2. DESCRIPCIÓN DE LAS INCERTIDUMBRES EN LA TEORÍA DE LA TOMA DE DECISIONES
2.2. Métodos probabilísticos y estadísticos para describir incertidumbres en la teoría de la decisión.
2.2.4. Variables aleatorias y sus distribuciones.
Distribuciones de variables aleatorias y funciones de distribución.. La distribución de una variable aleatoria numérica es una función que determina de forma única la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor determinado o pertenezca a un intervalo determinado.
La primera es si la variable aleatoria toma un número finito de valores. Entonces la distribución viene dada por la función P(X = x), asignando a cada valor posible X variable aleatoria X la probabilidad de que X=x.
La segunda es si la variable aleatoria toma infinitos valores. Esto sólo es posible cuando el espacio probabilístico en el que se define la variable aleatoria consta de un número infinito de eventos elementales. Entonces la distribución viene dada por el conjunto de probabilidades. Pensilvania <
X
Pensilvania <
X
Esta relación muestra que tanto la distribución se puede calcular a partir de la función de distribución como, a la inversa, la función de distribución se puede calcular a partir de la distribución.
Las funciones de distribución utilizadas en los métodos estadístico-probabilísticos de toma de decisiones y otras investigaciones aplicadas son discretas, continuas o combinaciones de ellas.
Las funciones de distribución discreta corresponden a variables aleatorias discretas que toman un número finito de valores o valores de un conjunto cuyos elementos pueden numerarse mediante números naturales (tales conjuntos se denominan contables en matemáticas). Su gráfico parece una escalera de mano (Fig. 1).
Ejemplo 1. Número X Los artículos defectuosos en un lote adquieren un valor de 0 con una probabilidad de 0,3, un valor de 1 con una probabilidad de 0,4, un valor de 2 con una probabilidad de 0,2 y un valor de 3 con una probabilidad de 0,1. Gráfica de la función de distribución de una variable aleatoria. X se muestra en la Fig. 1.
Figura 1. Gráfica de la función de distribución del número de productos defectuosos.
Las funciones de distribución continua no tienen saltos. Aumentan monótonamente a medida que aumenta el argumento, de 0 en a 1 en . Las variables aleatorias que tienen funciones de distribución continua se denominan continuas.
Las funciones de distribución continua utilizadas en los métodos de toma de decisiones estadístico-probabilístico tienen derivadas. Primera derivada f(x) funciones de distribución F(x) se llama densidad de probabilidad,
Usando la densidad de probabilidad, puedes determinar la función de distribución:
Para cualquier función de distribución.
y por lo tanto
Las propiedades enumeradas de las funciones de distribución se utilizan constantemente en métodos probabilísticos y estadísticos de toma de decisiones. En particular, la última igualdad implica una forma específica de constantes en las fórmulas para densidades de probabilidad que se consideran a continuación.
Ejemplo 2. A menudo se utiliza la siguiente función de distribución:
(1)
Dónde a Y b– algunos números, a . Encontremos la densidad de probabilidad de esta función de distribución:
(en puntos x = un Y x = segundo derivada de una función F(x) no existe).
Una variable aleatoria con función de distribución (1) se denomina "distribuida uniformemente en el intervalo [ a; b]».
Las funciones de distribución mixta se producen, en particular, cuando las observaciones se detienen en algún punto. Por ejemplo, al analizar datos estadísticos obtenidos del uso de planes de pruebas de confiabilidad que prevén la finalización de las pruebas después de un cierto período. O al analizar datos sobre productos técnicos que requirieron reparaciones en garantía.
Ejemplo 3. Sea, por ejemplo, la vida útil de una bombilla eléctrica una variable aleatoria con una función de distribución. Pie), y la prueba se realiza hasta que falle la bombilla, si esto ocurre en menos de 100 horas desde el inicio de la prueba, o hasta t 0= 100 horas. Dejar G(t)– función de distribución del tiempo de funcionamiento de la bombilla en buen estado durante esta prueba. Entonces
Función G(t) tiene un salto en un punto t 0, ya que la variable aleatoria correspondiente toma el valor t 0 con probabilidad 1- F(t0)> 0.
Características de las variables aleatorias. En los métodos estadístico-probabilísticos de toma de decisiones, se utilizan una serie de características de las variables aleatorias, expresadas mediante funciones de distribución y densidades de probabilidad.
Al describir la diferenciación de ingresos, al encontrar límites de confianza para los parámetros de distribuciones de variables aleatorias y en muchos otros casos, se utiliza un concepto como "cuantil de orden". R", donde 0< pag < 1 (обозначается xp). Orden cuantil R– el valor de una variable aleatoria para la cual la función de distribución toma el valor R o hay un “salto” desde un valor menor R a un valor mayor R(Figura 2). Puede suceder que esta condición se cumpla para todos los valores de x que pertenecen a este intervalo (es decir, la función de distribución es constante en este intervalo y es igual a R). Entonces cada uno de esos valores se denomina "cuantil de orden". R».
Figura 2. Definición de cuantil xp orden R.
Para funciones de distribución continua, por regla general, hay un solo cuantil xp orden R(Figura 2), y
F(x p) = p. (2)
Ejemplo 4. Encontremos el cuantil xp orden R para la función de distribución F(x) de 1).
A las 0< pag < 1 квантиль xp se encuentra a partir de la ecuación
aquellos. xp = a + p(b – a) = a( 1- p) +pb. En pag= 0 cualquiera X < a es un cuantil de orden pag= 0. Cuantil de orden pag= 1 es cualquier número X > b.
Para distribuciones discretas, por regla general, no hay xp, satisfaciendo la ecuación (2). Más precisamente, si la distribución de una variable aleatoria se da en la Tabla 1, donde x1< x 2 < … < x k , entonces la igualdad (2), considerada como una ecuación con respecto a xp, tiene soluciones sólo para k valores pag, a saber,
p = p 1 ,
pags = pags 1 + pags 2 ,
pags = pags 1 + pags 2 + pags 3 ,
p = p 1 + p 2 + … + p m , 3< m < k,
p = p 1 + p 2 + … + p k.
Tabla 1.
Distribución de una variable aleatoria discreta.
|
Valores X variable aleatoria X |
||||
|
Probabilidades P(X=x) |
Para los enumerados k valores de probabilidad pag solución xp la ecuación (2) no es única, es decir,
F(x) = p 1 + p 2 + … + p m
para todos X tal que x m< x < xm+1. Aquellos. xp- cualquier número del intervalo (x m; x m+1 ]. Para todos los demás R desde el intervalo (0;1), no incluido en la lista (3), hay un “salto” desde un valor menor R a un valor mayor R. Es decir, si
p 1 + p 2 + … + p m
Eso xp = xm+1.
La propiedad considerada de las distribuciones discretas crea dificultades importantes al tabular y utilizar dichas distribuciones, ya que es imposible mantener con precisión los valores numéricos típicos de las características de la distribución. En particular, esto es cierto para los valores críticos y niveles de significancia de pruebas estadísticas no paramétricas (ver más abajo), ya que las distribuciones de las estadísticas de estas pruebas son discretas.
El orden cuantil es de gran importancia en estadística. R= S. Se llama mediana (variable aleatoria X o su función de distribución F(x)) y es designado Yo(X). En geometría existe el concepto de "mediana": una línea recta que pasa por el vértice de un triángulo y divide su lado opuesto por la mitad. En estadística matemática, la mediana divide por la mitad no el lado del triángulo, sino la distribución de una variable aleatoria: igualdad F(x 0,5)= 0,5 significa que la probabilidad de llegar a la izquierda x 0,5 y la probabilidad de llegar a la derecha x 0,5(o directamente a x 0,5) son iguales entre sí e iguales a S, es decir
PAG(X < X 0,5) = PAG(X > X 0,5) = S.
La mediana indica el "centro" de la distribución. Desde el punto de vista de uno de los conceptos modernos, la teoría de los procedimientos estadísticos estables, la mediana es una mejor característica de una variable aleatoria que la expectativa matemática. Al procesar resultados de mediciones en una escala ordinal (consulte el capítulo sobre teoría de la medición), se puede utilizar la mediana, pero no la expectativa matemática.
Una característica de una variable aleatoria como la moda tiene un significado claro: el valor (o valores) de una variable aleatoria correspondiente al máximo local de la densidad de probabilidad para una variable aleatoria continua o al máximo local de la probabilidad para una variable aleatoria discreta. .
Si x0– moda de una variable aleatoria con densidad f(x), entonces, como se sabe por el cálculo diferencial, .
Una variable aleatoria puede tener muchas modas. Entonces, para una distribución uniforme (1) cada punto X tal que a< x < b , es moda. Sin embargo, esta es una excepción. La mayoría de las variables aleatorias utilizadas en los métodos estadísticos probabilísticos de toma de decisiones y otras investigaciones aplicadas tienen una moda. Las variables aleatorias, densidades y distribuciones que tienen una moda se denominan unimodales.
La expectativa matemática para variables aleatorias discretas con un número finito de valores se analiza en el capítulo "Eventos y probabilidades". Para una variable aleatoria continua X valor esperado M(X) satisface la igualdad
que es un análogo de la fórmula (5) del enunciado 2 del capítulo "Eventos y probabilidades".
Ejemplo 5. Expectativa de una variable aleatoria distribuida uniformemente X es igual
Para las variables aleatorias consideradas en este capítulo, todas aquellas propiedades de las expectativas y varianzas matemáticas que se consideraron anteriormente para variables aleatorias discretas con un número finito de valores son ciertas. Sin embargo, no proporcionamos pruebas de estas propiedades, ya que requieren profundizar en sutilezas matemáticas, lo cual no es necesario para la comprensión y la aplicación calificada de los métodos estadístico-probabilísticos de toma de decisiones.
Comentario. Este libro de texto evita conscientemente las sutilezas matemáticas asociadas, en particular, con los conceptos de conjuntos mensurables y funciones mensurables, álgebra de eventos, etc. Quienes deseen dominar estos conceptos deben recurrir a la literatura especializada, en particular a la enciclopedia.
Cada una de las tres características (expectativa matemática, mediana, moda) describe el “centro” de la distribución de probabilidad. El concepto de "centro" se puede definir de diferentes maneras, de ahí tres características diferentes. Sin embargo, para una clase importante de distribuciones (unimodales simétricas) las tres características coinciden.
Densidad de distribución f(x)– densidad de distribución simétrica, si hay un número x0 tal que
. (3)
La igualdad (3) significa que la gráfica de la función y = f(x) simétrico con respecto a una línea vertical que pasa por el centro de simetría X = X 0. De (3) se deduce que la función de distribución simétrica satisface la relación
(4)
Para una distribución simétrica con una moda, la expectativa matemática, la mediana y la moda coinciden y son iguales. x0.
El caso más importante es la simetría alrededor de 0, es decir x0= 0. Entonces (3) y (4) se convierten en igualdades
(6)
respectivamente. Las relaciones anteriores muestran que no hay necesidad de tabular distribuciones simétricas para todos X, basta con tener mesas en X > x0.
Observemos una propiedad más de las distribuciones simétricas, que se utiliza constantemente en los métodos estadístico-probabilísticos de toma de decisiones y otras investigaciones aplicadas. Para una función de distribución continua
P(|X| < a) = P(-a < X < a) = F(a) – F(-a),
Dónde F– función de distribución de una variable aleatoria X. Si la función de distribución F es simétrico con respecto a 0, es decir la fórmula (6) es válida para ello, entonces
P(|X| < a) = 2F(a) – 1.
