Recuerdos de cómo fue el trabajo con A.D. Alexandrov sobre los libros de texto escolares sobre geometría.

1. Cómo empezó. La reforma de Kolmogorov del curso de geometría escolar y sus resultados.

A mediados de los años 60 del siglo pasado, la modernización se llevó a cabo activamente en la enseñanza de las matemáticas en las escuelas de la URSS (así llamarían ahora a lo que entonces dirigía Andrei Nikolaevich Kolmogorov). Los programas de los cursos escolares de matemáticas fueron declarados obsoletos, rezagados con respecto a las matemáticas modernas y, por lo tanto, hubo que actualizarlos y escribir nuevos libros de texto de acuerdo con estos nuevos programas. Con el curso de matemáticas de quinto y sexto grado, así como con el curso de álgebra y comienzo de análisis, esta reestructuración la llevó a cabo A.N. Kolmogorov y sus colegas, en general, tuvieron éxito, pero no pudieron rehacer el curso de geometría tradicional para Rusia y la URSS, y el asunto terminó en un escándalo.
Sobre el nuevo programa A.N. Kolmogorov escribió dos veces en la revista "Matemáticas en la escuela": en detalle en el artículo "Nuevos programas y algunas cuestiones básicas para mejorar los cursos de matemáticas en las escuelas secundarias" y brevemente en la nota "Hacia nuevos programas en matemáticas".
Comenzando una discusión sobre el programa de geometría, en el primero de ellos A.N. Kolmogorov escribe: “Si llamo arcaicos a los programas actuales, esto se aplica especialmente a la geometría”. Y luego esboza un programa para reestructurar el curso de geometría.
“Las principales tendencias en la reestructuración de la carrera de geometría escolar, que ahora han obtenido el mayor reconocimiento, se pueden formular en forma de tres disposiciones.
1. La formación de los conceptos geométricos iniciales se produce en los grados inferiores.
2. La estructura lógica de un curso de geometría sistemática en los grados medios está notablemente simplificada en comparación con la tradición euclidiana. El desarrollo del hábito de la prueba lógica estricta en esta etapa se combina con el reconocimiento abierto del derecho a aceptar un sistema excesivo de supuestos sin prueba.
3. Un curso de geometría en la escuela secundaria se basa en conceptos vectoriales. Al mismo tiempo, es natural recurrir al método de coordenadas (aunque como auxiliar, para que la presentación no se vuelva menos "geométrica" debido a este enfoque).
La primera de estas disposiciones es cierta. La última (tercera) es la convicción, característica de aquellos años, de que la construcción vectorial de la estereometría (“según Weyl”) es más simple que su construcción sintética tradicional. Finalmente, es difícil estar de acuerdo con la segunda posición, y los acontecimientos posteriores confirmaron que claramente era demasiado pronto para hablar de un “amplio reconocimiento”: no se veía ninguna simplificación notable en el programa y los libros de texto correspondientes aún no se habían escrito.
Al final del artículo A.N. Kolmogorov escribe:
“Para poder trabajar con calma y confianza en nuevos libros de texto de geometría, sería esencialmente necesario hacer un trabajo preliminar con urgencia: uno o varios equipos de científicos y profesores, aprovechando la experiencia extranjera, redactarían y publicarían un borrador (o varios borradores). ) del “esqueleto lógico” de la geometría del curso escolar (supuestos iniciales y la cadena principal de teoremas con demostraciones) en una forma accesible para la crítica y el uso experimental por parte de profesores suficientemente experimentados”.
Lamentablemente, esto no se hizo.
De dos páginas de la segunda nota de A.N. Kolmogorov dedicó una página a la geometría. Allí escribió:
“Ya he tenido que escribir repetidamente en las páginas de “Matemáticas en la escuela” que, siguiendo el esquema clásico euclidiano de presentación de los principios de la planimetría, según el cual durante bastante tiempo nos limitamos a los teoremas de la “geometría absoluta” (en La terminología de Lobachevsky), que no se basa en el postulado de paralelos, en nuestra práctica escolar ha perdido hace mucho tiempo todo significado razonable. Hace tiempo que se ha desarrollado e implementado en muchos libros de texto extranjeros un sistema de presentación mucho más simple, en el que se utilizan el paralelismo y la transferencia paralela desde el principio”.
Pero la dificultad radica en el hecho de que aparentemente no existe ningún ejemplo ya preparado de la estructura lógica de un curso de planimetría adecuado para nuestros grados 6º a 8º, ni en nuestra literatura educativa ni en la extranjera”.
Así, en 1968, se estableció la naturaleza arcaica de los programas de matemáticas de la vieja escuela, se escribieron nuevos programas y había llegado el momento de escribir libros de texto.
El propio A.N. se comprometió a escribir un libro de texto para los grados 6 a 8. Kolmogórov. Aunque en ese momento el famoso geómetra, el académico Alexei Vasilyevich Pogorelov ya había escrito un curso sobre geometría elemental. UN. Kolmogorov revisó este libro y, en el Prefacio para profesores de este libro, A.V. Pogorelov expresa “su más sincero agradecimiento al académico A.N. Kolmogorov por los valiosos comentarios y consejos que brindó en las revisiones de partes individuales de la primera edición”. Recuerdo que en junio de 1967, al llegar a Petrozavodsk para el Simposio de toda la Unión sobre Geometría "en general", A.V. Pogorelov me dijo con orgullo: “Escribí un curso de geometría elemental. Introduje los axiomas de distancia en él. Kolmogorov me elogió”.
No confiaba en A.N. Kolmogorov escribe “Geometría, 6–8” y los famosos geómetras V.G. Boltyansky y I.M. Yaglom, que estaban en su comisión.
Decidió hacerlo él mismo: construir un curso sistemático de planimetría, basándose en transformaciones geométricas. Coautores A.N. Kolmogorov eran R.S. Cherkasov y A.F. Semenóvich. ¿Por qué A.N. El propio Kolmogorov decidió trabajar en un curso de geometría; en mi opinión, explica lo que dijo en su informe "Sobre el sistema de conceptos y notaciones básicas para un curso escolar de matemáticas", leído el 11 de enero de 1971 en el MP de la URSS:
“Hemos decidido mantener libros de texto de geometría separados para los grados 6 a 10. En comparación con el sistema de libros de texto de matemáticas unificados adoptado en muchos países, la presencia de un libro de texto de geometría coherente tiene ciertas ventajas, pero sólo si la lógica de construir un curso de geometría es estrictamente consistente con los cursos de álgebra y análisis elemental”.
Fue esta estricta coherencia la que Andrei Nikolaevich decidió hacer él mismo. Curso de geometría por A.V. Pogorelov no era muy adecuado para una coherencia tan estricta.
Recordemos lo que I. Newton escribió sobre la geometría en el prefacio de la primera edición de su famosa obra “Principios matemáticos de la filosofía natural”: “La geometría es glorificada por esta razón, porque, habiendo tomado prestados tan pocos principios fundamentales del exterior, logra tanto” (párrafo 5). En "Geometría, 6-8" de Kolmogorov en sexto grado, ocurre lo contrario: de las 38 afirmaciones allí identificadas, casi dos tercios quedan sin prueba, e incluso entre las afirmaciones no probadas, muchas no se destacan. El libro de texto del primer año de un curso sistemático de geometría, que siempre se movía uniforme y consistentemente en el nivel de rigor accesible a los estudiantes de esta época, se volvió discontinuo en su contenido: probaremos algo, luego lo aceptaremos sin prueba, luego probaremos algo nuevamente y luego lo aceptaremos nuevamente sin pruebas, etc. ¡Esta ya no es la geometría de la que hablaba Newton! Lo que quería A.N. Kolmogorov no tuvo éxito en su curso de geometría: aumentó su nivel de rigor (en el sentido en que A.N. Kolmogorov quiso decir rigor en la palabra) y al mismo tiempo simplificó el curso de geometría. El propio A.N. Kolmogorov, cuando en la nota “Observación sobre el concepto de conjunto en un curso escolar de matemáticas”, escribió: “Volviendo a la geometría, creo que cualquier axiomática en un curso escolar moderno debería basarse en un punto de vista de la teoría de conjuntos.
Ésta es, en particular, la axiomática de A.V. Pogorelova. Pero la cuestión de cuándo empezar a hablar con los estudiantes sobre la estructura lógica de la geometría debería discutirse de nuevo. La experiencia de trabajar en diferentes versiones de libros de texto de geometría durante la última década ha demostrado que es prematuro hacer esto al comienzo del curso de sexto grado”.
Como hicieron los autores de “Geometría, 6–8” (, la palabra prematuro es bastante justa. La cuestión de la estructura lógica de la geometría se puede discutir de diferentes maneras al comienzo de un curso sistemático. Pero es claramente prematuro descartar la experiencia centenaria de construir un curso de geometría elemental (“según Euclides”) y en el primer año de un curso sistemático, el curso se basa en transformaciones geométricas (“según Klein”): los escolares no están preparados para esto .
Con las opiniones de A.N. Ahora nos hemos familiarizado con Kolmogorov sobre lo que, en su opinión, debería ser un libro de texto para un curso sistemático de geometría en los grados 6 a 8. Pasemos ahora al libro de texto de geometría para la escuela secundaria (entonces eran los grados 9 y 10, ahora son los grados 10 y 11).
Al seleccionar equipos de autores para varios libros de texto de matemáticas, A.N. Kolmogorov viajó a universidades pedagógicas de todo el país y se reunió con matemáticos. También vino al Instituto Herzen y recuerdo cómo nos reunimos con A.N. Kolmogorov, y se trataba de la reforma escolar.
º curso de matemáticas. Probablemente nuestras opiniones no le convenían a A.N. Kolmogorov: no incorporó a ninguno de los herzenitas a su equipo. Un libro de texto sobre geometría para la escuela secundaria de A.N. Kolmogorov encargó al profesor del Instituto Pedagógico de Yaroslavl Z.A. Skopets y profesores asociados del Instituto Pedagógico de Kursk V.M. Klopsky y M.I. Yagodovski.
Antes de la aparición del libro de texto "Geometría, 9-10" (editado por Z.A. Skopets) en 1974, a los estudiantes de secundaria se les enseñaba de acuerdo con el libro de texto sobre estereometría de A.P. Kiseleva. El contenido del nuevo libro de texto "Geometría, 9-10" correspondía al programa ministerial de 1968 y continuaba la línea desarrollada en el libro de texto de Kolmogorov "Geometría, 6-8". Hubo tres capítulos en noveno grado:
Capítulo 1. Conceptos básicos de estereometría. Paralelismo en el espacio;
Capítulo 2. Transformaciones del espacio. Vectores;
Capítulo 3. Perpendicularidad en el espacio. Ángulos diédricos y poliédricos.
El libro de texto comienza así: “El curso sistemático de estereometría está estructurado según el mismo esquema que el curso de planimetría:
1. Se enumeran conceptos básicos, que no están definidos.
2. Se formulan axiomas en los que se expresan las propiedades de los conceptos básicos.
3. Utilizando conceptos básicos, se formulan definiciones de otros conceptos geométricos.
4. Los teoremas se prueban basándose en definiciones y axiomas”.
Conceptos básicos: punto, recta, plano y distancia. Se formularon nueve axiomas: cinco axiomas tradicionales de pertenencia, tres axiomas del espacio métrico y el axioma 9: para cada plano se satisfacen los axiomas de orden, movilidad plana y líneas paralelas conocidos por la planimetría.

