Sistema de ecuaciones racionales como resolver. Ecuación cuadrática y trinomio cuadrático

I. Ecuaciones racionales.

1) Ecuaciones lineales.

2) Sistemas de ecuaciones lineales.

3) Ecuaciones cuadráticas y ecuaciones reducibles a ellas.

4) Ecuaciones recíprocas.

5) Fórmula de Vieta para polinomios de grados superiores.

6) Sistemas de ecuaciones de segundo grado.

7) Método de introducción de nuevas incógnitas en la resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones.

8) Ecuaciones homogéneas.

9) Resolución de sistemas simétricos de ecuaciones.

10) Ecuaciones y sistemas de ecuaciones con parámetros.

11) Método gráfico de resolución de sistemas de ecuaciones no lineales.

12) Ecuaciones que contienen el signo del módulo.

13) Métodos básicos para resolver ecuaciones racionales.

II. Desigualdades racionales.

1) Propiedades de desigualdades equivalentes.

2) Desigualdades algebraicas.

3) Método de intervalo.

4) Desigualdades racionales fraccionarias.

5) Desigualdades que contienen una incógnita bajo el signo de valor absoluto.

6) Desigualdades con parámetros.

7) Sistemas de desigualdades racionales.

8) Solución gráfica de desigualdades.

III. Prueba de pantalla.

Ecuaciones racionales

Función de la forma

P(x) = a 0 x n + a 1 x n – 1 + a 2 x n – 2 + … + a n – 1 x + a n,

donde n es un número natural, a 0, a 1,…, an son algunos números reales, llamados función racional completa.

Una ecuación de la forma P(x) = 0, donde P(x) es una función racional completa, se llama ecuación racional completa.

Ecuación de la forma

P 1 (x) / Q 1 (x) + P 2 (x) / Q 2 (x) + … + P m (x) / Q m (x) = 0,

donde P 1 (x), P 2 (x), ..., P m (x), Q 1 (x), Q 2 (x), ..., Q m (x) son funciones racionales enteras, llamadas una ecuación racional.

Resolver la ecuación racional P (x) / Q (x) = 0, donde P (x) y Q (x) son polinomios (Q (x) ¹ 0), se reduce a resolver la ecuación P (x) = 0 y comprobando que las raíces cumplen la condición Q(x)¹ 0.

Ecuaciones lineales.

Una ecuación de la forma ax+b=0, donde a y b son algunas constantes, se llama ecuación lineal.

Si a¹0, entonces la ecuación lineal tiene una única raíz: x = -b /a.

Si a=0; b¹0, entonces la ecuación lineal no tiene soluciones.

Si a=0; b=0, entonces, reescribiendo la ecuación original en la forma ax = -b, es fácil ver que cualquier x es una solución de la ecuación lineal.

La ecuación de la recta es: y = ax + b.

Si una línea pasa por un punto con coordenadas X 0 e Y 0, entonces estas coordenadas satisfacen la ecuación de la línea, es decir, Y 0 = aX 0 + b.

Ejemplo 1.1. Resuelve la ecuación

2x – 3 + 4(x – 1) = 5.

Solución. Abra secuencialmente los corchetes, agregue términos similares y encuentre x: 2x – 3 + 4x – 4 = 5, 2x + 4x = 5 + 4 + 3,

Ejemplo 1.2. Resuelve la ecuación

2x – 3 + 2(x – 1) = 4(x – 1) – 7.

Solución. 2x + 2x – 4x = 3 +2 – 4 – 7, 0x = – 6.

Ejemplo 1.3. Resuelve la ecuación.

2x + 3 – 6(x – 1) = 4(x – 1) + 5.

Solución. 2x – 6x + 3 + 6 = 4 – 4x + 5,

– 4x + 9 = 9 – 4x,

4x + 4x = 9 – 9,

Respuesta: Cualquier número.

Sistemas de ecuaciones lineales.

Ecuación de la forma

un 1 x 1 + un 2 x 2 + … + un x n = b,

donde a 1, b 1,…, a n, b son algunas constantes, llamada ecuación lineal con n incógnitas x 1, x 2,…, x n.

Un sistema de ecuaciones se llama lineal si todas las ecuaciones incluidas en el sistema son lineales. Si el sistema consta de n incógnitas, entonces son posibles los tres casos siguientes:

1) el sistema no tiene soluciones;

2) el sistema tiene exactamente una solución;

3) el sistema tiene infinitas soluciones.

Ejemplo 2.4. resolver sistema de ecuaciones

Solución. Puedes resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de sustitución, que consiste en expresar una incógnita en términos de otras incógnitas para cualquier ecuación del sistema, y ​​luego sustituir el valor de esta incógnita en las ecuaciones restantes.

De la primera ecuación expresamos: x = (8 – 3y) / 2. Sustituimos esta expresión en la segunda ecuación y obtenemos un sistema de ecuaciones

Solución. El sistema no tiene soluciones, ya que dos ecuaciones del sistema no pueden satisfacerse simultáneamente (de la primera ecuación x + y = 3, y de la segunda x + y = 3,5).

Respuesta: No hay soluciones.

Ejemplo 2.6. resolver sistema de ecuaciones

Solución. El sistema tiene infinitas soluciones, ya que la segunda ecuación se obtiene de la primera multiplicando por 2 (es decir, de hecho, solo hay una ecuación con dos incógnitas).

Respuesta: Hay infinitas soluciones.

Ejemplo 2.7. resolver sistema de ecuaciones

2x – y + 4z = 1,

– x + 6y + z = 5.

Solución. A la hora de resolver sistemas de ecuaciones lineales es conveniente utilizar el método de Gauss, que consiste en transformar el sistema a una forma triangular.

Multiplicamos la primera ecuación del sistema por – 2 y, sumando el resultado resultante con la segunda ecuación, obtenemos – 3y + 6z = – 3. Esta ecuación se puede reescribir como y – 2z = 1. Sumando la primera ecuación con el tercero, obtenemos 7y = 7, o y = 1.

Así, el sistema adquirió una forma triangular.

x + y – z = 2,

Sustituyendo y = 1 en la segunda ecuación, encontramos z = 0. Sustituyendo y = 1 yz = 0 en la primera ecuación, encontramos x = 1.

Respuesta: (1; 1; 0).

Ejemplo 2.8. ¿A qué valores del parámetro a se encuentra el sistema de ecuaciones?

(a + 1)x + 2ay = 2a + 4

tiene infinitas soluciones?

Solución. De la primera ecuación expresamos x:

x = – (a/2)y + a/2 +1.

Sustituyendo esta expresión en la segunda ecuación, obtenemos

(a + 1)(– (a / 2)y + a / 2 +1) + 2ay = 2a + 4.

