Ecuación de un avión. ¿Cómo escribir una ecuación de un avión?
Disposición mutua de aviones. Tareas

La geometría espacial no es mucho más complicada que la geometría "plana", y nuestros vuelos al espacio comienzan con este artículo. Para dominar el tema es necesario tener un buen conocimiento de vectores Además, es recomendable estar familiarizado con la geometría del avión: habrá muchas similitudes, muchas analogías, por lo que la información se asimilará mucho mejor. En una serie de mis lecciones, el mundo 2D comienza con un artículo. Ecuación de una línea recta en un plano.. Pero ahora Batman ha abandonado la pantalla plana de televisión y se lanza desde el cosmódromo de Baikonur.

Comencemos con dibujos y símbolos. Esquemáticamente, el plano se puede dibujar en forma de paralelogramo, lo que crea la impresión de espacio:

El avión es infinito, pero tenemos la oportunidad de representar sólo una parte de él. En la práctica, además del paralelogramo, también se dibuja un óvalo o incluso una nube. Por razones técnicas, me resulta más cómodo representar el avión exactamente de esta manera y exactamente en esta posición. Los planos reales, que consideraremos en ejemplos prácticos, se pueden ubicar de cualquier manera: tome mentalmente el dibujo en sus manos y gírelo en el espacio, dándole al plano cualquier pendiente, cualquier ángulo.

Designaciones: los aviones suelen indicarse en minúsculas letras griegas, aparentemente para no confundirlos con línea recta en un avión o con línea recta en el espacio. Estoy acostumbrado a usar la letra. En el dibujo es la letra “sigma”, y no es un agujero en absoluto. Aunque el avión agujereado es ciertamente bastante divertido.

En algunos casos, conviene utilizar las mismas letras griegas con subíndices inferiores para designar planos, por ejemplo, .

Es obvio que el plano está definido únicamente por tres puntos diferentes que no se encuentran en la misma recta. Por lo tanto, las designaciones de aviones de tres letras son bastante populares: por los puntos que les pertenecen, por ejemplo, etc. A menudo las letras están entre paréntesis: , para no confundir el plano con otra figura geométrica.

Para lectores experimentados daré menú de acceso rápido:

• ¿Cómo crear una ecuación de un plano usando un punto y dos vectores?
• ¿Cómo crear una ecuación de un plano usando un punto y un vector normal?

y no languideceremos en largas esperas:

Ecuación del plano general

La ecuación general del plano tiene la forma , donde los coeficientes no son iguales a cero al mismo tiempo.

Una serie de cálculos teóricos y problemas prácticos son válidos tanto para la base ortonormal habitual como para la base afín del espacio (si el petróleo es petróleo, regrese a la lección Dependencia lineal (no) de vectores. Base de vectores). Para simplificar, asumiremos que todos los eventos ocurren en forma ortonormal y en un sistema de coordenadas rectangular cartesiano.

Ahora practiquemos un poco nuestra imaginación espacial. Está bien si el tuyo es malo, ahora lo desarrollaremos un poco. Incluso jugar con los nervios requiere entrenamiento.

En el caso más general, cuando los números no son iguales a cero, el plano cruza los tres ejes de coordenadas. Por ejemplo, así:

Repito una vez más que el avión continúa indefinidamente en todas direcciones y tenemos la oportunidad de representar sólo una parte de él.

Consideremos las ecuaciones de planos más simples:

¿Cómo entender esta ecuación? Piénselo: “Z” SIEMPRE es igual a cero, para cualquier valor de “X” e “Y”. Ésta es la ecuación del plano de coordenadas "nativo". De hecho, formalmente la ecuación se puede reescribir de la siguiente manera: , de donde se puede ver claramente que no nos importa qué valores tomen “x” e “y”, es importante que “z” sea igual a cero.

Asimismo:
– ecuación del plano coordenado;
– ecuación del plano coordenado.

Compliquemos un poco el problema, consideremos un plano (aquí y más adelante en el párrafo asumimos que los coeficientes numéricos no son iguales a cero). Reescribamos la ecuación en la forma: . ¿Cómo entenderlo? "X" es SIEMPRE, para cualquier valor de "Y" y "Z", igual a un número determinado. Este plano es paralelo al plano coordenado. Por ejemplo, un plano es paralelo a un plano y pasa por un punto.

