Cálculo de expectativas de tapete. La expectativa matemática (media poblacional) es

La expectativa matemática (valor promedio) de una variable aleatoria X dada en un espacio de probabilidad discreto es el número m =M[X]=∑x i p i si la serie converge absolutamente.

Objeto del servicio. Usando el servicio en línea Se calculan la expectativa matemática, la varianza y la desviación estándar.(ver ejemplo). Además, se traza una gráfica de la función de distribución F(X).

Propiedades de la expectativa matemática de una variable aleatoria.

1. La expectativa matemática de un valor constante es igual a sí misma: M[C]=C, C – constante;
2. M=C M[X]
3. La expectativa matemática de la suma de variables aleatorias es igual a la suma de sus expectativas matemáticas: M=M[X]+M[Y]
4. La expectativa matemática del producto de variables aleatorias independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas: M=M[X] M[Y] , si X e Y son independientes.

Propiedades de dispersión

1. La varianza de un valor constante es cero: D(c)=0.
2. El factor constante se puede sacar del signo de dispersión elevándolo al cuadrado: D(k*X)= k 2 D(X).
3. Si las variables aleatorias X e Y son independientes, entonces la varianza de la suma es igual a la suma de las varianzas: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. Si las variables aleatorias X e Y son dependientes: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. La siguiente fórmula computacional es válida para la dispersión:
   D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

Ejemplo. Se conocen las expectativas matemáticas y las varianzas de dos variables aleatorias independientes X e Y: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Encuentre la expectativa matemática y la varianza de la variable aleatoria Z=9X-8Y+7.
Solución. Basado en las propiedades de la expectativa matemática: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
Basado en las propiedades de dispersión: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

Algoritmo para calcular la expectativa matemática.

1. Multiplicamos los pares uno a uno: x i por p i .
2. Suma el producto de cada par x i p i .
   Por ejemplo, para n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Ejemplo No. 1.

Ejemplo No. 2. Una variable aleatoria discreta tiene la siguiente serie de distribución:

Solución. El valor de a se encuentra a partir de la relación: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 o 0,24=3 a , de donde a = 0,08

Ejemplo No. 3. Determine la ley de distribución de una variable aleatoria discreta si se conoce su varianza y x 1 x1 =6; x2=9; x3 =x; x4=15
p1 = 0,3; p2 = 0,3; p3 = 0,1; p 4 = 0,3
d(x)=12,96

Solución.
Aquí necesitas crear una fórmula para encontrar la varianza d(x):
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
donde expectativa m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Para nuestros datos
metro(x)=6*0.3+9*0.3+x 3 *0.1+15*0.3=9+0.1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
o -9/100 (x 2 -20x+96)=0
En consecuencia, necesitamos encontrar las raíces de la ecuación, y habrá dos.
x 3 = 8, x 3 = 12
Elige el que cumpla la condición x 1 x 3 = 12

Ley de distribución de una variable aleatoria discreta.
x1 =6; x2=9; x3 =12; x4=15
p1 = 0,3; p2 = 0,3; p3 = 0,1; p 4 = 0,3

Variable aleatoria Se denomina variable a aquella variable que, como resultado de cada prueba, toma un valor previamente desconocido, dependiendo de razones aleatorias. Las variables aleatorias se indican con letras latinas mayúsculas: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Según su tipo, las variables aleatorias pueden ser discreto Y continuo.

Variable aleatoria discreta- se trata de una variable aleatoria cuyos valores no pueden ser más que contables, es decir, finitos o contables. Por contabilidad queremos decir que los valores de una variable aleatoria se pueden numerar.

Ejemplo 1 . A continuación se muestran ejemplos de variables aleatorias discretas:

a) el número de impactos en el objetivo con $n$ disparos, aquí los valores posibles son $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) la cantidad de emblemas que se caen al lanzar una moneda, aquí los valores posibles son $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) el número de barcos que llegan a bordo (un conjunto contable de valores).

d) el número de llamadas que llegan a la centralita (conjunto contable de valores).

1. Ley de distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta.

Una variable aleatoria discreta $X$ puede tomar valores $x_1,\dots ,\ x_n$ con probabilidades $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. La correspondencia entre estos valores y sus probabilidades se llama ley de distribución de una variable aleatoria discreta. Como regla general, esta correspondencia se especifica mediante una tabla, cuya primera línea indica los valores $x_1,\dots ,\ x_n$, y la segunda línea contiene las probabilidades $p_1,\dots ,\ p_n$ correspondientes a estos valores.

$\begin(matriz)(|c|c|)
\hline
X_i y x_1 y x_2 ​​y \puntos y x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \puntos & p_n \\
\hline
\end(matriz)$

Ejemplo 2 . Sea la variable aleatoria $X$ el número de puntos obtenidos al lanzar un dado. Tal variable aleatoria $X$ puede tomar los siguientes valores: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Las probabilidades de todos estos valores son iguales a $1/6$. Entonces la ley de distribución de probabilidad de la variable aleatoria $X$:

$\begin(matriz)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(matriz)$

Comentario. Dado que en la ley de distribución de una variable aleatoria discreta $X$ los eventos $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ forman un grupo completo de eventos, entonces la suma de las probabilidades debe ser igual a uno, es decir, $ \suma(p_i)=1$.

2. Expectativa matemática de una variable aleatoria discreta.

Expectativa de una variable aleatoria establece su significado “central”. Para una variable aleatoria discreta, la expectativa matemática se calcula como la suma de los productos de los valores $x_1,\dots,\ x_n$ y las probabilidades $p_1,\dots,\ p_n$ correspondientes a estos valores, es decir : $M\izquierda(X\derecha)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. En la literatura en inglés, se utiliza otra notación $E\left(X\right)$.

Propiedades de la expectativa matemática$M\izquierda(X\derecha)$:

1. $M\left(X\right)$ se encuentra entre los valores más pequeño y más grande de la variable aleatoria $X$.
2. La expectativa matemática de una constante es igual a la constante misma, es decir $M\izquierda(C\derecha)=C$.
3. El factor constante se puede sacar del signo de la expectativa matemática: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. La expectativa matemática de la suma de variables aleatorias es igual a la suma de sus expectativas matemáticas: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. La expectativa matemática del producto de variables aleatorias independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Ejemplo 3 . Encontremos la expectativa matemática de la variable aleatoria $X$ del ejemplo $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\sobre (6))+4\cdot ((1)\sobre (6))+5\cdot ((1)\sobre (6))+6\cdot ((1 )\sobre (6))=3.5.$$

Podemos notar que $M\left(X\right)$ se encuentra entre los valores más pequeño ($1$) y más grande ($6$) de la variable aleatoria $X$.

Ejemplo 4 . Se sabe que la expectativa matemática de la variable aleatoria $X$ es igual a $M\left(X\right)=2$. Encuentre la expectativa matemática de la variable aleatoria $3X+5$.

Usando las propiedades anteriores, obtenemos $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=$11.

Ejemplo 5 . Se sabe que la expectativa matemática de la variable aleatoria $X$ es igual a $M\left(X\right)=4$. Encuentre la expectativa matemática de la variable aleatoria $2X-9$.

Usando las propiedades anteriores, obtenemos $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ punto 4 -9=-1$.

3. Dispersión de una variable aleatoria discreta.

Los valores posibles de variables aleatorias con expectativas matemáticas iguales pueden dispersarse de manera diferente alrededor de sus valores promedio. Por ejemplo, en dos grupos de estudiantes la puntuación promedio en el examen de teoría de la probabilidad resultó ser 4, pero en un grupo todos resultaron ser buenos estudiantes, y en el otro grupo solo hubo estudiantes C y estudiantes excelentes. Por lo tanto, existe la necesidad de una característica numérica de una variable aleatoria que muestre la dispersión de los valores de la variable aleatoria alrededor de su expectativa matemática. Esta característica es la dispersión.

Varianza de una variable aleatoria discreta$X$ es igual a:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

En la literatura inglesa se utiliza la notación $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Muy a menudo la varianza $D\left(X\right)$ se calcula usando la fórmula $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ izquierda(X \derecha)\derecha))^2$.

