Resolver sistemas complejos de desigualdades. Resolver desigualdades complejas

Objetivo de la lección: considerar más la solución. desigualdades complejas.

1. Respuestas a preguntas sobre deberes (análisis de problemas no resueltos).

2. Seguimiento de la asimilación del material (test).

Resolver desigualdades complejas con módulos o parámetros en ellos.

Resolvamos la desigualdad |x – 1| < 3.

Primero, resolvamos esta desigualdad analíticamente considerando dos casos:

a) Si x – 1 > 0, es decir, x > 1, entonces |x – 1| = x – 1 y la desigualdad se ve como x – 1< 3. Решение этого неравенства х < 4. Учитывая условие х >1, en este caso obtenemos la solución 1< х < 4 или х [ 1; 4).

b) Si x – 1< 0, т. е. х < 1, то |x – 1| = – (х – 1) = 1 – х и неравенство имеет вид 1 – х < 3. Решение этого неравенства -2 < х. Учитывая условие х < 1, получаем в этом случае решение -2 <х < 1 или х (-2; 1).

Encontramos la unión de las soluciones obtenidas.

Como escribir la respuesta en problemas con parámetros es muy importante (la respuesta se escribe en orden ascendente del parámetro), damos la respuesta completa:

cuando un< 1 х [ а + 1; +); при а = 1 х (-; + ); при а >1 x (-; a + 1].

Ahora veamos desigualdades lineales en dos variables. Como regla general, estos problemas se reducen a representar un conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen la desigualdad en el plano de coordenadas.

En plano de coordenadas Representaremos un conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen la desigualdad y-2 > x-3.

Escribamos esta desigualdad en la forma y > x-1. Primero construyamos un gráfico. función lineal y = x-1 (línea recta). Esta línea divide todos los puntos del plano de coordenadas en puntos ubicados en esta línea y puntos ubicados debajo de esta línea. Comprobemos qué puntos satisfacen esta desigualdad.

De la primera área, tomemos, por ejemplo, el punto de control A (0; 0), el origen de las coordenadas. Es fácil comprobar que entonces se cumple la desigualdad y > -1. Desde la segunda zona seleccionamos, por ejemplo, el punto de control B (1; -1). Para tal punto la desigualdad y > x-1 no se cumple. En consecuencia, esta desigualdad se satisface con los puntos ubicados encima y en la línea recta y = x-1 (es decir, puntos similares al punto A). Estos puntos están sombreados.

¿Para qué valores del parámetro a la ecuación ax 2 + x – 1 = 0 no tiene soluciones?

Dado que el coeficiente principal de la ecuación depende del parámetro a, es necesario considerar dos casos.

a) Si a 0, entonces la ecuación ax 2 + x – 1 = 0 es cuadrática. Tal ecuación no tiene soluciones si su discriminante es D< 0. Решение этого неравенства а (-; -). Заметим, что в указанный промежуток значение а = 0 не входит.

b) Si a = 0, entonces la ecuación ax 2 + x – 1 = 0 es lineal y tiene la forma x – 1 = 0. Obviamente, la ecuación tiene una solución única x = 1.

Entonces, para un (-; -) ecuación dada no tiene soluciones.

Resolvamos la desigualdad |x – 1| + x 2 + 2 x + 1< 0.

Escribamos la desigualdad en la forma |x – 1| +(x+1)2< 0 и введем новую переменную, а = х + 1. Тогда неравенство примет вид, |a| + а 2 < 0. Так как |a| >0 y a 2 > 0 para todos los valores de a, entonces la suma

|a| + a 2 > 0 para todo a. Por lo tanto la desigualdad, |a| + un 2< 0 имеет единственное решение а = 0. теперь вернемся к старой неизвестной х. Получаем ecuación lineal x + 1 = 0, cuya solución es x = – 1. Entonces, la solución a esta desigualdad es x = – 1.

Existen tipos similares de desigualdades con dos variables.

En el plano de coordenadas representamos un conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen la desigualdad y-1< х 2 .

Escribamos la desigualdad en la forma y.< х 2 + 1 и построим параболу y = х 2 + 1 (этот график получается смещением графика y = х 2 на одну единицу вверх). Парабола разбивает точки плоскости на точки, расположенные под параболой. Взяв в качестве контрольной точки начало координат, получаем верное неравенство 0 < 1. Поэтому данному неравенству удовлетворяют точки, расположенные ниже параболы и на параболе. Эти точки заштрихованы.