Y luego, en el Capítulo 1, los autores prueban los primeros teoremas de la estereometría utilizando el método sintético tradicional. Para los estudiantes que previamente habían estado inmersos durante tres años en un mundo planimétrico plano, un comienzo tan estrictamente axiomático (y según el libro de texto de A.P. Kiselev) siempre fue difícil.
Los primeros párrafos del Capítulo 2 del libro de texto hablan de movimientos en el espacio. Como en el libro de texto de Kolmogorov “Geometría, 6–8”, las propiedades generales de los desplazamientos (que una línea recta se convierta en una línea recta, un plano en un plano, etc.) sólo se enumeran brevemente (sin ningún énfasis), pero no probado. Y entonces se formula la infame definición:
Un vector (traducción paralela) definido por un par (A,B) de puntos no coincidentes es una transformación espacial en la que cada punto M se asigna a un punto M1 de modo que el rayo MM1 está codirigido con el rayo AB y la distancia | MM1| es igual a la distancia |AB|.
Fue con esta definición que los académicos V.S. comenzaron sus críticas a la reforma de Kolmogorov. Vladímirov, L.S. Pontryagin y A.N. Tikhonov en "Matemáticas en la escuela". L.S. comienza con él su artículo “Sobre las matemáticas y la calidad de su enseñanza” en el órgano del Comité Central del PCUS, la revista Kommunist (1980, núm. 14). Pontriagin. Lo leyó desde la tribuna del Sóviet Supremo de la URSS el decano de la Facultad de Mecánica y Matemáticas de la Universidad Estatal de Moscú.
La cuestión de determinar el vector se ha convertido en una cuestión política.
Aquí, quizás, valga la pena discutir la cuestión de la pureza de las definiciones, a la que A.N. Kolmogorov y sus coautores y seguidores prestaron especial atención.
Esto es lo que escribió A.D. Alexandrov en su artículo programático "Sobre la geometría" de 1980 en la revista "Matemáticas en la escuela":
“Es esencial el conocimiento visual y operativo del tema, que contenga representaciones visuales y la capacidad de operarlas correctamente. Todo el mundo entiende lo que es una silla y sabe cómo utilizarla, pero a muchos probablemente les resultará difícil dar una definición inmediata, como en un examen: "Una silla se llama..." Los matemáticos de los siglos XVII y XVIII no Tienen definiciones precisas de una función o de un límite, ni de la variable x en sí, pero actuaron con notable éxito (recuerde a Euler).
El deseo pedante de darle a cada concepto una definición verbal puede llevar a que en lugar de explicar y aclarar las ideas que los estudiantes ya tienen, en lugar de formar conceptos claros en ellas, se les dé algo difícil de imaginar o completamente inimaginable, pero solo expresado. en un caparazón verbal, a veces tal que no pueden entender lo que se dice ni aplicarlo. Por ejemplo, en los libros de texto actuales se da la definición: “Una dirección es el conjunto de todos los rayos codirigidos”. Y como a los estudiantes ya se les ha enseñado que un conjunto es una colección de elementos y que consta de sus elementos, resulta que una dirección consta de todos los rayos codirigidos... Una situación similar se encuentra con las definiciones de conceptos de vector, poliedro, etc.
No hay nada más perjudicial para el desarrollo espiritual, mental y moral, que enseñar a una persona a pronunciar palabras cuyo significado no comprende realmente y, si es necesario, se guía por otros conceptos”.
Habiendo dado una definición engorrosa de vector, los autores todavía operan principalmente con segmentos dirigidos.
El capítulo 3 completa el estudio de la posición relativa de líneas y planos en el espacio, estudia todas las relaciones de perpendicularidad de líneas y planos y considera transformaciones de simetría axial y simetría relativa a un plano. Este capítulo se caracteriza por el uso simultáneo de métodos puramente sintéticos, el método vectorial y métodos de transformación. No hay integridad en ello.
Entonces, en noveno grado, además de los teoremas tradicionales sobre la posición relativa de líneas y planos en el espacio, el libro de texto también estudia álgebra vectorial y desplazamientos en el espacio. Está claro que al nivel de rigor que había en el libro de texto de A.P. en esta clase. Kiselev, es imposible estudiar un material tan extenso.
El primer capítulo del libro de texto de décimo grado es un breve capítulo 4 "Método de coordenadas en el espacio". Describe los elementos de la geometría analítica en el espacio.
En el próximo capítulo 5, "Poliedros", ya no hay vectores ni coordenadas; todo es bastante tradicional: prismas, pirámides, poliedros regulares. Solo en el último párrafo se calcula el volumen de la pirámide integrando el área de sus secciones planas. Y la definición de poliedro en el Capítulo 5 impulsó a A.D. Alexandrov escribirá un extenso artículo “¿Qué es un poliedro?” .
Finalmente, el último capítulo del libro de texto es el Capítulo 6, Figuras de rotación.
Se habla de un cilindro, un cono, una bola y sus superficies.
Para presentar los dos capítulos principales del curso de décimo grado (capítulos 5 y 6), no se necesitan vectores, desplazamientos ni coordenadas: el primer capítulo de esta clase es aparte y bien podría omitirse.
El libro de texto "Geometría, 9-10" (editado por Z.A. Skopets) estaba estrictamente vinculado al libro de texto "Geometría, 6-8" (editado por A.N. Kolmogorov) y tenía las mismas deficiencias que el libro de texto "Geometría, 6-8". Las dificultades adicionales para trabajar en esto radicaron en el hecho de que en esos años se introdujo en la URSS una educación universal de diez años y, por lo tanto, en la escuela secundaria los estudiantes comenzaron a aprender geometría, para quienes era difícil incluso según el libro de texto de A.P. Kiselyov, y más aún, según A.P., quien reemplazó el libro de texto. El libro de texto de Kiselyov.
Entré en tantos detalles sobre el contenido del libro de texto que queda claro por qué A.D. Alexandrov después de recibirlo en la primavera de 1979 de manos del Ministro de Educación M.A. La propuesta de Prokofiev de editar el libro de texto decidió que era necesario escribir un nuevo libro de texto sobre estereometría.

