Formule las propiedades básicas de las integrales. Las propiedades más simples de las integrales.

Las fórmulas básicas de integración se obtienen invirtiendo las fórmulas de derivadas, por lo que antes de comenzar a estudiar el tema en consideración conviene repetir las fórmulas para derivar 1 función básica (es decir, recordar la tabla de derivadas).

Al familiarizarse con el concepto de antiderivada, la definición de integral indefinida y comparar las operaciones de diferenciación e integración, los estudiantes deben prestar atención al hecho de que la operación de integración es multivaluada, porque da un conjunto infinito de primitivas en el intervalo considerado. Sin embargo, de hecho, el problema de encontrar una sola antiderivada está resuelto, porque todas las primitivas de una función dada difieren entre sí en un valor constante

Dónde C– valor arbitrario 2.

Preguntas de autoevaluación.

Dé la definición de función antiderivada.

¿Qué es una integral indefinida?

¿Qué es una función integrando?

¿Qué es un integrando?

Indique el significado geométrico de la familia de funciones antiderivadas.

6. En la familia, encuentra la curva que pasa por el punto.

2. Propiedades de la integral indefinida.

TABLA DE INTEGRALES SIMPLES

Aquí se requiere que los estudiantes aprendan las siguientes propiedades de la integral indefinida.

Propiedad 1. La derivada de la integral indefinida es igual al integrando de la tercera función (por definición)

Propiedad 2. El diferencial de la integral es igual al integrando.

aquellos. si el signo diferencial va antes del signo integral, entonces se cancelan entre sí.

Propiedad 3. Si el signo integral va antes del signo diferencial, entonces se cancelan entre sí y se suma un valor constante arbitrario a la función.

Propiedad 4. La diferencia entre dos primitivas de la misma función es un valor constante.

Propiedad 5. El factor constante se puede sacar del signo integral.

Dónde A– número constante.

Por cierto, esta propiedad se prueba fácilmente diferenciando ambos lados de la igualdad (2.4) teniendo en cuenta la propiedad 2.

Propiedad 6. La integral de la suma (diferencia) de una función es igual a la suma (diferencia) de las integrales de estas funciones (si existen por separado)

Esta propiedad también se demuestra fácilmente mediante diferenciación.

Generalización natural de la propiedad 6.

. (2.6)

Considerando la integración como la acción inversa de la diferenciación, directamente de la tabla de derivadas más simples se puede obtener la siguiente tabla de integrales más simples.

Tabla de las integrales indefinidas más simples.

1. , donde, (2.7)

2. , donde, (2.8)

4. , donde,, (2.10)

9. , (2.15)

10. . (2.16)

Las fórmulas (2.7) – (2.16) de las integrales indefinidas más simples deben aprenderse de memoria. Su conocimiento es necesario, pero no suficiente para aprender a integrarse. Las habilidades sostenidas en integración sólo se logran resolviendo un número suficientemente grande de problemas (generalmente entre 150 y 200 ejemplos de varios tipos).

A continuación se muestran ejemplos de simplificación de integrales convirtiéndolas a la suma de las integrales conocidas (2.7) – (2.16) de la tabla anterior.

Ejemplo 1.

.

Deja que la función y = F(X) se define en el intervalo [ a, b ], a < b. Realicemos las siguientes operaciones:

1) dividamos [ a, b] puntos a = X 0 < X 1 < ... < X i- 1 < X i < ... < X norte = b en norte segmentos parciales [ X 0 , X 1 ], [X 1 , X 2 ], ..., [X i- 1 , X i ], ..., [X norte- 1 , X norte ];

2) en cada uno de los segmentos parciales [ X i- 1 , X i ], i = 1, 2, ... norte, elige un punto arbitrario y calcula el valor de la función en este punto: F(z yo ) ;

3) encontrar las obras F(z yo ) · Δ X i , donde es la longitud del segmento parcial [ X i- 1 , X i ], i = 1, 2, ... norte;

4) vamos a hacer las paces suma integral funciones y = F(X) en el segmento [ a, b ]:

Desde un punto de vista geométrico, esta suma σ es la suma de las áreas de rectángulos cuyas bases son segmentos parciales [ X 0 , X 1 ], [X 1 , X 2 ], ..., [X i- 1 , X i ], ..., [X norte- 1 , X norte ], y las alturas son iguales F(z 1 ) , F(z 2 ), ..., F(zn) en consecuencia (Fig. 1). Denotemos por λ longitud del segmento parcial más largo:

5) encontrar el límite de la suma integral cuando λ → 0.

