se puede calcular mediante la raíz del error cuadrático medio y un determinado coeficiente llamado coeficiente de Student:

,

El coeficiente de Student depende del número de mediciones N y del coeficiente de confiabilidad (la Tabla 1 muestra la dependencia del coeficiente de Student del número de mediciones para un valor fijo del coeficiente de confiabilidad).

Factor de confiabilidad es la probabilidad con la que el valor real del valor medido cae dentro del intervalo de confianza.

Intervalo de confianza es un intervalo numérico en el que cae el valor real de la cantidad medida con una cierta probabilidad.

Por lo tanto, el coeficiente de Student es el número por el cual se debe multiplicar el error cuadrático medio para garantizar la confiabilidad especificada del resultado para un número determinado de mediciones.

Cuanto mayor sea la confiabilidad requerida para un número determinado de mediciones, mayor será el coeficiente de Student. Por otro lado, cuanto mayor es el número de mediciones, menor es el coeficiente de Student para una determinada confiabilidad. En el trabajo de laboratorio de nuestro taller, asumiremos que la confiabilidad es igual a 0,9. Los valores numéricos de los coeficientes de Student para esta confiabilidad para diferentes números de mediciones se dan en la Tabla 1.

tabla 1

5).Calculado error absoluto total. En cualquier medición existen errores tanto aleatorios como sistemáticos. Calcular el error de medición absoluto total (total) no es una tarea fácil, ya que estos errores son de diferente naturaleza.

Para mediciones de ingeniería, tiene sentido sumar los errores absolutos sistemáticos y aleatorios.

.

Para simplificar los cálculos, se acostumbra estimar el error absoluto total como la suma de los errores aleatorios absolutos y sistemáticos (instrumentales) absolutos, si los errores son del mismo orden de magnitud, y descuidar uno de los errores si es más de un orden de magnitud (10 veces) menos que el otro.

6). El error y el resultado se redondean.. Dado que el resultado de la medición se presenta como un intervalo de valores, cuyo valor está determinado por el error absoluto total, es importante redondear correctamente el resultado y el error.

¡¡¡El redondeo comienza con error absoluto!!! El número de cifras significativas que quedan en el valor del error, en general, depende del coeficiente de confiabilidad y del número de mediciones. Sin embargo, incluso para mediciones muy precisas (por ejemplo, astronómicas), en las que el valor exacto del error es importante, no deje más de dos cifras significativas. Un número mayor de números no tiene sentido, ya que la definición de error en sí misma tiene su propio error. Nuestra práctica tiene un coeficiente de confiabilidad relativamente pequeño y una pequeña cantidad de mediciones. Por lo tanto, al redondear (con exceso), el error absoluto total se deja a una cifra significativa.

El dígito del dígito significativo del error absoluto determina el dígito del primer dígito dudoso en el valor del resultado. En consecuencia, el valor del resultado en sí debe redondearse (con corrección) a aquel dígito significativo cuyo dígito coincida con el dígito del dígito significativo del error. La regla formulada también debe aplicarse en los casos en que algunos de los números sean ceros.

Si el resultado obtenido al medir el peso corporal es , entonces es necesario escribir ceros al final del número 0,900. La grabación significaría que no se sabía nada sobre las siguientes cifras significativas, mientras que las mediciones mostraban que eran cero.

7). Calculado error relativo .

Al redondear el error relativo basta con dejar dos cifras significativas.

el resultado de una serie de mediciones de una determinada cantidad física se presenta como un intervalo de valores, indicando la probabilidad de que el valor verdadero caiga en este intervalo, es decir, el resultado debe escribirse en la forma:

Aquí está el error absoluto total, redondeado al primer dígito significativo, y es el valor promedio del valor medido, redondeado teniendo en cuenta el error ya redondeado. Al registrar el resultado de una medición, debe indicar la unidad de medida del valor.

Veamos algunos ejemplos:

1. Supongamos que al medir la longitud de un segmento obtuvimos el siguiente resultado: cm y cm ¿Cómo anotar correctamente el resultado de medir la longitud de un segmento? Primero, redondeamos el error absoluto por exceso, dejando un dígito significativo, ver Dígito significativo del error en el lugar de las centésimas. Luego redondeamos el valor medio corregido a la centésima más cercana, es decir al dígito significativo cuyo dígito coincide con el dígito del dígito significativo del error ver Calcular el error relativo

El problema se formula de la siguiente manera: sea la cantidad deseada z determinado a través de otras cantidades a B C, ... obtenido a partir de mediciones directas

z = f (a, b, c,...) (1.11)

Es necesario encontrar el valor promedio de la función y el error de sus mediciones, es decir encontrar el intervalo de confianza

con confiabilidad a y error relativo.

En cuanto a, se encuentra sustituyendo en el lado derecho de (11) en lugar de a B C,...sus valores medios

3. Estimar la mitad del ancho del intervalo de confianza para el resultado de mediciones indirectas.

,

donde las derivadas... se calculan en

4. Determinar el error relativo del resultado.

5. Si la dependencia de z de a B C,... tiene la forma , Dónde k,l,m‒ cualquier número real, entonces primero debes encontrar relativo error

y luego absoluto .

6. Escribe el resultado final en el formulario.

z = ± Dz , ε = …% en a = … .

