Expresiones, ecuaciones y sistemas de ecuaciones.
con números complejos

Hoy en clase practicaremos operaciones típicas con números complejos, y también dominaremos la técnica de resolución de expresiones, ecuaciones y sistemas de ecuaciones que contienen estos números. Este taller es una continuación de la lección y, por lo tanto, si no conoce bien el tema, siga el enlace de arriba. Bueno, para lectores más preparados les sugiero calentar de inmediato:

Ejemplo 1

Simplificar una expresión , Si . Representa el resultado en forma trigonométrica y gráficalo en el plano complejo.

Solución: entonces, debes sustituir la fracción por la fracción "terrible", realizar simplificaciones y convertir el resultado Número complejo V forma trigonométrica. Más un dibujo.

¿Cuál es la mejor manera de formalizar la decisión? Es más rentable abordar paso a paso una expresión algebraica “sofisticada”. En primer lugar, se distrae menos la atención y, en segundo lugar, si no se acepta la tarea, será mucho más fácil encontrar el error.

1) Primero, simplifiquemos el numerador. Sustituyamos el valor, abramos los paréntesis y arreglemos el peinado:

...Sí, tal Quasimodo surgió de números complejos...

Permítanme recordarles que durante las transformaciones se utilizan cosas completamente simples: la regla de multiplicar polinomios y la igualdad, que ya se ha vuelto banal. Lo principal es tener cuidado y no dejarse confundir por las señales.

2) Ahora viene el denominador. Si entonces:

Observe en qué interpretación inusual se usa. fórmula de suma cuadrada. Alternativamente, puede realizar una reorganización aquí subfórmula Los resultados, naturalmente, serán los mismos.

3) Y por último, la expresión completa. Si entonces:

Para deshacerte de una fracción, multiplica el numerador y el denominador por la expresión conjugada del denominador. Al mismo tiempo, a los efectos de la aplicación fórmulas de diferencia cuadrada debe primero (¡y ya es imprescindible!) Pon la parte real negativa en 2do lugar:

Y ahora la regla clave:

NO TENEMOS PRISA! Es mejor ir a lo seguro y dar un paso más.
En expresiones, ecuaciones y sistemas con números complejos, cálculos verbales presuntuosos. más tenso que nunca!

Hubo una buena reducción en el paso final y eso es simplemente una gran señal.

Nota : estrictamente hablando, aquí ocurrió la división de un número complejo por el número complejo 50 (recuerda eso). Hasta ahora he guardado silencio sobre este matiz y hablaremos de ello un poco más adelante.

Denotemos nuestro logro con la letra.

Presentemos el resultado obtenido en forma trigonométrica. En general, aquí puedes prescindir de un dibujo, pero como es necesario, es algo más racional hacerlo ahora mismo:

Calculemos el módulo de un número complejo:

Si dibujas en una escala de 1 unidad. = 1 cm (2 celdas de cuaderno), entonces el valor obtenido se puede comprobar fácilmente con una regla normal.

Busquemos un argumento. Dado que el número está ubicado en el segundo cuarto de coordenadas, entonces:

El ángulo se puede comprobar fácilmente con un transportador. Ésta es la indudable ventaja del dibujo.

Así: – el número requerido en forma trigonométrica.

Vamos a revisar:
, que era lo que había que verificar.

Es conveniente encontrar valores desconocidos de seno y coseno usando tabla trigonométrica.

Respuesta:

Un ejemplo similar para una solución independiente:

Ejemplo 2

Simplificar una expresión , Dónde . Dibuja el número resultante en el plano complejo y escríbelo en forma exponencial.

Intenta no saltarte los tutoriales. Pueden parecer sencillos, pero sin entrenamiento “meterse en un charco” no sólo es fácil, sino muy fácil. Por lo tanto, "le ponemos las manos encima".

Muchas veces un problema tiene más de una solución:

Ejemplo 3

Calcula si,

Solución: En primer lugar, prestemos atención a la condición original: un número se presenta en forma algebraica y el otro en forma trigonométrica, e incluso en grados. Reescribámoslo inmediatamente en una forma más familiar: .

¿De qué forma deben realizarse los cálculos? La expresión obviamente implica una primera multiplicación y luego elevarla a la décima potencia. La fórmula de Moivre., que está formulado para la forma trigonométrica de un número complejo. Entonces parece más lógico convertir el primer número. Encontremos su módulo y argumento:

Usamos la regla para multiplicar números complejos en forma trigonométrica:
si entonces

Correcta la fracción, llegamos a la conclusión de que podemos “girar” 4 vueltas. ( contento.):

Segunda solución es convertir el segundo número a forma algebraica , realiza la multiplicación en forma algebraica, convierte el resultado a forma trigonométrica y usa la fórmula de Moivre.

