Resuelve una ecuación lineal usando el método de Cramer. La regla de Cramer

Deje que el sistema de ecuaciones lineales contenga tantas ecuaciones como el número de variables independientes, es decir parece

Estos sistemas de ecuaciones lineales se denominan cuadráticos. El determinante, compuesto por coeficientes de las variables independientes del sistema (1.5), se denomina determinante principal del sistema. Lo denotaremos con la letra griega D. Así,

. (1.6)

Si el determinante principal contiene un arbitrario ( jª) columna, reemplácela con una columna de términos gratuitos del sistema (1.5), luego podrá obtener norte calificadores auxiliares:

(j = 1, 2, …, norte). (1.7)

La regla de Cramer resolver sistemas cuadráticos de ecuaciones lineales es el siguiente. Si el determinante principal D del sistema (1.5) es diferente de cero, entonces el sistema tiene una solución única, que se puede encontrar mediante las fórmulas:

(1.8)

Ejemplo 1.5. Resuelve el sistema de ecuaciones usando el método de Cramer.

Calculemos el determinante principal del sistema:

Desde D¹0, el sistema tiene una solución única, que se puede encontrar usando las fórmulas (1.8):

De este modo,

Acciones sobre matrices

1. Multiplicar una matriz por un número. La operación de multiplicar una matriz por un número se define de la siguiente manera.

2. Para multiplicar una matriz por un número, debes multiplicar todos sus elementos por este número. Eso es

. (1.9)

Ejemplo 1.6. .

Suma de matrices.

Esta operación se introduce sólo para matrices del mismo orden.

Para sumar dos matrices, es necesario sumar los elementos correspondientes de otra matriz a los elementos de una matriz:

(1.10)
La operación de suma de matrices tiene las propiedades de asociatividad y conmutatividad.

Ejemplo 1.7. .

Multiplicación de matrices.

Si el número de columnas de la matriz A coincide con el número de filas de la matriz EN, entonces para tales matrices se introduce la operación de multiplicación:

Así, al multiplicar una matriz A dimensiones metro´ norte a la matriz EN dimensiones norte´ k obtenemos una matriz CON dimensiones metro´ k. En este caso, los elementos de la matriz. CON se calculan utilizando las siguientes fórmulas:

Problema 1.8. Encuentre, si es posible, el producto de matrices. AB Y LICENCIADO EN LETRAS.:

Solución. 1) Para encontrar trabajo AB, necesitas filas de matriz A multiplicar por columnas de matriz B:

2) Trabajo LICENCIADO EN LETRAS. no existe, porque el número de columnas de la matriz B no coincide con el número de filas de la matriz A.

Matriz inversa. Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante el método matricial.

Matriz A- 1 se llama la inversa de una matriz cuadrada A, si se cumple la igualdad:

donde a través I denota la matriz identidad del mismo orden que la matriz A:

Para que una matriz cuadrada tenga inversa es necesario y suficiente que su determinante sea distinto de cero. La matriz inversa se encuentra mediante la fórmula:

, (1.13)

Dónde A ij- adiciones algebraicas a elementos un ij matrices A(tenga en cuenta que las adiciones algebraicas a las filas de la matriz A se ubican en la matriz inversa en forma de columnas correspondientes).

Ejemplo 1.9. Encuentra la matriz inversa A- 1 a matriz

Encontramos la matriz inversa usando la fórmula (1.13), que para el caso norte= 3 tiene la forma:

Encontremos a Det A = | A| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Dado que el determinante de la matriz original es distinto de cero, existe la matriz inversa.

1) Encuentra complementos algebraicos A ij:

Para facilitar la búsqueda de la matriz inversa, hemos colocado las adiciones algebraicas a las filas de la matriz original en las columnas correspondientes.

A partir de las sumas algebraicas obtenidas componemos una nueva matriz y la dividimos por el determinante det A. Así obtenemos la matriz inversa:

Los sistemas cuadráticos de ecuaciones lineales con un determinante principal distinto de cero se pueden resolver utilizando la matriz inversa. Para ello, el sistema (1.5) se escribe en forma matricial:

Dónde

Multiplicando ambos lados de la igualdad (1.14) desde la izquierda por A- 1, obtenemos la solución al sistema:

, dónde

Por lo tanto, para encontrar una solución a un sistema cuadrado, es necesario encontrar la matriz inversa de la matriz principal del sistema y multiplicarla a la derecha por la matriz de columnas de términos libres.

Problema 1.10. Resolver un sistema de ecuaciones lineales.

usando la matriz inversa.

