Antes de empezar a decidir problemas de progresión aritmética, veamos qué es secuencia numérica, ya que la progresión aritmética es caso especial secuencia numérica.

La secuencia numérica es conjunto de números, cada elemento del cual tiene su propio número de serie. Los elementos de este conjunto se llaman miembros de la secuencia. El número de serie de un elemento de secuencia se indica mediante un índice:

El primer elemento de la secuencia;

El quinto elemento de la secuencia;

- el "enésimo" elemento de la secuencia, es decir elemento "parado en cola" en el número n.

Existe una relación entre el valor de un elemento de secuencia y su número de secuencia. Por tanto, podemos considerar una sucesión como una función cuyo argumento es el número ordinal del elemento de la sucesión. En otras palabras, podemos decir que la secuencia es función del argumento natural:

La secuencia se puede establecer de tres maneras:

1 . La secuencia se puede especificar mediante una tabla. En este caso, simplemente establecemos el valor de cada miembro de la secuencia.

Por ejemplo, alguien decidió dedicarse a la gestión personal de su tiempo y, para empezar, contar cuánto tiempo pasa en VKontakte durante la semana. Al registrar el tiempo en la tabla, recibirá una secuencia que consta de siete elementos:

La primera línea de la tabla indica el número del día de la semana, la segunda, el tiempo en minutos. Vemos que, es decir, el lunes alguien pasó 125 minutos en VKontakte, es decir, el jueves, 248 minutos, y es decir, el viernes solo 15.

2 . La secuencia se puede especificar utilizando la fórmula del enésimo término.

En este caso, la dependencia del valor de un elemento de secuencia de su número se expresa directamente en forma de fórmula.

Por ejemplo, si , entonces

Para encontrar el valor de un elemento de secuencia con un número dado, sustituimos el número del elemento en la fórmula del enésimo término.

Hacemos lo mismo si necesitamos encontrar el valor de una función si se conoce el valor del argumento. Sustituimos el valor del argumento en la ecuación de la función:

Si, por ejemplo, , Eso

Permítanme señalar una vez más que en secuencia, a diferencia de lo arbitrario función numérica, el argumento sólo puede ser un número natural.

3 . La secuencia se puede especificar mediante una fórmula que expresa la dependencia del valor del miembro número n de la secuencia de los valores de los miembros anteriores. En este caso, no basta con saber sólo el número del miembro de la secuencia para encontrar su valor. Necesitamos especificar el primer miembro o los primeros miembros de la secuencia.

Por ejemplo, considere la secuencia ,

Podemos encontrar los valores de los miembros de la secuencia. en secuencia, a partir del tercero:

Es decir, cada vez que, para encontrar el valor del enésimo término de la secuencia, volvemos a los dos anteriores. Este método de especificar una secuencia se llama recurrente, de palabra latina recurro- regresar.

Ahora podemos definir progresión aritmética. Una progresión aritmética es un caso especial simple de una secuencia numérica.

Progresión aritmética es una secuencia numérica, cada miembro de la cual, a partir del segundo, es igual al anterior sumado al mismo número.

el numero se llama diferencia de progresión aritmética. La diferencia de una progresión aritmética puede ser positiva, negativa o igual a cero.

Si título="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} creciente.

Por ejemplo, 2; 5; 8; once;...

Si , entonces cada término de una progresión aritmética es menor que el anterior y la progresión es decreciente.

Por ejemplo, 2; -1; -4; -7;...

Si , entonces todos los términos de la progresión son iguales al mismo número y la progresión es estacionario.

Por ejemplo, 2;2;2;2;...

La principal propiedad de una progresión aritmética:

Miremos el dibujo.

Vemos eso

, y al mismo tiempo

Sumando estas dos igualdades obtenemos:

.

Dividamos ambos lados de la igualdad por 2:

Entonces, cada miembro de la progresión aritmética, a partir del segundo, es igual a la media aritmética de los dos vecinos:

Es más, desde

, y al mismo tiempo

, Eso

, y por lo tanto

Cada término de una progresión aritmética, comenzando con title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Fórmula del décimo término.

Vemos que los términos de la progresión aritmética satisfacen las siguientes relaciones:

y finalmente

Tenemos fórmula del enésimo término.

¡IMPORTANTE! Cualquier miembro de una progresión aritmética se puede expresar mediante y. Conociendo el primer término y la diferencia de una progresión aritmética, puedes encontrar cualquiera de sus términos.

La suma de n términos de una progresión aritmética.

En una progresión aritmética arbitraria, las sumas de términos equidistantes de los extremos son iguales entre sí:

Considere una progresión aritmética con n términos. Sea la suma de n términos de esta progresión igual a .

Organicemos los términos de la progresión primero en orden ascendente de números y luego en orden descendente:

Sumemos por parejas:

La suma en cada paréntesis es , el número de pares es n.

Obtenemos:

Entonces, La suma de n términos de una progresión aritmética se puede encontrar usando las fórmulas:

Consideremos resolver problemas de progresión aritmética.

1 . La secuencia viene dada por la fórmula del enésimo término: . Demuestre que esta secuencia es una progresión aritmética.

Demostremos que la diferencia entre dos términos adyacentes de la secuencia es igual al mismo número.

Encontramos que la diferencia entre dos miembros adyacentes de la secuencia no depende de su número y es una constante. Por tanto, por definición, esta secuencia es una progresión aritmética.

2 . Dada una progresión aritmética -31; -27;...

a) Encuentra 31 términos de la progresión.

b) Determina si el número 41 está incluido en esta progresión.

A) Vemos eso ;

Escribamos la fórmula para el enésimo término de nuestra progresión.

