Rango de series de datos. Estadísticas descriptivas

Dejar X 1, X 2 ... X n- muestra de variables aleatorias independientes.

Ordenemos estos valores en orden ascendente, es decir, construyamos una serie de variaciones:

X (1)< Х (2) < ... < X (n) , (*)

Dónde X (1) = mínimo (X 1, X 2 ... X n),

X (n) = máx (X 1, X 2 ... X n).

Los elementos de una serie de variación (*) se denominan estadísticas ordinales.

Cantidades d (i) = X (i+1) - X (i) se llaman espaciamientos o distancias entre estadísticas de orden.

En alcance muestra se llama cantidad

R = X (n) - X (1)

En otras palabras, el rango es la distancia entre los miembros máximo y mínimo de la serie de variación.

Muestra promedio es igual a: = (X 1 + X 2 + ... + X n) / n

Promedio

La mayoría de ustedes probablemente habrán utilizado importantes estadísticas descriptivas como promedio.

Promedio Es una medida muy informativa de la “centralidad” de una variable observada, especialmente si se informa su intervalo de confianza. El investigador necesita estadísticas que le permitan sacar conclusiones sobre la población en su conjunto. Una de esas estadísticas es el promedio.

Intervalo de confianza porque la media representa el intervalo de valores alrededor de la estimación donde, con un nivel de confianza dado, se encuentra la media poblacional “verdadera” (desconocida).

Por ejemplo, si la media muestral es 23 y los límites inferior y superior del intervalo de confianza con el nivel pag=.95 son 19 y 27, respectivamente, entonces podemos concluir que con un 95% de probabilidad el intervalo con límites 19 y 27 cubre el promedio poblacional.

Si establece un nivel de confianza más alto, el intervalo se vuelve más amplio, por lo que aumenta la probabilidad con la que “cubre” la media poblacional desconocida, y viceversa.

Es bien sabido, por ejemplo, que cuanto más “incierto” sea un pronóstico del tiempo (es decir, cuanto más amplio sea el intervalo de confianza), más probabilidades habrá de que sea correcto. Tenga en cuenta que la amplitud del intervalo de confianza depende del volumen o tamaño de la muestra, así como de la dispersión (variabilidad) de los datos. Aumentar el tamaño de la muestra hace que la estimación de la media sea más confiable. Aumentar la dispersión de los valores observados reduce la confiabilidad de la estimación.

El cálculo de los intervalos de confianza se basa en el supuesto de normalidad de los valores observados. Si no se cumple este supuesto, la estimación puede ser deficiente, especialmente para muestras pequeñas.

A medida que aumenta el tamaño de la muestra, digamos a 100 o más, la calidad de la estimación mejora sin asumir la normalidad de la muestra.

Es bastante difícil "sentir" las mediciones numéricas hasta que los datos se resumen de manera significativa. Un diagrama suele resultar útil como punto de partida. También podemos comprimir información utilizando características importantes de los datos. En particular, si supiéramos en qué consiste la cantidad representada, o si supiéramos cuán dispersas están las observaciones, entonces podríamos formarnos una imagen de los datos.

La media aritmética, a menudo llamada simplemente "media", se obtiene sumando todos los valores y dividiendo esa suma por el número de valores del conjunto.

Esto se puede demostrar mediante una fórmula algebraica. Equipo norte observaciones de una variable X se puede representar como X 1, X 2, X 3, ..., X n. Por ejemplo, para X podemos indicar la altura del individuo (cm), X1 denota crecimiento 1 -ésimo individuo, y X yo- altura i-ésimo individuo. La fórmula para determinar la media aritmética de las observaciones (pronunciada “X con una línea”):

= (X 1 + X 2 + ... + X n) / n

Puedes acortar esta expresión:

donde (la letra griega "sigma") significa "suma", y los índices debajo y encima de esta letra significan que la suma se hace a partir de yo = 1 antes yo = norte. Esta expresión suele abreviarse aún más:

Mediana

Si ordena los datos por valor, comenzando con el valor más pequeño y terminando con el más grande, entonces la mediana también será la característica promedio del conjunto ordenado de datos.