Definición. Si existe un límite finito de la suma integral (1) y no depende del método de partición del segmento [ a, b] a segmentos parciales, ni de la selección de puntos z yo en ellos, entonces este límite se llama integral definida de la función y = F(X) en el segmento [ a, b] y se denota

De este modo,

En este caso la función F(X) se llama integrable en [ a, b]. Números a Y b se denominan límites inferior y superior de integración, respectivamente, F(X) – función integrando, F(X ) dx– expresión integrando, X– variable de integración; segmento de línea [ a, b] se llama intervalo de integración.

Teorema 1. Si la función y = F(X) es continua en el intervalo [ a, b], entonces es integrable en este intervalo.

La integral definida con los mismos límites de integración es igual a cero:

Si a > b, entonces, por definición, asumimos

2. Significado geométrico de la integral definida

Dejemos en el segmento [ a, b] se especifica una función continua no negativa y = F(X ) . trapezoide curvilíneo es una figura acotada arriba por la gráfica de una función y = F(X), desde abajo - a lo largo del eje Buey, hacia la izquierda y hacia la derecha - líneas rectas x = un Y x = segundo(Figura 2).

Integral definida de una función no negativa y = F(X) desde un punto de vista geométrico es igual al área de un trapecio curvilíneo acotado arriba por la gráfica de la función y = F(X), izquierda y derecha – segmentos de línea x = un Y x = segundo, desde abajo: un segmento del eje Buey.

3. Propiedades básicas de la integral definida

1. El valor de la integral definida no depende de la designación de la variable de integración:

2. El factor constante se puede sacar del signo de la integral definida:

3. La integral definida de la suma algebraica de dos funciones es igual a la suma algebraica de las integrales definidas de estas funciones:

4.Si funciona y = F(X) es integrable en [ a, b] Y a < b < C, Eso

5. (teorema del valor medio). Si la función y = F(X) es continua en el intervalo [ a, b], entonces en este segmento hay un punto tal que

4. Fórmula de Newton-Leibniz

Teorema 2. Si la función y = F(X) es continua en el intervalo [ a, b] Y F(X) es cualquiera de sus antiderivadas en este segmento, entonces es válida la siguiente fórmula:

Lo que es llamado Fórmula de Newton-Leibniz. Diferencia F(b) - F(a) generalmente se escribe de la siguiente manera:

donde el símbolo se llama doble comodín.

Por tanto, la fórmula (2) se puede escribir como:

Ejemplo 1. calcular integrales

Solución. Para el integrando F(X ) = X 2 una antiderivada arbitraria tiene la forma

Dado que en la fórmula de Newton-Leibniz se puede utilizar cualquier antiderivada, para calcular la integral tomamos la antiderivada que tenga la forma más simple:

5. Cambio de variable en una integral definida

Teorema 3. Deja que la función y = F(X) es continua en el intervalo [ a, b]. Si:

1) función X = φ ( t) y su derivada φ "( t) son continuos en ;

2) un conjunto de valores de función X = φ ( t) para es el segmento [ a, b ];

3) φ ( a) = a, φ ( b) = b, entonces la fórmula es válida

Lo que es llamado fórmula para cambiar una variable en una integral definida .

A diferencia de la integral indefinida, en este caso no es necesario para volver a la variable de integración original, basta con encontrar nuevos límites de integración α y β (para ello es necesario resolver la variable t ecuaciones φ ( t) = a y φ ( t) = b).

En lugar de sustitución X = φ ( t) puedes usar la sustitución t = gramo(X). En este caso, encontrar nuevos límites de integración sobre una variable t simplifica: α = gramo(a) , β = gramo(b) .