En general

En nuestro caso , Es por eso

Progresión aritmética nombrar una secuencia de números (términos de una progresión)

En el que cada término subsiguiente se diferencia del anterior por un nuevo término, que también se llama diferencia de paso o progresión.

Así, al especificar el paso de progresión y su primer término, puedes encontrar cualquiera de sus elementos usando la fórmula

Propiedades de una progresión aritmética

1) Cada miembro de una progresión aritmética, a partir del segundo número, es la media aritmética de los miembros anterior y siguiente de la progresión.

Lo contrario también es cierto. Si la media aritmética de los términos pares (impares) adyacentes de una progresión es igual al término que se encuentra entre ellos, entonces esta secuencia de números es una progresión aritmética. Con esta declaración, es muy fácil verificar cualquier secuencia.

Además, por la propiedad de la progresión aritmética, la fórmula anterior se puede generalizar a la siguiente

Esto es fácil de verificar si escribes los términos a la derecha del signo igual.

A menudo se utiliza en la práctica para simplificar los cálculos en problemas.

2) La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética se calcula mediante la fórmula

Recuerde bien la fórmula para la suma de una progresión aritmética; es indispensable en los cálculos y se encuentra con bastante frecuencia en situaciones sencillas de la vida.

3) Si necesita encontrar no la suma completa, sino parte de la secuencia a partir de su k-ésimo término, entonces la siguiente fórmula de suma le resultará útil

4) De interés práctico es encontrar la suma de n términos de una progresión aritmética a partir del k-ésimo número. Para hacer esto, use la fórmula

En este material teórico termina y pasamos a resolver problemas comunes en la práctica.

Ejemplo 1. Encuentra el cuadragésimo término de la progresión aritmética 4;7;...

Solución:

Según la condición que tenemos

Determinemos el paso de progresión.

Por fórmula bien conocida encontrar el cuadragésimo término de la progresión

Ejemplo 2. Una progresión aritmética está dada por sus términos tercero y séptimo. Encuentra el primer término de la progresión y la suma de diez.

Solución:

Anotemos los elementos dados de la progresión usando las fórmulas.

Restamos la primera de la segunda ecuación, como resultado encontramos el paso de progresión

Sustituimos el valor encontrado en cualquiera de las ecuaciones para encontrar el primer término de la progresión aritmética.

Calculamos la suma de los diez primeros términos de la progresión.

Sin aplicar cálculos complejos Encontramos todas las cantidades requeridas.

Ejemplo 3. Una progresión aritmética viene dada por el denominador y uno de sus términos. Encuentra el primer término de la progresión, la suma de sus 50 términos a partir de 50 y la suma de los primeros 100.

Solución:

Escribamos la fórmula para el centésimo elemento de la progresión.

y encuentra el primero

Con base en el primero, encontramos el término 50 de la progresión.

Encontrar la suma de la parte de la progresión.

y la suma de los primeros 100

El importe de la progresión es 250.

Ejemplo 4.

Encuentra el número de términos de una progresión aritmética si:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Solución:

Escribamos las ecuaciones en términos del primer término y el paso de progresión y determinemos

Sustituimos los valores obtenidos en la fórmula de la suma para determinar el número de términos en la suma.

Realizamos simplificaciones.

y decidir ecuación cuadrática

De los dos valores encontrados, sólo el número 8 se ajusta a las condiciones del problema. Por tanto, la suma de los primeros ocho términos de la progresión es 111.

Ejemplo 5.

Resuelve la ecuación

1+3+5+...+x=307.

Solución: Esta ecuación es la suma de una progresión aritmética. Escribamos su primer término y encontremos la diferencia en progresión.

Bueno, amigos, si están leyendo este texto, entonces la evidencia interna del límite me dice que aún no saben qué es una progresión aritmética, pero realmente (no, así: ¡MUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUOO!) realmente queréis saberlo. Por lo tanto, no los atormentaré con largas presentaciones e iré directo al grano.

Primero, un par de ejemplos. Veamos varios conjuntos de números:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

¿Qué tienen todos estos conjuntos en común? A primera vista, nada. Pero en realidad hay algo. A saber: cada elemento siguiente difiere del anterior en el mismo número.

Juzga por ti mismo. El primer conjunto son simplemente números consecutivos, siendo cada uno uno más que el anterior. En el segundo caso, la diferencia entre la serie números permanentes ya es igual a cinco, pero esta diferencia sigue siendo constante. En el tercer caso, hay raíces por completo. Sin embargo, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, y $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, es decir y en este caso, cada elemento siguiente simplemente aumenta en $\sqrt(2)$ (y no temas que este número sea irracional).

Entonces: todas estas secuencias se llaman progresiones aritméticas. Demos una definición estricta:

Definición. Una secuencia de números en la que cada uno de los siguientes difiere del anterior exactamente en la misma cantidad se llama progresión aritmética. La misma cantidad en la que difieren los números se llama diferencia de progresión y generalmente se denota con la letra $d$.

Notación: $\left(((a)_(n)) \right)$ es la progresión misma, $d$ es su diferencia.

Y sólo un par de notas importantes. En primer lugar, la progresión sólo se considera ordenado secuencia de números: se permite leerlos estrictamente en el orden en que están escritos, y nada más. Los números no se pueden reorganizar ni intercambiar.

En segundo lugar, la secuencia misma puede ser finita o infinita. Por ejemplo, el conjunto (1; 2; 3) es obviamente una progresión aritmética finita. Pero si escribes algo en el espíritu (1; 2; 3; 4; ...) - esto ya es progresión sin fin. Los puntos suspensivos después de los cuatro parecen insinuar que hay bastantes números más por venir. Infinitas, por ejemplo :)

También me gustaría señalar que las progresiones pueden ser crecientes o decrecientes. Ya hemos visto unos crecientes: el mismo conjunto (1; 2; 3; 4; ...). A continuación se muestran ejemplos de progresiones decrecientes:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

BIEN BIEN: último ejemplo puede parecer demasiado complicado. Pero creo que el resto lo entiendes. Por ello, introducimos nuevas definiciones:

Definición. Una progresión aritmética se llama:

1. aumentando si cada elemento siguiente es mayor que el anterior;
2. decreciente si, por el contrario, cada elemento posterior es menor que el anterior.