Asimismo:
– ecuación de un plano paralelo al plano coordenado;
– ecuación de un plano paralelo al plano coordenado.

Agreguemos miembros: . La ecuación se puede reescribir de la siguiente manera: , es decir, "zet" puede ser cualquier cosa. ¿Qué significa? "X" e "Y" están conectados por la relación, que dibuja una determinada línea recta en el plano (lo descubrirás ecuación de una recta en un plano?). Como “z” puede ser cualquier cosa, esta línea recta se “replica” a cualquier altura. Por tanto, la ecuación define un plano paralelo al eje de coordenadas.

Asimismo:
– ecuación de un plano paralelo al eje de coordenadas;
– ecuación de un plano paralelo al eje de coordenadas.

Si los términos libres son cero, entonces los planos pasarán directamente por los ejes correspondientes. Por ejemplo, la clásica “proporcionalidad directa”: . Dibuja una línea recta en el plano y multiplícala mentalmente hacia arriba y hacia abajo (ya que "Z" es cualquiera). Conclusión: el plano definido por la ecuación pasa por el eje de coordenadas.

Completamos el repaso: la ecuación del avión pasa por el origen. Bueno, aquí es bastante obvio que el punto satisface esta ecuación.

Y finalmente, el caso mostrado en el dibujo: – el plano es amigo de todos los ejes de coordenadas, mientras que siempre “corta” un triángulo, que puede ubicarse en cualquiera de los ocho octantes.

Desigualdades lineales en el espacio.

Para comprender la información es necesario estudiar bien. desigualdades lineales en el plano, porque muchas cosas serán similares. El párrafo será de carácter breve y resumido con varios ejemplos, ya que el material es bastante escaso en la práctica.

Si la ecuación define un plano, entonces las desigualdades
preguntar medios espacios. Si la desigualdad no es estricta (las dos últimas de la lista), entonces la solución de la desigualdad, además del semiespacio, también incluye el plano mismo.

Ejemplo 5

Encuentra el vector unitario normal del avión. .

Solución: Un vector unitario es un vector cuya longitud es uno. Denotemos este vector por . Está absolutamente claro que los vectores son colineales:

Primero, eliminamos el vector normal de la ecuación del plano: .

¿Cómo encontrar un vector unitario? Para encontrar el vector unitario, necesitas cada dividir la coordenada del vector por la longitud del vector.

Reescribamos el vector normal en la forma y encontremos su longitud:

Según lo anterior:

Respuesta:

Verificación: lo que se requería para ser verificado.

Los lectores que estudiaron detenidamente el último párrafo de la lección probablemente notaron que las coordenadas del vector unitario son exactamente los cosenos directores del vector:

Hagamos una pausa en el problema que nos ocupa: cuando te dan un vector arbitrario distinto de cero, y según la condición se requiere encontrar sus cosenos directores (ver los últimos problemas de la lección Producto escalar de vectores), entonces, de hecho, encuentras un vector unitario colineal a este. En realidad, dos tareas en una botella.

La necesidad de encontrar el vector normal unitario surge en algunos problemas de análisis matemático.

Hemos descubierto cómo extraer un vector normal, ahora respondamos la pregunta opuesta:

¿Cómo crear una ecuación de un plano usando un punto y un vector normal?

Esta construcción rígida de un vector normal y un punto es bien conocida por la diana. Estire la mano hacia adelante y seleccione mentalmente un punto arbitrario en el espacio, por ejemplo, un gato pequeño en el aparador. Evidentemente, a través de este punto puedes dibujar un único plano perpendicular a tu mano.

La ecuación de un plano que pasa por un punto perpendicular al vector se expresa mediante la fórmula:

Para obtener la ecuación general de un avión, analicemos el avión que pasa por un punto dado.

Que haya tres ejes de coordenadas que ya conocemos en el espacio: Buey, Oye Y Onz. Sostenga la hoja de papel para que quede plana. El plano será la propia hoja y su continuación en todas direcciones.

Dejar PAG plano arbitrario en el espacio. Todo vector perpendicular a él se llama vector normal a este avión. Naturalmente, estamos hablando de un vector distinto de cero.