Ejemplo 2. calcular integrales

Solución. Introduzcamos una nueva variable usando la fórmula. Al elevar al cuadrado ambos lados de la igualdad obtenemos 1 + x = t 2 , dónde x = t 2 - 1, dx = (t 2 - 1)"dt= 2tdt. Encontramos nuevos límites de integración. Para hacer esto, sustituyamos los viejos límites en la fórmula x = 3 y x = 8. Obtenemos: , de donde t= 2 y α = 2; , dónde t= 3 y β = 3. Entonces,

Ejemplo 3. Calcular

Solución. Dejar tu= iniciar sesión X, Entonces , v = X. Según la fórmula (4)

La principal tarea del cálculo diferencial. es encontrar la derivada F'(X) o diferencial gl=F'(X)dx funciones F(X). En cálculo integral se resuelve el problema inverso. Según una función dada F(X) necesitas encontrar tal función F(X), Qué F'(x)=F(X) o dF(x)=F'(X)dx=F(X)dx.

De este modo, la tarea principal del cálculo integral es la restauración de la función F(X) por la derivada conocida (diferencial) de esta función. El cálculo integral tiene numerosas aplicaciones en geometría, mecánica, física y tecnología. Proporciona un método general para encontrar áreas, volúmenes, centros de gravedad, etc.

Definición. FunciónF(x), , se llama antiderivada de la funciónF(x) en el conjunto X si es diferenciable para cualquiera yF'(x)=F(x) odF(x)=F(X)dx.

Teorema. Cualquier línea continua en el intervalo [a;b] funciónF(x) tiene una primitiva en este segmentoF(x).

Teorema. SiF 1 (x) yF 2 (x) – dos antiderivadas diferentes de la misma funciónF(x) en el conjunto x, entonces se diferencian entre sí por un término constante, es decirF 2 (x)=F 1x)+C, donde C es una constante.

Integral indefinida, sus propiedades.

Definición. TotalidadF(x)+De todas las funciones antiderivadasF(x) en el conjunto X se llama integral indefinida y se denota:

En la fórmula (1) F(X)dx llamado expresión integrando,F(x) – función integrando, x – variable de integración, A C – constante de integración.

Consideremos las propiedades de la integral indefinida que se derivan de su definición.

1. La derivada de la integral indefinida es igual al integrando, el diferencial de la integral indefinida es igual al integrando:

2. La integral indefinida del diferencial de una determinada función es igual a la suma de esta función y una constante arbitraria:

3. El factor constante a (a≠0) se puede sacar como signo de la integral indefinida:

4. La integral indefinida de la suma algebraica de un número finito de funciones es igual a la suma algebraica de las integrales de estas funciones:

5. SiF(x) – antiderivada de la funciónF(x), entonces:

6 (invariancia de fórmulas de integración). Cualquier fórmula de integración conserva su forma si la variable de integración se reemplaza por cualquier función diferenciable de esta variable:

Dóndeu es una función diferenciable.

Tabla de integrales indefinidas.

vamos a dar Reglas básicas para integrar funciones.

vamos a dar tabla de integrales indefinidas básicas.(Tenga en cuenta que aquí, como en el cálculo diferencial, la letra tu puede designarse como una variable independiente (tu=X), y una función de la variable independiente (tu=tu(X)).)

Las integrales 1 – 17 se llaman tabular.

Algunas de las fórmulas anteriores en la tabla de integrales, que no tienen un análogo en la tabla de derivadas, se verifican diferenciando sus lados derechos.

Cambio de variable e integración por partes en la integral indefinida.

Integración por sustitución (reemplazo de variables). Sea necesario calcular la integral.

Teorema. Deja que la funciónx=φ(t) está definido y diferenciable en un determinado conjunto T y sea X el conjunto de valores de esta función en el que se define la funciónF(X). Entonces si en el conjunto X la funciónF(

Integral antiderivada e indefinida.

Una primitiva de una función f(x) en el intervalo (a; b) es una función F(x) tal que la igualdad se cumple para cualquier x del intervalo dado.