Además, existen las llamadas secuencias "estacionarias": consisten en el mismo número repetido. Por ejemplo, (3; 3; 3; ...).

Sólo queda una pregunta: ¿cómo distinguir una progresión creciente de una decreciente? Afortunadamente, aquí todo depende únicamente del signo del número $d$, es decir diferencias de progresión:

1. Si $d \gt 0$, entonces la progresión aumenta;
2. Si $d \lt 0$, entonces la progresión obviamente es decreciente;
3. Finalmente, está el caso $d=0$ - en este caso toda la progresión se reduce a una secuencia estacionaria números idénticos: (1; 1; 1; 1; ...), etc.

Intentemos calcular la diferencia $d$ para las tres progresiones decrecientes dadas anteriormente. Para hacer esto, basta con tomar dos elementos adyacentes cualesquiera (por ejemplo, el primero y el segundo) y restar el número de la izquierda del número de la derecha. Se verá así:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Como vemos, en todos tres casos la diferencia en realidad resultó ser negativa. Y ahora que hemos descubierto más o menos las definiciones, es hora de descubrir cómo se describen las progresiones y qué propiedades tienen.

Términos de progresión y fórmula de recurrencia

Como los elementos de nuestras secuencias no se pueden intercambiar, se pueden numerar:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \bien\)\]

Los elementos individuales de este conjunto se denominan miembros de una progresión. Se indican con un número: primer miembro, segundo miembro, etc.

Además, como ya sabemos, los términos vecinos de la progresión están relacionados mediante la fórmula:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

En resumen, para encontrar el $n$ésimo término de una progresión, necesitas conocer el $n-1$ésimo término y la diferencia $d$. Esta fórmula se llama recurrente porque con su ayuda puedes encontrar cualquier número solo conociendo el anterior (y de hecho, todos los anteriores). Esto es muy inconveniente, por lo que existe una fórmula más astuta que reduce cualquier cálculo al primer término y la diferencia:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Probablemente ya te hayas encontrado con esta fórmula. Les gusta incluirlo en todo tipo de libros de referencia y libros de soluciones. Y en cualquier libro de texto de matemáticas sensato es uno de los primeros.

Sin embargo, te sugiero que practiques un poco.

Tarea número 1. Escribe los primeros tres términos de la progresión aritmética $\left(((a)_(n)) \right)$ si $((a)_(1))=8,d=-5$.

Solución. Entonces, conocemos el primer término $((a)_(1))=8$ y la diferencia de la progresión $d=-5$. Usemos la fórmula que acabamos de dar y sustituyamos $n=1$, $n=2$ y $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(alinear)\]

Respuesta: (8; 3; −2)

¡Eso es todo! Tenga en cuenta: nuestra progresión está disminuyendo.

Por supuesto, $n=1$ no se pudo sustituir: el primer término ya lo conocemos. Sin embargo, al sustituir la unidad, nos convencimos de que incluso para el primer mandato nuestra fórmula funciona. En otros casos, todo se redujo a una aritmética banal.

Tarea número 2. Escribe los primeros tres términos de una progresión aritmética si su séptimo término es igual a −40 y su decimoséptimo término es igual a −50.

Solución. Escribamos la condición del problema en términos familiares:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \bien.\]

Pongo el cartel del sistema porque estos requisitos deben cumplirse simultáneamente. Ahora observemos que si restamos la primera de la segunda ecuación (tenemos derecho a hacerlo, ya que tenemos un sistema), obtenemos esto:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(alinear)\]

¡Así de fácil es encontrar la diferencia de progresión! Todo lo que queda es sustituir el número encontrado en cualquiera de las ecuaciones del sistema. Por ejemplo, en el primero:

\[\begin(matriz) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matriz)\]

Ahora, sabiendo el primer término y la diferencia, queda encontrar el segundo y tercer término:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(alinear)\]

¡Listo! El problema esta resuelto.

Respuesta: (−34; −35; −36)

Observe la interesante propiedad de la progresión que descubrimos: si tomamos los términos $n$ésimo y $m$ésimo y los restamos entre sí, obtenemos la diferencia de la progresión multiplicada por el número $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Sencillo pero muy propiedad útil, que definitivamente necesitas saber: con su ayuda puedes acelerar significativamente la solución de muchos problemas de progresión. He aquí un claro ejemplo de ello:

Tarea número 3. El quinto término de una progresión aritmética es 8,4 y su décimo término es 14,4. Encuentra el decimoquinto término de esta progresión.

Solución. Dado que $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, y necesitamos encontrar $((a)_(15))$, observamos lo siguiente:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(alinear)\]

Pero por la condición $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, por lo tanto $5d=6$, de donde tenemos:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \end(alinear)\]

Respuesta: 20,4

¡Eso es todo! No necesitábamos crear ningún sistema de ecuaciones ni calcular el primer término y la diferencia; todo se resolvió en solo un par de líneas.

Ahora veamos otro tipo de problema: la búsqueda de términos negativos y positivos de una progresión. No es ningún secreto que si una progresión aumenta y su primer término es negativo, tarde o temprano aparecerán en ella términos positivos. Y viceversa: los términos de una progresión decreciente tarde o temprano se volverán negativos.

