Salvadera

Triangulación de polígonos

• Armario *

Tarea: dividir un polígono arbitrario en triángulos.

Lo que se necesita.

• Klass, algo así como una lista donde puedes avanzar y retroceder y el final está conectado con el principio. Es decir, un círculo vicioso cuyos elementos serán los objetos descritos en el párrafo siguiente.
• Clase para representar un punto. Como era de esperar, debería contener coordenadas. incógnita Y en. También hay otro campo en el que se escribe el valor del ángulo correspondiente a este punto del polígono.
• Una función cuya entrada son dos vectores y la salida es el ángulo entre ellos.
• Una función cuya entrada es un punto y un triángulo, y cuya salida es un signo de si el punto se encuentra dentro del triángulo.

• Cree una lista vacía para almacenar triángulos temporales.
  Si el punto a la izquierda del “trabajo” (p(i)->izquierda) tiene un ángulo menor a 180 grados y el triángulo (p(i), p(i)->izquierda, p(i)-> izquierda->izquierda) no contiene otros puntos del polígono dentro de sí mismo; agregamos este triángulo a nuestra lista temporal.
  Si el punto a la derecha de "trabajar" (p(i)->right) tiene un ángulo menor a 180 grados y un triángulo (p(i), p(i)->right, p(i)->right ->
  Si el punto “de trabajo” (p(i)) tiene un ángulo menor a 180 grados y el triángulo (p(i)->izquierda, p(i),p(i)->derecha) no contiene otros puntos de el polígono, ingresamos este triángulo a nuestra lista temporal.
• Si la lista temporal no contiene triángulos, en lugar de “trabajar”, ​​seleccione el punto a la izquierda de la misma y regrese al primer punto.
  Si lo contiene, seleccione un triángulo con la diferencia mínima entre el ángulo mínimo y máximo (es necesario recalcular el valor de los ángulos), agréguelo a la lista de resultados, elimine de los puntos el punto medio del triángulo que seleccionó y vuelva a calcular los valores de los ángulos para los puntos vecinos a él (en puntos), seleccionamos el primer punto (p(i)) como el de "trabajo", si solo quedan dos puntos en puntos, dejamos de trabajar. la lista de triángulos está contenida en res, en caso contrario volvemos al primer punto.

Ahora unas palabras sobre la optimización del algoritmo.
En la segunda etapa, se selecciona un triángulo con la mínima diferencia entre el ángulo mínimo y máximo para que el triángulo sea lo más parecido posible al correcto, a veces esto es importante. Si no le importa cómo se ve el triángulo, entonces no puede crear una lista temporal de triángulos, sino seleccionar el primero de tres triángulos posibles que no contenga otro punto del polígono y el ángulo formado por el punto medio. del triángulo en el polígono es menor de 180 grados. Esta simplificación reducirá significativamente los costos computacionales.
Además, si está seguro de que el polígono es convexo, no es necesario comprobar si el triángulo contiene otros puntos del polígono.

PD No he visto un algoritmo de este tipo en Internet, aunque estoy seguro de que ya existe algo similar.

Etiquetas: triangulación

Comencemos con el caso más simple: n = 3. En un triángulo, este punto se conoce, existe y es único para cualquier triángulo. Será interesante investigar si algunas de sus propiedades se trasladarán al cuadrilátero, etc. El análisis del caso n = 4 puede comenzar con un cuadrado y debilitar gradualmente las condiciones (paralelogramo, trapezoide, cuadrilátero arbitrario).

Restauración de polígono

El tema surgió de dos problemas:

1. Reconstruir el triángulo usando los puntos medios de los lados (simple).

2. Reconstruir el pentágono usando los puntos medios de los lados (más difícil).

Al resolver surgen dos casos:

1) El número de lados es impar. Entonces la solución existe y es única para cualquier ubicación de los puntos iniciales. Si los puntos originales forman un polígono, entonces la solución no es degenerada.

2) El número de lados es par. Entonces, o la solución no existe o hay una infinidad de ellas (dependiendo de la ubicación de los puntos de partida).

Al resolver, puedes utilizar el teorema de Varignon, el método de coordenadas y el programa Living Geometry.

Generalización. Marca los puntos que dividen los lados en proporción 1: a.