(a + 1)(a + 2 – ay) + 4ay = 4a + 8,

4ay – a(a + 1)y = 4(a + 2) – (a + 1)(a + 2),

ya(4 – a – 1) = (a + 2)(4 – a – 1),

ya(3 – a) = (a + 2)(3 – a).

Analizando la última ecuación, observamos que para a = 3 tiene la forma 0y = 0, es decir se satisface para cualquier valor de y.

Ecuaciones cuadráticas y ecuaciones que se pueden reducir a ellas.

Una ecuación de la forma ax 2 + bx + c = 0, donde a, byc son algunos números (a¹0);

x es una variable llamada ecuación cuadrática.

Fórmula para resolver una ecuación cuadrática.

Primero, dividamos ambos lados de la ecuación ax 2 + bx + c = 0 entre a; esto no cambiará sus raíces. Para resolver la ecuación resultante

x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0

seleccione un cuadrado completo en el lado izquierdo

x 2 + (b / a) + (c / a) = (x 2 + 2(b / 2a)x + (b / 2a) 2) – (b / 2a) 2 + (c / a) =

= (x + (b / 2a)) 2 – (b 2) / (4a 2) + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – ((b 2 – 4ac) / (4a 2 )).

Para abreviar, denotamos la expresión (b 2 – 4ac) por D. Entonces la identidad resultante toma la forma

Son posibles tres casos:

1) si el número D es positivo (D > 0), entonces en este caso puedes extraer la raíz cuadrada de D y escribir D en la forma D = (ÖD) 2. Entonces

D / (4a 2) = (ÖD) 2 / (2a) 2 = (ÖD / 2a) 2, por lo tanto la identidad toma la forma

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (ÖD / 2a) 2 .

Usando la fórmula de diferencia de cuadrados, derivamos de aquí:

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a) – (ÖD / 2a))(x + (b / 2a) + (ÖD / 2a)) =

= (x – ((-b + ÖD) / 2a)) (x – ((– b – ÖD) / 2a)).

Teorema : Si la identidad se mantiene

hacha 2 + bx + c = a(x – x 1)(x – x 2),

entonces la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0 para X 1 ¹ X 2 tiene dos raíces X 1 y X 2, y para X 1 = X 2, solo una raíz X 1.

En virtud de este teorema, de la identidad derivada anteriormente se deduce que la ecuación

x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0,

y por tanto la ecuación ax 2 + bx + c = 0 tiene dos raíces:

X 1 =(-b + Ö D) / 2a; X 2 = (-b - Ö D) / 2a.

Así x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x – x1)(x – x2).

Normalmente estas raíces se escriben con una fórmula:

donde b 2 – 4ac = D.

2) si el número D es cero (D = 0), entonces la identidad

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (D / (4a 2))

toma la forma x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2.

Se deduce que para D = 0 la ecuación ax 2 + bx + c = 0 tiene una raíz de multiplicidad 2: X 1 = – b / 2a

3) Si el número D es negativo (D< 0), то – D >0, y por lo tanto la expresión

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (D / (4a 2))

es la suma de dos términos, uno de los cuales no es negativo y el otro es positivo. Tal suma no puede ser igual a cero, por lo que la ecuación

x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0

no tiene raíces reales. La ecuación ax 2 + bx + c = 0 tampoco los tiene.

Por lo tanto, para resolver una ecuación cuadrática, se debe calcular el discriminante

D = b 2 – 4ac.

Si D = 0, entonces la ecuación cuadrática tiene solución única:

Si D > 0, entonces la ecuación cuadrática tiene dos raíces:

X 1 =(-b + ÖD) / (2a); X 2 = (-b - ÖD) / (2a).

Si D< 0, то квадратное уравнение не имеет корней.

Si uno de los coeficientes b o c es cero, entonces la ecuación cuadrática se puede resolver sin calcular el discriminante:

1) b = 0; c¹0; California<0; X1,2 = ±Ö(-c / a)

2) b ¹ 0; c = 0; X1 = 0, X2= -b/a.

Las raíces de una ecuación cuadrática general ax 2 + bx + c = 0 se encuentran mediante la fórmula

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Capítulo 4. Sistemas de ecuaciones racionales.

El cuarto capítulo está dedicado al estudio de formas de resolver sistemas de ecuaciones racionales. Aquí se utilizan conceptos aprendidos en 7º grado y previamente aplicados a sistemas de ecuaciones lineales, lo que permite repetir lo aprendido y aprender a actuar ante una nueva situación. Estos son conceptos: soluciones de una ecuación con dos (tres) incógnitas, sistemas de ecuaciones con dos (tres) incógnitas, concepto de equivalencia de ecuaciones, sistemas de ecuaciones.

El propósito de estudiar el Capítulo 4: dominar los conceptos enumerados, aprender a resolver sistemas de ecuaciones racionales y aplicarlos para resolver problemas planteados.

§ 9. Sistemas de ecuaciones racionales.

El objetivo principal del noveno párrafo es, a partir de conceptos conocidos relacionados con ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales, aprender a resolver sistemas de ecuaciones racionales y aprender a aplicarlos a la resolución de problemas planteados.

9.1. El concepto de sistema de ecuaciones racionales.

Este párrafo presenta los conceptos de una ecuación racional con dos (tres) incógnitas y su solución, define lo que significa resolver un sistema de ecuaciones y proporciona declaraciones sobre la equivalencia de sistemas de ecuaciones.

Las tareas principales de este párrafo son las tareas para establecer que un par (tres) de números dado es una solución al sistema. Una tarea adicional acostumbra a los estudiantes a resolver problemas con parámetros.

Tarea de revisión. 805–807.

Soluciones y comentarios

500. ¿La solución del sistema de ecuaciones es un par de números?

a) (0; 3); segundo) (–3; 2).

Solución. a) Desde 0 + 5 3, entonces el par de números (0; 3) no es una solución de la segunda ecuación del sistema y, por tanto, no es una solución del sistema de ecuaciones.

b) Dado que –3 + 5 = 2, (–3) 2 + (–3)2 – 3 = 0, entonces el par de números (–3; 2) es una solución del sistema de ecuaciones.

501. ¿Es la solución del sistema de ecuaciones?
triple de números:

a) (1; –1; 1); segundo) (1; 1; 1).