Al mismo tiempo, no siempre es posible encontrar este momento "de frente" repasando secuencialmente los elementos. A menudo, los problemas están escritos de tal manera que, sin conocer las fórmulas, los cálculos requerirían varias hojas de papel; simplemente nos quedaríamos dormidos mientras encontrábamos la respuesta. Por tanto, intentemos solucionar estos problemas de una forma más rápida.

Tarea número 4. ¿Cuántos términos negativos hay en la progresión aritmética −38,5; −35,8; ...?

Solución. Entonces, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, de donde inmediatamente encontramos la diferencia:

Tenga en cuenta que la diferencia es positiva, por lo que la progresión aumenta. El primer término es negativo, por lo que efectivamente en algún momento nos toparemos con números positivos. La única pregunta es cuándo sucederá esto.

Intentemos averiguarlo: hasta cuándo (es decir, hasta qué número natural$n$) se conserva la negatividad de los términos:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \derecha. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(alinear)\]

La última línea requiere alguna explicación. Entonces sabemos que $n \lt 15\frac(7)(27)$. Por otro lado, nos conformamos sólo con valores enteros del número (además: $n\in \mathbb(N)$), por lo que el mayor número permitido es precisamente $n=15$, y en ningún caso 16 .

Tarea número 5. En progresión aritmética $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Encuentra el número del primer término positivo de esta progresión.

Este sería exactamente el mismo problema que el anterior, pero no sabemos $((a)_(1))$. Pero los términos vecinos son conocidos: $((a)_(5))$ y $((a)_(6))$, por lo que podemos encontrar fácilmente la diferencia de la progresión:

Además, intentemos expresar el quinto término mediante el primero y la diferencia usando la fórmula estándar:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(alinear)\]

Ahora procedemos por analogía con tarea anterior. Averigüemos en qué punto de nuestra secuencia aparecerán los números positivos:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \end(alinear)\]

Solución entera mínima de esta desigualdad- número 56.

Tenga en cuenta: en la última tarea todo se redujo a desigualdad estricta, por lo que la opción $n=55$ no nos conviene.

Ahora que hemos aprendido a resolver problemas simples, pasemos a otros más complejos. Pero primero, estudiemos otra propiedad muy útil de las progresiones aritméticas, que nos ahorrará mucho tiempo y celdas desiguales en el futuro :)

Media aritmética y sangrías iguales.

Consideremos varios términos consecutivos de la progresión aritmética creciente $\left(((a)_(n)) \right)$. Intentemos marcarlos en la recta numérica:

Marqué específicamente términos arbitrarios $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, y no algunos $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, etc. Porque la regla que te contaré ahora funciona igual para cualquier “segmento”.

Y la regla es muy simple. Recordemos la fórmula recurrente y anotémosla para todos los términos marcados:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(alinear)\]

Sin embargo, estas igualdades se pueden reescribir de otra manera:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(alinear)\]

Bueno, ¿y qué? Y el hecho de que los términos $((a)_(n-1))$ y $((a)_(n+1))$ se encuentran a la misma distancia de $((a)_(n)) $ . Y esta distancia es igual a $d$. Lo mismo puede decirse de los términos $((a)_(n-2))$ y $((a)_(n+2))$ - también se eliminan de $((a)_(n) )$ a la misma distancia igual a $2d$. Podemos continuar hasta el infinito, pero el significado está bien ilustrado por la imagen.

¿Qué significa esto para nosotros? Esto significa que se puede encontrar $((a)_(n))$ si se conocen los números vecinos:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Hemos obtenido una afirmación excelente: ¡cada término de una progresión aritmética es igual a la media aritmética de sus términos vecinos! Además: podemos retroceder desde nuestro $((a)_(n))$ hacia la izquierda y hacia la derecha no un paso, sino $k$ pasos, y la fórmula seguirá siendo correcta:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Aquellos. podemos encontrar fácilmente algo de $((a)_(150))$ si conocemos $((a)_(100))$ y $((a)_(200))$, porque $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. A primera vista puede parecer que este hecho no nos aporta nada útil. Sin embargo, en la práctica, muchos problemas están especialmente diseñados para utilizar la media aritmética. Echar un vistazo:

Tarea número 6. Encuentre todos los valores de $x$ para los cuales los números $-6((x)^(2))$, $x+1$ y $14+4((x)^(2))$ son términos consecutivos de una progresión aritmética (en el orden indicado).

Solución. Porque el números especificados son miembros de la progresión, para ellos se cumple la condición de la media aritmética: elemento central$x+1$ se puede expresar en términos de elementos vecinos:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(alinear)\]

El resultado es una ecuación cuadrática clásica. Sus raíces: $x=2$ y $x=-3$ son las respuestas.

Respuesta: −3; 2.

Tarea número 7. Encuentra los valores de $$ para los cuales los números $-1;4-3;(()^(2))+1$ forman una progresión aritmética (en ese orden).

Solución. Expresemos nuevamente el término medio mediante la media aritmética de los términos vecinos:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \derecha.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(alinear)\]

Ecuación cuadrática nuevamente. Y nuevamente hay dos raíces: $x=6$ y $x=1$.

Respuesta 1; 6.

Si en el proceso de resolución de un problema se te ocurren cifras brutales, o no estás del todo seguro de la exactitud de las respuestas encontradas, entonces existe una técnica maravillosa que te permite comprobar: ¿hemos resuelto el problema correctamente?

