Ecuaciones trigonométricas tarea 13. Ejemplos de tareas del examen estatal unificado

Examen Estatal Unificado en el nivel de perfil de matemáticas

El trabajo consta de 19 tareas.
Parte 1:
8 tareas de respuesta corta de nivel de dificultad básico.
Parte 2:
4 preguntas de respuesta corta
7 tareas con respuestas detalladas de alto nivel de dificultad.

Duración: 3 horas 55 minutos.

Ejemplos de tareas del examen estatal unificado

Resolver la tarea del Examen Estatal Unificado de Matemáticas.

Problema con solución:

En una pirámide triangular regular ABCS con base ABC, se conocen las siguientes aristas: AB = 5 raíces de 3, SC = 13.
Encuentre el ángulo formado por el plano base y la recta que pasa por el medio de los bordes AS y BC.

Solución:

1. Dado que SABC es una pirámide regular, ABC es un triángulo equilátero y las caras restantes son triángulos isósceles iguales.
Es decir, todos los lados de la base son iguales a 5 sqrt(3) y todos los bordes laterales son iguales a 13.

2. Sea D el punto medio de BC, E el punto medio de AS, SH la altura descendió desde el punto S hasta la base de la pirámide, EP la altura descendió desde el punto E hasta la base de la pirámide.

3. Encuentra AD a partir del triángulo rectángulo CAD usando el teorema de Pitágoras. Resulta 15/2 = 7,5.

4. Como la pirámide es regular, el punto H es el punto de intersección de las altitudes/medianas/bisectrices del triángulo ABC, y por lo tanto divide a AD en la proporción 2:1 (AH = 2 AD).

5. Encuentra SH del triángulo rectángulo ASH. AH = AD 2/3 = 5, AS = 13, según el teorema de Pitágoras SH = sqrt(13 2 -5 2) = 12.

6. Los triángulos AEP y ASH son ángulos rectos y tienen un ángulo común A, por lo que son similares. Por condición, AE = AS/2, lo que significa AP = AH/2 y EP = SH/2.

7. Queda por considerar el triángulo rectángulo EDP (solo nos interesa el ángulo EDP).
PE = SH/2 = 6;
DP = AD 2/3 = 5;

Ángulo tangente EDP = EP/DP = 6/5,
Ángulo EDP = arctan(6/5)

Respuesta:

¿Sabes que?

Entre todas las figuras con el mismo perímetro, el círculo tendrá el área más grande. Por el contrario, entre todas las formas con la misma área, el círculo tendrá el perímetro más pequeño.

Leonardo da Vinci derivó una regla según la cual el cuadrado del diámetro del tronco de un árbol es igual a la suma de los cuadrados de los diámetros de las ramas tomadas a una altura fija común. Estudios posteriores lo confirmaron con una sola diferencia: el grado en la fórmula no es necesariamente igual a 2, sino que está en el rango de 1,8 a 2,3. Tradicionalmente, se creía que este patrón se explica por el hecho de que un árbol con tal estructura tiene un mecanismo óptimo para suministrar nutrientes a sus ramas. Sin embargo, en 2010, el físico estadounidense Christophe Alloy encontró una explicación mecánica más sencilla para el fenómeno: si consideramos un árbol como un fractal, la ley de Leonardo minimiza la probabilidad de que las ramas se rompan bajo la influencia del viento.

Los estudios de laboratorio han demostrado que las abejas pueden elegir la ruta óptima. Después de localizar las flores colocadas en diferentes lugares, la abeja emprende un vuelo y regresa de tal forma que el camino final resulta ser el más corto. Así, estos insectos resuelven eficazmente el clásico "problema del viajante" de la informática, que los ordenadores modernos, dependiendo del número de puntos, pueden tardar más de un día en resolver.

Si multiplicas tu edad por 7, luego multiplicas por 1443, el resultado será tu edad escrita tres veces seguidas.

Pensamos en los números negativos como algo natural, pero no siempre fue así. Los números negativos se legalizaron por primera vez en China en el siglo III, pero se utilizaron sólo en casos excepcionales, ya que, en general, se consideraban sin sentido. Un poco más tarde, los números negativos comenzaron a usarse en la India para denotar deudas, pero en Occidente no echaron raíces: el famoso Diofanto de Alejandría argumentó que la ecuación 4x+20=0 era absurda.