Solución. a) Dado que 1 – 1 + 1 3, entonces el triple de números (1; –1; 1) no es una solución a la primera ecuación del sistema y, por tanto, no es una solución al sistema de ecuaciones.

b) Dado que 1 + 1 + 1 = 3, 1 –1 – 1 –2, entonces el triple de números (1; 1; 1) no es una solución a la segunda ecuación del sistema, y ​​por tanto no es una solución a el sistema de ecuaciones.

tarea adicional

1. ¿A qué valor? a un par de números (2; –1) es una solución al sistema de ecuaciones

Solución. Dejar a- un cierto número para el cual un par de números (2; –1) es una solución de un sistema de ecuaciones, entonces dos igualdades numéricas son verdaderas:

1) 2a 2 + a= 21 y 2) 10 + a = a 2 + 4,

que pueden considerarse como ecuaciones para a. La ecuación 2) tiene dos raíces: a 1 = 3 o a 2 = –2. Número a 1 es la raíz de la ecuación 1), y el número a 2 = –2 - no, por lo tanto, cuando a= 3 par de números (2; –1) es una solución a un sistema de ecuaciones. Y otros significados A, satisfaciendo las condiciones del problema, no las hay.

9.2. Método para sustituir soluciones a sistemas de ecuaciones racionales.

En este párrafo, mediante tres ejemplos, mostramos cómo se puede resolver sustituyendo ecuaciones racionales en las que existe al menos una ecuación de la primera.

Tarea de revisión. Al estudiar este artículo, puedes usar la tarea. 810.

Soluciones y comentarios

512. Resuelve el sistema de ecuaciones:

GRAMO)
d)

Solución. d) Expresar X a través de y de la segunda ecuación del sistema y sustituyendo y+ 1 en su lugar X

(1)

Ahora, resolviendo la primera ecuación del sistema (1), encontramos sus dos raíces y 1 = –4 y y 2 = 3. De la segunda ecuación del sistema (1) obtenemos los valores correspondientes X: X 1 = –3 y X 2 = 4.

d) Expresar y a través de X de la segunda ecuación del sistema y sustituyendo 3 – 3 X en lugar de y en la primera ecuación, reescribimos el sistema en la forma:

(2)

Ahora, resolviendo la primera ecuación del sistema (2), encontramos sus dos raíces X 1 = y
X 2 = . De la segunda ecuación del sistema (2) obtenemos los valores correspondientes y: y 1 = – y y 2 = 2.

Respuesta. d) (–3; –4), (4; 3); D 2).

De control intermedio. S-21.

9.3. Otras formas de resolver sistemas de ecuaciones racionales

En este párrafo, se analizan ejemplos de resolución de sistemas de ecuaciones racionales: mediante el método de sumar ecuaciones, mediante el método de introducir nuevas incógnitas, mediante el método de aislar cuadrados perfectos, mediante el método de factorización. En este caso, se utilizan transformaciones equivalentes de ecuaciones. A veces, es útil saber que la suma de los cuadrados de dos números es cero si y sólo si esos números son cero.

Tarea de revisión. Al estudiar este artículo, puedes usar la tarea. 820.

Soluciones y comentarios

517. Resuelve el sistema de ecuaciones:

V)
d)

Solución. c) Reemplacemos la primera ecuación del sistema con la suma de dos ecuaciones de este sistema. Obtenemos un sistema equivalente al sistema original:

(1)

Ahora seleccionemos los cuadrados perfectos en la primera ecuación del sistema (1):

(2)

Dado que la suma de los cuadrados de dos números es igual a cero si y sólo si estos números son cero, entonces la primera ecuación del sistema (2) tiene una solución única (2; –6). Este par de números es solución de la segunda ecuación del sistema (2), por lo tanto, es solución del sistema (2) y del sistema original equivalente a este.

e) Hagamos un cambio de incógnitas: a= y b= . Reescribamos el sistema en la forma:

(3)

El sistema (3) tiene una solución única: a 1 = 1, b 1 = . En consecuencia, el sistema e) también tiene una solución única: X 1 = 1, y 1 = 2.

Respuesta. c) (2; –6); mi) (1; 2).

512. g) Resolver el sistema de ecuaciones.

Solución. Por lo general, la solución a dicho sistema se escribe reemplazando este sistema con sistemas equivalentes:

(4)

Los signos de equivalencia () están establecidos para el profesor, pero en una clase con un estudio en profundidad de matemáticas se pueden utilizar.

Las soluciones a la segunda ecuación del último de los sistemas (4) son los siguientes pares de números ( X; y), que son soluciones de al menos una de las ecuaciones:

1) X + y= 1 y 2) X + y = –1.

Por tanto, todas las soluciones del sistema original son la unión de todas las soluciones de dos sistemas:

3)
y 4)

Habiendo resuelto los sistemas 3) y 4) obtenemos todas las soluciones del sistema original: (–1; 2), (2; –1), (1; –2), (–2; 1).

Respuesta. (–1; 2), (2; –1), (1; –2), (–2; 1).

518. Resuelve el sistema de ecuaciones:

A)
V)
y)

Solución. a) Introduciendo una nueva incógnita a = X 2 – 4y
. Tiene una sola raíz a= 1. Esto significa que este sistema es equivalente al sistema

(5)

Sumando las ecuaciones del sistema (5) y reemplazando la primera ecuación del sistema por la ecuación resultante, obtenemos un nuevo sistema equivalente al sistema (5), y por tanto al sistema original:

(6)

Habiendo aislado los cuadrados completos en la primera ecuación del sistema (6), reescribimos el sistema (6) en la forma:

(7)

Ahora es obvio que la primera ecuación del sistema (7) tiene una solución única: X 1 = 3, y 1 = 2. La verificación muestra que este par de números es una solución a la segunda ecuación del sistema (7), lo que significa que es una solución al sistema (7) y al sistema original equivalente a él.

Entonces, el sistema original tiene una solución única (3; 2).

c) Introduciendo una nueva incógnita a =
, reescribimos la primera ecuación del sistema en la forma:
. Tiene dos raíces: a 1 = 1 y a 2 = –4. Por tanto, todas las soluciones del sistema original son la unión de todas las soluciones de dos sistemas:

1)
y 2)

Usando sustitución y = 9 – X, resolvemos cada uno de los sistemas y encontramos que el sistema 1) tiene una solución única (6; 3), y el sistema 2) tiene una solución única (14; –5).

Entonces, el sistema original tiene dos soluciones: (6; 3), (14; –5).

g) Reescribamos el sistema en la forma:

(8)

Si un par de números ( X 0 ; y 0) es una solución al sistema (8), entonces las siguientes igualdades numéricas son verdaderas: X 0 (9X 0 + 4y 0) = 1 y y 0 (9X 0 + 4y 0) = –2. Tenga en cuenta que ambos lados de estas igualdades numéricas no son cero, por lo tanto, dividiendo la primera igualdad por el segundo término, obtenemos una nueva igualdad numérica:
. De donde se sigue que y 0 = –2X 0 . Es decir, las soluciones buscadas del sistema (8) son soluciones del sistema

(9)

Habiendo resuelto el sistema (9), obtenemos dos de sus soluciones: (1; –2), (–1; 2).

Al verificar, estamos convencidos de que ambos pares de números son en realidad soluciones del sistema original.