Solución. Escribamos el sistema en forma matricial: ,

Dónde - la matriz principal del sistema, - la columna de incógnitas y - la columna de términos libres. Dado que el principal determinante del sistema , entonces la matriz principal del sistema A tiene una matriz inversa A-1. Para encontrar la matriz inversa A-1, calculamos los complementos algebraicos de todos los elementos de la matriz. A:

A partir de los números obtenidos haremos una matriz (y adiciones algebraicas a las filas de la matriz A escríbelo en las columnas correspondientes) y divídelo por el determinante D. Así, hemos encontrado la matriz inversa:

Encontramos la solución al sistema usando la fórmula (1.15):

De este modo,

Resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método de eliminación ordinario de Jordan.

Sea un sistema arbitrario (no necesariamente cuadrático) de ecuaciones lineales:

(1.16)

Se requiere encontrar una solución al sistema, es decir tal conjunto de variables que satisface todas las igualdades del sistema (1.16). En el caso general, el sistema (1.16) puede tener no sólo una solución, sino también innumerables soluciones. Es posible que tampoco tenga solución alguna.

Al resolver este tipo de problemas, se utiliza el conocido método de los cursos escolares para eliminar incógnitas, también llamado método de eliminación ordinario de Jordan. La esencia de este método es que en una de las ecuaciones del sistema (1.16) una de las variables se expresa en términos de otras variables. Luego, esta variable se sustituye en otras ecuaciones del sistema. El resultado es un sistema que contiene una ecuación y una variable menos que el sistema original. Se recuerda la ecuación a partir de la cual se expresó la variable.

Este proceso se repite hasta que quede una última ecuación en el sistema. Mediante el proceso de eliminación de incógnitas, algunas ecuaciones pueden convertirse en identidades verdaderas, p. Estas ecuaciones están excluidas del sistema, ya que se satisfacen para cualquier valor de las variables y, por tanto, no afectan la solución del sistema. Si, en el proceso de eliminación de incógnitas, al menos una ecuación se convierte en una igualdad que no puede satisfacerse para ningún valor de las variables (por ejemplo), entonces concluimos que el sistema no tiene solución.

Si no surgen ecuaciones contradictorias durante la solución, entonces una de las variables restantes se encuentra a partir de la última ecuación. Si solo queda una variable en la última ecuación, entonces se expresa como un número. Si quedan otras variables en la última ecuación, entonces se consideran parámetros, y la variable expresada a través de ellos será función de estos parámetros. Entonces se produce el llamado “movimiento inverso”. La variable encontrada se sustituye en la última ecuación recordada y se encuentra la segunda variable. Luego las dos variables encontradas se sustituyen en la penúltima ecuación memorizada y se encuentra la tercera variable, y así sucesivamente, hasta la primera ecuación memorizada.

Como resultado, obtenemos una solución al sistema. Esta solución será única si las variables encontradas son números. Si la primera variable encontrada, y luego todas las demás, dependen de los parámetros, entonces el sistema tendrá un número infinito de soluciones (cada conjunto de parámetros corresponde a una nueva solución). Las fórmulas que permiten encontrar una solución a un sistema en función de un conjunto particular de parámetros se denominan solución general del sistema.

Ejemplo 1.11.

incógnita

Después de memorizar la primera ecuación y trayendo términos similares en la segunda y tercera ecuaciones llegamos al sistema:

vamos a expresar y de la segunda ecuación y sustitúyalo en la primera ecuación:

Recordemos la segunda ecuación, y de la primera encontramos z:

Trabajando hacia atrás, encontramos consistentemente y Y z. Para hacer esto, primero sustituimos en la última ecuación recordada, de donde encontramos y:

Luego lo sustituiremos en la primera ecuación memorizada. donde podemos encontrarlo incógnita:

Problema 1.12. Resuelve un sistema de ecuaciones lineales eliminando incógnitas:

. (1.17)

Solución. Expresemos la variable de la primera ecuación. incógnita y sustitúyalo en la segunda y tercera ecuaciones:

Recordemos la primera ecuación.

En este sistema, la primera y la segunda ecuaciones se contradicen entre sí. De hecho, expresando y , obtenemos que 14 = 17. Esta igualdad no se cumple para ningún valor de las variables incógnita, y, Y z. En consecuencia, el sistema (1.17) es inconsistente, es decir no tiene solución.

Invitamos a los lectores a comprobar por sí mismos que el determinante principal del sistema original (1.17) es igual a cero.

Consideremos un sistema que difiere del sistema (1.17) solo en un término libre.

Problema 1.13. Resuelve un sistema de ecuaciones lineales eliminando incógnitas:

. (1.18)

Solución. Como antes, expresamos la variable de la primera ecuación. incógnita y sustitúyalo en la segunda y tercera ecuaciones:

Recordemos la primera ecuación. y presentar términos similares en la segunda y tercera ecuaciones. Llegamos al sistema:

expresando y de la primera ecuación y sustituyéndola en la segunda ecuación , obtenemos la identidad 14 = 14, lo que no afecta la solución del sistema y, por tanto, puede excluirse del sistema.