A menudo se utiliza otra formulación de la afirmación en cuestión: si
.
Si y son cuantiles de orden y, respectivamente (ver (2)) de una función de distribución simétrica con respecto a 0, entonces de (6) se deduce que
De las características de la posición (esperanza matemática, mediana, moda), pasemos a las características de la dispersión de la variable aleatoria. X: varianza, desviación estándar y coeficiente de variación v. La definición y las propiedades de la dispersión de variables aleatorias discretas se analizaron en el capítulo anterior. Para variables aleatorias continuas
La desviación estándar es el valor no negativo de la raíz cuadrada de la varianza:
El coeficiente de variación es la relación entre la desviación estándar y la expectativa matemática:
El coeficiente de variación se aplica cuando M(X)> 0. Mide el diferencial en unidades relativas, mientras que la desviación estándar está en unidades absolutas.
Ejemplo 6. Para una variable aleatoria distribuida uniformemente X Encontremos la dispersión, la desviación estándar y el coeficiente de variación. La varianza es:
Cambiar la variable permite escribir:
Dónde C = (b – a)/ 2. Por tanto, la desviación estándar es igual a y el coeficiente de variación es:
Para cada variable aleatoria X determinar tres cantidades más - centradas Y, normalizado V y dado Ud.. Variable aleatoria centrada Y es la diferencia entre una variable aleatoria dada X y su expectativa matemática M(X), aquellos. Y = X-M(X). Expectativa de una variable aleatoria centrada Y es igual a 0, y la varianza es la varianza de una variable aleatoria dada: METRO(Y) = 0, D(Y) = D(X). Función de distribución FY(X) variable aleatoria centrada Y relacionado con la función de distribución F(X) variable aleatoria original X relación:
FY(X) = F(X + METRO(X)).
Las densidades de estas variables aleatorias satisfacen la igualdad.
f Y(X) = F(X + METRO(X)).
Variable aleatoria normalizada V es la razón de una variable aleatoria dada X a su desviación estándar, es decir . Expectativa y varianza de una variable aleatoria normalizada. V expresado a través de características X Entonces:
,
Dónde v– coeficiente de variación de la variable aleatoria original X. Para la función de distribución FV(X) y densidad f V(X) variable aleatoria normalizada V tenemos:
Dónde F(X) – función de distribución de la variable aleatoria original X, A F(X) – su densidad de probabilidad.
Variable aleatoria reducida Ud. es una variable aleatoria centrada y normalizada:
.
Para la variable aleatoria dada
Las variables aleatorias normalizadas, centradas y reducidas se utilizan constantemente tanto en estudios teóricos como en algoritmos, productos de software y documentación reglamentaria, técnica e instructiva. En particular, porque las igualdades 
permiten simplificar la justificación de métodos, la formulación de teoremas y fórmulas de cálculo.
Se utilizan transformaciones de variables aleatorias y otras más generales. Así que si Y = hacha + b, Dónde a Y b– algunos números, entonces
Ejemplo 7. si entonces Y es la variable aleatoria reducida, y las fórmulas (8) se convierten en fórmulas (7).
Con cada variable aleatoria X puedes asociar muchas variables aleatorias Y, dado por la fórmula Y = hacha + b en diferentes a> 0 y b. Este conjunto se llama familia de cambio de escala, generado por la variable aleatoria X. Funciones de distribución FY(X) constituyen una familia de distribuciones de cambio de escala generadas por la función de distribución F(X). En lugar de Y = hacha + b A menudo uso la grabación.
Número Con se llama parámetro de desplazamiento y el número d- parámetro de escala. La fórmula (9) muestra que X– el resultado de medir una cierta cantidad – entra en Ud.– el resultado de medir la misma cantidad si el comienzo de la medición se traslada al punto Con y luego use la nueva unidad de medida, en d veces más grande que el anterior.
Para la familia de desplazamiento de escala (9), la distribución de X se denomina estándar. En los métodos estadísticos probabilísticos de toma de decisiones y otras investigaciones aplicadas, se utilizan la distribución normal estándar, la distribución estándar de Weibull-Gnedenko, la distribución gamma estándar, etc. (ver más abajo).
También se utilizan otras transformaciones de variables aleatorias. Por ejemplo, para una variable aleatoria positiva X están considerando Y= iniciar sesión X, donde LG X– logaritmo decimal de un número X. Cadena de igualdades
F Y (x) = P( LG X< x) = P(X < 10x) = F( 10X)
conecta funciones de distribución X Y Y.
Al procesar datos, se utilizan las siguientes características de una variable aleatoria X como momentos de orden q, es decir. expectativas matemáticas de una variable aleatoria xq, q= 1, 2, ... Por tanto, la expectativa matemática en sí es un momento de orden 1. Para una variable aleatoria discreta, el momento de orden q se puede calcular como
Para una variable aleatoria continua
Momentos de orden q También llamados momentos iniciales de orden. q, en contraste con las características relacionadas: momentos centrales de orden q, dado por la fórmula
Entonces, la dispersión es un momento central de orden 2.
Distribución normal y teorema del límite central. En los métodos probabilístico-estadísticos de toma de decisiones a menudo hablamos de distribución normal. A veces intentan utilizarlo para modelar la distribución de los datos iniciales (estos intentos no siempre están justificados; ver más abajo). Más importante aún, muchos métodos de procesamiento de datos se basan en el hecho de que los valores calculados tienen distribuciones cercanas a la normal.
Dejar X 1 , X 2 ,…, xn METRO(X yo) = metro y variaciones D(X yo) = , i= 1, 2,…, norte,... Como se desprende de los resultados del capítulo anterior,
Considere la variable aleatoria reducida ONU por la cantidad 
, a saber,
Como se desprende de las fórmulas (7), METRO(ONU) = 0, D(ONU) = 1.
(para términos distribuidos idénticamente). Dejar X 1 , X 2 ,…, xn, … – variables aleatorias independientes distribuidas idénticamente con expectativas matemáticas METRO(X yo) = metro y variaciones D(X yo) = , i= 1, 2,…, norte,... Entonces para cualquier x hay un límite
Dónde F(x)– función de distribución normal estándar.
Más sobre la función F(x) – a continuación (lea “phi de x”, porque F- Letra mayúscula griega "phi").
El teorema del límite central (CLT) recibe su nombre porque es el resultado matemático central y más comúnmente utilizado de la teoría de la probabilidad y la estadística matemática. La historia del CLT abarca unos 200 años: desde 1730, cuando el matemático inglés A. Moivre (1667-1754) publicó el primer resultado relacionado con el CLT (ver más abajo sobre el teorema de Moivre-Laplace), hasta los años veinte y treinta del siglo XIX. el siglo XX, cuando el finlandés J.W. Lindeberg, el francés Paul Levy (1886-1971), el yugoslavo V. Feller (1906-1970), el ruso A.Ya. Khinchin (1894-1959) y otros científicos obtuvieron las condiciones necesarias y suficientes para la validez del teorema clásico del límite central.
El desarrollo del tema en consideración no se detuvo ahí: estudiaron variables aleatorias que no tienen dispersión, es decir aquellos para quienes
(académico B.V. Gnedenko y otros), una situación en la que se suman variables aleatorias (más precisamente, elementos aleatorios) de naturaleza más compleja que los números (académicos Yu.V. Prokhorov, A.A. Borovkov y sus asociados), etc.
Función de distribución F(x) viene dada por la igualdad
,
¿Dónde está la densidad de la distribución normal estándar, que tiene una expresión bastante compleja?
.
Aquí =3.1415925… es un número conocido en geometría, igual a la relación entre la circunferencia y el diámetro, mi= 2,718281828... - la base de los logaritmos naturales (para recordar este número, tenga en cuenta que 1828 es el año de nacimiento del escritor L.N. Tolstoi). Como se sabe por el análisis matemático,
Al procesar los resultados de las observaciones, la función de distribución normal no se calcula utilizando las fórmulas dadas, sino que se encuentra mediante tablas especiales o programas de computadora. Las mejores “Tablas de estadística matemática” en ruso fueron compiladas por los miembros correspondientes de la Academia de Ciencias de la URSS L.N. Bolshev y N.V. Smirnov.
La forma de la densidad de la distribución normal estándar se deriva de la teoría matemática, que no podemos considerar aquí, así como de la prueba del CLT.
A modo ilustrativo, proporcionamos pequeñas tablas de la función de distribución. F(x)(Tabla 2) y sus cuantiles (Tabla 3). Función F(x) simétrico alrededor de 0, lo que se refleja en la Tabla 2-3.
Tabla 2.
Función de distribución normal estándar.
Si la variable aleatoria X tiene una función de distribución F(x), Eso M(X) = 0, D(X) = 1. Esta afirmación se demuestra en la teoría de la probabilidad basándose en la forma de la densidad de probabilidad. Es consistente con una afirmación similar para las características de la variable aleatoria reducida. ONU, lo cual es bastante natural, ya que el CLT establece que con un aumento ilimitado en el número de términos, la función de distribución ONU tiende a la función de distribución normal estándar F(x), y para cualquier X.
Tabla 3.
Cuantiles de la distribución normal estándar.
|
Orden cuantil R |
Orden cuantil R |
||
Introduzcamos el concepto de familia de distribuciones normales. Por definición, una distribución normal es la distribución de una variable aleatoria X, para lo cual la distribución de la variable aleatoria reducida es F(x). Como se desprende de las propiedades generales de las familias de distribuciones de cambio de escala (ver arriba), una distribución normal es una distribución de una variable aleatoria.
Dónde X– variable aleatoria con distribución F(X), y metro = METRO(Y), = D(Y). Distribución normal con parámetros de cambio. metro y la escala suele estar indicada norte(metro, ) (a veces se utiliza la notación norte(metro, ) ).
Como se desprende de (8), la densidad de probabilidad de la distribución normal norte(metro, ) Hay
Las distribuciones normales forman una familia de cambios de escala. En este caso, el parámetro de escala es d= 1/ , y el parámetro de desplazamiento C = - metro/ .
Para los momentos centrales de tercer y cuarto orden de la distribución normal, son válidas las siguientes igualdades:
Estas igualdades forman la base de los métodos clásicos para verificar que las observaciones siguen una distribución normal. Hoy en día se suele recomendar probar la normalidad utilizando el criterio W. Shapiro - Wilka. El problema de las pruebas de normalidad se analiza a continuación.
Si las variables aleatorias X1 Y x2 tener funciones de distribución norte(metro 1
, 1
)
Y norte(metro 2
, 2
)
en consecuencia, entonces X1+ x2 tiene una distribución 
Por lo tanto, si las variables aleatorias X 1
,
X 2
,…,
xn norte(metro, )
, entonces su media aritmética
tiene una distribución norte(metro, ) . Estas propiedades de la distribución normal se utilizan constantemente en diversos métodos probabilísticos y estadísticos de toma de decisiones, en particular, en la regulación estadística de procesos tecnológicos y en el control de aceptación estadística basado en criterios cuantitativos.
Utilizando la distribución normal, se definen tres distribuciones que ahora se utilizan con frecuencia en el procesamiento de datos estadísticos.
Distribución (chi - cuadrado): distribución de una variable aleatoria
donde estan las variables aleatorias X 1 , X 2 ,…, xn independientes y tienen la misma distribución norte(0,1). En este caso, el número de términos, es decir norte, se denomina "número de grados de libertad" de la distribución chi-cuadrado.