Nota:

Al procesar los resultados de mediciones directas, se debe seguir la siguiente regla: los valores numéricos de todas las cantidades calculadas deben contener un dígito más que las cantidades originales (determinadas experimentalmente).

Para mediciones indirectas, los cálculos se realizan de acuerdo con reglas de cálculos aproximados:

Regla 1. Al sumar y restar números aproximados, debes:

a) seleccionar el término en el que el dígito dudoso tiene el dígito más alto;

b) redondear todos los demás términos al siguiente dígito (se conserva un dígito de repuesto);

c) realizar sumas (restas);

d) como resultado, descartar el último dígito redondeando (el dígito del dígito dudoso del resultado coincide con el mayor de los dígitos de los dígitos dudosos de los términos).

Ejemplo: 5,4382·10 5 – 2,918·10 3 + 35,8 + 0,064.

En estos números los últimos dígitos significativos son dudosos (los incorrectos ya han sido descartados). Escribámoslos en la forma 543820 – 2918 + 35,8 + 0,064.

Se puede observar que en el primer término el número dudoso 2 tiene el dígito más alto (decenas). Redondeando todos los demás números al siguiente dígito y sumando, obtenemos

543820 – 2918 + 36 + 0 = 540940 = 5,4094 10 5.

Regla 2. Al multiplicar (dividir) números aproximados debes:

a) seleccione el número(s) con el menor número de cifras significativas ( SIGNIFICATIVO – números distintos de cero y ceros entre ellos);

b) redondear los números restantes para que tengan un dígito más significativo (se conserva un dígito de repuesto) que los asignados en el paso a;

c) multiplicar (dividir) los números resultantes;

d) como resultado, dejar tantas cifras significativas como había en el o los números con menor número de cifras significativas.

Ejemplo: .

Regla 3. Cuando se eleva a una potencia, al extraer una raíz, el resultado conserva tantos dígitos significativos como hay en el número original.

Ejemplo: .

Regla 4. Al encontrar el logaritmo de un número, la mantisa del logaritmo debe tener tantos dígitos significativos como los que hay en el número original:

Ejemplo: .

En la grabación final absoluto los errores solo deben dejarse una cifra significativa. (Si este dígito resulta ser 1, se almacena otro dígito después).

El valor promedio se redondea al mismo dígito que el error absoluto.

Por ejemplo: V= (375,21 0,03) cm3 = (3,7521 0,0003) cm3.

I= (5,530 0,013)A, A = J.

Orden de trabajo

Determinación del diámetro del cilindro..

1. Con un calibre, mida el diámetro del cilindro 7 veces (en diferentes lugares y direcciones). Registre los resultados en una tabla.

Los errores en las cantidades medidas y tabuladas determinan los errores del promedio DH del valor determinado indirectamente, y la mayor contribución al promedio DH la realizan los valores menos precisos, que tienen el error relativo máximo. d. Por lo tanto, para aumentar la precisión de las mediciones indirectas, es necesario lograr la misma precisión de las mediciones directas.

(d A, d B, d C, ...).

Reglas para encontrar errores en mediciones indirectas:

1. Encuentra el logaritmo natural de la función dada.

ln(X = f(A,B,C,…));

2. Encuentre el diferencial total (sobre todas las variables) del logaritmo natural encontrado de la función dada;

3. Reemplace el signo del diferencial d con el signo del error absoluto D;

4. Reemplace todos los "desventajas" frente a errores absolutos. DA, DB, DC, ... a los "profesionales".

El resultado es la fórmula para el mayor error relativo. d x valor medido indirectamente X:

d x = = j (promedio A, promedio B, promedio C, ..., promedio DA, promedio DB, promedio DC, ...).(18)

Según el error relativo encontrado. d x determinar el error absoluto de medición indirecta:

DX av = dx. X promedio . (19)

El resultado de las mediciones indirectas se escribe en forma estándar y se representa en el eje numérico:

X = (X promedio ± DХ promedio), unidad. (20)

Ejemplo:

Encuentra los valores de los errores relativos y promedio de una cantidad física. l, determinado indirectamente por la fórmula:

, (21)

Dónde π, gramo, t, k, α, β– cantidades cuyos valores se miden o se toman de tablas de referencia y se ingresan en una tabla de resultados de medición y datos tabulados (similar a la Tabla 1).

1. Calcula el valor medio. L promedio, sustituyendo los valores promedio de la tabla en (21) – π promedio, g promedio, t promedio, k promedio, α promedio, β promedio.

2. Determine el error relativo más grande. δL:

a). Fórmula logarítmica (21):

b). La expresión resultante (22) se diferencia:

c). Reemplace el signo del diferencial d con Δ, y los “menos” delante de los errores absolutos con “más”, y obtenga una expresión para el error relativo más grande. δL:

d). Sustituyendo los valores promedio de las cantidades de entrada y sus errores de la tabla de resultados de medición en la expresión resultante, calcule δL.

3. Luego calcula el error absoluto. ΔL promedio:

El resultado se registra en forma estándar y se representa gráficamente en el eje. l:

, unidades cambiar

ESTIMACIONES ELEMENTALES DE ERROR DE MEDICIÓN

Medir es encontrar experimentalmente el valor de una cantidad física con la ayuda de medios técnicos especiales: medidas, instrumentos de medición.

Una medida es un medio de medición que reproduce una cantidad física de un tamaño determinado: una unidad de medida, su valor múltiplo o fraccionario. Por ejemplo, pesa 1 kg, 5 kg, 10 kg.