Si tenemos en cuenta el hecho de que la derivada de la constante C es igual a cero, entonces la igualdad es verdadera. . Así, la función f(x) tiene un conjunto de antiderivadas F(x)+C, para una constante arbitraria C, y estas antiderivadas difieren entre sí en un valor constante arbitrario.

El conjunto completo de primitivas de la función f(x) se llama integral indefinida de esta función y se denota .

La expresión se llama integrando y f(x) se llama integrando. El integrando representa el diferencial de la función f(x).

La acción de encontrar una función desconocida dada su diferencial se llama integración indefinida, porque el resultado de la integración no es una función F(x), sino un conjunto de sus primitivas F(x)+C.

Integrales de tabla

Las propiedades más simples de las integrales.

1. La derivada del resultado de la integración es igual al integrando.

2. La integral indefinida del diferencial de una función es igual a la suma de la función misma y una constante arbitraria.

3. El coeficiente se puede sacar del signo de la integral indefinida.

4. La integral indefinida de la suma/diferencia de funciones es igual a la suma/diferencia de las integrales indefinidas de funciones.

Las igualdades intermedias de la primera y segunda propiedades de la integral indefinida se dan para mayor claridad.

Para demostrar la tercera y cuarta propiedades, basta con encontrar las derivadas de los lados derechos de las igualdades:

Estas derivadas son iguales a los integrandos, lo cual es una prueba debida a la primera propiedad. También se utiliza en las últimas transiciones.

Por tanto, el problema de la integración es el inverso del problema de la diferenciación, y existe una conexión muy estrecha entre estos problemas:

la primera propiedad permite comprobar la integración. Para comprobar la exactitud de la integración realizada, basta con calcular la derivada del resultado obtenido. Si la función obtenida como resultado de la diferenciación resulta ser igual al integrando, esto significará que la integración se realizó correctamente;

la segunda propiedad de la integral indefinida permite encontrar su primitiva a partir de un diferencial conocido de una función. El cálculo directo de integrales indefinidas se basa en esta propiedad.

1.4.Invariancia de las formas de integración.

La integración invariante es un tipo de integración para funciones cuyos argumentos son elementos de un grupo o puntos de un espacio homogéneo (cualquier punto de dicho espacio puede ser transferido a otro mediante una determinada acción del grupo).

la función f(x) se reduce a calcular la integral de la forma diferencial f.w, donde

A continuación se proporciona una fórmula explícita para r(x). La condición del acuerdo tiene la forma. .

aquí Tg significa el operador de desplazamiento en X usando gОG: Tgf(x)=f(g-1x). Sea X=G una topología, un grupo que actúa sobre sí mismo mediante desplazamientos a la izquierda. Yo y. existe si y sólo si G es localmente compacto (en particular, en grupos de dimensiones infinitas I.I. no existe). Para un subconjunto de I. y. La función característica cA (igual a 1 en A y 0 fuera de A) especifica la medida Xaar izquierda m(A). La propiedad definitoria de esta medida es su invariancia bajo desplazamientos a la izquierda: m(g-1A)=m(A) para todo gОG. La medida de Haar izquierda en un grupo se define de forma única hasta un factor escalar positivo. Si se conoce la medida de Haar m, entonces I. y. la función f está dada por la fórmula . La medida de Haar correcta tiene propiedades similares. Hay un homomorfismo continuo (mapa que preserva la propiedad del grupo) DG del grupo G en el grupo (con respecto a la multiplicación) posit. números para los cuales

donde dmr y dmi son las medidas de Haar derecha e izquierda. La función DG(g) se llama módulo del grupo G. Si , entonces se llama al grupo G. unimodular; en este caso coinciden las medidas de Haar derecha e izquierda. Los grupos compactos, semisimples y nilpotentes (en particular, conmutativos) son unimodulares. Si G es un grupo de Lie n-dimensional y q1,...,qn es una base en el espacio de formas 1 invariantes a la izquierda en G, entonces la medida de Haar izquierda en G viene dada por la forma n. En coordenadas locales para el cálculo.