Como puede ver, hay una acción "extra". Quienes lo deseen pueden seguir adelante con la decisión y asegurarse de que los resultados sean los mismos.

La condición no dice nada sobre la forma del número complejo final, por lo que:

Respuesta:

Pero “por belleza” o según demanda, el resultado no es difícil de imaginar en forma algebraica:

Por propia cuenta:

Ejemplo 4

Simplificar una expresión

Aquí tenemos que recordar acciones con grados, aunque no hay una regla útil en el manual, aquí está: .

Y una nota más importante: el ejemplo se puede resolver en dos estilos. La primera opción es trabajar con dos números y estar bien con las fracciones. La segunda opción es representar cada número como cociente de dos numeros: Y deshacerse de la estructura de cuatro pisos. Desde un punto de vista formal, no importa cómo decidas, ¡pero hay una diferencia sustantiva! Piense detenidamente en:
es un número complejo;
es el cociente de dos números complejos ( y ), pero dependiendo del contexto, también se puede decir esto: un número representado como el cociente de dos números complejos.

Una breve solución y respuesta al final de la lección.

Las expresiones son buenas, pero las ecuaciones son mejores:

Ecuaciones con coeficientes complejos

¿En qué se diferencian de las ecuaciones “ordinarias”? Probabilidades =)

A la luz del comentario anterior, comencemos con este ejemplo:

Ejemplo 5

Resuelve la ecuación

Y un preámbulo inmediato “pisándole los talones”: inicialmente el lado derecho de la ecuación está posicionado como el cociente de dos números complejos ( y 13) y, por lo tanto, sería de mala educación reescribir la condición con el número (aunque esto no causará un error). Esta diferencia, por cierto, es más claramente visible en la fracción: si, en términos relativos, este valor se entiende principalmente como raíz compleja "completa" de la ecuación, y no como divisor de un número, ¡y especialmente no como parte de un número!

Solución En principio, también se puede hacer paso a paso, pero en este caso el juego no vale la pena. La tarea inicial es simplificar todo lo que no contiene la incógnita "z", dando como resultado que la ecuación se reduzca a la forma:

Simplificamos con confianza la fracción media:

Transferimos el resultado al lado derecho y encontramos la diferencia:

Nota : y nuevamente llamo su atención sobre el punto significativo: ¡aquí no restamos un número de un número, sino que llevamos las fracciones a un denominador común! Cabe señalar que ya en PROGRESO de resolución no está prohibido trabajar con números: , sin embargo, en el ejemplo considerado este estilo es más dañino que útil =)

Según la regla de la proporción, expresamos “zet”:

Ahora puedes volver a dividir y multiplicar por el conjugado, pero los números sospechosamente similares en el numerador y el denominador sugieren el siguiente paso:

Respuesta:

Para comprobarlo, sustituyamos el valor resultante en el lado izquierdo de la ecuación original y realicemos simplificaciones:

– se obtiene el lado derecho de la ecuación original, por lo que la raíz se encuentra correctamente.

...Ahora, ahora... Encontraré algo más interesante para ti... aquí tienes:

Ejemplo 6

Resuelve la ecuación

Esta ecuación se reduce a la forma , lo que significa que es lineal. Creo que la pista es clara: ¡adelante!

Por supuesto… ¿cómo puedes vivir sin él?

Ecuación cuadrática con coeficientes complejos.

En la lección Números complejos para tontos Aprendimos que una ecuación cuadrática con coeficientes reales puede tener raíces complejas conjugadas, tras lo cual surge una pregunta lógica: ¿por qué, de hecho, los coeficientes en sí no pueden ser complejos? Permítanme formular un caso general:

Ecuación cuadrática con coeficientes complejos arbitrarios. (1 o 2 de los cuales o los tres pueden ser, en particular, válidos) Tiene dos y solo dos raíz compleja (posiblemente uno o ambos son válidos). Al mismo tiempo, las raíces (tanto real como con parte imaginaria distinta de cero) pueden coincidir (ser múltiplos).

