O densidades de probabilidad condicionales.
Además, se supone que y(xn + cn) e y(xn - cn) son condicionalmente independientes y sus varianzas condicionales están limitadas por la constante o2. En el esquema (2.30), Xi es una estimación inicial arbitraria con varianza limitada, y las secuencias a y cn están determinadas por las relaciones
Sin embargo, estamos interesados en la media condicional,m, y la varianza condicional, que se denota por,A,. La media condicional es la expectativa matemática de una variable aleatoria cuando las expectativas están condicionadas por información sobre otras variables aleatorias. Este promedio suele ser función de estas otras variables. De manera similar, la varianza condicional es la varianza de una variable aleatoria condicionada a información sobre otras variables aleatorias.
La varianza condicional se define de la siguiente manera.
Como ya hemos visto, la diferencia entre Y y el valor medio es igual a e. De aquí podemos derivar la varianza condicional A en función de los residuos pasados de la ecuación media condicional al cuadrado. Así, por ejemplo, podemos encontrar el valor de A a partir de la ecuación
Por lo tanto, con base en la serie temporal de residuos cuadrados de la ecuación de media condicional, podemos escribir la siguiente ecuación de varianza condicional
La ecuación de varianza condicional y los valores del criterio / se ven así:
Este resultado muestra que la varianza condicional en el tiempo / está determinada significativamente por un desfase temporal de los residuos al cuadrado de la ecuación media condicional y el valor de la varianza condicional misma con un desfase de 1.
Sin embargo, suponiendo que se utilice un modelo preciso, para encontrar la volatilidad anual se debe tomar la raíz cuadrada de la varianza condicional y multiplicarla por la raíz cuadrada del número de observaciones por año. Esta medida de volatilidad cambiará con el tiempo, es decir la volatilidad actual es función de la volatilidad pasada.
En la segunda ecuación, B2, cuyo valor se desconoce cuando se realiza el pronóstico, se reemplaza por la estimación condicional A2. Así, la segunda ecuación nos permite predecir L2 en el momento t+ 1 (/ = 1), luego L2 en el momento t + 1(j - 2), etc. El resultado de cada cálculo es una predicción de la varianza condicional para un período separado, para períodos posteriores.
La varianza condicional en este caso será una matriz simétrica de 2x2.
Los restos de estas ecuaciones pueden ingresar a las ecuaciones de varianza condicional como se describió anteriormente.
Cómo determinar la varianza condicional cuando
Además, B = h, z, donde A2 es la varianza condicional yz N(0, 1). Por tanto, e, N(0, A2), donde
En la ecuación (4.1), la demanda es una función lineal tanto del precio como de la expectativa condicional y de la varianza condicional del dividendo de fin de período dada la información. Como resultado, si los operadores especulativos tienen las mismas preferencias, pero diferente información, entonces el comercio estará determinado únicamente por las diferencias en la información.
Los procesos fractales, por otra parte, son estructuras globales que abordan todos los horizontes de inversión simultáneamente. Miden la varianza incondicional (no la varianza condicional como lo hace AR H). En el Capítulo 1 examinamos procesos que tienen aleatoriedad local y estructura global. Es posible que GAR H, con su varianza condicional finita, sea un efecto local de distribuciones fractales que tienen infinitas,
Teniendo estos resultados en mente, me gustaría sugerir lo siguiente para los mercados de acciones y bonos. En el corto plazo, los mercados están dominados por procesos comerciales que son procesos de ruido fraccional. Localmente, son miembros de la familia de procesos AR H y se caracterizan por varianzas condicionales, es decir, cada horizonte de inversión se caracteriza por su propio proceso AR H medible con una varianza condicional finita. Esta varianza condicional finita se puede utilizar para estimar el riesgo para ese horizonte de inversión únicamente. A escala global, este proceso es una distribución de Lévy estable (fractal) con dispersión infinita. A medida que aumenta el horizonte de inversión, se acerca al comportamiento de varianza infinita.
Esta es la ecuación GAR H. Muestra que el valor actual de la varianza condicional es una función de una constante: algún valor de los cuadrados de los residuos de la ecuación media condicional más algún valor de la varianza condicional anterior. Por ejemplo, si la varianza condicional se describe mejor mediante la ecuación GAR H (1, 1), entonces esto se explica por el hecho de que la serie es AR(1), es decir los valores de e se calculan con un rezago de un período y la varianza condicional también se calcula con el mismo rezago.
