El valor absoluto de un número. a es la distancia del origen al punto A(a).

Para entender esta definición, sustituyamos la variable a cualquier número, por ejemplo 3 e intenta leerlo nuevamente:

El valor absoluto de un número. 3 es la distancia del origen al punto A(3 ).

Queda claro que el módulo no es más que una distancia ordinaria. Intentemos ver la distancia desde el origen hasta el punto A( 3 )

Distancia del origen al punto A( 3 ) es igual a 3 (tres unidades o tres pasos).

El módulo de un número se indica mediante dos líneas verticales, por ejemplo:

El módulo del número 3 se denota de la siguiente manera: |3|

El módulo del número 4 se denota de la siguiente manera: |4|

El módulo del número 5 se denota de la siguiente manera: |5|

Buscamos el módulo del número 3 y descubrimos que es igual a 3. Entonces lo escribimos:

Se lee como: "El módulo del número tres es tres"

Ahora intentemos encontrar el módulo del número -3. Nuevamente volvemos a la definición y le sustituimos el número -3. Solo que en lugar de un punto A usar un nuevo punto B. Punto final A ya usamos en el primer ejemplo.

Módulo del número - 3 es la distancia desde el origen a un punto B(—3 ).

La distancia de un punto a otro no puede ser negativa. Por tanto, el módulo de cualquier número negativo, al ser una distancia, tampoco será negativo. El módulo del número -3 será el número 3. La distancia desde el origen al punto B(-3) también es igual a tres unidades:

Se lee como: "El módulo de menos tres es tres".

El módulo del número 0 es igual a 0, ya que el punto con coordenada 0 coincide con el origen, es decir distancia del origen al punto O(0) es igual a cero:

"El módulo de cero es cero"

Sacamos conclusiones:

• El módulo de un número no puede ser negativo;
• Para un número positivo y cero, el módulo es igual al número mismo, y para un número negativo, el número opuesto;
• Los números opuestos tienen módulos iguales.

Números opuestos

Los números que sólo difieren en signos se llaman opuesto. Por ejemplo, los números −2 y 2 son opuestos. Se diferencian sólo en los signos. El número −2 tiene un signo menos y 2 tiene un signo más, pero no lo vemos porque más, como dijimos antes, tradicionalmente no se escribe.

Más ejemplos de números opuestos:

Los números opuestos tienen módulos iguales. Por ejemplo, busquemos los módulos para −2 y 2

La figura muestra que la distancia desde el origen a los puntos. Un(-2) Y B(2) es igualmente igual a dos pasos.

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En este artículo analizaremos en detalle. el valor absoluto de un número. Daremos varias definiciones del módulo de un número, introduciremos la notación y proporcionaremos ilustraciones gráficas. Al mismo tiempo, veamos varios ejemplos de cómo encontrar el módulo de un número por definición. Después de esto, enumeraremos y justificaremos las principales propiedades del módulo. Al final del artículo, hablaremos sobre cómo se determina y encuentra el módulo de un número complejo.

Navegación de páginas.

Módulo numérico: definición, notación y ejemplos

Primero presentamos designación del módulo numérico. El módulo del número a lo escribiremos como , es decir, a la izquierda y a la derecha del número pondremos guiones verticales para formar el signo del módulo. Pongamos un par de ejemplos. Por ejemplo, el módulo −7 se puede escribir como; El módulo 4.125 se escribe como , y el módulo tiene una notación de la forma .

La siguiente definición de módulo se refiere a , y por tanto a , y a los números enteros, y a los números racionales e irracionales, como partes constituyentes del conjunto de los números reales. Hablaremos del módulo de un número complejo en.

Definición.

Módulo del número a– este es el número a mismo, si a es un número positivo, o el número −a, el opuesto del número a, si a es un número negativo, o 0, si a=0.

La definición sonora del módulo de un número a menudo se escribe de la siguiente forma , esta entrada significa que si a>0 , si a=0 y si a<0 .

El registro se puede presentar en una forma más compacta. . Esta notación significa que si (a es mayor o igual a 0), y si a<0 .

