Tareas para Trabajo independiente

Encuentre soluciones generales de los siguientes sistemas homogéneos. ecuaciones diferenciales uno de los métodos considerados, y compruébelos con cualquier otro método:

8.1. 8.2.

8.3. 8.4.

8.5. 8.6.

8.7. 8.8.

8.9. 8.10.

El sistema lineal de ecuaciones diferenciales tiene la forma:

(9.1)

Los sistemas (9.1) y (9.2) se llaman heterogéneo , si al menos una de las funciones f yo(X) no es idénticamente cero si para todos los valores de la variable independiente. X todas las funciones f yo(X) son iguales a cero, entonces, por ejemplo, el sistema (8.14) toma la forma:

y se llama homogéneo sistema lineal.

Si todas las funciones un ij(X) Y f yo(X) son continuas en el segmento a£ X£ b, entonces el sistema, por ejemplo, (9.2) tiene única decisión:

(9.4)

definido en todo el segmento a£ X£ b y satisfactorio condiciones iniciales:

y los datos iniciales se puede elegir de forma totalmente arbitraria y X Se debe seleccionar 0 del intervalo. a£ X£ b.

Sistema lineal no homogéneo de ecuaciones con coeficientes constantes tiene la forma:

(9. 6)

Me caigo f yo (X) = 0, entonces obtenemos sistema homogéneo con coeficientes constantes

Si componentes de algún vector,

A componentes de la derivada del vector y los coeficientes un ij son elementos de la matriz , entonces, por ejemplo, el sistema de ecuaciones (9.8) se puede representar como:

Consideremos métodos para integrar sistemas lineales con coeficientes constantes.

1. Un sistema de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes se puede resolver, por ejemplo, El método de Euler. . La esencia de este método es que la solución al sistema (9.9) se busca en la forma

, (9.10)

Dónde λk - valores propios matrices de coeficientes A, que se puede encontrar a partir de la ecuación :

(9.11)

(mi– matriz identidad), que se llama Ecuación característica; - componentes de vectores propios PAG (k) correspondiente al valor propio λk.

Si se sustituye la expresión (9.10) en la ecuación (9.9) y después de reducirla por el factor , obtenemos un sistema homogéneo de ecuaciones algebraicas de donde podemos encontrar el vector PAG (k) :

,

o en forma expandida

(9.12)

De este modo, decisión común El sistema (9.9) quedará expresado por la fórmula:

. (9.13)

De esta fórmula se desprende claramente que la solución del sistema original depende de los valores propios de la matriz de coeficientes. λk o, lo que es esencialmente lo mismo, de la forma de las raíces de la ecuación característica .

1er caso. Todas las raíces λk son reales y diferentes, entonces la solución general del sistema está determinada por la fórmula (9.13). Escribámoslo en forma expandida:

(9.14)

Ejemplo 9.1.6. Encuentre la solución general del sistema.

▲ Creemos una matriz de coeficientes. , y luego componeremos Ecuación característica (31):

Las raíces de esta ecuación característica son reales y distintas: .

Encontremos los vectores propios correspondientes a sus valores propios (las raíces de la ecuación característica).

.

El valor se puede tomar arbitrariamente, por ejemplo, sea =1, entonces , por lo tanto el vector R (1) es igual a: R (1) =.

Para esta raíz también componemos el sistema (9.12)

,

por lo tanto, si =1, entonces. Por lo tanto el vector R (2) =.

Por tanto, la solución general del sistema original se puede escribir como:

Por tanto, los componentes de la solución general toman la forma:

▲

2do caso. Raíces λk varios, pero entre ellos los hay complejos. Si es la raíz de la ecuación característica, entonces también será su raíz, porque todos los coeficientes del sistema original un ij son validos.

Encontramos las componentes de la solución general del sistema (8.29) correspondientes a la raíz exactamente de la misma manera que en el caso 1. Luego, separando las partes compleja y real de las funciones y k, formando esta solución, obtenemos dos soluciones válidas el mismo sistema (8.29). La raíz conjugada no da nuevas soluciones (si utilizamos esta raíz obtendremos soluciones linealmente dependientes de las ya obtenidas). Esto se hace para cada raíz compleja.

Ejemplo 9.2. Encuentre la solución general del sistema.

Las raíces de esta ecuación característica son conjugadas complejas: .

Lo encontraremos vector propio, correspondiente al valor propio (la raíz de la ecuación característica) igual a: .

Creemos un sistema de ecuaciones algebraicas (9.12)

Por tanto, tomando =1, encontramos , es decir vector propio R (1) es igual a: R (1) =.

Por eso, sistema fundamental se vera como:

En estas soluciones separamos las partes real e imaginaria (no consideramos la raíz, ya que las soluciones correspondientes a esta raíz dependen linealmente de la raíz), como resultado obtenemos:

Así, la solución general finalmente queda así:

3er caso. Entre las raíces de la ecuación característica hay múltiples raíces.

si la raíz λk, tiene una multiplicidad t, entonces corresponde PAG Soluciones parciales del sistema (9.9). Obtenemos estas soluciones en la forma:

Dónde q 1(X),….,qn(X) – polinomios en X con coeficientes indefinidos, cada grado no superior a ( t-1):

Por tanto, las soluciones quedarán así:

(9.15)

Sustituyendo las expresiones (9.15) en el sistema (9.9) e igualando los coeficientes para grados iguales variable independiente X en cada ecuación obtendremos un sistema de ecuaciones algebraicas para determinar los coeficientes desconocidos de los polinomios q 1(X),….,qn(X). El número de ecuaciones algebraicas obtenidas será menos numero coeficientes desconocidos, por lo tanto t de estos coeficientes siguen siendo arbitrarios y el resto se expresan a través de ellos.

Si λ 1 es un número complejo, entonces las soluciones obtenidas por el método considerado también serán funciones complejas de X. Separando las partes real e imaginaria en cada una de las soluciones, obtenemos 2 t decisiones. Estas soluciones corresponden a un par de conjugados t– múltiples raíces complejas y .

Ejemplo 9.3. Encuentre la solución general del sistema.

▲ Creemos una matriz de coeficientes y luego creemos la ecuación característica (9.11):

Las raíces de esta ecuación característica son reales y diferentes: . Relación de multiplicidad t es igual a: t= 2. Por lo tanto, en este caso los polinomios pag 1 (t) Y pag 2 (t) tiene la forma:

Por tanto, la solución corresponde a una raíz doble.

diferenciando X Y en, obtenemos

Valores X, en, sustituirlo en el sistema original, y después de la reducción por mi 4 t tendrá

Igualar los coeficientes en t Y miembros libres, obtenemos siguientes sistemas

Resulta que

Así, la solución general del sistema original tendrá la forma:

▲

2. Sistema de la forma (9.8): ,

se puede resolver método coeficientes inciertos . El algoritmo para este método es el siguiente:

1. Elaborar la ecuación característica del sistema (9.8):

y encontrar sus raíces.

2. Dependiendo del tipo de raíces, anota la solución del sistema, y ​​para cada solución y yo tiene sus propias constantes arbitrarias:

3. Se calculan los derivados y, junto con las funciones encontradas, se sustituyen en las ecuaciones del sistema original.

4. Se equiparan los coeficientes de las mismas funciones en los lados izquierdo y derecho de las ecuaciones.

5. De los sistemas resultantes, todos los coeficientes se pueden expresar mediante uno, por ejemplo, coeficientes mediante coeficiente C yo.

Ejemplo 9.4. Encuentre la solución general del sistema.

¿Cómo resolver un sistema de ecuaciones diferenciales?

Se supone que el lector ya es bastante bueno resolviendo ecuaciones diferenciales, en particular ecuaciones homogéneas de segundo orden Y ecuaciones no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes. No hay nada complicado en los sistemas de ecuaciones diferenciales, y si se siente cómodo con los tipos de ecuaciones anteriores, dominar los sistemas no será difícil.

Hay dos tipos principales de sistemas de ecuaciones diferenciales:

– Sistemas lineales homogéneos de ecuaciones diferenciales.
– Sistemas lineales no homogéneos de ecuaciones diferenciales

Y dos formas principales de resolver un sistema de ecuaciones diferenciales:

– Método de eliminación. La esencia del método es que durante la solución el sistema de ecuaciones diferenciales se reduce a una ecuación diferencial.

– Usando la ecuación característica(el llamado método de Euler).

En la gran mayoría de los casos, es necesario resolver un sistema de ecuaciones diferenciales utilizando el primer método. El segundo método es mucho menos común en situaciones de problemas; en toda mi práctica, he resuelto como máximo entre 10 y 20 sistemas con él. Pero también consideraremos esto brevemente en el último párrafo de este artículo.

Pido disculpas de inmediato por lo incompleto teórico del material, pero incluí en la lección solo aquellas tareas que realmente se pueden encontrar en la práctica. Es poco probable que aquí se encuentre algo que caiga en forma de lluvia de meteoritos una vez cada cinco años y, ante tales sorpresas, debería recurrir a los ladrillos difusores especializados.

Sistemas lineales homogéneos de ecuaciones diferenciales.

El sistema homogéneo más simple de ecuaciones diferenciales tiene la siguiente forma:

En realidad, casi todo ejemplos prácticos están limitados a tal sistema =)

¿Qué hay ahí?

– estos son números ( probabilidades numéricas). lo mas numeros regulares. En particular uno, varios o incluso todos los coeficientes pueden ser cero. Pero estos obsequios rara vez se dan, por lo que la mayoría de las veces los números no son iguales a cero.

Y estas son funciones desconocidas. La variable que actúa como variable independiente es "como X en una ecuación diferencial ordinaria".

Y son las primeras derivadas de las funciones desconocidas y, respectivamente.

¿Qué significa resolver un sistema de ecuaciones diferenciales?

Esto significa encontrar semejante funciones y que satisfagan tanto el primero como el segundo ecuación del sistema. Como puede ver, el principio es muy similar al convencional. sistemas de ecuaciones lineales. Sólo que allí las raíces son números y aquí son funciones.

La respuesta encontrada está escrita en la forma. solución general de un sistema de ecuaciones diferenciales:

EN llaves! Estas funciones están "en un solo arnés".

Para un sistema de control remoto, puede resolver el problema de Cauchy, es decir, encontrar solución particular del sistema, satisfaciendo las condiciones iniciales dadas. Una solución particular del sistema también se escribe entre llaves.

El sistema se puede reescribir de manera más compacta de la siguiente manera:

Pero tradicionalmente, la solución con derivadas escritas en diferenciales es más común, así que acostúmbrate inmediatamente a la siguiente notación:
y – derivadas de primer orden;
y son derivadas de segundo orden.

Ejemplo 1

Resuelve el problema de Cauchy para un sistema de ecuaciones diferenciales. con condiciones iniciales , .

Solución: En los problemas, el sistema encuentra con mayor frecuencia condiciones iniciales, por lo que casi todos los ejemplos Esta lección será con el problema de Cauchy. Pero esto no es importante, ya que todavía habrá que encontrar una solución general en el camino.

Resolvamos el sistema. por eliminación. Permítanme recordarles que la esencia del método es reducir el sistema a una ecuación diferencial. Y espero que resuelvas bien las ecuaciones diferenciales.

El algoritmo de solución es estándar:

1) tomar segunda ecuación del sistema y expresamos de él:

Esta ecuación Necesitaremos una solución hacia el final y la marcaré con un asterisco. En los libros de texto sucede que se encuentran con 500 notaciones, y luego dicen: "según la fórmula (253) ...", y buscan esta fórmula 50 páginas atrás. Me limitaré a una sola marca (*).

2) Diferenciar en ambos lados de la ecuación resultante:

Con “trazos” el proceso se ve así:

Es importante que este simple punto quede claro; no me extenderé más en él.

3) Sustituyamos y en la primera ecuación del sistema:

Y hagamos las máximas simplificaciones:

El resultado es lo más normal. ecuación homogénea de segundo orden con coeficientes constantes. Con “trazos” se escribe así: .

– se obtienen raíces reales diferentes, por tanto:
.

Una de las funciones ha sido encontrada a mitad de camino.

Sí, tenga en cuenta que obtuvimos una ecuación característica con un discriminante "bueno", lo que significa que no cometimos ningún error en la sustitución y las simplificaciones.

4) Vamos a por la función. Para hacer esto, tomamos la función ya encontrada. y encontrar su derivada. Nos diferenciamos por:

sustituyamos y en la ecuación (*):

O en resumen:

5) Se han encontrado ambas funciones, anotemos la solución general del sistema:

Respuesta: solución privada:

La respuesta recibida es bastante fácil de comprobar; la verificación se realiza en tres pasos:

1) Comprobar si realmente se cumplen las condiciones iniciales:

Se cumplen ambas condiciones iniciales.

2) Comprobemos si la respuesta encontrada satisface la primera ecuación del sistema.

Tomamos la función de la respuesta. y encontrar su derivada:

sustituyamos , Y en la primera ecuación del sistema:

Se obtiene la igualdad correcta, lo que significa que la respuesta encontrada satisface la primera ecuación del sistema.

3) Comprobemos si la respuesta satisface la segunda ecuación del sistema.

Tomamos la función de la respuesta y encontramos su derivada:

sustituyamos , Y en la segunda ecuación del sistema:

Se obtiene la igualdad correcta, lo que significa que la respuesta encontrada satisface la segunda ecuación del sistema.

Verificación completada. ¿Qué está marcado? Se ha verificado el cumplimiento de las condiciones iniciales. Y, lo más importante, se demuestra el hecho de que la solución particular encontrada satisface a cada ecuación del sistema original .

Del mismo modo, puedes consultar la solución general. , la verificación será aún más breve, ya que no es necesario comprobar si se cumplen las condiciones iniciales.

Ahora volvamos al sistema resuelto y hagamos un par de preguntas. La solución comenzó así: tomamos la segunda ecuación del sistema y la expresamos a partir de ella. ¿Era posible expresar no “X”, sino “Y”? Si expresamos , entonces no nos dará nada - en esta expresión a la derecha están "Y" y "X", por lo que no podremos deshacernos de la variable y reducir la solución del sistema a la solución de una ecuación diferencial.

Pregunta dos. ¿Era posible empezar a resolver no desde la segunda, sino desde la primera ecuación del sistema? Poder. Veamos la primera ecuación del sistema: . En él tenemos dos “X” y una “Y”, por lo que es necesario expresar estrictamente “Y” mediante “X”: . La siguiente es la primera derivada: . Entonces deberías sustituir Y en la segunda ecuación del sistema. La solución será completamente equivalente, con la diferencia de que primero encontraremos la función y luego .

Y sólo para el segundo método habrá un ejemplo para decisión independiente:

Ejemplo 2

Encuentre una solución particular al sistema de ecuaciones diferenciales que satisfaga las condiciones iniciales dadas.

En la solución de muestra, que se proporciona al final de la lección, a partir de la primera ecuación se expresa y toda la danza comienza a partir de esta expresión. Intente hacer usted mismo una solución de espejo, punto por punto, sin mirar la muestra.

También puedes seguir la ruta del Ejemplo No. 1: de la segunda ecuación, expresa (tenga en cuenta que es “x” lo que debe expresarse). Pero este método es menos racional porque terminamos con una fracción, lo cual no es del todo conveniente.

Sistemas lineales no homogéneos de ecuaciones diferenciales.

Casi igual, solo que la solución tardará un poco más.

El sistema no homogéneo de ecuaciones diferenciales, que en la mayoría de los casos se puede encontrar en los problemas, tiene la siguiente forma:

En comparación con un sistema homogéneo, a cada ecuación se le añade adicionalmente una determinada función que depende de "te". Las funciones pueden ser constantes (y al menos una de ellas no es igual a cero), exponenciales, senos, cosenos, etc.

Ejemplo 3

Encuentre una solución particular al sistema de ecuaciones diferenciales lineales correspondiente a las condiciones iniciales dadas.

Solución: Se da un sistema lineal no homogéneo de ecuaciones diferenciales; Usamos método de eliminación, mientras que el algoritmo de solución en sí se conserva por completo. Para variar, comenzaré con la primera ecuación.

1) De la primera ecuación del sistema expresamos:

Esto es algo importante, así que lo protagonizaré de nuevo. Es mejor no abrir los paréntesis; ¿por qué hay fracciones adicionales?

Y observe nuevamente que es la “y” la que se expresa a partir de la primera ecuación, mediante dos “X” y una constante.

2) Diferenciar en ambos lados:

La constante (tres) ha desaparecido, debido a que la derivada de la constante es igual a cero.

3) Sustituyamos Y en la segunda ecuación del sistema :

Inmediatamente después de la sustitución, es recomendable deshacerse de las fracciones, para ello multiplicamos cada parte de la ecuación por 5:

Ahora hacemos simplificaciones:

El resultado fue ecuación lineal no homogénea de segundo orden con coeficientes constantes. Ésta, en esencia, es toda la diferencia con la solución de un sistema homogéneo de ecuaciones discutida en el párrafo anterior.

Nota: Sin embargo, en un sistema no homogéneo a veces se puede obtener una ecuación homogénea.

Encontremos una solución general a la correspondiente ecuación homogénea:

Compongamos y resolvamos la ecuación característica:

– conjugado raíces complejas, Es por eso:
.

Las raíces de la ecuación característica volvieron a ser “buenas”, lo que significa que estamos en el camino correcto.

Buscamos una solución particular a la ecuación no homogénea en la forma.
Encontremos la primera y segunda derivada:

sustituyamos en lado izquierdo ecuación no homogénea:

De este modo:

Cabe señalar que una solución particular se selecciona fácilmente de forma oral y es bastante aceptable, en lugar de largos cálculos, escribir: "Es obvio que una solución particular de una ecuación no homogénea: . "

Como resultado:

4) Buscamos una función. Primero encontramos la derivada de la función ya encontrada:

No es especialmente agradable, pero estos derivados se encuentran a menudo en los difusores.

La tormenta está en pleno apogeo y ahora habrá una novena ola. Átate con una cuerda a la cubierta.

sustituyamos
y en la ecuación (*):

5) Solución general del sistema:

6) Encuentre una solución particular correspondiente a las condiciones iniciales. :

Finalmente, una solución privada:

Ya ves de qué va la historia. final feliz Ahora puedes navegar sin miedo en barcos por el mar sereno bajo el suave sol.

Respuesta: solución privada:

Por cierto, si comienzas a resolver este sistema a partir de la segunda ecuación, los cálculos resultarán mucho más simples (puedes intentarlo), pero muchos visitantes del sitio pidieron analizar cosas más difíciles. ¿Cómo puedes negarte? =) Que haya ejemplos más serios.

Un ejemplo más fácil de resolver por tu cuenta:

Ejemplo 4

Encuentre una solución particular a un sistema lineal no homogéneo de ecuaciones diferenciales correspondiente a las condiciones iniciales dadas.