Distribución t La t de Student es la distribución de una variable aleatoria.
donde estan las variables aleatorias Ud. Y X independiente, Ud. tiene una distribución normal estándar norte(0,1), y X– distribución chi – cuadrado c norte grados de libertad. Donde norte se denomina “número de grados de libertad” de la distribución de Student. Esta distribución fue introducida en 1908 por el estadístico inglés W. Gosset, que trabajaba en una fábrica de cerveza. En esta fábrica se utilizaban métodos probabilísticos y estadísticos para tomar decisiones económicas y técnicas, por lo que su dirección prohibió a V. Gosset publicar artículos científicos bajo su propio nombre. De esta manera se protegieron los secretos comerciales y el "know-how" en forma de métodos probabilísticos y estadísticos desarrollados por V. Gosset. Sin embargo, tuvo la oportunidad de publicar bajo el seudónimo de "Estudiante". La historia de Gosset-Student muestra que durante otros cien años los directivos en Gran Bretaña fueron conscientes de la mayor eficiencia económica de los métodos probabilístico-estadísticos de toma de decisiones.
La distribución de Fisher es la distribución de una variable aleatoria.
donde estan las variables aleatorias X1 Y x2 son independientes y tienen distribuciones chi-cuadrado con el número de grados de libertad k 1 Y k 2 respectivamente. Al mismo tiempo, la pareja (k 1 , k 2 ) – un par de “grados de libertad” de la distribución de Fisher, a saber, k 1 es el número de grados de libertad del numerador, y k 2 – número de grados de libertad del denominador. La distribución de la variable aleatoria F lleva el nombre del gran estadístico inglés R. Fisher (1890-1962), quien la utilizó activamente en sus trabajos.
Las expresiones para las funciones de distribución chi-cuadrado, Student y Fisher, sus densidades y características, así como tablas, se pueden encontrar en la literatura especializada (ver, por ejemplo,).
Como ya se señaló, las distribuciones normales se utilizan ahora con frecuencia en modelos probabilísticos en diversas áreas de aplicación. ¿Cuál es la razón por la que esta familia de distribuciones de dos parámetros está tan extendida? Se aclara mediante el siguiente teorema.
Teorema del límite central(para términos distribuidos de manera diferente). Dejar X 1 , X 2 ,…, xn,… - variables aleatorias independientes con expectativas matemáticas METRO(X 1 ), METRO(X 2 ),…, METRO(X n), ... y variaciones D(X 1 ), D(X 2 ),…, D(X n), ... respectivamente. Dejar
Entonces, si se cumplen ciertas condiciones que aseguran la pequeña contribución de cualquiera de los términos en ONU,
para cualquiera X.
No formularemos aquí las condiciones en cuestión. Se pueden encontrar en literatura especializada (ver, por ejemplo,). "La aclaración de las condiciones en las que opera el CPT es mérito de los destacados científicos rusos A.A. Markov (1857-1922) y, en particular, A.M. Lyapunov (1857-1918)".
El teorema del límite central muestra que en el caso en que el resultado de una medición (observación) se forma bajo la influencia de muchas causas, cada una de las cuales hace sólo una pequeña contribución, y el resultado total se determina aditivamente, es decir. además, entonces la distribución del resultado de la medición (observación) es cercana a la normalidad.
A veces se cree que para que la distribución sea normal basta que el resultado de la medición (observación) X Se forma bajo la influencia de muchas razones, cada una de las cuales tiene un pequeño impacto. Esto está mal. Lo que importa es cómo operan estas causas. Si es aditivo, entonces X tiene una distribución aproximadamente normal. Si multiplicativamente(es decir, las acciones de causas individuales se multiplican y no se suman), entonces la distribución X cerca no de lo normal, sino de lo llamado. logarítmicamente normal, es decir No X y log X tiene una distribución aproximadamente normal. Si no hay razón para creer que uno de estos dos mecanismos para la formación del resultado final está funcionando (o algún otro mecanismo bien definido), entonces sobre la distribución. X No se puede decir nada definitivo.
De lo anterior se desprende que en un problema aplicado específico, la normalidad de los resultados de las mediciones (observaciones), por regla general, no puede establecerse a partir de consideraciones generales; debe verificarse mediante criterios estadísticos; O utilice métodos estadísticos no paramétricos que no se basen en suposiciones sobre la pertenencia de las funciones de distribución de los resultados de las mediciones (observaciones) a una u otra familia paramétrica.
Distribuciones continuas utilizadas en métodos probabilísticos y estadísticos de toma de decisiones. Además de la familia de distribuciones normales de cambio de escala, se utilizan ampliamente otras familias de distribuciones: distribuciones lognormales, exponenciales, Weibull-Gnedenko y gamma. Miremos a estas familias.
Valor aleatorio X tiene una distribución lognormal si la variable aleatoria Y= iniciar sesión X tiene una distribución normal. Entonces z= iniciar sesión X = 2,3026…Y también tiene una distribución normal norte(a 1 ,σ1), donde en X- logaritmo natural X. La densidad de la distribución lognormal es:
Del teorema del límite central se deduce que el producto X = X 1 X 2 … xn variables aleatorias positivas independientes X yo, i = 1, 2,…, norte, en general norte puede aproximarse mediante una distribución lognormal. En particular, el modelo multiplicativo de formación de salarios o ingresos lleva a recomendar aproximar las distribuciones de salarios e ingresos mediante leyes logarítmicamente normales. Para Rusia, esta recomendación resultó justificada: los datos estadísticos lo confirman.
Existen otros modelos probabilísticos que conducen a la ley lognormal. Un ejemplo clásico de tal modelo lo dio A.N. Kolmogorov, quien, a partir de un sistema de postulados basado físicamente, llegó a la conclusión de que el tamaño de las partículas al triturar trozos de mineral, carbón, etc. en los molinos de bolas tienen una distribución lognormal.
Pasemos a otra familia de distribuciones, ampliamente utilizada en diversos métodos estadístico-probabilísticos de toma de decisiones y otras investigaciones aplicadas: la familia de distribuciones exponenciales. Comencemos con un modelo probabilístico que conduzca a tales distribuciones. Para hacer esto, considere el "flujo de eventos", es decir una secuencia de eventos que ocurren uno tras otro en ciertos momentos en el tiempo. Los ejemplos incluyen: flujo de llamadas en una central telefónica; flujo de fallas de equipos en la cadena tecnológica; flujo de fallas del producto durante las pruebas del producto; flujo de solicitudes de clientes a la sucursal bancaria; flujo de compradores que solicitan bienes y servicios, etc. En la teoría de los flujos de eventos, es válido un teorema similar al teorema del límite central, pero no se trata de la suma de variables aleatorias, sino de la suma de los flujos de eventos. Consideramos un flujo total compuesto por un gran número de flujos independientes, ninguno de los cuales tiene una influencia predominante sobre el flujo total. Por ejemplo, un flujo de llamadas que ingresa a una central telefónica se compone de un gran número de flujos de llamadas independientes que se originan en abonados individuales. Se ha demostrado que en el caso en que las características de los flujos no dependen del tiempo, el flujo total se describe completamente mediante un número: la intensidad del flujo. Para el flujo total, considere la variable aleatoria X- la duración del intervalo de tiempo entre eventos sucesivos. Su función de distribución tiene la forma
(10)
Esta distribución se llama distribución exponencial porque la fórmula (10) involucra la función exponencial mi -λ X. El valor 1/λ es un parámetro de escala. A veces también se introduce un parámetro de cambio. Con, la distribución de una variable aleatoria se llama exponencial X+s, donde la distribución X viene dada por la fórmula (10).
Las distribuciones exponenciales son un caso especial de las llamadas. Distribuciones Weibull-Gnedenko. Llevan el nombre del ingeniero V. Weibull, quien introdujo estas distribuciones en la práctica de analizar los resultados de las pruebas de fatiga, y del matemático B.V. Gnedenko (1912-1995), que recibió tales distribuciones como límites al estudiar el máximo de los resultados de la prueba. Dejar X- una variable aleatoria que caracteriza la duración de la operación de un producto, sistema complejo, elemento (es decir, recurso, tiempo de operación hasta un estado límite, etc.), duración de la operación de una empresa o la vida de un ser vivo, etc. La intensidad del fracaso juega un papel importante.
(11)
Dónde F(X) Y F(X) - función de distribución y densidad de una variable aleatoria X.
Describamos el comportamiento típico de la tasa de fracaso. Todo el intervalo de tiempo se puede dividir en tres períodos. En el primero de ellos la función λ(x) tiene valores altos y una clara tendencia a disminuir (la mayoría de las veces disminuye de forma monótona). Esto puede explicarse por la presencia en el lote de unidades de producto en cuestión con defectos evidentes y ocultos, que conducen a un fallo relativamente rápido de estas unidades de producto. El primer período se denomina “período de asentamiento” (o “asentamiento”). Esto es lo que suele cubrir el periodo de garantía.
Luego viene un período de funcionamiento normal, caracterizado por una tasa de fallos aproximadamente constante y relativamente baja. La naturaleza de las fallas durante este período es repentina (accidentes, errores del personal operativo, etc.) y no depende de la duración del funcionamiento de la unidad del producto.
Finalmente, el último período de funcionamiento es el período de envejecimiento y desgaste. La naturaleza de las fallas durante este período radica en cambios físicos, mecánicos y químicos irreversibles en los materiales, que conducen a un deterioro progresivo en la calidad de una unidad de producto y su falla final.
Cada período tiene su propio tipo de función. λ(x). Consideremos la clase de dependencias de poder.
λ(x) = λ0bx b -1 , (12)
Dónde λ 0 > 0 y b> 0: algunos parámetros numéricos. Valores b < 1, b= 0 y b> 1 corresponde al tipo de tasa de fallo durante los periodos de rodaje, funcionamiento normal y envejecimiento, respectivamente.
Relación (11) a una determinada tasa de fracaso λ(x)- ecuación diferencial para una función F(X). De la teoría de las ecuaciones diferenciales se deduce que
(13)
Sustituyendo (12) en (13), obtenemos que
(14)
La distribución dada por la fórmula (14) se denomina distribución de Weibull-Gnedenko. Porque el
entonces de la fórmula (14) se deduce que la cantidad A, dado por la fórmula (15), es un parámetro de escala. A veces también se introduce un parámetro de cambio, es decir Las funciones de distribución de Weibull-Gnedenko se denominan F(X - C), Dónde F(X) viene dada por la fórmula (14) para algunos λ 0 y b.
La densidad de distribución de Weibull-Gnedenko tiene la forma
(16)
Dónde a> 0 - parámetro de escala, b> 0 - parámetro de formulario, Con- parámetro de cambio. En este caso, el parámetro A de la fórmula (16) está asociado con el parámetro λ 0 de la fórmula (14) por la relación especificada en la fórmula (15).
La distribución exponencial es un caso muy especial de la distribución de Weibull-Gnedenko, correspondiente al valor del parámetro de forma. b = 1.
La distribución de Weibull-Gnedenko también se utiliza para construir modelos probabilísticos de situaciones en las que el comportamiento de un objeto está determinado por el "eslabón más débil". Existe una analogía con una cadena, cuya seguridad está determinada por el eslabón que tiene menor resistencia. En otras palabras, dejemos X 1 , X 2 ,…, xn- variables aleatorias independientes distribuidas idénticamente,
X(1)=mín( X 1, X 2,…, X n), X(n)=máximo( X 1, X 2,…, X n).