2. Trabajar en libros de texto de estereometría.

El 20 de abril de 1979, Alexander Danilovich de Novosibirsk me escribió que el diputado de la URSS le había enviado la cuarta edición del libro de texto preparada para su publicación y que, en su opinión, "es más fácil reescribir este trabajo que persuadir a los autores". para corregir cualquier cosa " Y además: “¿Aceptarías participar conmigo en la reelaboración de este trabajo?” En ese momento ya tenía experiencia en la redacción de libros de texto para institutos pedagógicos, entre los que se encontraba “Construcción axiomática de la geometría (según Kolmogorov)”, publicado en 1978 y escrito junto con S.A. Frangulov y S.A. Yuzvinski. En aquellos años, parecía que la geometría de Kolmogorov en la escuela duraría mucho tiempo (como el régimen soviético), y nosotros, en los institutos pedagógicos, teníamos que preparar a los profesores para trabajar en los libros de texto de Kolmogorov y asegurarnos de que no hubiera errores lógicos en ellos. Ya conocía bien las dificultades que plantea la creación de libros de texto para estudiantes, tanto en términos de contenido como técnicos. Comprendí muy bien que estas dificultades para los libros de texto escolares eran mucho mayores y no tenía ningún deseo particular de trabajar en libros de texto para la escuela. Por lo tanto, en respuesta a la primera carta de Alexander Danilovich, respondí de manera un tanto evasiva y pronto recibí una respuesta severa en una carta fechada el 10 de mayo de 1979. Lo citaré con más detalle.
“¡Querido Alexey Leonidovich!
Aparentemente no le expliqué claramente de qué estoy hablando, qué le estoy ofreciendo.
El Ministerio me envió el manuscrito de una nueva edición (nueva versión) del manual. El ministro me escribió una oferta para convertirme en editor científico.
Pero después de leer el ensayo, llegué a la conclusión de que editarlo era una tarea inútil e imposible; necesitas, y esto es más fácil, reescribir el ensayo nuevamente. Por eso quiero hacer esto y, además, con absoluta urgencia.
No es necesario inventar nada especial, no es necesario cambiar el programa, etc.
Solo necesitas intentar rehacer este ensayo para que sea mejor y no contenga errores obvios ni tonterías.
<...>
Entonces, digamos que vengo a Leningrado en mayo-junio para trabajar juntos en geometría: intento reescribir el manual para los grados 9 y 10. ¿Qué piensa usted al respecto?
La revolución de la escuela secundaria es una atrocidad. Ya había uno. Lo segundo no se puede permitir bajo ningún concepto. La revolución o contrarrevolución Vinogradovo-Tikhonov puede ser incluso peor que la revolución de Kolmogorov. No debemos dejarlos ir.
Y para ello es necesario tomar la iniciativa, es decir. tenemos que empezar a mejorar las cosas
de manera realista, sin declaraciones difundidas, sin palabrotas innecesarias, etc.
Suyo A. Alexandrov"
Y “nos propusimos mejorar las cosas”. Les hablé a los geómetras de Leningrado sobre la propuesta de Alexander Danilovich. Victor Abramovich Zalgaller dijo: “Escribir un nuevo libro de texto de geometría es como crear un automóvil nuevo. Si el Estado quiere conseguirlo, entonces debe crear un instituto independiente que se ocupe únicamente de este libro de texto”. Y añadió: “Alexandrov escribirá un libro de texto demasiado inteligente”. Recuerdo muy a menudo esta frase suya.
Yuri Aleksandrovich Volkov dijo esto: "Su negocio va mal: Pogorelov ya ha escrito un libro de texto". Pero Yuri Aleksandrovich, mientras pudo (ya estaba mortalmente enfermo y murió dos años después), discutió con interés las opciones que le propusimos para los primeros capítulos de estereometría y nos aconsejó mucho.
En los primeros capítulos de estereometría nos ocupamos, en primer lugar, de las figuras, sus posiciones relativas y construimos otras cada vez más complejas a partir de las figuras más simples.
Mientras trabajaba en un curso de geometría elemental, A.D. Aleksandrov comparó su comprensión de la geometría con la comprensión de Kolmogorov. Habiéndose familiarizado con el libro de texto de A.N. Kolmogorov, Alexander Danilovich dijo: "Allí casi no hay cifras". Comenzó su libro de texto con una historia sobre las figuras que estudia la estereometría, dónde se encuentran en la vida real y su papel en la práctica.
La dificultad fue que era necesario escribir un curso sobre estereometría que, por un lado, fuera independiente de las diversas construcciones posibles del curso anterior sobre planimetría, pero, por otro lado, fuera una continuación de cualquier curso sobre planimetría. Esto fue garantizado por el hecho de que Alexander Danilovich definió el plano como una figura en el espacio en la que se realiza la planimetría euclidiana. Pero no importa cómo se construya la planimetría. Lo único importante es que sus propuestas se implementen.
Por supuesto, no pudimos escribir un libro de texto sobre estereometría en un verano, como esperaba Alexander Danilovich. El capítulo sobre perpendicularidad y paralelismo sólo en el espacio fue reescrito varias veces. Y tuve que escribir sobre el concepto de distancia (que juega un papel tan importante en el enfoque de Kolmogorov sobre la geometría) varias veces. Esto es lo que me escribió Alexander Danilovich el 20 de abril de 1980, es decir: exactamente un año después de aquella primera carta sobre el libro de texto de estereometría.
“¡Querido Alexey Leonidovich!
Leí tu párrafo sobre la distancia y lloré. Traicionas nuestra causa, te retiras y sucumbes ante los villanos. ¡Entra en razón!
Kolmogorov y sus colegas (en la carta de Alexander Danilovich reemplacé la palabra más fuerte con la palabra colega. - A.L.) llenaron el curso escolar con todo tipo de tonterías, ciencia, palabras científicas, etc., etc. Tenemos que rebelarnos firmemente contra esto. basura y barrerla constantemente. ¡Está jugando con las cabezas de los estudiantes! En lugar de enseñar cosas significativas, ellos (los estudiantes) deberían aprender que la distancia de Moscú a Leningrado es igual a la distancia de Leningrado a Moscú, que la distancia de un punto a sí mismo es cero, que objetos iguales e idénticos no son iguales, pero debería llamarse congruente, etc., etc., etc., etc., etc.
<Далее А.Д. Александров в письме две страницы анализирует аксиоматику метрического пространства>
¡Necesitamos estar más cerca de la vida! En la vida está claro que |AB| > 0 y |AB| = |BA|.
Claro sin texto especial. Por eso es necesario que los estudiantes comprendan, en primer lugar, que estamos hablando de cosas cotidianas que sólo se están aclarando.
De lo contrario, resulta que en la vida la “distancia” es una cosa, pero en geometría es otra, en la vida los objetos son iguales, pero en geometría son congruentes.
Tu comentario sobre cuerpos y figuras idénticos es excelente. Lo descubriste muy bien. Tu AA."
En esta carta se ve claramente con qué pasión trabajó Alexander Danilovich en los libros de texto en esos años. No en vano, en una de las reseñas de nuestros libros de texto, N.P. Dolbilin escribió que A.D. Alexandrov habla con inspiración sobre geometría.
La pasión de Alexander Danilovich por la geometría se siente claramente en el Prefacio y la Introducción a nuestro primer libro de texto que escribió.
.
Aquí hay dos párrafos del prefacio del libro de texto.
“La esencia de la geometría es la combinación orgánica de representaciones espaciales con lógica estricta, en la que se penetran y organizan mutuamente. Y dado que todo lo que existe está en el espacio, la geometría, como teoría de las formas y relaciones espaciales, tiene un significado universal.
Estamos rodeados de sus encarnaciones reales; está en la base de toda la tecnología y aparece allí donde se requiere la más mínima precisión en la determinación de formas y tamaños. La geometría no existe sin estas conexiones; tomada “en sí misma”, no será lo que realmente es.
Por lo tanto, la primera característica del libro de texto propuesto es que presta mucha más atención de la habitual a la conexión de conceptos introducidos y teoremas probados con cosas reales, desde la vida cotidiana hasta la tecnología y las leyes de la física”.
Y aquí hay un extracto de la Introducción del libro de texto.
“La originalidad de la geometría, que la distingue de otras ramas de las matemáticas y de todas las ciencias en general, radica en la combinación orgánica inextricable de la imaginación viva con la lógica estricta. La geometría en esencia es imaginación espacial, impregnada y organizada por estrictos
lógica.
En cualquier oración verdaderamente geométrica, ya sea un axioma, un teorema o una definición, estos dos elementos de la geometría están inextricablemente presentes:
una imagen clara y una formulación estricta, una conclusión lógica estricta. Donde no existe ninguno de estos dos lados, no hay verdadera geometría.
La visualización y la imaginación pertenecen más al arte, la lógica estricta es privilegio de la ciencia. La sequedad de una conclusión precisa y la viveza de una imagen visual: "el hielo y el fuego no son tan diferentes entre sí". Entonces la geometría combina estos dos opuestos. Así es como debe estudiarse: combinando imaginación vívida con lógica, imágenes visuales con formulaciones y evidencia estrictas”.
Alexey Vasilyevich Pogorelov, después de leer la Introducción al libro de texto, dijo: "Alexander Danilovich, ¡sé cómo escribir!". Pero en general, dijo: "Pero esto es un libro de texto". Según las opiniones de A.V. Pogorelov, un libro de texto de geometría sólo debe ser breve y lógico.
Alexander Danilovich llamó a los primeros capítulos de la estereometría "geometría estructural". Hablan de la posición relativa de líneas y planos en el espacio, de las relaciones de perpendicularidad y paralelismo de líneas y planos. En este caso, la perpendicularidad se estudia antes que el paralelismo, y la más importante de las relaciones de perpendicularidad es la relación entre la perpendicularidad de una recta y un plano. Así, pasando de la geometría “pura” a las “cosas reales”, Alexander Danilovich escribe sobre el significado de la perpendicular:
“La perpendicular al plano juega un papel muy importante, además de que es la más corta entre todos los segmentos desde un punto determinado hasta los puntos del plano. Expliquemos con más detalle su significado. La posición del plano en el espacio se puede especificar indicando una línea perpendicular a él y el punto en el que cruza esta línea.
La propiedad más importante de una perpendicular es que el plano está ubicado simétricamente con respecto a ella. ¿Qué significa? Todos los rayos que se encuentran en un plano determinado forman con él ángulos iguales: ángulos rectos, pero para un plano inclinado este no es el caso. Al girar alrededor de una perpendicular, el plano se alinea consigo mismo: la rueda debe montarse en el eje de modo que su plano sea perpendicular al eje. Un rectángulo con un lado perpendicular a un plano se puede girar alrededor de ese lado y el otro lado se deslizará a lo largo del plano. Esto es claramente visible en una puerta correctamente colgada. Si su borde no es vertical, la puerta no se abre libremente y toca el suelo.
Tomando ejemplos de la física, se puede observar que la presión de un líquido o gas sobre la pared de un recipiente se dirige perpendicular a la pared, así como la presión de una carga sobre un soporte se dirige perpendicular a ella.
La perpendicular a la superficie aparece en las leyes de reflexión y refracción de la luz. Así, la ley de la reflexión establece: “El rayo incidente y el rayo reflejado se ubican en el mismo plano que la perpendicular a la superficie del espejo en el punto de incidencia y forman con él ángulos iguales”.
Pero el significado principal de la perpendicular es su papel en la tecnología y en todas nuestras vidas. Se podría decir que estamos rodeados de perpendiculares: las patas de la mesa son perpendiculares al suelo, el borde del mueble es perpendicular a la pared, etc. La vertical es perpendicular al plano horizontal. La perpendicularidad juega un papel importante en la construcción: los techos entre pisos se colocan perpendicularmente a los pilares de la estructura del edificio. El paralelismo de planos está asociado a la presencia de perpendiculares comunes. La perpendicularidad y el paralelismo de líneas rectas y planos son un elemento esencial en la construcción, por lo que la doctrina de las perpendiculares y paralelas puede considerarse los fundamentos de la geometría de la construcción”.
De las cantidades geométricas, la principal del curso es la distancia. Se destaca que las figuras paralelas son figuras que se mueven a una distancia constante entre sí (lo cual se verifica en la práctica). Y así es como el concepto de distancia hizo posible simplificar la prueba del teorema sobre tres perpendiculares: una línea inclinada a un plano es perpendicular a una línea recta que se encuentra en este plano si y solo si la proyección de la línea inclinada es perpendicular a esta línea recta.
Prueba. Sea AC inclinado hacia un plano, su proyección BC sobre este plano y una recta a que se encuentra en el plano y pasa por el punto C. El teorema contiene dos enunciados: 1) si AC ⊥ a, entonces BC ⊥ a; 2) si BC ⊥ a, entonces AC ⊥ a. Demostrémoslos.
Tomemos un punto variable X de una recta a y consideremos dos cantidades AX2 y BX2. El triángulo ABX es un triángulo rectángulo. Por lo tanto AX2 = AB2 + BX2.
Esto significa que las cantidades AX2 y BX2 difieren en un término constante. Por lo tanto, estas cantidades toman sus valores mínimos simultáneamente, en el mismo punto. De aquí se derivan ambos enunciados del teorema.
El curso de estereometría se ha vuelto más moderno: ha aparecido el concepto de plano de referencia, se consideran conos y cilindros con bases arbitrarias (y no solo conos y cilindros de rotación), gracias a este enfoque, una pirámide es un cono con base poligonal , y un prisma es un cilindro de base poligonal, fórmulas para los volúmenes de pirámides y prismas, estos son casos especiales de fórmulas generales para los volúmenes de conos y cilindros. Al derivar fórmulas para volúmenes de cuerpos, se utiliza el concepto de derivada.
Cuando a finales del verano surgió la cuestión del material del problema, le presenté a Alexander Danilovich a uno de los famosos profesores de Leningrado, Valery Idelyevich Ryzhik. Y EN. Ryzhik se graduó en la Facultad de Matemáticas del Instituto Pedagógico Estatal de Leningrado que lleva su nombre. AI. Herzen tres años más tarde que yo y luego trabajó en la escuela de matemáticas 239. El encuentro tuvo lugar en el hotel del Instituto Herzen, donde en esos años Alexander Danilovich vivía a menudo como invitado del rector del Instituto Pedagógico Estatal de Leningrado, Alexander Dmitrievich Boborykin. Así se formó nuestro equipo de autores: A.D. Alejandrov, A.L. Werner, V.I. Ryzhik.
Habiéndose familiarizado con la teoría del libro de texto y conociendo la situación del curso de geometría en la escuela en esos años, V.I. Ryzhik le dijo a Alexander Danilovich que los profesores habían olvidado qué es la geometría, la verdadera geometría que aparecerá en las páginas del libro de texto de Alexandrov. Por eso, necesitamos escribir un artículo sobre geometría para la revista “Matemáticas en la escuela”. Este artículo "Sobre la geometría", que influyó significativamente en la educación geométrica en la escuela, apareció a mediados de la década de 1980, incluso antes de la publicación del libro de texto de estereometría.
El trabajo sobre el libro de texto de estereometría duró toda la década de 1980. Fue intenso.
Así, por ejemplo, Alexander Danilovich nos escribió a V.I. Ryzhik de Novosibirsk sobre el libro de texto los días 22 y 31 de agosto, 1, 2, 3 y 4 de septiembre. Enviamos el libro de texto a la editorial Prosveshchenie en diciembre de 1980. Ya en el verano de este año, quedó claro que esperar para comenzar el experimento hasta que el libro de texto apareciera impreso significaría perder uno o dos años más. La solución se encontró en el hecho de que en el Instituto de Matemáticas de Novosibirsk, Alexander Danilovich publicó cuatro preimpresiones en 1980-81, que cubrían el contenido principal del libro de texto para el noveno grado. Allí también se publicó material problemático en pequeños números. A partir de estos preprints y tareas, profesores entusiastas comenzaron un experimento en varias escuelas de Leningrado en 1980: Larisa Petrovna Evstafieva en la escuela 210, Aron Iosifovich Rzhavinsky en la escuela 159, Anatoly Arsenievich Okunev en la escuela 526.
Trabajé en ellos en la escuela 239 y V.I. Ryzhik y Grisha Perelman estudiaron en una de sus clases utilizando estas preimpresiones de geometría. Cuando en aquellos años le reprochaba a Ryzhik que sus tareas eran difíciles, me dijo: “Y Grisha Perelman está sentada en mi clase. Tengo que mantener su cabeza ocupada con algo”. Pero, por supuesto, entre las tareas de V.I. Ryzhika y simples, factibles para estudiantes comunes y corrientes. Siempre hubo muchas tareas.
Los dos primeros libros de texto se combinaron de forma abreviada en un solo libro de texto, "Geometría, 9-10", que se publicó en 1983.