formas qi, se puede utilizar cualquier realización matricial del grupo G: la matriz 1-forma g-1dg se deja invariante, y su coeficiente. son formas 1 escalares invariantes a la izquierda a partir de las cuales se selecciona la base requerida. Por ejemplo, el grupo matricial completo GL(n, R) es unimodular y la medida de Haar viene dada por la forma. Dejar X=G/H es un espacio homogéneo para el cual el grupo localmente compacto G es un grupo de transformación y el subgrupo cerrado H es el estabilizador de un cierto punto. Para que exista un i.i. en X, es necesario y suficiente que para todo hОH se cumpla la igualdad DG(h)=DH(h). En particular, esto es cierto en el caso en que H es compacto o semisimple. Teoría completa de I. y. no existe en variedades de dimensiones infinitas.

Reemplazo de variables.

Función antiderivada e integral indefinida

Hecho 1. La integración es la acción inversa de la diferenciación, es decir, restaurar una función a partir de la derivada conocida de esta función. La función así restablecida F(X) se llama antiderivada para función F(X).

Definición 1. Función F(X F(X) en algún intervalo X, si para todos los valores X a partir de este intervalo se cumple la igualdad F "(X)=F(X), es decir, esta función F(X) es la derivada de la función antiderivada F(X). .

Por ejemplo, la función F(X) = pecado X es una antiderivada de la función F(X) = porque X en toda la recta numérica, ya que para cualquier valor de x (pecado X)" = (porque X) .

Definición 2. Integral indefinida de una función F(X) es el conjunto de todas sus antiderivadas. En este caso se utiliza la notación

∫

F(X)dx

donde esta la señal ∫ llamada signo integral, la función F(X) – función integrando, y F(X)dx – expresión integrando.

Así, si F(X) – alguna antiderivada para F(X) , Eso

∫

F(X)dx = F(X) +C

Dónde C - constante arbitraria (constante).

Para comprender el significado del conjunto de primitivas de una función como integral indefinida, resulta apropiada la siguiente analogía. Que haya una puerta (puerta tradicional de madera). Su función es “ser una puerta”. ¿De qué está hecha la puerta? Hecho de madera. Esto significa que el conjunto de primitivas del integrando de la función “ser una puerta”, es decir, su integral indefinida, es la función “ser un árbol + C”, donde C es una constante, que en este contexto puede denota, por ejemplo, el tipo de árbol. Así como una puerta se hace de madera usando algunas herramientas, una derivada de una función se “hace” a partir de una función antiderivada usando fórmulas que aprendimos mientras estudiamos la derivada .

Entonces la tabla de funciones de los objetos comunes y sus correspondientes antiderivadas (“ser una puerta” - “ser un árbol”, “ser una cuchara” - “ser metal”, etc.) es similar a la tabla de funciones básicas integrales indefinidas, que se darán a continuación. La tabla de integrales indefinidas enumera funciones comunes con una indicación de las antiderivadas a partir de las cuales se “hacen” estas funciones. En parte de los problemas para encontrar la integral indefinida se dan integrandos que se pueden integrar directamente sin mucho esfuerzo, es decir, usando la tabla de integrales indefinidas. En problemas más complejos, primero se debe transformar el integrando para poder utilizar integrales de tabla.

Hecho 2. Al restaurar una función como antiderivada, debemos tener en cuenta una constante arbitraria (constante) C, y para no escribir una lista de antiderivadas con varias constantes del 1 al infinito, es necesario escribir un conjunto de antiderivadas con una constante arbitraria C, por ejemplo, así: 5 X³+C. Entonces, se incluye una constante arbitraria (constante) en la expresión de la antiderivada, ya que la antiderivada puede ser una función, por ejemplo, 5 X³+4 o 5 X³+3 y cuando se diferencia, 4 o 3, o cualquier otra constante va a cero.

Planteemos el problema de integración: para esta función F(X) encontrar tal función F(X), cuyo derivado igual a F(X).

Ejemplo 1. Encuentra el conjunto de primitivas de una función.