En una serie de problemas aplicados, juegan un papel importante. X(1) Y X(norte) , en particular, al estudiar los valores máximos posibles ("registros") de determinados valores, por ejemplo, pagos de seguros o pérdidas por riesgos comerciales, al estudiar los límites de elasticidad y resistencia del acero, una serie de características de fiabilidad, etc. . Se muestra que para n grandes las distribuciones X(1) Y X(norte) , por regla general, están bien descritos mediante distribuciones de Weibull-Gnedenko. Contribución fundamental al estudio de las distribuciones. X(1) Y X(norte) aportado por el matemático soviético B.V. Gnedenko. Los trabajos de V. Weibull, E. Gumbel, V.B. están dedicados al uso de los resultados obtenidos en economía, gestión, tecnología y otros campos. Nevzorova, E.M. Kudlaev y muchos otros especialistas.
Pasemos a la familia de distribuciones gamma. Se utilizan ampliamente en economía y gestión, teoría y práctica de confiabilidad y pruebas, en diversos campos de la tecnología, meteorología, etc. En particular, en muchas situaciones, la distribución gamma está sujeta a cantidades tales como la vida útil total del producto, la longitud de la cadena de partículas de polvo conductoras, el tiempo que el producto alcanza el estado límite durante la corrosión, el tiempo de funcionamiento hasta k-ésima negativa, k= 1, 2,…, etc. La esperanza de vida de los pacientes con enfermedades crónicas y el tiempo necesario para lograr un determinado efecto durante el tratamiento en algunos casos tienen una distribución gamma. Esta distribución es más adecuada para describir la demanda en modelos económicos y matemáticos de gestión de inventarios (logística).
La densidad de distribución gamma tiene la forma
(17)
La densidad de probabilidad en la fórmula (17) está determinada por tres parámetros a, b, C, Dónde a>0, b>0. Donde a es un parámetro de formulario, b- parámetro de escala y Con- parámetro de cambio. Factor 1/Γ(a) se está normalizando, se introdujo a
Aquí Γ(a)- una de las funciones especiales utilizadas en matemáticas, la llamada “función gamma”, que da nombre a la distribución dada por la fórmula (17),
en fijo A La fórmula (17) especifica una familia de distribuciones de cambio de escala generada por una distribución con densidad.
(18)
Una distribución de la forma (18) se denomina distribución gamma estándar. Se obtiene de la fórmula (17) en b= 1 y Con= 0.
Un caso especial de distribuciones gamma para A= 1 son distribuciones exponenciales (con λ = 1/b). con naturales A Y Con Las distribuciones gamma =0 se denominan distribuciones de Erlang. De los trabajos del científico danés K.A Erlang (1878-1929), empleado de la Compañía Telefónica de Copenhague, que estudió en 1908-1922. El funcionamiento de las redes telefónicas comenzó el desarrollo de la teoría de las colas. Esta teoría se ocupa del modelado probabilístico y estadístico de sistemas en los que se atiende un flujo de solicitudes para tomar decisiones óptimas. Las distribuciones de Erlang se utilizan en las mismas áreas de aplicación en las que se utilizan las distribuciones exponenciales. Esto se basa en el siguiente hecho matemático: la suma de k variables aleatorias independientes distribuidas exponencialmente con los mismos parámetros λ y Con, tiene una distribución gamma con un parámetro de forma un =k, parámetro de escala b= 1/λ y parámetro de desplazamiento kc. En Con= 0 obtenemos la distribución de Erlang.
Si la variable aleatoria X tiene una distribución gamma con un parámetro de forma A tal que d = 2 a- número entero, b= 1 y Con= 0, entonces 2 X tiene una distribución chi-cuadrado con d grados de libertad.
Una variable aleatoria X con distribución gvmma tiene las siguientes características:
Valor esperado M(X) =ab + C,
Diferencia D(X) = σ 2 = ab 2 ,
El coeficiente de variación.
Asimetría 
Exceso 
La distribución normal es un caso extremo de la distribución gamma. Más precisamente, sea Z una variable aleatoria que tiene una distribución gamma estándar dada por la fórmula (18). Entonces
para cualquier número real X, Dónde F(x)- función de distribución normal estándar norte(0,1).
En la investigación aplicada también se utilizan otras familias paramétricas de distribuciones, de las cuales las más famosas son el sistema de curvas de Pearson, las series de Edgeworth y Charlier. Aquí no se consideran.
Discreto distribuciones utilizadas en métodos probabilísticos y estadísticos de toma de decisiones. Las más utilizadas son tres familias de distribuciones discretas: binomial, hipergeométrica y de Poisson, así como algunas otras familias: geométrica, binomial negativa, multinomial, hipergeométrica negativa, etc.
Como ya se mencionó, la distribución binomial ocurre en ensayos independientes, en cada uno de los cuales con probabilidad R aparece el evento A. Si el número total de ensayos norte dado, entonces el número de pruebas Y, en el que apareció el evento A, tiene una distribución binomial. Para una distribución binomial, la probabilidad de ser aceptada como variable aleatoria es Y valores y está determinado por la fórmula
Número de combinaciones de norte elementos por y, conocido de combinatoria. Para todos y, excepto 0, 1, 2,…, norte, tenemos PAG(Y= y)= 0. Distribución binomial con tamaño de muestra fijo norte está especificado por el parámetro pag, es decir. Las distribuciones binomiales forman una familia de un solo parámetro. Se utilizan en el análisis de datos de estudios de muestra, en particular, en el estudio de las preferencias de los consumidores, control selectivo de la calidad del producto según planes de control de una sola etapa, al realizar pruebas de poblaciones de individuos en demografía, sociología, medicina, biología, etc. .
Si Y 1 Y Y 2 - variables aleatorias binomiales independientes con el mismo parámetro pag 0 , determinado a partir de muestras con volúmenes norte 1 Y norte 2 en consecuencia, entonces Y 1 + Y 2 - variable aleatoria binomial que tiene distribución (19) con R = pag 0 Y norte= norte 1 + norte 2 . Esta observación amplía la aplicabilidad de la distribución binomial al permitir combinar los resultados de varios grupos de pruebas cuando hay motivos para creer que el mismo parámetro corresponde a todos estos grupos.
Las características de la distribución binomial se calcularon anteriormente:
METRO(Y) = notario público., D(Y) = notario público.( 1- pag).
En la sección "Eventos y probabilidades" se demuestra la ley de los grandes números para una variable aleatoria binomial:
para cualquiera . Utilizando el teorema del límite central, la ley de los grandes números se puede refinar indicando cuánto Y/ norte difiere de R.
Teorema de De Moivre-Laplace. Para cualquier número a y b, a< b, tenemos
Dónde F(X) es una función de distribución normal estándar con expectativa matemática 0 y varianza 1.
Para demostrarlo basta utilizar la representación Y en forma de una suma de variables aleatorias independientes correspondientes a los resultados de pruebas individuales, fórmulas para METRO(Y) Y D(Y) y el teorema del límite central.
Este teorema es para el caso R= ½ fue demostrado por el matemático inglés A. Moivre (1667-1754) en 1730. En la formulación anterior, fue demostrado en 1810 por el matemático francés Pierre Simon Laplace (1749 - 1827).
La distribución hipergeométrica ocurre durante el control selectivo de un conjunto finito de objetos de volumen N según un criterio alternativo. Cada objeto controlado se clasifica ya sea con el atributo A, o como si no tuviera esta característica. La distribución hipergeométrica tiene una variable aleatoria. Y, igual al número de objetos que tienen el atributo A en una muestra aleatoria de volumen norte, Dónde norte< norte. Por ejemplo, número Y Unidades defectuosas de producto en una muestra aleatoria de volumen. norte del volumen del lote norte tiene una distribución hipergeométrica si norte< norte. Otro ejemplo es la lotería. deja la señal A El billete es señal de “ser ganador”. Sea el número total de boletos. norte, y alguna persona adquirió norte de ellos. Entonces el número de boletos ganadores de esta persona tiene una distribución hipergeométrica.
Para una distribución hipergeométrica, la probabilidad de que una variable aleatoria Y acepte el valor y tiene la forma
(20)
Dónde D– el número de objetos que tienen el atributo A, en el conjunto de volumen considerado norte. Donde y toma valores de max(0, norte - (norte - D)) a min( norte, D), otras cosas y la probabilidad en la fórmula (20) es igual a 0. Por lo tanto, la distribución hipergeométrica está determinada por tres parámetros: el volumen de la población norte, numero de objetos D en él, poseyendo la característica en cuestión A y tamaño de la muestra norte.
Muestreo de volumen aleatorio simple norte del volumen total norte Es una muestra obtenida como resultado de una selección aleatoria en la que cualquiera de los conjuntos de norte Los objetos tienen la misma probabilidad de ser seleccionados. Los métodos para seleccionar aleatoriamente muestras de encuestados (entrevistados) o unidades de bienes por pieza se analizan en los documentos instructivos, metodológicos y reglamentarios. Uno de los métodos de selección es el siguiente: los objetos se seleccionan uno de otro y, en cada paso, cada uno de los objetos restantes del conjunto tiene las mismas posibilidades de ser seleccionado. En la literatura, los términos “muestra aleatoria” y “muestra aleatoria sin retorno” también se utilizan para el tipo de muestras bajo consideración.
Dado que los volúmenes de la población (lote) norte y muestras norte generalmente se conocen, entonces el parámetro de la distribución hipergeométrica a estimar es D. En métodos estadísticos de gestión de la calidad del producto. D– normalmente el número de unidades defectuosas en un lote. La característica de distribución también es de interés. D/ norte– nivel de defectos.
Para distribución hipergeométrica
El último factor en la expresión de varianza es cercano a 1 si norte>10 norte. Si haces un reemplazo pag = D/ norte, luego, las expresiones para la expectativa matemática y la varianza de la distribución hipergeométrica se convertirán en expresiones para la expectativa matemática y la varianza de la distribución binomial. Esto no es una coincidencia. Se puede demostrar que
en norte>10 norte, Dónde pag = D/ norte. La relación límite es válida.
y esta relación limitante se puede utilizar cuando norte>10 norte.
La tercera distribución discreta más utilizada es la distribución de Poisson. La variable aleatoria Y tiene una distribución de Poisson si
,
donde λ es el parámetro de distribución de Poisson, y PAG(Y= y)= 0 para todos los demás y(para y=0 se designa 0! =1). Para distribución de Poisson
METRO(Y) = λ, D(Y) = λ.
Esta distribución lleva el nombre del matemático francés S. D. Poisson (1781-1840), quien la obtuvo por primera vez en 1837. La distribución de Poisson es el caso límite de la distribución binomial, cuando la probabilidad R la implementación del evento es pequeña, pero el número de pruebas norte genial y notario público.= λ. Más precisamente, la relación límite es válida
Por lo tanto, la distribución de Poisson (en la antigua terminología “ley de distribución”) a menudo también se denomina “ley de eventos raros”.
La distribución de Poisson surge en la teoría de corrientes de eventos (ver arriba). Se ha demostrado que para el flujo más simple con intensidad constante Λ, el número de eventos (llamadas) que ocurrieron durante el tiempo t, tiene una distribución de Poisson con parámetro λ = Λ t. Por lo tanto, la probabilidad de que durante el tiempo t no ocurrirá ningún evento, igual a mi - Λ t, es decir. la función de distribución de la duración del intervalo entre eventos es exponencial.