En la última igualdad recordada, la variable z lo consideraremos un parámetro. Creemos. Entonces

sustituyamos y Y z en la primera igualdad recordada y encontrar incógnita:

Por tanto, el sistema (1.18) tiene un número infinito de soluciones, y cualquier solución se puede encontrar utilizando las fórmulas (1.19), eligiendo un valor arbitrario del parámetro. t:

(1.19)
Entonces, las soluciones del sistema, por ejemplo, son los siguientes conjuntos de variables (1; 2; 0), (2; 26; 14), etc. Las fórmulas (1.19) expresan la solución general (cualquiera) del sistema (1.18 ).

En el caso de que el sistema original (1.16) tenga un número suficientemente grande de ecuaciones e incógnitas, el método indicado de eliminación ordinaria de Jordan parece engorroso. Sin embargo, esto no es cierto. Basta derivar el algoritmo para recalcular los coeficientes del sistema en un paso en forma general y formalizar la solución al problema en forma de tablas de Jordan especiales.

Sea un sistema de formas lineales (ecuaciones):

, (1.20)
Dónde xj- variables independientes (buscadas), un ij- coeficientes constantes
(yo = 1, 2,…, metro; j = 1, 2,…, norte). Partes correctas del sistema. y yo (yo = 1, 2,…, metro) pueden ser variables (dependientes) o constantes. Es necesario encontrar soluciones a este sistema eliminando las incógnitas.

Consideremos la siguiente operación, denominada en adelante “un paso de las eliminaciones ordinarias de Jordania”. De arbitrario ( r th) igualdad expresamos una variable arbitraria ( xs) y sustituir en todas las demás igualdades. Por supuesto, esto sólo es posible si una rs¹ 0. Coeficiente una rs llamado elemento resolutivo (a veces guía o principal).

Obtendremos el siguiente sistema:

. (1.21)

De s- igualdad del sistema (1.21), posteriormente encontramos la variable xs(después de que se hayan encontrado las variables restantes). S La -ésima línea se recuerda y posteriormente se excluye del sistema. El sistema restante contendrá una ecuación y una variable independiente menos que el sistema original.

Calculemos los coeficientes del sistema resultante (1.21) a través de los coeficientes del sistema original (1.20). Empecemos con r aésima ecuación, que luego de expresar la variable xs a través de las variables restantes se verá así:

Así, los nuevos coeficientes r Las ecuaciones se calculan utilizando las siguientes fórmulas:

(1.23)
Calculemos ahora los nuevos coeficientes. b ij(i¹ r) de una ecuación arbitraria. Para ello sustituimos la variable expresada en (1.22) xs V i aésima ecuación del sistema (1.20):

Después de traer términos similares, obtenemos:

(1.24)
De la igualdad (1.24) obtenemos fórmulas mediante las cuales se calculan los coeficientes restantes del sistema (1.21) (con la excepción résima ecuación):

(1.25)
La transformación de sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de eliminación de Jordan ordinaria se presenta en forma de tablas (matrices). Estas tablas se denominan “mesas Jordan”.

Así, el problema (1.20) está asociado con la siguiente tabla de Jordan:

Tabla 1.1

	incógnita 1	incógnita 2	…	xj	…	xs	…	xn
y 1 =	a 11	a 12		a 1j		a 1s		a 1norte
…………………………………………………………………..
y yo=	un yo 1	un yo 2		un ij		un es		una en
…………………………………………………………………..
año=	una r 1	una r 2		un rj		una rs		arn
………………………………………………………………….
y norte=	soy 1	soy 2		un mj		una señora		un minuto

La tabla Jordan 1.1 contiene una columna de encabezado izquierda en la que se escriben las partes derechas del sistema (1.20) y una fila de encabezado superior en la que se escriben las variables independientes.

Los elementos restantes de la tabla forman la matriz principal de coeficientes del sistema (1.20). Si multiplicas la matriz A a la matriz que consta de los elementos de la fila de título superior, se obtiene una matriz que consta de los elementos de la columna de título izquierda. Es decir, esencialmente, la tabla de Jordan es una forma matricial de escribir un sistema de ecuaciones lineales: . El sistema (1.21) corresponde a la siguiente tabla de Jordan:

Tabla 1.2

	incógnita 1	incógnita 2	…	xj	…	año	…	xn
y 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 norte
…………………………………………………………………..
y yo =	b yo 1	b yo 2		b ij		b es		papelera
…………………………………………………………………..
x s =	b r 1	b r 2		b rj		b rs		brn
………………………………………………………………….
y norte =	b m 1	b m 2		b mj		bms		bmn

elemento permisivo una rs Los resaltaremos en negrita. Recordemos que para implementar un paso de la eliminación de Jordania, el elemento de resolución debe ser distinto de cero. La fila de la tabla que contiene el elemento habilitante se denomina fila habilitante. La columna que contiene el elemento de habilitación se denomina columna de habilitación. Al pasar de una tabla determinada a la siguiente, una variable ( xs) de la fila superior del encabezado de la tabla se mueve a la columna del encabezado izquierdo y, a la inversa, uno de los miembros libres del sistema ( año) pasa de la columna principal izquierda de la tabla a la fila principal superior.