Una ecuación cuadrática con coeficientes complejos se resuelve usando el mismo esquema que ecuación "escuela", con algunas diferencias en la técnica de cálculo:

Ejemplo 7

Encuentra las raíces de una ecuación cuadrática.

Solución: la unidad imaginaria es lo primero y, en principio, puedes deshacerte de ella (multiplicando ambos lados por) Sin embargo, esto no es especialmente necesario.

Por conveniencia, escribimos los coeficientes:

¡No perdamos el "menos" de un miembro gratuito! ...Puede que no quede claro para todos: reescribiré la ecuación en forma estándar :

Calculemos el discriminante:

Y aquí está el principal obstáculo:

Aplicación de la Fórmula General para la Extracción de la Raíz (ver último párrafo del artículo Números complejos para tontos) complicado por serias dificultades asociadas con el argumento del número complejo radical (ver por ti mismo). ¡Pero hay otra forma, “algebraica”! Buscaremos la raíz en la forma:

Elevemos al cuadrado ambos lados:

Dos números complejos son iguales si sus partes real e imaginaria son iguales. Así, obtenemos el siguiente sistema:

El sistema es más fácil de resolver seleccionando (una forma más completa es expresar a partir de la segunda ecuación: sustituir en la primera, obtener y resolver una ecuación bicuadrática). Suponiendo que el autor del problema no es un monstruo, planteamos la hipótesis de que y son números enteros. De la primera ecuación se deduce que "x" módulo más que "Y". Además el producto positivo nos dice que las incógnitas son del mismo signo. En base a lo anterior, y centrándonos en la 2ª ecuación, anotamos todos los pares que coinciden con ella:

Es obvio que la primera ecuación del sistema se satisface con los dos últimos pares, así:

Una comprobación intermedia no vendría mal:

que era lo que había que comprobar.

Puedes elegir como raíz "de trabajo" cualquier significado. Está claro que es mejor optar por la versión sin “contras”:

Encontramos las raíces, sin olvidar, por cierto, que:

Respuesta:

Comprobemos si las raíces encontradas satisfacen la ecuación. :

1) Sustituyamos:

verdadera igualdad.

2) Sustituyamos:

verdadera igualdad.

Por tanto, la solución se encontró correctamente.

Basado en el problema que acabamos de discutir:

Ejemplo 8

Encuentra las raíces de la ecuación.

Cabe señalar que la raíz cuadrada de puramente complejo Los números se pueden extraer fácilmente usando la fórmula general. , Dónde , por lo que ambos métodos se muestran en la muestra. La segunda observación útil se refiere al hecho de que la extracción preliminar de la raíz de una constante no simplifica la solución en absoluto.

Ahora puedes relajarte: en este ejemplo te saldrás con la tuya con un ligero susto :)

Ejemplo 9

Resuelve la ecuación y comprueba.

Soluciones y respuestas al final de la lección.

El último párrafo del artículo está dedicado a

sistema de ecuaciones con números complejos

Relajémonos y... no nos tensemos =) Consideremos el caso más simple: un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:

Ejemplo 10

Resuelve el sistema de ecuaciones. Presente la respuesta en formas algebraicas y exponenciales, represente las raíces en el dibujo.

Solución: la condición en sí sugiere que el sistema tiene una solución única, es decir, necesitamos encontrar dos números que satisfagan a cada ecuación del sistema.

El sistema realmente se puede resolver de forma “infantil” (expresar una variable en términos de otra) , sin embargo es mucho más cómodo de usar fórmulas de cramer. calculemos determinante principal sistemas:

, lo que significa que el sistema tiene una solución única.

Repito que es mejor que te tomes tu tiempo y escribas los pasos con el mayor detalle posible:

Multiplicamos el numerador y el denominador por una unidad imaginaria y obtenemos la primera raíz:

Asimismo:

Se obtienen los lados derechos correspondientes, etc.

Hagamos el dibujo:

Representemos las raíces en forma exponencial. Para hacer esto, necesita encontrar sus módulos y argumentos:

1) – el arcotangente de “dos” está “mal calculado”, así que lo dejamos así:

AGENCIA FEDERAL DE EDUCACIÓN

INSTITUCIÓN EDUCATIVA DEL ESTADO

EDUCACIÓN PROFESIONAL SUPERIOR

"UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA DEL ESTADO DE VORONEZH"

DEPARTAMENTO DE AGLEBRA Y GEOMETRÍA

Números complejos

(tareas seleccionadas)

TRABAJO DE CALIFICACIÓN DE POSGRADO

especialidad 050201.65 matemáticas

(con especialidad adicional 050202.65 informática)