Hexágonos conformes y hexágonos equiláteros

Es conveniente realizar la investigación en el programa "Living Geometry" (construir en él la figura requerida ya es una "subtarea" interesante). Resulta que un hexágono equilátero no tiene propiedades interesantes, es decir el requisito de igualdad de todas las partes es demasiado débil. Puedes preguntar qué más hay que pedir para que aparezcan algunas propiedades. La siguiente construcción ayuda a encontrar las propiedades de un hexágono equiangular: si extendemos los lados hasta que se crucen en uno, obtenemos dos triángulos regulares.

A) Los lados opuestos son paralelos.

B) Las bisectrices de los ángulos son paralelas a los lados.

C) La suma de dos lados adyacentes es igual a la suma de dos lados adyacentes opuestos.

D) Tres líneas medias se cruzan en un punto. (¿Qué pasa con los cuadriláteros? ¿Es cierto lo contrario? ¿Las líneas medias están divididas por la mitad? ¿En qué casos se dividen?)

E) Los puntos medios de las diagonales mayores son los vértices de un triángulo equilátero y sus lados son paralelos a los lados del hexágono.

E) Los puntos de intersección de las diagonales pequeñas están en las líneas medias.

Hexágonos semirregulares

Puedes buscar propiedades de hexágonos semirregulares que sean similares a las propiedades de un paralelogramo. En un paralelogramo, las diagonales se bisecan. Un paralelogramo inscrito tiene ángulos iguales y diagonales iguales. El paralelogramo descrito tiene lados iguales y diagonales que son mutuamente perpendiculares. ¿Cuáles de estas propiedades tienen los hexágonos semirregulares? (En cuanto a las diagonales, también es necesario comprender cuáles tomar y si se cruzan en algún punto).

Puntos maravillosos

Usando dos puntos notables dados O y H, el teorema de Euler se usa para reconstruir el tercero: el punto de intersección de las medianas G. Si selecciona un vértice del triángulo A en una ubicación arbitraria, entonces no es difícil construir construcciones que dé los vértices B y C (si los vértices existen). Ahora puede realizar un experimento en el programa Living Geometry: encuentre el conjunto de puntos A en los que existen los puntos B y C. Debido a la igualdad de los vértices t oh el mismo conjunto de puntos será la respuesta para los vértices B y C.

Generalización. 1. Estudiar los ángulos del triángulo ABC dependiendo de la posición del vértice A. 2. Resolver un problema similar para el centro dado de la circunferencia y el punto de intersección de las medianas; por otros pares de puntos maravillosos.

3. Considere un problema similar en el espacio (tetraedros en lugar de triángulos).

4. En general, se pueden plantear muchos problemas similares eligiendo varios puntos destacables.

Adición de figuras

Es útil empezar con formas simples: dos puntos, un punto y una recta, dos rectas.

Generalización. suma de minkowski de las figuras F y G llamamos al conjunto de puntos K definido por la igualdad , donde , , O es un punto dado. Explore las propiedades de esta operación. ¿Qué puedes decir sobre el área de la suma de dos figuras?

1. N. Vasiliev. "Adición de figuras". Cuántico. 1976. N 4. Ss. 22-29. Contiene una serie de tareas; de hecho, un plan de investigación y aplicaciones de los métodos obtenidos a problemas complejos.

2. G.Yu. Panina. "Álgebra de poliedros". Educación matemática. 2006. N 10. P. 109-131. Continuación de esta trama en la ciencia moderna.

COMBINATARIA

cortes

Este es uno de los problemas clásicos en los que se enseña a demostrar mediante el método de inducción matemática. Pero seguimos el principio de Pólya: "primero adivina, luego prueba". Dado que el problema es muy adecuado para un experimento matemático, también es útil que un estudiante que no conoce el método de inducción matemática piense en él. El número más pequeño de piezas es fácil de adivinar, pero con el más grande puede resultar difícil formular las condiciones de corte (las llamadas lineas generales) y evidencia de su optimización. La siguiente observación puede ayudar: las preguntas “¿En cuántas partes suma esta línea” y “¿En cuántas partes divide la línea anterior esta línea” son equivalentes. Véase también pág. ...

Generalizaciones.

1. ¿Se producen todos los valores intermedios? No: por ejemplo, 3 rectas sólo pueden dividir un plano en 4, 6 y 7 partes (pero no en 5). ¿Qué valores exactos ocurren en arbitrarios? norte, la ciencia no lo sabe del todo, ver V.I. Arnold “¿En cuántas partes se divide un avión? norte¿derecho?" / Educación matemática. Tercera serie. Número 12. 2008. págs. 95-104.