Respuesta. a) (3; 2); c) (6; 3), (14; –5); g) (1; –2), (–1; 2).

Comentario. Tenga en cuenta que en el proceso de resolución del problema g) no demostramos la equivalencia del sistema (9) con el sistema original, pero del razonamiento anterior se deduce que cualquier solución al sistema original es una solución al sistema (9) (es decir, , el sistema (9) es consecuencia del sistema original ), por lo tanto es necesario comprobar si cada solución del sistema (9) es una solución del sistema original. Y esta verificación es una parte obligatoria de la solución del sistema.

De hecho, el sistema (9) es equivalente al sistema original, como se desprende del enunciado que se demuestra a continuación.

Tareas adicionales

1. Resuelve el sistema de ecuaciones.

A)
b)

V)
GRAMO)

Solución. a) Habiendo aislado los cuadrados perfectos en la primera ecuación, la reescribimos en la forma:

(X – 3) 2 + (y – 1) 2 = 0. (1)

Ahora es obvio que la primera ecuación del sistema tiene solución única: X 1 = 3, y 1 = 1. Al comprobar estamos convencidos de que este par es una solución de la segunda ecuación y, por tanto, una solución del sistema de ecuaciones.

b) Argumentando de manera similar, obtenemos una solución única para el sistema (–2, 0,5).

c) Factoricemos el lado izquierdo de la primera ecuación del sistema:

X 2 – 7xy + 12y 2 = X 2 – 3xy – 4xy + 12y 2 = X(X – 3y) – 4y(X– 3y) = (X – 3y)(X – 4y).

Reescribamos este sistema en la forma

(2)

Ahora es obvio que todas las soluciones del sistema (2) son la unión de todas las soluciones de dos sistemas:

1)
y 2)

El sistema 1) tiene dos soluciones: (3; 1), (–3; –1). El sistema 2) también tiene dos soluciones: (12; 3), (–12; –3). En consecuencia, el sistema original tiene cuatro soluciones: (3; 1), (–3; –1), (12; 3), (–12; –3).

d) Reescribamos el sistema original en la forma:

(3)

Obviamente, la primera ecuación del sistema (3) tiene solución única:
(3; –2). La verificación muestra que también es una solución a la segunda ecuación del sistema (3), por lo tanto, el sistema (3), y por lo tanto el sistema original, tiene una solución única (3; –2).

Respuesta. a) (3; 1); b) (–2, 0,5); c) (3; 1), (–3; –1), (12; 3), (–12; –3); d) (3; –2).

2. Pruebe la afirmación: si F (X, y) Y gramo (X, y) - polinomios con respecto a X Y y, a Y b- números, b 0, entonces los sistemas 1 son equivalentes)
y 2)

Prueba. 1. Sea un par de números ( X 0 ; y 0) es una solución del sistema 1), entonces las siguientes igualdades numéricas son verdaderas: F(X 0 , y 0) = a Y gramo(X 0 , y 0) = b. Porque b 0, entonces gramo(X 0 , y 0) 0, por lo que la igualdad numérica es verdadera:
. Esto significa que cualquier solución al sistema 1) es una solución al sistema 2).

2. Vamos ahora a un par de números ( X 0 ; y 0) es la solución al sistema 2), entonces las igualdades numéricas son verdaderas: y gramo(X 0 , y 0) = b. Porque b 0, entonces gramo(X 0 , y 0) 0, por lo tanto, multiplicar ambos lados de la primera igualdad numérica por números iguales distintos de cero gramo(X 0 , y 0) y b, obtenemos una nueva igualdad numérica correcta: F(X 0 , y 0) = a. Esto significa que cualquier solución al sistema 2) es una solución al sistema 1).

3. Supongamos que el sistema 1) no tiene solución y el sistema 2) tiene solución. Luego, del punto 2 de la prueba anterior, se deduce que el sistema 1) tiene solución. La contradicción resultante muestra que la suposición hecha es incorrecta. Esto significa que si el sistema 1) no tiene solución, entonces el sistema 2) no tiene solución.

De manera similar se demuestra que si el sistema 2) no tiene solución, entonces el sistema 1) no tiene solución.

De la prueba anterior se deduce que los sistemas 1) y 2) son equivalentes, que es lo que había que demostrar.

Pongamos un ejemplo de cómo resolver el sistema. 518, y con esta declaración.

Resolviendo el último sistema, obtenemos dos de sus soluciones: (1; –2), (–1; 2), por tanto, el sistema original tiene dos soluciones: (1; –2), (–1; 2).

3. Resuelve el sistema de ecuaciones:

A)
antes de Cristo)

Solución. a) El sistema original es equivalente al sistema

que reescribimos como:

(4)

El sistema (4) tiene una solución única (1; 2). En consecuencia, el sistema original también tiene una solución única (1; 2).

b) Reescribimos el sistema original en la forma

Este sistema es equivalente al sistema:

(5)

El sistema (5) tiene una solución única (–1; –5). En consecuencia, el sistema original también tiene una solución única (–1; –5).

c) El sistema original es equivalente al sistema

o sistema

(6)

El sistema (6) tiene dos soluciones (1; 2; –2), (–1; –2; 2). En consecuencia, el sistema original también tiene dos soluciones (1; 2; –2), (–1; –2; –2).

Respuesta. a) (1; 2); b) (–1; –5); c) dos soluciones (1; 2; –2), (–1; –2; –2).

De control intermedio. S-22, S-23, S-24*.

9.4. Resolver problemas utilizando sistemas de ecuaciones racionales.

En este párrafo, se analizan las soluciones a problemas planteados que conducen a sistemas de ecuaciones racionales. Puedes empezar a explicar material nuevo con tareas más sencillas. 513, 514, 519, 520 .

Tarea de revisión. Al estudiar este artículo, puedes usar la tarea. 820, 952.

Soluciones y comentarios

513. a) Divide el número 171 en dos factores, cuya suma sería igual a 28.

Solución. Dejar X- primer factor, y - segundo multiplicador. Creemos un sistema de ecuaciones:

Resuelto el sistema obtenemos dos soluciones: X 1 = 9, y 1 = 19 y X 2 = 19, y 2 = 9. El orden de los factores no es importante aquí, por lo que los factores requeridos son 9 y 19.

Respuesta. 9 y 19.

519. a) Si sumas dos veces el segundo número al cuadrado del primer número, obtienes (–7), y si restas el segundo número del primer número, obtienes 11. Encuentra estos números.

Solución. Dejar X- primer número, y- segundo número. Según las condiciones del problema, creemos dos ecuaciones: X 2 + 2y= –7 y X – y= 11. Habiendo resuelto el sistema de estas ecuaciones, obtenemos dos de sus soluciones: (–5; –16), (3; –8).x = 6 y y= 4, es decir, el número requerido es 64.