También está la entrada . Aquí deberíamos explicar por separado el caso en el que a=0. En este caso tenemos , pero −0=0, ya que el cero se considera un número opuesto a sí mismo.

vamos a dar ejemplos de cómo encontrar el módulo de un número utilizando una definición establecida. Por ejemplo, busquemos los módulos de los números 15 y . Empecemos por encontrar. Dado que el número 15 es positivo, su módulo, por definición, es igual a este número, es decir, . ¿Cuál es el módulo de un número? Como es un número negativo, su módulo es igual al número opuesto al número, es decir, el número . De este modo, .

Para concluir este punto, presentamos una conclusión que es muy conveniente de utilizar en la práctica al encontrar el módulo de un número. De la definición del módulo de un número se deduce que el módulo de un número es igual al número bajo el signo del módulo sin tener en cuenta su signo, y en los ejemplos discutidos anteriormente esto es muy claramente visible. La afirmación expuesta explica por qué el módulo de un número también se llama valor absoluto del numero. Entonces el módulo de un número y el valor absoluto de un número son lo mismo.

Módulo de un número como distancia

Geométricamente, el módulo de un número se puede interpretar como distancia. vamos a dar determinar el módulo de un número a través de la distancia.

Definición.

Módulo del número a– esta es la distancia desde el origen en la línea de coordenadas hasta el punto correspondiente al número a.

Esta definición es consistente con la definición del módulo de un número dada en el primer párrafo. Aclaremos este punto. La distancia desde el origen hasta el punto correspondiente a un número positivo es igual a este número. El cero corresponde al origen, por lo tanto la distancia desde el origen hasta el punto con coordenada 0 es igual a cero (no es necesario separar un solo segmento unitario ni un solo segmento que constituya cualquier fracción de un segmento unitario para ordenar para ir del punto O a un punto con coordenada 0). La distancia del origen a un punto con coordenada negativa es igual al número opuesto a la coordenada de este punto, ya que es igual a la distancia del origen al punto cuya coordenada es el número opuesto.

Por ejemplo, el módulo del número 9 es igual a 9, ya que la distancia desde el origen al punto con coordenadas 9 es igual a nueve. Pongamos otro ejemplo. El punto con coordenadas −3.25 se encuentra a una distancia de 3.25 del punto O, por lo que .

La definición dada del módulo de un número es un caso especial de la definición del módulo de diferencia de dos números.

Definición.

Módulo de la diferencia de dos números. a y b es igual a la distancia entre los puntos de la línea de coordenadas con coordenadas a y b.

Es decir, si se dan puntos en la línea de coordenadas A(a) y B(b), entonces la distancia del punto A al punto B es igual al módulo de la diferencia entre los números a y b. Si tomamos el punto O (origen) como punto B, obtenemos la definición del módulo de un número dada al principio de este párrafo.

Determinar el módulo de un número usando la raíz cuadrada aritmética

Ocasionalmente ocurre determinar el módulo mediante raíz cuadrada aritmética.

Por ejemplo, calculemos los módulos de los números −30 y basándonos en esta definición. Tenemos. De manera similar, calculamos el módulo de dos tercios: .

La definición del módulo de un número a través de la raíz cuadrada aritmética también es coherente con la definición dada en el primer párrafo de este artículo. Mostrémoslo. Sea a un número positivo y sea −a un número negativo. Entonces Y , si a=0 , entonces .

Propiedades del módulo

El módulo tiene una serie de resultados característicos: propiedades del módulo. Ahora presentaremos los principales y más utilizados. Al justificar estas propiedades, nos basaremos en la definición del módulo de un número en términos de distancia.

Comencemos con la propiedad más obvia del módulo: El módulo de un número no puede ser un número negativo.. En forma literal, esta propiedad tiene la forma de cualquier número a. Esta propiedad es muy fácil de justificar: el módulo de un número es una distancia y la distancia no se puede expresar como un número negativo.

Pasemos a la siguiente propiedad del módulo. El módulo de un número es cero si y sólo si este número es cero. El módulo de cero es cero por definición. El cero corresponde al origen; ningún otro punto de la recta de coordenadas corresponde al cero, ya que cada número real está asociado a un único punto de la recta de coordenadas. Por la misma razón, cualquier número distinto de cero corresponde a un punto distinto del origen. Y la distancia desde el origen a cualquier punto distinto del punto O no es cero, ya que la distancia entre dos puntos es cero si y sólo si estos puntos coinciden. El razonamiento anterior demuestra que sólo el módulo cero es igual a cero.