En el modelo GAR H(p, q), la varianza condicional depende del tamaño de los residuos más que de su signo. Aunque hay evidencia, como la de Black (1976), de que la volatilidad y los rendimientos de los activos están correlacionados negativamente. Por lo tanto, cuando los precios de los valores aumentan y los rendimientos son positivos, la volatilidad disminuye, y viceversa, cuando los precios de los activos caen, lo que lleva a una disminución del rendimiento, la volatilidad aumenta. De hecho, los períodos de alta volatilidad están asociados con caídas en los mercados bursátiles, y los períodos de baja volatilidad están asociados con avances en los mercados.
Tenga en cuenta que E se incluye en la ecuación tanto como datos brutos reales como como módulo, es decir, en la forma I e. Por lo tanto, E-GAR H modela la varianza condicional como una función asimétrica de los valores de e. Esto permite que los valores anteriores positivos y negativos tengan diferentes efectos sobre la volatilidad. La representación logarítmica permite la inclusión de residuos negativos sin dar como resultado una varianza condicional negativa.
French et al (1987) aplicaron el mismo modelo a la prima de riesgo de las acciones estadounidenses durante el período 1928-1984. Utilizaron el modelo de varianza condicional GAR H(1,2).
Entonces tenemos parámetros t + 1 + p + q + 1 para estimar los valores (t + 1) de alfa de la ecuación de expectativa condicional, (p + 1) - beta y q - gamma de la ecuación de varianza condicional.
En nuestro ejemplo, la condición de constancia de la dispersión de los residuales se viola claramente (ver Tabla B.1), es decir, la dispersión condicional D (b = x) = D (t] - B0 - 0 - g = x) = a2(x) depende significativamente del valor de x. Esta violación se puede eliminar dividiendo todos los valores analizados, trazados a lo largo del eje m], y ". por lo tanto, los restos en (x),. por los valores de s (x) (que son estimaciones estadísticas para
Volvamos ahora a la relación (1.5), que conecta la variación total del indicador resultante (o - DTJ), la variación de la función de regresión (de - D/ ()) y el promedio (sobre varios valores posibles de X variables explicativas) valor de la dispersión condicional de los residuos de regresión (a (x> = E D) Sigue siendo válido en el caso de una variable predictora multidimensional - ((1), (2), ... (p)) (o X - (x 1), x, ... " )).
Clasifiquemos como segundo tipo de modelos normales lineales ese caso especial del esquema B (es decir, la dependencia del indicador resultante aleatorio r de variables explicativas no aleatorias X, ver B. 5), en el que la función de regresión / (X ) es lineal en X, y el residual es aleatorio, el componente e(X) obedece la ley normal con una dispersión a constante (independiente de X). En este caso, la linealidad de la regresión, la homocedasticidad (constancia de la varianza condicional o (X) = o) y la fórmula (1.26) se derivan directamente de la definición del modelo y de (1.24).
Para el caso en que la dispersión condicional de la variable dependiente es proporcional a alguna función conocida del argumento, es decir, De] (X) = a2А2 (X), la fórmula (6.16) se transforma
Modelo ARCH Definición 1: La varianza condicional es la varianza de una variable aleatoria condicionada por información sobre otras variables aleatorias, es decir, la varianza encontrada bajo la condición de conocimiento sobre la varianza en momentos anteriores σt 2= D(εt |εt-1, εt-2... ). Definición 2: El modelo ARCH de primer orden tiene la forma: , (1) donde son los residuos obtenidos después de la estimación preliminar de cualquier modelo. Aquí, la varianza en el tiempo t depende del cuadrado de los errores en el tiempo (t-1), es decir, la varianza condicional σt 2 es el proceso AR de los errores al cuadrado del modelo. El modelo ARCH (q) (orden de dispersión autorregresiva - q) tiene la forma: (2) aquí la dispersión condicional se presenta como una función lineal de los cuadrados de los errores pasados en los puntos temporales t-1, t-2, ... , proceso de series de tiempo t-q AR: proceso autorregresivo, cuando los valores actuales de una serie dependen linealmente de los valores anteriores. 1
Es posible modelar la dispersión sólo después de que se haya eliminado el valor promedio de los datos, por lo que el modelo ARCH(q) completo tiene la forma: (3) Aquí la primera ecuación es un proceso AR de p-ésimo orden, y en la segunda ecuación la dispersión condicional se modela como una función lineal de q cuadrados de valores de error pasados (εt-q) obtenidos después de estimar la primera ecuación. Condición para la “positividad” de la varianza: β 0>0, β 1≥ 0, β 2≥ 0,…, βq≥ 0. El significado del modelo ARCH: si el valor absoluto de los residuos del modelo εt del primero La ecuación (3) es grande, entonces esto conducirá a un aumento en la dispersión condicional en períodos posteriores (segunda ecuación (3)), por el contrario, si los residuos son cercanos a cero, esto conducirá a una disminución en la dispersión condicional. dispersión. Esto manifiesta una propiedad llamada agrupación de volatilidad, que es exactamente lo que el modelo ARCH le permite medir. El efecto de agrupamiento de la volatilidad 2 fue observado por primera vez por Mandelbrot (1963).