Si se conoce algún punto del avión PAG y algún vector normal, entonces por estas dos condiciones el plano en el espacio está completamente definido(a través de un punto dado se puede dibujar un solo plano perpendicular al vector dado). La ecuación general del avión será:

Entonces, las condiciones que definen la ecuación del plano son. para conseguirte a ti mismo ecuación plana, teniendo la forma anterior, toma el avión. PAG arbitrario punto METRO con coordenadas variables X, y, z. Este punto pertenece al avión sólo si vector perpendicular al vector(Figura 1). Para ello, según la condición de perpendicularidad de los vectores, es necesario y suficiente que el producto escalar de estos vectores sea igual a cero, es decir

El vector se especifica por condición. Encontramos las coordenadas del vector usando la fórmula. :

.

Ahora, usando la fórmula del producto escalar de vectores , expresamos el producto escalar en forma de coordenadas:

Desde el punto M(x; y; z) se elige arbitrariamente en el plano, entonces la última ecuación se satisface con las coordenadas de cualquier punto que se encuentre en el plano PAG. por un punto norte, no acostado en un plano determinado, es decir Se viola la igualdad (1).

Ejemplo 1. Escribe una ecuación para un plano que pasa por un punto y es perpendicular al vector.

Solución. Usemos la fórmula (1) y veámosla nuevamente:

En esta fórmula los números A , B Y C coordenadas vectoriales y números X0 , y0 Y z0 - coordenadas del punto.

Los cálculos son muy simples: sustituimos estos números en la fórmula y obtenemos

Multiplicamos todo lo que hay que multiplicar y sumamos solo números (que no tienen letras). Resultado:

.

La ecuación requerida del plano en este ejemplo resultó estar expresada por una ecuación general de primer grado con respecto a coordenadas variables. x, y, z punto arbitrario del plano.

Entonces, una ecuación de la forma

llamado ecuación del plano general .

Ejemplo 2. Construya en un sistema de coordenadas cartesiano rectangular un plano dado por la ecuación .

Solución. Para construir un plano, es necesario y suficiente conocer tres de sus puntos que no se encuentran en la misma línea recta, por ejemplo, los puntos de intersección del plano con los ejes de coordenadas.

¿Cómo encontrar estos puntos? Para encontrar el punto de intersección con el eje. Onz, debes sustituir ceros por X e Y en la ecuación dada en el enunciado del problema: X = y= 0 . Por lo tanto obtenemos z= 6. Por tanto, el plano dado corta al eje Onz en el punto A(0; 0; 6) .

De la misma forma encontramos el punto de intersección del plano con el eje. Oye. En X = z= 0 obtenemos y= −3, es decir, el punto B(0; −3; 0) .

Y finalmente encontramos el punto de intersección de nuestro plano con el eje. Buey. En y = z= 0 obtenemos X= 2, es decir, un punto C(2; 0; 0) . Basado en los tres puntos obtenidos en nuestra solución. A(0; 0; 6) , B(0; −3; 0) y C(2; 0; 0) construye el plano dado.

Consideremos ahora casos especiales de la ecuación del plano general. Estos son casos en los que ciertos coeficientes de la ecuación (2) se vuelven cero.

1. cuando D= 0 ecuación define un plano que pasa por el origen, ya que las coordenadas del punto 0 (0; 0; 0) satisfacen esta ecuación.

2. cuando A= 0 ecuación define un plano paralelo al eje Buey, ya que el vector normal de este plano es perpendicular al eje Buey(su proyección sobre el eje Buey igual a cero). De manera similar, cuando B= 0 avión paralelo al eje Oye, y cuando C= 0 avión paralelo al eje Onz.

3. Cuando A=D= 0 ecuación define un plano que pasa por el eje Buey, ya que es paralelo al eje Buey (A=D= 0). De manera similar, el avión pasa por el eje. Oye, y el plano que pasa por el eje Onz.

4. Cuando A=B= 0 ecuación define un plano paralelo al plano coordenado xoy, ya que es paralelo a los ejes Buey (A= 0) y Oye (B= 0). De manera similar, el plano es paralelo al plano. yOz, y el avión es el avión xoz.

5. cuando A=B=D= 0 ecuación (o z = 0) define el plano de coordenadas xoy, ya que es paralelo al plano xoy (A=B= 0) y pasa por el origen ( D= 0). Asimismo, la Ec. y = 0 en el espacio define el plano de coordenadas xoz, y la ecuación x = 0 - plano de coordenadas yOz.

