4. Densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua

Una variable aleatoria continua se puede especificar usando la función de distribución. F(X) . Este método de asignación no es el único. Una variable aleatoria continua también se puede especificar usando otra función llamada densidad de distribución o densidad de probabilidad (a veces llamada función diferencial).

Definición 4.1: Densidad de distribución de una variable aleatoria continua. X llamar a la función F (X) - la primera derivada de la función de distribución F(X) :

F ( X ) = F "( X ) .

De esta definición se deduce que la función de distribución es una antiderivada de la densidad de distribución. Tenga en cuenta que la densidad de distribución no es aplicable para describir la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta.

Probabilidad de que una variable aleatoria continua caiga en un intervalo dado

Conociendo la densidad de distribución, se puede calcular la probabilidad de que una variable aleatoria continua tome un valor perteneciente a un intervalo determinado.

Teorema: La probabilidad de que una variable aleatoria continua X tome valores pertenecientes al intervalo (a, b), es igual a una cierta integral de la densidad de distribución, tomada en el rango deaantesb :

Prueba: Usamos la proporción

PAG(a ≤ Xb) = F(b) – F(a).

Según la fórmula de Newton-Leibniz,

De este modo,

.

Porque PAG(a ≤ X b)= PAG(a X b) , entonces finalmente llegamos

.

Geométricamente, el resultado obtenido se puede interpretar de la siguiente manera: la probabilidad de que una variable aleatoria continua tome un valor perteneciente al intervalo (a, b), igual al área de un trapecio curvilíneo delimitado por el ejeBuey, curva de distribuciónF(X) y rectoX = aYX = b.

Comentario: En particular, si F(X) – la función es par y los extremos del intervalo son simétricos con respecto al origen, entonces

.

Ejemplo. La densidad de probabilidad de una variable aleatoria está dada. X

Encuentre la probabilidad de que como resultado de la prueba X tomará valores pertenecientes al intervalo (0.5, 1).

Solución: Probabilidad requerida

.

Encontrar la función de distribución a partir de una densidad de distribución conocida

Conociendo la densidad de distribución F(X) , podemos encontrar la función de distribución F(X) según la fórmula

.

En realidad, F(X) = PAG(X X) = PAG(-∞ X X) .

Por eso,

.

De este modo, Conociendo la densidad de distribución, puedes encontrar la función de distribución. Por supuesto, a partir de una función de distribución conocida se puede encontrar la densidad de distribución, a saber:

F(X) = F"(X).

Ejemplo. Encuentre la función de distribución para la densidad de distribución dada:

Solución: Usemos la fórmula

Si X ≤ a, Eso F(X) = 0 , por eso, F(X) = 0 . Si un, entonces f(x) = 1/(ba),

por eso,

.

Si X > b, Eso

.

Entonces, la función de distribución requerida

Comentario: Obtuvimos la función de distribución de una variable aleatoria distribuida uniformemente (ver distribución uniforme).

Propiedades de la densidad de distribución.

Propiedad 1: La densidad de distribución es una función no negativa:

F ( X ) ≥ 0 .

Propiedad 2: La integral impropia de la densidad de distribución en el rango de -∞ a ∞ es igual a uno:

.

Comentario: El gráfico de densidad de distribución se llama curva de distribución.

Comentario: La densidad de distribución de una variable aleatoria continua también se llama ley de distribución.

Ejemplo. La densidad de distribución de la variable aleatoria tiene la siguiente forma:

Encuentra un parámetro constante a.

Solución: La densidad de distribución debe satisfacer la condición, por lo que exigiremos que se cumpla la igualdad.

.

De aquí
. Encontremos la integral indefinida:

.

Calculemos la integral impropia:

Por lo tanto, el parámetro requerido

.

Significado probable de la densidad de distribución.

Dejar F(X) – función de distribución de una variable aleatoria continua X. Por definición de densidad de distribución, F(X) = F"(X) , o

Diferencia F(X+∆x) -F(X) determina la probabilidad de que X tomará un valor perteneciente al intervalo (X, X+∆х). Por tanto, el límite de la razón de probabilidad de que una variable aleatoria continua tome un valor perteneciente al intervalo (X, X+∆х), a la longitud de este intervalo (en ∆x→0) es igual al valor de la densidad de distribución en el punto X.

Entonces la función F(X) determina la distribución de densidad de probabilidad para cada punto X. Del cálculo diferencial se sabe que el incremento de una función es aproximadamente igual al diferencial de la función, es decir

Porque F"(X) = F(X) Y dx = ∆ X, Eso F(X+∆ X) - F(X) ≈ F(X)∆ X.

El significado probabilístico de esta igualdad es: la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor perteneciente al intervalo (X, X+∆ X) es aproximadamente igual al producto de la densidad de probabilidad en el punto x y la longitud del intervalo ∆x.

Geométricamente, este resultado se puede interpretar de la siguiente manera: la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor perteneciente al intervalo (X, X+∆ X) es aproximadamente igual al área de un rectángulo con base ∆х y alturaF(X).