2. ¿En cuántas partes se divide el espacio? norte aviones en posición general? , ss. 65-73, 76.

3. ¿En cuántas partes está dividido el avión? norte¿Círculos que se cruzan por pares en posición general?

Dibujos para colorear

El problema tiene una solución de “conteo” larga y una solución ideológica corta. Para inventar el segundo, debes idear un método de colorear en el que diferentes secuencias de acciones conduzcan a diferentes colores y luego contar el número. secuencias. Por ejemplo, puedes fijar el orden de los bordes, pero cambiar el orden de los colores: pintar cualquier borde en el primer color, el opuesto en el segundo (5 opciones), cualquiera de los laterales en el tercero, el siguiente en el sentido de las agujas del reloj en el cuarto color (3 opciones), en el quinto – el siguiente (2 opciones), en el sexto – el último (1 opción). (La idea fue tomada del trabajo de un estudiante de séptimo grado). Puede idear un método de este tipo formulando un algoritmo para comprender si los colores de dos cubos dados son iguales o diferentes.

Con los niños más pequeños podéis hacer modelos de todos estos cubos.

Generalización.

1. El mismo problema para otros poliedros regulares. Quizás deberíamos empezar con el tetraedro correcto.

2. No puedes pintar bordes, sino bordes o vértices.

Particiones poligonales

Introducción Definiciones preliminares y hechos Principales resultados Literatura

Introducción

Es bien sabido que dividir un polígono en triángulos y un poliedro en tetraedros sirve como base para construir la teoría del área y el volumen (ver). Además, un tipo especial de partición (triangulación) es una herramienta conveniente para demostrar la existencia de puntos fijos y casi fijos para mapeos continuos de poliedros (ver). Por tanto, la posibilidad de tales particiones requiere una prueba rigurosa. Hay varias opciones diferentes para resolver este problema. Uno de ellos (ver), mediante inducción matemática, se basa en encontrar una diagonal en un polígono. Según otro método de prueba bien conocido, es necesario trazar todas las líneas que contienen los lados del polígono y considerar todas las posibles intersecciones de los semiplanos resultantes. Queda por dividir en triángulos solo aquellas intersecciones que están contenidas en este polígono.

El artículo examina la clase de figuras planas que generalizan el concepto de polígono y prueba la existencia de una triangulación de un elemento arbitrario de esta clase. La base de la prueba son los hechos topológicos más simples, lo que hace posible que el lector curioso extienda fácilmente nuestro razonamiento al caso de dimensiones superiores.

Definiciones y hechos preliminares.

La figura F se llama convexo, si para cada par de puntos A,BО F se deduce que el segmento [ AB] está contenido en F.

Ejercicio 1. Demuestre que la intersección de conjuntos convexos es un conjunto convexo.

Distancia entre puntos A Y B denotaremos por | AB|. Entonces para cualquier e positiva llamaremos barrio electrónico punto arbitrario A plano a el siguiente conjunto: oh mi( A) = {incógnitaÎ a: | HACHA| < e}.

Punto A llamado interno punto de la figura F si hay al menos un vecindario electrónico del punto A, que está contenido en este conjunto. El conjunto de todos los puntos interiores de la figura F se denota por internacional F. Punto A llamado límite punto de una figura F, si para cualquiera de sus e-barrios se cumple simultáneamente oh mi( A)ÇF ¹ Æ y oh mi( A)Ç(a\F) ¹ Æ. El conjunto de todos los puntos límite de la figura F se denota por Atado F. Si cada punto del conjunto V es su punto interior (es decir V = internacional V), Eso V llamado abierto muchos. Muchos F, que contiene todos sus puntos límite (es decir, Atado F Í F), llamado cerrado muchos.

Ejercicio 2. Demuestre que el complemento de un conjunto abierto es un conjunto cerrado y viceversa.

El conjunto se llama coherente, si no puede representarse como una unión de dos de sus subconjuntos abiertos no vacíos. Un conjunto abierto conexo en el plano se llama región. La siguiente afirmación nos permite introducir la definición de polígono: una simple línea discontinua cerrada1 divide el plano en dos regiones, exactamente una de las cuales es un conjunto acotado2 (la prueba se puede encontrar en). Polígono Llamaremos a la unión una línea discontinua cerrada simple con su región interior. La complejidad de esta última definición nos obliga a considerar otra clase formada por todas las figuras poligonales. Al mismo tiempo figura poligonal se llama unión finita de triángulos.