Describamos el algoritmo para recalcular los coeficientes al pasar de la tabla de Jordan (1.1) a la tabla (1.2), que se deriva de las fórmulas (1.23) y (1.25).

1. El elemento resolutivo se sustituye por el número inverso:

2. Los elementos restantes de la cadena de resolución se dividen en el elemento de resolución y se cambia el signo al contrario:

3. Los restantes elementos de la columna de resolución se dividen en el elemento de resolución:

4. Los elementos que no están incluidos en la fila de permisos y en la columna de permisos se recalculan utilizando las fórmulas:

La última fórmula es fácil de recordar si notas que los elementos que componen la fracción , están en la intersección i-ah y résimas líneas y j th y sésima columnas (fila de resolución, columna de resolución y la fila y columna en cuya intersección se encuentra el elemento recalculado). Más precisamente, al memorizar la fórmula. Puedes utilizar el siguiente diagrama:

-21 -26 -13 -37

Al realizar el primer paso de excepciones de Jordania, se puede seleccionar cualquier elemento de la Tabla 1.3 ubicado en las columnas como elemento resolutivo. incógnita 1 ,…, incógnita 5 (todos los elementos especificados no son cero). Simplemente no seleccione el elemento habilitante en la última columna, porque necesitas encontrar variables independientes incógnita 1 ,…, incógnita 5. Por ejemplo, elegimos el coeficiente 1 con variable incógnita 3 en la tercera línea del Cuadro 1.3 (el elemento habilitante se muestra en negrita). Al pasar al cuadro 1.4, la variable incógnita El 3 de la fila superior del encabezado se intercambia con el 0 constante de la columna del encabezado izquierdo (tercera fila). En este caso, la variable incógnita 3 se expresa a través del resto de variables.

Cadena incógnita 3 (Tabla 1.4) puede, después de recordarlo de antemano, excluirse de la Tabla 1.4. La tercera columna con un cero en la línea superior del título también está excluida del Cuadro 1.4. El punto es que independientemente de los coeficientes de una columna determinada b yo 3 todos los términos correspondientes de cada ecuación 0 b yo 3 sistemas serán iguales a cero. Por lo tanto, no es necesario calcular estos coeficientes. Eliminando una variable incógnita 3 y recordando una de las ecuaciones, llegamos a un sistema correspondiente a la Tabla 1.4 (con la línea tachada incógnita 3). Seleccionar en la tabla 1.4 como elemento resolutivo b 14 = -5, vaya a la tabla 1.5. En la Tabla 1.5, recuerde la primera fila y exclúyala de la tabla junto con la cuarta columna (con un cero en la parte superior).

Cuadro 1.5 Cuadro 1.6

De la última tabla 1.7 encontramos: incógnita 1 = - 3 + 2incógnita 5 .

Sustituyendo constantemente las variables ya encontradas en las líneas recordadas, encontramos las variables restantes:

Por tanto, el sistema tiene infinitas soluciones. Variable incógnita 5, se pueden asignar valores arbitrarios. Esta variable actúa como parámetro. incógnita 5 = t. Probamos la compatibilidad del sistema y encontramos su solución general:

incógnita 1 = - 3 + 2t

incógnita 2 = - 1 - 3t

incógnita 3 = - 2 + 4t . (1.27)
incógnita 4 = 4 + 5t

incógnita 5 = t

Dando parámetro t valores diferentes, obtendremos una infinidad de soluciones al sistema original. Entonces, por ejemplo, la solución del sistema es el siguiente conjunto de variables (- 3; - 1; - 2; 4; 0).

Para dominar este párrafo, debes poder revelar los determinantes “dos por dos” y “tres por tres”. Si eres malo con los clasificatorios, estudia la lección. ¿Cómo calcular el determinante?

Primero, veremos más de cerca la regla de Cramer para un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. ¿Para qué? – Después de todo, el sistema más simple se puede resolver utilizando el método escolar, ¡el método de suma término por término!