Respuesta. 64.

522. b) Dos trabajadores, trabajando juntos, completaron todo el trabajo en 5 días. Si el primer trabajador trabajara el doble de rápido y el segundo trabajara el doble de lento, entonces completarían todo el trabajo en 4 días. ¿En cuántos días completaría este trabajo el primer trabajador?

Solución. Iforma. dejar por X Y y días, el primer y segundo trabajador completarán todo el trabajo, respectivamente. Si trabajan juntos, completarán el trabajo en 5 días. Hagamos la primera ecuación:
.

Si el primero trabajara 2 veces más rápido y el segundo 2 veces más lento, entonces por día completarían de todo el trabajo, respectivamente, y todo el trabajo estaría terminado en 4 días. Creemos la segunda ecuación:

.

952. Si vendes 20 vacas, el heno cosechado durará diez días más, pero si compras 30 vacas, el suministro de heno se agotará diez días antes. ¿Cuántas vacas había y durante cuántos días se almacenó el heno?

Solución. dejar por X las vacas han preparado heno para y días. Anotemos brevemente la condición del problema:

número de vacas número de días

Dado que con un suministro constante de heno el número de días es inversamente proporcional al número de vacas, haremos la primera ecuación:
.

Creemos la segunda ecuación de la misma manera:
.

El sistema de estas ecuaciones tiene una solución única: X = 120, y= 50. Es decir, para 120 vacas, se almacenó heno durante 50 días.

Respuesta. Para 120 vacas, durante 50 días.

profesor de matematicas

Institución educativa municipal "Gimnasio nº 5 de Belgorod"

Tema de la lección: Ecuaciones racionales.

Grado: 10º grado.

umk : Álgebra y los inicios del análisis: libro de texto. Por 10kl. educación general instituciones/[S.M. Nikolsky, M.K. Potapov].-5ª ed., adicional-M.: Educación, 2006.-432 p. págs.65-74., 45-47.

Objetivos de la lección:

Educativo: sistematizar y resumir información sobre expresiones racionales conocidas desde la escuela básica; mostrar formas de resolver ecuaciones racionales;

De desarrollo: ampliar y profundizar el estudio de diversos tipos de ecuaciones racionales utilizando diversos métodos.

Educativo: mostrar la importancia del tema que se estudia en la sección de matemáticas.

Tipo de lección: lección-conferencia.

Estructura de la lección:

1. Establecer el objetivo de la lección (1 min).
2. Preparándose para estudiar material nuevo (2 min).
3. 3.Introducción al material nuevo (38 min).
4. 4. Resumen de la lección (2 min)
5. 5.Tarea (2 min)

Equipo de lección: pizarra interactiva, proyector, computadora.

Durante las clases:

Plan.

1. Expresiones racionales.

2. Ecuaciones racionales.

3. Sistemas de ecuaciones racionales.

I. Repetición.

El álgebra se originó a partir de la resolución de problemas prácticos usando ecuaciones. Los objetivos del álgebra se mantuvieron sin cambios durante miles de años: se resolvieron ecuaciones: primero lineales, luego cuadráticas y luego ecuaciones de grados aún mayores. Pero la forma en que se presentaron los resultados algebraicos cambió hasta quedar irreconocible.

Una ecuación es la forma más común de problema matemático. El estudio de ecuaciones es el contenido principal del curso de álgebra escolar. Para resolver ecuaciones es necesario poder realizar operaciones con monomios, polinomios, fracciones algebraicas, poder factorizar, abrir paréntesis, etc. Es necesario poner en orden sus conocimientos. Comenzaremos el repaso con el concepto de “expresiones racionales”. Informe del estudiante sobre expresiones racionales conocidas desde la escuela básica. Por tanto, el estudio de ecuaciones es imposible sin el estudio de las leyes de acción.

II. Parte principal.

Lo principal en el concepto de ecuación es la formulación de la cuestión de su solución. Una ecuación cuyos lados izquierdo y derecho son expresiones racionales para x se llama ecuación racional con x desconocida.

Por ejemplo, las ecuaciones 5x 6 - 9x 5 + 4x - 3x + 1 = 0, son racionales.

La raíz (o solución) de una ecuación con una x desconocida es un número que, cuando se sustituye en la ecuación en lugar de x, produce una verdadera igualdad numérica.

Resolver una ecuación significa encontrar todas sus raíces o demostrar que no hay ninguna. Al resolver ecuaciones racionales, debes multiplicar y dividir ambos lados de la ecuación por un número distinto de cero, transferir términos de la ecuación de una parte a la otra y aplicar las reglas para sumar y restar fracciones algebraicas. El resultado será una ecuación equivalente a la anterior, es decir, una ecuación que tiene las mismas raíces, y sólo ellas.

Enumeremos las ecuaciones estándar que hemos estudiado. Respuestas de los estudiantes (ecuación lineal, ecuación cuadrática, ecuación de potencia más simple x norte =a). Convertir ecuaciones a una de las estándar es el paso principal para resolver una ecuación. Es imposible algoritmizar completamente el proceso de conversión, pero conviene recordar algunas técnicas comunes a todo tipo de ecuaciones.

1).Una ecuación de la forma A(x) B(x) = O, donde A(x) y B(x) son polinomios con respecto a x, se llamaecuación decreciente.

El conjunto de todas las raíces de una ecuación en descomposición es la unión de los conjuntos de todas las raíces de dos ecuaciones A(x)=0 y B(x)=0. El método de factorización se aplica a ecuaciones de la forma A(x) = 0. La esencia de este método: necesitas resolver la ecuación A(x)=0, donde A(x)=A 1 (x)A 2 (x)A 3 (X). La ecuación A(x) = 0 se reemplaza por un conjunto de ecuaciones simples: A 1 (x)=0.A 2 (x)=0.A 3 (x)=0. Encuentra las raíces de las ecuaciones de este conjunto y haz una verificación. El método de factorización se utiliza principalmente para ecuaciones racionales y trigonométricas.

EJEMPLO 1.

Resolvamos la ecuación (x 2 - 5x + 6) (x 2 + x - 2) = 0.

La ecuación se divide en dos ecuaciones.

x2 - 5x + 6 = 0 x1 = 2 y x2 = 3

x 2 + x - 2 = 0. x 3 = -2 y x 4 = 1

Esto significa que la ecuación original tiene raíces x 1 = 2, x 2 = 3, x 3 = -2, x 4 = 1.

Respuesta. -2; 1; 2; 3.

EJEMPLO. Resolvamos la ecuación x. 3-7x+6=0.

x 3 -x-6x+6=0

x(x 2 -1)-6(x-1)=0

x(x-1)(x+1)-6(x-1)=0

(x-1)(x(x+1)-6)=0

(x-1)(x 2 +x-6)=0

x-1=0, x1 =1; x 2 + x-6 = 0, x 2 = 2, x 3 = -3.