Ejemplo 3. Crea una ecuación del avión. PAG, pasando por el eje Oye y punto.

Solución. Entonces el avión pasa por el eje. Oye. Por lo tanto, en su ecuación y= 0 y esta ecuación tiene la forma . Para determinar los coeficientes. A Y C aprovechemos que el punto pertenece al avión PAG .

Por tanto, entre sus coordenadas se encuentran aquellas que se pueden sustituir en la ecuación plana que ya hemos derivado (). Miremos nuevamente las coordenadas del punto:

METRO0 (2; −4; 3) .

Entre ellos X = 2 , z= 3 . Los sustituimos en la ecuación general y obtenemos la ecuación para nuestro caso particular:

2A + 3C = 0 .

dejar 2 A en el lado izquierdo de la ecuación, mueve 3 C hacia el lado derecho y obtenemos

A = −1,5C .

Sustituyendo el valor encontrado A en la ecuación, obtenemos

o .

Esta es la ecuación requerida en la condición de ejemplo.

Resuelve el problema de la ecuación del plano tú mismo y luego mira la solución.

Ejemplo 4. Defina un plano (o planos, si hay más de uno) con respecto a los ejes de coordenadas o planos de coordenadas si los planos están dados por la ecuación.

Las soluciones a los problemas típicos que surgen durante las pruebas se encuentran en el libro de texto "Problemas en un plano: paralelismo, perpendicularidad, intersección de tres planos en un punto".

Ecuación de un plano que pasa por tres puntos.

Como ya se mencionó, una condición necesaria y suficiente para construir un plano, además de un punto y el vector normal, son también tres puntos que no se encuentran en la misma recta.

Sean dados tres puntos diferentes , y , que no están en la misma recta. Dado que los tres puntos indicados no se encuentran en la misma recta, los vectores no son colineales y, por lo tanto, cualquier punto en el plano se encuentra en el mismo plano que los puntos, y si y solo si los vectores , y coplanar, es decir entonces y sólo cuando producto mixto de estos vectores es igual a cero.

Usando la expresión del producto mixto en coordenadas, obtenemos la ecuación del plano

(3)

Después de revelar el determinante, esta ecuación se convierte en una ecuación de la forma (2), es decir ecuación general del avión.

Ejemplo 5. Escribe una ecuación para un avión que pasa por tres puntos dados que no se encuentran en la misma línea recta:

y determinar un caso especial de la ecuación general de una recta, si ocurre.

Solución. Según la fórmula (3) tenemos:

Ecuación del plano normal. Distancia de un punto a un plano

La ecuación normal de un avión es su ecuación, escrita en la forma

Este artículo da una idea de cómo crear una ecuación para un plano que pasa por un punto determinado en el espacio tridimensional perpendicular a una línea determinada. Analicemos el algoritmo dado usando el ejemplo de resolución de problemas típicos.

Encontrar la ecuación de un plano que pasa por un punto dado en el espacio perpendicular a una línea dada

Sea en él un espacio tridimensional y un sistema de coordenadas rectangular O x y z. También se dan el punto M 1 (x 1, y 1, z 1), la línea a y el plano α que pasa por el punto M 1 perpendicular a la línea a. Es necesario anotar la ecuación del plano α.

Antes de comenzar a resolver este problema, recordemos el teorema de geometría del programa de estudios para los grados 10-11, que dice:

Definición 1

Por un punto dado en el espacio tridimensional pasa un solo plano perpendicular a una línea recta dada.

Ahora veamos cómo encontrar la ecuación de este único plano que pasa por el punto inicial y es perpendicular a la línea dada.

Es posible escribir la ecuación general de un plano si se conocen las coordenadas de un punto perteneciente a ese plano, así como las coordenadas del vector normal del plano.

Las condiciones del problema nos dan las coordenadas x 1, y 1, z 1 del punto M 1 por el que pasa el plano α. Si determinamos las coordenadas del vector normal del plano α, podremos escribir la ecuación requerida.

El vector normal del plano α, dado que es distinto de cero y se encuentra en la recta a, perpendicular al plano α, será cualquier vector director de la recta a. Así, el problema de encontrar las coordenadas del vector normal del plano α se transforma en el problema de determinar las coordenadas del vector director de la recta a.