3. Curso de planimetría construido por A.D. Alexandrov

Después de completar la primera etapa del trabajo en el libro de texto sobre estereometría, Alexander Danilovich tuvo claro que ahora era necesario escribir un curso sobre planimetría para que apareciera la geometría elemental "según Alexandrov". Durante dos años (de 1981 a 1983) trabajó en un curso de planimetría, que publicó en preprints. Estas preimpresiones formaron la base de nuestros libros de texto Geometría 6, Geometría 7 y Geometría 8. Luego, los tres libros de texto de planimetría se complementaron con otro libro de texto de estereometría, nuevamente revisado, “Geometry, 9–10” (1987, ). Así, apareció para las escuelas secundarias un curso completo de geometría elemental "según Aleksandrov".
Mientras trabajaba en un curso de planimetría para la escuela, Alexander Danilovich escribió simultáneamente el libro "Fundamentos de la geometría" (Moscú: "Nauka", 1987), que, como escribió en la introducción de este libro, "está dirigido no sólo en general a a aquellos que estén interesados en los fundamentos de la geometría, pero especialmente a aquellos que estén interesados profesionalmente en comprenderlos: a los profesores actuales y futuros, a los estudiantes de universidades e institutos pedagógicos."
"Fundamentos de la geometría" comienza con una historia sobre los orígenes prácticos de la geometría, sobre aquellos problemas prácticos cuya solución condujo al surgimiento de la geometría como ciencia. El capítulo 1 se llama "Fundamentos prácticos de la geometría". Este deseo de alejarse de la práctica llevó a Alexander Danilovich a elegir un segmento como objeto principal, y no una línea recta, como es habitual en otros cursos de geometría escolares. Haz y línea recta A.D. Aleksandrov lo define como extensiones ilimitadas de un segmento en una o ambas direcciones.
Por la misma razón, en el curso el axioma tradicional del paralelismo es reemplazado por el axioma del rectángulo, que postula la posibilidad de construir un rectángulo cuyos lados sean iguales a segmentos dados (la posibilidad de tal construcción es confirmada diariamente por la práctica). .
Entre las principales relaciones se encuentra la relación de igualdad de segmentos, que permite introducir la medición de segmentos. Alexander Danilovich determina la igualdad de los ángulos, así como la igualdad de otras figuras, mediante la igualdad de segmentos. Por ejemplo, llama iguales a los triángulos si sus lados son respectivamente iguales. Se elimina así la difícil prueba del tradicional tercer criterio para la igualdad de triángulos. Y los axiomas de A.D. Aleksandrov lo formuló de tal manera que los otros dos criterios para la igualdad de los triángulos se convierten en sus simples consecuencias. Para los temas iniciales del curso de planimetría en la escuela, este es un alivio muy importante. Después de todo, no en vano existe una anécdota sobre un profesor de geometría que primero dibujó dos triángulos iguales en la pizarra y luego pasó toda la lección demostrando que son iguales.
Las pruebas que Alexander Danilovich consideraba especialmente importantes en el curso escolar se indican en su observación, que hizo, citando la famosa prueba del teorema de Pitágoras:
“El teorema de Pitágoras también es notable porque en sí mismo no es nada obvio. Si, por ejemplo, observas de cerca un triángulo isósceles con una mediana dibujada, entonces todas sus propiedades indicadas en el teorema al respecto se pueden ver directamente. Pero por mucho que mires un triángulo rectángulo, nunca verás que existe una relación tan simple entre sus lados:
un 2 + segundo 2 = c 2 .
En esto consiste el mejor estilo matemático: mediante una construcción, dispositivo o consideración ingeniosa, hacer obvio lo que no es obvio.
El teorema de Pitágoras, el teorema más importante de la planimetría, aparece temprano en el curso de Aleksandrov, debido al hecho de que inmediatamente después de los primeros teoremas sobre triángulos en este curso (como el de Euclides) hay una medición de las áreas de figuras poligonales. El concepto de área le permite introducir correctamente el seno y el coseno y demostrar el teorema del seno y el teorema del coseno (que Alexander Danilovich llama el "teorema de Pitágoras generalizado" - GTP).
A continuación estudiamos los triángulos semejantes, que se definen como triángulos cuyos lados son proporcionales. Todos los teoremas sobre la similitud de triángulos se convirtieron en simples consecuencias del teorema del seno y OTP.
En general, el curso de planimetría de Alexander Danilovich está estructurado de tal manera que contiene pocos teoremas que lo respalden, como, por ejemplo, el teorema de la suma de los ángulos de un triángulo, el teorema de Pitágoras, el teorema de los senos. , OTP y el resto de resultados de ellos se obtienen como consecuencias bastante simples. Esto permite minimizar la línea principal de la teoría manteniendo su deductividad.
La geometría elemental "según Aleksandrov" también fue presentada por él en el libro de texto "Geometría", escrito en colaboración con Nikita Yuryevich Netsvetaev (M.: "Nauka", 1990) para universidades y universidades pedagógicas. Así, los libros de texto escolares escritos por Alexandrov estaban respaldados por libros escritos por él para futuros profesores.
Alexander Danilovich hizo mucho por la educación geométrica en la escuela. El curso que creó en geometría elemental es más simple y moderno que otros cursos similares. Sus profundas ideas pedagógicas no son aceptadas de inmediato por muchos profesores acostumbrados a un estilo diferente de enseñar geometría. Pero, al comprenderlos, los profesores se convierten en firmes partidarios de sus ideas. Espero que en los próximos años la mayoría de los profesores de las escuelas rusas comiencen a enseñar geometría "según Alexandrov", y que ese estudio de la geometría les proporcione alegría tanto a ellos como a sus alumnos. Esto es exactamente lo que quería Alexander Danilovich cuando comenzó a trabajar en los libros de texto escolares de geometría en 1979. Y ahora, después de la aparición de los libros de texto de Aleksandrov, es casi imposible escribir libros de texto de geometría aburridos y secos para la escuela.

4. Período post-Kolmogorov: competencia entre libros de texto de geometría

Por orden del Ministro de Educación de la URSS en 1982, los libros de texto de geometría de A.N. Kolmogorov y Z.A. Skopetsa fue reemplazado por el libro de texto de geometría de A.V. Pogorelova. ¡La revolución (o contrarrevolución) “Vinogradovo-Tikhonov” en la geometría escolar ha ocurrido! El giro fue brusco. Muchos profesores que pasaron diez años luchando por dominar el libro de texto de A.N. Kolmogorov, tuvo que volver a aprender. En el otoño de 1982 en Novosibirsk, donde entonces vivía A.D. Alexandrov, hubo una conferencia geométrica de aniversario dedicada al 70 aniversario de A.D. Alexandrova. Llegaron los geómetras y también llegó Alexey Vasilyevich. Le pidieron que hablara con los profesores. Escuché el discurso de Alexey Vasilyevich. Los profesores ya han empezado a trabajar según el libro de texto de A.V. Pogorelov y le hizo muchas preguntas concretas: "¿Por qué los extremos del segmento no le pertenecen?", "¿Por qué no podemos utilizar un simbolismo conveniente?", "¿Por qué los estudiantes ahora tienen que escribir tanto?" etc. Luego, después de la conferencia, Alexey Vasilyevich estaba muy molesto.
AV. Pogorelov describió su visión del curso de geometría en la escuela en el libro "Geometría elemental". En el Prefacio del Maestro a este libro, escribe:
“Al ofrecer este curso partimos del hecho de que la tarea principal de la enseñanza de la geometría en la escuela es enseñar a los estudiantes a razonar lógicamente, fundamentar sus afirmaciones y demostrarlas. Muy pocos de los que se gradúen de la escuela serán matemáticos, y mucho menos geómetras. También habrá quienes nunca utilizarán el teorema de Pitágoras en sus actividades prácticas.
Sin embargo, es poco probable que haya al menos uno que no tenga que razonar, analizar y demostrar.
Toda la experiencia centenaria de la enseñanza de la geometría elemental desde la época de Euclides demuestra la racionalidad del sistema tradicional. Nos parece que su mejora, asociada al desarrollo general de la ciencia, no debería afectar a sus fundamentos razonables y profundamente pensados. Por lo tanto, el curso propuesto, básicamente tradicional, se diferencia sólo en una presentación más estricta del tema y en cierta reevaluación del significado de sus partes individuales.
El curso de geometría propuesto se basa en un sistema muy pequeño de hechos geométricos que son bien conocidos por el estudiante y reforzados en los grados primarios de la escuela. Este sistema de proposiciones iniciales, más tarde llamado axiomas, fue aislado como resultado de un análisis exhaustivo del curso de geometría de la escuela, teniendo en cuenta elementos de demostraciones tradicionales”.