El matemático estadounidense George Dantzig, mientras era estudiante de posgrado en la universidad, un día llegó tarde a clase y confundió las ecuaciones escritas en la pizarra con la tarea. Le pareció más difícil de lo habitual, pero al cabo de unos días pudo completarlo. Resultó que resolvió dos problemas “irresolubles” de estadística con los que muchos científicos habían luchado.

En la literatura matemática rusa, el cero no es un número natural, pero en la literatura occidental, por el contrario, pertenece al conjunto de los números naturales.

El sistema numérico decimal que utilizamos surgió porque los humanos tenemos 10 dedos. La capacidad de contar de forma abstracta no apareció de inmediato en las personas y resultó más conveniente utilizar los dedos para contar. La civilización maya e, independientemente de ellos, los chukchi utilizaron históricamente el sistema numérico de veinte dígitos, utilizando los dedos no solo de las manos, sino también de los pies. Los sistemas duodecimal y sexagesimal, habituales en la antigua Sumeria y Babilonia, también se basaban en el uso de las manos: las falanges de los otros dedos de la palma, cuyo número es 12, se contaban con el pulgar.

Una amiga le pidió a Einstein que la llamara, pero le advirtió que su número de teléfono era muy difícil de recordar: - 24-361. ¿Te acuerdas? ¡Repetir! Sorprendido, Einstein respondió: “¡Por ​​supuesto que lo recuerdo!” Dos docenas y 19 al cuadrado.

Stephen Hawking es uno de los principales físicos teóricos y divulgador de la ciencia. En su historia sobre sí mismo, Hawking mencionó que se convirtió en profesor de matemáticas sin haber recibido ninguna educación matemática desde la escuela secundaria. Cuando Hawking comenzó a enseñar matemáticas en Oxford, leyó el libro de texto dos semanas antes que sus propios alumnos.

El número máximo que se puede escribir en números romanos sin violar las reglas de Shvartsman (reglas para escribir números romanos) es 3999 (MMMCMXCIX); no se pueden escribir más de tres dígitos seguidos.

Hay muchas parábolas sobre cómo una persona invita a otra a pagarle por algún servicio de la siguiente manera: en la primera casilla del tablero de ajedrez pondrá un grano de arroz, en la segunda, dos, y así sucesivamente: en cada casilla siguiente. el doble que el anterior. Como resultado, quien pague de esta manera seguramente arruinará. Esto no es sorprendente: se estima que el peso total del arroz será de más de 460 mil millones de toneladas.

En muchas fuentes, a menudo con el objetivo de animar a los estudiantes con bajo rendimiento, se afirma que Einstein reprobó matemáticas en la escuela o, además, estudió muy mal en todas las materias. De hecho, no todo fue así: Albert comenzó a mostrar talento en matemáticas a una edad temprana y lo sabía mucho más allá del plan de estudios escolar.

La lección analiza la solución a la tarea 13 del Examen Estatal Unificado en informática.

Tema 13 - "Cantidad de información" - se caracteriza por tareas de mayor nivel de complejidad, tiempo de finalización - aproximadamente 3 minutos, puntuación máxima - 1

cuando se trabaja con texto

• Mediante el uso k el bit se puede codificar Q = 2K varios símbolos:
• q- poder del alfabeto
• k q opciones de personajes
• 2 — sistema de números binarios (los datos se almacenan en forma binaria)

N=2yo

• I, necesitas multiplicar el número de caracteres norte por el número de bits para almacenar un carácter k:
• I
• norte— longitud del mensaje (número de caracteres),
• k— el número de bits para almacenar un carácter.
• Estas dos fórmulas utilizan la misma variable:

Q = 2 K I = N * K

Consideremos un ejemplo usando dos fórmulas al mismo tiempo:

Ejemplo:
Volumen de mensajes – 7,5 KB 7680 caracteres. ¿Cuál es el poder del alfabeto?