Respuesta:1;2;-3.

2).Ecuación de la forma., donde A(x) y B(x) son polinomios relativo a x.

EJEMPLO 2.

Resolvamos la ecuación.

Primero resolvamos la ecuación.

x 2 + 4x - 21 = 0. x 1 = 3 y x 2 = -7

Sustituyendo estos números en el denominador del lado izquierdo de la ecuación original, obtenemos

x 1 2 - x 1 -6 = 9-3-6 = 0,

x 2 2 - x 2 - 6 = 49 + 7 - 6 = 50 ≠0.

Esto muestra que el número x 1 = 3 no es la raíz de la ecuación original, sino el número x 2 =- 7 es la raíz de esta ecuación.

Respuesta. -7.

3).Ecuación de la forma.

donde A(x), B(x), C(x) y D(x) son polinomios con respecto a x, generalmente resueltos según la siguiente regla.

Se resuelve la ecuación A(x) D(x) - C(x)·B(x) = 0 y se seleccionan de sus raíces aquellas que no hacen desaparecer el denominador de la ecuación.

EJEMPLO 3.

Resolvamos la ecuación.

Resolvamos la ecuación.

x2 - 5x + 6 - (2x + 3) (x - 3) = 0.

x2 + 2x - 15 = 0

x1 = -5 y x2 = 3.

Número x 1 no hace que el denominador x - 3 desaparezca, pero sí el número x 2 convierte. Por lo tanto, la ecuación tiene una raíz única = -5.

Respuesta. -5.

Encontrar las raíces de una ecuación racional a menudo ayuda al reemplazar la incógnita. La capacidad de introducir con éxito una nueva variable es un elemento importante de la cultura matemática. La elección exitosa de una nueva variable hace que la estructura de la ecuación sea más transparente.

EJEMPLO 4.

Resolvamos la ecuación x. 8 + 4x 6 -10x 4 + 4x 2 + 1 = 0.

Número x 0 = 0 no es una raíz de la ecuación, por lo que la ecuación es equivalente a la ecuación

x 4 + 4x 2 - 10 + + =0

Denotemos t =, entonces x 4 + =t 2 -2,

obtenemos t 2 + 4t - 12 = 0, x 1 = 2 y x 2 = -6.

Por lo tanto, encontramos las raíces de la ecuación combinando todas las raíces de las dos ecuaciones:=2, y =-6,

La primera ecuación tiene dos raíces -1 y 1, y la segunda ecuación no tiene raíces reales, por lo que la ecuación solo tiene dos raíces: -1 y 1. Respuesta. -1; 1.

4). Ecuaciones simétricas.

Un polinomio de varias variables se llama polinomio simétrico si su forma no cambia con ninguna permutación de estas variables.

Por ejemplo, polinomios x + y, a 2 + b 2 - 1, zt y 5a 3 + 6ab + 5b 3 - polinomios simétricos en dos variables, a polinomios x + y + z, a 3 + b 3 + c 3 , - polinomios simétricos en tres variables.

Al mismo tiempo, los polinomios x - y, a 2 –b 2 y a 3 + ab – b 3 - polinomios asimétricos.

Ecuación ax 4 +bx 3 +cx 2 +bx+a=0, donde a R/ ,b R, c R se llama ecuación simétrica de cuarto grado. Para resolver esta ecuación necesitas:

1).Dividir ambos lados de la ecuación por x 2 y agrupar las expresiones resultantes:.

2).Introducción de una variablela ecuación se reduce a cuadrática.

Ejemplo.

Resolver ecuación x 4 +5x 3 +4x 2 -5x+1=0.

El número 0 no es la raíz de la ecuación. Divide ambos lados de la ecuación por x 2 ≠0.

Respuesta. .

Sistemas de ecuaciones racionales.

Los sistemas de ecuaciones aparecen al resolver problemas en los que se desconocen varias cantidades. Estas cantidades están relacionadas por una determinada relación, que se escriben en forma de ecuaciones.

Una ecuación cuyos lados izquierdo y derecho son expresiones racionales para xey se llama ecuación racional con dos incógnitas xey.

Si necesitamos encontrar todos los pares de números x e y, cada uno de los cuales es una solución a cada una de las ecuaciones dadas con dos incógnitas x e y, entonces decimos que necesitamos resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas x e y , y cada uno de esos pares se denomina solución de este sistema.

Las incógnitas también pueden indicarse con otras letras. Un sistema de ecuaciones en el que el número de incógnitas es mayor que dos se determina de forma similar.

Si cada solución del primer sistema de ecuaciones es una solución del segundo sistema, y ​​cada solución del segundo sistema de ecuaciones es una solución del primer sistema, entonces dichos sistemas se denominan equivalentes. En particular, dos sistemas que no tienen soluciones se consideran equivalentes.

Por ejemplo, los sistemas son equivalentes.

1). Método de sustitución.

EJEMPLO 1. Resolvamos el sistema de ecuaciones.

Expresando y a través de x a partir de la primera ecuación del sistema, obtenemos la ecuación:

y = 3x - 1.

Resolviendo la ecuación 5x 2 -4(3x-1)+3(3x-1) 2 =9, encuentra sus raíces x 1 = 1 y x 2 = . Sustituyendo los números encontrados x 1 yx2 en la ecuación y = 3x - 1, obtenemos y 1 = 2

y y = En consecuencia, el sistema tiene dos soluciones: (1; 2) y (; )

Respuesta. (12), (; )

2). Método de suma algebraica.

EJEMPLO 2. Resolvamos el sistema de ecuaciones.

Dejando la primera ecuación del sistema sin cambios y sumando la primera ecuación con la segunda, obtenemos un sistema equivalente al sistema.

Todas las soluciones del sistema son la unión de todas las soluciones de dos sistemas:

(2; 1), (-2; -1),

Respuesta. (2; 1), (-2; -1), .

3). Método de introducción de nuevas incógnitas.

EJEMPLO 3. Resolvamos el sistema de ecuaciones.

Denotando u = xy, v = x - y, reescribimos el sistema en la forma

Encontremos sus soluciones:u 1 = 1, v 1 = 0 y u 2 = 5, v 2 = 4. En consecuencia, todas las soluciones del sistema son la unión de todas las soluciones de dos sistemas:

Habiendo resuelto cada uno de estos sistemas mediante el método de sustitución, encontramos sus soluciones al sistema: (1; 1), (-1; -1), (5; 1), (-1; -5).

Respuesta. (1; 1), (-1; -1), (5; 1), (-1; -5).