5. Distribuciones típicas de variables aleatorias discretas.

5.1. Distribución de Bernoulli

Definición 5.1: Valor aleatorio X, tomando dos valores 1 Y 0 con probabilidades (“éxito”) pag y (“fracaso”) q, llamado Bernoulliévskaya:

, Dónde k=0,1.

5.2. Distribución binomial

Que se produzca norte ensayos independientes, en cada uno de los cuales el evento A puede aparecer o no. La probabilidad de que ocurra un evento en todos los ensayos es constante e igual. pag(de ahí la probabilidad de que no ocurra q = 1 - pag).

Considere la variable aleatoria X– número de ocurrencias del evento A en estas pruebas. Valor aleatorio X toma valores 0,1,2,… norte con probabilidades calculadas mediante la fórmula de Bernoulli: , Dónde k = 0,1,2,… norte.

Definición 5.2: Binomio se llama distribución de probabilidad determinada por la fórmula de Bernoulli.

Ejemplo. Se disparan tres tiros al objetivo y la probabilidad de acertar cada tiro es 0,8. Considerando una variable aleatoria X– número de impactos en el objetivo. Encuentra su serie de distribución.

Solución: Valor aleatorio X toma valores 0,1,2,3 con probabilidades calculadas utilizando la fórmula de Bernoulli, donde norte = 3, pag = 0,8 (probabilidad de acierto), q = 1 - 0,8 = = 0,2 (probabilidad de faltar).

Así, la serie de distribución tiene la siguiente forma:

Utilice la fórmula de Bernoulli para valores grandes norte bastante difícil, por lo tanto, para calcular las probabilidades correspondientes, use el teorema local de Laplace, que le permite encontrar aproximadamente la probabilidad de que ocurra un evento exactamente k una vez cada norte pruebas, si el número de pruebas es lo suficientemente grande.

Teorema local de Laplace: Si la probabilidad pag ocurrencia de un evento A
que el evento A aparecerá en norte pruebas exactamente k veces, aproximadamente iguales (cuanto más preciso, más norte) valor de la función
, Dónde
, .

Nota 1: Tablas que contienen valores de funciones.
, se dan en el Apéndice 1, y
. Función es la densidad de la distribución normal estándar (ver distribución normal).

Ejemplo: Encuentre la probabilidad de que el evento A vendrá exactamente 80 una vez cada 400 ensayos si la probabilidad de que ocurra este evento en cada ensayo es igual a 0,2.

Solución: Por condición norte = 400, k = 80, pag = 0,2 , q = 0,8 . Calculemos el valor determinado por los datos de la tarea. X:
. De la tabla en el Apéndice 1 encontramos
. Entonces la probabilidad requerida será:

Si necesita calcular la probabilidad de que un evento A aparecerá en norte pruebas nada menos k 1 una vez y no más k 2 veces, entonces necesitas usar el teorema integral de Laplace:

Teorema integral de Laplace: Si la probabilidad pag ocurrencia de un evento A en cada ensayo es constante y diferente de cero y uno, entonces la probabilidad que el evento A aparecerá en norte pruebas de k 1 antes k 2 veces, aproximadamente igual a una cierta integral

, Dónde
Y
.

En otras palabras, la probabilidad de que un evento A aparecerá en norte pruebas de k 1 antes k 2 veces, aproximadamente iguales

Dónde
, Y .

Nota 2: Función
llamada función de Laplace (ver distribución normal). Tablas que contienen valores de funciones. , se dan en el Apéndice 2, y
.

Ejemplo: Encuentre la probabilidad de que entre 400 Las piezas seleccionadas al azar resultarán no probadas de 70 a 100 piezas, si la probabilidad de que la pieza no haya pasado la inspección de control de calidad es igual a 0,2.

Solución: Por condición norte = 400, pag = 0,2 , q = 0,8, k 1 = 70, k 2 = 100 . Calculemos los límites superior e inferior de integración:

;
.

Así tenemos:

De la tabla del Apéndice 2 encontramos que
Y
. Entonces la probabilidad requerida es:

Nota 3: En una serie de ensayos independientes (cuando n es grande, p es pequeño), se utiliza la fórmula de Poisson para calcular la probabilidad de que un evento ocurra exactamente k veces (ver distribución de Poisson).

5.3. distribución de veneno

Definición 5.3: Una variable aleatoria discreta se llama veneno, si su ley de distribución tiene la siguiente forma:

, Dónde
Y
(valor constante).

Ejemplos de variables aleatorias de Poisson:

Número de llamadas a una estación automática durante un período de tiempo t.

El número de partículas de desintegración de alguna sustancia radiactiva durante un período de tiempo. t.

Número de televisores que llegan al taller en un periodo de tiempo t en la gran ciudad .

Número de automóviles que llegarán a la línea de parada de una intersección en una gran ciudad .

Nota 1: En el Apéndice 3 se proporcionan tablas especiales para calcular estas probabilidades.

Nota 2: En una serie de pruebas independientes (cuando norte excelente, pag no es suficiente) para calcular la probabilidad de que un evento ocurra exactamente k veces usando la fórmula de Poisson:
, Dónde
, es decir, el número promedio de ocurrencias de eventos permanece constante.