El hecho es que, aunque a veces, surge tal tarea: resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas utilizando las fórmulas de Cramer. En segundo lugar, un ejemplo más sencillo le ayudará a comprender cómo utilizar la regla de Cramer para un caso más complejo: un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Además, existen sistemas de ecuaciones lineales con dos variables, ¡que es recomendable resolver utilizando la regla de Cramer!

Considere el sistema de ecuaciones.

En el primer paso, calculamos el determinante, se llama principal determinante del sistema.

Método de Gauss.

Si , entonces el sistema tiene solución única, y para encontrar las raíces debemos calcular dos determinantes más:
Y

En la práctica, los calificativos anteriores también pueden indicarse con una letra latina.

Encontramos las raíces de la ecuación usando las fórmulas:
,

Ejemplo 7

Resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Solución: Vemos que los coeficientes de la ecuación son bastante grandes; en el lado derecho hay fracciones decimales con coma. La coma es un invitado bastante raro en las tareas prácticas de matemáticas; tomé este sistema de un problema econométrico.

¿Cómo resolver tal sistema? Puede intentar expresar una variable en términos de otra, pero en este caso probablemente terminará con fracciones terriblemente extravagantes con las que es extremadamente incómodo trabajar, y el diseño de la solución se verá simplemente terrible. Puedes multiplicar la segunda ecuación por 6 y restar término por término, pero aquí también surgirán las mismas fracciones.

¿Qué hacer? En tales casos, las fórmulas de Cramer acuden al rescate.

;

Respuesta: ,

Ambas raíces tienen colas infinitas y se encuentran aproximadamente, lo cual es bastante aceptable (e incluso común) para problemas econométricos.

No son necesarios comentarios aquí, ya que el problema se resuelve utilizando fórmulas ya preparadas, pero hay una advertencia. Al utilizar este método, obligatorio Un fragmento del diseño de la tarea es el siguiente fragmento: “Esto significa que el sistema tiene una solución única”. De lo contrario, el revisor puede castigarlo por faltarle el respeto al teorema de Cramer.

No sería superfluo comprobar lo que se puede hacer cómodamente en una calculadora: sustituimos valores aproximados en el lado izquierdo de cada ecuación del sistema. Como resultado, con un pequeño error, debería obtener números que estén en el lado derecho.

Ejemplo 8

Presenta la respuesta en fracciones impropias ordinarias. Haz un control.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta (un ejemplo del diseño final y la respuesta al final de la lección).

Pasemos a considerar la regla de Cramer para un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

Encontramos el principal determinante del sistema:

Si , entonces el sistema tiene infinitas soluciones o es inconsistente (no tiene soluciones). En este caso, la regla de Cramer no ayudará; es necesario utilizar el método de Gauss.

Si , entonces el sistema tiene solución única y para encontrar las raíces debemos calcular tres determinantes más:
, ,

Y finalmente, la respuesta se calcula mediante las fórmulas:

Como puede ver, el caso "tres por tres" no es fundamentalmente diferente del caso "dos por dos" la columna de términos libres "camina" secuencialmente de izquierda a derecha a lo largo de las columnas del determinante principal;

Ejemplo 9

Resuelva el sistema usando las fórmulas de Cramer.

Solución: Resolvamos el sistema usando las fórmulas de Cramer.

, lo que significa que el sistema tiene una solución única.

Respuesta: .

En realidad, tampoco aquí hay nada especial que comentar, debido a que la solución sigue fórmulas ya preparadas. Pero hay un par de comentarios.

Sucede que como resultado de los cálculos se obtienen fracciones irreducibles “malas”, por ejemplo: .
Recomiendo el siguiente algoritmo de "tratamiento". Si no tienes una computadora a mano, haz esto:

1) Puede haber un error en los cálculos. Tan pronto como encuentre una fracción "mala", deberá verificarla inmediatamente ¿Se reescribe la condición correctamente?. Si la condición se reescribe sin errores, entonces es necesario recalcular los determinantes mediante la expansión en otra fila (columna).

2) Si no se identifican errores como resultado de la verificación, lo más probable es que haya un error tipográfico en las condiciones de la tarea. En este caso, trabaje con calma y CUIDADO en la tarea hasta el final, y luego asegúrese de comprobar y lo redactamos en blanco después de la decisión. Por supuesto, verificar una respuesta fraccionaria es una tarea desagradable, pero será un argumento convincente para el maestro, a quien realmente le gusta dar un menos por cualquier tontería como . Cómo manejar fracciones se describe en detalle en la respuesta al Ejemplo 8.

Si tiene una computadora a mano, use un programa automatizado para verificar, que puede descargar de forma gratuita al comienzo de la lección. Por cierto, lo más rentable es utilizar el programa de inmediato (incluso antes de iniciar la solución, verá inmediatamente el paso intermedio en el que cometió un error); La misma calculadora calcula automáticamente la solución del sistema mediante el método matricial.