• Usemos la fórmula:

Yo = N*K;
I— tamaño del mensaje = 7,5 KB;
norte— número de caracteres = 7680;
k- número de bits por carácter

• Encontremos la cantidad de bits necesarios para almacenar 1 carácter (primero convierta el valor en bits):

\[ K= \frac (7.5 * 2^(13))(7680) = \frac (7.5 * 2^(13))(15 * 2^9) = \frac (7.5 * 16 )(15) = 8 \]

aquellos. K = 8 bits por carácter

• A continuación utilizamos la fórmula:

Q = 2K
k— el número de bits para almacenar un carácter q opciones de personaje (= 8)
q— el poder del alfabeto, es decir número de opciones de personajes

• 8 bits por carácter le permiten codificar:

2 8 = 256 caracteres diferentes
256 caracteres: eso es poder

Respuesta: 256

Medir la cantidad de información
cuando se trabaja con varios sistemas

• Mediante el uso k el bit se puede codificar Q = 2K varios (números) de objetos de algún sistema:
• q- el número total de objetos en un determinado sistema, cuyos datos se almacenan en una computadora o se transmiten en un mensaje,
• k— el número de bits para almacenar un objeto del número total q,
• 2 — sistema de numeración binario (los datos se almacenan en formato binario).

*también se aceptan otras designaciones: N=2yo

• Para encontrar el volumen de información de un mensaje. I, necesitas multiplicar la cantidad de objetos en el mensaje - norte- por el número de bits k para almacenar un objeto:
• I- volumen de información del mensaje,
• norte— número de objetos en el mensaje
• k— el número de bits para almacenar un objeto del sistema.

Ejemplo:
En producción existe un sistema automático para informar al almacén sobre la necesidad de entregar determinados grupos de consumibles al taller. El sistema está diseñado de tal manera que a través del canal de comunicación al almacén se transmite el número condicional de consumibles(Esto usa el mismo número de bits, pero el mínimo posible, en la representación binaria de este número). Se sabe que se ha enviado una solicitud de entrega. 9 grupos materiales de 19 usados en producción. Determinar el volumen del mensaje enviado. (Da tu respuesta en bits)

• Usemos la fórmula:

k— número de bits para almacenar un número de grupo de materiales
q— número total de números para varios grupos de consumibles = 19

• Para almacenar el número de un grupo, se requiere un bit:

Yo = N*K;
I- volumen del mensaje =? poco;
norte— número de números de grupo transmitidos (= 9);
k— número de bits por 1 número (= 5)

Respuesta: 45

Resolución de tareas 13 Examen estatal unificado de informática

Examen Estatal Unificado de Informática 2017 tarea 13 FIPI opción 1 (Krylov S.S., Churkina T.E.):

7 33 -alfabeto de caracteres. La base de datos asigna el mismo número entero y el más pequeño posible para almacenar información sobre cada usuario. byte poco. Además de su propia contraseña, en el sistema se almacena información adicional para cada usuario, para la cual se asigna un número entero de bytes; este número es el mismo para todos los usuarios.

Para almacenar información sobre 60 usuarios requeridos 900 byte.

¿Cuántos bytes se asignan para almacenar información adicional sobre un usuario?
En respuesta, escriba solo un número entero: el número de bytes.

• Primero, decidamos una contraseña. Según la fórmula Q = M norte obtenemos:

Resultado: 9

Una solución paso a paso para esta decimotercera tarea del Examen Estatal Unificado en informática también está disponible en el video tutorial:

Colección del Examen Estatal Unificado 2017 de D.M. Ushakova “10 opciones de entrenamiento...” opción 1:

La cadena de cable está votando cuál de las cuatro películas les gustaría ver esa noche. Usan la red de cable. 2000 Humano. Participó en la votación. 1200 Humano.
¿Cuál es la cantidad de información ( en bytes) registrado por un sistema de votación automatizado?

• Dado que los cuatro números de película están almacenados en el sistema informático, podemos encontrar la cantidad de bits necesarios para almacenar el número de película:

Resultado: 300

Colección del Examen Estatal Unificado 2017 de D.M. Ushakova “10 opciones de entrenamiento...” opción 6:

Al registrarse en un sistema informático, a cada usuario se le asigna una contraseña que consta de 15 caracteres y que contiene sólo caracteres de 12 - conjunto de caracteres A, B, C, D, E, F, G, H, I, K, L, M, N. La base de datos asigna el mismo número entero y el más pequeño posible para almacenar información sobre cada usuario. byte. En este caso, se utiliza la codificación de contraseñas carácter por carácter, todos los caracteres se codifican con el mismo y el mínimo número posible. poco. Además de la contraseña en sí, en el sistema se almacena información adicional para cada usuario, por lo que 12 bytes por usuario.