Mediana divide una serie de valores ordenados por la mitad con un número igual de esos valores tanto encima como debajo (a la izquierda y a la derecha de la mediana en el eje numérico).

Es fácil calcular la mediana si el número de observaciones norte extraño. Este será un número de observación. (n+1)/2 en nuestro conjunto de datos ordenados.

Por ejemplo, si n=11, entonces la mediana es (11 + 1)/2 , es decir. 6to observación en un conjunto de datos ordenados.

Si norte incluso, entonces, estrictamente hablando, no existe mediana. Sin embargo, normalmente lo calculamos como la media aritmética de dos medias adyacentes de observaciones en un conjunto de datos ordenados (es decir, número de observaciones (n/2) Y (n/2 + 1)).

Así, por ejemplo, si norte = 20, entonces la mediana es la media aritmética del número de observaciones 20/2 = 10 Y (20/2 + 1) = 11 en un conjunto de datos ordenado.

Moda

Moda es el valor que ocurre con mayor frecuencia en el conjunto de datos; si los datos son continuos, generalmente los agrupamos y calculamos el grupo modal.

Algunos conjuntos de datos no tienen moda porque cada valor ocurre solo una vez. A veces hay más de un modo; esto ocurre cuando 2 o más valores ocurren la misma cantidad de veces y la ocurrencia de cada uno de estos valores es mayor que la de cualquier otro valor.

La moda rara vez se utiliza como característica generalizadora.

Significado geometrico

Si la distribución de datos es asimétrica, la media aritmética no será un indicador general de la distribución.

Si los datos están sesgados hacia la derecha, puede crear una distribución más simétrica tomando el logaritmo (base 10 o base mi) de cada valor de variable en el conjunto de datos. La media aritmética de los valores de estos logaritmos es una característica de la distribución de los datos transformados.

Para obtener una medida con las mismas unidades que las observaciones originales, es necesario realizar la transformación inversa: potenciación (es decir, tomar el antilogaritmo) del logaritmo promedio de los datos; llamamos a esta cantidad significado geometrico.

Si la distribución de los datos logarítmicos es aproximadamente simétrica, entonces la media geométrica es similar a la mediana y menor que la media de los datos sin procesar.

Peso promedio

Peso promedio Se utiliza cuando algunos valores de la variable que nos interesa. X más importante que otros. Agregamos peso yo a cada uno de los valores xyo en nuestra muestra para dar cuenta de esta importancia.

Si los valores x 1 , x 2 ... x n tener el peso adecuado w 1, w 2 ... w n, entonces el promedio aritmético ponderado se ve así:

Por ejemplo, supongamos que estamos interesados en determinar la duración promedio de la hospitalización en un área y conocer el período promedio de recuperación de los pacientes en cada hospital. Tenemos en cuenta la cantidad de información, tomando como primera aproximación el número de pacientes en el hospital como peso de cada observación.

Un promedio ponderado y un promedio aritmético son idénticos si cada peso es igual a uno.

Rango (intervalo de cambio)

Alcance es la diferencia entre los valores máximo y mínimo de la variable en el conjunto de datos; estas dos cantidades denotan su diferencia. Tenga en cuenta que el rango es engañoso si uno de los valores es un valor atípico (consulte la Sección 3).

Rango derivado de percentiles

¿Qué son los percentiles?

Supongamos que organizamos nuestros datos en orden desde el valor más pequeño de la variable. X y hasta el valor mayor. Magnitud X, hasta el cual se ubica el 1% de las observaciones (y por encima del cual se ubica el 99% de las observaciones) se llama primer percentil.

Magnitud X, al que se ubica el 2% de las observaciones se llama 2do percentil, etc.