Nota 3: Si hay una variable aleatoria que se distribuye según la ley de Poisson, entonces necesariamente hay una variable aleatoria que se distribuye según la ley exponencial y viceversa (ver Distribución exponencial).

Ejemplo. La planta enviada a la base. 5000 Productos de buena calidad. La probabilidad de que el producto se dañe durante el transporte es igual a 0,0002 . Calcula la probabilidad de que lleguen a la base exactamente tres productos inutilizables.

Solución: Por condición norte = 5000, pag = 0,0002, k = 3. Lo encontraremos λ: λ = notario público.= 5000·0,0002 = 1.

Según la fórmula de Poisson, la probabilidad deseada es igual a:

, donde esta la variable aleatoria X– número de productos inutilizables.

5.4. Distribución geométrica

Realicemos pruebas independientes, en cada una de las cuales la probabilidad de que ocurra el evento es A igual a pag(0p

q = 1 - pag. Los desafíos terminan tan pronto como aparece el evento. A. Así, si un evento A apareció en k-ésima prueba, luego en la anterior k – 1 no apareció en las pruebas.

Denotemos por X Variable aleatoria discreta: el número de ensayos que deben realizarse antes de que ocurra por primera vez el evento. A. Obviamente, los valores posibles X son números naturales x 1 = 1, x 2 = 2, ...

deja primero k-1 evento de prueba A no vino, pero en k Apareció la -ésima prueba. La probabilidad de este “evento complejo”, según el teorema de la multiplicación de probabilidades de eventos independientes, PAG (X = k) = q k -1 pag.

Definición 5.4: Una variable aleatoria discreta tiene distribución geométrica, si su ley de distribución tiene la siguiente forma:

PAG ( X = k ) = q k -1 pag , Dónde
.

Nota 1: Creyendo k = 1,2,… , obtenemos una progresión geométrica con el primer término pag y denominador q (0q. Por este motivo, la distribución se llama geométrica.

Nota 2: Fila
converge y su suma es igual a uno. De hecho, la suma de la serie es igual a
.

Ejemplo. El arma se dispara al objetivo hasta que se da el primer impacto. Probabilidad de dar en el blanco pag = 0,6 . Encuentre la probabilidad de que se produzca un impacto en el tercer disparo.

Solución: Por condición pag = 0,6, q = 1 – 0,6 = 0,4, k = 3. La probabilidad requerida es:

PAG (X = 3) = 0,4 2 ·0,6 = 0,096.

5.5. Distribución hipergeométrica

Consideremos el siguiente problema. Deja salir la fiesta norte productos disponibles METRO estándar (METROnorte). Tomado al azar del lote. norte productos (cada producto se puede extraer con la misma probabilidad), y el producto seleccionado no se devuelve al lote antes de seleccionar el siguiente (por lo tanto, la fórmula de Bernoulli no es aplicable aquí).

Denotemos por X variable aleatoria - número metro productos estándar entre norte seleccionado. Entonces los valores posibles X será 0, 1, 2,…, mínimo; Etiquetémoslos y... Por valores de la variable independiente (Fonds) utilice el botón ( capítulo ...

Características numéricas de variables aleatorias continuas. Sea una variable aleatoria continua X especificada por la función de distribución f(x)

Sea una variable aleatoria continua X especificada por la función de distribución f(x). Supongamos que todos los valores posibles de la variable aleatoria pertenecen al segmento [ a,b].

Definición. Expectativa matemática una variable aleatoria continua X, cuyos posibles valores pertenecen al segmento , se llama integral definida

Si se consideran los posibles valores de una variable aleatoria en todo el eje numérico, entonces la expectativa matemática se encuentra mediante la fórmula:

En este caso, por supuesto, se supone que la integral impropia converge.

Definición. Diferencia de una variable aleatoria continua es la esperanza matemática del cuadrado de su desviación.

Por analogía con la varianza de una variable aleatoria discreta, para calcular prácticamente la varianza se utiliza la fórmula:

Definición. Desviación Estándar llamada raíz cuadrada de la varianza.

Definición. Moda M 0 de una variable aleatoria discreta se denomina valor más probable. Para una variable aleatoria continua, la moda es el valor de la variable aleatoria en el que la densidad de distribución tiene un máximo.

Si el polígono de distribución de una variable aleatoria discreta o la curva de distribución de una variable aleatoria continua tiene dos o más máximos, entonces dicha distribución se llama bimodal o multimodal. Si una distribución tiene un mínimo pero no un máximo, entonces se llama antimodal.

Definición. Mediana M D de una variable aleatoria X es su valor respecto del cual es igualmente probable que se obtenga un valor mayor o menor de la variable aleatoria.

Geométricamente, la mediana es la abscisa del punto en el que el área limitada por la curva de distribución se divide por la mitad. Tenga en cuenta que si la distribución es unimodal, entonces la moda y la mediana coinciden con la expectativa matemática.

Definición. El momento inicial orden k La variable aleatoria X es la expectativa matemática del valor X. k.

Para una variable aleatoria discreta: .

.

El momento inicial de primer orden es igual a la expectativa matemática.