Determine la cantidad de memoria ( en bytes), necesario para almacenar información sobre 30 usuarios.
En su respuesta, escriba solo un número entero: el número de bytes.

✍ Solución:

Resultado: 600

Un ejemplo de cómo resolver esta tarea del Examen Estatal Unificado está disponible en el video tutorial:

Colección del Examen Estatal Unificado 2017 de D.M. Ushakova “10 opciones de entrenamiento...” opción 10:

Tomar un examen de ensayo en la escuela 105 Humano. A cada uno de ellos se le asigna un número especial que lo identifica en el sistema de verificación automática de respuestas. Al registrar a un participante para registrar su número, el sistema utiliza el mínimo número posible de poco, igual para cada participante.

¿Cuánta información hay? en pedazos, grabado por el dispositivo después del registro 60 ¿Participantes?

✍ Solución:

Resultado: 420

Un ejemplo de cómo resolver esta tarea del Examen Estatal Unificado está disponible en el video tutorial:

Tarea 13. Versión demo del Examen Estatal Unificado 2018 de informática:

10 caracteres. Como símbolos se utilizan letras mayúsculas del alfabeto latino, es decir. 26 varios símbolos. En la base de datos, cada contraseña se almacena en el mismo número entero y el más pequeño posible. byte. En este caso, se utiliza la codificación de contraseñas carácter por carácter, todos los caracteres se codifican con el mismo y el mínimo número posible. poco.

Determine la cantidad de memoria ( en bytes), necesario para almacenar datos sobre 50 usuarios.
En su respuesta, escriba solo un número entero: el número de bytes.

• La fórmula básica para resolver este problema es:

Dónde q— el número de variantes de caracteres que se pueden codificar usando norte poco.

• Para encontrar la cantidad de bits necesarios para almacenar una contraseña, primero debe encontrar la cantidad de bits necesarios para almacenar 1 carácter en la contraseña. Usando la fórmula obtenemos:

Resultado: 350

Para obtener una solución detallada a la tarea 13 de la versión de demostración del Examen Estatal Unificado 2018, mire el video:

Solución 13 de la tarea del Examen Estatal Unificado en informática (versión de diagnóstico del examen, simulador del Examen Estatal Unificado 2018, S.S. Krylov, D.M. Ushakov):

En algunos países, la matrícula consta de 7 caracteres. Cada personaje puede ser uno de 18 varias letras o decimales número.

Cada uno de estos números en un programa de computadora está escrito en la cantidad entera mínima posible e idéntica. byte, en este caso se utiliza codificación carácter por carácter y cada carácter se codifica con el mismo y mínimo número posible poco.

Determinar la cantidad de memoria en bytes, asignado por este programa para grabación 50 números.

• Dado que el número puede utilizar una letra de 18 , o un dígito de 10 , entonces solo se puede usar un carácter en el número uno de 28 caracteres:

Resultado: 250

Análisis de vídeo:

Solución 13 de la tarea del Examen Estatal Unificado en informática (versión de control n.° 1 del examen, Simulador 2018, S.S. Krylov, D.M. Ushakov):

Aprobar el examen de ensayo 9 fluye por 100 una persona en todos. A cada uno de ellos se le asigna un código especial que consta de un número de hilo y un número en la secuencia. Al codificar estos números de participantes, el sistema de verificación utiliza el mínimo número posible de poco, lo mismo para cada participante, por separado para el número del hilo y el número en la transmisión. En este caso, se utiliza el mínimo número posible e idénticamente entero para escribir el código. bytes.
¿Cuál es la cantidad de información en bytes que registra el dispositivo después del registro? 80 ¿Participantes?
Por favor indique sólo el número en su respuesta.