Cantidades X, que dividen un conjunto ordenado de valores en 10 grupos iguales, es decir, 10, 20, 30,..., 90 y percentiles, se denominan deciles. Cantidades X, que dividen el conjunto ordenado de valores en 4 grupos iguales, es decir Los percentiles 25, 50 y 75 se denominan cuartiles. El percentil 50 es mediana.

Aplicando percentiles

Podemos lograr una forma de describir la dispersión que no se vea afectada por un valor atípico (un valor anómalo) eliminando los valores extremos y determinando la magnitud de las observaciones restantes.

El rango intercuartil es la diferencia entre el primer y tercer cuartil, es decir entre los percentiles 25 y 75. Consiste en el centro del 50% de las observaciones en un conjunto ordenado, con el 25% de las observaciones debajo del punto central y el 25% por encima de él.

El rango interdecil contiene el 80% central de las observaciones, es decir, aquellas observaciones que se encuentran entre los percentiles 10 y 90.

A menudo utilizamos el rango, que contiene el 95% de las observaciones, es decir. excluye el 2,5% de las observaciones desde abajo y el 2,5% desde arriba. La indicación de dicho intervalo es relevante, por ejemplo, para diagnosticar una enfermedad. Este intervalo se llama intervalo de referencia, rango de referencia o lapso normal.

Dispersión

Una forma de medir la dispersión de los datos es determinar el grado en que cada observación se desvía de la media aritmética. Evidentemente, cuanto mayor es la desviación, mayor es la variabilidad, la variabilidad de las observaciones.

Sin embargo, no podemos utilizar el promedio de estas desviaciones. como medida de dispersión, porque las desviaciones positivas compensan las desviaciones negativas (su suma es cero). Para resolver este problema, elevamos al cuadrado cada desviación y encontramos el promedio de las desviaciones al cuadrado; esta cantidad se llama variación, o dispersión.

Echemos norte observacionesX 1 , X 2 , x 3 , ..., x n, promedio que es igual a.

Calculamos la varianza:

Si no se trata de una población general, sino de una muestra, entonces calculamos varianza de la muestra:

Teóricamente, se puede demostrar que se obtendrá una varianza muestral más precisa si no se divide por norte, y en (n-1).

La unidad de medida (dimensión) de variación es el cuadrado de las unidades de las observaciones originales.

Por ejemplo, si las mediciones se realizan en kilogramos, entonces la unidad de variación será el kilogramo al cuadrado.

Desviación estándar, desviación estándar muestral

Desviación Estándar es la raíz cuadrada positiva de .

Desviación Estándar muestras es la raíz de la varianza muestral.

Al estudiar la carga horaria estudiantil, se identificó un grupo de 12 alumnos de séptimo grado. Se les pidió que registraran el tiempo (en minutos) dedicado a la tarea de álgebra en un día determinado. Recibimos los siguientes datos: 23, 18, 25, 20, 25, 25, 32, 37, 34, 26, 34, 25. Al estudiar la carga de trabajo de los estudiantes, se identificó un grupo de 12 alumnos de séptimo grado. Se les pidió que registraran el tiempo (en minutos) dedicado a la tarea de álgebra en un día determinado. Recibimos los siguientes datos: 23, 18, 25, 20, 25, 25, 32, 37, 34, 26, 34, 25.

Media aritmética de la serie. La media aritmética de una serie de números es el cociente de dividir la suma de estos números por el número de términos. La media aritmética de una serie de números es el cociente de dividir la suma de estos números por el número de términos.():12=27

Rango de filas. El rango de una serie es la diferencia entre el mayor y el menor de estos números. El rango de una serie es la diferencia entre el mayor y el menor de estos números. El mayor consumo de tiempo es de 37 minutos y el más pequeño es de 18 minutos. Encontremos el rango de la serie: 37 – 18 = 19 (min)

Serie de moda. La moda de una serie de números es el número que aparece en una serie determinada con más frecuencia que en otros. La moda de una serie de números es el número que aparece en una serie determinada con más frecuencia que en otros. La moda de nuestra serie es el número - 25. La moda de nuestra serie es el número - 25. Una serie de números puede tener o no más de una moda. 1) 47,46,50,47,52,49,45,43,53,53,47,52 – dos modos 47 y 52. 2) 69,68,66,70,67,71,74,63, 73,72 – sin moda.