Algoritmo para determinar la presencia de efectos ARCH. 1. es necesario construir un modelo AR de la serie xt con un error εt según la primera ecuación de (3); 2. definir los residuos como estimaciones de εt; 3. construir una regresión lineal de los errores al cuadrado en el tiempo t sobre los residuos al cuadrado del modelo después del modelado AR:; 4. Probar la falta de significancia del coeficiente λ mediante la prueba de Student, la prueba de Fisher, la prueba de χ2, tomando como hipótesis nula: H 0: λ 1=0. En consecuencia, para la hipótesis alternativa H 1: λ 1≠ 0. 5. Si λ 1 es significativamente diferente de 0, entonces el modelo se puede especificar como un modelo ARCH de primer orden (ARCH (1)). 3
El esquema general para probar un modelo para los efectos ARCH: 1. 2. Se evalúa el modelo (por ejemplo, modelo AR, modelo CC, modelo ARCC o regresión temporal simple); Con base en el conocimiento de los errores del modelo (– el valor calculado del modelo construido en el paso 1)), se estima el modelo: aquí se prueba el modelo para detectar efectos ARCH de orden p. 3. para el modelo estimado se calcula el coeficiente de determinación R2, que es responsable de la calidad del ajuste del modelo; 4. Se forman hipótesis (nulas y alternativas): , ; 5. Se determina el valor de la estadística χ2 calc =TR 2, donde T es el volumen de muestra de la serie, R 2 es el coeficiente de determinación; 6. El cálculo de χ2 se compara con la tabla de χ2, definida para los grados de libertad p (p es el número de desfases de tiempo en el modelo ARCH(p)) 7. Si el cálculo de χ2 > la tabla de χ2, entonces se rechaza H 0 y se consideró que el modelo ARCH es significativo en un determinado nivel de significancia y su orden es igual a p. 4
Modelo GARCH Definición 3: El modelo GARCH es un modelo con autorregresión generalizada de heterocedasticidad condicional. GARCH (p, q), a diferencia del modelo ARCH, tiene dos órdenes y se escribe en forma general: (4) donde αi y βj >0 (i=1, 2,…, p; j=1, 2,…, q ) de lo contrario la varianza sería menor que cero. El modelo GARCH muestra que el valor actual de la varianza condicional es una función de una constante: el p-ésimo valor de los residuos al cuadrado de la ecuación media condicional (o cualquier otra ecuación) y el q-ésimo valor de la varianza condicional anterior. (es decir, el proceso AR de orden q a partir de varianza condicional). El modelo más popular para predecir la variabilidad de los rendimientos de los activos financieros es el modelo GARCH(1, 1): (5). 5
Volatilidad GARCH La volatilidad (variabilidad) no es un proceso constante y puede cambiar con el tiempo. Si se conoce un modelo exacto para describir un proceso que cambia con el tiempo, entonces para encontrar la volatilidad anual de este proceso, es necesario determinar la raíz cuadrada de la varianza condicional y multiplicar el modelo por, donde N es el número de observaciones por año. La medida resultante de la volatilidad variará con el tiempo, es decir, la volatilidad actual se determinará en función de la volatilidad pasada. Para predecir la volatilidad usando el modelo GARCH, se puede usar el siguiente modelo recursivo: (6) (7) Aquí εt 2 es un valor desconocido en el futuro, el cual, al hacer un pronóstico, se reemplaza por una estimación condicional de la varianza σt . Así, la fórmula (7) nos permite predecir σt 2 en el momento (t+1), luego σt 2 en el momento (t+2), etc. En este caso, por ejemplo, σt+2 se calcula como una varianza condicional bajo la condición valores conocidos de y 1, y 2,…, yt y pronóstico yt+1. El resultado de cada cálculo es una predicción de la varianza condicional j períodos venideros. 6
Los procesos de evaluación de los modelos ARCH y GARCH, por regla general, tienen una distribución incondicional máxima. Así, la curtosis (momento de cuarto orden) para el modelo ARCH (1), representada por la ecuación (1), y GARCH (1; 1), representada por la ecuación (5), son respectivamente iguales a y. Los coeficientes de asimetría (momentos de tercer orden) de los modelos de volatilidad son cero. A pesar de esto, el método estándar para estimar modelos es el método de máxima verosimilitud, que se basa en una distribución normal. En este caso, las estimaciones del modelo serán consistentes, pero asintóticamente ineficaces (ineficaces en el límite a medida que aumenta el número de grados de libertad). Tenga en cuenta que la presencia de altas curtosis de los procesos ARCH concuerda bien con el comportamiento de muchos indicadores financieros que tienen colas gruesas en la distribución. 7