Propiedades de dispersión$D\izquierda(X\derecha)$:

1. La varianza es siempre mayor o igual a cero, es decir $D\izquierda(X\derecha)\ge 0$.
2. La varianza de la constante es cero, es decir $D\izquierda(C\derecha)=0$.
3. El factor constante se puede sacar del signo de la dispersión siempre que esté al cuadrado, es decir $D\izquierda(CX\derecha)=C^2D\izquierda(X\derecha)$.
4. La varianza de la suma de variables aleatorias independientes es igual a la suma de sus varianzas, es decir $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. La varianza de la diferencia entre variables aleatorias independientes es igual a la suma de sus varianzas, es decir $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Ejemplo 6 . Calculemos la varianza de la variable aleatoria $X$ del ejemplo $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3.5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3.5\right))^2+ \dots +( (1)\sobre (6))\cdot (\left(6-3.5\right))^2=((35)\sobre (12))\aproximadamente 2,92.$$

Ejemplo 7 . Se sabe que la varianza de la variable aleatoria $X$ es igual a $D\left(X\right)=2$. Encuentra la varianza de la variable aleatoria $4X+1$.

Usando las propiedades anteriores, encontramos $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ izquierda(X\derecha)=16\cdot 2=32$.

Ejemplo 8 . Se sabe que la varianza de la variable aleatoria $X$ es igual a $D\left(X\right)=3$. Encuentre la varianza de la variable aleatoria $3-2X$.

Usando las propiedades anteriores, encontramos $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ izquierda(X\derecha)=4\cdot 3=12$.

4. Función de distribución de una variable aleatoria discreta.

El método de representar una variable aleatoria discreta en forma de una serie de distribución no es el único y, lo más importante, no es universal, ya que una variable aleatoria continua no se puede especificar mediante una serie de distribución. Hay otra forma de representar una variable aleatoria: la función de distribución.

Función de distribución La variable aleatoria $X$ se llama función $F\left(x\right)$, que determina la probabilidad de que la variable aleatoria $X$ tome un valor menor que algún valor fijo $x$, es decir, $F\ izquierda(x\derecha)=P\izquierda(X< x\right)$

Propiedades de la función de distribución.:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. La probabilidad de que la variable aleatoria $X$ tome valores del intervalo $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ es igual a la diferencia entre los valores de la función de distribución en los extremos de este intervalo: $P\izquierda(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - no decreciente.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \derecha)=1\ )$.

Ejemplo 9 . Encontremos la función de distribución $F\left(x\right)$ para la ley de distribución de la variable aleatoria discreta $X$ del ejemplo $2$.

$\begin(matriz)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(matriz)$

Si $x\le 1$, entonces, obviamente, $F\left(x\right)=0$ (incluso para $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Si $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Si $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Si $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Si $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Si $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Si $x > 6$, entonces $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Entonces $F(x)=\left\(\begin(matriz)
0,\ en\ x\le 1,\\
1/6, en\ 1< x\le 2,\\
1/3,\ en\ 2< x\le 3,\\
1/2,en\ 3< x\le 4,\\
2/3,\ en\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ en\ 4< x\le 5,\\
1,\ para\ x > 6.
\end(matriz)\right.$

Como ya se sabe, la ley de distribución caracteriza completamente una variable aleatoria. Sin embargo, a menudo se desconoce la ley de distribución y hay que limitarse a proporcionar menos información. A veces es incluso más rentable utilizar números que describan la variable aleatoria en su totalidad; tales números se llaman Características numéricas de una variable aleatoria. Una de las características numéricas importantes es la expectativa matemática.

La expectativa matemática, como se mostrará a continuación, es aproximadamente igual al valor promedio de la variable aleatoria. Para resolver muchos problemas, basta con conocer la expectativa matemática. Por ejemplo, si se sabe que la expectativa matemática del número de puntos anotados por el primer tirador es mayor que la del segundo, entonces el primer tirador, en promedio, obtiene más puntos que el segundo y, por lo tanto, dispara mejor. que el segundo. Aunque la expectativa matemática proporciona mucha menos información sobre una variable aleatoria que la ley de su distribución, el conocimiento de la expectativa matemática es suficiente para resolver problemas como el anterior y muchos otros.

§ 2. Expectativa matemática de una variable aleatoria discreta

Expectativa matemática Una variable aleatoria discreta es la suma de los productos de todos sus valores posibles y sus probabilidades.

Deja que la variable aleatoria X sólo puede tomar valores X 1 , X 2 , ..., X PAG , cuyas probabilidades son respectivamente iguales R 1 , R 2 , . . ., R PAG . Entonces la expectativa matemática METRO(X) variable aleatoria X está determinado por la igualdad

METRO(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + X norte pag norte .

Si una variable aleatoria discreta X toma un conjunto contable de valores posibles, entonces

METRO(X)=

Además, la expectativa matemática existe si la serie del lado derecho de la igualdad converge absolutamente.

Comentario. De la definición se deduce que la expectativa matemática de una variable aleatoria discreta es una cantidad no aleatoria (constante). Le recomendamos que recuerde esta afirmación, ya que la utilizará muchas veces más adelante. Más adelante se demostrará que la expectativa matemática de una variable aleatoria continua también es un valor constante.

Ejemplo 1. Encuentra la expectativa matemática de una variable aleatoria. X, conociendo la ley de su distribución:

Solución. La expectativa matemática requerida es igual a la suma de los productos de todos los valores posibles de la variable aleatoria y sus probabilidades:

METRO(X)= 3* 0, 1+ 5* 0, 6+ 2* 0, 3= 3, 9.

Ejemplo 2. Encuentre la expectativa matemática del número de ocurrencias de un evento. A en un ensayo, si la probabilidad del evento A igual a r.

Solución. Valor aleatorio X - número de ocurrencias del evento A en una prueba, solo puede tomar dos valores: X 1 = 1 (evento A ocurrió) con probabilidad R Y X 2 = 0 (evento A no ocurrió) con probabilidad q= 1 -r. La expectativa matemática requerida

METRO(X)= 1* pag+ 0* q= pag

Entonces, la expectativa matemática del número de ocurrencias de un evento en una prueba es igual a la probabilidad de este evento. Este resultado se utilizará a continuación.

§ 3. Significado probabilístico de la expectativa matemática

Que se produzca PAG pruebas en las que la variable aleatoria X aceptado t 1 valor de veces X 1 , t 2 valor de veces X 2 ,...,metro k valor de veces X k , y t 1 + t 2 + …+t A = pág. Luego la suma de todos los valores tomados. X, igual a

X 1 t 1 + X 2 t 2 + ... + X A t A .

Encontremos la media aritmética todos los valores aceptados por una variable aleatoria, para lo cual dividimos la suma encontrada por el número total de pruebas:

= (X 1 t 1 + X 2 t 2 + ... + X A t A)/PAG,

= X 1 (metro 1 / norte) + X 2 (metro 2 / norte) + ... + X A (t A /PAG). (*)

Notando que la actitud metro 1 / norte- Frecuencia relativa W. 1 valores X 1 , metro 2 / norte - Frecuencia relativa W. 2 valores X 2 etc., escribimos la relación (*) así:

=X 1 W. 1 + X 2 W. 2 + .. . + X A W. k . (**)

Supongamos que el número de pruebas es bastante grande. Entonces la frecuencia relativa es aproximadamente igual a la probabilidad de que ocurra el evento (esto se demostrará en el Capítulo IX, § 6):

W. 1 pag 1 , W. 2 pag 2 , …, W. k pag k .

Reemplazando las frecuencias relativas con las probabilidades correspondientes en relación (**), obtenemos

X 1 pag 1 + X 2 R 2 + … + X A R A .

El lado derecho de esta igualdad aproximada es METRO(X). Entonces,

METRO(X).

El significado probabilístico del resultado obtenido es el siguiente: la expectativa matemática es aproximadamente igual(cuanto más preciso, mayor será el número de pruebas) la media aritmética de los valores observados de una variable aleatoria.

Observación 1. Es fácil entender que la expectativa matemática es mayor que el valor más pequeño y menor que el valor más grande posible. En otras palabras, en la recta numérica, los valores posibles se ubican a la izquierda y a la derecha de la expectativa matemática. En este sentido, la expectativa matemática caracteriza la ubicación de la distribución y, por lo tanto, a menudo se la denomina centro de distribucion.