Antes del libro de texto escolar, el libro de A.V. Pogorelov lo finalizó con la ayuda del laboratorio de matemáticas del Instituto de Investigación de Contenidos y Métodos de Enseñanza (C&MT) del MP de la URSS. Viktor Vasilyevich Firsov, que entonces estaba a cargo de este laboratorio, me dijo lo difícil que les resultó persuadir a Alexey Vasilyevich para que cambiara algo y lo hiciera más accesible para los escolares. Libro de texto de A.V. Pogorelov contó con el apoyo del Instituto de Matemáticas Steklov y del diputado de la URSS. Este resumen de libro de texto fue diseñado para métodos reproductivos, es decir. sólo por estudiar. Al mismo tiempo, hablando en la reunión de toda la Unión de matemáticos de universidades pedagógicas en Jarkov, A.V. Pogorelov habló así de cómo trabajar con su libro de texto: “¡Que él aprenda primero! ¡Entonces lo entenderá! Además del libro de texto de A.V. Pogorelov no pudo ofrecer ningún otro libro de texto del Instituto de Matemáticas Steklov.
Como suele suceder, surgieron desacuerdos entre los revolucionarios victoriosos. Andrei Nikolaevich Tikhonov y el diputado de la RSFSR crearon equipos de autores para actualizar todos los libros de texto escolares de matemáticas. En primer lugar, la geometría del proyecto de A.N. Tikhonov fue escrito por Levon Sergeevich Atanasyan y Eduard Genrikhovich Poznyak, y luego Valentin Fedorovich Butuzov, Sergei Borisovich Kadomtsev e Irina Igorevna Yudina completaron su equipo de autores.
Proyecto A.N. Tikhonov contó con el apoyo del Instituto de Investigación de Escuelas del MP de la RSFSR.
Siempre he tenido una buena relación con el equipo Atanasyan-Poznyak:
Discutimos nuestros planes e intercambiamos libros de texto publicados. Eduard Genrikhovich me dijo: "Queremos escribir un libro de texto de geometría sencillo en el espíritu de Kiselev". Las primeras versiones de estos libros de texto fueron fuertemente criticadas (incluso por Alexander Danilovich), pero el equipo de L.S. Atanasyan mejoró su libro de texto y ahora son los libros de texto más populares en la escuela.
Un amplio experimento en Leningrado comenzó en 1981, cuando se publicó nuestro primer libro de texto, "Principios de estereometría, 9": uno de los distritos más grandes de Leningrado, Kalininsky, comenzó a estudiar utilizando este libro de texto.
En ese momento, en Leningrado, la mitad de los distritos restantes estudiaban según el libro de texto de A.V. Pogorelov y la otra mitad, según el libro de texto de L.S. Atanasyan y sus colegas. Así pues, en Leningrado ya existían en aquella época tres libros de texto de geometría alternativos.
Los libros de texto de prueba se publicaron luego en la serie “Biblioteca del profesor de matemáticas”, que luego publicó todos los libros de texto de matemáticas nuevos.
En el momento en que Alexander Danilovich estaba trabajando en el curso de planimetría, V.I. En el verano de 1982, Ryzhik trabajó intensamente en un libro de texto sobre estereometría para clases de estudio en profundidad de matemáticas. La orden para la creación de dicho libro de texto provino de Margarita Romanovna Leontyeva, quien en ese momento dirigía el sector de libros de texto de ciencias naturales en el MP de la URSS. Se basó en libros de texto, pero su contenido se amplió significativamente en comparación con estos libros de texto. La primera edición del libro de texto sobre estereometría para física y matemáticas. Las clases aparecieron en 1984. El índice de este libro de texto se convirtió en el programa ministerial para tales clases.

5. Concurso de libros de texto de geometría de toda la Unión

A mediados de los años 80, los principales competidores en el ámbito de los libros de texto escolares de geometría en la URSS ya habían publicado sus conceptos sobre este problema, tuvieron la oportunidad de publicar sus libros de texto varias veces y dejaron que profesores y estudiantes trabajaran en ellos en las escuelas. Es hora de realizar un concurso para estos libros de texto. En 1986, el Ministerio de Educación de la URSS anunció concursos de libros de texto de matemáticas para escuelas secundarias: 1) “Matemáticas, 5-6”; 2) “Álgebra, 7–9”; 3) “Álgebra y los inicios del análisis, 10–11”; 4) “Geometría, 7–9”; 5) “Geometría, 10–11”.
Alexander Danilovich no tenía ningún deseo particular de participar en la competencia, pero aun así aceptó, perdiendo ante el mío y V.I. Los argumentos de Ryzhik. Los resultados del concurso para nosotros en su conjunto pueden considerarse satisfactorios. Los dos primeros lugares los reclamó incondicionalmente el libro de texto de A.V. Pogorelov, que contó con el apoyo del diputado de la URSS, el Departamento de Matemáticas de la Academia de Ciencias de la URSS y el Presidium de la Academia de Ciencias Pedagógicas de la URSS, así como el libro de texto de L.S. Atanasyan y sus colegas, que contó con el apoyo del diputado de la RSFSR. Como resultado del concurso, el primer lugar lo obtuvo el libro de texto de L.S. Atanasyan y sus colegas, y el libro de texto de A.V. Pogorelova quedó segunda. Nuestro libro de texto de planimetría ocupó el tercer lugar (por delante de los libros de texto de A.N. Kolmogorov, V.G. Boltyansky y otros autores famosos), y el libro de texto de estereometría ocupó el cuarto lugar, dejando al libro de texto de V.G. en tercer lugar. Bevz y sus colegas (lo cual fue inesperado para nosotros).
Las condiciones de las competiciones fueron duras. Se asignó un año para la preparación del manuscrito del libro de texto; el manuscrito se envió al diputado de la URSS bajo el lema y la información sobre los autores en competencia se indicó en un sobre cerrado. El manuscrito debía ser apto para publicación en rotaprint, se indicaban sus volúmenes (para geometría 7–9 - 20 hojas impresas y para geometría 10–11 - 16 hojas impresas), el contenido debía corresponder a los programas ministeriales.
Los manuscritos aceptados en el MP de la URSS se cifraron, se imprimieron por turnos en ediciones bastante grandes y se enviaron para su revisión a varias organizaciones: institutos de investigación, instituciones educativas, institutos de formación de docentes, metodólogos, profesores. Un año después, la Comisión de Competencia recibió más de ochocientos informes de examen y comenzó a analizarlos.
Por supuesto, en el concurso también participaron autores desconocidos para los revisores y miembros del Comité de Competición, pero para “esconder bajo códigos” los ya conocidos (y por tanto individuales) libros de texto de A.V. Pogorelova, A.N. Kolmogorov y sus coautores, L.S. Atanasyan y sus coautores, A.D. Alexandrov y sus coautores era imposible.
Ese año se celebró en Vilna una reunión de la comisión sobre geometría del parlamento de la URSS. El propietario era el famoso geómetra lituano, el profesor Vaclovas Iono Bliznikas. Entre los miembros de la comisión se encontraban L.S. Atanasyan y yo. Y a nosotros V.I. Bliznikas dijo: “Lituania estará a favor de Atanasyan. Su libro de texto es más adecuado para las granjas lituanas”. Estaba claro que los libros de texto de A.V. Pogorelova y L.S. ¿Están Atanasyan y sus coautores fuera de competencia (tanto en términos de refinamiento como de “reserva administrativa”)? y se llevarán los dos primeros lugares. Es interesante que, al anunciar los resultados del concurso, la Comisión de Competencia informó:
“Durante la discusión de los manuscritos por parte del comité de competencia, se reveló una diferencia
en las opiniones de sus miembros sobre un libro de texto de geometría para la escuela secundaria: el nivel aceptable de rigor en la presentación del material, el lugar del método axiomático en el curso escolar, el lenguaje y la presentación, etc. Esto se reflejó en la votación, cuando el número de votos emitidos para los libros de texto que ocuparon el primer y segundo lugar difirió ligeramente” (MSh. 1988, núm. 5, págs. 48-50).
Se presentaron 22 manuscritos al concurso “Geometría, 7–9” y 7 manuscritos al concurso “Geometría, 10–11”.
Los primeros lugares en ambos concursos (“Geometría, 7–9” y “Geometría, 10–11”) los ocuparon manuscritos de libros de texto de L.S. Atanasyan y sus colegas. El comité del concurso les dio las siguientes características: "Los manuscritos se distinguen por la accesibilidad de su presentación, su enfoque en el estudio independiente del material por parte de los estudiantes y su clara orientación práctica".
El segundo lugar en el concurso “Geometría, 7–9” lo ocupó el libro de texto de A.V. Pogorelov, y en el concurso “Geometría, 10-11”, el libro de texto de A.V. Pogorelova compartió el segundo y tercer lugar con el manuscrito de los autores de Kiev G.P. Bevza, V.G. Bevza, N.G. Vladimirova (estos eran nuevos autores).
Manuscritos de libros de texto de A.V. El Comité de Competición caracterizó a Pogorelov de la siguiente manera: "Los manuscritos de los libros de texto se caracterizan por un alto nivel de rigor en la presentación del material teórico, la brevedad y precisión del lenguaje y la construcción del curso sobre una base axiomática".
Manuscrito del libro de texto “Geometría, 7–9” de A.D. Alexandrova, A.L. Werner y V.I. Ryzhika ocupó el tercer lugar. Este manuscrito se describió de la siguiente manera: "Se distingue por la presentación poco convencional de una serie de temas, la vivacidad y entretenimiento del lenguaje y el enfoque del sistema de ejercicios en el desarrollo de los estudiantes".
Los manuscritos de los libros de texto enumerados fueron premiados y aceptados para su publicación por la editorial Prosveshchenie.
En el concurso “Geometría 7–9”, el libro de texto de V.G. Boltyansky, G.D. Glazer y L.M. Pashkova, y el quinto lugar: el libro de texto de A.N. Kolmogorova, A.F. Semenovich y R.S. Cherkasova.
En el concurso “Geometría 10-11”, el libro de texto de A.D. obtuvo el cuarto lugar. Alexandrova, A.L. Werner y V.I. Ryzhik y el quinto lugar: el libro de texto de V.G. Boltyansky, G.D. Glazer y L.M. Pashkova.
Se puede considerar que el concurso resumió los resultados de décadas de reformas y críticas de Kolmogorov: la geometría escolar en Rusia volvió al camino tradicional euclidiano.
Si evaluamos los resultados de esta competencia entre los libros de texto de geometría, podemos decir que pareció "legitimar" la situación que ya se había desarrollado entre los libros de texto existentes en ese momento:
1) para los profesores fue más fácil trabajar con el libro de texto de L.S. Atanasyan y sus coautores, que obtuvieron el primer lugar en el concurso y que contó con el apoyo activo del Ministerio de Educación de Rusia;
2) muchos profesores ya se han adaptado al compendio de libros de texto de A.V. Pogorelov, presentado en 1982 por orden del diputado de la URSS, pero en el concurso ocupó el segundo lugar después del libro de texto de L.S. Atanasiano;
3) entre los profesores aparecieron fanáticos de los libros de texto de A.D. Alexandrov (que obtuvo el tercer lugar en el concurso), principalmente entre los profesores que trabajaban en clases con un estudio profundo de las matemáticas.