La media aritmética, el rango y la moda se utilizan en estadística, una ciencia que se ocupa de obtener, procesar y analizar datos cuantitativos sobre una variedad de fenómenos masivos que ocurren en la naturaleza y la sociedad. La media aritmética, el rango y la moda se utilizan en estadística, una ciencia que se ocupa de obtener, procesar y analizar datos cuantitativos sobre una variedad de fenómenos masivos que ocurren en la naturaleza y la sociedad. La estadística estudia el número de grupos de población individuales de un país y sus regiones, la producción y el consumo de diversos tipos de productos, el transporte de mercancías y pasajeros por diversos modos de transporte, los recursos naturales, etc. La estadística estudia el número de grupos de población individuales de un país y sus regiones, producción y consumo de diversos tipos de productos, transporte de mercancías y pasajeros por diversos modos de transporte, recursos naturales, etc.

1. Encuentre la media aritmética y el rango de una serie de números: a) 24,22,27,20,16,37; b)30,5,23,5,28, Encuentra la media aritmética, el rango y la moda de un número de números: a)32,26,18,26,15,21,26; b) -21, -33, -35, -19, -20, -22; b) -21, -33, -35, -19, -20, -22; c) 61,64,64,83,61,71,70; c) 61,64,64,83,61,71,70; d) -4, -6, 0, 4, 0, 6, 8, -12. d) -4,-6, 0, 4, 0, 6, 8, En la serie de los números 3, 8, 15, 30, __, 24 falta un número Hallarlo si: a) la media aritmética del. la serie es 18; a) la media aritmética de la serie es 18; b) el rango de la serie es 40; b) el rango de la serie es 40; c) la moda de la serie es 24. c) la moda de la serie es 24.

4. En el certificado de educación secundaria, cuatro amigos, graduados de la escuela, tenían las siguientes calificaciones: Ilyin: 4,4,5,5,4,4,4,5,5,5,4,4,5,4, 4; Ilyin: 4,4,5,5,4,4,4,5,5,5,4,4,5,4,4; Semenov: 3,4,3,3,3,3,4,3,3,3,3,4,4,5,4; Semenov: 3,4,3,3,3,3,4,3,3,3,3,4,4,5,4; Popov: 5,5,5,5,5,4,4,5,5,5,5,5,4,4,4; Popov: 5,5,5,5,5,4,4,5,5,5,5,5,4,4,4; Romanov: 3,3,4,4,4,4,4,3,4,4,4,5,3,4,4. Romanov: 3,3,4,4,4,4,4,3,4,4,4,5,3,4,4. ¿Con qué promedio se graduó cada uno de estos graduados? Indique en el certificado la calificación más típica de cada uno de ellos. ¿Qué estadísticas usaste para responder? ¿Con qué promedio de calificaciones se graduó cada uno de estos graduados? Indique en el certificado la calificación más típica de cada uno de ellos. ¿Qué estadísticas usaste para responder?

Trabajo independiente Opción 1. Opción Dada una serie de números: 35, 44, 37, 31, 41, 40, 31, 29. Encuentra la media aritmética, el rango y la moda. 2. En la serie de números 4, 9, 16, 31, _, 25 4, 9, 16, 31, _, 25 falta un número. falta un numero. Encuéntrelo si: Encuéntrelo si: a) la media aritmética a) la media aritmética es 19; algunos equivalen a 19; b) rango de la serie – 41. b) rango de la serie – 41. Opción Dada una serie de números: 38, 42, 36, 45, 48, 45,45, 42. Encuentre la media aritmética, el rango y la moda del rango . 2. En la serie de números 5, 10, 17, 32, _, 26 falta un número. Encuéntrelo si: a) la media aritmética es 19; b) el rango de la serie es 41.