La determinación de las coordenadas del vector director de la recta a se puede realizar mediante diferentes métodos: depende de la opción de especificar la recta a en las condiciones iniciales. Por ejemplo, si la línea recta a en el enunciado del problema está dada por ecuaciones canónicas de la forma

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

o ecuaciones paramétricas de la forma:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

entonces el vector director de la recta tendrá coordenadas ax, ay y az. En el caso de que la línea recta a esté representada por dos puntos M 2 (x 2, y 2, z 2) y M 3 (x 3, y 3, z 3), las coordenadas del vector director se determinarán como ( x3 – x2, y3 – y2, z3 – z2).

Definición 2

Algoritmo para encontrar la ecuación de un plano que pasa por un punto dado perpendicular a una recta dada:

Determinamos las coordenadas del vector director de la recta a: a → = (a x, a y, a z) ;

Definimos las coordenadas del vector normal del plano α como las coordenadas del vector director de la recta a:

norte → = (A, B, C), donde A = a x , B = a y , C = a z;

Escribimos la ecuación del plano que pasa por el punto M 1 (x 1, y 1, z 1) y que tiene un vector normal. norte → = (A, B, C) en la forma A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0. Esta será la ecuación requerida de un plano que pasa por un punto dado en el espacio y es perpendicular a una línea dada.

La ecuación general resultante del avión es: A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 permite obtener la ecuación del plano en segmentos o la ecuación normal del plano.

Resolvamos varios ejemplos usando el algoritmo obtenido anteriormente.

Ejemplo 1

Se da un punto M 1 (3, - 4, 5), por el cual pasa el avión, y este plano es perpendicular a la línea de coordenadas O z.

Solución

el vector de dirección de la línea de coordenadas O z será el vector de coordenadas k ⇀ = (0, 0, 1). Por tanto, el vector normal del plano tiene coordenadas (0, 0, 1). Escribamos la ecuación de un plano que pasa por un punto dado M 1 (3, - 4, 5), cuyo vector normal tiene coordenadas (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Respuesta: z – 5 = 0 .

Consideremos otra forma de resolver este problema:

Ejemplo 2

Un plano que es perpendicular a la recta O z estará dado por una ecuación plana general incompleta de la forma C z + D = 0, C ≠ 0. Determinemos los valores de C y D: aquellos en los que el avión pasa por un punto determinado. Sustituimos las coordenadas de este punto en la ecuación C z + D = 0, obtenemos: C · 5 + D = 0. Aquellos. Los números C y D están relacionados por la relación - D C = 5. Tomando C = 1, obtenemos D = - 5.

Sustituyamos estos valores en la ecuación C z + D = 0 y obtengamos la ecuación requerida de un plano perpendicular a la recta O z y que pasa por el punto M 1 (3, - 4, 5).

Se verá así: z – 5 = 0.

Respuesta: z – 5 = 0 .

Ejemplo 3

Escribe una ecuación para un plano que pasa por el origen y es perpendicular a la recta x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Solución

Con base en las condiciones del problema, se puede argumentar que el vector director de una línea recta dada puede tomarse como el vector normal n → de un plano dado. Así: n → = (- 3 , - 7 , 2 ) . Escribamos la ecuación de un plano que pasa por el punto O (0, 0, 0) y tiene un vector normal n → = (- 3, - 7, 2):

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Hemos obtenido la ecuación requerida de un plano que pasa por el origen de coordenadas perpendicular a una recta dada.

Respuesta:- 3 x - 7 y + 2 z = 0

Ejemplo 4

Se da un sistema de coordenadas rectangular O x y z en un espacio tridimensional, en él hay dos puntos A (2, - 1, - 2) y B (3, - 2, 4). El plano α pasa por el punto A perpendicular a la recta A B. Es necesario crear una ecuación para el plano α en segmentos.

Solución

El plano α es perpendicular a la recta A B, entonces el vector A B → será el vector normal del plano α. Las coordenadas de este vector se definen como la diferencia entre las coordenadas correspondientes de los puntos B (3, - 2, 4) y A (2, - 1, - 2):

A B → = (3 - 2, - 2 - (- 1), 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1, - 1, 6)

La ecuación general del avión se escribirá de la siguiente manera:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Ahora compongamos la ecuación requerida del plano en segmentos:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Respuesta:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

También cabe señalar que existen problemas cuyo requisito es escribir una ecuación de un plano que pasa por un punto determinado y es perpendicular a dos planos determinados. En general, la solución a este problema es construir una ecuación para un plano que pasa por un punto dado perpendicular a una recta dada, porque dos planos que se cruzan definen una línea recta.