• El código consta de dos componentes: 1. número de secuencia (en bits) y 2. número de secuencia (en bits). Encontremos la cantidad de bits necesarios para almacenarlos:

Resultado: 160

Vídeo análisis de la tarea:

Solución 13 de la tarea del Examen Estatal Unificado de Ciencias de la Computación (K. Polyakov, v. 4):

Volumen de mensajes – 7,5 KB. Se sabe que este mensaje contiene 7680 caracteres. ¿Cuál es el poder del alfabeto?

• Usemos la fórmula:

Yo = 7,5 KB = 7,5 * 2 13 bits

\[ K = \frac (7,5 * 2^(13))(7680) = \frac (7,5 * 2^(13))(15 * 2^9) = \frac (7,5 * 16 )(15) = 8 \]

2 8 = 256 varios personajes
(según la fórmula Q = 2 N)

Resultado: 256

Después de la siguiente tarea se presenta un análisis en vídeo de la tarea.

Codificación de mensaje (texto):

Solución 13 de la tarea del Examen Estatal Unificado de Ciencias de la Computación (K. Polyakov, v. 6):

El poder del alfabeto es 256 . ¿Cuántos KB de memoria se necesitarán para guardar? 160 páginas de texto, que contiene en promedio 192 caracteres en cada página?

• Encontremos el número total de caracteres en todas las páginas (por conveniencia, usaremos potencias de dos):

\[ I = (15 * 2^(11)) * 2^3 bits = \frac (15 * 2^(14))(2^(13)) KB = 30 KB \]

yo = 30 KB

Resultado: 30

Vea un análisis detallado de las tareas de codificación de texto: del 1 al 2100), número de mes (día del 1 al 12) y el número del día del mes (día del 1 al 31). Cada campo se escribe por separado de otros campos utilizando el menor número posible de bits.
Determine la cantidad mínima de bits necesarios para codificar un registro.

• Fórmula necesaria Q = 2 norte.
• Calculemos la cantidad requerida de bits para almacenar cada elemento del registro completo:

Solución 13 de la tarea del Examen Estatal Unificado de Ciencias de la Computación (K. Polyakov, v. 33):

Una matrícula consta de varias letras (el número de letras es el mismo en todas las matrículas), seguidas de tres dígitos. En este caso se utilizan 10 dígitos pero sólo 5 letras: norte, o, m, mi Y R. Debes tener al menos 100 000 números diferentes.
¿Cuál es la menor cantidad de letras que debe tener un número de placa?

• Fórmula necesaria Q = mn.

Resultado: 3

Te invitamos a ver un vídeo análisis de la tarea:

Solución 13 de la tarea del Examen Estatal Unificado de Informática (K. Polyakov, v. 58):

Al registrarse en un sistema informático, a cada usuario se le asigna una contraseña que consta de 9 personajes. Los símbolos se utilizan Mayúscula y minúscula letras del alfabeto latino (en él 26 caracteres), y dígitos decimales. La base de datos asigna el mismo número entero mínimo posible de bytes para almacenar información sobre cada usuario. En este caso, se utiliza la codificación de contraseñas carácter por carácter; todos los caracteres se codifican con el mismo número de bits, el mínimo posible. Además de la propia contraseña, en el sistema se almacena información adicional para cada usuario, para cuyo fin 18 bytes por usuario. En el sistema informático se asigna. 1 KB para almacenar información sobre los usuarios.

¿Cuál es la mayor cantidad de usuarios que se pueden almacenar en el sistema? En su respuesta, escriba solo un número entero: el número de usuarios.

• Dado que se utilizan letras mayúsculas y minúsculas, obtenemos un total de opciones de caracteres para la codificación:

Resultado: 40

Mira el vídeo con la solución a la tarea:

En la tarea 13 del nivel de perfil del Examen Estatal Unificado de Matemáticas, es necesario resolver una ecuación, pero de mayor nivel de complejidad, ya que las tareas del antiguo nivel C comienzan con la tarea 13, y esta tarea se puede llamar C1. . Pasemos a considerar ejemplos de tareas típicas.

Análisis de opciones típicas para las tareas No. 13 del Examen Estatal Unificado de Matemáticas a nivel de perfil

Primera versión de la tarea (versión demo 2018)

a) Resuelve la ecuación cos2x = 1-cos(n/2-x)

b) Encuentre todas las raíces de esta ecuación pertenecientes al intervalo [-5n/2;-n].