Definición. Momento central orden k La variable aleatoria X es la expectativa matemática del valor.

Para una variable aleatoria discreta: .

Para una variable aleatoria continua: .

El momento central de primer orden es siempre cero y el momento central de segundo orden es igual a la dispersión. El momento central de tercer orden caracteriza la asimetría de la distribución.

Definición. La relación entre el momento central de tercer orden y la desviación estándar a la tercera potencia se llama coeficiente de asimetría.

Definición. Para caracterizar el pico y la planitud de la distribución, se utiliza una cantidad llamada exceso.

Además de las cantidades consideradas, también se utilizan los llamados momentos absolutos:

Momento de inicio absoluto: . Punto central absoluto: . El momento central absoluto de primer orden se llama desviación media aritmética.

Ejemplo. Para el ejemplo analizado anteriormente, determine la expectativa matemática y la varianza de la variable aleatoria X.

Ejemplo. En una urna hay 6 bolas blancas y 4 negras. Se retira una bola cinco veces seguidas y cada vez se devuelve la bola extraída y se mezclan las bolas. Tomando el número de bolas blancas extraídas como variable aleatoria X, elabore una ley de distribución para este valor, determine su expectativa matemática y dispersión.

Porque las bolas en cada experimento se devuelven y se mezclan, luego las pruebas pueden considerarse independientes (el resultado del experimento anterior no afecta la probabilidad de que ocurra o no un evento en otro experimento).

Por tanto, la probabilidad de que aparezca una bola blanca en cada experimento es constante e igual a

Así, como resultado de cinco intentos consecutivos, la bola blanca puede no aparecer en absoluto, o aparecer una, dos, tres, cuatro o cinco veces. Para elaborar una ley de distribución, es necesario encontrar las probabilidades de cada uno de estos eventos.

1) La bola blanca no apareció en absoluto:

2) La bola blanca apareció una vez:

3) La bola blanca aparecerá dos veces: .

Ejemplos de resolución de problemas sobre el tema “Variables aleatorias”.

Tarea 1 . Se emiten 100 billetes de lotería. Se sorteó un premio de 50 USD. y diez premios de 10 USD cada uno. Encuentre la ley de distribución del valor X: el costo de las posibles ganancias.

Solución. Posibles valores para X: x 1 = 0; X 2 = 10 y x 3 = 50. Como hay 89 billetes “vacíos”, entonces p 1 = 0,89, probabilidad de ganar $10. (10 entradas) – p 2 = 0.10 y para ganar 50 USD -pag 3 = 0,01. De este modo:

Fácil de controlar: .

Tarea 2. La probabilidad de que el comprador haya leído previamente el anuncio del producto es de 0,6 (p = 0,6). El control selectivo de la calidad de la publicidad se lleva a cabo encuestando a los compradores antes que el primero que haya estudiado la publicidad con antelación. Elaborar una serie de distribución para el número de compradores encuestados.

Solución. Según las condiciones del problema, p = 0,6. De: q=1 -p = 0,4. Sustituyendo estos valores obtenemos: y construir una serie de distribución:

Tarea 3. Una computadora consta de tres elementos que funcionan de forma independiente: la unidad del sistema, el monitor y el teclado. Con un solo aumento brusco de voltaje, la probabilidad de falla de cada elemento es 0,1. Con base en la distribución de Bernoulli, elabore una ley de distribución para el número de elementos fallidos durante una subida de tensión en la red.

Solución. Consideremos Distribución de Bernoulli(o binomial): la probabilidad de que norte pruebas, el evento A aparecerá exactamente k una vez: , o:

EN Volvamos a la tarea.

Posibles valores para X (número de fallos):

x 0 =0 – ninguno de los elementos falló;

x 1 =1 – falla de un elemento;

x 2 =2 – falla de dos elementos;

x 3 =3 – falla de todos los elementos.

Dado que, por condición, p = 0,1, entonces q = 1 – p = 0,9. Usando la fórmula de Bernoulli, obtenemos

, ,

, .

Control: .

Por tanto, la ley de distribución requerida:

Problema 4. 5.000 balas producidas. Probabilidad de que un cartucho esté defectuoso . ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente 3 cartuchos defectuosos en todo el lote?

Solución. Aplicable distribución de veneno: Esta distribución se utiliza para determinar la probabilidad de que, para valores muy grandes

número de pruebas (pruebas masivas), en cada una de las cuales la probabilidad del evento A es muy pequeña, el evento A ocurrirá k veces: , Dónde .

Aquí n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Encontramos, entonces, la probabilidad deseada: .

Problema 5. Al disparar hasta el primer impacto con probabilidad de impacto p = 0,6 al disparar, es necesario encontrar la probabilidad de que se produzca un impacto en el tercer disparo.

Solución. Apliquemos una distribución geométrica: realicemos ensayos independientes, en cada uno de los cuales el evento A tiene una probabilidad de ocurrencia p (y de no ocurrencia q = 1 – p). La prueba finaliza tan pronto como ocurre el evento A.