Digamos que en el problema número 6 recibimos las respuestas −3 y 2. ¿Cómo podemos comprobar que estas respuestas son correctas? Conectémoslos a su estado original y veamos qué sucede. Déjame recordarte que tenemos tres números ($-6(()^(2))$, $+1$ y $14+4(()^(2))$), que deben formar una progresión aritmética. Sustituyamos $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(alinear)\]

Obtuvimos los números −54; −2; 50 que difieren en 52 es sin duda una progresión aritmética. Lo mismo sucede para $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\&x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(alinear)\]

De nuevo una progresión, pero con una diferencia de 27. Así, el problema se resolvió correctamente. Quien lo desee puede comprobar el segundo problema por su cuenta, pero diré de inmediato: allí también todo está correcto.

En general, decidir últimas tareas, nos encontramos con otro dato interesante, que también conviene recordar:

Si tres números son tales que el segundo es el medio aritmética primero y por último, estos números forman una progresión aritmética.

En el futuro, comprender esta afirmación nos permitirá literalmente "diseñar" progresiones necesarias, según las condiciones del problema. Pero antes de emprender tal "construcción", debemos prestar atención a un hecho más, que se deriva directamente de lo que ya se ha discutido.

Agrupación y suma de elementos.

volvamos a eje numérico. Observemos allí varios miembros de la progresión, entre los cuales, quizás. vale mucho para otros miembros:

Intentemos expresar la “cola izquierda” mediante $((a)_(n))$ y $d$, y la “cola derecha” mediante $((a)_(k))$ y $d$. Es muy sencillo:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(alinear)\]

Ahora tenga en cuenta que las siguientes cantidades son iguales:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(alinear)\]

En pocas palabras, si consideramos como punto de partida dos elementos de la progresión, que en total son iguales a algún número $S$, y luego comenzamos a pasar de estos elementos a lados opuestos(uno hacia el otro o viceversa para alejarse), luego las sumas de los elementos con los que tropezaremos también serán iguales$S$. Esto se puede representar más claramente gráficamente:

Comprensión este hecho nos permitirá resolver problemas de una manera fundamentalmente más nivel alto dificultades que las que hemos considerado anteriormente. Por ejemplo, estos:

Tarea número 8. Determina la diferencia de una progresión aritmética en la que el primer término es 66 y el producto del segundo y duodécimo término es el menor posible.

Solución. Anotemos todo lo que sabemos:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(alinear)\]

Entonces, no conocemos la diferencia de progresión $d$. En realidad, toda la solución se construirá en torno a la diferencia, ya que el producto $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ se puede reescribir de la siguiente manera:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(alinear)\]

Para los que están en el tanque: lo saqué multiplicador común 11 del segundo soporte. Por tanto, el producto deseado es una función cuadrática con respecto a la variable $d$. Por lo tanto, considere la función $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - su gráfica será una parábola con ramas hacia arriba, porque si ampliamos los corchetes, obtenemos:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Como puede ver, el coeficiente del término más alto es 11; esto es numero positivo, por lo que en realidad estamos ante una parábola con ramas hacia arriba:

cronograma función cuadrática- parábola

Nota: valor mínimo esta parábola toma $((d)_(0))$ en su vértice con abscisa. Por supuesto, podemos calcular esta abscisa usando el esquema estándar (existe la fórmula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), pero sería mucho más razonable notar que el vértice deseado se encuentra en el eje de simetría de la parábola, por lo tanto el punto $((d)_(0))$ es equidistante de las raíces de la ecuación $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(alinear)\]

Por eso no tenía mucha prisa por abrir los corchetes: en su forma original, las raíces eran muy, muy fáciles de encontrar. Por tanto, la abscisa es igual a la media. números aritméticos−66 y −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

¿Qué nos aporta el número descubierto? Con él se obtiene el producto requerido. valor más pequeño(por cierto, nunca calculamos $((y)_(\min ))$; esto no es necesario que lo hagamos). Además, este número es la diferencia de la progresión original, es decir encontramos la respuesta.

Respuesta: −36

Tarea número 9. Entre los números $-\frac(1)(2)$ y $-\frac(1)(6)$ inserta tres números para que junto con estos números formen una progresión aritmética.

Solución. Esencialmente, necesitamos hacer una secuencia de cinco números, con el primero y el último número ya conocidos. Denotemos los números que faltan con las variables $x$, $y$ y $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Tenga en cuenta que el número $y$ es el “medio” de nuestra secuencia: es equidistante de los números $x$ y $z$, y de los números $-\frac(1)(2)$ y $-\frac (1)(6)$. Y si de los números $x$ y $z$ estamos en este momento no podemos obtener $y$, entonces la situación es diferente con los extremos de la progresión. Recordemos la media aritmética:

Ahora, sabiendo $y$, encontraremos los números restantes. Tenga en cuenta que $x$ se encuentra entre los números $-\frac(1)(2)$ y $y=-\frac(1)(3)$ que acabamos de encontrar. Es por eso

Usando un razonamiento similar, encontramos el número restante:

¡Listo! Encontramos los tres números. Escribámoslos en la respuesta en el orden en que deben insertarse entre los números originales.

Respuesta: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Tarea número 10. Entre los números 2 y 42, inserta varios números que, junto con estos números, forman una progresión aritmética, si sabes que la suma del primero, segundo y último de los números insertados es 56.