1. Resuelve la desigualdad analíticamente:

2. Para todos los valores de a, resuelve la desigualdad:

3. ¿Para qué valores del parámetro a la ecuación

a) 3x 2 – 2x + a = 0 no tiene raíces;
b) 2x 2 – 3x + 5a = 0 tiene dos raíces diferentes;
c) 3akh 2 – 4х + 1 = 0 tiene dos raíces diferentes;
d) ax 2 – 3x + 2 = 0 tiene al menos una raíz.

4. Resolver analíticamente (y si es posible, gráficamente) las desigualdades:

Por ejemplo, la desigualdad es la expresión \(x>5\).

Tipos de desigualdades:

Si \(a\) y \(b\) son números o , entonces la desigualdad se llama numérico. En realidad, se trata simplemente de comparar dos números. Estas desigualdades se dividen en fiel Y infiel.

Por ejemplo:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) es una desigualdad numérica incorrecta, ya que \(17+3=20\), y \(20\) es menor que \(115\) (y no mayor o igual que) .

Si \(a\) y \(b\) son expresiones que contienen una variable, entonces tenemos desigualdad con variable. Estas desigualdades se dividen en tipos según su contenido:

¿Cuál es la solución a una desigualdad?

Si sustituyes un número en lugar de una variable en una desigualdad, se convertirá en numérica.

Si un valor dado para x convierte la desigualdad original en una verdadera numérica, entonces se llama solución a la desigualdad. Si no, entonces este valor no es una solución. y para que resolver la desigualdad– necesitas encontrar todas sus soluciones (o demostrar que no hay ninguna).

Por ejemplo, si sustituimos el número \(7\) en la desigualdad lineal \(x+6>10\), obtenemos la desigualdad numérica correcta: \(13>10\). Y si sustituimos \(2\), habrá una desigualdad numérica incorrecta \(8>10\). Es decir, \(7\) es una solución a la desigualdad original, pero \(2\) no lo es.

Sin embargo, la desigualdad \(x+6>10\) tiene otras soluciones. De hecho, obtendremos las desigualdades numéricas correctas al sustituir \(5\), y \(12\), y \(138\)... ¿Y cómo podemos encontrar todos? posibles soluciones? Para esto utilizan Para nuestro caso tenemos:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Es decir, cualquier número mayor que cuatro nos convendrá. Ahora necesitas escribir la respuesta. Las soluciones a las desigualdades generalmente se escriben numéricamente y además se marcan en eje numérico eclosión. Para nuestro caso tenemos:

Respuesta: \(x\in(4;+\infty)\)

¿Cuándo cambia el signo de una desigualdad?

Hay una gran trampa en las desigualdades en la que a los estudiantes les encanta caer:

Al multiplicar (o dividir) una desigualdad por un número negativo, se invierte (“más” por “menos”, “más o igual” por “menor o igual”, etc.)

¿Por qué sucede esto? Para entender esto, veamos las transformaciones. desigualdad numérica\(3>1\). Es correcto, de hecho tres es mayor que uno. Primero, intentemos multiplicarlo por cualquier número positivo, por ejemplo dos:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Como podemos ver, después de la multiplicación la desigualdad sigue siendo cierta. Y no importa por qué número positivo multipliquemos, siempre obtendremos la desigualdad correcta. Ahora intentemos multiplicar por número negativo, por ejemplo, menos tres:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

El resultado es una desigualdad incorrecta, ¡porque menos nueve es menor que menos tres! Es decir, para que la desigualdad sea verdadera (y por lo tanto, la transformación de la multiplicación por negativo fue “legal”), es necesario invertir el signo de comparación, así: \(−9<− 3\).
Con la división te saldrá igual, puedes comprobarlo tú mismo.

La regla escrita anteriormente se aplica a todos los tipos de desigualdades, no sólo a las numéricas.

Respuesta: \(x\in(-1;\infty)\)

Desigualdades y discapacidad

Las desigualdades, al igual que las ecuaciones, pueden tener restricciones sobre , es decir, sobre los valores de x. En consecuencia, aquellos valores que sean inaceptables según el DZ deben excluirse del espectro de soluciones.

Ejemplo: Resuelve la desigualdad \(\sqrt(x+1)<3\)

Solución: Está claro que para que el lado izquierdo sea menor que \(3\), la expresión radical debe ser menor que \(9\) (después de todo, de \(9\) solo \(3\)). Obtenemos:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(incógnita<8\)

¿Todo? ¿Cualquier valor de x menor que \(8\) nos conviene? ¡No! Porque si tomamos, por ejemplo, el valor \(-5\) que parece cumplir el requisito, no será una solución a la desigualdad original, ya que nos llevará a calcular la raíz de un número negativo.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Por lo tanto, también debemos tener en cuenta las restricciones sobre el valor de X: no puede ser tal que haya un número negativo debajo de la raíz. Por tanto, tenemos el segundo requisito para x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

Y para que x sea la solución final, debe satisfacer ambos requisitos a la vez: debe ser menor que \(8\) (para ser una solución) y mayor que \(-1\) (para ser admisible en principio). Trazándolo en la recta numérica, tenemos la respuesta final:

Respuesta: \(\izquierda[-1;8\derecha)\)

Entre toda la variedad de desigualdades logarítmicas, las desigualdades con base variable se estudian por separado. Se resuelven mediante una fórmula especial que, por alguna razón, rara vez se enseña en la escuela:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

En lugar de la casilla de verificación “∨”, puedes poner cualquier signo de desigualdad: más o menos. Lo principal es que en ambas desigualdades los signos son los mismos.

De esta manera nos deshacemos de los logaritmos y reducimos el problema a una desigualdad racional. Esto último es mucho más fácil de resolver, pero al descartar logaritmos, pueden aparecer raíces adicionales. Para cortarlos, basta con encontrar el rango de valores aceptables. Si olvidó la ODZ del logaritmo, le recomiendo repetirla; consulte " ¿Qué es un logaritmo? ».

Todo lo relacionado con el rango de valores aceptables debe anotarse y resolverse por separado:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Estas cuatro desigualdades constituyen un sistema y deben satisfacerse simultáneamente. Cuando se ha encontrado el rango de valores aceptables, solo queda cruzarlo con la solución de la desigualdad racional, y la respuesta está lista.

Tarea. Resuelve la desigualdad:

Primero, escribamos la ODZ del logaritmo:

Las dos primeras desigualdades se satisfacen automáticamente, pero la última deberá escribirse. Como el cuadrado de un número es cero si y sólo si el número en sí es cero, tenemos:

x2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Resulta que la ODZ del logaritmo son todos los números excepto cero: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Ahora resolvemos la desigualdad principal:

Hacemos la transición de una desigualdad logarítmica a una racional. La desigualdad original tiene un signo "menor que", lo que significa que la desigualdad resultante también debe tener un signo "menor que". Tenemos:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x ) (3 + x ) x 2< 0.

Los ceros de esta expresión son: x = 3; x = −3; x = 0. Además, x = 0 es raíz de la segunda multiplicidad, lo que significa que al pasar por ella el signo de la función no cambia. Tenemos:

Obtenemos x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Este conjunto está completamente contenido en la ODZ del logaritmo, lo que significa que ésta es la respuesta.

Convertir desigualdades logarítmicas

A menudo, la desigualdad original es diferente de la anterior. Esto se puede corregir fácilmente utilizando las reglas estándar para trabajar con logaritmos; consulte " Propiedades básicas de los logaritmos." A saber:

1. Cualquier número se puede representar como un logaritmo con una base determinada;
2. La suma y diferencia de logaritmos con las mismas bases se pueden sustituir por un logaritmo.

Por otra parte, me gustaría recordarles el rango de valores aceptables. Como puede haber varios logaritmos en la desigualdad original, se requiere encontrar el VA de cada uno de ellos. Así, el esquema general para resolver desigualdades logarítmicas es el siguiente:

1. Encuentre el VA de cada logaritmo incluido en la desigualdad;
2. Reducir la desigualdad a una estándar usando las fórmulas para sumar y restar logaritmos;
3. Resuelva la desigualdad resultante según el esquema dado anteriormente.

Tarea. Resuelve la desigualdad:

Encontremos el dominio de definición (DO) del primer logaritmo:

Resolvemos usando el método del intervalo. Encontrar los ceros del numerador:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Entonces - los ceros del denominador:

x - 1 = 0;
x = 1.

Marcamos ceros y signos en la flecha de coordenadas:

Obtenemos x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). El segundo logaritmo tendrá el mismo VA. Si no me crees, puedes comprobarlo. Ahora transformamos el segundo logaritmo para que la base sea dos:

Como puedes ver, los tres en la base y delante del logaritmo se han reducido. Obtuvimos dos logaritmos con la misma base. Sumémoslos:

iniciar sesión 2 (x − 1) 2< 2;
iniciar sesión 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Obtuvimos la desigualdad logarítmica estándar. Nos deshacemos de los logaritmos usando la fórmula. Dado que la desigualdad original contiene un signo "menor que", la expresión racional resultante también debe ser menor que cero. Tenemos:

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 - 2 x - 3< 0;
(x-3)(x+1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Tenemos dos conjuntos:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Respuesta del candidato: x ∈ (−1; 3).

Queda por cruzar estos conjuntos; obtenemos la respuesta real:

Estamos interesados ​​en la intersección de conjuntos, por lo que seleccionamos intervalos que están sombreados en ambas flechas. Obtenemos x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - todos los puntos están perforados.