Adelante. Los números opuestos tienen módulos iguales, es decir, para cualquier número a. De hecho, dos puntos en la línea de coordenadas, cuyas coordenadas son números opuestos, están a la misma distancia del origen, lo que significa que los módulos de los números opuestos son iguales.

La siguiente propiedad del módulo es: El módulo del producto de dos números es igual al producto de los módulos de estos números., eso es, . Por definición, el módulo del producto de los números a y b es igual a a·b si , o −(a·b) si . De las reglas de multiplicación de números reales se deduce que el producto de los módulos de los números a y b es igual a a·b, o −(a·b) si , lo que prueba la propiedad en cuestión.

El módulo del cociente de a dividido por b es igual al cociente del módulo de un número dividido por el módulo de b, eso es, . Justifiquemos esta propiedad del módulo. Como el cociente es igual al producto, entonces. En virtud de la propiedad anterior tenemos . Sólo queda utilizar la igualdad , que es válida en virtud de la definición del módulo de un número.

La siguiente propiedad de un módulo se escribe como desigualdad: , a , b y c son números reales arbitrarios. La desigualdad escrita no es más que desigualdad triangular. Para aclarar esto, tomemos los puntos A(a), B(b), C(c) en la línea de coordenadas y consideremos un triángulo degenerado ABC, cuyos vértices se encuentran en la misma línea. Por definición, el módulo de diferencia es igual a la longitud del segmento AB, - la longitud del segmento AC y - la longitud del segmento CB. Como la longitud de cualquier lado de un triángulo no excede la suma de las longitudes de los otros dos lados, la desigualdad es verdadera. , por lo tanto, la desigualdad también es cierta.

La desigualdad que acabamos de demostrar es mucho más común en la forma . La desigualdad escrita generalmente se considera una propiedad separada del módulo con la formulación: “ El módulo de la suma de dos números no excede la suma de los módulos de estos números." Pero la desigualdad se sigue directamente de la desigualdad si ponemos −b en lugar de b y tomamos c=0.

Módulo de un número complejo

vamos a dar definición del módulo de un número complejo. Que nos sea dado Número complejo, escrito en forma algebraica, donde x e y son algunos números reales, que representan, respectivamente, las partes real e imaginaria de un número complejo dado z, y es la unidad imaginaria.

Resolver ecuaciones y desigualdades con módulo. muchas veces causa dificultades. Sin embargo, si entiendes bien lo que es el valor absoluto de un número, Y cómo expandir correctamente expresiones que contienen un signo de módulo, entonces la presencia en la ecuación expresión bajo el signo del módulo, deja de ser un obstáculo para su solución.

Un poco de teoría. Cada número tiene dos características: el valor absoluto del número y su signo.

Por ejemplo, el número +5, o simplemente 5, tiene un signo “+” y un valor absoluto de 5.

El número -5 tiene un signo "-" y un valor absoluto de 5.

Los valores absolutos de los números 5 y -5 son 5.

El valor absoluto de un número x se llama módulo del número y se denota por |x|.

Como vemos, el módulo de un número es igual al propio número si este número es mayor o igual a cero, y a este número de signo opuesto si este número es negativo.

Lo mismo se aplica a cualquier expresión que aparezca bajo el signo del módulo.

La regla de expansión del módulo se ve así:

|f(x)|= f(x) si f(x) ≥ 0, y

|f(x)|= - f(x), si f(x)< 0

Por ejemplo |x-3|=x-3, si x-3≥0 y |x-3|=-(x-3)=3-x, si x-3<0.

Para resolver una ecuación que contiene una expresión bajo el signo del módulo, primero debes expandir un módulo de acuerdo con la regla de expansión del módulo.

Entonces nuestra ecuación o desigualdad se convierte en en dos ecuaciones diferentes que existen en dos intervalos numéricos diferentes.

Existe una ecuación en un intervalo numérico en el que la expresión bajo el signo del módulo no es negativa.

Y la segunda ecuación existe en el intervalo en el que la expresión bajo el signo del módulo es negativa.