Solución. Aún más tarea difícil, que, sin embargo, se resuelve según el mismo esquema que los anteriores: mediante la media aritmética. El problema es que no sabemos exactamente cuántos números hay que insertar. Por lo tanto, supongamos con certeza que después de insertar todo habrá exactamente $n$ números, y el primero de ellos es 2 y el último es 42. En este caso, la progresión aritmética requerida se puede representar en la forma:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Sin embargo, tenga en cuenta que los números $((a)_(2))$ y $((a)_(n-1))$ se obtienen de los números 2 y 42 en los bordes un paso hacia el otro, es decir. . al centro de la secuencia. Y esto significa que

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Pero entonces la expresión escrita arriba se puede reescribir de la siguiente manera:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(alinear)\]

Conociendo $((a)_(3))$ y $((a)_(1))$, podemos encontrar fácilmente la diferencia de la progresión:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Flecha derecha d=5. \\ \end(alinear)\]

Todo lo que queda es encontrar los términos restantes:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(alinear)\]

Así, ya en el noveno paso llegaremos al extremo izquierdo de la secuencia: el número 42. En total, solo fue necesario insertar 7 números: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Respuesta: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Problemas verbales con progresiones

En conclusión, me gustaría considerar un par de cosas relativamente tareas simples. Bueno, tan simple como eso: para la mayoría de los estudiantes que estudian matemáticas en la escuela y no han leído lo escrito anteriormente, estos problemas pueden parecer difíciles. Sin embargo, estos son los tipos de problemas que aparecen en la OGE y el Examen Estatal Unificado de Matemáticas, por lo que te recomiendo que te familiarices con ellos.

Tarea número 11. El equipo produjo 62 piezas en enero y en cada mes posterior produjeron 14 piezas más que el mes anterior. ¿Cuántas piezas produjo el equipo en noviembre?

Solución. Evidentemente, el número de piezas enumeradas por mes representará una progresión aritmética creciente. Además:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Noviembre es el undécimo mes del año, por lo que necesitamos encontrar $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Por tanto, en noviembre se producirán 202 piezas.

Tarea número 12. El taller de encuadernación encuadernó 216 libros en enero y en cada mes posterior encuadernó 4 libros más que el mes anterior. ¿Cuántos libros encuadernó el taller en diciembre?

Solución. Todos iguales:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Diciembre es el último mes número 12 del año, por lo que buscamos $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Esta es la respuesta: en diciembre se encuadernarán 260 libros.

Bueno, si has leído hasta aquí, me apresuro a felicitarte: has completado con éxito el “curso para jóvenes luchadores” en progresiones aritméticas. Puede pasar con seguridad a la siguiente lección, donde estudiaremos la fórmula para la suma de la progresión, así como importantes y muy consecuencias útiles de ella.

Suma de una progresión aritmética.

La suma de una progresión aritmética es algo simple. Tanto en significado como en fórmula. Pero hay todo tipo de tareas sobre este tema. Desde básico hasta bastante sólido.

Primero, comprendamos el significado y la fórmula de la cantidad. Y luego decidiremos. Para su propio placer.) El significado de la cantidad es tan simple como un mugido. Para encontrar la suma de una progresión aritmética, solo necesitas sumar cuidadosamente todos sus términos. Si estos términos son pocos, puede agregarlos sin fórmulas. Pero si hay mucho, o mucho... la adición es molesta.) En este caso, la fórmula viene al rescate.

La fórmula para la cantidad es simple:

Averigüemos qué tipo de letras se incluyen en la fórmula. Esto aclarará mucho las cosas.

sn - la suma de una progresión aritmética. Resultado de la suma todos miembros, con primero Por último. Es importante. Suman exactamente Todo miembros seguidos, sin saltar ni saltar. Y, precisamente, a partir de primero. En problemas como encontrar la suma de los términos tercero y octavo, o la suma de los términos del quinto al vigésimo... aplicación directa las fórmulas decepcionarán.)

un 1 - primero miembro de la progresión. Aquí todo está claro, es simple. primero numero de fila.

un- último miembro de la progresión. Último número fila. No es un nombre muy familiar, pero aplicado a la cantidad, resulta muy adecuado. Entonces lo verás por ti mismo.

norte - número del último miembro. Es importante entender que en la fórmula este número coincide con el número de términos añadidos.

Definamos el concepto último miembro un. Pregunta capciosa: ¿qué miembro será el último si se da sin fin¿progresión aritmética?)

Para responder con seguridad, es necesario comprender el significado elemental de la progresión aritmética y... ¡leer la tarea con atención!)

En la tarea de encontrar la suma de una progresión aritmética, siempre aparece el último término (directa o indirectamente), que debería ser limitado. De lo contrario, una cantidad final y específica simplemente no existe. Para la solución, no importa si la progresión es dada: finita o infinita. No importa cómo se dé: una serie de números o una fórmula para el enésimo término.

Lo más importante es entender que la fórmula funciona desde el primer término de la progresión hasta el término con número norte. En realidad, el nombre completo de la fórmula se ve así: la suma de los primeros n términos de una progresión aritmética. El número de estos primeros miembros, es decir norte, está determinado únicamente por la tarea. En una tarea, toda esta valiosa información suele estar cifrada, sí... Pero no importa, en los ejemplos siguientes desvelamos estos secretos.)

Ejemplos de tareas sobre la suma de una progresión aritmética.

En primer lugar, informacion util:

La principal dificultad en las tareas que implican la suma de una progresión aritmética es definición correcta elementos de la fórmula.

Los redactores de las tareas cifran estos mismos elementos con una imaginación ilimitada). Lo principal aquí es no tener miedo. Para comprender la esencia de los elementos, basta con descifrarlos. Veamos algunos ejemplos en detalle. Empecemos con una tarea basada en un GIA real.

1. La progresión aritmética viene dada por la condición: a n = 2n-3,5. Encuentra la suma de sus primeros 10 términos.

Buen trabajo. Fácil.) Para determinar la cantidad usando la fórmula, ¿qué necesitamos saber? Primer miembro un 1, ultimo plazo un, sí el número del último miembro norte.

¿Dónde puedo conseguir el número del último miembro? norte? Sí, ahí mismo, ¡con condición! Dice: encuentra la suma. primeros 10 miembros. Bueno, ¿con qué número será? último, décimo miembro?) No lo creerás, ¡su número es el décimo!) Por lo tanto, en lugar de un Sustituiremos en la fórmula. un 10, y en cambio norte- diez. Repito, el número del último socio coincide con el número de socios.