La mediana de una serie ordenada de números con un número impar de números es el número escrito en el medio, y la mediana de una serie ordenada de números con un número par de números es la media aritmética de los dos números escritos en el medio. La mediana de una serie ordenada de números con un número impar de números es el número escrito en el medio, y la mediana de una serie ordenada de números con un número par de números es la media aritmética de los dos números escritos en el medio. La tabla muestra el consumo de electricidad en enero de los residentes de nueve apartamentos: La tabla muestra el consumo de electricidad en enero de los residentes de nueve apartamentos: Número de apartamento Consumo de electricidad

Hagamos una serie ordenada: 64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 91,93. 64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 91, es la mediana de esta serie. 78 es la mediana de esta serie. Dada una serie ordenada: Dada una serie ordenada: 64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 88, 91, 93. ():2 = 80 – mediana. ():2 = 80 – mediana.

1. Encuentra la mediana de una serie de números: a) 30, 32, 37, 40, 41, 42, 45, 49, 52; a) 30, 32, 37, 40, 41, 42, 45, 49, 52; b) 102, 104, 205, 207, 327, 408, 417; b) 102, 104, 205, 207, 327, 408, 417; c) 16, 18, 20, 22, 24, 26; c) 16, 18, 20, 22, 24, 26; d) 1.2, 1.4, 2.2, 2.6, 3.2, 3.8, 4.4, 5.6. d) 1.2, 1.4, 2.2, 2.6, 3.2, 3.8, 4.4, 5.6. 2. Calcula la media aritmética y la mediana de una serie de números: a) 27, 29, 23, 31,21,34; a) 27, 29, 23, 31,21,34; b) 56, 58, 64, 66, 62, 74; b) 56, 58, 64, 66, 62, 74; c) 3,8, 7,2, 6,4, 6,8, 7,2; c) 3,8, 7,2, 6,4, 6,8, 7,2; d) 21,6, 37,3, 16,4, 12, 6. d) 21,6, 37,3, 16,4, 12, 6.

3. La tabla muestra el número de visitantes a la exposición en diferentes días de la semana: Encuentre la mediana de la serie de datos especificada. ¿En qué días de la semana el número de visitantes a la exposición fue mayor que la mediana? Días de la semana Lun Lun Mar Mar Mié Miércoles Jue Jue Vie Vie Sáb Dom Dom Número de visitantes

4. A continuación se muestra el procesamiento promedio diario de azúcar (en miles de quintales) por las fábricas azucareras de una determinada región: (en miles de quintales) por las fábricas azucareras de una determinada región: 12,2, 13,2, 13,7, 18,0, 18,6, 12,2, 18,5 , 12,4, 12,2, 13,2, 13,7, 18,0, 18,6, 12,2, 18,5, 12,4, 14, 2, 17,8. 14, 2, 17.8. Para la serie presentada, encuentre la media aritmética, la moda, el rango y la mediana. Para la serie presentada, encuentre la media aritmética, la moda, el rango y la mediana. 5. La organización mantuvo registros diarios de las cartas recibidas durante el mes. Como resultado, recibimos la siguiente serie de datos: 39, 43, 40, 0, 56, 38, 24, 21, 35, 38, 0, 58, 31, 49, 38, 25, 34, 0, 52, 40. , 42, 40 , 39, 54, 0, 64, 44, 50, 38, 37, 43, 40, 0, 56, 38, 24, 21, 35, 38, 0, 58, 31, 49, 38, 25 , 34, 0 , 52, 40, 42, 40, 39, 54, 0, 64, 44, 50, 38, 37, 32. Para la serie presentada, encuentre la media aritmética, la moda, el rango y la mediana. Para la serie presentada, encuentre la media aritmética, la moda, el rango y la mediana.