Ejemplo 5

Se da un sistema de coordenadas rectangular O x y z, en él hay un punto M 1 (2, 0, - 5). También se dan las ecuaciones de dos planos 3 x + 2 y + 1 = 0 y x + 2 z – 1 = 0, que se cortan a lo largo de la recta a. Es necesario crear una ecuación para un plano que pasa por el punto M 1 perpendicular a la recta a.

Solución

Determinemos las coordenadas del vector director de la recta a. Es perpendicular tanto al vector normal n 1 → (3, 2, 0) del plano n → (1, 0, 2) como al vector normal 3 x + 2 y + 1 = 0 del x + 2 z - 1 = 0 avión.

Luego, como vector director α → línea a, tomamos el producto vectorial de los vectores n 1 → y n 2 →:

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Así, el vector n → = (4, - 6, - 2) será el vector normal del plano perpendicular a la recta a. Escribamos la ecuación requerida del avión:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Respuesta: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

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Propiedades de una línea recta en geometría euclidiana.

Por cualquier punto se puede trazar un número infinito de rectas.

A través de dos puntos cualesquiera que no coincidan se puede trazar una sola línea recta.

Dos rectas divergentes en un plano se cortan en un solo punto o están

paralelo (sigue del anterior).

En el espacio tridimensional, hay tres opciones para la posición relativa de dos líneas:

• las líneas se cruzan;

• las líneas son paralelas;

• las líneas rectas se cruzan.

Derecho línea— curva algebraica de primer orden: una línea recta en el sistema de coordenadas cartesiano

está dada en el plano por una ecuación de primer grado ( ecuación lineal).

Ecuación general de una recta.

Definición. Cualquier línea recta en el plano se puede especificar mediante una ecuación de primer orden.

Hacha + Wu + C = 0,

y constante A, B no son iguales a cero al mismo tiempo. Esta ecuación de primer orden se llama general

ecuación de una recta. Dependiendo de los valores de las constantes. A, B Y CON Son posibles los siguientes casos especiales:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- una recta pasa por el origen

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Por + C = 0)- línea recta paralela al eje Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- línea recta paralela al eje UNED

. B = C = 0, A ≠0- la recta coincide con el eje UNED

. A = C = 0, B≠0- la recta coincide con el eje Oh

La ecuación de una línea recta se puede presentar de diferentes formas dependiendo de un determinado

condiciones iniciales.

Ecuación de una recta a partir de un punto y un vector normal.

Definición. En un sistema de coordenadas rectangular cartesiano vector con componentes (A, B)

perpendicular a la recta dada por la ecuación

Hacha + Wu + C = 0.

Ejemplo. Encuentra la ecuación de una recta que pasa por un punto. A(1, 2) perpendicular al vector (3, -1).

Solución. Con A = 3 y B = -1, compongamos la ecuación de la recta: 3x - y + C = 0. Para encontrar el coeficiente C

Sustituyamos las coordenadas del punto A dado en la expresión resultante. Obtenemos: 3 - 2 + C = 0, por lo tanto.

C = -1. Total: la ecuación requerida: 3x - y - 1 = 0.

Ecuación de una recta que pasa por dos puntos.

Sean dos puntos en el espacio. M1 (x1, y1, z1) Y M2 (x 2, y 2, z 2), Entonces ecuación de una recta,

pasando por estos puntos:

Si alguno de los denominadores es cero, el numerador correspondiente debe ser igual a cero. En

plano, la ecuación de la recta escrita arriba se simplifica:

Si x 1 ≠ x 2 Y x = x 1, Si x1 = x2 .

Fracción =k llamado pendiente derecho.

Ejemplo. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(3, 4).

Solución. Aplicando la fórmula escrita arriba, obtenemos:

Ecuación de una recta utilizando un punto y una pendiente.

Si la ecuación general de la recta Hacha + Wu + C = 0 Conducir a:

y designar , entonces la ecuación resultante se llama

ecuación de una recta con pendiente k.