La distribución de Poisson se utiliza para analizar los resultados de encuestas de marketing por muestreo de consumidores, calcular las características operativas de los planes de control de aceptación estadística en el caso de valores pequeños del nivel de aceptación de defectos, para describir el número de averías de un producto estadísticamente controlado. proceso tecnológico por unidad de tiempo, el número de “requisitos de servicio” recibidos por unidad de tiempo en el sistema de colas, patrones estadísticos de accidentes y enfermedades raras, etc.
En la literatura se consideran descripciones de otras familias paramétricas de distribuciones discretas y las posibilidades de su uso práctico.
En algunos casos, por ejemplo, al estudiar precios, volúmenes de producción o tiempo total entre fallas en problemas de confiabilidad, las funciones de distribución son constantes en ciertos intervalos en los que los valores de las variables aleatorias estudiadas no pueden caer.
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Definición 13.1. La variable aleatoria X se llama discreto, si toma un número finito o contable de valores.
Definición 13.2. Ley de distribución de la variable aleatoria X es una colección de pares de números ( , ), donde son los valores posibles de una variable aleatoria, y son las probabilidades con las que la variable aleatoria toma estos valores, es decir =P( X= ), y =1.
La forma más sencilla de especificar una variable aleatoria discreta es una tabla que enumera los posibles valores de la variable aleatoria y sus correspondientes probabilidades. Esta tabla se llama cerca de distribución variable aleatoria discreta.
| X | … | … | |||
| R | … | … |
La serie de distribución se puede representar gráficamente. En este caso, el eje de abscisas es y el eje de ordenadas es la probabilidad. Los puntos con coordenadas ( , ) se conectan mediante segmentos y se obtiene una línea discontinua, llamada polígono de distribución, que es una de las formas de especificar la ley de distribución de una variable aleatoria discreta.
Ejemplo 13.3. Construir un polígono de distribución de una variable aleatoria X con una serie de distribución
| X | ||||
| R | 0,1 | 0,3 | 0,2 | 0,4 |
Definición 13.4. Dicen que una variable aleatoria discreta X tiene Distribución binomial con parámetros ( notario público)si puede tomar valores enteros no negativos k {1,2,…,norte) con probabilidades P( X=x)= .
La serie de distribución se ve así:
| X | … | k | … | norte | ||
| R | … | … |
Suma de probabilidades = =1.
Definición 13.5. Se dice que la forma discreta de una variable aleatoria es X Tiene distribución de veneno con parámetro (>0), si acepta valores enteros k(0,1,2,...) con probabilidades P( x=k)= .
La serie de distribución tiene la forma.
| X | … | k | … | ||
| R | … | … |
Dado que la expansión en serie de Maclaurin tiene la siguiente forma, entonces la suma de probabilidades = = =1.
Denotemos por X Número de pruebas que deben completarse antes de que el evento aparezca por primera vez. A en ensayos independientes, si la probabilidad de que A aparezca en cada uno de ellos es igual pag (0<pag <1), а вероятность непоявления . Возможными значениями X son números naturales.
Definición 13.6. Dicen que una variable aleatoria X Tiene distribución geométrica con parámetro pag (0<pag <1), если она принимает натуральные значения k N con probabilidades Р(Х=k)= , donde . Rango de distribución:
| X | … | norte | … | |||
| R | … | … |
Suma de probabilidades = = =1.
Ejemplo 13.7. La moneda se lanza 2 veces. Compile una serie de distribución de la variable aleatoria X número de apariciones del “escudo de armas”.
P2 (0)= = ; P2 (1)= = =0,5; PAG 2 (2)= = .
| X | |||
| R |
La serie de distribución tomará la forma:
Ejemplo 13.8. El arma se dispara hasta el primer impacto en el objetivo. La probabilidad de acertar de un solo tiro es 0,6. Habrá un acierto en el tercer disparo.
Porque el pag=0,6, q=0,4, k=3, entonces P( A)= =0,4 2 *0,6=0,096.
14 Características numéricas de variables aleatorias discretas.
La ley de distribución caracteriza completamente una variable aleatoria, pero a menudo se desconoce, por lo que hay que limitarse a proporcionar menos información. A veces es incluso más rentable utilizar números (parámetros) que describan la variable aleatoria en su conjunto. Ellos se llaman características numéricas variable aleatoria. Estos incluyen: expectativa matemática, varianza, etc.
Definición 14.1. Expectativa matemática Una variable aleatoria discreta es la suma de los productos de todos sus valores posibles y sus probabilidades. Denota la expectativa matemática de una variable aleatoria. X a través de M X=M( X)=E X.
Si la variable aleatoria X toma un número finito de valores, entonces M X= .
Si la variable aleatoria X toma un número contable de valores, entonces M X= ,
Además, la expectativa matemática existe si la serie converge absolutamente.
Observación 14.2. La expectativa matemática es un número aproximadamente igual a un cierto valor de una variable aleatoria.
Ejemplo 14.3. Encuentra la expectativa matemática de una variable aleatoria. X, conociendo su serie de distribución
| X | |||
| R | 0,1 | 0,6 | 0,3 |
METRO X=3*0,1+5*0,6+2*0,3=3,9.
Ejemplo 14.4. Encuentre la expectativa matemática del número de ocurrencias de un evento. A en un ensayo, si la probabilidad del evento A igual a pag.
Valor aleatorio X– número de ocurrencia del evento A en una sola prueba. Puede tomar valores =1 ( A ocurrió) con probabilidad pag y =0 con probabilidad, es decir serie de distribución
Por lo tanto MC=C*1=C.
Observación 14.6. Producto de una variable constante C y una variable aleatoria discreta X Definida como una variable aleatoria discreta C X, cuyos valores posibles son iguales a los productos de la constante C y los valores posibles X, las probabilidades de estos valores C X igual a las probabilidades de los valores posibles correspondientes X.
Propiedad 14.7. El factor constante se puede sacar del signo de expectativa matemática:
EM X)=S∙M X.
Si la variable aleatoria X tiene una serie de distribución
| X | … | … | |||
| R | … | … |
Serie de distribución de una variable aleatoria.
| CX | … | … | |||
| R | … | … |
EM X)= = = С∙M( X).
Definición 14.8. Las variables aleatorias , ,…, se llaman independiente, Si por , i=1,2,…,norte
Р( , ,…, )= Р( ) Р( )… Р( ) (1)
Si como = , i=1,2,…,norte, entonces obtenemos de (1)
R(< , < ,…, < }= Р{ < }Р{ < }… Р{ < }, откуда получается другая формула:
( , ,…, ) = () ()... () (2)
para la función de distribución conjunta de variables aleatorias , ,…, , que también puede tomarse como una definición de la independencia de una variable aleatoria.
Propiedad 14.9. Expectativa matemática del producto de 2 independiente variables aleatorias es igual al producto de sus expectativas matemáticas:
METRO( XY)=METRO X∙M Ud..
Propiedad 14.10. La expectativa matemática de la suma de 2 variables aleatorias es igual a la suma de sus expectativas matemáticas:
METRO( X+Y)=METRO X+M Ud..
Nota 14.11. Las propiedades 14.9 y 14.10 se pueden generalizar al caso de varias variables aleatorias.
Ejemplo 14.12. Encuentra la expectativa matemática de la suma del número de puntos que pueden aparecer al lanzar 2 dados.
Dejar X el número de puntos obtenidos en el primer dado Ud. el número de puntos obtenidos en el segundo dado. Tienen la misma serie de distribución:
| X | ||||||
| R |
Entonces m X=M Ud.= (1+2+3+4+5+6)= = . METRO( X+Y)=2* =7.
Teorema 14.13. Expectativa matemática del número de ocurrencias de un evento. A V norte ensayos independientes es igual al producto del número de ensayos y la probabilidad de que ocurra un evento en cada ensayo: M X=notario público..
Dejar X– número de ocurrencias del evento A V norte pruebas independientes. –número de ocurrencias del evento A V i-esa prueba, i=1,2,…,norte. Entonces = + +…+ . Según las propiedades de la expectativa matemática M. X= . Del ejemplo 14,4 M X yo=Pi=1,2,…,norte, por lo tanto M X= =notario público..
Definición 14.14.Diferencia La variable aleatoria se llama número D. X=M( X-METRO X) 2 .
Definición 14.15.Desviación Estándar variable aleatoria X número llamado =.
Observación 14.16. La dispersión es una medida de la dispersión de los valores de una variable aleatoria en torno a su expectativa matemática. Siempre es no negativo. Para calcular la varianza es más conveniente utilizar otra fórmula:
D X=M( X-M X) 2 = METRO( X 2 - 2X∙ METRO X+ (M X) 2) = M( X 2) - 2M( X∙ METRO X) + M(M X) 2 = =M( X 2)-M X∙ METRO X+(METRO X) 2 = METRO( X 2) - (M X) 2 .
Por lo tanto D X=M( X 2) - (M X) 2 .
Ejemplo 14.17. Encuentra la varianza de una variable aleatoria. X, dado por la serie de distribución
| X | |||
| PAG | 0,1 | 0,6 | 0,3 |
METRO X=2*0,1+3*0,6+5*0,3=3,5; METRO( X 2)= 4*0,1+9*0,6+25*0,3=13,3;
D X=13.3-(3,5) 2 =1,05.
Propiedades de dispersión
Propiedad 14.18. La varianza de un valor constante es 0:
CC = M(C-MC)2 = M(C-C)2 =0.
Propiedad 14.19. El factor constante se puede sacar del signo de dispersión elevándolo al cuadrado.
CORRIENTE CONTINUA X) =C2D X.
D(CX)=M(C-CM X) 2 =M(C(X- M X) 2) = C 2 M( X-M X) 2 = C 2 D X.
Propiedad 14.20. Varianza de la suma de 2 independiente variables aleatorias es igual a la suma de las varianzas de estas variables
D( X+Y)=D X+D Y.
D( X+Y)=M(( X+Y) 2) – (M( X+Y)) 2 = METRO( X2+ 2XY+Y2) - (M X+M Y) 2 = =M( X) 2 +2M X METRO Y+M( Y 2)-(M( X) 2 +2M X METRO Y+M( Y) 2)= M( X 2)-(M X) 2 +M( Y 2)-(M Y) 2 = = D X+D Y.
Consecuencia 14.21. Variación de la suma de varios. independiente variables aleatorias es igual a la suma de sus varianzas.
Teorema 14.22. Variación del número de ocurrencias de un evento. A V norte pruebas independientes, en cada una de las cuales la probabilidad pag) 2 =). Por lo tanto D +2,
Conceptos de expectativa matemática. METRO(X) y varianza D(X), introducido anteriormente para una variable aleatoria discreta, se puede extender a variables aleatorias continuas.
· Expectativa matemática M(X) La variable aleatoria continua X está determinada por la igualdad:
siempre que esta integral converja.
· Varianza D(X) variable aleatoria continua X está determinada por la igualdad:
· Desviación Estándarσ( X) La variable aleatoria continua está determinada por la igualdad:
Todas las propiedades de expectativa matemática y dispersión, analizadas anteriormente para variables aleatorias discretas, también son válidas para variables continuas.
Problema 5.3. Valor aleatorio X dado por una función diferencial F(X):
Encontrar METRO(X), D(X), σ( X), y PAG(1 < X< 5).
Solución:
METRO(X)= =
+ = 8/9 0+9/6 4/6=31/18,
D(X)=
= = /
PAG 1 =
Tareas
5.1. X
F(X), y
R(‒1/2 < X< 1/2).
5.2. Variable aleatoria continua X dado por la función de distribución:
Encuentra la función de distribución diferencial. F(X), y
R(2π/9< X< π /2).