Estimación de los modelos ARCH y GARCH Considere la expectativa condicional en el momento t: , Por lo tanto, el error se define como: . Supongamos que donde está la varianza condicional y z se distribuye según la ley normal estandarizada, es decir, z ~ N(0, 1). Entonces εt ~ N(0,), donde para el modelo ARCH: ; y para el modelo GARCH: + Como resultado, para el modelo ARCH tenemos m+1+p+1 parámetros desconocidos, y para el modelo GARCH m+1+p+1+q parámetros por estimar. Los parámetros se estiman utilizando el método de máxima verosimilitud. 8
Comprobación de la adecuación de los modelos GARCH/ARCH. La calidad de ajuste del modelo GARCH/ARCH a los datos originales se puede controlar en función de la proximidad a la unidad del índice de determinación (R 2) o del índice de determinación ajustado por el número de grados de libertad (R 2 ajustado). . o, aquí n es el número total de observaciones de la serie de tiempo, k es el número de grados de libertad del modelo (para GARCH k=p+q, para ARCH k=p), es la varianza residual o varianza explicada por el modelo, es la varianza total. Para verificar la confiabilidad de las estimaciones del modelo, es necesario analizar los residuos estandarizados έ/σ, donde σ es la desviación estándar condicional calculada por el modelo GARCH/ARCH, y έ son los residuos en la ecuación de expectativa condicional (la ecuación original). . Si el modelo GARCH/ARCH está suficientemente bien descrito, entonces los residuos estandarizados son variables aleatorias independientes distribuidas idénticamente con expectativa cero y desviación estándar unitaria. 9
Identificación del modelo GARCH Etapa I: Cálculo del criterio Lyung-Box (LB). Las estadísticas de LB se calculan basándose en el cálculo preliminar de k coeficientes de autocorrelación para T observaciones (ρk), seguido de elevarlos al cuadrado: (8) donde m es el retraso máximo de los coeficientes de autocorrelación, T es la longitud de la serie de tiempo. Se plantea una hipótesis sobre la insignificancia de los rezagos m en el modelo autorregresivo original. El valor calculado LB se compara con el valor crítico χ2 determinado para el grado de libertad v=m. Si LBestimado > χ2, entonces la hipótesis sobre la insignificancia de m rezagos en el modelo autorregresivo original se rechaza en el nivel de significancia dado α. Etapa II: Cálculo de la prueba Lyng-Box utilizando residuos estandarizados. Los coeficientes de autocorrelación se calculan en función de los residuos estandarizados y luego se elevan al cuadrado: (9) donde m es el desfase máximo de autocorrelación de los residuos estandarizados. Se plantea una hipótesis sobre la insignificancia de los órdenes p y q del modelo GARCH. El LB calculado se compara con la tabla χ2, determinada para el grado de libertad v 1=m-p-q, donde m es el número total de observaciones, p y q son los órdenes del modelo GARCH. Si se calcula LB
Identificación del modelo GARCH a partir del análisis de correlogramas 1. Después de estimar la expectativa matemática de una serie de datos (a partir de modelos ARIMA, identificando componentes de series temporales o regresión ordinaria), se obtiene el componente residual. 2. Estandarizar los residuos resultantes. 3. Los correlogramas de ACF y PACF se construyen utilizando residuos estandarizados. 4. Determine el número de retrasos para los coeficientes ACF y CACF que van más allá de los límites del ruido blanco. El número resultante es el orden del modelo ARCH. La selección de los modelos ARCH y GARCH se realiza con base en los criterios de información mínima de Akaike, Schwartz y Hanen-Queen. once
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La probabilidad condicional
La probabilidad condicional-- la probabilidad de un evento dado que ya ha ocurrido otro evento.
Sea un espacio de probabilidad fija. Además, que se produzcan dos acontecimientos aleatorios. Entonces la probabilidad condicional de un evento dado el evento se llama
Notas:
· Obviamente se deduce directamente de la definición que la probabilidad de que ocurran dos eventos es igual a:
· Si, entonces la definición establecida de probabilidad condicional no es aplicable.
· La probabilidad condicional es una probabilidad, es decir, una función dada por la fórmula
Satisface todos los axiomas de la medida de probabilidad.