Este término está tomado de la mecánica: si las masas R 1 , r. 2 , ..., R PAG ubicado en los puntos de abscisas X 1 , X 2 , ..., X norte, y
luego la abscisa del centro de gravedad

X C =
.

Teniendo en cuenta que
= METRO (X) Y
obtenemos METRO(X)=x Con .

Entonces, la expectativa matemática es la abscisa del centro de gravedad de un sistema de puntos materiales, cuyas abscisas son iguales a los valores posibles de la variable aleatoria y las masas son iguales a sus probabilidades.

Observación 2. El origen del término "expectativa matemática" está asociado con el período inicial del surgimiento de la teoría de la probabilidad (siglos XVI - XVII), cuando el alcance de su aplicación se limitaba al juego. El jugador estaba interesado en el valor medio de la ganancia esperada o, en otras palabras, la expectativa matemática de ganar.

Tarea 1. La probabilidad de germinación de las semillas de trigo es 0,9. ¿Cuál es la probabilidad de que de cuatro semillas sembradas broten al menos tres?

Solución. deja que el evento A– de 4 semillas brotarán al menos 3 semillas; evento EN– de 4 semillas brotarán 3 semillas; evento CON– de 4 semillas brotarán 4 semillas. Por el teorema de la suma de probabilidades.

Probabilidades
Y
lo determinamos mediante la fórmula de Bernoulli, aplicada en el siguiente caso. Que se lleve a cabo la serie. PAG pruebas independientes, durante cada una de las cuales la probabilidad de que ocurra el evento es constante e igual a R, y la probabilidad de que este evento no ocurra es igual a
. Entonces la probabilidad de que el evento A V PAG las pruebas aparecerán exactamente veces, calculado usando la fórmula de Bernoulli

,

Dónde
– número de combinaciones de PAG elementos por . Entonces

Probabilidad requerida

Tarea 2. La probabilidad de germinación de las semillas de trigo es 0,9. Calcula la probabilidad de que de 400 semillas sembradas, broten 350 semillas.

Solución. Calcular la probabilidad requerida
utilizar la fórmula de Bernoulli es difícil debido a lo engorroso de los cálculos. Por tanto, aplicamos una fórmula aproximada que expresa el teorema local de Laplace:

,

Dónde
Y
.

De las condiciones problemáticas. Entonces

.

De la tabla 1 de los apéndices encontramos. La probabilidad requerida es igual a

Tarea 3. Las semillas de trigo contienen un 0,02% de malas hierbas. ¿Cuál es la probabilidad de que si se seleccionan al azar 10 000 semillas se encuentren 6 semillas de malezas?

Solución. Aplicación del teorema local de Laplace debido a la baja probabilidad
conduce a una desviación significativa de la probabilidad del valor exacto
. Por lo tanto, a valores pequeños R calcular
aplicar la fórmula asintótica de Poisson

, Dónde .

Esta fórmula se utiliza cuando
, y cuanto menos R y más PAG, más preciso será el resultado.

Según las condiciones del problema.
;
. Entonces

Tarea 4. El porcentaje de germinación de las semillas de trigo es del 90%. Calcula la probabilidad de que de 500 semillas sembradas broten de 400 a 440 semillas.

Solución. Si la probabilidad de que ocurra un evento A en cada PAG las pruebas son constantes e iguales R, entonces la probabilidad
que el evento A en tales pruebas no habrá menos una vez y no más tiempos determinados por el teorema integral de Laplace mediante la siguiente fórmula:

, Dónde

,
.

Función
llamada función de Laplace. Los apéndices (Tabla 2) dan los valores de esta función para
. En
función
. Para valores negativos X debido a la rareza de la función de Laplace
. Usando la función de Laplace tenemos:

Según las condiciones de la tarea. Usando las fórmulas anteriores encontramos
Y :

Tarea 5. Se da la ley de distribución de una variable aleatoria discreta. X:

2. Encuentre: 1) expectativa matemática; 2) dispersión; 3) desviación estándar.

Solución. 1) Si la ley de distribución de una variable aleatoria discreta viene dada por la tabla

2. Donde la primera línea contiene los valores de la variable aleatoria x y la segunda línea contiene las probabilidades de estos valores, entonces la expectativa matemática se calcula usando la fórmula

2) Variación
variable aleatoria discreta X se llama expectativa matemática de la desviación al cuadrado de una variable aleatoria de su expectativa matemática, es decir

Este valor caracteriza el valor promedio esperado de la desviación al cuadrado. X de
. De la última fórmula tenemos

Diferencia
se puede encontrar de otra manera, basándose en su siguiente propiedad: dispersión
igual a la diferencia entre la expectativa matemática del cuadrado de la variable aleatoria X y el cuadrado de su expectativa matemática
, eso es

Calcular
Dibujemos la siguiente ley de distribución de la cantidad.
:

3) Para caracterizar la dispersión de posibles valores de una variable aleatoria alrededor de su valor promedio, se introduce la desviación estándar
variable aleatoria X, igual a la raíz cuadrada de la varianza
, eso es

.

De esta fórmula tenemos:

Tarea 6. Variable aleatoria continua X dada por la función de distribución acumulativa

Encuentre: 1) función de distribución diferencial
; 2) expectativa matemática
; 3) variación
.

Solución. 1) Función de distribución diferencial
variable aleatoria continua X se llama derivada de la función de distribución acumulativa
, eso es

.

La función diferencial buscada tiene la siguiente forma:

2) Si una variable aleatoria continua X dado por la función
, entonces su expectativa matemática está determinada por la fórmula

Desde la función
en
y en
es igual a cero, entonces de la última fórmula tenemos

.

3) Variación
lo determinaremos por la fórmula

Tarea 7. La longitud de la pieza es una variable aleatoria distribuida normalmente con una expectativa matemática de 40 mm y una desviación estándar de 3 mm. Encuentre: 1) la probabilidad de que la longitud de una pieza tomada arbitrariamente sea superior a 34 mm y inferior a 43 mm; 2) la probabilidad de que la longitud de la pieza se desvíe de su expectativa matemática en no más de 1,5 mm.

Solución. 1) dejar X– longitud de la pieza. Si la variable aleatoria X dado por una función diferencial
, entonces la probabilidad de que X tomará valores pertenecientes al segmento
, está determinado por la fórmula

.

Probabilidad de desigualdades estrictas
está determinada por la misma fórmula. Si la variable aleatoria X se distribuye según la ley normal, entonces

, (1)

Dónde
– función de Laplace,
.

En el problema. Entonces

2) Según las condiciones del problema, donde
. Sustituyendo en (1), tenemos

. (2)

De la fórmula (2) tenemos.

La expectativa es la distribución de probabilidad de una variable aleatoria.

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La expectativa matemática es la definición.

Uno de los conceptos más importantes de la estadística matemática y la teoría de la probabilidad, que caracteriza la distribución de valores o probabilidades de una variable aleatoria. Normalmente se expresa como un promedio ponderado de todos los parámetros posibles de una variable aleatoria. Ampliamente utilizado en análisis técnico, estudio de series numéricas y estudio de procesos continuos y que requieren mucho tiempo. Es importante para evaluar riesgos, predecir indicadores de precios cuando se negocia en los mercados financieros y se utiliza para desarrollar estrategias y métodos de tácticas de juego en la teoría del juego.

La expectativa matemática es el valor promedio de una variable aleatoria, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria se considera en la teoría de la probabilidad.

La expectativa matemática es una medida del valor promedio de una variable aleatoria en la teoría de la probabilidad. Expectativa de una variable aleatoria X denotado por M(x).

La expectativa matemática es

La expectativa matemática es en teoría de la probabilidad, promedio ponderado de todos los valores posibles que puede tomar una variable aleatoria.

La expectativa matemática es la suma de los productos de todos los valores posibles de una variable aleatoria y las probabilidades de estos valores.

La expectativa matemática es el beneficio promedio de una decisión particular, siempre que dicha decisión pueda considerarse dentro del marco de la teoría de los grandes números y la larga distancia.

La expectativa matemática es En teoría del juego, la cantidad de ganancias que un jugador puede ganar o perder, en promedio, por cada apuesta. En el lenguaje del juego, esto a veces se denomina "ventaja del jugador" (si es positiva para el jugador) o "ventaja de la casa" (si es negativa para el jugador).