6. Los libros de texto de nueva generación de Alejandro.

Desde mediados de los años ochenta han aparecido escuelas en las que se empezó a estudiar en profundidad cada materia no sólo en los dos grados superiores, sino también a partir del octavo grado. Para estas clases hemos escrito un libro de texto "Geometría, 8–9". Junto con el libro de texto "Geometría, 10-11", compiló un curso completo de geometría elemental para clases de física y matemáticas. Y ahora continúa la mejora de este curso en profundidad: ya se han publicado nuevos libros de texto.
Alexander Danilovich escribió en su artículo "Sobre la geometría" que los libros de texto escolares deben contener material de distintos niveles de complejidad, diseñado para estudiantes con diferentes intereses y habilidades, y que el curso de planimetría debe complementarse con elementos de estereometría.
Son estos problemas los que se resuelven en otro ciclo de nuestros libros de texto.
Estos libros de texto ya fueron escritos en los años noventa. Están destinados a la enseñanza diferenciada de la geometría y su contenido se divide en tres niveles: el humanitario (educación general), que amplía su nivel aplicado, y el nivel educativo general de profundización, el nivel lógico (problemático).
Gracias al hecho de que Alexander Danilovich simplificó y minimizó significativamente la planimetría elemental, estos libros de texto presentan a nivel visual material estereométrico bastante extenso, que se presenta en paralelo con material planimétrico similar. Así, el ciclo de estos libros de texto inicia una nueva generación de libros de texto de geometría para escuelas primarias, en los que se combinará una presentación sistemática de la planimetría con elementos de estereometría presentados a nivel visual. Es en esta dirección que avanza ahora la educación geométrica en Rusia. A finales de los años 90 del siglo pasado, Alexander Danilovich ya no trabajaba en libros de texto escolares por motivos de salud. Sin él, pero a partir de sus ideas, se escribió otra serie de libros de texto, en los que se combina la planimetría "según Aleksandrov" con una presentación de los elementos de la estereometría a nivel visual e intuitivo. Estos libros de texto resultaron ganadores en el concurso de libros de texto de nueva generación organizado por el Ministerio de Educación de la Federación de Rusia y la Fundación Nacional para la Formación de Personal.
La aparición de los Estándares Educativos a principios del siglo XXI requirió la modificación de los libros de texto de Alexander. Después de dicha revisión, fueron publicados por la editorial Prosveshchenie en la serie "Libros de texto escolares académicos", fundada en 2005 por la Academia de Ciencias de Rusia, la Academia de Educación de Rusia y la editorial Prosveshchenie. Estos libros de texto ya tienen en cuenta treinta años de experiencia de profesores que utilizan los libros de texto de Alexander, así como la experiencia de sus autores.
En los libros de texto de geometría de Alexander, la Geometría aparece ante el estudiante en toda su amplitud y versatilidad. Cada profesor podrá trabajar con estos libros de texto de acuerdo con sus propios puntos de vista pedagógicos, y cada alumno encontrará aspectos de la geometría multifacética que le sean cercanos.

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45. Alexandrov A.D. Triángulos // Preimpresión. Novosibirsk: Instituto de Matemáticas de la Rama Siberiana de la Academia de Ciencias de la URSS, 1982. 48 p.
46. Alejandrov A.D. Triángulos similares // Preimpresión. Novosibirsk: Instituto de Matemáticas de la Rama Siberiana de la Academia de Ciencias de la URSS, 1982. 42 p.
47. Alexandrov A.D. Líneas paralelas y vectores // Preimpresión. Novosibirsk: Instituto de Matemáticas de la Rama Siberiana de la Academia de Ciencias de la URSS, 1982. 50 p.
48. Alexandrov A.D. Polígonos y círculos // Preimpresión. Novosibirsk: Instituto de Matemáticas de la Rama Siberiana de la Academia de Ciencias de la URSS, 1982. 32 p.
49. Alexandrov A.D. Vectores y coordenadas // Preimpresión. Novosibirsk: Instituto de Matemáticas de la Rama Siberiana de la Academia de Ciencias de la URSS, 1983. 48.
50. Alexandrov A.D. Círculo y círculo // Preimpresión. Novosibirsk: Instituto de Matemáticas de la Rama Siberiana de la Academia de Ciencias de la URSS, 1983. 12.
51. Alexandrov A.D. Mapeos // Preimpresión. Novosibirsk: Instituto de Matemáticas de la Rama Siberiana de la Academia de Ciencias de la URSS, 1983, 44.
52. Alexandrov A.D. Fundamentos de la geometría. M.: “Nauka”, 1987. 288 p.
53. Aleksandrov A.D., Netsvetaev N.Yu. Geometría. M.: “Nauka”, 1990. 672 p.
54. Pogorelov A.V. Geometría elemental. Ed. 2. M.: “Nauka”, 1974. 208 p.

Geometría. Séptimo grado. Recomendaciones metodológicas para profesores. Werner A.L., Ryzhik V.I., Khodot T.G.

2da ed. - Moscú: 2017. - 132 p.

El libro está destinado a profesores que enseñan geometría en séptimo grado utilizando un libro de texto de los autores A. D. Alexandrov, A. L. Verner, V. I. Ryzhik, T. G. Khodot. Está escrito de acuerdo con el concepto metodológico de este libro de texto y se corresponde plenamente con él tanto en contenido como en estructura. El libro contiene el concepto de construir un curso de geometría en los grados 7 a 9, recomendaciones metodológicas para realizar lecciones, pruebas y exámenes, instrucciones para la resolución de problemas y planificación temática.

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Contenido
El concepto de construir un curso básico de geometría escolar.
1. Estructura del ciclo de libros de texto de geometría de nueva generación para escuelas primarias.
2. Los principios de Alejandro para la enseñanza de la geometría.
3. Sobre el sistema de problemas del curso de geometría para los grados 7-9
La geometría de séptimo grado es la geometría de las construcciones.
1. Discusión del material teórico del libro de texto.
2. Resolver problemas de libros de texto y sus respuestas.
Componente humanitario del curso de geometría.
1. Desarrollo del habla en lecciones de geometría.
2. Excursiones geométricas
Hacer ayudas visuales y trabajar con ellas.
Pruebas del curso de geometría.
Planificación temática

1. Estructura del ciclo de libros de texto de geometría de nueva generación para
escuela Basica
Se creó una nueva serie de libros de texto de geometría para escuelas primarias sobre la base del libro de texto "Geometría, 7 - 9" (autores: A. D. Aleksandrov, A. L. Verner, V. I. Ryzhik), ganador del último concurso de libros de texto de toda la Unión a mediados de Años 80 . Khodot) - ganadores del concurso de libros de texto de nueva generación (“Ilustración”, 1999-2001). El contenido de los libros de texto del nuevo ciclo corresponde a las últimas directivas ministeriales (Estándares de Segunda Generación) y a los puntos de vista pedagógicos modernos. La nueva serie de libros de texto tiene en cuenta la experiencia de muchos años de profesores que trabajaron utilizando los libros de texto sobre los que se crearon los nuevos.
En su curso, los autores identifican tres líneas importantes: la línea de construcción de figuras geométricas - la línea principal en el libro de texto "Geometría, 7", la línea de cálculo de cantidades geométricas - la línea principal en el libro de texto "Geometría, 8" y la línea de ideas y métodos de la geometría moderna: la línea principal del libro de texto "Geometría, 9".
Cada uno de los tres libros de texto tiene integridad e integridad de su contenido, y trabajar en él no requiere referencia a otros libros de texto. Esto se garantiza por el hecho de que el libro de texto "Geometría, 8" comienza con una repetición de los conceptos y oraciones más importantes del curso de 7º grado, y el libro de texto "Geometría, 9" repite la información necesaria del curso de 8º grado. En conjunto, estos tres libros de texto cubren toda la sección “Geometría” de los Contenidos Básicos de la Educación Matemática, incluida su parte estereométrica de la subsección “Geometría Visual”.
La inclusión de la parte estereométrica de “Geometría visual” en un curso de geometría sistemática para los grados 7 a 9 parece necesaria a los autores por las siguientes razones. En primer lugar, en el curso "Matemáticas" se dedica poco tiempo a los elementos de estereometría y vale la pena repetirlos con más detalle en los grados 7 a 9. En segundo lugar, la ausencia de material estereométrico en un curso de geometría sistemática de tres años conduce a la pérdida de conceptos espaciales por parte de los estudiantes (“ceguera estereométrica”), lo que es perjudicial para el desarrollo cultural general de los estudiantes y crea grandes dificultades al estudiar un curso de estereometría en escuela secundaria. Finalmente, en tercer lugar, un curso sistemático de geometría para los grados 7 a 9 debería cubrir toda la sección "Geometría" del Contenido Básico para crear una comprensión holística de este tema para los graduados de la escuela básica.
Los libros de texto no se limitan a contenidos puramente geométricos. Prestan mucha atención al desarrollo matemático general de los estudiantes, que se analiza en la sección "Lógica y conjuntos" del Contenido principal: al comienzo del curso, se introducen y describen las operaciones de combinación y intersección de figuras.
06 axiomas y teoremas, se dedican párrafos especiales al método de prueba por contradicción, teoremas mutuamente inversos, propiedades características y el conectivo lógico “entonces y sólo entonces”. Todo esto forma acciones lógicas universales.
A lo largo de todo el ciclo, hay una historia sobre la historia de la geometría: el curso de 7º grado comienza con una historia sobre el surgimiento de la geometría en la antigüedad, sobre
Euclides y sus "Principios", y termina con una historia sobre la solución del problema del quinto postulado, sobre N.I. Lobachevsky y su geometría, párrafos separados en los libros de texto para los grados 8 y 9 están dedicados a Tales, Pitágoras, Arquímedes; historia de la trigonometría, etc. Todo esto corresponde al apartado “Las Matemáticas en el Desarrollo Histórico” de los Contenidos Principales.

El libro de texto contiene material teórico y práctico sobre estereometría para un curso de secundaria. El libro contiene alrededor de 100 problemas con solución y más de 800 problemas para solución independiente. También se dan problemas que se utilizaron en los exámenes de ingreso en varias universidades. El manual está destinado a estudiantes, solicitantes y profesores de la escuela.

Aviones en el espacio.
Es natural comenzar la “geometría estructural” con propuestas para especificar la posición de un plano en el espacio. Aquí formulamos tres de esas propuestas.

Comencemos con la pregunta de cuántos puntos en el plano se deben especificar para que su posición esté determinada inequívocamente por estos puntos. Está claro que uno o dos puntos no son suficientes para ello. Pero al especificar tres puntos que no se encuentran en la misma línea recta, la posición del plano se determinará sin ambigüedades (figura 1.1). Ejemplo real: dos bisagras y una cerradura fijan la posición de la puerta, pero dos bisagras no. Entonces la siguiente oración es válida:

Proposición 1. Por tres puntos cualesquiera del espacio que no estén sobre la misma recta, pasa un plano, y sólo uno.
Un plano que pasa por tres puntos A, B, C que no se encuentran en la misma línea recta se llama "plano ABC" y se escribe (ABC).
Además de este método (principal) para definir un plano, utilizaremos otros.

TABLA DE CONTENIDO
Prefacio
Introducción
Capítulo 1. Rectas y planos.
§ 1. Disposición mutua de líneas y planos.
§ 2. Perpendicularidad de rectas y planos.
§ 3. Paralelismo de rectas y planos.
Problemas con soluciones
Capítulo 2. Las figuras espaciales más importantes
§ 4. Esfera y bola
§ 5. Ángulos triédricos y triángulos esféricos.
§ 6. Cilindro
§ 7. Prisma
§ 8. Cono
§ 9. Pirámide
Problemas con soluciones
Problemas para resolver de forma independiente.
Capítulo 3. Sólidos, superficies, poliedros.
§ 10. Cuerpos y sus superficies.
§ 11. Poliedros
§ 12. Poliedros regulares y semirregulares
Problemas con soluciones
Problemas para resolver de forma independiente.
Capítulo 4. Volúmenes de cuerpos y sus superficies.
§ 13. El concepto de volumen.
§ 14. Volumen de un cilindro recto.
§ 15. Representación del volumen por integral.
§ 16. Volumen de un cilindro, cono, bola.
Artículo 17. Superficie
Problemas con soluciones
Problemas para resolver de forma independiente.
Capítulo 5. Coordenadas y vectores.
§ 18. Coordenadas rectangulares
§ 19. Método de coordenadas
§ 20. Varios sistemas de coordenadas.
§ 21. El concepto de vector.
§ 22. Operaciones lineales con vectores.
§ 23. Multiplicación escalar de vectores.
§ 24. Método vectorial
Problemas con soluciones
Problemas para resolver de forma independiente.
Capítulo 6. Transformaciones
§ 25. Movimientos
§ 26. Propiedades de los movimientos.
§ 27. Clasificación de los movimientos del espacio.
§ 28. Similitud
§ 29. Inversión
Problemas con soluciones
Problemas para resolver de forma independiente.
Respuestas e indicaciones
Teoremas y fórmulas básicas de planimetría.
Índice de materias
Lista de literatura usada.

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Descargue el libro Estereometría, Geometría en el espacio, Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I., 1998 - fileskachat.com, descarga rápida y gratuita.

Geometría, Colección de programas de trabajo, grados 7-9, Burmistrova T.A., 2011
Geometría, séptimo grado, Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I., 2013
Matemáticas, álgebra y los inicios del análisis matemático, geometría, grados 10-11, libro de texto para organizaciones de educación general, niveles básico y avanzado, Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I., 2014

Línea del complejo educativo y metodológico en geometría. 10 – 11 grados (nivel avanzado). A. D. Alexandrov, A. L. Werner, V. I. Ryzhik.

La línea UMK fue escrita por un equipo de autores creado y encabezado por el académico A. D. Alexandrov (1912-1999). La idea principal de la línea de instrucción de enseñanza y aprendizaje es la posibilidad de enseñar geometría a estudiantes con diferentes intereses utilizando una gran cantidad de material problemático diferenciado.

La UMK incluye:

Libros de texto:
- Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Matemáticas: álgebra y principios de análisis matemático, geometría. Geometría. 10º grado (nivel avanzado);
- Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Matemáticas: álgebra y principios de análisis matemático, geometría. Geometría. 11º grado (nivel avanzado);
materiales didácticos;
pautas.

Libros de texto corresponden al Estándar Educativo del Estado Federal de Educación Secundaria (Completa) General. Están diseñados para el estudio avanzado de la geometría y contienen materiales que pueden ser cursos optativos: figuras convexas, poliedros, teoría de superficies y geometría esférica, transformaciones, geometría moderna y relatividad. El material teórico de los libros de texto se diferencia tanto en la profundidad del material tratado como en la posibilidad de estudiar temas adicionales. El material problemático también se diferencia. Esto se desprende de los nombres de los títulos dentro del material de tareas por tipo de actividad: “Mirar”, “Complementar la teoría”, “Planificar”, “Demostrar”, etc., que orientan a profesores y estudiantes en el material educativo. La sección "Comprensión de la solución" ofrece ejemplos de resolución de problemas. Al final del libro de texto, los autores hablan sobre la geometría moderna y la teoría de la relatividad. De esta forma, los estudiantes pueden seguir el desarrollo de la ciencia de la geometría en el mundo moderno. En conclusión, los autores dan respuestas a las tareas "Preparación para el examen estatal unificado".

Materiales didácticos Contienen trabajos independientes y de control en dos versiones. Se proporcionan respuestas para todos los problemas y para algunos se dan instrucciones para resolverlos.

Pautas"Estudio en profundidad de la geometría en el grado 10" (autores V. M. Papovsky, N. M. Pultsin) y "Estudio en profundidad de la geometría en el grado 11" (autores V. M. Papovsky, K. N. Aksenov, M. Ya. Pratusevich) contienen recomendaciones para realizar geometría lecciones y una historia sobre la experiencia laboral de un maestro en particular. Estos libros brindan recomendaciones metodológicas para los capítulos de los libros de texto y soluciones a problemas de cada párrafo, planes para completar los capítulos y planificación temática aproximada de material para el año, textos para trabajos independientes y pruebas.

Características de la línea UMK:

la presentación de la geometría en los libros de texto combina claridad y lógica;
se llama la atención sobre la aplicación práctica de la geometría, su conexión con el arte, la tecnología y la arquitectura;
Se diferencia el material teórico y el de problemas.

Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Inicios de la estereometría: 10. Libro de texto de prueba. Materiales de revisión.- M.: Educación, 1982.-191 p. - (Profesor B-matemáticas).
Un libro de texto de prueba para la clase X: una presentación detallada de la segunda parte del libro de texto. El libro de texto se publicó para familiarizar a los profesores con una posible opción para construir un curso escolar sobre estereometría.
Actualmente se está realizando una prueba piloto en varias escuelas.
Su primera parte (un libro de texto de prueba para el grado IX) se publicó en 1981.
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Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometría 6. Libro de texto de prueba para sexto grado de escuela secundaria. – M.: Educación, 1984. – 176 p.
Capítulo I. Los inicios de la geometría: § 1. De qué y por qué se trata la geometría. § 2. Segmentos. § 3. Ángulos. § 4. Triángulos. § 5. Algunas aplicaciones de los primeros teoremas sobre triángulos. § 6. Cuadriláteros.
Capitulo dos. Medida de cantidades: § 7. Operaciones con segmentos. § 8. Medición de longitud. § 9. Operaciones con ángulos. § 10. Medición de ángulos. § 11. Suma de ángulos de un triángulo. § 12. Figuras poligonales y polígonos. § 13. Área.
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Nuevo Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometría. Libro de texto de prueba de séptimo grado. - M.: Educación, 1985. - 192 p.
Capítulo III. Geometría de un triángulo: teorema de Pitágoras. Perpendicular y oblicua. Desigualdad triangular. Seno. Signos de igualdad de triángulos rectángulos y su aplicación. Teorema de los senos. Coseno. Teorema de Pitágoras generalizado. Funciones trigonométricas. Triángulos semejantes.
Capítulo IV. Paralelismo: Rectas paralelas. Paralelogramo y trapezoide. Paralelismo y triángulos semejantes.
Vectores: Vectores. Suma de vectores. Multiplicar un vector por un número.
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Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometría 8. Libro de texto de prueba para el octavo grado de la escuela secundaria. – M.: Educación, 1986. – 190 p.
Capítulo VI Vectores y coordenadas: § 29. Proyecciones y coordenadas vectoriales § 30. Multiplicación escalar de vectores §31. Ecuaciones de un círculo y una recta.
Capítulo VII Polígonos y círculos: § 32. Cuerdas y tangentes § 33. Polígonos § 34. Polígonos regulares § 35. Longitud de un círculo § 36. Área de un círculo
Capítulo VIII Movimientos y semejanzas: § 37. Movimientos e igualdad de figuras § 38. Tipos de movimientos § 39. Simetría de figuras § 40. Semejanza
Conclusión
§41. Conceptos básicos de planimetría.
Complementos
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Nuevo Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometría. Libro de texto de prueba para los grados 9-10. - 2ª ed., revisada. - M.: Educación, 1987. - 272 p.
Noveno grado. : Conceptos básicos de estereometría. Perpendicularidad y paralelismo. Proyecciones. Distancias y ángulos. Esfera y bola.
Grado 10. : Cilindros y conos. Poliedros. Volúmenes de cuerpos y áreas de sus superficies. Coordenadas. Vectores. Movimientos. Fundamentos de la geometría. Geometría moderna.
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Alexandrov A. D., Werner A. L., Ryzhik V. I. Geometría. Libro de texto para los grados 7-9 de la escuela secundaria. – M.: Educación, 1992. – 320 p.: enfermo. - ISBN 5-09-003876-7.
El libro de texto obtuvo el tercer lugar en el concurso de libros de texto para escuelas secundarias de toda la Unión en 1988.
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Nuevo Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometría. Libro de texto experimental de séptimo grado. - M.: MIROS, 1994. - 200 págs.: enfermo.
El libro de texto proporciona una enseñanza diferenciada de la geometría: la presentación secuencial-paralela del material se realiza en tres niveles: visual, aplicado y lógico. El manual desarrolla las tradiciones que se han desarrollado en una serie de libros educativos sobre geometría del equipo de autores encabezado por el académico A.D. Alejandrov. No edificación, sino conversación: este es el estilo del autor de este curso. Un gran conjunto de problemas sobre todos los temas del curso (de hecho, un libro de problemas en el libro de texto) ayudará al profesor a organizar el trabajo práctico con los estudiantes.
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New Okunev A.A., Evstafieva L.P., Sheptovitskaya O.A., Werner A.L., Khodot T.G. El estricto mundo de la geometría. Libro para profesores. Materiales metodológicos para el libro de texto experimental de A.D. Aleksandrova “Geometría” para 7º grado. - M.: MIROS, 1994. - 72 p.: enfermo. - ISBN 5-7084-0046-3.
El problema de las “primeras lecciones” de geometría será ayudado por los materiales metodológicos y didácticos para profesores contenidos en este libro. Fueron preparados por profesores experimentados, cuya práctica laboral confirmó los méritos del material didáctico experimental de A.D. Alexandrova, A.L. Werner, V.I. Ryzhik “Geometría” para estudiantes de séptimo grado de escuelas secundarias.
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Nuevo Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometría. Libro de texto experimental de octavo grado. - M.: MIROS, 1997. - 304 p.: enfermo.
El libro de texto está destinado a la enseñanza diferenciada en escuelas y clases de diversos tipos: humanitaria, ordinaria, con estudio en profundidad de las matemáticas. La primera parte del libro contiene tres capítulos del curso de planimetría: “Paralelismo y Vectores”, “Áreas de Figuras Poligonales”, “Geometría de un Triángulo”, así como el material estereométrico correspondiente. La segunda parte contiene tareas sobre todos los temas del curso, que se compilan para diferentes niveles de estudio.
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New Evstafieva L.P., Okunev A.A., Khodot T.G., Sheptovitskaya O.A. De Pitágoras a Euclides. Libro para profesores. Materiales metodológicos para el libro de texto experimental de A.D. Aleksandrova “Geometría” para estudiantes de 8º grado. - M.: MIROS, 1997. - 96 p.: enfermo.
El manual metodológico está destinado a la enseñanza diferenciada en escuelas y clases de diversos tipos. Los materiales didácticos contenidos en el libro, las recomendaciones metodológicas para organizar el trabajo en el aula y un modelo de plan de lección ayudarán al docente a elegir su propia opción para enseñar geometría.
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Nuevo Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometría. Noveno grado. Libro de texto experimental. - M.: MIROS: CheRo, 1997. - 352 págs.: enfermo - ISBN 5-7084-0156-7.
El libro de texto completa un curso escolar sistemático de tres años sobre planimetría y una descripción general de la estereometría. El manual proporciona una enseñanza diferenciada de la geometría: la presentación secuencial-paralela del material se realiza en tres niveles: visual, aplicado y lógico. Un conjunto de tareas sobre todos los temas del curso ayudará al profesor a organizar el trabajo práctico con los estudiantes.
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New Okunev A.A., Evstafieva L.P., Sheptovitskaya O.A., Khodot T.G. De Euclides a Lobachevsky. Libro para profesores. Materiales metodológicos para el libro de texto experimental de A.D. Aleksandrova “Geometría” para noveno grado. - M.: MIROS, 1997. - 96 p.: enfermo. - ISBN 5-7084-0144-3.
Las recomendaciones metodológicas y los materiales didácticos ayudarán al docente en la enseñanza diferenciada de los temas “Vectores y Coordenadas”, “Figuras de Rotación” y “Transformaciones”, que completan el estudio sistemático de la planimetría y una visión general de la estereometría en la escuela, así como en la repetición final de un curso experimental de tres años de duración en geometría.
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Alexandrov A.D. et al. Geometría para los grados 9-10: libro de texto. manual para estudiantes de la escuela. y clases con estudio en profundidad de matemáticas/A. D. Alexandrov, A. L. Werner, V. I. Ryzhik.-M.: Educación, 1984. - 480 págs., ill.
Este libro es un libro de texto para estudiantes en escuelas y clases con un estudio en profundidad de las matemáticas. Revela cuestiones tanto del programa de geometría de una escuela integral como del programa de geometría para las clases y escuelas correspondientes. Esto permite a los estudiantes de estas clases obtener una formación matemática más profunda.
(pdf) ya.disk (no págs. 40, 41, 392)