Segunda observación. De vez en cuando hay sistemas en cuyas ecuaciones faltan algunas variables, por ejemplo:

Aquí en la primera ecuación no hay variable, en la segunda no hay variable. En tales casos, es muy importante anotar correcta y CUIDADOSAMENTE el determinante principal:
– Se colocan ceros en lugar de las variables que faltan.
Por cierto, es racional abrir determinantes con ceros según la fila (columna) en la que se encuentra el cero, ya que hay notablemente menos cálculos.

Ejemplo 10

Resuelva el sistema usando las fórmulas de Cramer.

Este es un ejemplo de una solución independiente (una muestra del diseño final y la respuesta al final de la lección).

Para el caso de un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas, las fórmulas de Cramer se escriben según principios similares. Puedes ver un ejemplo en vivo en la lección Propiedades de los determinantes. Reducir el orden del determinante: cinco determinantes de cuarto orden son bastante solucionables. Aunque la tarea ya recuerda mucho al zapato de un profesor en el pecho de un estudiante afortunado.

Resolver el sistema usando una matriz inversa.

El método de la matriz inversa es esencialmente un caso especial. ecuación matricial(Ver Ejemplo No. 3 de la lección especificada).

Para estudiar esta sección, debes poder expandir determinantes, encontrar la inversa de una matriz y realizar multiplicaciones de matrices. Se proporcionarán enlaces relevantes a medida que avancen las explicaciones.

Ejemplo 11

Resolver el sistema usando el método matricial.

Solución: Escribamos el sistema en forma matricial:
, Dónde

Mire el sistema de ecuaciones y matrices. Creo que todo el mundo comprende el principio mediante el cual escribimos elementos en matrices. El único comentario: si faltaran algunas variables en las ecuaciones, entonces habría que colocar ceros en los lugares correspondientes de la matriz.

Encontramos la matriz inversa usando la fórmula:
, donde es la matriz transpuesta de complementos algebraicos de los elementos correspondientes de la matriz.

Primero, veamos el determinante:

Aquí el determinante se expande en la primera línea.

¡Atención! Si , entonces la matriz inversa no existe y es imposible resolver el sistema utilizando el método matricial. En este caso, el sistema se resuelve mediante el método de eliminación de incógnitas (método de Gauss).

Ahora necesitamos calcular 9 menores y escribirlos en la matriz de menores.

Referencia: Es útil conocer el significado de los subíndices dobles en álgebra lineal. El primer dígito es el número de la línea en la que se encuentra el elemento. El segundo dígito es el número de la columna en la que se encuentra el elemento:

Es decir, un subíndice doble indica que el elemento está en la primera fila, tercera columna y, por ejemplo, el elemento está en 3 filas, 2 columnas.

Durante la solución, es mejor describir en detalle el cálculo de los menores, aunque, con algo de experiencia, puedes acostumbrarte a calcularlos con errores de forma oral.

El método de Cramer o la llamada regla de Cramer es un método para buscar cantidades desconocidas a partir de sistemas de ecuaciones. Se puede utilizar sólo si el número de valores buscados es equivalente al número de ecuaciones algebraicas del sistema, es decir, la matriz principal formada a partir del sistema debe ser cuadrada y no contener filas cero, y también si su determinante debe no ser cero.

Teorema 1

teorema de cramer Si el determinante principal $D$ de la matriz principal, elaborado sobre la base de los coeficientes de las ecuaciones, no es igual a cero, entonces el sistema de ecuaciones es consistente y tiene una solución única. La solución de dicho sistema se calcula mediante las llamadas fórmulas de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales: $x_i = \frac(D_i)(D)$

¿Qué es el método Cramer?

La esencia del método de Cramer es la siguiente:

Para encontrar una solución al sistema usando el método de Cramer, primero calculamos el determinante principal de la matriz $D$. Cuando el determinante calculado de la matriz principal, calculado según el método de Cramer, resulta igual a cero, entonces el sistema no tiene una única solución o tiene un número infinito de soluciones. En este caso, para encontrar una respuesta general o básica para el sistema, se recomienda utilizar el método gaussiano.
Luego debes reemplazar la columna más externa de la matriz principal con una columna de términos libres y calcular el determinante $D_1$.
Repita lo mismo para todas las columnas, obteniendo determinantes de $D_1$ a $D_n$, donde $n$ es el número de la columna más a la derecha.
Después de encontrar todos los determinantes $D_1$...$D_n$, las variables desconocidas se pueden calcular usando la fórmula $x_i = \frac(D_i)(D)$.

Técnicas para calcular el determinante de una matriz.