Realizado por: estudiante de 5to año

fisico y matematico

facultad

Consejero científico:

VORÓNEZ – 2008

1. Introducción……………………………………………………...…………..…

2. Números complejos (problemas seleccionados)

2.1. Números complejos en forma algebraica….……...………….….

2.2. Interpretación geométrica de números complejos…………..…

2.3. Forma trigonométrica de números complejos.

2.4. Aplicación de la teoría de números complejos a la solución de ecuaciones de 3º y 4º grado………………..………………………………………………………………

2.5. Números complejos y parámetros………………………………...…….

3. Conclusión……………………………………………………………………………….

4. Lista de referencias………………………….…………………………....

1. Introducción

En el plan de estudios de matemáticas de la escuela, la teoría de números se introduce utilizando ejemplos de conjuntos de números naturales, enteros, racionales, irracionales, es decir. en el conjunto de números reales, cuyas imágenes llenan toda la recta numérica. Pero ya en octavo grado no hay suficiente oferta de números reales para resolver ecuaciones cuadráticas con discriminante negativo. Por lo tanto, era necesario reponer el stock de números reales con la ayuda de números complejos, para los cuales tiene sentido la raíz cuadrada de un número negativo.

La elección del tema "Números complejos" como tema de mi trabajo final de calificación es que el concepto de número complejo amplía el conocimiento de los estudiantes sobre sistemas numéricos, sobre la resolución de una amplia clase de problemas de contenido tanto algebraico como geométrico, sobre la resolución de problemas algebraicos. ecuaciones de cualquier grado y sobre la resolución de problemas con parámetros.

Esta tesis examina la solución a 82 problemas.

La primera parte de la sección principal "Números complejos" proporciona soluciones a problemas con números complejos en forma algebraica, define las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, la operación de conjugación de números complejos en forma algebraica, la potencia de una unidad imaginaria , el módulo de un número complejo, y también establece la regla para extraer la raíz cuadrada de un número complejo.

En la segunda parte se resuelven problemas de interpretación geométrica de números complejos en forma de puntos o vectores del plano complejo.

La tercera parte examina operaciones con números complejos en forma trigonométrica. Las fórmulas utilizadas son: Moivre y extracción de la raíz de un número complejo.

La cuarta parte está dedicada a la resolución de ecuaciones de tercer y cuarto grado.

Al resolver los problemas de la última parte, “Números complejos y parámetros”, se utiliza y consolida la información proporcionada en las partes anteriores. Una serie de problemas en el capítulo están dedicados a determinar familias de rectas en el plano complejo definido por ecuaciones (desigualdades) con un parámetro. En parte de los ejercicios necesitas resolver ecuaciones con un parámetro (sobre el campo C). Hay tareas en las que una variable compleja satisface simultáneamente una serie de condiciones. Una característica especial de la resolución de problemas en esta sección es la reducción de muchos de ellos a la solución de ecuaciones (desigualdades, sistemas) de segundo grado, irracionales, trigonométricas con un parámetro.

Una característica de la presentación del material en cada parte es la introducción inicial de los fundamentos teóricos y, posteriormente, su aplicación práctica en la resolución de problemas.

Al final de la tesis hay una lista de referencias utilizadas. La mayoría de ellos presentan material teórico con suficiente detalle y de manera accesible, discuten soluciones a algunos problemas y plantean tareas prácticas para su solución independiente. Me gustaría prestar especial atención a fuentes como:

1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. Números complejos y sus aplicaciones: Libro de texto. . El material del libro de texto se presenta en forma de conferencias y ejercicios prácticos.

2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. Problemas y teoremas seleccionados de matemáticas elementales. Aritmética y álgebra. El libro contiene 320 problemas relacionados con álgebra, aritmética y teoría de números. Estas tareas difieren significativamente de las tareas escolares estándar.

2. Números complejos (problemas seleccionados)

2.1. Números complejos en forma algebraica.

La solución de muchos problemas de matemáticas y física se reduce a resolver ecuaciones algebraicas, es decir ecuaciones de la forma

donde a0, a1,…, an son números reales. Por tanto, el estudio de las ecuaciones algebraicas es una de las cuestiones más importantes de las matemáticas. Por ejemplo, una ecuación cuadrática con discriminante negativo no tiene raíces reales. La ecuación más simple es la ecuación

Para que esta ecuación tenga solución es necesario expandir el conjunto de números reales sumándole la raíz de la ecuación.