Veamos un ejemplo sencillo.

Resolvamos la ecuación:

|x-3|=-x 2 +4x-3

1. Abramos el módulo.

|x-3|=x-3, si x-3≥0, es decir si x≥3

|x-3|=-(x-3)=3-x si x-3<0, т.е. если х<3

2. Recibimos dos intervalos numéricos: x≥3 y x<3.

Consideremos en qué ecuaciones se transforma la ecuación original en cada intervalo:

A) Para x≥3 |x-3|=x-3, y nuestra herida tiene la forma:

¡Atención! ¡Esta ecuación existe sólo en el intervalo x≥3!

Abramos los corchetes y presentemos términos similares:

y resuelve esta ecuación.

Esta ecuación tiene raíces:

x 1 = 0, x 2 = 3

¡Atención! dado que la ecuación x-3=-x 2 +4x-3 existe sólo en el intervalo x≥3, sólo nos interesan aquellas raíces que pertenecen a este intervalo. Esta condición se satisface sólo con x 2 =3.

B) en x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:

¡Atención! Esta ecuación existe sólo en el intervalo x<3!

Abramos los corchetes y presentemos términos similares. Obtenemos la ecuación:

x 1 = 2, x 2 = 3

¡Atención! ya que la ecuación 3-x=-x 2 +4x-3 existe sólo en el intervalo x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.

Entonces: del primer intervalo tomamos solo la raíz x=3, del segundo, la raíz x=2.

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Un poco de teoría.

Ecuaciones y desigualdades con módulos.

En un curso de álgebra escolar básico, es posible que encuentres las ecuaciones y desigualdades con módulos más simples. Para resolverlos, puedes utilizar un método geométrico basado en el hecho de que \(|x-a| \) es la distancia en la recta numérica entre los puntos x y a: \(|x-a| = \rho (x;\; a) \). Por ejemplo, para resolver la ecuación \(|x-3|=2\) necesitas encontrar puntos en la recta numérica que estén distantes del punto 3 a una distancia de 2. Hay dos de esos puntos: \(x_1=1 \) y \(x_2=5\) .

Resolviendo la desigualdad \(|2x+7|

Pero la principal forma de resolver ecuaciones y desigualdades con módulos está asociada a la llamada “revelación del módulo por definición”:
si \(a \geq 0 \), entonces \(|a|=a \);
si \(a Como regla general, una ecuación (desigualdad) con módulos se reduce a un conjunto de ecuaciones (desigualdades) que no contienen el signo del módulo.

Además de la definición anterior, se utilizan las siguientes declaraciones:
1) Si \(c > 0\), entonces la ecuación \(|f(x)|=c \) es equivalente al conjunto de ecuaciones: \(\left[\begin(array)(l) f(x )=c \\ f(x)=-c \end(array)\right.
2) Si \(c > 0 \), entonces la desigualdad \(|f(x)| 3) Si \(c \geq 0 \), entonces la desigualdad \(|f(x)| > c \) es equivalente a un conjunto de desigualdades: \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) Si ambos lados de la desigualdad \(f(x) EJEMPLO 1. Resuelve la ecuación \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\).

Si \(x-1 \geq 0\), entonces \(|x-1| = x-1\) y la ecuación dada toma la forma
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Flecha derecha x^2 +2x -8 = 0 \).
Si \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 -2x -4 = 0 \).
Por tanto, la ecuación dada debe considerarse por separado en cada uno de los dos casos indicados.
1) Sea \(x-1 \geq 0 \), es decir \(x\geq 1\). De la ecuación \(x^2 +2x -8 = 0\) encontramos \(x_1=2, \; x_2=-4\). La condición \(x \geq 1 \) se cumple únicamente con el valor \(x_1=2\).
2) Sea \(x-1 Respuesta: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)

EJEMPLO 2. Resuelve la ecuación \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\).

primera manera(expansión del módulo por definición).
Razonando como en el ejemplo 1, llegamos a la conclusión de que la ecuación dada debe considerarse por separado si se cumplen dos condiciones: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) o \(x^2-6x+7