Tarea. En las competiciones de patinaje artístico, el rendimiento del atleta se evaluó con los siguientes puntos: En las competiciones de patinaje artístico, el rendimiento del atleta se evaluó con los siguientes puntos: 5,2; 5.4; 5,5; 5.4; 5.1; 5.1; 5.4; 5,5; 5.3. 5.2; 5.4; 5,5; 5.4; 5.1; 5.1; 5.4; 5,5; 5.3. Para la serie de números resultante, encuentre la media aritmética, el rango y la moda. Para la serie de números resultante, encuentre la media aritmética, el rango y la moda.

La fecha del __________

Tema de la lección: Media aritmética, rango y moda.

Objetivos de la lección: repetir los conceptos de características estadísticas como media aritmética, rango y moda, desarrollar la capacidad de encontrar las características estadísticas promedio de varias series; desarrollar el pensamiento lógico, la memoria y la atención; inculcar diligencia, disciplina, perseverancia y precisión en los niños; Desarrollar el interés de los niños por las matemáticas.

durante las clases

organización de clases

Repetición ( Ecuación y sus raíces)

Defina una ecuación con una variable.

¿Cuál es la raíz de una ecuación?

¿Qué significa resolver una ecuación?

Resuelve la ecuación:

6x + 5 =23 -3x 2(x - 5) + 3x =11 -2x 3x - (x - 5) =14 -2x

Actualizando conocimientos repetir los conceptos de características estadísticas tales como media aritmética, rango, moda y mediana.

Estadísticas es una ciencia que se ocupa de la recopilación, procesamiento y análisis de datos cuantitativos sobre una variedad de fenómenos masivos que ocurren en la naturaleza y la sociedad.

Promedio es la suma de todos los números dividida por su número. (La media aritmética se llama valor promedio de una serie numérica).

Rango de números es la diferencia entre el mayor y el menor de estos números.

Modo de serie numérica - Este es el número que aparece en una serie determinada con más frecuencia que en otras.

Mediana una serie ordenada de números con un número impar de términos se llama número escrito en el medio, y con un número par de términos se llama media aritmética de los dos números escritos en el medio.

La palabra estadística se traduce del latín status: estado, estado de cosas.

Características estadísticas: media aritmética, rango, moda, mediana.

Aprendiendo nuevo material

Tarea número 1: Se pidió a 12 estudiantes de séptimo grado que registraran el tiempo (en minutos) dedicado a la tarea de álgebra. Recibimos los siguientes datos: 23,18,25,20,25,25,32,37,34,26,34,25. En promedio, ¿cuántos minutos dedicaron los estudiantes a la tarea?

Solución: 1) encuentra la media aritmética:

2) encuentra el rango de la serie: 37-18=19 (min)

3) moda 25.

Tarea número 2: En la ciudad de Schaslyve midieron diariamente a las 18 00 temperatura del aire (en grados Celsius durante 10 días) como resultado de lo cual se completó la tabla:

t Casarse = 0 CON,

Rango = 25-13=12 0 CON,

Tarea número 3: Encuentra el rango de los números 2, 5, 8, 12, 33.

Solución: El número más grande aquí es 33, el más pequeño es 2. Esto significa que el rango es: 33 – 2 = 31.

Tarea número 4: Encuentre la moda de la serie de distribución:

a) 23 25 27 23 26 29 23 28 33 23 (modo 23);

b) 14 18 22 26 30 28 26 24 22 20 (modos: 22 y 26);

c) 14 18 22 26 30 32 34 36 38 40 (sin moda).

Tarea número 5 : Encuentra la media aritmética, el rango y la moda de la serie de números 1, 7, 3, 8, 7, 12, 22, 7, 11,22,8.

Solución: 1) El número 7 aparece con mayor frecuencia en esta serie de números (3 veces). Es la moda de una serie dada de números.

Solución de ejercicios.

A) Encuentre la media aritmética, la mediana, el rango y la moda de una serie de números:

1) 32, 26, 18, 26, 15, 21, 26;

2) 21, 18, 5, 25, 3, 18, 5, 17, 9;

3) 67,1 68,2 67,1 70,4 68,2;

4) 0,6 0,8 0,5 0,9 1,1.