4). Ecuación de la forma ah 2 + bxy + su 2 = 0, donde a, b, c reciben números distintos de cero, se denomina ecuación homogénea con respecto a las incógnitas x e y.

Considere un sistema de ecuaciones en el que existe una ecuación homogénea.

EJEMPLO 4. Resolvamos el sistema de ecuaciones.

Designando t = , reescribimos la primera ecuación del sistema en la forma t 2+4t+3=0.

La ecuación tiene dos raíces t. 1 = -1 y t 2 = -3, por lo tanto todas las soluciones del sistema son la unión de todas las soluciones de dos sistemas:

Habiendo resuelto cada uno de estos sistemas, encontramos todas las soluciones del sistema:

(2,5; -2,5), (0,5; -0,5), ,(1,5;-0,5).

Respuesta. (2,5; -2,5), (0,5; -0,5),,(1,5;-0,5).

Al resolver algunos sistemas, ayuda el conocimiento de las propiedades de los polinomios simétricos.

Ejemplo.

Introduzcamos nuevas incógnitas α = x + y y β = xy, entonces x 4 +у 4 = α 4 -4 α 2 β+2 β 2

Por lo tanto, el sistema se puede reescribir en la forma

Resolvamos la ecuación cuadrática para β: β 1 =6, β2 =44.

Por lo tanto, todas las soluciones del sistema son la unión.

todas las soluciones de dos sistemas:

El primer sistema tiene dos soluciones x 1 = 2, y 1 = 3 y x 2 = 3, y 2 =2, y el segundo sistema no tiene soluciones reales. Por tanto, el sistema tiene dos soluciones: (x: 1; y 1) y (x 2; y 2)

Respuesta. (2; 3), (3; 2).

Hoy resumimos los resultados del estudio del tema de las ecuaciones racionales. Hablamos de las ideas generales, los métodos generales en los que se basa toda la línea de ecuaciones de la escuela.

Se han identificado métodos para resolver ecuaciones:

1) método de factorización;

2) método de introducción de nuevas variables.

Ampliamos nuestra comprensión de los métodos para resolver sistemas de ecuaciones.

En las próximas 4 lecciones realizaremos ejercicios prácticos. Para hacer esto, necesita aprender el material teórico y seleccionar 2 ejemplos del libro de texto para los métodos considerados para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones, en la lección 6 se llevará a cabo un seminario sobre este tema, para esto necesita preparar preguntas. : Fórmula binomial de Newton, resolviendo ecuaciones simétricas de grado 3,5. La lección final sobre este tema es una prueba.

Literatura.

1. Álgebra y los inicios del análisis: libro de texto. Por 10kl. educación general instituciones/[S.M. Nikolsky, M.K. Potapov].-5ª ed., adicional-M.: Educación, 2006.-432 p. págs.65-74., 45-47.
2. Matemáticas: formación de tareas temáticas de mayor complejidad con respuestas para la preparación del Examen Estatal Unificado y otras modalidades de exámenes finales y de ingreso/comp. G. I. Kovaleva, T. I. Buzulina - Volgogrado: Profesora, 2009.-494 p. – págs. 62-72, 194-199.
3. Titarenko A.M. Matemáticas: grados 9-11: 6000 problemas y ejemplos/A.M. Titarenko.-M.: Eksmo, 2007.-336 p.

Hay mucho que decir sobre las ecuaciones. Hay preguntas en esta área de las matemáticas que los matemáticos aún no han respondido. Quizás algunos de ustedes encuentren respuestas a estas preguntas.

Albert Einstein dijo: “Tengo que dividir mi tiempo entre política y ecuaciones. Sin embargo, las ecuaciones, en mi opinión, son mucho más importantes. La política existe sólo para este momento. Y las ecuaciones existirán para siempre”.

Las lecciones 2 a 5 están dedicadas a ejercicios prácticos. El principal tipo de actividad en estas lecciones es el trabajo independiente de los estudiantes para consolidar y profundizar el material teórico presentado en la conferencia. En cada uno de ellos se repiten preguntas teóricas y se encuesta a los estudiantes. A partir del trabajo autónomo en clase y en casa, se asegura la repetición y asimilación de cuestiones teóricas, se realiza un trabajo específico para desarrollar habilidades en la resolución de problemas de diversos niveles de complejidad y se encuesta a los estudiantes. Objetivo: consolidar y profundizar el material teórico presentado en la conferencia, aprender a aplicarlo en la práctica, dominar algoritmos para resolver ejemplos y problemas típicos y garantizar que todos los estudiantes comprendan el contenido principal de la sección que se está estudiando al nivel de los requisitos del programa. .

Las lecciones 6 y 7 están asignadas para el seminario, y es recomendable realizar un seminario en la lección 6 y una prueba en la lección 7.

Plan de lección-seminario.

Objetivo: repetición, profundización y generalización del material tratado, práctica de métodos, métodos y técnicas básicos para la resolución de problemas matemáticos, adquisición de nuevos conocimientos, aprendizaje de la aplicación independiente de conocimientos en situaciones atípicas.

1. Al comienzo de la lección, se organiza el control del programa. El objetivo del trabajo es poner a prueba el desarrollo de destrezas y habilidades para realizar ejercicios sencillos. En el proceso de interrogatorio frontal a los alumnos que indicaron incorrectamente el número de respuesta, el docente descubre cuál de las tareas generó dificultad. A continuación se realiza un trabajo oral o escrito para eliminar errores. Para realizar el control programado no se conceden más de 10 minutos.

2. Encuesta diferenciada a varios estudiantes sobre cuestiones teóricas.

3. Información histórica sobre el surgimiento y desarrollo del concepto de ecuación (mensaje estudiantil). Fórmula binomial de Newton. Resolver ecuaciones simétricas de tercer grado, cuarto grado, quinto grado.

x 4 -2x 3 -x 2 -2x+1=0

2x 4 +x 3 -11x 2 +x+2=0

x 5 -x 4 -3x 3 -3x 2 -x+1=0

2x 5 +3x 4 -5x 3 -5x 2 +3x+2=0

4. Resolver ejemplos y comprobar si los estudiantes están preparados para realizar el examen es una de las tareas principales del seminario.

Realización de la prueba.

Realizar una prueba no significa abandonar el seguimiento continuo de los conocimientos de los estudiantes. Las calificaciones se dan en clases prácticas y de seminario. Se probarán algunos ejercicios típicos. Se informa previamente a los estudiantes qué material teórico y ejercicios se presentarán durante la prueba. Presentemos el contenido de una de las tarjetas para probar sobre el tema en consideración.

Nivel 1.

Resuelve las ecuaciones: (x+3) 4 +(x 2 +x-6) 2 =2(x-2) 4

X2 +25 =24

(2x 2 -3x+1)(2x 2 -5x+1)=8x 2

Nivel 2.