La expectativa matemática es el porcentaje de ganancia por ganancia multiplicado por la ganancia promedio, menos la probabilidad de pérdida multiplicada por la pérdida promedio.

Expectativa matemática de una variable aleatoria en teoría matemática.

Una de las características numéricas importantes de una variable aleatoria es su expectativa matemática. Introduzcamos el concepto de sistema de variables aleatorias. Consideremos un conjunto de variables aleatorias que son resultados del mismo experimento aleatorio. Si es uno de los valores posibles del sistema, entonces el evento corresponde a una cierta probabilidad que satisface los axiomas de Kolmogorov. Una función definida para cualquier valor posible de variables aleatorias se denomina ley de distribución conjunta. Esta función le permite calcular las probabilidades de cualquier evento. En particular, la ley de distribución conjunta de variables aleatorias y, que toman valores del conjunto y, está dada por probabilidades.

El término “expectativa matemática” fue introducido por Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) y proviene del concepto de “valor esperado de las ganancias”, que apareció por primera vez en el siglo XVII en la teoría del juego en las obras de Blaise Pascal y Christiaan. Huygens. Sin embargo, la primera comprensión y evaluación teórica completa de este concepto la dio Pafnuty Lvovich Chebyshev (mediados del siglo XIX).

La ley de distribución de variables numéricas aleatorias (función de distribución y series de distribución o densidad de probabilidad) describe completamente el comportamiento de una variable aleatoria. Pero en una serie de problemas basta con conocer algunas características numéricas de la cantidad en estudio (por ejemplo, su valor medio y su posible desviación) para responder a la pregunta planteada. Las principales características numéricas de las variables aleatorias son la expectativa matemática, la varianza, la moda y la mediana.

La expectativa matemática de una variable aleatoria discreta es la suma de los productos de sus posibles valores y sus correspondientes probabilidades. A veces, la expectativa matemática se denomina promedio ponderado, ya que es aproximadamente igual a la media aritmética de los valores observados de una variable aleatoria durante una gran cantidad de experimentos. De la definición de expectativa matemática se deduce que su valor no es menor que el valor más pequeño posible de una variable aleatoria y no mayor que el mayor. La expectativa matemática de una variable aleatoria es una variable no aleatoria (constante).

La expectativa matemática tiene un significado físico simple: si colocas una unidad de masa en una línea recta, colocando una cierta masa en algunos puntos (para una distribución discreta), o “untándola” con una cierta densidad (para una distribución absolutamente continua) , entonces el punto correspondiente a la expectativa matemática será la coordenada "centro de gravedad" es recta.

El valor promedio de una variable aleatoria es un número determinado que es, por así decirlo, su "representante" y lo reemplaza en cálculos aproximados. Cuando decimos: "el tiempo medio de funcionamiento de la lámpara es de 100 horas" o "el punto de impacto medio se desplaza 2 m hacia la derecha con respecto al objetivo", estamos indicando una determinada característica numérica de una variable aleatoria que describe su ubicación en el eje numérico, es decir "características de la posición".

De las características de una posición en la teoría de la probabilidad, el papel más importante lo desempeña la expectativa matemática de una variable aleatoria, que a veces se denomina simplemente el valor promedio de una variable aleatoria.

Considere la variable aleatoria X, teniendo valores posibles x1, x2,…, xn con probabilidades p1, p2,…, pn. Necesitamos caracterizar con algún número la posición de los valores de una variable aleatoria en el eje x, teniendo en cuenta que estos valores tienen diferentes probabilidades. Para ello, es natural utilizar el llamado “promedio ponderado” de los valores xi, y cada valor xi durante el promediado debe tenerse en cuenta con un "peso" proporcional a la probabilidad de este valor. Así, calcularemos el promedio de la variable aleatoria. X, que denotamos M |X|:

Este promedio ponderado se llama expectativa matemática de la variable aleatoria. Por lo tanto, presentamos uno de los conceptos más importantes de la teoría de la probabilidad: el concepto de expectativa matemática. La expectativa matemática de una variable aleatoria es la suma de los productos de todos los valores posibles de una variable aleatoria y las probabilidades de estos valores.

Que se produzca norte experimentos independientes, en cada uno de los cuales el valor X adquiere un valor determinado. Supongamos que el valor x1 apareció m1 tiempos, valor x2 apareció m2 tiempos, significado general xi apareció mi veces. Calculemos la media aritmética de los valores observados del valor X, que, a diferencia de la expectativa matemática M|X| denotamos M*|X|:

Con un número cada vez mayor de experimentos norte frecuencias Pi se acercará (convergirá en probabilidad) a las probabilidades correspondientes. En consecuencia, la media aritmética de los valores observados de la variable aleatoria. M|X| con un aumento en el número de experimentos se acercará (convergirá en probabilidad) a su expectativa matemática. La conexión entre la media aritmética y la expectativa matemática formulada anteriormente constituye el contenido de una de las formas de la ley de los grandes números.

Ya sabemos que todas las formas de la ley de los grandes números establecen el hecho de que algunos promedios son estables durante una gran cantidad de experimentos. Aquí estamos hablando de la estabilidad de la media aritmética a partir de una serie de observaciones de la misma cantidad. Con un número reducido de experimentos, la media aritmética de sus resultados es aleatoria; con un aumento suficiente en el número de experimentos, se vuelve "casi no aleatorio" y, al estabilizarse, se acerca a un valor constante: la expectativa matemática.

La estabilidad de los promedios en un gran número de experimentos puede verificarse fácilmente experimentalmente. Por ejemplo, al pesar un cuerpo en un laboratorio en balanzas precisas, como resultado del pesaje obtenemos cada vez un nuevo valor; Para reducir el error de observación, pesamos el cuerpo varias veces y utilizamos la media aritmética de los valores obtenidos. Es fácil ver que con un mayor aumento en el número de experimentos (pesajes), la media aritmética reacciona cada vez menos a este aumento y, con un número suficientemente grande de experimentos, prácticamente deja de cambiar.

Cabe señalar que la característica más importante de la posición de una variable aleatoria (la expectativa matemática) no existe para todas las variables aleatorias. Es posible componer ejemplos de tales variables aleatorias para las cuales no existe la expectativa matemática, ya que la suma o integral correspondiente diverge. Sin embargo, estos casos no son de gran interés para la práctica. Normalmente, las variables aleatorias con las que trabajamos tienen un rango limitado de valores posibles y, por supuesto, tienen una expectativa matemática.

Además de las características más importantes de la posición de una variable aleatoria (la expectativa matemática), en la práctica a veces se utilizan otras características de la posición, en particular, la moda y la mediana de la variable aleatoria.

La moda de una variable aleatoria es su valor más probable. El término "valor más probable" estrictamente hablando sólo se aplica a cantidades discontinuas; para una cantidad continua, la moda es el valor en el que la densidad de probabilidad es máxima. Las figuras muestran la moda para variables aleatorias discontinuas y continuas, respectivamente.

Si el polígono de distribución (curva de distribución) tiene más de un máximo, la distribución se denomina "multimodal".

A veces hay distribuciones que tienen un mínimo en el medio en lugar de un máximo. Estas distribuciones se denominan “antimodales”.

En el caso general, la moda y la expectativa matemática de una variable aleatoria no coinciden. En el caso particular, cuando la distribución es simétrica y modal (es decir, tiene una moda) y existe una expectativa matemática, entonces coincide con la moda y el centro de simetría de la distribución.

A menudo se utiliza otra característica de posición: la llamada mediana de una variable aleatoria. Esta característica suele usarse sólo para variables aleatorias continuas, aunque puede definirse formalmente para una variable discontinua. Geométricamente, la mediana es la abscisa del punto en el que el área encerrada por la curva de distribución se divide por la mitad.

En el caso de una distribución modal simétrica, la mediana coincide con la expectativa matemática y la moda.

La expectativa matemática es el valor promedio de una variable aleatoria, una característica numérica de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria. De la forma más general, la expectativa matemática de una variable aleatoria. X(w) se define como la integral de Lebesgue con respecto a la medida de probabilidad R en el espacio de probabilidad original:

La expectativa matemática también se puede calcular como la integral de Lebesgue de X por distribución de probabilidad píxeles cantidades X:

El concepto de variable aleatoria con expectativa matemática infinita se puede definir de forma natural. Un ejemplo típico son los tiempos de retorno de algunos paseos aleatorios.

Utilizando la expectativa matemática se determinan muchas características numéricas y funcionales de una distribución (como la expectativa matemática de las funciones correspondientes de una variable aleatoria), por ejemplo, la función generadora, la función característica, los momentos de cualquier orden, en particular la dispersión, la covarianza. .

La expectativa matemática es una característica de la ubicación de los valores de una variable aleatoria (el valor promedio de su distribución). En esta capacidad, la expectativa matemática sirve como un parámetro de distribución "típico" y su papel es similar al papel del momento estático - la coordenada del centro de gravedad de la distribución de masa - en mecánica. De otras características de la ubicación con la ayuda de las cuales se describe la distribución en términos generales (medianas, modas, expectativa matemática) se diferencia en el mayor valor que ella y la característica de dispersión correspondiente (dispersión) tienen en los teoremas límite de la teoría de la probabilidad. El significado de la expectativa matemática se revela más plenamente en la ley de los grandes números (la desigualdad de Chebyshev) y la ley reforzada de los grandes números.

Expectativa de una variable aleatoria discreta

Sea alguna variable aleatoria que pueda tomar uno de varios valores numéricos (por ejemplo, el número de puntos al lanzar un dado puede ser 1, 2, 3, 4, 5 o 6). A menudo, en la práctica, para tal valor surge la pregunta: ¿qué valor se toma "en promedio" con una gran cantidad de pruebas? ¿Cuál será nuestro ingreso (o pérdida) promedio de cada una de las transacciones riesgosas?

Digamos que hay algún tipo de lotería. Queremos entender si es rentable o no participar en él (o incluso participar de forma repetida, regular). Digamos que uno de cada cuatro boletos es ganador, el premio será de 300 rublos y el precio de cualquier boleto será de 100 rublos. Con un número infinitamente grande de participaciones, esto es lo que sucede. En tres cuartas partes de los casos perderemos, cada tres pérdidas nos costará 300 rublos. En uno de cada cuatro casos ganaremos 200 rublos. (premio menos costo), es decir, por cuatro participaciones perdemos en promedio 100 rublos, por una, en promedio 25 rublos. En total, el precio medio de nuestra ruina será de 25 rublos por billete.

Tiramos los dados. Si no es hacer trampa (sin cambiar el centro de gravedad, etc.), ¿cuántos puntos tendremos en promedio a la vez? Como cada opción es igualmente probable, simplemente tomamos la media aritmética y obtenemos 3,5. Dado que esto es PROMEDIO, no hay necesidad de indignarse porque ninguna tirada específica dará 3,5 puntos; bueno, ¡este cubo no tiene una cara con ese número!

Ahora resumamos nuestros ejemplos:

Miremos la imagen que acabamos de dar. A la izquierda hay una tabla de distribución de una variable aleatoria. El valor X puede tomar uno de n valores posibles (que se muestran en la línea superior). No puede haber otros significados. Debajo de cada valor posible está su probabilidad. A la derecha está la fórmula, donde M(X) se llama expectativa matemática. El significado de este valor es que con un gran número de pruebas (con una muestra grande), el valor promedio tenderá a esta misma expectativa matemática.

Volvamos de nuevo al mismo cubo de juego. La expectativa matemática del número de puntos al lanzar es 3,5 (calcula tú mismo usando la fórmula si no me crees). Digamos que lo arrojaste un par de veces. Los resultados fueron 4 y 6. La media fue 5, lo que dista mucho del 3,5. Lo lanzaron una vez más, obtuvieron 3, es decir, en promedio (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333... De alguna manera lejos de la expectativa matemática. Ahora haz un experimento loco: ¡haz rodar el cubo 1000 veces! E incluso si el promedio no es exactamente 3,5, estará cerca de eso.

Calculemos la expectativa matemática para la lotería descrita anteriormente. La placa quedará así:

Entonces la expectativa matemática será, como establecimos anteriormente:

Otra cosa es que hacerlo “con los dedos”, sin fórmula, sería difícil si hubiera más opciones. Bueno, digamos que habría un 75% de billetes perdedores, un 20% de billetes ganadores y un 5% de billetes especialmente ganadores.

Ahora algunas propiedades de la expectativa matemática.

Es fácil de demostrar:

El factor constante se puede sacar como signo de la expectativa matemática, es decir:

Este es un caso especial de la propiedad de linealidad de la expectativa matemática.

Otra consecuencia de la linealidad de la expectativa matemática:

es decir, la expectativa matemática de la suma de variables aleatorias es igual a la suma de las expectativas matemáticas de variables aleatorias.

Sean X, Y variables aleatorias independientes., Entonces:

Esto también es fácil de probar) Trabajo XY en sí es una variable aleatoria, y si los valores iniciales pudieran tomar norte Y metro valores en consecuencia, entonces XY puede tomar valores nm. La probabilidad de cada valor se calcula basándose en el hecho de que se multiplican las probabilidades de eventos independientes. Como resultado, obtenemos esto:

Expectativa de una variable aleatoria continua

Las variables aleatorias continuas tienen una característica como la densidad de distribución (densidad de probabilidad). Básicamente, caracteriza la situación en la que una variable aleatoria toma algunos valores del conjunto de números reales con más frecuencia y otros con menos frecuencia. Por ejemplo, considere este gráfico:

Aquí X- variable aleatoria real, f(x)- densidad de distribución. A juzgar por este gráfico, durante los experimentos el valor X A menudo será un número cercano a cero. Las posibilidades se superan 3 o ser más pequeño -3 más bien puramente teórico.

Sea, por ejemplo, una distribución uniforme:

Esto es bastante consistente con la comprensión intuitiva. Digamos que si recibimos muchos números reales aleatorios con una distribución uniforme, cada uno de los segmentos |0; 1| , entonces la media aritmética debería ser aproximadamente 0,5.

Las propiedades de la expectativa matemática (linealidad, etc.) aplicables a variables aleatorias discretas también se aplican aquí.

Relación entre expectativa matemática y otros indicadores estadísticos

En el análisis estadístico, junto con la expectativa matemática, existe un sistema de indicadores interdependientes que reflejan la homogeneidad de los fenómenos y la estabilidad de los procesos. Los indicadores de variación a menudo no tienen un significado independiente y se utilizan para análisis de datos adicionales. La excepción es el coeficiente de variación, que caracteriza la homogeneidad de los datos, que es una característica estadística valiosa.

El grado de variabilidad o estabilidad de los procesos en la ciencia estadística se puede medir utilizando varios indicadores.

El indicador más importante que caracteriza la variabilidad de una variable aleatoria es Dispersión, que está más estrecha y directamente relacionado con la expectativa matemática. Este parámetro se utiliza activamente en otros tipos de análisis estadístico (prueba de hipótesis, análisis de relaciones causa-efecto, etc.). Al igual que la desviación lineal promedio, la varianza también refleja el grado de dispersión de los datos alrededor del valor medio.

Es útil traducir el lenguaje de signos al lenguaje de palabras. Resulta que la dispersión es el cuadrado promedio de las desviaciones. Es decir, primero se calcula el valor promedio, luego se toma la diferencia entre cada valor original y promedio, se eleva al cuadrado, se suma y luego se divide por el número de valores de la población. La diferencia entre un valor individual y el promedio refleja la medida de la desviación. Se eleva al cuadrado para que todas las desviaciones se conviertan en números exclusivamente positivos y para evitar la destrucción mutua de las desviaciones positivas y negativas al sumarlas. Luego, dadas las desviaciones al cuadrado, simplemente calculamos la media aritmética. Promedio - cuadrado - desviaciones. Las desviaciones se elevan al cuadrado y se calcula el promedio. La respuesta a la palabra mágica “dispersión” se encuentra en sólo tres palabras.

Sin embargo, en su forma pura, como la media aritmética o índice, no se utiliza la dispersión. Es más bien un indicador auxiliar e intermedio que se utiliza para otros tipos de análisis estadístico. Ni siquiera tiene una unidad de medida normal. A juzgar por la fórmula, este es el cuadrado de la unidad de medida de los datos originales.