5.3. Variable aleatoria continua X
Encuentra: a) número Con; b) METRO(X), D(X).
5.4. Variable aleatoria continua X dado por la densidad de distribución:
Encuentra: a) número Con; b) METRO(X), D(X).
5.5. X:
Encontrar un) F(X) y construye su gráfica; b) METRO(X), D(X), σ( X); c) la probabilidad de que en cuatro ensayos independientes el valor X tomará exactamente 2 veces el valor perteneciente al intervalo (1;4).
5.6. Se da la densidad de distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua. X:
Encontrar un) F(X) y construye su gráfica; b) METRO(X), D(X), σ( X); c) la probabilidad de que en tres ensayos independientes el valor X tomará exactamente 2 veces el valor perteneciente al segmento.
5.7. Función F(X) se da en la forma:
Con X; b) función de distribución F(X).
5.8. Función F(X) se da en la forma:
Encuentre: a) el valor de la constante Con, en el que la función será la densidad de probabilidad de alguna variable aleatoria X; b) función de distribución F(X).
5.9. Valor aleatorio X, concentrado en el intervalo (3;7), está especificado por la función de distribución F(X)= X tomará el valor: a) menor que 5, b) no menor que 7.
5.10. Valor aleatorio X, centrado en el intervalo (-1;4), está especificado por la función de distribución F(X)= . Encuentre la probabilidad de que la variable aleatoria X tomará el valor: a) menos de 2, b) menos de 4.
5.11.
Encuentra: a) número Con; b) METRO(X); c) probabilidad R(X > M(X)).
5.12. La variable aleatoria está especificada por la función de distribución diferencial:
Encontrar un) METRO(X); segundo) probabilidad R(X≤M(X)).
5.13. La distribución Rem viene dada por la densidad de probabilidad:
Pruebalo F(X) es de hecho una función de densidad de probabilidad.
5.14. Se da la densidad de distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua. X:
Encuentra el número Con.
5.15. Valor aleatorio X distribuido según la ley de Simpson (triángulo isósceles) en el segmento [-2;2] (Fig. 5.4). Encuentre una expresión analítica para la densidad de probabilidad. F(X) en toda la recta numérica.
Arroz. 5.4 Fig. 5.5
5.16. Valor aleatorio X distribuido según la ley del “triángulo rectángulo” en el intervalo (0;4) (Fig. 5.5). Encuentre una expresión analítica para la densidad de probabilidad. F(X) en toda la recta numérica.
Respuestas
PAG (-1/2<X<1/2)=2/3.
PAG(2π/9<X< π /2)=1/2.
5.3. A) Con=1/6,b) METRO(X)=3 ,c) D(X)=26/81.
5.4. A) Con=3/2,b) METRO(X)=3/5,c) D(X)=12/175.
b) METRO(X)= 3 , D(X)= 2/9, s( X)= /3.
b) METRO(X)=2 , D(X)= 3 , σ( X)= 1,893.
5.7. a) c = ; b)
5.8. A) Con=1/2; b)
5.9. a) 1/4; segundo) 0.
5.10. a)3/5; segundo) 1.
5.11. A) Con= 2; b) METRO(X)= 2; En 1- en 2 2 ≈ 0,5185.
5.12. A) METRO(X)= π/2; segundo) 1/2
Capítulo 1. Variable aleatoria discreta
§ 1. Conceptos de variable aleatoria.
Ley de distribución de una variable aleatoria discreta.
Definición : Aleatorio es una cantidad que, como resultado de una prueba, toma solo un valor de un conjunto posible de sus valores, desconocido de antemano y que depende de razones aleatorias.
Hay dos tipos de variables aleatorias: discretas y continuas.
Definición : La variable aleatoria X se llama discreto (discontinuo) si el conjunto de sus valores es finito o infinito pero contable.
En otras palabras, se pueden renumerar los posibles valores de una variable aleatoria discreta.
Una variable aleatoria se puede describir utilizando su ley de distribución.
Definición : Ley de distribución de una variable aleatoria discreta. llame a la correspondencia entre los posibles valores de una variable aleatoria y sus probabilidades.
La ley de distribución de una variable aleatoria discreta X se puede especificar en forma de tabla, en la primera fila de la cual se indican todos los valores posibles de la variable aleatoria en orden ascendente, y en la segunda fila las probabilidades correspondientes de estos. valores, es decir
donde р1+ р2+…+ рn=1
Esta tabla se denomina serie de distribución de una variable aleatoria discreta.
Si el conjunto de valores posibles de una variable aleatoria es infinito, entonces la serie p1+ p2+…+ pn+… converge y su suma es igual a 1.
La ley de distribución de una variable aleatoria discreta X se puede representar gráficamente, para lo cual se construye una línea discontinua en un sistema de coordenadas rectangular, conectando secuencialmente puntos con coordenadas (xi; pi), i=1,2,…n. La línea resultante se llama polígono de distribución (Figura 1).
Química orgánica" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">química orgánica son 0,7 y 0,8, respectivamente. Elabora una ley de distribución para la variable aleatoria X: el número de exámenes que aprobará el estudiante.
Solución. La variable aleatoria X considerada como resultado del examen puede tomar uno de los siguientes valores: x1=0, x2=1, x3=2.
Encontremos la probabilidad de estos valores. Denotemos los eventos:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">
 |
Entonces, la ley de distribución de la variable aleatoria X viene dada por la tabla:
Control: 0,6+0,38+0,56=1.
§ 2. Función de distribución
La función de distribución también proporciona una descripción completa de una variable aleatoria.
Definición: Función de distribución de una variable aleatoria discreta X se llama función F(x), que determina para cada valor x la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor menor que x:
F(x)=P(X)<х)
Geométricamente, la función de distribución se interpreta como la probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor representado en la recta numérica por un punto que se encuentra a la izquierda del punto x.
1)0≤ F(x) ≤1;
2) F(x) es una función no decreciente en (-∞;+∞);
3) F(x) - continua a la izquierda en los puntos x= xi (i=1,2,...n) y continua en todos los demás puntos;
4) F(-∞)=P(X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,
F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.
Si la ley de distribución de una variable aleatoria discreta X se da en forma de tabla:
entonces la función de distribución F(x) está determinada por la fórmula:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">
0 para x≤ x1,
ð1 en x1< х≤ x2,
F(x)= ð1 + ð2 en x2< х≤ х3
1 para x>xn.
Su gráfico se muestra en la Fig. 2:
§ 3. Características numéricas de una variable aleatoria discreta.
Una de las características numéricas importantes es la expectativa matemática.
Definición: Expectativa matemática M(X) La variable aleatoria discreta X es la suma de los productos de todos sus valores y sus correspondientes probabilidades:
M(X) = ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn
La expectativa matemática sirve como característica del valor promedio de una variable aleatoria.
Propiedades de la expectativa matemática:
1)M(C)=C, donde C es un valor constante;
2)M(C X)=C M(X),
3)M(X±Y)=M(X) ±M(Y);
4)M(X Y)=M(X) M(Y), donde X, Y son variables aleatorias independientes;
5)M(X±C)=M(X)±C, donde C es un valor constante;
Para caracterizar el grado de dispersión de los posibles valores de una variable aleatoria discreta alrededor de su valor medio, se utiliza la dispersión.
Definición: Diferencia D ( X ) La variable aleatoria X es la expectativa matemática de la desviación al cuadrado de la variable aleatoria de su expectativa matemática:
Propiedades de dispersión:
1)D(C)=0, donde C es un valor constante;
2)D(X)>0, donde X es una variable aleatoria;
3)D(C X)=C2 D(X), donde C es un valor constante;
4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), donde X, Y son variables aleatorias independientes;
Para calcular la varianza suele ser conveniente utilizar la fórmula:
D(X)=M(X2)-(M(X))2,
donde M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn
La varianza D(X) tiene la dimensión de una variable aleatoria al cuadrado, lo que no siempre es conveniente. Por tanto, el valor √D(X) también se utiliza como indicador de la dispersión de posibles valores de una variable aleatoria.
Definición: Desviación Estándar σ(X) La variable aleatoria X se llama raíz cuadrada de la varianza:
Tarea número 2. La variable aleatoria discreta X está especificada por la ley de distribución:
Encuentre P2, la función de distribución F(x) y trace su gráfica, así como M(X), D(X), σ(X).
Solución: Dado que la suma de las probabilidades de los posibles valores de la variable aleatoria X es igual a 1, entonces
Р2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1
Encontremos la función de distribución F(x)=P(X Geométricamente, esta igualdad se puede interpretar de la siguiente manera: F(x) es la probabilidad de que la variable aleatoria tome el valor representado en el eje numérico por el punto que se encuentra a la izquierda del punto x. Si x≤-1, entonces F(x)=0, ya que no hay un solo valor de esta variable aleatoria en (-∞;x); Si -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1; Si 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток (-∞;x) hay dos valores x1=-1 y x2=0; si 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1; si 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2; Si x>3, entonces F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0.1 +0.1 +0.3+0.2+0.3=1, porque cuatro valores x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 caen en el intervalo (-∞;x) y x5=3. https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 en x≤-1, 0,1 a -1<х≤0, 0,2 en 0<х≤1, F(x)= 0,5 en 1<х≤2, 0,7 a 2<х≤3, 1 en x>3 Representemos gráficamente la función F(x) (Fig.3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1.2845. §
4. Ley de distribución binomial Variable aleatoria discreta, ley de Poisson. Definición: Binomio
se llama ley de distribución de una variable aleatoria discreta X: el número de ocurrencias del evento A en n ensayos repetidos independientes, en cada uno de los cuales el evento A puede ocurrir con probabilidad p o no ocurrir con probabilidad q = 1-p. Entonces P(X=m) - la probabilidad de que ocurra el evento A exactamente m veces en n ensayos se calcula usando la fórmula de Bernoulli: Р(Х=m)=Сmnpmqn-m La esperanza matemática, la dispersión y la desviación estándar de una variable aleatoria X distribuida según una ley binaria se encuentran, respectivamente, mediante las fórmulas: https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> La probabilidad del evento A - "sacar un cinco" en cada prueba es la misma e igual a 1/6 , es decir, P(A)=p=1/6, entonces P(A)=1-p=q=5/6, donde - "caerse de cinco". La variable aleatoria X puede tomar los siguientes valores: 0;1;2;3. Encontramos la probabilidad de cada uno de los posibles valores de X usando la fórmula de Bernoulli: Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216; Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216; Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216; Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216. Eso. la ley de distribución de la variable aleatoria X tiene la forma: Controlar: 125/216+75/216+15/216+1/216=1. Encontremos las características numéricas de la variable aleatoria X: M(X)=np=3 (1/6)=1/2, D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12, Tarea número 4. Una máquina automática estampa piezas. La probabilidad de que una pieza fabricada sea defectuosa es 0,002. Encuentre la probabilidad de que entre 1000 piezas seleccionadas haya: a) 5 defectuosos; b) al menos uno está defectuoso. Solución:
El número n=1000 es grande, la probabilidad de producir una pieza defectuosa p=0,002 es pequeña y los eventos considerados (la pieza resulta defectuosa) son independientes, por lo tanto, la fórmula de Poisson se cumple: Рn(m)= mi-
λ
λm Encontremos λ=np=1000 0.002=2. a) Encuentre la probabilidad de que haya 5 piezas defectuosas (m=5): Р1000(5)= mi-2
25
= 32 0,13534
= 0,0361 b) Encuentre la probabilidad de que haya al menos una pieza defectuosa. El evento A - "al menos una de las piezas seleccionadas está defectuosa" es lo opuesto al evento - "todas las piezas seleccionadas no están defectuosas". Por lo tanto, P(A) = 1-P(). Por tanto, la probabilidad deseada es igual a: P(A)=1-P1000(0)=1- mi-2
20
= 1-e-2=1-0.13534≈0.865. Tareas para el trabajo independiente.
