Transponer matrices

Transposición de matriz Se llama sustituir las filas de una matriz por sus columnas manteniendo su orden (o, lo que es lo mismo, sustituir las columnas de una matriz por sus filas).

Sea la matriz original A:

Entonces, por definición, la matriz transpuesta A" tiene la forma:

Una forma abreviada de notación para la operación de transponer una matriz: una matriz transpuesta a menudo se denota

Ejemplo 3. Sean dadas las matrices. A y B:

Entonces las matrices transpuestas correspondientes tienen la forma:

Es fácil notar dos regularidades en la operación de transposición matricial.

1. Una matriz dos veces transpuesta es igual a la matriz original:

2. Al transponer matrices cuadradas, los elementos ubicados en la diagonal principal no cambian de posición, es decir La diagonal principal de una matriz cuadrada no cambia cuando se transpone.

Multiplicación de matrices

La multiplicación de matrices es una operación específica que forma la base del álgebra matricial. Las filas y columnas de matrices pueden considerarse como vectores fila y columna de dimensiones apropiadas; en otras palabras, cualquier matriz puede interpretarse como una colección de vectores fila o vectores columna.

Sean dadas dos matrices: A- tamaño t X PAG Y EN- tamaño pxk. Consideraremos la matriz. A como una totalidad t Vectores de fila A) dimensiones PAG cada uno y la matriz EN - como una totalidad A vectores de columna bjt que contiene cada PAG coordina cada uno:

Vectores de fila de matriz A Vectores de columna y matriz EN se muestran en la notación de estas matrices (2.7). Longitud de la fila de la matriz A igual a la altura de la columna de la matriz EN, y por tanto el producto escalar de estos vectores tiene sentido.

Definición 3. Producto de matrices A Y EN se llama matriz C cuyos elementos Su son iguales a los productos escalares de vectores fila A ( matrices A Vectores de column bj matrices EN:

Producto de matrices A Y EN- matriz C - tiene el tamaño t X A, ya que la longitud l de los vectores fila y columna desaparece al sumar los productos de las coordenadas de estos vectores en sus productos escalares, como se muestra en las fórmulas (2.8). Así, para calcular los elementos de la primera fila de la matriz C, es necesario obtener secuencialmente los productos escalares de la primera fila de la matriz. A a todas las columnas de la matriz EN la segunda fila de la matriz C se obtiene como el producto escalar del vector de la segunda fila de la matriz A a todos los vectores columna de la matriz EN, etcétera. Para recordar cómodamente el tamaño del producto de matrices, es necesario dividir los productos de los tamaños de las matrices de factores: - , luego los números restantes en relación dan el tamaño del producto A

dsnia, c.t. el tamaño de la matriz C es igual a t X A.

La operación de multiplicación de matrices tiene un rasgo característico: el producto de matrices. A Y EN tiene sentido si el número de columnas en A igual al número de líneas en EN. Entonces sí A y B - matrices rectangulares, entonces el producto EN Y A ya no tendrá sentido, ya que los productos escalares que forman los elementos de la matriz correspondiente deben involucrar vectores con el mismo número de coordenadas.

Si matrices A Y EN cuadrado, tamaño l x l, tiene sentido como producto de matrices AB, y el producto de matrices VIRGINIA, y el tamaño de estas matrices es el mismo que el de los factores originales. Al mismo tiempo, en el caso general de la multiplicación de matrices, no se observa la regla de permutación (conmutatividad), es decir AB*BA.

Veamos ejemplos de multiplicación de matrices.

Dado que el número de columnas de la matriz A igual al número de filas de la matriz EN, producto de matrices AB tiene el significado. Usando las fórmulas (2.8), obtenemos una matriz de tamaño 3x2 en el producto:

Trabajar Virginia no tiene sentido, ya que el número de columnas de la matriz EN no coincide con el número de filas de la matriz A.