Esta tarea resuelto por mí según el ejemplo del Ejemplo No. 1, es decir, “x” se expresa a partir de la segunda ecuación. La solución y la respuesta están al final de la lección.

En los ejemplos considerados, no fue casualidad que usé notaciones diferentes, usé diferentes caminos soluciones. Así, por ejemplo, las derivadas en la misma tarea se escribieron de tres maneras: . EN Matemáticas avanzadas No hay por qué tener miedo de los garabatos, lo principal es comprender el algoritmo de solución.

Método de ecuación característica(Método Euleriano)

Como se señaló al principio del artículo, utilizando una ecuación característica rara vez es necesario resolver un sistema de ecuaciones diferenciales, por lo que en el último párrafo consideraré solo un ejemplo.

Ejemplo 5

Dado un sistema lineal homogéneo de ecuaciones diferenciales.

Encuentre una solución general a un sistema de ecuaciones usando la ecuación característica.

Solución: Observamos el sistema de ecuaciones y componemos un determinante de segundo orden:

Creo que todos pueden ver según qué principio se compiló el determinante.

Creemos una ecuación característica, para esto, a partir de cada número que se ubica en diagonal principal, resta algún parámetro:

En una copia limpia, por supuesto, debes anotar inmediatamente la ecuación característica que explico en detalle, paso a paso, para que quede claro qué viene de dónde.

Ampliamos el determinante:

Y encontramos las raíces ecuación cuadrática:

Si la ecuación característica tiene dos raíces reales diferentes, entonces la solución general del sistema de ecuaciones diferenciales tiene la forma:

Ya conocemos los coeficientes en los exponentes, solo queda encontrar los coeficientes.

1) Considere la raíz y sustitúyala en la ecuación característica:

(tampoco es necesario que escriba estos dos determinantes en el papel en blanco, sino que cree inmediatamente el siguiente sistema de forma oral)

A partir de los números del determinante formamos un sistema de dos. ecuaciones lineales con dos incógnitas:

De ambas ecuaciones se desprende la misma igualdad:

Ahora necesitas elegir el menos value , de modo que el valor sea un número entero. Obviamente, deberías configurar . Y si entonces

La solución general de un sistema no homogéneo es la suma de la solución general de un sistema homogéneo y alguna solución particular de un sistema no homogéneo.

Para encontrar una solución general a un sistema no homogéneo, se puede aplicar el método de variación de constantes arbitrarias de Lagrange.

Consideremos un sistema lineal homogéneo de ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma

En cual forma vectorial escrito en la forma

Matriz Φ , cuyas columnas son n soluciones linealmente independientes Y1(x), Y2(x), ..., Yn(x) de un sistema homogéneo sistema lineal Y" = A(x)Y se llama matriz solución fundamental del sistema:

La matriz fundamental de soluciones del sistema lineal homogéneo Y" = A(x)Y satisface ecuación matricialΦ" = A(x)Φ.

Recuerde que el determinante de Wronski de soluciones linealmente independientes Y1(x), Y2(x), ..., Yn(x) es distinto de cero por .

Considere un sistema lineal de ecuaciones diferenciales de enésimo orden:

Un sistema lineal es estable de Lyapunov para t ≥ t0 si cada una de sus soluciones x = φ(t) es estable de Lyapunov para t ≥ t0.

Un sistema lineal es asintóticamente estable de Lyapunov cuando t → ∞ si cada una de sus soluciones x = φ(t) es estable de Lyapunov como t → ∞.

Las soluciones de un sistema lineal son todas estables al mismo tiempo o todas inestables. Las siguientes afirmaciones son ciertas.

Teorema sobre la estabilidad de soluciones de un sistema lineal de ecuaciones diferenciales. Sea en el sistema lineal no homogéneo x" = A(t)x + b(t) la matriz A(t) y la función vectorial b(t) continuas en el intervalo )