Un dispositivo de medición es un instrumento de medición diseñado para generar una señal de información de medición en una forma accesible a la percepción directa por parte de un observador. Un dispositivo de medición le permite comparar directa o indirectamente el valor medido con medidas. Las mediciones también se dividen en directas e indirectas.

En mediciones directas, el valor deseado de la cantidad se encuentra directamente a partir de los datos básicos (experimentales).

En las mediciones indirectas, el valor deseado de una cantidad se encuentra en función de la relación conocida entre esta cantidad y las cantidades sometidas a mediciones directas. El principio de medición es un conjunto de fenómenos físicos en los que se basan las mediciones.

Un método de medición es un conjunto de técnicas para utilizar principios e instrumentos de medición. El valor de una cantidad física, que idealmente reflejaría en términos cualitativos y cuantitativos la propiedad correspondiente de un objeto determinado, es el verdadero valor de la cantidad física. El valor de una cantidad física que se encuentra midiéndola es el resultado de la medición.

La desviación del resultado de la medición del valor real del valor medido es el error de medición.

El error de medición absoluto es el error de medición, expresado en unidades del valor medido e igual a la diferencia entre el resultado y el valor real del valor medido. La relación entre el error absoluto y el valor real de la cantidad medida es el error de medición relativo.

Las contribuciones al error de medición incluyen errores en los instrumentos de medición (error instrumental o de instrumento), imperfección del método de medición, error en la lectura en la escala del instrumento, influencias externas en los medios y objetos de medición y retraso en la reacción humana a las señales de luz y sonido. .

Según la naturaleza de su manifestación, los errores se dividen en sistemáticos y aleatorios. Un evento aleatorio es un evento que, dado un conjunto dado de factores, puede ocurrir o no.

El error aleatorio es un componente del error de medición que cambia aleatoriamente con mediciones repetidas de la misma cantidad. Un rasgo característico de los errores aleatorios es un cambio en la magnitud y el signo del error en condiciones de medición constantes.

El error sistemático es un componente del error de medición que permanece constante o cambia naturalmente con mediciones repetidas de la misma cantidad. Los errores sistemáticos, en principio, pueden eliminarse mediante correcciones y el uso de instrumentos y métodos más precisos (aunque en la práctica no siempre es fácil detectar errores sistemáticos). Es imposible excluir errores aleatorios en mediciones individuales; la teoría matemática de los fenómenos aleatorios (teoría de la probabilidad) sólo permite establecer una estimación razonable de su magnitud.

Errores de mediciones directas.

Supongamos que se excluyen los errores sistemáticos y que los errores en los resultados de las mediciones son sólo aleatorios. Denotemos con letras los resultados de las mediciones de una cantidad física, cuyo valor verdadero es igual a . Se indican los errores absolutos de los resultados de las mediciones individuales:

Sumando los lados izquierdo y derecho de la igualdad (1), obtenemos:

(2)

La teoría de los errores aleatorios se basa en suposiciones confirmadas por la experiencia:

los errores pueden adoptar una serie continua de valores;

con una gran cantidad de mediciones, los errores aleatorios de la misma magnitud, pero de diferentes signos, ocurren con la misma frecuencia;

la probabilidad de un error disminuye a medida que aumenta su magnitud. También es necesario que los errores sean pequeños en comparación con el valor medido e independientes.

Según el supuesto (1), con el número de mediciones n   obtenemos

,

Sin embargo, el número de dimensiones es siempre finito y sigue siendo desconocido. Pero a efectos prácticos, basta con encontrar experimentalmente el valor de una cantidad física tan cerca de la verdadera que se puede utilizar en lugar de verdadero. La pregunta es ¿cómo evaluar el grado de esta aproximación?

Según la teoría de la probabilidad, la media aritmética de una serie de medidas más confiable que los resultados de mediciones individuales, porque las desviaciones aleatorias del valor real en diferentes direcciones son igualmente probables. La probabilidad de aparición de un valor a i en un intervalo de ancho 2a i se entiende como la frecuencia relativa de aparición de valores de a i que se encuentran dentro del intervalo 2a i con respecto al número de todos los valores de a i que aparecen con el número de experimentos (mediciones) tendiendo al infinito. Obviamente, la probabilidad de un evento confiable es igual a uno, la probabilidad de un evento imposible es igual a cero, es decir 0    100%.

La probabilidad de que el valor deseado (su valor verdadero) esté contenido en el intervalo (a - a, a + a) se llamará probabilidad de confianza (confiabilidad) , y el correspondiente intervalo  (a - a, a + a) - intervalo de confianza; Cuanto menor sea el error a, menor será la probabilidad de que el valor medido esté contenido en el intervalo definido por este error. La afirmación contraria también es cierta: cuanto menos confiable sea el resultado, más estrecho será el intervalo de confianza del valor deseado.

Para n grande (prácticamente para n  100), la mitad del ancho del intervalo de confianza para una confiabilidad dada  es igual a

, (3)

donde K() = 1 en  = 0,68; K() = 2 en  = 0,95; K() = 3 en  = 0,997.

Con un número pequeño de mediciones, que se encuentra con mayor frecuencia en la práctica de laboratorio de los estudiantes, el coeficiente K() en (3) depende no solo de , sino también del número de mediciones n. Por lo tanto, en presencia de solo un error aleatorio, siempre encontraremos la mitad del ancho del intervalo de confianza usando la fórmula

(4)

En (4), el coeficiente t  n se llama coeficiente de Student. Para  = 0,95 adoptado en el trabajo práctico del estudiante, los valores de t  n son los siguientes:

El valor se llama error cuadrático medio de la media aritmética de una serie de mediciones.

El error de un instrumento o medida suele indicarse en su pasaporte o mediante un símbolo en la escala del instrumento. Normalmente, se entiende por error del instrumento  la mitad del intervalo dentro del cual puede estar contenido el valor medido con una probabilidad de medición de 0,997, si el error de medición se debe únicamente al error del instrumento. Como error general (total) del resultado de la medición, aceptaremos con probabilidad  = 0,95

El error absoluto permite determinar en qué signo del resultado obtenido se encuentra la inexactitud. El error relativo brinda información sobre qué proporción (porcentaje) del valor medido es el error (la mitad del ancho del intervalo de confianza).

Escribimos el resultado final de una serie de mediciones directas del valor a 0 en la forma

.

Por ejemplo

(6)

Así, cualquier cantidad física encontrada experimentalmente debe representarse:

Las ciencias naturales exactas se basan en mediciones. Al medir, los valores de las cantidades se expresan en forma de números que indican cuántas veces la cantidad medida es mayor o menor que otra cantidad, cuyo valor se toma como una unidad. Los valores numéricos de varias cantidades obtenidas como resultado de las mediciones pueden depender entre sí. La relación entre tales cantidades se expresa en forma de fórmulas que muestran cómo los valores numéricos de algunas cantidades se pueden encontrar a partir de los valores numéricos de otras.

Inevitablemente se producen errores durante las mediciones. Es necesario dominar los métodos utilizados en el procesamiento de los resultados obtenidos de las mediciones. Esto le permitirá aprender cómo obtener los resultados más cercanos a la verdad a partir de un conjunto de mediciones, notar inconsistencias y errores de manera oportuna, organizar inteligentemente las mediciones y evaluar correctamente la precisión de los valores obtenidos.

Si la medida consiste en comparar una cantidad determinada con otra cantidad homogénea tomada como unidad, entonces la medida en este caso se llama directa.

Mediciones directas (directas)- son mediciones en las que obtenemos el valor numérico de la cantidad medida ya sea por comparación directa con una medida (estándar) o con la ayuda de instrumentos calibrados en unidades de la cantidad medida.

Sin embargo, esta comparación no siempre se hace directamente. En la mayoría de los casos, no se mide la cantidad que nos interesa, sino otras cantidades asociadas a ella por determinadas relaciones y patrones. En este caso, para medir la cantidad requerida, primero es necesario medir varias otras cantidades, cuyo valor determina mediante cálculo el valor de la cantidad deseada. Esta medida se llama indirecta.

Medidas indirectas Consisten en mediciones directas de una o más cantidades asociadas con la cantidad determinada por una dependencia cuantitativa, y cálculos de la cantidad determinada a partir de estos datos.

Las mediciones siempre implican instrumentos de medición, que ponen en correspondencia un valor con otro asociado a él, accesibles a una evaluación cuantitativa con la ayuda de nuestros sentidos. Por ejemplo, la intensidad actual se corresponde con el ángulo de desviación de la flecha en una escala graduada. En este caso, se deben cumplir dos condiciones principales del proceso de medición: falta de ambigüedad y reproducibilidad del resultado. estas dos condiciones siempre se cumplen sólo aproximadamente. Es por eso El proceso de medición contiene, además de encontrar el valor deseado, una evaluación de la inexactitud de la medición..

Un ingeniero moderno debe poder evaluar el error de los resultados de las mediciones teniendo en cuenta la confiabilidad requerida. Por lo tanto, se presta mucha atención al procesamiento de los resultados de las mediciones. El conocimiento de los métodos básicos de cálculo de errores es una de las principales tareas del taller de laboratorio.

¿Por qué ocurren errores?

Hay muchas razones por las que se producen errores de medición. Enumeremos algunos de ellos.

· los procesos que ocurren durante la interacción del dispositivo con el objeto de medición cambian inevitablemente el valor medido. Por ejemplo, medir las dimensiones de una pieza con un calibre provoca la compresión de la pieza, es decir, un cambio en sus dimensiones. A veces, la influencia del dispositivo sobre el valor medido puede ser relativamente pequeña, pero a veces es comparable o incluso supera el valor medido en sí.

· Cualquier dispositivo tiene capacidades limitadas para determinar sin ambigüedades el valor medido debido a su imperfección de diseño. Por ejemplo, la fricción entre varias partes en el bloque puntero de un amperímetro conduce al hecho de que un cambio en la corriente en una cantidad pequeña, pero finita, no provocará un cambio en el ángulo de desviación del puntero.

· En todos los procesos de interacción del dispositivo con el objeto de medición, siempre interviene el entorno externo, cuyos parámetros pueden cambiar y, a menudo, de forma impredecible. Esto limita la reproducibilidad de las condiciones de medición y, por tanto, del resultado de la medición.

· Al tomar lecturas del instrumento visualmente, puede haber ambigüedad en la lectura de las lecturas del instrumento debido a las capacidades limitadas de nuestro optometro.

· La mayoría de las cantidades se determinan indirectamente en función de nuestro conocimiento de la relación de la cantidad deseada con otras cantidades medidas directamente por instrumentos. Obviamente, el error de la medición indirecta depende de los errores de todas las mediciones directas. Además, las limitaciones de nuestro conocimiento sobre el objeto medido, la simplificación de la descripción matemática de las relaciones entre cantidades y el ignorar la influencia de aquellas cantidades cuya influencia se considera insignificante durante el proceso de medición contribuyen a errores en la medición indirecta.

Clasificación de errores

Valor de error Las medidas de una determinada cantidad suelen caracterizarse por:

1. Error absoluto: la diferencia entre el valor encontrado (medido) experimentalmente y el valor real de una determinada cantidad.

. (1)

El error absoluto muestra cuánto nos equivocamos al medir un determinado valor de X.

2. Error relativo igual a la relación entre el error absoluto y el valor real del valor medido X

El error relativo muestra en qué fracción del valor verdadero de X estamos equivocados.

Calidad Los resultados de las mediciones de una determinada cantidad se caracterizan por un error relativo. El valor se puede expresar como porcentaje.

De las fórmulas (1) y (2) se deduce que para encontrar los errores de medición absolutos y relativos, necesitamos conocer no solo el valor medido, sino también el verdadero de la cantidad que nos interesa. Pero si se conoce el valor real, no es necesario realizar mediciones. El objetivo de las mediciones es siempre descubrir el valor desconocido de una determinada cantidad y encontrar, si no su valor verdadero, al menos un valor que difiera muy poco de él. Por tanto, las fórmulas (1) y (2), que determinan la magnitud de los errores, no son adecuadas en la práctica. En las mediciones prácticas, los errores no se calculan, sino que se estiman. Las evaluaciones tienen en cuenta las condiciones experimentales, la precisión de la metodología, la calidad de los instrumentos y una serie de otros factores. Nuestra tarea: aprender a construir una metodología experimental y utilizar correctamente los datos obtenidos de la experiencia para encontrar valores de las cantidades medidas que se acerquen lo suficiente a los valores reales y evaluar razonablemente los errores de medición.

Hablando de errores de medición, primero debemos mencionar errores graves (fallos) que surjan debido a la supervisión del experimentador o al mal funcionamiento del equipo. Deben evitarse errores graves. Si se determina que han ocurrido, se deben descartar las mediciones correspondientes.

Los errores experimentales no asociados con errores graves se dividen en aleatorios y sistemáticos.

Conerrores aleatorios. Al repetir las mismas mediciones muchas veces, se puede notar que muy a menudo sus resultados no son exactamente iguales entre sí, sino que “bailan” alrededor de algún promedio (Fig. 1). Los errores que cambian de magnitud y signo de un experimento a otro se denominan aleatorios. El experimentador introduce involuntariamente errores aleatorios debido a la imperfección de los sentidos, factores externos aleatorios, etc. Si el error de cada medición individual es fundamentalmente impredecible, entonces cambian aleatoriamente el valor de la cantidad medida. Estos errores sólo pueden evaluarse mediante el procesamiento estadístico de múltiples mediciones de la cantidad deseada.

Sistemático errores puede estar asociado con errores del instrumento (escala incorrecta, resorte que se estira de manera desigual, paso de tornillo micrométrico desigual, brazos de equilibrio desiguales, etc.) y con el experimento en sí. Conservan su magnitud (¡y signo!) durante el experimento. Como resultado de errores sistemáticos, los resultados experimentales dispersos debido a errores aleatorios no fluctúan alrededor del valor real, sino alrededor de un cierto valor sesgado (Fig. 2). El error de cada medición de la cantidad deseada se puede predecir de antemano, conociendo las características del dispositivo.

Cálculo de errores de medidas directas.

Errores sistemáticos. Los errores sistemáticos cambian naturalmente los valores de la cantidad medida. Los errores introducidos en las mediciones de los instrumentos se evalúan más fácilmente si están asociados con las características de diseño de los propios instrumentos. Estos errores están indicados en los pasaportes de los dispositivos. Los errores de algunos dispositivos se pueden evaluar sin consultar la hoja de datos. En muchos instrumentos de medición eléctricos, su clase de precisión se indica directamente en la escala.

Clase de precisión del instrumento- esta es la relación entre el error absoluto del dispositivo y el valor máximo de la magnitud medida que se puede determinar con este dispositivo (este es el error relativo sistemático de este dispositivo, expresado como un porcentaje de la calificación de la escala).

.

Entonces el error absoluto de dicho dispositivo está determinado por la relación:

.

Para los instrumentos de medida eléctricos, se han introducido 8 clases de precisión: 0,05; 0,1; 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 4.

Cuanto más cerca esté el valor medido del valor nominal, más preciso será el resultado de la medición. La precisión máxima (es decir, el error relativo más pequeño) que puede proporcionar un dispositivo determinado es igual a la clase de precisión. Esta circunstancia debe tenerse en cuenta a la hora de utilizar instrumentos multiescala. La escala debe seleccionarse de tal manera que el valor medido, aunque permanezca dentro de la escala, sea lo más cercano posible al valor nominal.

Si no se especifica la clase de precisión del dispositivo, se deben seguir las siguientes reglas:

· El error absoluto de los instrumentos con vernier es igual a la precisión del vernier.

· El error absoluto de los instrumentos con paso de flecha fijo es igual al valor de división.

· El error absoluto de los dispositivos digitales es igual a un dígito mínimo.

· Para todos los demás instrumentos, se supone que el error absoluto es igual a la mitad del valor de la división.

Errores aleatorios. Estos errores son de naturaleza estadística y se describen mediante la teoría de la probabilidad. Se ha establecido que con un número muy grande de mediciones, la probabilidad de obtener uno u otro resultado en cada medición individual se puede determinar utilizando la distribución normal gaussiana. Con un número pequeño de mediciones, la descripción matemática de la probabilidad de obtener uno u otro resultado de medición se llama distribución de Student (puede leer más sobre esto en el manual "Errores de medición de cantidades físicas").

¿Cómo evaluar el valor real de la cantidad medida?

Supongamos que al medir un determinado valor recibimos N resultados: . La media aritmética de una serie de mediciones está más cerca del valor real de la cantidad medida que la mayoría de las mediciones individuales. Para obtener el resultado de medir un determinado valor, se utiliza el siguiente algoritmo.

1). Calculado promedio serie de N mediciones directas:

2). Calculado error aleatorio absoluto de cada medición es la diferencia entre la media aritmética de una serie de N mediciones directas y esta medición:

.

3). Calculado error cuadrático medio absoluto:

.

4). Calculado error aleatorio absoluto. Con un pequeño número de mediciones, el error aleatorio absoluto se puede calcular mediante la raíz del error cuadrático medio y un determinado coeficiente llamado coeficiente de Student:

,

El coeficiente de Student depende del número de mediciones N y del coeficiente de confiabilidad (la Tabla 1 muestra la dependencia del coeficiente de Student del número de mediciones para un valor fijo del coeficiente de confiabilidad).

Factor de confiabilidad es la probabilidad con la que el valor real del valor medido cae dentro del intervalo de confianza.

Intervalo de confianza es un intervalo numérico en el que cae el valor real de la cantidad medida con una cierta probabilidad.

Por lo tanto, el coeficiente de Student es el número por el cual se debe multiplicar el error cuadrático medio para garantizar la confiabilidad especificada del resultado para un número determinado de mediciones.

Cuanto mayor sea la confiabilidad requerida para un número determinado de mediciones, mayor será el coeficiente de Student. Por otro lado, cuanto mayor es el número de mediciones, menor es el coeficiente de Student para una determinada confiabilidad. En el trabajo de laboratorio de nuestro taller, asumiremos que la confiabilidad es igual a 0,9. Los valores numéricos de los coeficientes de Student para esta confiabilidad para diferentes números de mediciones se dan en la Tabla 1.

tabla 1

5). Calculado error absoluto total. En cualquier medición existen errores tanto aleatorios como sistemáticos. Calcular el error de medición absoluto total (total) no es una tarea fácil, ya que estos errores son de diferente naturaleza.

Para mediciones de ingeniería, tiene sentido sumar los errores absolutos sistemáticos y aleatorios.

.

Para simplificar los cálculos, se acostumbra estimar el error absoluto total como la suma de los errores aleatorios absolutos y sistemáticos (instrumentales) absolutos, si los errores son del mismo orden de magnitud, y descuidar uno de los errores si es más de un orden de magnitud (10 veces) menos que el otro.

6). El error y el resultado se redondean.. Dado que el resultado de la medición se presenta como un intervalo de valores, cuyo valor está determinado por el error absoluto total, es importante redondear correctamente el resultado y el error.

¡¡¡El redondeo comienza con error absoluto!!! El número de cifras significativas que quedan en el valor del error, en general, depende del coeficiente de confiabilidad y del número de mediciones. Sin embargo, incluso para mediciones muy precisas (por ejemplo, astronómicas), en las que el valor exacto del error es importante, no deje más de dos cifras significativas. Un número mayor de números no tiene sentido, ya que la definición de error en sí misma tiene su propio error. Nuestra práctica tiene un coeficiente de confiabilidad relativamente pequeño y una pequeña cantidad de mediciones. Por lo tanto, al redondear (con exceso), el error absoluto total se deja a una cifra significativa.

El dígito del dígito significativo del error absoluto determina el dígito del primer dígito dudoso en el valor del resultado. En consecuencia, el valor del resultado en sí debe redondearse (con corrección) a aquel dígito significativo cuyo dígito coincida con el dígito del dígito significativo del error. La regla formulada también debe aplicarse en los casos en que algunos de los números sean ceros.

Si el resultado obtenido al medir el peso corporal es , entonces es necesario escribir ceros al final del número 0,900. La grabación significaría que no se sabía nada sobre las siguientes cifras significativas, mientras que las mediciones mostraban que eran cero.

7). Calculado error relativo.

Al redondear el error relativo basta con dejar dos cifras significativas.

R el resultado de una serie de mediciones de una determinada cantidad física se presenta como un intervalo de valores, indicando la probabilidad de que el valor verdadero caiga en este intervalo, es decir, el resultado debe escribirse en la forma:

Aquí está el error absoluto total, redondeado al primer dígito significativo, y es el valor promedio del valor medido, redondeado teniendo en cuenta el error ya redondeado. Al registrar el resultado de una medición, debe indicar la unidad de medida del valor.

Veamos algunos ejemplos:

1. Supongamos que al medir la longitud de un segmento obtuvimos el siguiente resultado: cm y cm ¿Cómo anotar correctamente el resultado de medir la longitud de un segmento? Primero, redondeamos el error absoluto por exceso, dejando un dígito significativo, ver Dígito significativo del error en el lugar de las centésimas. Luego, con la corrección, redondeamos el valor medio a la centésima más cercana, es decir, al dígito significativo cuyo dígito coincida con el dígito del dígito significativo del error. ver Calcular el error relativo

.

cm; ; .

2. Supongamos que al calcular la resistencia del conductor obtuvimos el siguiente resultado: Y . Primero, redondeamos el error absoluto, dejando una cifra significativa. Luego redondeamos el promedio al número entero más cercano. Calcular el error relativo

.

Escribimos el resultado de la medición de la siguiente manera:

; ; .

3. Supongamos que al calcular la masa de la carga obtuvimos el siguiente resultado: kilos y kilos. Primero, redondeamos el error absoluto, dejando una cifra significativa. kg. Luego redondeamos el promedio a las decenas más cercanas. kg. Calcular el error relativo

.

.

Preguntas y tareas sobre la teoría de los errores.

1. ¿Qué significa medir una cantidad física? Dar ejemplos.

2. ¿Por qué ocurren errores de medición?

3. ¿Qué es el error absoluto?

4. ¿Qué es el error relativo?

5. ¿Qué error caracteriza la calidad de la medición? Dar ejemplos.

6. ¿Qué es un intervalo de confianza?

7. Definir el concepto de “error sistemático”.

8. ¿Cuáles son las causas de los errores sistemáticos?

9. ¿Cuál es la clase de precisión de un dispositivo de medición?

10. ¿Cómo se determinan los errores absolutos de varios instrumentos físicos?

11. ¿Qué errores se llaman aleatorios y cómo surgen?

12. Describe el procedimiento para calcular el error cuadrático medio.

13. Describa el procedimiento para calcular el error aleatorio absoluto de mediciones directas.

14. ¿Qué es un “factor de confiabilidad”?

15. ¿De qué parámetros y cómo depende el coeficiente de Student?

16. ¿Cómo se calcula el error absoluto total de las mediciones directas?

17. Escriba fórmulas para determinar los errores relativos y absolutos de mediciones indirectas.

18. Formule las reglas para redondear el resultado con un error.

19. Encuentre el error relativo al medir la longitud de la pared usando una cinta métrica con un valor de división de 0,5 cm. El valor medido fue de 4,66 m.

20. Al medir la longitud de los lados A y B del rectángulo, se cometieron errores absolutos ΔA y ΔB, respectivamente. Escribe una fórmula para calcular el error absoluto ΔS obtenido al determinar el área a partir de los resultados de estas mediciones.

21. La medición de la longitud de la arista del cubo L tuvo un error ΔL. Escribe una fórmula para determinar el error relativo del volumen de un cubo según los resultados de estas mediciones.

22. Un cuerpo se mueve uniformemente acelerado desde un estado de reposo. Para calcular la aceleración, medimos el camino S recorrido por el cuerpo y el tiempo de su movimiento t. Los errores absolutos de estas mediciones directas fueron ΔS y Δt, respectivamente. Derive una fórmula para calcular el error de aceleración relativa a partir de estos datos.

23. Al calcular la potencia del dispositivo de calefacción según los datos de medición, se obtuvieron los valores Pav = 2361,7893735 W y ΔР = 35,4822 W. Registre el resultado como un intervalo de confianza, redondeando según sea necesario.

24. Al calcular el valor de resistencia con base en los datos de medición, se obtuvieron los siguientes valores: Rav = 123,7893735 Ohm, ΔR = 0,348 Ohm. Registre el resultado como un intervalo de confianza, redondeando según sea necesario.

25. Al calcular el coeficiente de fricción a partir de los datos de medición, se obtuvieron los valores μav = 0,7823735 y Δμ = 0,03348. Registre el resultado como un intervalo de confianza, redondeando según sea necesario.

26. Se determinó una corriente de 16,6 A utilizando un dispositivo con una clase de precisión de 1,5 y una clasificación de escala de 50 A. Encuentre los errores instrumentales y relativos absolutos de esta medición.

27. En una serie de 5 mediciones del período de oscilación del péndulo se obtuvieron los siguientes valores: 2,12 s, 2,10 s, 2,11 s, 2,14 s, 2,13 s. Encuentre el error aleatorio absoluto al determinar el período a partir de estos datos.

28. El experimento de dejar caer una carga desde cierta altura se repitió 6 veces. En este caso se obtuvieron los siguientes valores del tiempo de caída de la carga: 38,0 s, 37,6 s, 37,9 s, 37,4 s, 37,5 s, 37,7 s. Encuentre el error relativo al determinar el tiempo de caída.

El valor de división es un valor medido que hace que el puntero se desvíe una división. El valor de división se determina como la relación entre el límite superior de medición del dispositivo y el número de divisiones de escala.

A menudo en la vida tenemos que lidiar con diferentes cantidades aproximadas. Los cálculos aproximados son siempre cálculos con algún error.

El concepto de error absoluto.

El error absoluto de un valor aproximado es la magnitud de la diferencia entre el valor exacto y el valor aproximado.
Es decir, debe restar el valor aproximado del valor exacto y tomar el módulo numérico resultante. Por tanto, el error absoluto es siempre positivo.

Cómo calcular el error absoluto

Vamos a mostrar cómo se vería esto en la práctica. Por ejemplo, tenemos una gráfica de un valor determinado, sea una parábola: y=x^2.

A partir del gráfico podemos determinar el valor aproximado en algunos puntos. Por ejemplo, en x=1,5 el valor de y es aproximadamente igual a 2,2 (y≈2,2).

Usando la fórmula y=x^2 podemos encontrar el valor exacto en el punto x=1.5 y= 2.25.

Ahora calculemos el error absoluto de nuestras medidas. |2,25-2,2|=|0,05| = 0,05.

El error absoluto es 0,05. En tales casos, también dicen que el valor se calcula con una precisión de 0,05.

A menudo sucede que no siempre se puede encontrar el valor exacto y, por lo tanto, no siempre es posible encontrar el error absoluto.

Por ejemplo, si calculamos la distancia entre dos puntos con una regla, o el valor del ángulo entre dos rectas con un transportador, obtendremos valores aproximados. Pero el valor exacto es imposible de calcular. En este caso, podemos especificar un número tal que el valor del error absoluto no pueda ser mayor.

En el ejemplo con una regla, será 0,1 cm, ya que el valor de división en la regla es 1 milímetro. En el ejemplo del transportador, 1 grado porque la escala del transportador se gradúa en cada grado. Así, los valores de error absoluto en el primer caso son 0,1 y en el segundo caso 1.

¿Necesitas ayuda con tus estudios?

Los errores absolutos y relativos se utilizan para evaluar la inexactitud en cálculos muy complejos. También se utilizan en diversas mediciones y para redondear resultados de cálculos. Veamos cómo determinar el error absoluto y relativo.

Error absoluto

error absoluto del numero llama a la diferencia entre este número y su valor exacto.
Veamos un ejemplo : Hay 374 estudiantes en la escuela. Si redondeamos este número a 400, entonces el error absoluto de medición es 400-374=26.

Para calcular el error absoluto, debes restar el número menor del número mayor.

Existe una fórmula para el error absoluto. Denotemos el número exacto con la letra A y la letra a, la aproximación al número exacto. Un número aproximado es un número que difiere ligeramente del exacto y suele sustituirlo en los cálculos. Entonces la fórmula se verá así:

Δa=A-a. Anteriormente discutimos cómo encontrar el error absoluto usando la fórmula.

En la práctica, el error absoluto no es suficiente para evaluar con precisión una medición. Rara vez es posible conocer el valor exacto de la cantidad medida para calcular el error absoluto. Al medir un libro de 20 cm de largo y permitir un error de 1 cm, se puede considerar que la medida tiene un gran error. Pero si se cometió un error de 1 cm al medir una pared de 20 metros, esta medición puede considerarse lo más precisa posible. Por lo tanto, en la práctica, determinar el error de medición relativo es más importante.

Registre el error absoluto del número usando el signo ±. Por ejemplo , la longitud de un rollo de papel tapiz es de 30 m ± 3 cm. El límite de error absoluto se denomina error absoluto máximo.

Error relativo

Error relativo Llaman a la relación entre el error absoluto de un número y el número mismo. Para calcular el error relativo en el ejemplo con los estudiantes, dividimos 26 entre 374. Obtenemos el número 0,0695, lo convertimos a porcentaje y obtenemos el 6%. El error relativo se denota como porcentaje porque es una cantidad adimensional. El error relativo es una estimación precisa del error de medición. Si tomamos un error absoluto de 1 cm al medir la longitud de segmentos de 10 cm y 10 m, entonces los errores relativos serán del 10% y 0,1%, respectivamente. Para un segmento de 10 cm de largo, un error de 1 cm es muy grande, es un error del 10%. Pero para un segmento de diez metros, 1 cm no importa, sólo el 0,1%.

Hay errores sistemáticos y aleatorios. Sistemático es el error que permanece sin cambios durante mediciones repetidas. El error aleatorio surge como resultado de la influencia de factores externos en el proceso de medición y puede cambiar su valor.

Reglas para calcular errores.

Existen varias reglas para la estimación nominal de errores:

• al sumar y restar números, es necesario sumar sus errores absolutos;
• al dividir y multiplicar números, es necesario sumar errores relativos;
• Cuando se eleva a una potencia, el error relativo se multiplica por el exponente.

Los números aproximados y exactos se escriben usando fracciones decimales. Sólo se toma el valor medio, ya que el valor exacto puede ser infinitamente largo. Para entender cómo escribir estos números, necesita aprender sobre los números verdaderos y dudosos.

Los números verdaderos son aquellos números cuyo rango excede el error absoluto del número. Si el dígito de una cifra es menor que el error absoluto, se dice que es dudoso. Por ejemplo , para la fracción 3.6714 con un error de 0.002, los números correctos serán 3,6,7, y los dudosos serán 1 y 4. En el registro del número aproximado solo quedan los números correctos. La fracción en este caso se verá así: 3,67.

¿Qué hemos aprendido?

Se utilizan errores absolutos y relativos para evaluar la precisión de las mediciones. El error absoluto es la diferencia entre un número exacto y uno aproximado. El error relativo es la relación entre el error absoluto de un número y el número mismo. En la práctica se utiliza el error relativo ya que es más preciso.