Para calcular el determinante de una matriz con una dimensión mayor que 2 por 2, puedes utilizar varios métodos:

La regla de los triángulos, o regla de Sarrus, recuerda a la misma regla. La esencia del método del triángulo es que al calcular el determinante, los productos de todos los números conectados en la figura por la línea roja de la derecha se escriben con un signo más, y todos los números conectados de manera similar en la figura de la izquierda. se escriben con un signo menos. Ambas reglas son adecuadas para matrices de tamaño 3 x 3. En el caso de la regla de Sarrus, primero se reescribe la propia matriz y, junto a ella, se reescriben de nuevo la primera y la segunda columna. Las diagonales se dibujan a través de la matriz y estas columnas adicionales de la matriz que se encuentran en la diagonal principal o paralelas a ella se escriben con un signo más, y los elementos que se encuentran en la diagonal secundaria o paralelas a ella se escriben con un signo menos.

Figura 1. Regla del triángulo para calcular el determinante del método de Cramer

Utilizando un método conocido como método gaussiano, este método a veces también se denomina reducción del orden del determinante. En este caso, la matriz se transforma y se reduce a forma triangular, y luego se multiplican todos los números de la diagonal principal. Cabe recordar que al buscar un determinante de esta forma, no se pueden multiplicar ni dividir filas o columnas por números sin sacarlos como multiplicador o divisor. En el caso de buscar un determinante, sólo es posible restar y sumar filas y columnas entre sí, habiendo multiplicado previamente la fila restada por un factor distinto de cero. Además, siempre que reorganices las filas o columnas de la matriz, debes recordar la necesidad de cambiar el signo final de la matriz.
Al resolver un SLAE con 4 incógnitas usando el método de Cramer, sería mejor usar el método de Gauss para buscar y encontrar determinantes o determinar el determinante buscando menores.

Resolver sistemas de ecuaciones usando el método de Cramer.

Apliquemos el método de Cramer para un sistema de 2 ecuaciones y dos cantidades requeridas:

$\begin(casos) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end(casos)$

Mostrémoslo en forma ampliada para mayor comodidad:

$A = \begin(array)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(array)$

Encontremos el determinante de la matriz principal, también llamado determinante principal del sistema:

$D = \begin(array)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(array) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Si el determinante principal no es igual a cero, entonces para resolver el problema usando el método de Cramer es necesario calcular un par de determinantes más a partir de dos matrices con las columnas de la matriz principal reemplazadas por una fila de términos libres:

$D_1 = \begin(array)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(array) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin(array)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(array) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Ahora encontremos las incógnitas $x_1$ y $x_2$:

$x_1 = \frac (D_1)(D)$

$x_2 = \frac (D_2)(D)$

Ejemplo 1

Método de Cramer para la resolución de SLAE con una matriz principal de 3er orden (3 x 3) y tres requeridas.

Resuelve el sistema de ecuaciones:

$\begin(casos) 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 - x_3 = 10 \\ \end(casos)$

Calculemos el determinante principal de la matriz usando la regla indicada anteriormente en el punto número 1:

$D = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = - 64$

Y ahora otros tres determinantes:

$D_1 = \begin(array)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(array) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ punto 21 = - 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = - $296

$D_2 = \begin(array)(|ccc|) 3 y 21 y 4 \\3 y 9 y 2 \\ 2 y 10 y 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = $108

$D_3 = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = - $60

Encontremos las cantidades requeridas:

$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$

$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$

$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$

Métodos Kramer Y Gauss- uno de los métodos de solución más populares SLAU. Además, en algunos casos es recomendable utilizar métodos específicos. La sesión está cerca y ahora es el momento de repetirlas o dominarlas desde cero. Hoy veremos la solución utilizando el método de Cramer. Después de todo, resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de Cramer es una habilidad muy útil.

Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales.

Un sistema de ecuaciones algebraicas lineales es un sistema de ecuaciones de la forma:

conjunto de valores incógnita , en el que las ecuaciones del sistema se convierten en identidades, se llama solución del sistema, a Y b son coeficientes reales. Un sistema simple que consta de dos ecuaciones con dos incógnitas se puede resolver mentalmente o expresando una variable en términos de la otra. Pero puede haber mucho más de dos variables (x) en un SLAE, y aquí las simples manipulaciones escolares no son suficientes. ¿Qué hacer? Por ejemplo, resuelva SLAE utilizando el método de Cramer.

Entonces, dejemos que el sistema consista en norte ecuaciones con norte desconocido.

Un sistema de este tipo se puede reescribir en forma matricial.

Aquí A – la matriz principal del sistema, incógnita Y B , respectivamente, matrices de columnas de variables desconocidas y términos libres.

Resolver SLAE utilizando el método de Cramer

Si el determinante de la matriz principal no es igual a cero (la matriz no es singular), el sistema se puede resolver mediante el método de Cramer.