B) La media aritmética de una serie que consta de diez números es 15. A esta serie se le añadió el número 37 ¿Cuál es la media aritmética de la nueva serie de números?

EN) En la serie de números 2, 7, 10, __, 18, 19, 27, un número resultó estar borrado. Reconstrúyelo sabiendo que la media aritmética de esta serie de números es 14.

GRAMO) Cada uno de los 24 participantes en el concurso de tiro realizó diez tiros. Al anotar cada vez el número de aciertos en el objetivo, recibimos la siguiente serie de datos: 6, 5, 5, 6, 8, 3, 7, 6, 8, 5, 4, 9, 7, 7, 9, 8 , 6, 6, 5 , 6, 4, 3, 6, 5. Encuentra el rango y la moda para esta serie. ¿Qué caracteriza a cada uno de estos indicadores?

resumiendo

¿Qué es la media aritmética? ¿Moda? ¿Mediana? ¿Alcance?

Tarea:

№164 (tarea de repetición), págs. 36-39 leer

№167(a,b), núms. 177, 179

Media aritmética de una serie de números – Esta es la suma de estos números dividida por el número de términos.

La media aritmética se llama valor promedio de una serie numérica.

Ejemplo: Encuentra la media aritmética de los números 2, 6, 9, 15.

Solución. Tenemos cuatro números. Esto significa que su suma debe dividirse entre 4. Esta será la media aritmética de estos números:
(2 + 6 + 9 + 15) : 4 = 8.

Media geométrica de una serie de números. es la raíz enésima del producto de estos números.

Ejemplo: Encuentra la media geométrica de los números 2, 4, 8.

Solución. Tenemos tres números. Esto significa que necesitamos encontrar la tercera raíz de su producto. Esta será la media geométrica de estos números:

3 √ 2 4 8 = 3 √64 = 4

Alcance una serie de números es la diferencia entre el mayor y el menor de estos números.

Ejemplo: Encuentra el rango de los números 2, 5, 8, 12, 33.

Solución: El número más grande aquí es 33, el más pequeño es 2. Entonces el rango es 31:

Moda Serie de números es el número que aparece en una serie determinada con más frecuencia que en otras.

Ejemplo: Encuentra la moda de la serie de números 1, 7, 3, 8, 7, 12, 22, 7, 11, 22, 8.

Solución: El número 7 aparece con mayor frecuencia en esta serie de números (3 veces). Es la moda de una serie dada de números.

Mediana.

En una serie ordenada de números:

Mediana de un número impar de números es el número escrito en el medio.

Ejemplo: En una serie de números 2, 5, 9, 15, 21, la mediana es el número 9, ubicado en el medio.

Mediana de un número par de números es la media aritmética de los dos números del medio.

Ejemplo: Encuentra la mediana de los números 4, 5, 7, 11, 13, 19.

Solución: Hay un número par de números (6). Por tanto, buscamos no uno, sino dos números escritos en el medio. Estos son los números 7 y 11. Encuentra la media aritmética de estos números:

(7 + 11) : 2 = 9.

El número 9 es la mediana de esta serie de números.

En una serie desordenada de números:

Mediana de una serie arbitraria de números. se llama mediana de la serie ordenada correspondiente.

Ejemplo 1: Encuentre la mediana de una serie arbitraria de números 5, 1, 3, 25, 19, 17, 21.

Solución: Ordenamos los números en orden ascendente:

1, 3, 5, 17 , 19, 21, 25.

En el medio está el número 17. Es la mediana de esta serie de números.

Ejemplo 2: agreguemos un número más a nuestra serie arbitraria de números para que la serie se vuelva par y encontremos la mediana:

5, 1, 3, 25, 19, 17, 21, 19.

Solución: volvemos a construir una serie ordenada:

1, 3, 5, 17 , 19 , 19, 21, 25.