Aquí encontramos los productos matriciales. AB Y VIRGINIA:

Como puede verse en los resultados, la matriz del producto depende del orden de las matrices en el producto. En ambos casos, los productos matriciales tienen el mismo tamaño que los factores originales: 2x2.

En este caso la matriz EN es un vector columna, es decir una matriz con tres filas y una columna. En general, los vectores son casos especiales de matrices: un vector fila de longitud PAG es una matriz con una fila y PAG columnas y el vector de columna de altura PAG- matriz con PAG filas y una columna. Los tamaños de las matrices dadas son respectivamente 2 x 3 y 3 x I, por lo que el producto de estas matrices está definido. Tenemos

El producto produce una matriz de tamaño 2 x 1 o un vector columna de altura 2.

Multiplicando matrices secuencialmente encontramos:

Propiedades del producto de matrices. Dejar A, B y C son matrices de tamaños apropiados (para que se definan los productos matriciales), y a es un número real. Entonces se cumplen las siguientes propiedades del producto de matrices:

• 1) (AB)C = A(BC);
• 2) C A + B)C = AC + BC
• 3) A (B+ C) = AB + CA;
• 4) un (AB) = (aA)B = A(aB).

El concepto de matriz de identidad. mi se introdujo en la cláusula 2.1.1. Es fácil ver que en álgebra matricial desempeña el papel de unidad, es decir Podemos observar dos propiedades más asociadas con la multiplicación por esta matriz a la izquierda y a la derecha:

• 5 )AE=A;
• 6) EA = A.

En otras palabras, el producto de cualquier matriz por la matriz identidad, si tiene sentido, no cambia la matriz original.

Cuando se trabaja con matrices, a veces es necesario transponerlas, es decir, en palabras simples, darles la vuelta. Por supuesto, puede ingresar los datos manualmente, pero Excel ofrece varias formas de hacerlo de manera más fácil y rápida. Veámoslos en detalle.

La transposición de matrices es el proceso de intercambiar columnas y filas. Excel tiene dos opciones para transponer: usar la función TRANSSP y utilizando la herramienta especial de inserción. Veamos cada una de estas opciones con más detalle.

Método 1: operador TRANSPONER

Función TRANSSP pertenece a la categoría de operadores "Enlaces y matrices". La peculiaridad es que, al igual que otras funciones que trabajan con matrices, el resultado de salida no es el contenido de la celda, sino una matriz de datos completa. La sintaxis de la función es bastante simple y tiene este aspecto:

TRANSP(matriz)

Es decir, el único argumento de este operador es una referencia a la matriz, en nuestro caso la matriz, que debe convertirse.

Veamos cómo se puede aplicar esta función usando un ejemplo con una matriz real.

1. Seleccionamos una celda vacía en la hoja, que planeamos convertir en la celda superior izquierda de la matriz transformada. A continuación, haga clic en el icono "Función de inserción", que se encuentra cerca de la barra de fórmulas.



2. Lanzamiento en progreso Asistentes de funciones. Abre la categoría en ella. "Enlaces y matrices" o "Lista alfabética completa". Después de encontrar el nombre "TRANSPLAZAMIENTO", selecciónelo y haga clic en el botón "DE ACUERDO".



3. Se abre la ventana de argumentos de la función. TRANSSP. El único argumento de este operador corresponde al campo "Formación". Debe ingresar las coordenadas de la matriz que debe entregarse. Para hacer esto, coloque el cursor en el campo y, manteniendo presionado el botón izquierdo del mouse, seleccione todo el rango de la matriz en la hoja. Después de que la dirección del área se muestre en la ventana de argumentos, haga clic en el botón "DE ACUERDO".