Ejercicio 3. Demuestre el carácter cerrado y acotado3 de cualquier polígono y de cualquier figura poligonal.

El siguiente concepto jugará un papel importante en la demostración del teorema principal. Muchos F se llama compacto si proviene de cualquier familia de conjuntos abiertos V = {Soldado americano: i Î I), cuya unión contiene F, podemos seleccionar un número finito de términos ( Soldado americano 1,Soldado americano 2,...,Ginebra), cuya unión contendrá también el conjunto F. Una familia así ( Soldado americano: i Î I) llamaremos a la tapa abierta del set F, y una parte adecuada de esta familia, es decir, el conjunto ( Soldado americano 1,Soldado americano 2,...,Ginebra), una subcobertura finita V conjuntos F. Es evidente que todo conjunto finito es compacto. Los dos ejercicios siguientes nos permiten describir todos los subconjuntos compactos del plano (se pueden encontrar pruebas de estas afirmaciones en).

Ejercicio 4. Demuestre que un rectángulo es un conjunto compacto.

Ejercicio 5. Demuestre que un subconjunto cerrado de un conjunto compacto es compacto.

Una consecuencia de los últimos tres ejercicios es la compacidad de cualquier polígono y de cualquier figura poligonal, ya que cada uno de estos conjuntos está cerrado y contenido en un determinado rectángulo. Además, todo subconjunto cerrado acotado del plano es compacto. Tenga en cuenta que lo contrario de la última afirmación también es cierto, y esto proporciona un criterio para la compacidad de los conjuntos planos.

Resultados principales

Combinando segmentos4 incógnita = È{[ Ai Bi]:i Î I) llamaremos cadena(y los segmentos mismos son los eslabones de esta cadena), si sus distintos eslabones pueden cruzarse sólo en sus vértices, y cada vértice de cualquier eslabón es el vértice de otro y solo un eslabón. Tenga en cuenta que una cadena puede constar de un número infinito de eslabones y también puede dividirse en varias subcadenas conectadas y desconectadas. Para cualquier punto A cadenas incógnita a través de incógnita(A) denota la unión de eslabones de la cadena incógnita que contiene un punto A (incógnita(A) consta de uno o dos enlaces). Recuerde que la distancia desde el punto A a algún conjunto F se le llama número d(A,F) = inf(| HACHA|:incógnita SI).

Definición. Cadena incógnita llamemos k- cadena, si es por algún punto A cadenas incógnita Hecho: d(A,incógnita\incógnita(A)) > 0.

En otras palabras, un punto arbitrario A k- las cadenas no pueden aproximarse por puntos que se encuentran en otros eslabones de esta cadena. Obviamente, cada línea discontinua cerrada simple es k-cadena.

Ejercicio 6. Dé un ejemplo de una cadena k que no sea una simple línea discontinua cerrada. Dé un ejemplo de una cadena que no sea una cadena k.

Definición. Cifra METRO llamemos k-establecer, si

1) METRO es un conjunto compacto;

2) Atado METRO - k-cadena;

3) para cada barrio electrónico de cualquier punto A Î Atado METRO correr
oh mi( A)Ç internacional METRO ¹ Æ.

Es fácil ver que cada polígono y cada figura poligonal es k-conjuntos.

Lema. Cualquier k-conjunto M puede representarse como una unión de un número finito de triángulos.

Prueba. Notemos inmediatamente que esta afirmación es obvia si METRO es un polígono convexo (basta con conectar un punto interno arbitrario METRO con sus vértices). Además, un polígono se puede dividir fácilmente en triángulos. METRO = ,

DIV_ADBLOCK550">

Primer caso. Por un punto arbitrario A Î internacional METRO elijamos oh mi( A) Entonces oh mi( A) Í METRO. Definamos a través t(A) algún triángulo regular con centro en A, acostado completamente en oh mi( A).

DIV_ADBLOCK551">

1) METRO i consta de triangulos

2) re i Î METRO i,

3) METRO Í È METRO i, varios triángulos de METRO i No tienen puntos internos comunes.