En tales condiciones, la probabilidad de que el evento A ocurra en el késimo ensayo está determinada por la fórmula: . Aquí p = 0,6; q = 1 – 0,6 = 0,4;k = 3. Por lo tanto, .

Problema 6. Sea la ley de distribución de una variable aleatoria X:

Encuentra la expectativa matemática.

Solución. .

Tenga en cuenta que el significado probabilístico de la expectativa matemática es el valor promedio de una variable aleatoria.

Problema 7. Encuentre la varianza de la variable aleatoria X con la siguiente ley de distribución:

Solución. Aquí .

Ley de distribución del valor al cuadrado de X 2 :

Variación requerida: .

La dispersión caracteriza la medida de desviación (dispersión) de una variable aleatoria de su expectativa matemática.

Problema 8. Sea una variable aleatoria dada por la distribución:

Encuentra sus características numéricas.

Solución: m, m 2 ,

METRO 2 , m.

Acerca de la variable aleatoria X podemos decir: su expectativa matemática es 6,4 m con una varianza de 13,04 m 2 , o – su expectativa matemática es 6,4 m con una desviación de m. La segunda formulación es obviamente más clara.

Tarea 9. Valor aleatorio X dado por la función de distribución:
.

Encuentre la probabilidad de que como resultado de la prueba el valor X tome el valor contenido en el intervalo .

Solución. La probabilidad de que X tome un valor de un intervalo dado es igual al incremento de la función integral en este intervalo, es decir . En nuestro caso y por tanto

.

Tarea 10. Variable aleatoria discreta X viene dada por la ley de distribución:

Encuentra la función de distribución. f(x) ) y trazarlo.

Solución. Dado que la función de distribución,

Para , Eso

en ;

en ;

en ;

en ;

Cuadro relevante:

Problema 11. Variable aleatoria continua X dado por la función de distribución diferencial: .

Encuentra la probabilidad de acierto X por intervalo

Solución. Tenga en cuenta que este es un caso especial de la ley de distribución exponencial.

Usemos la fórmula: .

Tarea 12. Encuentre las características numéricas de una variable aleatoria discreta X especificada por la ley de distribución:

9. Variable aleatoria continua, sus características numéricas.

Una variable aleatoria continua se puede especificar mediante dos funciones. Función de distribución de probabilidad integral de la variable aleatoria X se llama función definida por la igualdad
.

La función integral proporciona una forma general de especificar variables aleatorias tanto discretas como continuas. En el caso de una variable aleatoria continua. Todos los eventos: tienen la misma probabilidad, igual al incremento de la función integral en este intervalo, es decir. Por ejemplo, para la variable aleatoria discreta especificada en el ejemplo 26, tenemos:

Así, la gráfica de la función integral de la función considerada es la unión de dos rayos y tres segmentos paralelos al eje Ox.

Ejemplo 27. La variable aleatoria continua X está especificada por la función de distribución de probabilidad integral

.

Construya una gráfica de la función integral y encuentre la probabilidad de que, como resultado de la prueba, la variable aleatoria X tome un valor en el intervalo (0,5;1,5).

Solución. en el intervalo
la gráfica es la recta y = 0. En el intervalo de 0 a 2 hay una parábola dada por la ecuación
. en el intervalo
La gráfica es la recta y = 1.

La probabilidad de que la variable aleatoria X como resultado de la prueba tome un valor en el intervalo (0,5;1,5) se calcula mediante la fórmula.

De este modo, .

Propiedades de la función de distribución de probabilidad integral:

Es conveniente especificar la ley de distribución de una variable aleatoria continua utilizando otra función, a saber, función de densidad de probabilidad
.

La probabilidad de que el valor asumido por la variable aleatoria X caiga dentro del intervalo
, está determinada por la igualdad
.

La gráfica de la función se llama curva de distribución. Geométricamente, la probabilidad de que una variable aleatoria X caiga en el intervalo es igual al área del trapecio curvilíneo correspondiente delimitado por la curva de distribución, el eje Ox y las líneas rectas.
.

Propiedades de la función de densidad de probabilidad:

9.1. Características numéricas de variables aleatorias continuas.

Valor esperado(valor promedio) de una variable aleatoria continua X está determinado por la igualdad
.

M(X) se denota por A. La expectativa matemática de una variable aleatoria continua tiene propiedades similares a las de una variable aleatoria discreta:

Diferencia La variable aleatoria discreta X es la expectativa matemática de la desviación al cuadrado de la variable aleatoria de su expectativa matemática, es decir . Para una variable aleatoria continua, la varianza viene dada por la fórmula
.

La dispersión tiene las siguientes propiedades:

La última propiedad es muy conveniente de utilizar para encontrar la varianza de una variable aleatoria continua.

De manera similar se introduce el concepto de desviación estándar. La desviación estándar de la continua La variable aleatoria X se llama raíz cuadrada de la varianza, es decir
.

Ejemplo 28. Una variable aleatoria continua X está especificada por una función de densidad de probabilidad
en el intervalo (10;12), fuera de este intervalo el valor de la función es 0. Encuentre 1) el valor del parámetro A, 2) expectativa matemática M(X), varianza
, desviación estándar, 3) función integral
y construir gráficas de funciones integrales y diferenciales.

1). Para encontrar un parámetro A usa la fórmula
. Lo conseguiremos. De este modo,
.

2). Para encontrar la expectativa matemática, usamos la fórmula: , de donde se deduce que
.

Encontraremos la varianza usando la fórmula:
, es decir. .

Encontremos la desviación estándar usando la fórmula: , de donde obtenemos que
.

3). La función integral se expresa mediante la función de densidad de probabilidad de la siguiente manera:
. Por eso,
en
, = 0 en
tu = 1 en
.

Las gráficas de estas funciones se presentan en la Fig. 4. y fig. 5.

Fig.4 Fig.5.

9.2. Distribución de probabilidad uniforme de una variable aleatoria continua

Distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua X igualmente en el intervalo si su densidad de probabilidad es constante en este intervalo e igual a cero fuera de este intervalo, es decir . Es fácil demostrar que en este caso
.

Si el intervalo
está contenido en el intervalo, entonces
.

Ejemplo 29. Un evento de señal instantáneo debe ocurrir entre la una y las cinco de la mañana. El tiempo de espera de la señal es una variable aleatoria X. Calcula la probabilidad de que la señal sea detectada entre las dos y las tres de la tarde.

Solución. La variable aleatoria X tiene una distribución uniforme, y usando la fórmula encontramos que la probabilidad de que la señal sea entre las 2 y las 3 de la tarde es igual a
.

En la literatura educativa y de otro tipo, a menudo se los denota como
.

9.3. Distribución de probabilidad normal de una variable aleatoria continua

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua se llama normal si su ley de distribución de probabilidad está determinada por la densidad de probabilidad.
. Para tales cantidades A- valor esperado,
- Desviación Estándar.

Teorema. Probabilidad de que una variable aleatoria continua distribuida normalmente caiga en un intervalo dado
determinado por la fórmula
, Dónde
- Función de Laplace.

Una consecuencia de este teorema es la regla de tres sigma, es decir Es casi seguro que una variable aleatoria continua X, normalmente distribuida, toma sus valores en el intervalo
. Esta regla se puede derivar de la fórmula
, que es un caso especial del teorema formulado.

Ejemplo 30. La vida útil del televisor es una variable aleatoria X, sujeta a la ley de distribución normal, con un período de garantía de 15 años y una desviación estándar de 3 años. Encuentre la probabilidad de que el televisor dure de 10 a 20 años.

Solución. Según las condiciones del problema, la expectativa matemática A= 15, desviación estándar.

Encontremos . Por tanto, la probabilidad de que el televisor funcione entre 10 y 20 años es superior a 0,9.

9.4. La desigualdad de Chebyshev

Ocurre El lema de Chebyshev. Si una variable aleatoria X toma solo valores no negativos y tiene una expectativa matemática, entonces para cualquier positivo V
.

Considerando que , como suma de las probabilidades de eventos opuestos, obtenemos que
.

El teorema de Chebyshev. Si la variable aleatoria X tiene varianza finita
y expectativa matemática M(X), entonces para cualquier positivo la desigualdad es cierta
.

De donde se sigue que
.

Ejemplo 31. Se ha producido un lote de piezas. La longitud promedio de las piezas es de 100 cm y la desviación estándar es de 0,4 cm. Estima desde abajo la probabilidad de que la longitud de una pieza tomada al azar sea de al menos 99 cm. y no más de 101 cm.

Solución. Diferencia. La expectativa matemática es 100. Por lo tanto, para estimar desde abajo la probabilidad del evento en cuestión
apliquemos la desigualdad de Chebyshev, en la que
, Entonces
.

10. Elementos de la estadística matemática.

Agregado estadístico nombrar un conjunto de objetos o fenómenos homogéneos. Número PAG elementos de este conjunto se denomina volumen de la colección. Valores observados El rasgo X se llama opciones. Si las opciones se ordenan en secuencia creciente, entonces obtenemos serie de variación discreta. En el caso de agrupar, la opción por intervalos resulta ser serie de variación de intervalo. Bajo frecuencia t Los valores característicos comprenden el número de miembros de la población con una variante determinada.

La relación entre la frecuencia y el volumen de una población estadística se llama Frecuencia relativa firmar:
.

La relación entre las variantes de una serie de variación y sus frecuencias se llama distribución estadística de la muestra. Se puede obtener una representación gráfica de la distribución estadística. polígono frecuencia

Ejemplo 32. Al encuestar a 25 estudiantes de primer año se obtuvieron los siguientes datos sobre su edad:
. Compile una distribución estadística de los estudiantes por edad, encuentre el rango de variación, construya un polígono de frecuencias y compile una serie de distribuciones de frecuencias relativas.

Solución. Utilizando los datos obtenidos de la encuesta, crearemos una distribución estadística de la muestra.

El rango de la muestra de variación es 23 – 17 = 6. Para construir un polígono de frecuencia, construya puntos con coordenadas
y conectarlos en serie.

La serie de distribución de frecuencia relativa tiene la forma:

10.1.Características numéricas de la serie de variación.

Sea la muestra dada por una serie de distribuciones de frecuencia de la característica X:

La suma de todas las frecuencias es igual. PAG.

Media aritmética de la muestra. nombra la cantidad
.

Diferencia o la medida de dispersión de los valores de una característica X con relación a su media aritmética se llama valor
. La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, es decir .

La relación entre la desviación estándar y la media aritmética de la muestra, expresada como porcentaje, se llama coeficiente de variación:
.

Función empírica de distribución de frecuencia relativa. llamar a una función que determina para cada valor la frecuencia relativa de un evento
, es decir.
, Dónde - número de opciones, más pequeño X, A PAG- tamaño de la muestra.

Ejemplo 33. En las condiciones del ejemplo 32, encuentre las características numéricas.
.

Solución. Encontremos la media aritmética de la muestra usando la fórmula, entonces.

La varianza del rasgo X se encuentra mediante la fórmula: , es decir . La desviación estándar de la muestra es
. El coeficiente de variación es
.

10.2. Estimación de probabilidad por frecuencia relativa. Intervalo de confianza

Que se lleve a cabo PAG ensayos independientes, en cada uno de los cuales la probabilidad de ocurrencia del evento A es constante e igual a R. En este caso, la probabilidad de que la frecuencia relativa difiera de la probabilidad de que ocurra el evento A en cada prueba en valor absoluto no es más que aproximadamente igual al doble del valor de la función integral de Laplace:
.

Estimación de intervalo Llame a una estimación de este tipo, que está determinada por dos números que son los extremos del intervalo que cubre el parámetro estimado de la población estadística.

Intervalo de confianzaes un intervalo que, con una probabilidad de confianza dada cubre el parámetro estimado de la población estadística. Considerando la fórmula en la que reemplazamos la cantidad desconocida. R a su valor aproximado obtenidos de los datos de la muestra, obtenemos:
. Esta fórmula se utiliza para estimar la probabilidad por frecuencia relativa. Números
Y
llamado inferior y, respectivamente, superior límites de confianza, - el error máximo para una probabilidad de confianza dada
.

Ejemplo 34. El taller de la fábrica produce bombillas. Al revisar 625 lámparas, se encontró que 40 estaban defectuosas. Encuentre, con una probabilidad de confianza de 0,95, los límites dentro de los cuales se encuentra el porcentaje de bombillas defectuosas producidas por el taller de la fábrica.

Solución. Según las condiciones de la tarea. Usamos la fórmula
. Utilizando la Tabla 2 del apéndice, encontramos el valor del argumento, en el que el valor de la función integral de Laplace es igual a 0,475. lo entendemos
. De este modo, . Por tanto, podemos decir con una probabilidad de 0,95 que la proporción de defectos producidos por el taller es alta, es decir, varía del 6,2% al 6,6%.

10.3. Estimación de parámetros en estadística

Sea la característica cuantitativa X de toda la población objeto de estudio (población general) una distribución normal.

Si se conoce la desviación estándar, entonces el intervalo de confianza que cubre la expectativa matemática A

, Dónde PAG- tamaño de la muestra, - media aritmética de muestra, t es el argumento de la función integral de Laplace, en la que
. En este caso, el número
llamado exactitud de la estimación.

Si se desconoce la desviación estándar, entonces a partir de los datos de la muestra es posible construir una variable aleatoria que tenga una distribución de Student con PAG– 1 grado de libertad, que está determinado por un solo parámetro PAG y no depende de incógnitas A Y . Distribución t de Student incluso para muestras pequeñas
da valoraciones bastante satisfactorias. Entonces el intervalo de confianza que cubre la expectativa matemática A de esta característica con una probabilidad de confianza dada se encuentra a partir de la condición

, donde S es el cuadrado medio corregido, - Coeficiente de Student, encontrado a partir de los datos.
del cuadro 3 del apéndice.

El intervalo de confianza que cubre la desviación estándar de esta característica con una probabilidad de confianza se encuentra mediante las fórmulas: y , donde
encontrado en la tabla de valores q de acuerdo a .

10.4. Métodos estadísticos para estudiar dependencias entre variables aleatorias.

La dependencia de correlación de Y con X es la dependencia funcional del promedio condicional de X. La ecuacion
representa la ecuación de regresión de Y sobre X, y
- ecuación de regresión de X sobre Y.

La dependencia de la correlación puede ser lineal o curvilínea. En el caso de una dependencia de correlación lineal, la ecuación de la recta de regresión recta tiene la forma:
, donde la pendiente A La línea recta de regresión Y sobre X se denomina coeficiente de regresión muestral Y sobre X y se denota
.

Para muestras pequeñas, los datos no están agrupados, los parámetros
se encuentran usando el método de mínimos cuadrados del sistema de ecuaciones normales:

, Dónde PAG– número de observaciones de valores de pares de cantidades interrelacionadas.

Coeficiente de correlación lineal de muestra muestra la estrecha relación entre Y y X. El coeficiente de correlación se encuentra usando la fórmula
, y
, a saber:

La ecuación de muestra de la recta de regresión Y sobre X tiene la forma:

.