4. Pero, como vemos, en la celda que se pretende mostrar el resultado se muestra un valor incorrecto en forma de error "#¡VALOR!". Esto se debe a la forma en que funcionan los operadores de matriz. Para corregir este error, seleccione un rango de celdas en el que el número de filas debe ser igual al número de columnas de la matriz original y el número de columnas debe ser igual al número de filas. Esta correspondencia es muy importante para que el resultado se muestre correctamente. En este caso, la celda que contiene la expresión "#¡VALOR!" debe ser la celda superior izquierda de la matriz seleccionada y es desde esta celda que el procedimiento de selección debe comenzar manteniendo presionado el botón izquierdo del mouse. Después de haber realizado la selección, coloque el cursor en la barra de fórmulas inmediatamente después de la expresión del operador. TRANSSP, que debería aparecer en él. Después de esto, para realizar el cálculo, debe presionar el botón Ingresar, como es habitual en las fórmulas convencionales, y marcar la combinación Ctrl+Mayús+Entrar.



5. Después de estas acciones, la matriz se mostró como necesitábamos, es decir, en forma transpuesta. Pero hay otro problema. El hecho es que ahora la nueva matriz es una matriz unida por una fórmula que no se puede cambiar. Cuando intente realizar algún cambio en el contenido de la matriz, aparecerá un error. Algunos usuarios están bastante satisfechos con esta situación, ya que no tienen la intención de realizar cambios en la matriz, pero otros necesitan una matriz con la que puedan trabajar completamente.

   Para solucionar este problema, seleccionamos todo el rango transpuesto. Pasar a la pestaña "Hogar" haga clic en el icono "Copiar", que se encuentra en la cinta del grupo "Portapapeles". En lugar de la acción especificada, después de seleccionar, puede configurar un método abreviado de teclado estándar para copiar Ctrl+C.



6. Luego, sin eliminar la selección del rango transpuesto, haga clic derecho sobre ella. En el menú contextual del grupo. "Insertar opciones" haga clic en el icono "Valores", que parece un pictograma que representa números.

   

   Después de esto, la fórmula matricial TRANSSP Se eliminará y solo quedará un valor en las celdas, con el que se puede trabajar de la misma manera que con la matriz original.

Método 2: Transposición de matriz usando Pegado especial

Además, la matriz se puede transponer usando un elemento del menú contextual llamado "Insertar especial".

Después de estos pasos, solo quedará en la hoja la matriz transformada.

Con los mismos dos métodos discutidos anteriormente, puede transponer no solo matrices, sino también tablas completas a Excel. El procedimiento será casi idéntico.

Entonces, descubrimos que en Excel la matriz se puede transponer, es decir, invertir intercambiando columnas y filas, de dos maneras. La primera opción implica utilizar la función. TRANSSP, y el segundo es Pegar herramientas especiales. En general, el resultado final obtenido al utilizar ambos métodos no es diferente. Ambos métodos funcionan en casi cualquier situación. Entonces, al elegir una opción de conversión, las preferencias personales de un usuario en particular pasan a primer plano. Es decir, cuál de estos métodos le resulta más conveniente personalmente, utilice ese.

Transponer una matriz a través de esta calculadora en línea no le llevará mucho tiempo, pero le dará resultados rápidamente y le ayudará a comprender mejor el proceso en sí.

A veces, en los cálculos algebraicos es necesario intercambiar las filas y columnas de una matriz. Esta operación se llama transposición matricial. Las filas, en orden, se convierten en columnas y la propia matriz se transpone. Existen ciertas reglas en estos cálculos y, para comprenderlas y familiarizarse visualmente con el proceso, utilice esta calculadora en línea. Facilitará mucho su tarea y le ayudará a comprender mejor la teoría de la transposición de matrices. Una ventaja significativa de esta calculadora es la demostración de una solución ampliada y detallada. Por tanto, su uso promueve una comprensión más profunda e informada de los cálculos algebraicos. Además, con su ayuda siempre podrás comprobar el éxito de la tarea transponiendo las matrices manualmente.