Según el método de Cramer, la solución se encuentra mediante las fórmulas:

Aquí delta es el determinante de la matriz principal, y deltax n-ésima – determinante obtenido del determinante de la matriz principal reemplazando la enésima columna con una columna de términos libres.

Ésta es la esencia del método Cramer. Sustituyendo los valores encontrados usando las fórmulas anteriores incógnita en el sistema deseado, estamos convencidos de la corrección (o viceversa) de nuestra solución. Para ayudarlo a comprender rápidamente la esencia, le brindamos a continuación un ejemplo de una solución detallada de SLAE utilizando el método de Cramer:

Aunque no lo consigas la primera vez, ¡no te desanimes! Con un poco de práctica, empezarás a descifrar SLAU como si fueran nueces. Además, ahora no es absolutamente necesario estudiar minuciosamente un cuaderno, resolver cálculos engorrosos y escribir los núcleos. Puede resolver fácilmente SLAE utilizando el método de Cramer en línea, simplemente sustituyendo los coeficientes en la forma final. Puede probar una calculadora de soluciones en línea utilizando el método de Cramer, por ejemplo, en este sitio web.

Y si el sistema resulta terco y no se rinde, siempre puede pedir ayuda a nuestros autores, por ejemplo, a. Si hay al menos 100 incógnitas en el sistema, ¡definitivamente las resolveremos correctamente y a tiempo!

En la primera parte, analizamos algo de material teórico, el método de sustitución, así como el método de suma término por término de ecuaciones del sistema. Recomiendo a todos los que accedieron al sitio a través de esta página que lean la primera parte. Quizás algunos visitantes encuentren el material demasiado simple, pero en el proceso de resolución de sistemas de ecuaciones lineales, hice una serie de comentarios y conclusiones muy importantes sobre la solución de problemas matemáticos en general.

Ahora analizaremos la regla de Cramer, además de resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando una matriz inversa (método matricial). Todos los materiales se presentan de forma sencilla, detallada y clara; casi todos los lectores podrán aprender a resolver sistemas utilizando los métodos anteriores.

Además, existen sistemas de ecuaciones lineales con dos variables, ¡que es recomendable resolver utilizando la regla de Cramer!

Considere el sistema de ecuaciones.

En el primer paso, calculamos el determinante, se llama principal determinante del sistema.

Método de Gauss.

Si , entonces el sistema tiene solución única, y para encontrar las raíces debemos calcular dos determinantes más:
Y

En la práctica, los calificativos anteriores también pueden indicarse con una letra latina.

Encontramos las raíces de la ecuación usando las fórmulas:
,

Ejemplo 7

Resolver un sistema de ecuaciones lineales.

¿Qué hacer? En tales casos, las fórmulas de Cramer acuden al rescate.

;

Respuesta: ,

Ambas raíces tienen colas infinitas y se encuentran aproximadamente, lo cual es bastante aceptable (e incluso común) para problemas econométricos.

Ejemplo 8

Presenta la respuesta en fracciones impropias ordinarias. Haz un control.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta (un ejemplo del diseño final y la respuesta al final de la lección).

Pasemos a considerar la regla de Cramer para un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

Encontramos el principal determinante del sistema:

Si , entonces el sistema tiene infinitas soluciones o es inconsistente (no tiene soluciones). En este caso, la regla de Cramer no ayudará; es necesario utilizar el método de Gauss.

Si , entonces el sistema tiene solución única y para encontrar las raíces debemos calcular tres determinantes más:
, ,

Y finalmente, la respuesta se calcula mediante las fórmulas:

Ejemplo 9

Resuelva el sistema usando las fórmulas de Cramer.

Solución: Resolvamos el sistema usando las fórmulas de Cramer.

, lo que significa que el sistema tiene una solución única.

Respuesta: .

En realidad, tampoco aquí hay nada especial que comentar, debido a que la solución sigue fórmulas ya preparadas. Pero hay un par de comentarios.

Ejemplo 10

Resuelva el sistema usando las fórmulas de Cramer.

Este es un ejemplo de una solución independiente (una muestra del diseño final y la respuesta al final de la lección).

Resolver el sistema usando una matriz inversa.

El método de la matriz inversa es esencialmente un caso especial. ecuación matricial(Ver Ejemplo No. 3 de la lección especificada).

Ejemplo 11

Resolver el sistema usando el método matricial.

Solución: Escribamos el sistema en forma matricial:
, Dónde

Encontramos la matriz inversa usando la fórmula:
, donde es la matriz transpuesta de complementos algebraicos de los elementos correspondientes de la matriz.

Primero, veamos el determinante:

Aquí el determinante se expande en la primera línea.

Ahora necesitamos calcular 9 menores y escribirlos en la matriz de menores.