Algoritmo de solución:

1. t
2. Hacemos la sustitución inversa y resolvemos las ecuaciones trigonométricas más simples.

1. Construimos un eje numérico.
2. Le aplicamos raíces.
3. Marque los extremos del segmento.
4. Seleccionamos aquellos valores que se encuentran dentro del intervalo.
5. Anotamos la respuesta.

Solución:

1. Transforma el lado derecho de la igualdad usando la fórmula de reducción cos( π/ 2−X)=pecado X. Tenemos:

cos2x = 1 – pecado X.

Transformemos el lado izquierdo de la ecuación usando la fórmula del coseno de doble argumento usando el seno:

cos(2x)=1−2sen 2 x

Obtenemos la siguiente ecuación: 1−sen 2 X=1− pecado X

Ahora solo hay una función trigonométrica sin en la ecuación X.

2. Ingrese el reemplazo: t= pecado X. Resolvemos la ecuación cuadrática resultante:

1−2t 2 =1−t,

−2t 2 +t=0,

t(−2t+1)=0,

t = 0 o -2t + 1 = 0,

t 1 = 0 t 2 = 1/2.

3. Realice un reemplazo inverso:

pecado X= 0 o pecado X = ½

Resolvamos estas ecuaciones:

pecado X =0↔X=πn, nЄZ

pecado( X)=1/2↔X= (-1) norte ∙( π/6)+πn, nЄZ.

En consecuencia, obtenemos dos familias de soluciones.

1. En el párrafo anterior se obtuvieron dos familias, cada una de las cuales tiene infinitas soluciones. Es necesario averiguar cuáles de ellos se encuentran en un intervalo determinado. Para hacer esto, construimos una recta numérica.

2. Le aplicamos las raíces de ambas familias, marcándolas de verde (la primera) y azul (la segunda).

3. Marque los extremos del espacio en rojo.

4. En el intervalo indicado hay tres raíces que son tres raíces: −2 π ;−11π/ 6 y −7 π/ 6.

A) πn, nЄZ;(-1) norte ∙( π/6)+πn, nЄZ

segundo) −2 π ;−11π 6;−7π 6

Segunda versión de la tarea (de Yashchenko, n.° 1)

a) Resuelve la ecuación.

Algoritmo de solución:

1. Reemplazamos esta función con una variable. t y resuelve la ecuación cuadrática resultante.
2. Hacemos la sustitución inversa y resolvemos las ecuaciones exponenciales más simples y luego trigonométricas.

1. Construimos un plano de coordenadas y un círculo de radio unitario sobre él.
2. Marcamos los puntos que son los extremos del segmento.
3. Seleccionamos aquellos valores que se encuentran dentro del segmento.
4. Anotamos la respuesta.

Solución:

1. Introducimos el reemplazo t = 4 cos x. entonces la ecuación tomará la forma:

Resolvemos la ecuación cuadrática usando fórmulas discriminante y raíz:

D=b 2 – c = 81 – 4∙4∙2 =49,

t1 = (9 – 7)/8= ¼, t2 = (9+7)/8=2.

1. Construya un plano coordenado y un círculo de radio unitario sobre él.

2. Marca los puntos que son los extremos del segmento.

3. Seleccione aquellos valores que se encuentran dentro del segmento.

Estas son las raíces. Hay dos de ellos.

A)

Tercera versión de la tarea (de Yashchenko, n.° 6)

a) Resuelve la ecuación .

b) Encuentra todas las raíces de esta ecuación que pertenecen al segmento.

Algoritmo de solución:

1. Usando fórmulas trigonométricas, reducimos la ecuación a una forma que contiene solo una función trigonométrica.
2. Reemplazamos esta función con una variable. t y resuelve la ecuación cuadrática resultante.
3. Hacemos la sustitución inversa y resolvemos las ecuaciones exponenciales y luego trigonométricas más simples.

1. Resolvemos desigualdades para cada caso.
2. Anotamos la respuesta.

Solución:

1. Usar fórmulas de reducción .

2. Entonces esta ecuación tomará la forma:

3. Introducimos el reemplazo. Obtenemos:

Resolvemos una ecuación cuadrática ordinaria usando fórmulas discriminantes y de raíz:

Ambas raíces son positivas.

3. Regresar a la variable x: