Ecuaciones con parámetros de examen, ejemplos de soluciones gráficamente. Problemas con un parámetro (solución gráfica) Introducción

A tareas con parámetro Esto puede incluir, por ejemplo, la búsqueda de soluciones a ecuaciones lineales y cuadráticas en forma general, el estudio de la ecuación para el número de raíces disponibles dependiendo del valor del parámetro.

Sin dar definiciones detalladas, considere las siguientes ecuaciones como ejemplos:

y = kx, donde x, y son variables, k es un parámetro;

y = kx + b, donde x, y son variables, k y b son parámetros;

ax 2 + bx + c = 0, donde x son variables, a, byc son un parámetro.

Resolver una ecuación (desigualdad, sistema) con un parámetro significa, por regla general, resolver un conjunto infinito de ecuaciones (desigualdades, sistemas).

Las tareas con un parámetro se pueden dividir en dos tipos:

A) la condición dice: resuelva la ecuación (desigualdad, sistema); esto significa, para todos los valores del parámetro, encuentre todas las soluciones. Si al menos un caso queda sin investigar, dicha solución no puede considerarse satisfactoria.

b) es necesario indicar los posibles valores del parámetro en el que la ecuación (desigualdad, sistema) tiene ciertas propiedades. Por ejemplo, tiene una solución, no tiene soluciones, tiene soluciones que pertenecen al intervalo, etc. En tales tareas, es necesario indicar claramente en qué valor del parámetro se cumple la condición requerida.

El parámetro, al ser un número fijo desconocido, tiene una especie de dualidad especial. En primer lugar, es necesario tener en cuenta que la supuesta popularidad indica que el parámetro debe percibirse como un número. En segundo lugar, la libertad de manipular el parámetro está limitada por su oscuridad. Por ejemplo, las operaciones de dividir por una expresión que contiene un parámetro o extraer la raíz de un grado par de dicha expresión requieren una investigación preliminar. Por lo tanto, se requiere cuidado al manipular el parámetro.

Por ejemplo, para comparar dos números -6a y 3a, debes considerar tres casos:

1) -6a será mayor que 3a si a es un número negativo;

2) -6a = 3a en el caso de que a = 0;

3) -6a será menor que 3a si a es un número positivo 0.

La solución será la respuesta.

Sea la ecuación kx = b. Esta ecuación es una forma abreviada de un número infinito de ecuaciones con una variable.

Al resolver tales ecuaciones puede haber casos:

1. Sea k cualquier número real distinto de cero y b sea cualquier número de R, entonces x = b/k.

2. Sean k = 0 y b ≠ 0, la ecuación original tomará la forma 0 x = b. Obviamente, esta ecuación no tiene soluciones.

3. Sean k y b números iguales a cero, entonces tenemos la igualdad 0 x = 0. Su solución es cualquier número real.

Un algoritmo para resolver este tipo de ecuación:

1. Determine los valores de "control" del parámetro.

2. Resuelva la ecuación original para x para los valores de los parámetros que se determinaron en el primer párrafo.

3. Resuelva la ecuación original para x para valores de parámetros diferentes a los elegidos en el primer párrafo.

4. Puedes escribir la respuesta de la siguiente forma:

1) para... (valores de parámetros), la ecuación tiene raíces...;

2) para... (valores de los parámetros), no hay raíces en la ecuación.

Ejemplo 1.

Resuelve la ecuación con el parámetro |6 – x| = a.

Solución.

Es fácil ver que aquí a ≥ 0.

Según la regla del módulo 6 – x = ±a, expresamos x:

Respuesta: x = 6 ± a, donde a ≥ 0.

Ejemplo 2.

Resuelve la ecuación a(x – 1) + 2(x – 1) = 0 con respecto a la variable x.

Solución.

Abramos los corchetes: aх – а + 2х – 2 = 0

Escribamos la ecuación en forma estándar: x(a + 2) = a + 2.

Si la expresión a + 2 no es cero, es decir, si a ≠ -2, tenemos la solución x = (a + 2) / (a ​​+ 2), es decir x = 1.

Si a + 2 es igual a cero, es decir a = -2, entonces tenemos la igualdad correcta 0 x = 0, entonces x es cualquier número real.

Respuesta: x = 1 para a ≠ -2 y x € R para a = -2.

Ejemplo 3.

Resuelve la ecuación x/a + 1 = a + x con respecto a la variable x.

Solución.

Si a = 0, entonces transformamos la ecuación a la forma a + x = a 2 + ax o (a – 1)x = -a(a – 1). La última ecuación para a = 1 tiene la forma 0 x = 0, por lo tanto x es cualquier número.

Si a ≠ 1, entonces la última ecuación tomará la forma x = -a.

Esta solución se puede ilustrar en la línea de coordenadas. (Figura 1)

Respuesta: no hay soluciones para a = 0; x – cualquier número con a = 1; x = -a para a ≠ 0 y a ≠ 1.

Método gráfico

Consideremos otra forma de resolver ecuaciones con un parámetro: gráficamente. Este método se utiliza con bastante frecuencia.

Ejemplo 4.

Dependiendo del parámetro a, ¿cuántas raíces tiene la ecuación ||x| – 2| = un?

Solución.

Para resolver usando el método gráfico, construimos gráficas de las funciones y = ||x| – 2| y y = a (Figura 2).

El dibujo muestra claramente posibles casos de ubicación de la recta y = a y el número de raíces en cada uno de ellos.

Respuesta: la ecuación no tendrá raíces si< 0; два корня будет в случае, если a >2 y a = 0; la ecuación tendrá tres raíces en el caso de a = 2; cuatro raíces – en 0< a < 2.

Ejemplo 5.

¿A qué a la ecuación 2|x| + |x – 1| = a tiene una sola raíz?

Solución.

Representemos las gráficas de las funciones y = 2|x| + |x – 1| y y = a. Para y = 2|x| + |x – 1|, ampliando los módulos mediante el método de intervalos, obtenemos:

(-3x + 1, en x< 0,

y = (x + 1, para 0 ≤ x ≤ 1,

(3x – 1, para x > 1.

En figura 3 Se ve claramente que la ecuación tendrá una sola raíz sólo cuando a = 1.

Respuesta: a = 1.

Ejemplo 6.

Determine el número de soluciones de la ecuación |x + 1| + |x + 2| = a dependiendo del parámetro a?

Solución.

Gráfica de la función y = |x + 1| + |x + 2| será una línea discontinua. Sus vértices estarán ubicados en los puntos (-2; 1) y (-1; 1) (Figura 4).

Respuesta: si el parámetro a es menor que uno, entonces la ecuación no tendrá raíces; si a = 1, entonces la solución de la ecuación es un conjunto infinito de números del intervalo [-2; -1]; si los valores del parámetro a son mayores que uno, entonces la ecuación tendrá dos raíces.

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Olga Otdelkina, estudiante de noveno grado

Este tema es una parte integral del curso de álgebra escolar. El propósito de este trabajo es estudiar este tema con más profundidad, para identificar la solución más racional que conduzca rápidamente a una respuesta. Este ensayo ayudará a otros estudiantes a comprender el uso del método gráfico para la resolución de ecuaciones con parámetros, conocer el origen y desarrollo de este método.

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Avance:

Introducción2

Capítulo 1. Ecuaciones con un parámetro.

Historia del surgimiento de ecuaciones con parámetro3.

Teorema de Vieta4

Conceptos básicos5

Capítulo 2. Tipos de ecuaciones con parámetros.

Ecuaciones lineales6

Ecuaciones cuadráticas………………………………………………………………...7

Capítulo 3. Métodos para resolver ecuaciones con un parámetro.

Método analítico….…………………………………………...8

Método gráfico. Historia de origen….…………………………9

Algoritmo de solución por método gráfico..……………….....……………….10

Solución de la ecuación con módulo………………...……………………………….11

Parte práctica……………………...……………………………………12

Conclusión……………………………………………………………………………….19

Referencias………………………………………………………………20

Introducción.

Elegí este tema porque es una parte integral del curso de álgebra escolar. Al preparar este trabajo, me propuse el objetivo de un estudio más profundo de este tema, identificando la solución más racional que conduzca rápidamente a una respuesta. Mi ensayo ayudará a otros estudiantes a comprender el uso del método gráfico para la resolución de ecuaciones con parámetros, conocer el origen y desarrollo de este método.

En la vida moderna, el estudio de muchos procesos físicos y patrones geométricos a menudo conduce a la resolución de problemas con parámetros.

Para resolver este tipo de ecuaciones, el método gráfico es muy eficaz cuando es necesario determinar cuántas raíces tiene la ecuación en función del parámetro α.

Los problemas con parámetros tienen un interés puramente matemático, contribuyen al desarrollo intelectual de los estudiantes y sirven como un buen material para practicar habilidades. Tienen valor diagnóstico, ya que pueden utilizarse para evaluar el conocimiento de las principales ramas de las matemáticas, el nivel de pensamiento matemático y lógico, las habilidades de investigación iniciales y las oportunidades prometedoras para dominar con éxito un curso de matemáticas en instituciones de educación superior.

Mi ensayo analiza los tipos de ecuaciones que se encuentran con frecuencia y espero que el conocimiento que adquirí en el proceso de trabajo me ayude a aprobar los exámenes escolares, porqueecuaciones con parámetrosSe consideran, con razón, uno de los problemas más difíciles de las matemáticas escolares. Son precisamente estas tareas las que están incluidas en la lista de tareas del Examen Estatal Unificado.

Historia del surgimiento de ecuaciones con parámetro.

Los problemas relacionados con las ecuaciones con un parámetro ya se encontraron en el tratado astronómico "Aryabhattiam", compilado en 499 por el matemático y astrónomo indio Aryabhatta. Otro científico indio, Brahmagupta (siglo VII), esbozó una regla general para resolver ecuaciones cuadráticas reducidas a una única forma canónica:

αх 2 + bx = c, α>0

Los coeficientes de la ecuación, excepto el parámetro., también puede ser negativo.

Ecuaciones cuadráticas de al-Khwarizmi.

El tratado algebraico de Al-Khorezmi ofrece una clasificación de ecuaciones lineales y cuadráticas con parámetro a. El autor cuenta 6 tipos de ecuaciones, expresándolas de la siguiente manera:

1) “Los cuadrados son iguales a las raíces”, es decir, αx 2 = bx.

2) “Los cuadrados son iguales a los números”, es decir, αx 2 = c.

3) “Las raíces son iguales al número”, es decir, αx = c.

4) “Los cuadrados y los números son iguales a las raíces”, es decir, αx 2 + c = bx.

5) “Los cuadrados y las raíces son iguales al número”, es decir αx 2 + bx = c.

6) “Las raíces y los números son iguales a los cuadrados”, es decir, bx + c = αx 2 .

Las fórmulas para resolver ecuaciones cuadráticas según al-Khwarizmi en Europa se establecieron por primera vez en el "Libro del Ábaco", escrito en 1202 por el matemático italiano Leonardo Fibonacci.

La derivación de la fórmula para resolver una ecuación cuadrática con un parámetro en forma general está disponible en Vieta, pero Vieta solo reconoció raíces positivas. Los matemáticos italianos Tartaglia, Cardano, Bombelli estuvieron entre los primeros en el siglo XII. Además de las positivas, también se tienen en cuenta las raíces negativas. Sólo en el siglo XVII. Gracias a los trabajos de Girard, Descartes, Newton y otros científicos, el método de resolución de ecuaciones cuadráticas adquirió su forma moderna.

teorema de vieta

El teorema que expresa la relación entre los parámetros, coeficientes de una ecuación cuadrática y sus raíces, que lleva el nombre de Vieta, fue formulado por primera vez por él en 1591. De la siguiente manera: “Si b + d multiplicado por α menos α 2 , es igual a bc, entonces α es igual a b e igual a d”.

Para entender a Vieta, debemos recordar que α, como cualquier letra vocal, significaba lo desconocido (nuestra x), mientras que las vocales b, d son coeficientes de lo desconocido. En el lenguaje del álgebra moderna, la formulación de Vieta anterior significa:

Si hay

(α + b)x - x 2 = αb,

Es decir, x 2 - (α -b)x + αb =0,

entonces x 1 = α, x 2 = b.

Al expresar la relación entre las raíces y los coeficientes de las ecuaciones mediante fórmulas generales escritas mediante símbolos, Vieta estableció uniformidad en los métodos para resolver ecuaciones. Sin embargo, el simbolismo vietnamita aún está lejos de su forma moderna. No reconocía los números negativos y por eso, al resolver ecuaciones, consideraba sólo los casos en los que todas las raíces eran positivas.

Conceptos básicos

Parámetro - una variable independiente, cuyo valor se considera un número fijo o arbitrario, o un número perteneciente al intervalo especificado por la condición del problema.

Ecuación con parámetro- matemáticola ecuacion, cuya apariencia y solución depende de los valores de uno o más parámetros.

Decidir ecuación con medias de parámetros para cada valorencuentre los valores de x que satisfacen esta ecuación, y también:

1. 1. Investigar en qué valores de parámetros tiene raíces la ecuación y cuántas hay para diferentes valores de parámetros.
2. 2. Encuentre todas las expresiones para las raíces e indique para cada una de ellas los valores de los parámetros en los que esta expresión realmente determina la raíz de la ecuación.

Considere la ecuación α(x+k)= α +c, donde α, c, k, x son cantidades variables.

Sistema valores aceptables variables α, c, k, xes cualquier sistema de valores de variables en el que tanto el lado izquierdo como el derecho de esta ecuación toman valores reales.

Sea A el conjunto de todos los valores admisibles de α, K el conjunto de todos los valores admisibles de k, X el conjunto de todos los valores admisibles de x, C el conjunto de todos los valores admisibles de c. Si para cada uno de los conjuntos A, K, C, X seleccionamos y fijamos, respectivamente, un valor α, k, c, y los sustituimos en la ecuación, entonces obtenemos una ecuación para x, es decir ecuación con una incógnita.

Las variables α, k, c, que se consideran constantes al resolver una ecuación, se denominan parámetros, y la ecuación en sí se denomina ecuación que contiene parámetros.

Los parámetros se indican con las primeras letras del alfabeto latino: α, b, c, d, ..., k, l, m, n, y las incógnitas se indican con las letras x, y, z.

Dos ecuaciones que contienen los mismos parámetros se llaman equivalente si:

a) tienen sentido para los mismos valores de parámetros;

b) toda solución de la primera ecuación es una solución de la segunda y viceversa.

Tipos de ecuaciones con parámetros.

Las ecuaciones con parámetros son: lineal y cuadrado.

1) Ecuación lineal. Forma general:

α x = b, donde x es desconocido;α, b - parámetros.

Para esta ecuación, el valor especial o de control del parámetro es aquel en el que el coeficiente de la incógnita se vuelve cero.

Al resolver una ecuación lineal con un parámetro, se consideran casos en los que el parámetro es igual a su valor especial y diferente de él.

Un valor especial del parámetro α es el valorα = 0.

1.Si, y ≠0, entonces para cualquier par de parámetrosα yb tiene una solución única x = .

2.Si, y =0, entonces la ecuación toma la forma:0 x = segundo . En este caso el valor b = 0 es un valor de parámetro especial b.

2.1. en b ≠ 0 la ecuación no tiene soluciones.

2.2. en b =0 la ecuación tomará la forma:0 x = 0.

La solución de esta ecuación es cualquier número real.

Ecuación cuadrática con parámetro.

Forma general:

α x 2 + bx + c = 0

donde parámetro α ≠0, b y c - números arbitrarios

Si α =1, entonces la ecuación se llama ecuación cuadrática reducida.

Las raíces de una ecuación cuadrática se encuentran usando las fórmulas.

Expresión D = b 2 - 4 α c se llama discriminante.

1. Si D > 0, la ecuación tiene dos raíces diferentes.

2. Si D< 0 — уравнение не имеет корней.

3. Si D = 0, la ecuación tiene dos raíces iguales.

Métodos para resolver ecuaciones con un parámetro:

1. Analítico: un método de solución directa que repite procedimientos estándar para encontrar la respuesta en una ecuación sin parámetros.
2. Gráfico: dependiendo de las condiciones del problema, se considera la posición de la gráfica de la función cuadrática correspondiente en el sistema de coordenadas.

Método analítico

Algoritmo de solución:

1. Antes de comenzar a resolver un problema con parámetros utilizando el método analítico, es necesario comprender la situación de un valor numérico específico del parámetro. Por ejemplo, tome el valor del parámetro α =1 y responda la pregunta: ¿es el valor del parámetro α =1 requerido para esta tarea?

Ejemplo 1. Resolver relativamente X ecuación lineal con parámetro m:

Según el significado del problema (m-1)(x+3) = 0, es decir, m= 1, x = -3.

Multiplicando ambos lados de la ecuación por (m-1)(x+3), obtenemos la ecuación

Obtenemos

Por tanto, en m= 2,25.

Ahora necesitamos verificar si hay valores de m para los cuales

el valor de x encontrado es -3.

Al resolver esta ecuación, encontramos que x es igual a -3 con m = -0,4.

Respuesta: con m=1, m =2,25.

Método gráfico. Historia de origen

El estudio de las dependencias comunes se inició en el siglo XIV. La ciencia medieval era escolástica. Con esta naturaleza, no quedaba lugar para el estudio de las dependencias cuantitativas; se trataba únicamente de las cualidades de los objetos y sus conexiones entre sí. Pero entre los escolásticos surgió una escuela que sostenía que las cualidades pueden ser más o menos intensas (la vestimenta de una persona que ha caído a un río está más mojada que la de alguien que acaba de quedar atrapado bajo la lluvia)

El científico francés Nikolai Oresme comenzó a representar la intensidad con la longitud de los segmentos. Cuando colocó estos segmentos perpendiculares a una determinada línea recta, sus extremos formaron una línea, a la que llamó “línea de intensidad” o “línea del borde superior” (oresme incluso estudió el gráfico de la dependencia funcional “planar”). ” y cualidades “físicas”, es decir, funciones, dependiendo de dos o tres variables.

El logro importante de Oresme fue su intento de clasificar los gráficos resultantes. Identificó tres tipos de cualidades: uniforme (con intensidad constante), uniforme-desigual (con una tasa constante de cambio de intensidad) y desigual-desigual (todos los demás), así como las propiedades características de las gráficas de tales cualidades.

Para crear un aparato matemático para estudiar gráficas de funciones, se necesitaba el concepto de variable. Este concepto fue introducido en la ciencia por el filósofo y matemático francés René Descartes (1596-1650). Fue Descartes quien presentó las ideas sobre la unidad del álgebra y la geometría y el papel de las variables; Descartes introdujo un segmento unitario fijo y comenzó a considerar las relaciones de otros segmentos con él.

Así, las gráficas de funciones durante todo el período de su existencia han pasado por una serie de transformaciones fundamentales que las llevaron a la forma a la que estamos acostumbrados. Cada etapa o etapa en el desarrollo de gráficas de funciones es una parte integral de la historia del álgebra y la geometría modernas.

El método gráfico para determinar el número de raíces de una ecuación en función del parámetro incluido en ella es más conveniente que el analítico.

Algoritmo de resolución por método gráfico.

Gráfica de una función - un conjunto de puntos en los queabscisason valores de argumento válidos, A ordenadas- valores correspondientesfunciones.

Algoritmo para resolver gráficamente ecuaciones con un parámetro:

1. Encuentra el dominio de definición de la ecuación.
2. expresamos α en función de x.
3. En el sistema de coordenadas construimos una gráfica de la función.α (x) para aquellos valores de x que están incluidos en el dominio de definición de esta ecuación.
4. Encontrar los puntos de intersección de una línea.α =с, con la gráfica de la función

α(x). Si la recta α =ñ cruza la gráficaα (x), luego determinamos las abscisas de los puntos de intersección. Para ello basta con resolver la ecuación. c = α (x) relativo a x.

1. Escribe la respuesta

Resolver ecuaciones con módulo

Al resolver gráficamente ecuaciones con un módulo que contiene un parámetro, es necesario construir gráficas de funciones y considerar todos los casos posibles para diferentes valores del parámetro.

Por ejemplo, │х│= a,

Respuesta: si un < 0, то нет корней, a > 0, entonces x = a, x = - a, si a = 0, entonces x = 0.

Resolución de problemas.

Problema 1. ¿Cuántas raíces tiene la ecuación?| | x | - 2 | = un dependiendo del parámetro¿a?

Solución. En el sistema de coordenadas (x; y) construiremos gráficas de las funciones y = | | x | - 2 | y y = a . Gráfica de la función y = | | x | - 2 | se muestra en la figura.

Gráfica de la función y =αa = 0).

Del gráfico se puede observar que:

Si a = 0, entonces la recta y = a coincide con el eje Ox y tiene la gráfica de la función y = | | x | - 2 | dos puntos comunes; esto significa que la ecuación original tiene dos raíces (en este caso, las raíces se pueden encontrar: x 1,2 = + 2).
Si 0< a < 2, то прямая y = α tiene con la gráfica de la función y = | | x | - 2 | cuatro puntos comunes y, por tanto, la ecuación original tiene cuatro raíces.
Si a = 2, entonces la recta y = 2 tiene tres puntos comunes con la gráfica de la función. Entonces la ecuación original tiene tres raíces.
Si a > 2, entonces recta y = a tendrá dos puntos con la gráfica de la función original, es decir, esta ecuación tendrá dos raíces.

Respuesta: si un < 0, то корней нет;
si a = 0, a > 2, entonces hay dos raíces;
si a = 2, entonces hay tres raíces;
si 0< a < 2, то четыре корня.

Problema 2. ¿Cuántas raíces tiene la ecuación?| x2-2| x | - 3 | = un dependiendo del parámetro¿a?

Solución. En el sistema de coordenadas (x; y) construiremos gráficas de las funciones y = | X 2-2| x | - 3 | y y = a.

Gráfica de la función y = | X 2 - 2| x | - 3 | se muestra en la figura. Gráfica de la función y =α es una recta paralela a Ox o coincidente con él (cuando a = 0).

En el gráfico puedes ver:

Si a = 0, entonces la recta y = a coincide con el eje Ox y tiene la gráfica de la función y = | x2-2| x | - 3 | dos puntos comunes, así como la recta y = a tendrás con la gráfica de la función y = | X 2 - 2| x | - 3 | dos puntos comunes en a > 4. Entonces, para a = 0 y a > 4 la ecuación original tiene dos raíces.
Si 0< a< 3, то прямая y = a tiene con la gráfica de la función y = | X 2 - 2| x | - 3 | cuatro puntos comunes, así como la recta y= a tendrá cuatro puntos comunes con la gráfica de la función construida en a = 4. Entonces, en 0< a < 3, a = 4 la ecuación original tiene cuatro raíces.
Si a = 3, entonces recta y = a interseca la gráfica de una función en cinco puntos; por tanto, la ecuación tiene cinco raíces.
si 3< a< 4, прямая y = α cruza la gráfica de la función construida en seis puntos; Esto significa que para estos valores de parámetros la ecuación original tiene seis raíces.
Si a < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = α no interseca la gráfica de la función y = | X 2-2| x | - 3 |.

Respuesta: si un < 0, то корней нет;
si a = 0, a > 4, entonces hay dos raíces;
si 0< a < 3, a = 4, luego cuatro raíces;

si un = 3, luego cinco raíces;
si 3< a < 4, то шесть корней.

Problema 3. ¿Cuántas raíces tiene la ecuación?

dependiendo del parámetro¿a?

Solución. Construyamos una gráfica de la función en el sistema de coordenadas (x; y)

pero primero presentémoslo en la forma:

Las rectas x = 1, y = 1 son asíntotas de la gráfica de la función. Gráfica de la función y = | x | + a obtenido de la gráfica de la función y = | x | desplazamiento en unidades a lo largo del eje Oy.

Gráficos de funciones se cruzan en un punto en a > - 1; Esto significa que la ecuación (1) para estos valores de parámetros tiene una solución.

Cuando a = - 1, a = - 2 gráficos se cruzan en dos puntos; Esto significa que para estos valores de parámetros, la ecuación (1) tiene dos raíces.
A las 2< a< - 1, a < - 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

Respuesta: si un > - 1, luego una solución;
si a = - 1, a = - 2, entonces hay dos soluciones;
si - 2< a < - 1, a < - 1, то три решения.

Comentario. Al resolver la ecuación del problema, se debe prestar especial atención al caso en el que a = - 2, ya que el punto (- 1; - 1) no pertenece a la gráfica de la funciónpero pertenece a la gráfica de la función y = | x | + a.

Problema 4. ¿Cuántas raíces tiene la ecuación?

x + 2 = un | x - 1 |

dependiendo del parámetro¿a?

Solución. Tenga en cuenta que x = 1 no es una raíz de esta ecuación, ya que la igualdad 3 = a 0 no puede ser verdadero para ningún valor de parámetro a . Dividamos ambos lados de la ecuación por | x - 1 |(| x - 1 |0), entonces la ecuación toma la formaEn el sistema de coordenadas xOy trazaremos la función

La gráfica de esta función se muestra en la figura. Gráfica de la función y = a es una recta paralela al eje Ox o coincidente con él (si a = 0).

Las ecuaciones con parámetros se consideran, con razón, uno de los problemas más difíciles de las matemáticas escolares. Son precisamente estas tareas las que acaban año tras año en la lista de tareas de tipo B y C en el examen estatal unificado del Examen Estatal Unificado. Sin embargo, entre la gran cantidad de ecuaciones con parámetros, hay aquellas que se pueden resolver fácilmente gráficamente. Consideremos este método usando el ejemplo de resolver varios problemas.

Encuentre la suma de valores enteros del número a para los cuales la ecuación |x 2 – 2x – 3| = a tiene cuatro raíces.

Solución.

Para responder a la pregunta del problema, construyamos gráficas de funciones en un plano coordenado.

y = |x 2 – 2x – 3| y y = a.

Gráfica de la primera función y = |x 2 – 2x – 3| se obtendrá de la gráfica de la parábola y = x 2 – 2x – 3 mostrando simétricamente con respecto al eje x aquella parte de la gráfica que está debajo del eje Ox. La parte del gráfico ubicada sobre el eje x permanecerá sin cambios.

Hagamos esto paso a paso. La gráfica de la función y = x 2 – 2x – 3 es una parábola cuyas ramas se dirigen hacia arriba. Para construir su gráfica, encontramos las coordenadas del vértice. Esto se puede hacer usando la fórmula x 0 = -b/2a. Por tanto, x 0 = 2/2 = 1. Para encontrar la coordenada del vértice de la parábola a lo largo del eje de ordenadas, sustituimos el valor resultante por x 0 en la ecuación de la función en cuestión. Obtenemos que y 0 = 1 – 2 – 3 = -4. Esto significa que el vértice de la parábola tiene coordenadas (1; -4).

A continuación, debes encontrar los puntos de intersección de las ramas de la parábola con los ejes de coordenadas. En los puntos de intersección de las ramas de la parábola con el eje de abscisas, el valor de la función es cero. Por tanto, resolvemos la ecuación cuadrática x 2 – 2x – 3 = 0. Sus raíces serán los puntos requeridos. Según el teorema de Vieta tenemos x 1 = -1, x 2 = 3.

En los puntos de intersección de las ramas de la parábola con el eje de ordenadas, el valor del argumento es cero. Por tanto, el punto y = -3 es el punto de intersección de las ramas de la parábola con el eje y. El gráfico resultante se muestra en la Figura 1.

Para obtener una gráfica de la función y = |x 2 – 2x – 3|, visualicemos la parte de la gráfica ubicada debajo del eje x simétricamente con respecto al eje x. El gráfico resultante se muestra en la Figura 2.

La gráfica de la función y = a es una recta paralela al eje de abscisas. Se muestra en la Figura 3. Usando la figura, encontramos que las gráficas tienen cuatro puntos comunes (y la ecuación tiene cuatro raíces) si a pertenece al intervalo (0; 4).

Valores enteros del número a del intervalo resultante: 1; 2; 3. Para responder a la pregunta del problema, encontremos la suma de estos números: 1 + 2 + 3 = 6.

Respuesta: 6.

Encuentre la media aritmética de los valores enteros del número a para los cuales la ecuación |x 2 – 4|x| – 1| = a tiene seis raíces.

Comencemos trazando la función y = |x 2 – 4|x| – 1|. Para hacer esto, usamos la igualdad a 2 = |a| 2 y selecciona el cuadrado completo en la expresión submodular escrita en el lado derecho de la función:

x2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 – 4|x| + 4) – 1 – 4 = (|x |– 2) 2 – 5.

Entonces la función original tendrá la forma y = |(|x| – 2) 2 – 5|.

Para construir una gráfica de esta función, construimos gráficas secuenciales de funciones:

1) y = (x – 2) 2 – 5 – parábola con vértice en el punto de coordenadas (2; -5); (Figura 1).

2) y = (|x| – 2) 2 – 5 – parte de la parábola construida en el paso 1, que se encuentra a la derecha del eje de ordenadas, se muestra simétricamente a la izquierda del eje Oy; (Figura 2).

3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| – la parte del gráfico construida en el punto 2, que se encuentra debajo del eje x, se muestra simétricamente con respecto al eje x hacia arriba. (Fig. 3).

Veamos los dibujos resultantes:

La gráfica de la función y = a es una recta paralela al eje de abscisas.

Usando la figura, concluimos que las gráficas de funciones tienen seis puntos comunes (la ecuación tiene seis raíces) si a pertenece al intervalo (1; 5).

Esto se puede ver en la siguiente figura:

Encontremos la media aritmética de los valores enteros del parámetro a:

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

Respuesta: 3.

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2. Determinación de parámetros de distribución desconocidos.

Usando un histograma, podemos trazar aproximadamente la densidad de distribución de una variable aleatoria. La apariencia de este gráfico a menudo nos permite hacer suposiciones sobre la distribución de densidad de probabilidad de una variable aleatoria. La expresión de esta densidad de distribución suele incluir algunos parámetros que deben determinarse a partir de datos experimentales.
Detengámonos en el caso particular en el que la densidad de distribución depende de dos parámetros.
Entonces deja x 1 , x 2 , ..., x n- valores observados de una variable aleatoria continua, y dejar que su densidad de distribución de probabilidad dependa de dos parámetros desconocidos A Y B, es decir. parece . Uno de los métodos para encontrar parámetros desconocidos. A Y B consiste en que se eligen de tal forma que la esperanza matemática y la varianza de la distribución teórica coincidan con las medias y la varianza muestrales:

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De las dos ecuaciones obtenidas () se encuentran los parámetros desconocidos. A Y B. Entonces, por ejemplo, si una variable aleatoria obedece la ley de distribución de probabilidad normal, entonces su densidad de distribución de probabilidad

depende de dos parametros a Y . Estos parámetros, como sabemos, son, respectivamente, la expectativa matemática y la desviación estándar de una variable aleatoria; por lo tanto igualdades () se escribirán así:

Por tanto, la densidad de distribución de probabilidad tiene la forma

Nota 1. Ya hemos solucionado este problema en . El resultado de la medición es una variable aleatoria que obedece la ley de distribución normal con parámetros. a Y . Por valor aproximado a elegimos el valor y, para el valor aproximado, el valor.

Nota 2. Con una gran cantidad de experimentos, encontrar cantidades y usar fórmulas () está asociado con cálculos engorrosos. Por lo tanto, hacen esto: cada uno de los valores observados de la cantidad, cayendo en iº intervalo ] X i-1 , X i [ serie estadística, se considera aproximadamente igual a la media c yo este intervalo, es decir c i =(X i-1 +X i)/2. Considere el primer intervalo ] X 0 , X 1 [. lo golpeo metro 1 valores observados de la variable aleatoria, cada uno de los cuales reemplazamos con un número de 1. Por tanto, la suma de estos valores es aproximadamente igual a m 1 s 1. De manera similar, la suma de los valores que caen en el segundo intervalo es aproximadamente igual a m 2 con 2 etc. Es por eso

De manera similar obtenemos la igualdad aproximada.

Entonces, demostremos que

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