1) Si \(x^2-6x+7 \geq 0 \), entonces \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) y la ecuación dada toma la forma \(x ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Rightarrow 3x^2-23x+30=0 \). Habiendo resuelto esta ecuación cuadrática, obtenemos: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
Averigüemos si el valor \(x_1=6\) satisface la condición \(x^2-6x+7 \geq 0\). Para hacer esto, sustituya el valor indicado en la desigualdad cuadrática. Obtenemos: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), es decir \(7 \geq 0 \) es una desigualdad verdadera. Esto significa que \(x_1=6\) es la raíz de la ecuación dada.
Averigüemos si el valor \(x_2=\frac(5)(3)\) satisface la condición \(x^2-6x+7 \geq 0\). Para hacer esto, sustituya el valor indicado en la desigualdad cuadrática. Obtenemos: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), es decir \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) es una desigualdad incorrecta. Esto significa que \(x_2=\frac(5)(3)\) no es una raíz de la ecuación dada.

2) Si \(x^2-6x+7 Valor \(x_3=3\) satisface la condición \(x^2-6x+7 Valor \(x_4=\frac(4)(3) \) no satisface la condición \ (x^2-6x+7 Entonces, la ecuación dada tiene dos raíces: \(x=6, \; x=3 \).

Segunda vía. Si se da la ecuación \(|f(x)| = h(x) \), entonces con \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(array)\right \)
Ambas ecuaciones se resolvieron anteriormente (usando el primer método para resolver la ecuación dada), sus raíces son las siguientes: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4 )(3)\). La condición \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) de estos cuatro valores se satisface solo con dos: 6 y 3. Esto significa que la ecuación dada tiene dos raíces: \(x=6 ,\;x=3\).

Tercera vía(gráfico).
1) Construyamos una gráfica de la función \(y = |x^2-6x+7| \). Primero, construyamos una parábola \(y = x^2-6x+7\). Tenemos \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). La gráfica de la función \(y = (x-3)^2-2\) se puede obtener a partir de la gráfica de la función \(y = x^2\) desplazándola 3 unidades de escala hacia la derecha (a lo largo del eje x) y 2 unidades de escala hacia abajo (a lo largo del eje y). La recta x=3 es el eje de la parábola que nos interesa. Como puntos de control para un trazado más preciso, es conveniente tomar el punto (3; -2): el vértice de la parábola, el punto (0; 7) y el punto (6; 7) simétrico con respecto al eje de la parábola. .
Para construir ahora una gráfica de la función \(y = |x^2-6x+7| \), debes dejar sin cambios aquellas partes de la parábola construida que no se encuentran debajo del eje x, y reflejar esa parte de la parábola construida. parábola que se encuentra debajo del eje x con respecto al eje x.
2) Construyamos una gráfica de la función lineal \(y = \frac(5x-9)(3)\). Es conveniente tomar los puntos (0; –3) y (3; 2) como puntos de control.

Es importante que el punto x = 1,8 de la intersección de la línea recta con el eje de abscisas esté ubicado a la derecha del punto izquierdo de intersección de la parábola con el eje de abscisas; este es el punto \(x=3-\ sqrt(2) \) (ya que \(3-\sqrt(2 ) 3) A juzgar por el dibujo, las gráficas se cruzan en dos puntos: A(3; 2) y B(6; 7). Sustituyendo las abscisas de estas puntos x = 3 y x = 6 en la ecuación dada, estamos convencidos de que en ambos casos, en otro valor, se obtiene la igualdad numérica correcta. Esto significa que nuestra hipótesis fue confirmada: la ecuación tiene dos raíces: x = 3 y. x = 6. Respuesta: 3;

Comentario. El método gráfico, a pesar de su elegancia, no es muy fiable. En el ejemplo considerado, funcionó sólo porque las raíces de la ecuación son números enteros.

EJEMPLO 3. Resuelve la ecuación \(|2x-4|+|x+3| = 8\)

primera manera
La expresión 2x–4 se vuelve 0 en el punto x = 2, y la expresión x + 3 se vuelve 0 en el punto x = –3. Estos dos puntos dividen la recta numérica en tres intervalos: \(x

Considere el primer intervalo: \((-\infty; \; -3) \).
Si x Considere el segundo intervalo: \([-3; \; 2) \).
Si \(-3 \leq x Considere el tercer intervalo: \()