Queda por determinar un 1 Y un 10. Esto se calcula fácilmente utilizando la fórmula para el enésimo término, que se proporciona en el planteamiento del problema. ¿No sabes cómo hacer esto? Asiste a la lección anterior, sin esta no hay manera.

un 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

un 10=2·10 - 3,5 =16,5

sn = S 10.

Hemos descubierto el significado de todos los elementos de la fórmula para la suma de una progresión aritmética. Sólo queda sustituirlos y contar:

Eso es todo. Respuesta: 75.

Otra tarea basada en el GIA. Un poco más complicado:

2. Dada una progresión aritmética (an), cuya diferencia es 3,7; a 1 = 2,3. Encuentra la suma de sus primeros 15 términos.

Inmediatamente escribimos la fórmula de la suma:

Esta fórmula nos permite encontrar el valor de cualquier término por su número. Buscamos una sustitución simple:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Queda por sustituir todos los elementos en la fórmula de la suma de una progresión aritmética y calcular la respuesta:

Respuesta: 423.

Por cierto, si en la fórmula de suma en lugar de un Simplemente sustituimos la fórmula por el enésimo término y obtenemos:

Traigamos otros similares, obtenemos nueva fórmula sumas de términos de una progresión aritmética:

Como puedes ver, aquí no es necesario. enésimo término un. En algunos problemas esta fórmula ayuda mucho, sí... Puedes recordar esta fórmula. ¿Es posible en momento justo es fácil mostrarlo, como aquí. Después de todo, siempre es necesario recordar la fórmula de la suma y la fórmula del enésimo término).

Ahora la tarea en forma de cifrado breve):

3. Encuentra la suma de todos los positivos. números de dos dígitos, múltiplos de tres.

¡Guau! Ni tu primer integrante, ni el último, ni progresión alguna... ¿¡Cómo vivir!?

Tendrás que pensar con la cabeza y sacar de la condición todos los elementos de la suma de la progresión aritmética. Sabemos qué son los números de dos cifras. Consisten en dos números.) ¿Qué número de dos dígitos será primero? 10, presumiblemente). última cosa número de dos dígitos? ¡99, por supuesto! Los de tres dígitos lo seguirán...

Múltiplos de tres... Hm... ¡Estos son números que son divisibles por tres, aquí! Diez no es divisible por tres, 11 no es divisible... 12... ¡es divisible! Entonces algo está surgiendo. Ya puedes anotar una serie según las condiciones del problema:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

¿Será esta serie una progresión aritmética? ¡Ciertamente! Cada término se diferencia del anterior estrictamente en tres. Si sumas 2 o 4 a un término, digamos, el resultado, es decir el nuevo número ya no es divisible por 3. Puedes determinar inmediatamente la diferencia de la progresión aritmética: re = 3.¡Sera util!)

Entonces, podemos anotar con seguridad algunos parámetros de progresión:

¿Cuál será el número? norteúltimo miembro? Cualquiera que piense que el 99 está fatalmente equivocado... Los números siempre van seguidos, pero nuestros miembros saltan por encima del tres. No coinciden.

Hay dos soluciones aquí. Una forma es para los súper trabajadores. Puede escribir la progresión, la serie completa de números y contar el número de miembros con el dedo). La segunda forma es para los reflexivos. Debes recordar la fórmula para el enésimo término. Si aplicamos la fórmula a nuestro problema, encontramos que 99 es el trigésimo término de la progresión. Aquellos. norte = 30.

Veamos la fórmula para la suma de una progresión aritmética:

Miramos y nos regocijamos). Sacamos del planteamiento del problema todo lo necesario para calcular la cantidad:

un 1= 12.

un 30= 99.

sn = S 30.

Todo lo que queda es aritmética elemental. Sustituimos los números en la fórmula y calculamos:

Respuesta: 1665

Otro tipo de rompecabezas popular:

4. Dada una progresión aritmética:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Encuentra la suma de términos del vigésimo al treinta y cuatro.

Miramos la fórmula de la cantidad y... nos enojamos.) La fórmula, permítanme recordarles, calcula la cantidad desde el principio miembro. Y en el problema necesitas calcular la suma. desde el veinte... La fórmula no funcionará.

Por supuesto, puedes escribir toda la progresión en una serie y agregar términos del 20 al 34. Pero... es algo estúpido y lleva mucho tiempo, ¿verdad?)

Hay mas solución elegante. Dividamos nuestra serie en dos partes. La primera parte será desde el primer mandato hasta el decimonoveno. Segunda parte - de veinte a treinta y cuatro. Está claro que si calculamos la suma de los términos de la primera parte T 1-19, sumémoslo con la suma de los términos de la segunda parte T 20-34, obtenemos la suma de la progresión desde el primer término hasta el trigésimo cuarto T 1-34. Como esto:

T 1-19 + T 20-34 = T 1-34

De esto podemos ver que encuentra la suma. T 20-34 se puede hacer con una simple resta

T 20-34 = T 1-34 - T 1-19

Se consideran ambas cantidades del lado derecho desde el principio miembro, es decir bastante aplicable a ellos fórmula estándar cantidades. ¿Empecemos?

Extraemos los parámetros de progresión del planteamiento del problema:

re = 1,5.

un 1= -21,5.

Para calcular las sumas de los primeros 19 y 34 términos, necesitaremos los términos 19 y 34. Los calculamos usando la fórmula del enésimo término, como en el problema 2:

un 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

un 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

No queda nada. De la suma de 34 términos resta la suma de 19 términos:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Respuesta: 262,5

Uno nota IMPORTANTE! Existe un truco muy útil para solucionar este problema. En lugar de cálculo directo lo que necesitas (S 20-34), contamos algo que parecería no ser necesario - S 1-19. Y luego determinaron T 20-34, descartando lo innecesario del resultado completo. Este tipo de “finta con los oídos” a menudo te salva de problemas complicados.)