Solución. Para esta función, la antiderivada es la función

Función F(X) se llama antiderivada de la función F(X), si la derivada F(X) es igual a F(X), o, lo que es lo mismo, diferencial F(X) es igual F(X) dx, es decir.

(2)

Por tanto, la función es una primitiva de la función. Sin embargo, no es la única antiderivada de . También cumplen funciones

Dónde CON- Constante arbitraria. Esto se puede verificar mediante diferenciación.

Por lo tanto, si hay una primitiva para una función, entonces para ella hay un número infinito de primitivas que difieren en un término constante. Todas las primitivas de una función se escriben en la forma anterior. Esto se desprende del siguiente teorema.

Teorema (declaración formal de hecho 2). Si F(X) – antiderivada de la función F(X) en algún intervalo X, entonces cualquier otra antiderivada para F(X) en el mismo intervalo se puede representar en la forma F(X) + C, Dónde CON- Constante arbitraria.

En el siguiente ejemplo, pasamos a la tabla de integrales, que se dará en el párrafo 3, después de las propiedades de la integral indefinida. Hacemos esto antes de leer toda la tabla para que quede clara la esencia de lo anterior. Y después de la tabla y las propiedades, las usaremos en su totalidad durante la integración.

Ejemplo 2. Encuentre conjuntos de funciones antiderivadas:

Solución. Encontramos conjuntos de funciones antiderivadas a partir de las cuales se “hacen” estas funciones. Cuando mencione fórmulas de la tabla de integrales, por ahora simplemente acepte que existen tales fórmulas y estudiaremos la tabla de integrales indefinidas un poco más.

1) Aplicando la fórmula (7) de la tabla de integrales para norte= 3, obtenemos

2) Usando la fórmula (10) de la tabla de integrales para norte= 1/3, tenemos

3) Desde

luego de acuerdo con la fórmula (7) con norte= -1/4 encontramos

No es la función en sí la que está escrita bajo el signo integral. F, y su producto por el diferencial dx. Esto se hace principalmente para indicar con qué variable se busca la antiderivada. Por ejemplo,

, ;

aquí en ambos casos el integrando es igual a , pero sus integrales indefinidas en los casos considerados resultan diferentes. En el primer caso, esta función se considera como función de la variable X, y en el segundo - en función de z .

El proceso de encontrar la integral indefinida de una función se llama integrar esa función.

Significado geométrico de la integral indefinida.

Supongamos que necesitamos encontrar una curva y=F(x) y ya sabemos que la tangente del ángulo tangente en cada uno de sus puntos es una función dada f(x) abscisa de este punto.

Según el significado geométrico de la derivada, la tangente del ángulo tangente en un punto dado de la curva. y=F(x) igual al valor de la derivada F"(x). Entonces necesitamos encontrar tal función. F(x), para cual F"(x)=f(x). Función requerida en la tarea. F(x) es una antiderivada de f(x). Las condiciones del problema no se satisfacen con una curva, sino con una familia de curvas. y=F(x)- una de esas curvas, y cualquier otra curva se puede obtener a partir de ella mediante traslación paralela a lo largo del eje Oye.

Llamemos a la gráfica de la función antiderivada de f(x) curva integral. Si F"(x)=f(x), entonces la gráfica de la función y=F(x) hay una curva integral.

Hecho 3. La integral indefinida está representada geométricamente por la familia de todas las curvas integrales. , como en la imagen de abajo. La distancia de cada curva desde el origen de coordenadas está determinada por una constante de integración arbitraria. C.

Propiedades de la integral indefinida

Hecho 4. Teorema 1. La derivada de una integral indefinida es igual al integrando y su diferencial es igual al integrando.

Hecho 5. Teorema 2. Integral indefinida del diferencial de una función F(X) es igual a la función F(X) hasta un término constante , es decir.

(3)

Los teoremas 1 y 2 muestran que la diferenciación y la integración son operaciones mutuamente inversas.

Hecho 6. Teorema 3. El factor constante en el integrando se puede sacar del signo de la integral indefinida , es decir.