Denotemos esta raíz por

por eso,

La expresión resultante se llamó números complejos porque contenían partes reales e imaginarias.

Entonces, los números complejos son expresiones de la forma

Números complejos de la forma

Números complejos de la forma

La notación algebraica de números complejos permite realizar operaciones con ellos según las reglas habituales del álgebra.

Para resolver problemas con números complejos, es necesario comprender las definiciones básicas. El objetivo principal de este artículo de revisión es explicar qué son los números complejos y presentar métodos para resolver problemas básicos con números complejos. Entonces, un número complejo se llamará número de la forma z = a + bi, Dónde a, b- números reales, que se denominan partes real e imaginaria de un número complejo, respectivamente, y denotan a = Re(z), b=Im(z).
i llamada unidad imaginaria. yo 2 = -1. En particular, cualquier número real puede considerarse complejo: a = a + 0i, donde a es real. Si un = 0 Y segundo ≠ 0, entonces el número se suele llamar puramente imaginario.

Ahora introduzcamos operaciones con números complejos.
Considere dos números complejos z 1 = un 1 + segundo 1 yo Y z 2 = una 2 + segundo 2 yo.

Consideremos z = a + bi.

El conjunto de los números complejos extiende el conjunto de los números reales, que a su vez extiende el conjunto de los números racionales, etc. Esta cadena de inversiones se puede ver en la figura: N – números naturales, Z – enteros, Q – racional, R – real, C – complejo.

Representación de números complejos

Notación algebraica.

Considere un número complejo z = a + bi, esta forma de escribir un número complejo se llama algebraico. Ya hemos discutido esta forma de grabación en detalle en la sección anterior. El siguiente dibujo visual se utiliza con bastante frecuencia.

Forma trigonométrica.

De la figura se puede ver que el número z = a + bi se puede escribir de otra manera. Es obvio que a = r cos (φ), b = rsen(φ), r=|z|, por eso z = rcos(φ) + rsen(φ)i, φ ∈ (-π; π) se llama argumento de un número complejo. Esta representación de un número complejo se llama forma trigonométrica. La forma trigonométrica de notación a veces resulta muy conveniente. Por ejemplo, es conveniente utilizarlo para elevar un número complejo a una potencia entera, es decir, si z = rcos(φ) + rsen(φ)i, Eso z norte = r norte cos(nφ) + r norte pecado(nφ)i, esta fórmula se llama La fórmula de Moivre..

Forma demostrativa.

Consideremos z = rcos(φ) + rsen(φ)i- un número complejo en forma trigonométrica, escríbelo en otra forma z = r(cos(φ) + pecado(φ)i) = re iφ, la última igualdad se deriva de la fórmula de Euler, por lo que hemos obtenido una nueva forma de escribir un número complejo: z = reiφ, Lo que es llamado indicativo. Esta forma de notación también es muy conveniente para elevar un número complejo a una potencia: z norte = r norte mi enφ, Aquí norte no necesariamente un número entero, pero puede ser un número real arbitrario. Esta forma de notación se utiliza con bastante frecuencia para resolver problemas.

Teorema fundamental del álgebra superior

Imaginemos que tenemos una ecuación cuadrática x 2 + x + 1 = 0. Obviamente, el discriminante de esta ecuación es negativo y no tiene raíces reales, pero resulta que esta ecuación tiene dos raíces complejas diferentes. Entonces, el teorema fundamental del álgebra superior establece que cualquier polinomio de grado n tiene al menos una raíz compleja. De esto se deduce que cualquier polinomio de grado n tiene exactamente n raíces complejas, teniendo en cuenta su multiplicidad. Este teorema es un resultado muy importante en matemáticas y se utiliza ampliamente. Un corolario simple de este teorema es que hay exactamente n raíces diferentes de grado n de unidad.

Principales tipos de tareas.

Esta sección analizará los principales tipos de problemas simples que involucran números complejos. Convencionalmente, los problemas que involucran números complejos se pueden dividir en las siguientes categorías.

• Realizar operaciones aritméticas simples con números complejos.
• Encontrar las raíces de polinomios en números complejos.
• Elevación de números complejos a potencias.
• Extraer raíces de números complejos.
• Usar números complejos para resolver otros problemas.

Ahora veamos métodos generales para resolver estos problemas.