La figura muestra cómo se pueden usar seis triángulos para completar D i a un sistema adecuado METRO i. Acordemos llamar al triángulo D. i raíz sistemas METRO i. Ahora consideraremos todas esas intersecciones no vacías F = F1Ç...ÇF norte(F i Î METRO i) que entre (F1,F2,... F norte) hay al menos una raíz (a tales intersecciones las llamamos intersecciones raíz). Es importante tener en cuenta que si dos intersecciones de raíces F = F1Ç...ÇF norte Y F = F 1Ç...Ç fn son diferentes, entonces no tienen puntos interiores comunes (de la propiedad 4 del sistema METRO i). Además, cada conjunto F está contenido en METRO(ver propiedad 2) y es un polígono convexo (aquí usamos 1 y el ejercicio 1). Como resultado, obtenemos una partición. k = {k 1,..., kl) conjuntos METRO, que consta de polígonos convexos. Ahora conectando algún punto interior del polígono. ki con todos los vértices de los elementos k, atrapado en la frontera ki, obtenemos una triangulación del polígono. ki. Es fácil ver que la unión de tales triangulaciones dará como resultado una triangulación de todo el conjunto. METRO. El teorema ha sido demostrado.

Del teorema se pueden deducir varios corolarios.

Corolario 1. Cada figura poligonal y cada polígono se pueden triangular.

Corolario 2. La clase de k-conjuntos coincide con la clase de figuras poligonales.

1 roto incógnita = È yo = 1yo = norte[AlAlAl+1] se llama cerrado, Si A 1 = Un+1, y simple, si sus enlaces no adyacentes no se cruzan.

2 Este conjunto se llama internoárea de polilínea

3 El conjunto se llama limitado, si está contenido en algún círculo.

4 Todos los segmentos se consideran no triviales, es decir Ai ¹ Bi para todos i Î I.

Apuntes de lecciones de matemáticas en 4to gradoIIcuarto

Sujeto:"Dividir un polígono en triángulos" (1 lección)

Momento organizacional: (2 min.)

Ya ha sonado el timbre.

Comienza la lección.

¿A dónde iremos?

Lo descubrirás pronto.

En la famosa caricatura encontraremos

Asistentes alegres.

Chicos, ¿quién vino a visitarnos? (Lobo gris y zorro). ¿Por qué exactamente estos héroes? (Porque el Año Nuevo llegará pronto). Hay diferentes aventuras el día de Año Nuevo. Y entonces, un día, un niño y una niña le escribieron una carta a Papá Noel y le pidieron al cartero muñeco de nieve que le entregara esta carta a Papá Noel. Pero como ya sabes, en el camino el muñeco de nieve se encontró con un zorro y un lobo que querían llevarse la carta. ¿Qué crees que pasó con el muñeco de nieve? (Cuando el muñeco de nieve se escapó de ellos, se desmoronó). Chicos, el muñeco de nieve les pide que lo ayuden en sus problemas. El lobo y el zorro sólo te darán las partes del muñeco de nieve cuando completes sus tareas.

(Hay fragmentos del muñeco de nieve en el tablero)

Entonces, muchachos, por completar la tarea correctamente, el lobo les dará fragmentos del muñeco de nieve.

Actualización de conocimientos. Repetición del material cubierto. (2 -3 minutos)

Diapositiva 1

Chicos, miren la diapositiva, ¿qué figura geométrica ven?(Polígono)

- ¿Cómo se llaman los segmentos rojos?(Lado del polígono)

¿Cómo se llaman los segmentos verdes?(Diagonal)

¿En qué se diferencia un lado de un polígono de su diagonal?

(Un lado conecta dos vértices adyacentes y una diagonal conecta dos vértices que no pertenecen al mismo lado)

Establecer las metas y objetivos de la lección. (2 minutos)

¿Qué le hace una diagonal a un polígono?(Divide el polígono en otras formas geométricas)

En nuestro caso, ¿en qué formas geométricas se divide el polígono?(En triángulos)

Chicos, ¿qué vamos a aprender hoy?

(Dividir polígonos en triángulos)

Asimilación primaria de nuevos conocimientos. . Trabajando con el libro de texto .

( Los estudiantes tienen tarjetas con polígonos. )

- Abra el libro de texto en la página 108. Lea la tarea número 376.

Diapositiva 2

En un hexágono dado, traza todas las diagonales posibles desde uno de sus vértices.(Los niños trabajan de forma independiente)

(Diapositiva 1). Un estudiante divide el hexágono en un triángulo en la diapositiva.

¿Cuántos triángulos obtuviste? (4 triángulos).