Alexandrov A.D. et al. Geometría para los grados 8-9. Libro de texto manual para estudiantes de la escuela. y cl. con profundidad estudió matemáticas / A. D. Aleksandrov, A. L. Werner, V. I. Ryzhik.-3ª ed. - M.: Educación, 1996.-415 con ilus.
Leer edu-lib.net

Okunev A.A. Estudio en profundidad de la geometría en octavo grado: un manual para profesores - M.: Educación: JSC “Ucheb. lit.”, 1996.- 175 págs.: ill.-ISBN 5-09-006591-8.
El manual está destinado a profesores que trabajan en el libro de texto para escuelas y clases con un estudio en profundidad de las matemáticas "Geometría para los grados 8-9" de A. D. Aleksandrov, A. L. Werner, V. I. Ryzhik. El autor presenta la estructura del libro de texto, los objetivos y tácticas de la enseñanza de la geometría. Para cada tema, el autor ofrece exámenes específicos, talleres, comentarios sobre la resolución de problemas y analiza las características de la presentación de la geometría.
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Alexandrov A. D. Geometría: libro de texto. subsidio para 8vo grado. con profundidad estudiando matemáticas / A. D. Aleksandrov, A. L. Werner, V. I. Ryzhik - M.: Educación, 2002. - 240 p. : enfermo - ISBN 5-09-010864-1.
Sobre la estructura de un curso de geometría avanzada. ¡Queridos amigos! Comienzas un curso avanzado de cuatro años en geometría. Los dos primeros años es un curso sistemático de planimetría elemental, complementado con elementos de estereometría. Probaremos todos los teoremas más importantes de la planimetría y presentaremos los resultados de la estereometría a nivel visual. Un curso de estereometría sistemática comienza en los grados 10 y 11. Así, todo el curso avanzado de cuatro años se divide en dos ciclos de dos años. Dentro de cada uno de ellos, el primer año se dedica principalmente a los resultados de la geometría elemental clásica (conocida desde la época de la Antigua Grecia). El segundo año se dedica principalmente a las ideas y métodos de la geometría más moderna.
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Alexandrov A.D. Geometría: libro de texto. subsidio para el noveno grado. con profundidad estudiando matemáticas / A. D. Aleksandrov, A. L. Werner, V. I. Ryzhik - M.: Educación, 2004. - 240 p. : enfermo.- ISBN 5 09 011551-6.
Los teoremas más importantes demostrados en el curso de octavo grado (a excepción del teorema de los senos) se conocían en la antigua Grecia. Y los demostramos utilizando métodos tradicionales de geometría elemental, también creados en la antigua Grecia, pero que aún hoy no han perdido su significado. En el curso de noveno grado comenzaremos a hablar sobre otros métodos de geometría creados mucho más tarde, en los siglos XVII y XX: coordenadas, vectores y el método de transformaciones geométricas. Estas secciones de la geometría han encontrado una amplia aplicación en la tecnología y las ciencias naturales, principalmente en la física.
El contenido principal de los capítulos del libro de texto es planimétrico, y hablamos del material estereométrico correspondiente además de los capítulos.
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Alexandrov A.D. et al. Geometría: libro de texto. para estudiantes de décimo grado. con profundidad estudió matemáticos/A. D. Alexandrov, A. L. Werner, V. I. Ryzhik.-M.: Educación, 1999.-238 p.: ill.- ISBN 5-09-008530-7
Este libro de texto es una versión revisada del libro de texto de A. D. Aleksandrov, A. L. Werner, V. I. Ryzhik “Geometría, 10-11” para el estudio en profundidad de las matemáticas (M.: Prosveshchenie, 1988-1995). Como resultado de la revisión, el libro de texto se presenta en dos libros: “Geometría, 10” y “Geometría, 11”, en los que se conserva la secuencia y la mayor parte del contenido de los capítulos. Los cambios afectaron principalmente al material del problema: la unidad semántica en esta versión es el párrafo completo, y no su párrafo, lo que determinó la estructura de los problemas en esta edición. (Para una mejor orientación, el número de cada tarea indica entre paréntesis a qué punto del párrafo pertenece). Todas las tareas se dividen en los siguientes títulos: “Complementar la teoría”, “Demostrar”, “Investigar”, “Razonar”, “Planificación”, “Comprender la solución”, “Participar en la Olimpiada”, etc. Reflejan de manera óptima los tres componentes de la geometría: lógica, imaginación visual y práctica.
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Ryzhik V.I. Materiales didácticos sobre geometría para el décimo grado con un estudio en profundidad de las matemáticas - M.: Educación, 1998. - 45 págs. - ISBN 5-09-008278-2.

Para UMK A.D. Alexandrova.
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Ryzhik V.I. Geometría: didáctica. Materiales para 10º grado. educación general instituciones / V. I. Ryzhik - 3ª ed., revisada - M.: Educación, 2007. - 48 págs. - ISBN 978-5-09-015968-5.
Este manual contiene trabajos independientes y de prueba sobre geometría para estudiantes en clases de matemáticas avanzadas.
Gracias, yri
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Materiales didácticos de geometría de Ryzhik V.I. educación general instituciones: perfil. nivel / V.I. Ryzhik - 4ª ed., revisada - M.: Educación, 2008. - 63 p. : enfermo - ISBN 978-5-09-015498-7.
Este manual contiene trabajos independientes y de prueba sobre geometría en dos versiones para estudiantes en clases especializadas y clases con un estudio en profundidad de las matemáticas.
Gracias, yri
Descargar (djvu, 0,3 MB) ya.disk

Buscado

Okunev A.A., Estudio en profundidad de la geometría en el octavo grado, libro para profesores, Ilustración. Literatura educativa, 1996.
Okunev A.A., Estudio en profundidad de la geometría en el noveno grado, libro para profesores, Educación, 1997.
Ryzhik V.I., Okunev A.A., Materiales didácticos sobre geometría, octavo grado.
Ryzhik V.I., Okunev A.A., Materiales didácticos sobre geometría, noveno grado, Educación, 1999
Papovsky V.M., Pultsin N.M., Estudio en profundidad de la geometría en el décimo grado, libro para profesores, Educación, 1999
Papovsky V.M., Aksenov K.N., Pratusevich M.Ya., Estudio en profundidad de la geometría en el grado 11, libro para profesores, Educación 2002.
Ryzhik V.I., Materiales didácticos sobre geometría, grado 10, Educación, 1998
Ryzhik V.I., Materiales didácticos sobre geometría, grado 11, Educación, 1999.

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Concurso de libros de texto de geometría de toda la Unión.

Geometría. Séptimo grado. Recomendaciones metodológicas para profesores. Werner A.L., Ryzhik V.I., Khodot T.G.

Línea del complejo educativo y metodológico en geometría. 10 – 11 grados (nivel avanzado). A. D. Alexandrov, A. L. Werner, V. I. Ryzhik.