Las operaciones aritméticas más simples con números complejos se realizan de acuerdo con las reglas descritas en la primera sección, pero si los números complejos se presentan en forma trigonométrica o exponencial, entonces en este caso puede convertirlos a forma algebraica y realizar operaciones de acuerdo con reglas conocidas.

Encontrar las raíces de polinomios generalmente se reduce a encontrar las raíces de una ecuación cuadrática. Supongamos que tenemos una ecuación cuadrática, si su discriminante no es negativo, entonces sus raíces serán reales y se podrán encontrar según una fórmula bien conocida. Si el discriminante es negativo, es decir, re = -1∙a 2, Dónde a es un número determinado, entonces el discriminante se puede representar como D = (ia) 2, por eso √D = yo|a|, y luego puedes usar la fórmula ya conocida para las raíces de una ecuación cuadrática.

Ejemplo. Volvamos a la ecuación cuadrática mencionada anteriormente x 2 + x + 1 = 0.
discriminante - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
Ahora podemos encontrar fácilmente las raíces:

La elevación de números complejos a potencias se puede realizar de varias formas. Si necesita elevar un número complejo en forma algebraica a una potencia pequeña (2 o 3), puede hacerlo mediante multiplicación directa, pero si la potencia es mayor (en los problemas suele ser mucho mayor), entonces necesita Escribe este número en formas trigonométricas o exponenciales y utiliza métodos ya conocidos.

Ejemplo. Considere z = 1 + i y elévelo a la décima potencia.
Escribamos z en forma exponencial: z = √2 e iπ/4.
Entonces z 10 = (√2 mi iπ/4) 10 = 32 mi 10iπ/4.
Volvamos a la forma algebraica: z 10 = -32i.

Extraer raíces de números complejos es la operación inversa de la exponenciación y, por tanto, se realiza de forma similar. Para extraer raíces, se suele utilizar la forma exponencial de escribir un número.

Ejemplo. Encontremos todas las raíces de grado 3 de la unidad. Para ello encontraremos todas las raíces de la ecuación z 3 = 1, buscaremos las raíces en forma exponencial.
Sustituyamos en la ecuación: r 3 e 3iφ = 1 o r 3 e 3iφ = e 0 .
Por tanto: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, por lo tanto φ = 2πk/3.
Se obtienen raíces diferentes en φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Por lo tanto 1, e i2π/3, e i4π/3 son raíces.
O en forma algebraica:

El último tipo de problemas incluye una gran variedad de problemas y no existen métodos generales para resolverlos. Pongamos un ejemplo simple de tal tarea:

Encuentra la cantidad pecado(x) + pecado(2x) + pecado(2x) + … + pecado(nx).

Aunque la formulación de este problema no involucra números complejos, se puede resolver fácilmente con su ayuda. Para resolverlo se utilizan las siguientes representaciones:


Si ahora sustituimos esta representación en la suma, entonces el problema se reduce a sumar la progresión geométrica habitual.

Conclusión

Los números complejos se utilizan ampliamente en matemáticas; este artículo de revisión examinó las operaciones básicas con números complejos, describió varios tipos de problemas estándar y describió brevemente métodos generales para resolverlos, para un estudio más detallado de las capacidades de los números complejos, se recomienda; utilizar literatura especializada.

Literatura

El uso de ecuaciones está muy extendido en nuestra vida. Se utilizan en muchos cálculos, construcción de estructuras e incluso deportes. El hombre utilizó ecuaciones en la antigüedad y desde entonces su uso no ha hecho más que aumentar. Para mayor claridad, resolvamos el siguiente problema:

Calcula \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] si \

En primer lugar, prestemos atención al hecho de que un número se presenta en forma algebraica y el otro en forma trigonométrica. Debe simplificarse y llevarse al siguiente formulario.

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

La expresión \ dice que primero que nada hacemos multiplicación y elevamos a la décima potencia usando la fórmula de Moivre. Esta fórmula está formulada para la forma trigonométrica de un número complejo. Obtenemos:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

Siguiendo las reglas para multiplicar números complejos en forma trigonométrica, hacemos lo siguiente:

En nuestro caso:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]

Haciendo correcta la fracción \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\], llegamos a la conclusión de que podemos “girar” 4 vueltas \[(8\pi rad.): \]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

Respuesta: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

Esta ecuación se puede resolver de otra manera, que se reduce a llevar el segundo número a forma algebraica, luego realizar la multiplicación en forma algebraica, convertir el resultado a forma trigonométrica y aplicar la fórmula de Moivre:

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