Construyamos hexágonos y dibujemos en ellos todo tipo de diagonales solo desde otros vértices. (Los niños construyen hexágonos y completan la tarea.los niños tienen tarjetas con vértices hexagonales ).

En el tablero se proyectan varios dibujos en función de la elección de los vértices. Los niños revisan sus dibujos.(Consultar en grupos)

Chicos, el lobo les pide que saquen una conclusión sobre el trabajo que han realizado.

Los niños concluyen que las diagonales que vienen de un vértice del hexágono, sin importar qué vértice elijamos, lo dividen en cuatro triángulos.

La maestra les da a los niños el primer fragmento del cuerpo del muñeco de nieve, los niños lo aplican en la cabeza del muñeco de nieve.

Diapositiva 3

- Chicos, escuchen la siguiente tarea del lobo: dibujen un rectángulo en su cuaderno y divídanlo en 4 triángulos (después de completarlo de forma independiente, un estudiante divide el rectángulo en la diapositiva).

Chicos, ¿tal vez alguno de ustedes tenga otras opciones?

Posibles opciones:

¿En qué caso el rectángulo se divide por diagonales y en cuál por segmentos?

(1 opción – diagonales) –Reciba el siguiente fragmento y fíjelo al cuerpo.

Deslizar

La próxima tarea del lobo.

Diapositiva 4

Divide el octágono en 8 triángulos.

Chicos, ¿quién sabe cómo hacer esto?

Los niños explican cómo se puede completar esta tarea.

Por ejemplo, seleccionamos un punto determinado dentro del octágono y luego, desde este punto, dibujamos segmentos hasta cada vértice del octágono.

Los niños dibujan un dibujo en un cuaderno, luego el maestro proyecta el dibujo en una diapositiva. Los niños comparan su dibujo con el dibujo de la diapositiva.

Al completar la tarea, los niños reciben el siguiente fragmento de muñeco de nieve.

trabajando en un cuaderno

Diapositiva 5

Chicos, recordemos qué triángulos conocen. (Agudos, obtusos y rectangulares).

Elige el triángulo agudo de los triángulos dados. (Plantillas en las mesas de los chicos)



Dibuja un triángulo agudo y divídelo en 3 triángulos. Un estudiante completa la tarea en la pizarra (patrones de triángulos afilados en la diapositiva)

Comprobación de dibujos. Los niños comparan sus dibujos con los dibujos de la pizarra.(Recibe un fragmento de muñeco de nieve)

Completando la tarea No. 381. Trabajando con el libro de texto

(espacios en blanco de rectángulos)

Chicos, lean la tarea en el libro de texto No. 381, ¿qué hay que hacer? Toma un rectángulo y, con una regla y un lápiz, divídelo en 2 triángulos rectángulos.

Chicos, ¿qué tienen en común los triángulos resultantes?

Todo el mundo tiene un ángulo recto.

¿Cómo se llama la línea del rectángulo que dibujaste?

Diagonal.

Dobla el rectángulo en diagonal. ¿Qué conclusión puedes sacar?

La diagonal divide el rectángulo en 2 triángulos rectángulos iguales.

(Reciba un fragmento de muñeco de nieve)

Completando la tarea No. 382. (Tarjeta con varios polígonos)

El profesor te pide que leas la tarea tú mismo.

Los estudiantes leen la tarea de forma independiente y comienzan a completarla.

La solución se comprueba en la pizarra. (Trabajar en parejas)

Chicos, encuentren el área del cuadrado.

Los niños completan la solución en la tarjeta. Comprueban la respuesta juntos. (Un estudiante completa la solución en la pizarra)

Los niños reciben la última pieza del muñeco de nieve.

Juego "Cuerda"

Resumen de la lección

Bien hecho chicos, lograron construir un muñeco de nieve. Y ahora podrá entregarle la carta a Papá Noel.

Chicos, ¿qué les gustó de la lección? (respuesta de los niños) ¿Qué dificultades encontraste?(respuesta de los niños)

¿Las tareas del lobo te ayudaron a aprender a dibujar polígonos y dividirlos en triángulos? Si todo salió bien para usted, levante la carita verde. Si tuviste alguna dificultad, entonces un emoticón amarillo.(respuesta de los niños)

¿Qué te gustaría desearle al lobo en el nuevo año?

(Deseos de los chicos)

El profesor asigna tareas (T página 88 No. 157 – 158). Diapositiva 6

Trabajando juntos en la tarea

№2

№2

№2

№2

№2