En esta lección analizamos problemas para los que basta con comprender el significado de la suma de una progresión aritmética. Bueno, necesitas saber un par de fórmulas).

Consejo practico:

Al resolver cualquier problema que involucre la suma de una progresión aritmética, recomiendo escribir inmediatamente las dos fórmulas principales de este tema.

Fórmula para el enésimo término:

Estas fórmulas le dirán inmediatamente qué buscar y en qué dirección pensar para resolver el problema. Ayuda.

Y ahora las tareas para una solución independiente.

5. Encuentra la suma de todos los números de dos dígitos que no son divisibles por tres.

¿Genial?) La pista está oculta en la nota del problema 4. Bueno, el problema 3 ayudará.

6. La progresión aritmética viene dada por la condición: a 1 = -5,5; un norte+1 = un norte +0,5. Encuentra la suma de sus primeros 24 términos.

¿Inusual?) Esta es una fórmula recurrente. Puedes leer sobre esto en la lección anterior. No ignore el vínculo, este tipo de problemas se encuentran a menudo en la Academia Estatal de Ciencias.

7. Vasya ahorró dinero para las vacaciones. ¡Hasta 4550 rublos! Y decidí regalarle a mi persona favorita (yo mismo) unos días de felicidad). Vive bellamente sin negarte nada. ¡Gasta 500 rublos el primer día y cada día siguiente gasta 50 rublos más que el anterior! Hasta que se acabe el dinero. ¿Cuántos días de felicidad tuvo Vasya?

¿Es difícil?) La fórmula adicional del problema 2 ayudará.

Respuestas (en desorden): 7, 3240, 6.

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Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)

Puede familiarizarse con funciones y derivadas.

Los problemas de progresión aritmética ya existían en la antigüedad. Aparecieron y exigieron una solución porque tenían una necesidad práctica.

Entonces, en uno de los papiros Antiguo Egipto teniendo contenido matemático, - el papiro de Rhind (siglo XIX a. C.) - contiene la siguiente tarea: dividir diez medidas de pan entre diez personas, siempre que la diferencia entre cada una de ellas sea un octavo de la medida.

Y en las obras matemáticas de los antiguos griegos hay elegantes teoremas relacionados con la progresión aritmética. Así, Hipsicles de Alejandría (siglo II, que supuso mucho tareas interesantes y quien añadió el libro decimocuarto a los Elementos de Euclides, formuló el pensamiento: “En una progresión aritmética, que tiene número par términos, la suma de los términos de la 2ª mitad es mayor que la suma de los términos de la 1ª mitad por el cuadrado de la mitad del número de términos”.

La secuencia se denota por un. Los números de una secuencia se llaman sus miembros y generalmente se designan mediante letras con índices que indican el número de serie de este miembro (a1, a2, a3... léase: “a 1º”, “a 2º”, “a 3º” etcétera ).

La secuencia puede ser infinita o finita.

¿Qué es una progresión aritmética? Con él nos referimos al que se obtiene sumando el término anterior (n) con el mismo número d, que es la diferencia de la progresión.

si d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, entonces esta progresión se considera creciente.

Una progresión aritmética se llama finita si sólo se tienen en cuenta sus primeros términos. En muy grandes cantidades miembros ya es una progresión interminable.

Cualquier progresión aritmética se define mediante la siguiente fórmula:

an =kn+b, mientras que b y k son algunos números.

La afirmación opuesta es absolutamente cierta: si una secuencia está dada por una fórmula similar, entonces es exactamente una progresión aritmética que tiene las propiedades:

1. Cada término de la progresión es la media aritmética del término anterior y del siguiente.
2. Inversa: si, a partir del 2, cada término es la media aritmética del término anterior y del siguiente, es decir si se cumple la condición, entonces esta secuencia es una progresión aritmética. Esta igualdad también es un signo de progresión, por lo que se suele llamar propiedad característica progresión.
   De la misma manera, el teorema que refleja esta propiedad es verdadero: una sucesión es una progresión aritmética sólo si esta igualdad es cierta para cualquiera de los términos de la sucesión, comenzando por el 2º.

La propiedad característica de cuatro números cualesquiera de una progresión aritmética se puede expresar mediante la fórmula an + am = ak + al, si n + m = k + l (m, n, k son números de progresión).

En una progresión aritmética, cualquier término necesario (Enésimo) se puede encontrar usando la siguiente fórmula:

Por ejemplo: el primer término (a1) en una progresión aritmética es dado y es igual a tres, y la diferencia (d) es igual a cuatro. Necesitas encontrar el término cuadragésimo quinto de esta progresión. a45 = 1+4(45-1)=177

La fórmula an = ak + d(n - k) permite determinar el enésimo término de una progresión aritmética a través de cualquiera de sus k-ésimos términos, siempre que se conozca.

La suma de los términos de una progresión aritmética (es decir, los primeros n términos progresión finita) se calcula de la siguiente manera:

Sn = (a1+an) n/2.

Si también se conoce el primer término, entonces es conveniente otra fórmula para el cálculo:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

La suma de una progresión aritmética que contiene n términos se calcula de la siguiente manera:

La elección de fórmulas para los cálculos depende de las condiciones de los problemas y de los datos iniciales.

Series naturales de cualquier número, como 1,2,3,...,n,...- ejemplo más simple progresión aritmética.

Además de la progresión aritmética, también existe una progresión geométrica, que tiene sus propias propiedades y características.