La calculadora es muy fácil de usar. Para buscar una matriz transpuesta en línea, especifique el tamaño de la matriz haciendo clic en los iconos “+” o “-” hasta obtener el número deseado de columnas y filas. Luego, ingrese los números requeridos en los campos. A continuación se muestra el botón "Calcular"; al hacer clic en él, se muestra una solución preparada con una explicación detallada del algoritmo.

En matemáticas superiores, se estudia un concepto como el de matriz transpuesta. Cabe señalar: mucha gente piensa que se trata de un tema bastante complejo que es imposible de dominar. Sin embargo, no lo es. Para comprender exactamente cómo se lleva a cabo una operación tan sencilla, sólo es necesario familiarizarse un poco con el concepto básico: la matriz. Cualquier estudiante puede entender el tema si se toma el tiempo para estudiarlo.

¿Qué es una matriz?

Las matrices son bastante comunes en matemáticas. Cabe destacar que también se encuentran en informática. Gracias a ellos y con su ayuda es fácil programar y crear software.

¿Qué es una matriz? Esta es una tabla en la que se colocan los elementos. Debe tener una apariencia rectangular. En términos más simples, una matriz es una tabla de números. Se designa utilizando algunas letras latinas mayúsculas. Puede ser rectangular o cuadrado. También hay filas y columnas separadas, que se denominan vectores. Estas matrices reciben sólo una línea de números. Para comprender el tamaño de una tabla, es necesario prestar atención al número de filas y columnas. El primero se denota con la letra m y el segundo con n.

Definitivamente deberías entender qué es una diagonal matricial. Hay un lateral y otro principal. La segunda es esa franja de números que va de izquierda a derecha desde el primer hasta el último elemento. En este caso, la línea lateral será de derecha a izquierda.

Con las matrices puedes hacer casi todas las operaciones aritméticas más simples, es decir, sumar, restar, multiplicar entre sí y por separado por números. También se pueden transponer.

Proceso de transposición

Una matriz transpuesta es una matriz en la que se intercambian filas y columnas. Esto se hace lo más fácilmente posible. Denotado como A con superíndice T (A T). En principio, hay que decir que en matemáticas superiores esta es una de las operaciones más sencillas con matrices. Se mantiene el tamaño de la mesa. Esta matriz se llama transpuesta.

Propiedades de las matrices transpuestas

Para realizar correctamente el proceso de transposición, es necesario comprender qué propiedades existen de esta operación.

• Debe haber una matriz original para cualquier tabla transpuesta. Sus determinantes deben ser iguales entre sí.
• Si hay una unidad escalar, al realizar esta operación se puede sacar.
• Cuando una matriz se transpone doblemente, será igual a la original.
• Si comparas dos tablas plegadas con columnas y filas intercambiadas con la suma de los elementos sobre los que se realizó esta operación, serán iguales.
• La última propiedad es que si transpones tablas multiplicadas entre sí, entonces el valor debe ser igual a los resultados obtenidos al multiplicar las matrices transpuestas entre sí en orden inverso.

¿Por qué transponer?

Una matriz en matemáticas es necesaria para poder resolver ciertos problemas con ella. Algunos de ellos requieren que calcules la tabla inversa. Para hacer esto, necesitas encontrar un determinante. A continuación, se calculan los elementos de la futura matriz y luego se transponen. Todo lo que queda es encontrar la tabla directamente inversa. Podemos decir que en este tipo de problemas es necesario encontrar X, y esto es bastante fácil de hacer con la ayuda de conocimientos básicos de la teoría de ecuaciones.

Resultados

Este artículo examinó qué es una matriz transpuesta. Este tema será útil para futuros ingenieros que necesiten poder calcular correctamente estructuras complejas. A veces la matriz no es tan fácil de resolver, hay que devanarse los sesos. Sin embargo, en el curso de matemáticas de los estudiantes, esta operación se realiza de la forma más sencilla posible y sin ningún esfuerzo.