1.1
1.2.
La variable aleatoria dispersa X está especificada por la ley de distribución: Encuentre p4, la función de distribución F(X) y trace su gráfica, así como M(X), D(X), σ(X). 1.3.
Hay 9 marcadores en la caja, 2 de los cuales ya no escriben. Toma 3 marcadores al azar. La variable aleatoria X es el número de marcadores de escritura entre los tomados. Elaborar una ley de distribución de una variable aleatoria. 1.4.
Hay 6 libros de texto dispuestos al azar en un estante de la biblioteca, 4 de los cuales están encuadernados. El bibliotecario toma 4 libros de texto al azar. La variable aleatoria X es el número de libros de texto encuadernados entre los tomados. Elaborar una ley de distribución de una variable aleatoria. 1.5.
Hay dos tareas en el ticket. La probabilidad de resolver correctamente el primer problema es 0,9 y el segundo es 0,7. La variable aleatoria X es el número de problemas resueltos correctamente en el ticket. Elabore una ley de distribución, calcule la expectativa matemática y la varianza de esta variable aleatoria, y también encuentre la función de distribución F(x) y construya su gráfica. 1.6.
Tres tiradores disparan a un objetivo. La probabilidad de dar en el blanco con un solo disparo es de 0,5 para el primer tirador, de 0,8 para el segundo y de 0,7 para el tercero. La variable aleatoria X es el número de impactos en el objetivo si los tiradores disparan un tiro a la vez. Encuentre la ley de distribución, M(X),D(X). 1.7.
Un jugador de baloncesto lanza la pelota a la canasta con una probabilidad de acertar en cada tiro de 0,8. Por cada acierto, recibe 10 puntos y, si falla, no se le otorgan puntos. Elabora una ley de distribución para la variable aleatoria X: el número de puntos recibidos por un jugador de baloncesto en 3 tiros. Encuentre M(X),D(X), así como la probabilidad de que obtenga más de 10 puntos. 1.8.
En las tarjetas están escritas letras, un total de 5 vocales y 3 consonantes. Se eligen 3 cartas al azar y cada vez se devuelve la carta tomada. La variable aleatoria X es el número de vocales entre las tomadas. Trace una ley de distribución y encuentre M(X),D(X),σ(X). 1.9.
En promedio, en el 60% de los contratos, la compañía de seguros paga los montos del seguro en relación con la ocurrencia de un evento asegurado. Elabore una ley de distribución para la variable aleatoria X: el número de contratos por los cuales se pagó el monto del seguro entre cuatro contratos seleccionados al azar. Encuentra las características numéricas de esta cantidad. 1.10.
La estación de radio envía distintivos de llamada (no más de cuatro) a ciertos intervalos hasta que se establece una comunicación bidireccional. La probabilidad de recibir una respuesta a un distintivo de llamada es 0,3. La variable aleatoria X es el número de distintivos de llamada enviados. Trace una ley de distribución y encuentre F(x). 1.11.
Hay 3 llaves, de las cuales solo una encaja en la cerradura. Elaborar una ley para la distribución de la variable aleatoria X-número de intentos de abrir la cerradura, si la llave probada no participa en intentos posteriores. Encuentre M(X),D(X). 1.12.
Se llevan a cabo pruebas independientes consecutivas de tres dispositivos para determinar su confiabilidad. Cada dispositivo posterior se prueba solo si el anterior resultó ser confiable. La probabilidad de pasar la prueba para cada dispositivo es 0,9. Elabore una ley de distribución para la variable aleatoria número X de dispositivos probados. 1.13
.La variable aleatoria discreta X tiene tres valores posibles: x1=1, x2, x3 y x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины. 1.14.
El bloque de dispositivos electrónicos contiene 100 elementos idénticos. La probabilidad de falla de cada elemento durante el tiempo T es 0.002. Los elementos funcionan de forma independiente. Encuentre la probabilidad de que no fallen más de dos elementos durante el tiempo T. 1.15.
El libro de texto se publicó con una tirada de 50.000 ejemplares. La probabilidad de que el libro de texto esté encuadernado incorrectamente es 0,0002. Encuentre la probabilidad de que la circulación contenga: a) cuatro libros defectuosos, b) menos de dos libros defectuosos. 1
.16.
El número de llamadas que llegan a la centralita cada minuto se distribuye según la ley de Poisson con el parámetro λ=1,5. Calcula la probabilidad de que en un minuto llegue lo siguiente: a) dos llamadas; b) al menos una llamada. 1.17.
Encuentre M(Z),D(Z) si Z=3X+Y. 1.18.
Se dan las leyes de distribución de dos variables aleatorias independientes: Encuentre M(Z),D(Z) si Z=X+2Y. Respuestas:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1.
p3=0,4; 0 en x≤-2, 0,3 a -2<х≤0, F(x)= 0,5 en 0<х≤2, 0,9 a 2<х≤5, 1 en x>5 0,3 a -1<х≤0, 0,4 en 0<х≤1, F(x)= 0,6 en 1<х≤2, 0,7 a 2<х≤3, 1 en x>3 M(X)=1; D(X)=2,6; σ(X) ≈1,612. https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 en x≤0, 0,03 en 0<х≤1, F(x)= 0,37 en 1<х≤2, 1 para x>2 M(X)=2; D(X)=0,62 M(X)=2,4; D(X)=0,48, P(X>10)=0,896 1.
8
.
M(X)=15/8; D(X)=45/64; σ(Х) ≈ M(X)=2,4; D(X)=0,96 https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" ancho="14"> 1.11.
M(X)=2; D(X)=2/3 1.14.
1,22 e-0,2≈0,999 1.15.
a) 0,0189; segundo) 0,00049 1.16.
a) 0,0702; b) 0,77687 1.17.
3,8; 14,2 1.18.
11,2; 4. Capitulo 2. Variable aleatoria continua
Definición: Continuo
Llaman cantidad a todos los valores posibles de los cuales llenan completamente un lapso finito o infinito de la recta numérica. Evidentemente, el número de valores posibles de una variable aleatoria continua es infinito. Una variable aleatoria continua se puede especificar mediante una función de distribución. Definición: F función de distribución
una variable aleatoria continua X se llama función F(x), que determina para cada valor xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13"> R La función de distribución a veces se denomina función de distribución acumulativa. Propiedades de la función de distribución:
1)1≤ F(x) ≤1 2) Para una variable aleatoria continua, la función de distribución es continua en cualquier punto y diferenciable en todas partes, excepto, quizás, en puntos individuales. 3) La probabilidad de que una variable aleatoria X caiga en uno de los intervalos (a;b), [a;b], [a;b], es igual a la diferencia entre los valores de la función F(x) en los puntos a y b, es decir Real academia de bellas artes)<Х 4) La probabilidad de que una variable aleatoria continua X tome un valor separado es 0. 5) F(-∞)=0, F(+∞)=1 Especificar una variable aleatoria continua mediante una función de distribución no es la única forma. Introduzcamos el concepto de densidad de distribución de probabilidad (densidad de distribución). Definición
:
Densidad de distribución de probabilidad
F
(
X
)
de una variable aleatoria continua X es la derivada de su función de distribución, es decir: La función de densidad de probabilidad a veces se denomina función de distribución diferencial o ley de distribución diferencial. La gráfica de la distribución de densidad de probabilidad f(x) se llama curva de distribución de probabilidad
.
Propiedades de la distribución de densidad de probabilidad:
1) f(x) ≥0, en xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" width="14" height ="62 origen="> 0 en x≤2, f(x)= c(x-2) en 2<х≤6, 0 para x>6. Encuentre: a) el valor de c; b) función de distribución F(x) y trazarla; c) P(3≤x<5) Solución:
+
∞ a) Hallamos el valor de c a partir de la condición de normalización: ∫ f(x)dx=1. Por lo tanto, -∞ https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> -∞ 2 2 x si 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))= 1/8(x2/2-2x+2)=1/16(x-2)2; Gif" ancho="14" alto="62"> 0 en x≤2, F(x)= (x-2)2/16 en 2<х≤6, 1 para x>6. La gráfica de la función F(x) se muestra en la Fig. 3. https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 en x≤0, F(x)= (3 arctan x)/π en 0<х≤√3, 1 para x>√3. Encuentre la función de distribución diferencial f(x) Solución:
Como f(x)= F’(x), entonces https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" ancho="118" alto="24"> Todas las propiedades de expectativa matemática y dispersión, analizadas anteriormente para variables aleatorias dispersas, también son válidas para variables continuas. Tarea número 3. La variable aleatoria X está especificada por la función diferencial f(x): https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2 X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞ D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 - - (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> PAG(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х = 4/6-1/6+1-2/3=5/6. Problemas para solución independiente.
2.1.
Una variable aleatoria continua X está especificada por la función de distribución: 0 en x≤0, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 para x≤ π/6, F(x)= - cos 3x en π/6<х≤ π/3, 1 para x> π/3. Encuentre la función de distribución diferencial f(x), y también Р(2π /9<Х< π /2). 2.3.
0 en x≤2, f(x)= c x en 2<х≤4, 0 para x>4. 2.4.
Una variable aleatoria continua X está especificada por la densidad de distribución: 0 en x≤0, f(x)= c √x en 0<х≤1, 0 para x>1. Encuentre: a) número c; b) M(X), D(X). 2.5.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> en x, 0 en x. Hallar: a) F(x) y trazarlo; b) M(X),D(X), σ(X); c) la probabilidad de que en cuatro ensayos independientes el valor de X tome exactamente 2 veces el valor perteneciente al intervalo (1;4). 2.6.
La densidad de distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua X viene dada: f(x)= 2(x-2) en x, 0 en x. Hallar: a) F(x) y trazarlo; b) M(X),D(X), σ(X); c) la probabilidad de que en tres ensayos independientes el valor de X tome exactamente 2 veces el valor perteneciente al segmento. 2.7.
La función f(x) viene dada por: https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" ancho="43" alto="38 src=">.jpg" ancho="16" alto="15">[-√ 3/2; √3/2]. 2.8.
La función f(x) viene dada por: https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" ancho="45" alto="36 src="> .jpg" ancho="16" alto="15">[- π /4 ; π/4]. Encuentre: a) el valor de la constante c en el cual la función será la densidad de probabilidad de alguna variable aleatoria X; b) función de distribución F(x). 2.9.
La variable aleatoria X, concentrada en el intervalo (3;7), está especificada por la función de distribución F(x)= . Encuentre la probabilidad de que La variable aleatoria X tomará el valor: a) menos de 5, b) no menos de 7. 2.10.
Variable aleatoria X, concentrada en el intervalo (-1;4), viene dada por la función de distribución F(x)= . Encuentre la probabilidad de que La variable aleatoria X tomará el valor: a) menos de 2, b) no menos de 4. 2.11.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">. Encuentre: a) número c; b) M(X); c) probabilidad P(X> M(X)). 2.12.
La variable aleatoria está especificada por la función de distribución diferencial: https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" ancho="60" alto="38 src=">.jpg" ancho="16 alto=15" alto="15"> . Encuentre: a) M(X); b) probabilidad P(X≤M(X)) 2.13.