Ecuación de una recta a partir de un punto y un vector director.

Por analogía con el punto considerando la ecuación de una línea recta que pasa por un vector normal, puedes ingresar a la tarea

una línea recta que pasa por un punto y un vector director de una línea recta.

Definición. Cada vector distinto de cero (α1,α2), cuyos componentes satisfacen la condición

Aα 1 + Bα 2 = 0 llamado vector director de una línea recta.

Hacha + Wu + C = 0.

Ejemplo. Encuentra la ecuación de una recta con un vector director (1, -1) y que pasa por el punto A(1, 2).

Solución. Buscaremos la ecuación de la recta deseada en la forma: Hacha + Por + C = 0. Según la definición,

Los coeficientes deben cumplir las siguientes condiciones:

1 * A + (-1) * B = 0, es decir A = B.

Entonces la ecuación de la recta tiene la forma: Hacha + Ay + C = 0, o x + y + C/A = 0.

en x = 1, y = 2 obtenemos C/A = -3, es decir. ecuación requerida:

x + y - 3 = 0

Ecuación de una recta en segmentos.

Si en la ecuación general de la línea recta Ах + Ву + С = 0 С≠0, entonces, dividiendo por -С, obtenemos:

o donde

El significado geométrico de los coeficientes es que el coeficiente a es la coordenada del punto de intersección

recto con eje Oh, A b- coordenada del punto de intersección de la línea con el eje UNED.

Ejemplo. La ecuación general de una línea recta está dada. x - y + 1 = 0. Encuentra la ecuación de esta recta en segmentos.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Ecuación normal de una recta.

Si ambos lados de la ecuación Hacha + Wu + C = 0 dividir por número Lo que es llamado

factor de normalización, entonces obtenemos

xcosφ + ysinφ - p = 0 -ecuación normal de una recta.

El signo ± del factor de normalización debe elegirse de modo que µ*C< 0.

R- la longitud de la perpendicular caída desde el origen hasta la línea recta,

A φ - el ángulo formado por esta perpendicular con la dirección positiva del eje Oh.

Ejemplo. La ecuación general de la recta está dada. 12x - 5y - 65 = 0. Requerido para escribir diferentes tipos de ecuaciones.

esta línea recta.

La ecuación de esta recta en segmentos.:

La ecuación de esta recta con la pendiente.: (dividir por 5)

Ecuación de una recta:

porque φ = 12/13; pecado φ= -5/13; pag = 5.

Cabe señalar que no todas las líneas rectas se pueden representar mediante una ecuación en segmentos, por ejemplo, líneas rectas,

paralelo a los ejes o pasando por el origen.

El ángulo entre líneas rectas en un plano.

Definición. Si se dan dos líneas y = k 1 x + segundo 1 , y = k 2 x + segundo 2, entonces el ángulo agudo entre estas líneas

se definirá como

Dos rectas son paralelas si k 1 = k 2. Dos rectas son perpendiculares

Si k 1 = -1/ k 2 .

Teorema.

Directo Hacha + Wu + C = 0 Y A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 paralelo cuando los coeficientes son proporcionales

A 1 = λA, B 1 = λB. si también С 1 = λС, entonces las líneas coinciden. Coordenadas del punto de intersección de dos rectas.

se encuentran como solución al sistema de ecuaciones de estas rectas.

La ecuación de una recta que pasa por un punto dado perpendicular a una recta dada.

Definición. Línea que pasa por un punto. M1 (x1, y1) y perpendicular a la recta y = kx + b

representado por la ecuación:

Distancia de un punto a una recta.

Teorema. Si se da un punto M(x 0, y 0), entonces la distancia a la recta Hacha + Wu + C = 0 definido como:

Prueba. deja el punto M1 (x1, y1)- la base de una perpendicular caída desde un punto METRO para una dada

directo. Entonces la distancia entre puntos METRO Y m 1:

(1)

Coordenadas x1 Y a la 1 se puede encontrar como solución al sistema de ecuaciones:

La segunda ecuación del sistema es la ecuación de una línea recta que pasa por un punto dado M 0 perpendicularmente

línea recta dada. Si transformamos la primera ecuación del sistema a la forma:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Por 0 + C = 0,

luego resolviendo obtenemos:

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación (1), encontramos:

El teorema ha sido demostrado.