Medimos una variable aleatoria norte veces, por ejemplo, medimos la velocidad del viento diez veces y queremos encontrar el valor medio. ¿Cómo se relaciona el valor promedio con la función de distribución?

O tiraremos los dados un gran número de veces. El número de puntos que aparecerán en los dados con cada lanzamiento es una variable aleatoria y puede tomar cualquier valor natural de 1 a 6. La media aritmética de los puntos perdidos calculada para todos los lanzamientos de dados también es una variable aleatoria, pero para grandes norte tiende a un número muy específico - expectativa matemática mx. En este caso Mx = 3,5.

¿Cómo obtuviste este valor? Dejar entrar norte pruebas n1 Se tira 1 punto una vez n2 una vez - 2 puntos y así sucesivamente. Luego, el número de resultados en los que cayó un punto:

Lo mismo ocurre con los resultados cuando se obtienen 2, 3, 4, 5 y 6 puntos.

Supongamos ahora que conocemos la ley de distribución de la variable aleatoria x, es decir, sabemos que la variable aleatoria x puede tomar valores x1, x2, ..., xk con probabilidades p1, p2, ..., paquete.

La expectativa matemática Mx de una variable aleatoria x es igual a:

La expectativa matemática no siempre es una estimación razonable de alguna variable aleatoria. Entonces, para estimar el salario promedio, es más razonable utilizar el concepto de mediana, es decir, un valor tal que coincida el número de personas que reciben un salario inferior a la mediana y uno superior.

La probabilidad p1 de que la variable aleatoria x sea menor que x1/2 y la probabilidad p2 de que la variable aleatoria x sea mayor que x1/2 son iguales e iguales a 1/2. La mediana no se determina de forma única para todas las distribuciones.

Desviación estándar o estándar en estadística, se llama el grado de desviación de los datos o conjuntos de observación del valor PROMEDIO. Denotado por las letras s o s. Una desviación estándar pequeña indica que los datos se agrupan alrededor de la media, mientras que una desviación estándar grande indica que los datos iniciales se encuentran lejos de ella. La desviación estándar es igual a la raíz cuadrada de una cantidad llamada varianza. Es el promedio de la suma de las diferencias al cuadrado de los datos iniciales que se desvían del valor promedio. La desviación estándar de una variable aleatoria es la raíz cuadrada de la varianza:

Ejemplo. En condiciones de prueba, al disparar a un objetivo, calcule la dispersión y la desviación estándar de la variable aleatoria:

Variación- fluctuación, variabilidad del valor de una característica entre unidades de la población. Los valores numéricos individuales de una característica encontrada en la población en estudio se denominan variantes de valores. La insuficiencia del valor medio para caracterizar completamente a la población nos obliga a complementar los valores medios con indicadores que permitan evaluar la tipicidad de estos promedios midiendo la variabilidad (variación) de la característica en estudio. El coeficiente de variación se calcula mediante la fórmula:

Rango de variación(R) representa la diferencia entre los valores máximo y mínimo del atributo en la población en estudio. Este indicador da la idea más general de la variabilidad de la característica en estudio, ya que muestra la diferencia solo entre los valores máximos de las opciones. La dependencia de los valores extremos de una característica le da al alcance de la variación un carácter inestable y aleatorio.

Desviación lineal promedio representa la media aritmética de las desviaciones absolutas (módulo) de todos los valores de la población analizada de su valor promedio:

Expectativa matemática en la teoría del juego.

La expectativa matemática es La cantidad promedio de dinero que un jugador puede ganar o perder en una apuesta determinada. Este es un concepto muy importante para el jugador porque es fundamental para la evaluación de la mayoría de situaciones de juego. La expectativa matemática es también la herramienta óptima para analizar diseños básicos de cartas y situaciones de juego.

Digamos que estás jugando un juego de monedas con un amigo, apostando la misma cantidad de $1 cada vez, sin importar lo que surja. Cruz significa que ganas, cara significa que pierdes. Las probabilidades de que salga cara son de uno a uno, por lo que usted apuesta entre $1 y $1. Por lo tanto, su expectativa matemática es cero, porque Desde un punto de vista matemático, no puedes saber si ganarás o perderás después de dos lanzamientos o después de 200.

Su ganancia por hora es cero. Las ganancias por hora son la cantidad de dinero que esperas ganar en una hora. Puedes lanzar una moneda 500 veces en una hora, pero no ganarás ni perderás porque... tus posibilidades no son ni positivas ni negativas. Si nos fijamos, desde el punto de vista de un jugador serio, este sistema de apuestas no está nada mal. Pero esto es simplemente una pérdida de tiempo.

Pero digamos que alguien quiere apostar $2 contra tu $1 en el mismo juego. Entonces inmediatamente tendrá una expectativa positiva de 50 céntimos por cada apuesta. ¿Por qué 50 centavos? En promedio, se gana una apuesta y se pierde la segunda. Apueste el primer dólar y pierda $1; apueste el segundo y gane $2. Apuestas 1$ dos veces y llevas 1$ de ventaja. Entonces cada una de tus apuestas de un dólar te dio 50 centavos.

Si una moneda aparece 500 veces en una hora, tus ganancias por hora ya serán de $250, porque... En promedio, perdiste un dólar 250 veces y ganaste dos dólares 250 veces. $500 menos $250 equivalen a $250, que son las ganancias totales. Tenga en cuenta que el valor esperado, que es la cantidad promedio que gana por apuesta, es de 50 centavos. Ganaste $250 apostando un dólar 500 veces, lo que equivale a 50 centavos por apuesta.

La expectativa matemática no tiene nada que ver con resultados a corto plazo. Tu oponente, que decidió apostar $2 contra ti, podría ganarte en los primeros diez lanzamientos seguidos, pero tú, teniendo una ventaja de apuesta de 2 a 1, en igualdad de condiciones, ganarás 50 centavos por cada $1 apostado en cualquier circunstancias. No importa si ganas o pierdes una o varias apuestas, siempre y cuando tengas suficiente dinero en efectivo para cubrir cómodamente los costes. Si continúa apostando de la misma manera, después de un largo período de tiempo sus ganancias se acercarán a la suma de las expectativas en los tiros individuales.

Cada vez que haces una mejor apuesta (una apuesta que puede resultar rentable a largo plazo), cuando las probabilidades están a tu favor, estás obligado a ganar algo con ella, sin importar si lo pierdes o no en el futuro. mano dada. Por el contrario, si haces una apuesta no favorita (una apuesta que no es rentable a largo plazo) cuando las probabilidades están en tu contra, perderás algo independientemente de si ganas o pierdes la mano.

Realiza una apuesta con el mejor resultado si sus expectativas son positivas y será positiva si las probabilidades están de su lado. Cuando haces una apuesta con el peor resultado, tienes una expectativa negativa, lo que ocurre cuando las probabilidades están en tu contra. Los jugadores serios sólo apuestan por el mejor resultado; si sucede lo peor, se retiran. ¿Qué significan las probabilidades a tu favor? Es posible que acabe ganando más de lo que aportan las probabilidades reales. Las probabilidades reales de conseguir cara son de 1 a 1, pero obtienes 2 a 1 debido a la relación de probabilidades. En este caso, las probabilidades están a tu favor. Definitivamente obtendrás el mejor resultado con una expectativa positiva de 50 centavos por apuesta.

Aquí hay un ejemplo más complejo de expectativa matemática. Un amigo escribe los números del uno al cinco y apuesta $5 contra tu $1 a que no adivinarás el número. ¿Deberías aceptar tal apuesta? ¿Cuál es la expectativa aquí?

En promedio te equivocarás cuatro veces. En base a esto, las probabilidades en contra de que adivine el número son de 4 a 1. Las probabilidades en contra de que pierda un dólar en un solo intento. Sin embargo, ganas 5 a 1, con posibilidad de perder 4 a 1. Entonces las probabilidades están a tu favor, puedes aceptar la apuesta y esperar el mejor resultado. Si haces esta apuesta cinco veces, en promedio perderás $1 cuatro veces y ganarás $5 una vez. En base a esto, por los cinco intentos ganarás $1 con una expectativa matemática positiva de 20 centavos por apuesta.

Un jugador que espera ganar más de lo que apuesta, como en el ejemplo anterior, se arriesga. Por el contrario, arruina sus posibilidades cuando espera ganar menos de lo que apuesta. Un apostador puede tener una expectativa positiva o negativa, lo que depende de si gana o arruina las cuotas.

Si apuestas $50 para ganar $10 con una probabilidad de ganar de 4 a 1, obtendrás una expectativa negativa de $2 porque En promedio, ganará $10 cuatro veces y perderá $50 una vez, lo que demuestra que la pérdida por apuesta será de $10. Pero si apuestas $30 para ganar $10, con las mismas probabilidades de ganar 4 a 1, entonces en este caso tienes una expectativa positiva de $2, porque nuevamente gana $10 cuatro veces y pierde $30 una vez, obteniendo una ganancia de $10. Estos ejemplos muestran que la primera apuesta es mala y la segunda es buena.

La expectativa matemática es el centro de cualquier situación de juego. Cuando una casa de apuestas anima a los aficionados al fútbol a apostar 11 dólares para ganar 10 dólares, tiene una expectativa positiva de 50 centavos por cada 10 dólares. Si el casino paga dinero parejo desde la línea de pase en los dados, entonces la expectativa positiva del casino será de aproximadamente $1,40 por cada $100, porque Este juego está estructurado para que quien apueste en esta línea pierda un 50,7% de media y gane un 49,3% del tiempo total. Sin duda, es esta expectativa positiva aparentemente mínima la que aporta enormes beneficios a los propietarios de casinos de todo el mundo. Como señaló Bob Stupak, propietario del casino Vegas World, “una probabilidad negativa de una milésima de uno por ciento en una distancia suficientemente larga arruinará al hombre más rico del mundo”.

Expectativa al jugar al Poker

El juego de póquer es el ejemplo más ilustrativo e ilustrativo desde el punto de vista del uso de la teoría y las propiedades de la expectativa matemática.

El valor esperado en el póquer es el beneficio promedio de una decisión particular, siempre que dicha decisión pueda considerarse dentro del marco de la teoría de los grandes números y la larga distancia. Un juego de póquer exitoso consiste en aceptar siempre movimientos con un valor esperado positivo.

El significado matemático de la expectativa matemática al jugar al póquer es que a menudo nos encontramos con variables aleatorias al tomar decisiones (no sabemos qué cartas tiene el oponente en sus manos, qué cartas aparecerán en las siguientes rondas de apuestas). Debemos considerar cada una de las soluciones desde el punto de vista de la teoría de grandes números, que establece que con una muestra suficientemente grande, el valor promedio de una variable aleatoria tenderá a su expectativa matemática.

Entre las fórmulas particulares para calcular la expectativa matemática, la siguiente es la más aplicable en el póquer:

Al jugar al póquer, el valor esperado se puede calcular tanto para las apuestas como para las apuestas. En el primer caso, se debe tener en cuenta el fold Equity, en el segundo, las propias probabilidades del banco. Al evaluar la expectativa matemática de un movimiento en particular, debes recordar que un pliegue siempre tiene una expectativa cero. Así, descartar cartas siempre será una decisión más rentable que cualquier movimiento negativo.

La expectativa le dice lo que puede esperar (ganancias o pérdidas) por cada dólar que arriesga. Los casinos ganan dinero porque la expectativa matemática de todos los juegos que se juegan en ellos favorece al casino. Con una serie de juegos lo suficientemente larga, se puede esperar que el cliente pierda su dinero, ya que las "probabilidades" están a favor del casino. Sin embargo, los jugadores de casino profesionales limitan sus juegos a períodos cortos de tiempo, lo que aumenta las probabilidades a su favor. Lo mismo ocurre con la inversión. Si sus expectativas son positivas, puede ganar más dinero realizando muchas operaciones en un corto período de tiempo. La expectativa es su porcentaje de ganancia por ganancia multiplicado por su ganancia promedio, menos su probabilidad de pérdida multiplicada por su pérdida promedio.

El póquer también puede considerarse desde el punto de vista de la expectativa matemática. Puedes suponer que un determinado movimiento es rentable, pero en algunos casos puede que no sea el mejor porque otro movimiento es más rentable. Digamos que obtienes un full en un póquer de cinco cartas. Tu oponente hace una apuesta. Sabes que si subes la apuesta, él responderá. Por tanto, subir parece ser la mejor táctica. Pero si aumentas la apuesta, los dos jugadores restantes definitivamente se retirarán. Pero si igualas, tienes plena confianza en que los otros dos jugadores detrás de ti harán lo mismo. Cuando aumentas tu apuesta, obtienes una unidad y cuando simplemente igualas, obtienes dos. Por lo tanto, igualar le brinda un valor esperado positivo más alto y será la mejor táctica.

La expectativa matemática también puede dar una idea de qué tácticas de póquer son menos rentables y cuáles son más rentables. Por ejemplo, si juegas una determinada mano y crees que tu pérdida promediará 75 centavos incluyendo el ante, entonces deberías jugar esa mano porque esto es mejor que retirarse cuando la apuesta inicial es de 1 dólar.

Otra razón importante para entender el concepto de valor esperado es que te da una sensación de tranquilidad tanto si ganas la apuesta como si no: si hiciste una buena apuesta o te retiraste en el momento adecuado, sabrás que has ganado o no. ahorró una cierta cantidad de dinero que el jugador más débil no pudo ahorrar. Es mucho más difícil retirarse si estás molesto porque tu oponente sacó una mano más fuerte. Con todo esto, el dinero que ahorras al no jugar en lugar de apostar se suma a tus ganancias de la noche o del mes.

Sólo recuerda que si cambiaras de mano, tu oponente te habría igualado y, como verás en el artículo del Teorema fundamental del póquer, esta es solo una de tus ventajas. Deberías estar feliz cuando esto suceda. Incluso puedes aprender a disfrutar perdiendo una mano porque sabes que otros jugadores en tu posición habrían perdido mucho más.

Como se mencionó al principio en el ejemplo del juego de monedas, la tasa de ganancia por hora está interrelacionada con la expectativa matemática, y este concepto es especialmente importante para los jugadores profesionales. Cuando vayas a jugar al poker, debes estimar mentalmente cuánto puedes ganar en una hora de juego. En la mayoría de los casos necesitarás confiar en tu intuición y experiencia, pero también puedes usar algunas matemáticas. Por ejemplo, estás jugando draw lowball y ves que tres jugadores apuestan $10 y luego intercambian dos cartas, lo cual es una muy mala táctica, puedes darte cuenta de que cada vez que apuestan $10, pierden alrededor de $2. Cada uno de ellos hace esto ocho veces por hora, lo que significa que los tres pierden aproximadamente $48 por hora. Eres uno de los cuatro jugadores restantes que son aproximadamente iguales, por lo que estos cuatro jugadores (y tú entre ellos) deben dividirse $48, cada uno obteniendo una ganancia de $12 por hora. Tus probabilidades por hora en este caso son simplemente iguales a tu parte de la cantidad de dinero perdida por tres malos jugadores en una hora.

Durante un largo período de tiempo, las ganancias totales del jugador son la suma de sus expectativas matemáticas en manos individuales. Cuantas más manos juegues con expectativas positivas, más ganarás y, a la inversa, cuantas más manos juegues con expectativas negativas, más perderás. Como resultado, debes elegir un juego que pueda maximizar tu anticipación positiva o anular tu anticipación negativa para que puedas maximizar tus ganancias por hora.

Expectativa matemática positiva en la estrategia de juego.

Si sabes contar cartas, puedes tener ventaja sobre el casino, siempre y cuando no se den cuenta y te echen. A los casinos les encantan los jugadores borrachos y no soportan a los jugadores que cuentan cartas. Una ventaja te permitirá ganar más veces de las que pierdes con el tiempo. Una buena gestión del dinero utilizando cálculos del valor esperado puede ayudarle a obtener más beneficios y reducir sus pérdidas. Sin una ventaja, es mejor que dones el dinero a una organización benéfica. En el juego en bolsa, la ventaja la da el sistema de juego, que genera mayores ganancias que pérdidas, diferencias de precios y comisiones. Ninguna cantidad de administración de dinero puede salvar un mal sistema de juego.