Con una gran cantidad de observaciones de las características X e Y, se compila una tabla de correlación con dos entradas, con el mismo valor. X observado veces, mismo significado en observado veces, mismo par
observado una vez.

Ejemplo 35. Se proporciona una tabla de observaciones de los signos X e Y.

Encuentre la ecuación de muestra de la recta de regresión Y sobre X.

Solución. La relación entre las características estudiadas se puede expresar mediante la ecuación de una línea recta de regresión de Y sobre X: . Para calcular los coeficientes de la ecuación, creemos una tabla de cálculo:

Como es sabido, variable aleatoria Se llama cantidad variable que puede tomar ciertos valores según el caso. Las variables aleatorias se indican con letras mayúsculas del alfabeto latino (X, Y, Z) y sus valores se indican con las letras minúsculas correspondientes (x, y, z). Las variables aleatorias se dividen en discontinuas (discretas) y continuas.

Variable aleatoria discreta es una variable aleatoria que toma solo un conjunto finito o infinito (contable) de valores con ciertas probabilidades distintas de cero.

Ley de distribución de una variable aleatoria discreta. es una función que conecta los valores de una variable aleatoria con sus correspondientes probabilidades. La ley de distribución se puede especificar de una de las siguientes maneras.

1 . La ley de distribución puede venir dada por la tabla:

donde λ>0, k = 0, 1, 2,….

V) mediante el uso función de distribución F(x) , que determina para cada valor x la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor menor que x, es decir F(x) = P(X< x).

Propiedades de la función F(x)

3 . La ley de distribución se puede especificar gráficamente. – polígono de distribución (polígono) (ver problema 3).

Tenga en cuenta que para resolver algunos problemas no es necesario conocer la ley de distribución. En algunos casos, basta con conocer uno o varios números que reflejen las características más importantes de la ley de distribución. Puede ser un número que tiene el significado de "valor promedio" de una variable aleatoria, o un número que muestra el tamaño promedio de la desviación de una variable aleatoria de su valor medio. Los números de este tipo se denominan características numéricas de una variable aleatoria.

Características numéricas básicas de una variable aleatoria discreta. :

• Expectativa matemática (valor medio) de una variable aleatoria discreta M(X)=Σ x yo p yo.
  Para distribución binomial M(X)=np, para distribución de Poisson M(X)=λ
• Dispersión variable aleatoria discreta D(X)=M2 o D(X) = METRO(X 2)− 2. La diferencia X – M (X) se denomina desviación de una variable aleatoria de su expectativa matemática.
  Para distribución binomial D(X)=npq, para distribución de Poisson D(X)=λ
• Desviación Estándar (Desviación Estándar) σ(X)=√D(X).

Ejemplos de resolución de problemas sobre el tema "La ley de distribución de una variable aleatoria discreta"

Tarea 1.

Se emitieron 1000 billetes de lotería: 5 de ellos ganarán 500 rublos, 10 ganarán 100 rublos, 20 ganarán 50 rublos, 50 ganarán 10 rublos. Determine la ley de distribución de probabilidad de la variable aleatoria X: ganancias por boleto.

Solución. Según las condiciones del problema, son posibles los siguientes valores de la variable aleatoria X: 0, 10, 50, 100 y 500.

El número de boletos sin ganar es 1000 – (5+10+20+50) = 915, entonces P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

De manera similar, encontramos todas las demás probabilidades: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01, P(X =500) = 5/1000=0,005. Presentemos la ley resultante en forma de tabla:

Encontremos la expectativa matemática del valor X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Tarea 3.

El dispositivo consta de tres elementos que funcionan independientemente. La probabilidad de falla de cada elemento en un experimento es 0,1. Elaborar una ley de distribución para el número de elementos fallidos en un experimento, construir un polígono de distribución. Encuentre la función de distribución F(x) y grácela. Encuentre la expectativa matemática, la varianza y la desviación estándar de una variable aleatoria discreta.

Solución. 1. La variable aleatoria discreta X = (el número de elementos fallidos en un experimento) tiene los siguientes valores posibles: x 1 = 0 (ninguno de los elementos del dispositivo falló), x 2 = 1 (un elemento falló), x 3 = 2 ( dos elementos fallaron) y x 4 =3 (tres elementos fallaron).

Las fallas de los elementos son independientes entre sí, las probabilidades de falla de cada elemento son iguales, por lo tanto es aplicable La fórmula de Bernoulli. . Considerando que, según la condición, n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, determinamos las probabilidades de los valores:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0,1*0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0,1 3 = 0,001;
Verifique: ∑p i = 0.729+0.243+0.027+0.001=1.

Por tanto, la ley de distribución binomial deseada de X tiene la forma:

Trazamos los posibles valores de x i a lo largo del eje de abscisas y las probabilidades correspondientes p i a lo largo del eje de ordenadas. Construyamos los puntos M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Al conectar estos puntos con segmentos de línea recta, obtenemos el polígono de distribución deseado.

3. Encontremos la función de distribución F(x) = Р(Х

Gráfica de la función F(x)

4. Para distribución binomial X:
- expectativa matemática M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- varianza D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- desviación estándar σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.