Resuelve las ecuaciones: x 4 +8x 3 +8x 2 -32x-9=0

8x 3 -12x 2 +x-7=0

Avance:

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Introdujimos la ecuación anterior en el § 7. Primero, recordemos qué es una expresión racional. Esta es una expresión algebraica formada por números y la variable x utilizando las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y exponenciación con exponente natural.

Si r(x) es una expresión racional, entonces la ecuación r(x) = 0 se llama ecuación racional.

Sin embargo, en la práctica es más conveniente utilizar una interpretación ligeramente más amplia del término “ecuación racional”: se trata de una ecuación de la forma h(x) = q(x), donde h(x) y q(x) son expresiones racionales.

Hasta ahora no hemos podido resolver ninguna ecuación racional, sino sólo una que, como resultado de diversas transformaciones y razonamientos, quedó reducida a ecuación lineal. Ahora nuestras capacidades son mucho mayores: podremos resolver una ecuación racional que se reduce no solo a lineal
mu, sino también a la ecuación cuadrática.

Recordemos cómo resolvimos ecuaciones racionales antes e intentemos formular un algoritmo de solución.

Ejemplo 1. Resuelve la ecuación

Solución. Reescribamos la ecuación en la forma

En este caso, como es habitual, aprovechamos que las igualdades A = B y A - B = 0 expresan la misma relación entre A y B. Esto nos permitió mover el término al lado izquierdo de la ecuación con el signo opuesto.

Transformemos el lado izquierdo de la ecuación. Tenemos

Recordemos las condiciones de igualdad. fracciones cero: si y sólo si se satisfacen dos relaciones simultáneamente:

1) el numerador de la fracción es cero (a = 0); 2) el denominador de la fracción es distinto de cero).
Al equiparar el numerador de la fracción del lado izquierdo de la ecuación (1) con cero, obtenemos

Queda por comprobar el cumplimiento de la segunda condición indicada anteriormente. La relación significa para la ecuación (1) que . Los valores x 1 = 2 y x 2 = 0,6 satisfacen las relaciones indicadas y por lo tanto sirven como raíces de la ecuación (1), y al mismo tiempo raíces de la ecuación dada.

1) Transformemos la ecuación a la forma.

2) Transformemos el lado izquierdo de esta ecuación:

(simultáneamente cambió los signos en el numerador y
fracciones).
Por tanto, la ecuación dada toma la forma

3) Resuelve la ecuación x 2 - 6x + 8 = 0. Encuentra

4) Para los valores encontrados, verificar el cumplimiento de la condición. . El número 4 cumple esta condición, pero el número 2 no. Esto significa que 4 es la raíz de la ecuación dada y 2 es una raíz extraña.
RESPUESTA: 4.

2. Resolver ecuaciones racionales introduciendo una nueva variable.

El método para introducir una nueva variable le resulta familiar; lo hemos utilizado más de una vez. Demostremos con ejemplos cómo se utiliza para resolver ecuaciones racionales.

Ejemplo 3. Resuelve la ecuación x 4 + x 2 - 20 = 0.

Solución. Introduzcamos una nueva variable y = x 2. Dado que x 4 = (x 2) 2 = y 2, entonces la ecuación dada se puede reescribir como

y 2 + y - 20 = 0.

Esta es una ecuación cuadrática, cuyas raíces se pueden encontrar usando fórmulas; obtenemos y 1 = 4, y 2 = - 5.
Pero y = x 2, lo que significa que el problema se ha reducido a resolver dos ecuaciones:
x2 =4; x2 = -5.

De la primera ecuación encontramos que la segunda ecuación no tiene raíces.
Respuesta: .
Una ecuación de la forma ax 4 + bx 2 +c = 0 se llama ecuación bicuadrática (“bi” es dos, es decir, una especie de ecuación “doble cuadrática”). La ecuación que acabamos de resolver era precisamente bicuadrática. Cualquier ecuación bicuadrática se resuelve de la misma manera que la ecuación del Ejemplo 3: introduce una nueva variable y = x 2, resuelve la ecuación cuadrática resultante con respecto a la variable y y luego regresa a la variable x.

Ejemplo 4. Resuelve la ecuación

Solución. Tenga en cuenta que la misma expresión x 2 + 3x aparece dos veces aquí. Esto significa que tiene sentido introducir una nueva variable y = x 2 + 3x. Esto nos permitirá reescribir la ecuación de una forma más simple y agradable (que, de hecho, es el propósito de introducir una nueva variable- y simplificando la grabación
se vuelve más claro y la estructura de la ecuación se vuelve más clara):

Ahora usemos el algoritmo para resolver una ecuación racional.

1) Movamos todos los términos de la ecuación a una parte:

= 0
2) Transforma el lado izquierdo de la ecuación.

Entonces, hemos transformado la ecuación dada a la forma

3) De la ecuación - 7y 2 + 29y -4 = 0 encontramos (tú y yo ya hemos resuelto muchas ecuaciones cuadráticas, por lo que probablemente no valga la pena dar siempre cálculos detallados en el libro de texto).

4) Comprobemos las raíces encontradas usando la condición 5 (y - 3) (y + 1). Ambas raíces cumplen esta condición.
Entonces, la ecuación cuadrática para la nueva variable y queda resuelta:
Como y = x 2 + 3x, y y, como hemos establecido, toma dos valores: 4 y , aún nos queda por resolver dos ecuaciones: x 2 + 3x = 4; x2 + Zx = . Las raíces de la primera ecuación son los números 1 y - 4, las raíces de la segunda ecuación son los números

En los ejemplos considerados, el método de introducción de una nueva variable fue, como les gusta decir a los matemáticos, adecuado a la situación, es decir, se correspondía bien con ella. ¿Por qué? Sí, porque la misma expresión apareció claramente en la ecuación varias veces y había una razón para designar esta expresión con una nueva letra. Pero esto no siempre sucede; a veces una nueva variable “aparece” sólo durante el proceso de transformación. Esto es exactamente lo que sucederá en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 5. Resuelve la ecuación
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Solución. Tenemos
x(x - 3) = x 2 - 3x;
(x - 1)(x - 2) = x 2 -Зx+2.

Esto significa que la ecuación dada se puede reescribir en la forma

(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24

Ahora ha “aparecido” una nueva variable: y = x 2 - 3x.

Con su ayuda, la ecuación se puede reescribir en la forma y (y + 2) = 24 y luego y 2 + 2y - 24 = 0. Las raíces de esta ecuación son los números 4 y -6.

Volviendo a la variable original x, obtenemos dos ecuaciones x 2 - 3x = 4 y x 2 - 3x = - 6. De la primera ecuación encontramos x 1 = 4, x 2 = - 1; la segunda ecuación no tiene raíces.

RESPUESTA: 4, - 1.