Variables aleatorias
Valor aleatorio es una cantidad que, como resultado de un experimento, toma uno de muchos valores, y la aparición de uno u otro valor de esta cantidad no se puede predecir con precisión antes de su medición.
La definición matemática formal es la siguiente: sea un espacio de probabilidad, entonces una variable aleatoria es una función que se puede medir con respecto al álgebra de Borel?. El comportamiento probabilístico de una variable aleatoria individual (independiente de otras) se describe completamente por su distribución.
Clasificación:
Las variables aleatorias pueden tomar valores discretos, continuos y discretos-continuos. En consecuencia, las variables aleatorias se clasifican en discretas, continuas y discretas-continuas (mixtas). combinatoria probabilidad varianza matemática
En el esquema de prueba, se puede definir tanto una variable aleatoria separada (unidimensional/escalar) como un sistema completo de variables aleatorias unidimensionales interrelacionadas (multidimensional/vectorial).
· Un ejemplo de variable aleatoria mixta es el tiempo de espera al cruzar una vía de una ciudad en una intersección no controlada.
· En esquemas infinitos (discretos o continuos), es conveniente describir cuantitativamente los resultados inicialmente elementales. Por ejemplo, números de gradaciones de tipos de accidentes al analizar los accidentes de tráfico; tiempo de actividad del dispositivo durante el control de calidad, etc.
· Los valores numéricos que describen los resultados de los experimentos pueden no necesariamente caracterizar resultados elementales individuales en el esquema de prueba, sino que también corresponden a algunos eventos más complejos.
· Por ejemplo, las coordenadas (abscisas, ordenadas) de algún tipo de explosión de un proyectil al disparar a un objetivo terrestre; dimensiones métricas (largo, ancho, etc.) de las piezas durante el control de calidad; resultados de un examen médico (temperatura, presión, pulso, etc.) al diagnosticar al paciente; Datos del censo de población (por edad, sexo, ingresos, etc.).
Expectativas y variación
Valor esperado-- el valor promedio de una variable aleatoria, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria se considera en la teoría de la probabilidad. En la literatura en lengua inglesa se designa mediante (por ejemplo, del inglés. Valor esperado o alemán Erwartungswert), en ruso -- (posiblemente del inglés. Valor medio o alemán Mittelwert, y posiblemente de “expectativa matemática”). En estadística se utiliza a menudo la notación.
Sea un espacio de probabilidad y una variable aleatoria definida en él. Ésta es, por definición, una función mensurable. Si hay una integral de Lebesgue sobre el espacio, entonces se llama expectativa matemática o valor promedio (esperado) y se denota por o.
Fórmulas básicas:
· Si es la función de distribución de una variable aleatoria, entonces su expectativa matemática viene dada por la integral de Lebesgue-Stieltjes:
· Expectativa matemática de una distribución discreta.
Si es una variable aleatoria discreta que tiene una distribución
entonces se sigue directamente de la definición de la integral de Lebesgue que
· Expectativa matemática de una distribución absolutamente continua
La expectativa matemática de una variable aleatoria absolutamente continua, cuya distribución está dada por la densidad, es igual a
· Expectativa de transformación de una variable aleatoria.
Sea una función de Borel tal que la variable aleatoria tenga una expectativa matemática finita. Entonces la fórmula es válida para ello:
si tiene una distribución discreta;
si tiene una distribución absolutamente continua.
Si la distribución de una variable aleatoria es de forma general, entonces
Propiedades:
· La expectativa matemática de un número es el número mismo.
Constante;
· La expectativa matemática es lineal, es decir
donde son variables aleatorias con expectativa matemática finita y son constantes arbitrarias;
· La expectativa matemática preserva las desigualdades, es decir, si es casi segura y es una variable aleatoria con una expectativa matemática finita, entonces la expectativa matemática de la variable aleatoria también es finita, y además
· La expectativa matemática no depende del comportamiento de la variable aleatoria ante un evento de probabilidad cero, es decir, si es casi seguro, entonces
· La expectativa matemática del producto de dos variables aleatorias independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas
Varianza de una variable aleatoria-- una medida de la dispersión de una variable aleatoria dada, es decir, su desviación de la expectativa matemática. Designado en literatura rusa y (inglés) diferencia) en el extranjero. En estadística, se utiliza a menudo la notación o. La raíz cuadrada de la varianza se llama desviación estándar, desviación estándar o dispersión estándar. La desviación estándar se mide en las mismas unidades que la propia variable aleatoria y la varianza se mide en los cuadrados de esa unidad.
Sea una variable aleatoria definida en algún espacio de probabilidad. Entonces
donde el símbolo denota la expectativa matemática.