La distribución Rem viene dada por la densidad de probabilidad: https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> para x ≥0. Demuestre que f(x) es de hecho una función de densidad de probabilidad. 2.14.
La densidad de distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua X viene dada: https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width="174" height="136 src=">(Fig.4) 2.16.
La variable aleatoria X se distribuye según la ley del “triángulo rectángulo” en el intervalo (0;4) (Fig. 5). Encuentre una expresión analítica para la densidad de probabilidad f(x) en toda la recta numérica. Respuestas
0 en x≤0, f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 para x≤ π/6, F(x)= 3sin 3x en π/6<х≤ π/3, 0 para x> π/3. Una variable aleatoria continua X tiene una ley de distribución uniforme en un cierto intervalo (a;b), que contiene todos los valores posibles de X, si la densidad de distribución de probabilidad f(x) es constante en este intervalo e igual a 0 fuera de él. , es decir. 0 para x≤a, f(x)= para un<х 0 para x≥b. La gráfica de la función f(x) se muestra en la Fig. 1 F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=. Tarea número 1. La variable aleatoria X está distribuida uniformemente en el segmento. Encontrar: a) densidad de distribución de probabilidad f(x) y trazarla; b) la función de distribución F(x) y trazarla; c) M(X),D(X), σ(X). Solución:
Usando las fórmulas discutidas anteriormente, con a=3, b=7, encontramos: https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> en 3≤х≤7, 0 para x>7 Construyamos su gráfica (Fig.3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 en x≤3, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">Fig.4 D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 en x<0, f(x)= λе-λх para x≥0. La función de distribución de una variable aleatoria X, distribuida según la ley exponencial, viene dada por la fórmula: https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" width="191" height="126 src=">fig..jpg" width="22" height="30"> , D(X)=, σ (Х)= Por tanto, la expectativa matemática y la desviación estándar de la distribución exponencial son iguales entre sí. La probabilidad de que X caiga en el intervalo (a;b) se calcula mediante la fórmula: Pensilvania<Х Tarea número 2. El tiempo promedio de operación sin fallas del dispositivo es de 100 horas. Suponiendo que el tiempo de operación sin fallas del dispositivo tiene una ley de distribución exponencial, encuentre: a) densidad de distribución de probabilidad; b) función de distribución; c) la probabilidad de que el tiempo de funcionamiento sin fallos del dispositivo supere las 120 horas. Solución:
Según la condición, la distribución matemática M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 en x<0, a) f(x)= 0,01e -0,01x para x≥0. b) F(x)= 0 en x<0, 1-e -0,01x en x≥0. c) Encontramos la probabilidad deseada usando la función de distribución: P(X>120)=1-F(120)=1-(1- e -1.2)= e -1.2≈0.3. §
3.Ley de distribución normal Definición:
Una variable aleatoria continua X tiene ley de distribución normal (ley de Gauss),
si su densidad de distribución tiene la forma: donde m=M(X), σ2=D(X), σ>0. La curva de distribución normal se llama curva normal o gaussiana
(Figura 7) La función de distribución de una variable aleatoria X, distribuida según la ley normal, se expresa mediante la función de Laplace Ф (x) según la fórmula: ¿Dónde está la función de Laplace? Comentario:
La función Ф(x) es impar (Ф(-х)=-Ф(х)), además, para x>5 podemos suponer Ф(х) ≈1/2. La gráfica de la función de distribución F(x) se muestra en la Fig. 8 https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" ancho="218" alto="33"> La probabilidad de que el valor absoluto de la desviación sea menor que un número positivo δ se calcula mediante la fórmula: En particular, para m=0 se cumple la siguiente igualdad: "Regla Tres Sigma"
Si una variable aleatoria X tiene una ley de distribución normal con parámetros m y σ, entonces es casi seguro que su valor se encuentra en el intervalo (a-3σ; a+3σ), porque https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a) b) Usemos la fórmula: https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src="> De la tabla de valores de funciones Ф(х) encontramos Ф(1,5)=0,4332, Ф(1)=0,3413. Entonces, la probabilidad deseada: P(28 Tareas para el trabajo independiente.
3.1.
La variable aleatoria X está distribuida uniformemente en el intervalo (-3;5). Encontrar: b) función de distribución F(x); c) características numéricas; d) probabilidad P(4<х<6). 3.2.
La variable aleatoria X está distribuida uniformemente en el segmento. Encontrar: a) densidad de distribución f(x); b) función de distribución F(x); c) características numéricas; d) probabilidad P(3≤х≤6). 3.3.
Hay un semáforo automático en la carretera, en el que la luz verde está encendida durante 2 minutos, la amarilla durante 3 segundos, la roja durante 30 segundos, etc. Un automóvil circula por la carretera en un momento aleatorio. Encuentre la probabilidad de que un automóvil pase un semáforo sin detenerse. 3.4.
Los trenes de metro circulan regularmente a intervalos de 2 minutos. Un pasajero ingresa al andén en un momento aleatorio. ¿Cuál es la probabilidad de que un pasajero tenga que esperar más de 50 segundos por un tren? Encuentre la expectativa matemática de la variable aleatoria X: el tiempo de espera del tren. 3.5.
Encuentre la varianza y la desviación estándar de la distribución exponencial dada por la función de distribución: F(x)= 0 en x<0, 1º-8x para x≥0. 3.6.
Una variable aleatoria continua X está especificada por la densidad de distribución de probabilidad: f(x)= 0 en x<0, 0,7 e-0,7x en x≥0. a) Nombra la ley de distribución de la variable aleatoria considerada. b) Encuentre la función de distribución F(X) y las características numéricas de la variable aleatoria X. 3.7.
La variable aleatoria X se distribuye según la ley exponencial especificada por la densidad de distribución de probabilidad: f(x)= 0 en x<0, 0,4 e-0,4 x en x≥0. Encuentre la probabilidad de que como resultado de la prueba X tome un valor del intervalo (2.5;5). 3.8.
Una variable aleatoria continua X se distribuye según la ley exponencial especificada por la función de distribución: F(x)= 0 en x<0, 1º-0,6x en x≥0 Encuentre la probabilidad de que, como resultado de la prueba, X tome un valor del segmento. 3.9.
El valor esperado y la desviación estándar de una variable aleatoria distribuida normalmente son 8 y 2, respectivamente. a) densidad de distribución f(x); b) la probabilidad de que como resultado de la prueba X tome un valor del intervalo (10;14). 3.10.
La variable aleatoria X tiene una distribución normal con una expectativa matemática de 3,5 y una varianza de 0,04. Encontrar: a) densidad de distribución f(x); b) la probabilidad de que como resultado de la prueba X tome un valor del segmento. 3.11.
La variable aleatoria X se distribuye normalmente con M(X)=0 y D(X)=1. ¿Cuál de los eventos: |X|≤0.6 o |X|≥0.6 es más probable? 3.12.
La variable aleatoria X se distribuye normalmente con M(X)=0 y D(X)=1. ¿De qué intervalo (-0,5;-0,1) o (1;2) es más probable que tome un valor durante una prueba? 3.13.
El precio actual por acción se puede modelar utilizando la ley de distribución normal con M(X)=10 den. unidades y σ(X)=0,3 den. unidades Encontrar: a) la probabilidad de que el precio actual de la acción sea de 9,8 den. unidades hasta 10,4 días unidades; b) utilizando la "regla de tres sigma", encuentre los límites dentro de los cuales se ubicará el precio actual de las acciones. 3.14.
La sustancia se pesa sin errores sistemáticos. Los errores de pesaje aleatorios están sujetos a la ley normal con una relación cuadrática media σ=5g. Encuentre la probabilidad de que en cuatro experimentos independientes no se produzca un error en tres pesajes en el valor absoluto 3r. 3.15.
La variable aleatoria X tiene una distribución normal con M(X)=12,6. La probabilidad de que una variable aleatoria caiga en el intervalo (11,4;13,8) es 0,6826. Encuentre la desviación estándar σ. 3.16.
La variable aleatoria X se distribuye normalmente con M(X)=12 y D(X)=36. Encuentre el intervalo en el que caerá la variable aleatoria X como resultado de la prueba con una probabilidad de 0,9973. 3.17.
Una pieza fabricada por una máquina automática se considera defectuosa si la desviación X de su parámetro controlado respecto del valor nominal supera el módulo 2 unidades de medida. Se supone que la variable aleatoria X tiene una distribución normal con M(X)=0 y σ(X)=0,7. ¿Qué porcentaje de piezas defectuosas produce la máquina? 3.18.
El parámetro X de la pieza se distribuye normalmente con una expectativa matemática de 2 igual al valor nominal y una desviación estándar de 0,014. Encuentre la probabilidad de que la desviación de X del valor nominal no supere el 1% del valor nominal. Respuestas
https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src="> b) 0 para x≤-3, F(x)= izquierda"> 3.10.
a)f(x)= , b) Р(3.1≤Х≤3.7) ≈0.8185. 3.11.
|x|≥0,6. 3.12.
(-0,5;-0,1). 3.13.
a) P(9,8≤Х≤10,4) ≈0,6562. 3.14.
0,111. 3.15.
σ=1,2. 3.16.
(-6;30). 3.17.
0,4%. Dispersión La variable aleatoria continua X, cuyos posibles valores pertenecen a todo el eje Ox, está determinada por la igualdad: Objeto del servicio. La calculadora en línea está diseñada para resolver problemas en los que densidad de distribución f(x) o función de distribución F(x) (ver ejemplo). Por lo general, en tales tareas necesitas encontrar. expectativa matemática, desviación estándar, trazar gráficas de funciones f(x) y F(x). Instrucciones. Seleccione el tipo de datos de origen: densidad de distribución f(x) o función de distribución F(x). La densidad de distribución f(x) está dada: La función de distribución F(x) está dada: Una variable aleatoria continua está especificada por una densidad de probabilidad. La variable aleatoria X se llama continuo
, si su función de distribución F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
1.2.
p4=0,1; 0 en x≤-1,
(Figura 5)
https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 para x≤a,
,
La curva normal es simétrica con respecto a la recta x=m, tiene un máximo en x=a, igual a .
,
(Ley de distribución de Rayleigh, utilizada en ingeniería de radio). Encuentre M(x), D(x).
La función de distribución de una variable aleatoria continua se utiliza para calcular la probabilidad de que una variable aleatoria caiga en un intervalo determinado:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
Además, para una variable aleatoria continua, no importa si sus límites están incluidos en este intervalo o no:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Densidad de distribución
una variable aleatoria continua se llama función
f(x)=F’(x) , derivada de la función de distribución.Propiedades de la densidad de distribución.
1. La densidad de distribución de la variable aleatoria no es negativa (f(x) ≥ 0) para todos los valores de x.
2. Condición de normalización:
El significado geométrico de la condición de normalización: el área bajo la curva de densidad de distribución es igual a la unidad.
3. La probabilidad de que una variable aleatoria X caiga en el intervalo de α a β se puede calcular mediante la fórmula 
Geométricamente, la probabilidad de que una variable aleatoria continua X caiga en el intervalo (α, β) es igual al área del trapecio curvilíneo bajo la curva de densidad de distribución basada en este intervalo.
4. La función de distribución se expresa en términos de densidad de la siguiente manera:
El valor de la densidad de distribución en el punto x no es igual a la probabilidad de aceptar este valor; para una variable aleatoria continua solo podemos hablar de la probabilidad de caer en un intervalo dado. Dejar )