Una expectativa positiva se define como un valor mayor que cero. Cuanto mayor sea este número, más fuerte será la expectativa estadística. Si el valor es menor que cero, entonces la expectativa matemática también será negativa. Cuanto mayor sea el módulo del valor negativo, peor será la situación. Si el resultado es cero, entonces la espera es un punto de equilibrio. Sólo puedes ganar cuando tienes una expectativa matemática positiva y un sistema de juego razonable. Jugar por intuición conduce al desastre.

Expectativa matemática y negociación de acciones.

La expectativa matemática es un indicador estadístico bastante utilizado y popular cuando se realizan operaciones cambiarias en los mercados financieros. En primer lugar, este parámetro se utiliza para analizar el éxito del comercio. No es difícil adivinar que cuanto mayor sea este valor, más razones habrá para considerar exitosa la operación en estudio. Por supuesto, el análisis del trabajo de un comerciante no se puede realizar utilizando únicamente este parámetro. Sin embargo, el valor calculado, en combinación con otros métodos para evaluar la calidad del trabajo, puede aumentar significativamente la precisión del análisis.

La expectativa matemática a menudo se calcula en los servicios de monitoreo de cuentas comerciales, lo que le permite evaluar rápidamente el trabajo realizado en el depósito. Las excepciones incluyen estrategias que utilizan operaciones no rentables "excluidas". Un comerciante puede tener suerte durante algún tiempo y, por lo tanto, es posible que no haya ninguna pérdida en su trabajo. En este caso, no será posible guiarse únicamente por la expectativa matemática, porque no se tendrán en cuenta los riesgos utilizados en el trabajo.

En las operaciones de mercado, la expectativa matemática se utiliza con mayor frecuencia al predecir la rentabilidad de cualquier estrategia comercial o al predecir los ingresos de un operador basándose en datos estadísticos de sus operaciones anteriores.

Con respecto a la gestión del dinero, es muy importante comprender que cuando se realizan operaciones con expectativas negativas, no existe ningún plan de gestión del dinero que pueda generar grandes beneficios. Si continúa jugando en el mercado de valores en estas condiciones, independientemente de cómo administre su dinero, perderá toda su cuenta, sin importar cuán grande fuera al principio.

Este axioma es válido no sólo para juegos o intercambios con expectativas negativas, sino que también lo es para juegos con iguales oportunidades. Por lo tanto, la única vez que tiene la oportunidad de obtener ganancias a largo plazo es si realiza operaciones con un valor esperado positivo.

La diferencia entre expectativas negativas y expectativas positivas es la diferencia entre la vida y la muerte. No importa cuán positiva o negativa sea la expectativa; Lo único que importa es si es positivo o negativo. Por lo tanto, antes de considerar la administración del dinero, debes encontrar un juego con expectativas positivas.

Si no tienes ese juego, toda la administración de dinero del mundo no te salvará. Por otro lado, si tienes una expectativa positiva, puedes, mediante una adecuada gestión del dinero, convertirla en una función de crecimiento exponencial. ¡No importa cuán pequeña sea la expectativa positiva! En otras palabras, no importa cuán rentable sea un sistema comercial basado en un único contrato. Si tiene un sistema que gana $10 por contrato por operación (después de las comisiones y el deslizamiento), puede utilizar técnicas de administración de dinero para hacerlo más rentable que un sistema que promedia $1,000 por operación (después de la deducción de las comisiones y el deslizamiento).

Lo que importa no es cuán rentable fue el sistema, sino qué tan seguro se puede decir que mostrará al menos ganancias mínimas en el futuro. Por lo tanto, la preparación más importante que puede hacer un comerciante es asegurarse de que el sistema muestre un valor esperado positivo en el futuro.

Para tener un valor esperado positivo en el futuro, es muy importante no limitar los grados de libertad de su sistema. Esto se logra no sólo eliminando o reduciendo el número de parámetros a optimizar, sino también reduciendo tantas reglas del sistema como sea posible. Cada parámetro que agrega, cada regla que establece, cada pequeño cambio que realiza en el sistema reduce la cantidad de grados de libertad. Idealmente, necesita construir un sistema bastante primitivo y simple que genere constantemente pequeñas ganancias en casi cualquier mercado. Nuevamente, es importante que comprenda que no importa qué tan rentable sea el sistema, siempre que sea rentable. El dinero que gane en el comercio se obtendrá mediante una gestión eficaz del dinero.

Un sistema de comercio es simplemente una herramienta que le brinda un valor esperado positivo para que pueda utilizar la administración del dinero. Los sistemas que funcionan (muestran al menos ganancias mínimas) en sólo uno o unos pocos mercados, o que tienen diferentes reglas o parámetros para diferentes mercados, probablemente no funcionarán en tiempo real por mucho tiempo. El problema con la mayoría de los comerciantes con orientación técnica es que dedican demasiado tiempo y esfuerzo a optimizar las diversas reglas y valores de parámetros del sistema comercial. Esto da resultados completamente opuestos. En lugar de desperdiciar energía y tiempo de computadora en aumentar las ganancias del sistema comercial, dirija su energía a aumentar el nivel de confiabilidad para obtener una ganancia mínima.

Sabiendo que la gestión del dinero es sólo un juego de números que requiere el uso de expectativas positivas, un operador puede dejar de buscar el "santo grial" del comercio de acciones. En su lugar, puede empezar a probar su método de negociación, descubrir qué tan lógico es este método y si genera expectativas positivas. Los métodos adecuados de gestión del dinero, aplicados a cualquier método comercial, incluso a los más mediocres, harán el resto del trabajo por sí solos.

Para que cualquier comerciante tenga éxito en su trabajo, necesita resolver tres tareas más importantes: . Garantizar que el número de transacciones exitosas supere los inevitables errores y errores de cálculo; Configure su sistema de comercio para que tenga la oportunidad de ganar dinero con la mayor frecuencia posible; Logre resultados positivos estables en sus operaciones.

Y aquí, para nosotros, los traders que trabajamos, las expectativas matemáticas pueden ser de gran ayuda. Este término es uno de los claves en la teoría de la probabilidad. Con su ayuda, puedes dar una estimación promedio de algún valor aleatorio. La expectativa matemática de una variable aleatoria es similar al centro de gravedad, si imagina todas las probabilidades posibles como puntos con diferentes masas.

En relación con una estrategia comercial, la expectativa matemática de ganancia (o pérdida) se utiliza con mayor frecuencia para evaluar su efectividad. Este parámetro se define como la suma de los productos de niveles dados de pérdidas y ganancias y la probabilidad de que ocurran. Por ejemplo, la estrategia comercial desarrollada supone que el 37% de todas las transacciones generarán ganancias y la parte restante (63%) no será rentable. Al mismo tiempo, el ingreso promedio de una transacción exitosa será de $7 y la pérdida promedio será de $1,4. Calculemos la expectativa matemática de operar usando este sistema:

¿Qué significa este número? Dice que, siguiendo las reglas de este sistema, en promedio recibiremos $1,708 por cada transacción cerrada. Dado que el índice de eficiencia resultante es mayor que cero, dicho sistema se puede utilizar para el trabajo real. Si como resultado del cálculo la expectativa matemática resulta negativa, esto ya indica una pérdida promedio y dicha negociación conducirá a la ruina.

La cantidad de beneficio por transacción también se puede expresar como un valor relativo en forma de%. Por ejemplo:

– porcentaje de ingresos por 1 transacción - 5%;

– porcentaje de operaciones comerciales exitosas: 62%;

– porcentaje de pérdida por 1 transacción - 3%;

– porcentaje de transacciones fallidas: 38%;

Es decir, el comercio medio arrojará un 1,96%.

Es posible desarrollar un sistema que, a pesar del predominio de operaciones no rentables, produzca un resultado positivo, ya que su MO>0.

Sin embargo, esperar por sí solo no es suficiente. Es difícil ganar dinero si el sistema da muy pocas señales comerciales. En este caso, su rentabilidad será comparable a los intereses bancarios. Supongamos que cada operación produzca en promedio sólo 0,5 dólares, pero ¿qué pasa si el sistema implica 1000 operaciones por año? Esta será una cantidad muy significativa en un tiempo relativamente corto. De esto se deduce lógicamente que otra característica distintiva de un buen sistema comercial puede considerarse un corto período de mantenimiento de posiciones.

Fuentes y enlaces

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