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El área de la superficie lateral del prisma. ¡Hola! En esta publicación analizaremos un grupo de problemas en estereometría. Consideremos una combinación de cuerpos: un prisma y un cilindro. Por el momento, este artículo completa toda la serie de artículos relacionados con la consideración de tipos de tareas en estereometría.
Si aparecen nuevos en el banco de tareas, entonces, por supuesto, habrá adiciones al blog en el futuro. Pero lo que ya hay es suficiente para que aprendas a resolver todos los problemas con una respuesta corta como parte del examen. Habrá suficiente material para los próximos años (el programa de matemáticas es estático).
Las tareas presentadas implican calcular el área de un prisma. Observo que a continuación consideramos un prisma recto (y, en consecuencia, un cilindro recto).
Sin conocer fórmulas, entendemos que la superficie lateral de un prisma son todas sus caras laterales. Un prisma recto tiene caras laterales rectangulares.
El área de la superficie lateral de dicho prisma es igual a la suma de las áreas de todas sus caras laterales (es decir, rectángulos). Si hablamos de un prisma regular en el que está inscrito un cilindro, entonces está claro que todas las caras de este prisma son rectángulos IGUAL.
Formalmente, el área de la superficie lateral de un prisma regular se puede reflejar de la siguiente manera:
27064. Un prisma cuadrangular regular está circunscrito a un cilindro cuyo radio base y altura son iguales a 1. Encuentre el área de la superficie lateral del prisma.
La superficie lateral de este prisma consta de cuatro rectángulos de igual área. La altura de la cara es 1, el borde de la base del prisma es 2 (estos son dos radios del cilindro), por lo tanto el área de la cara lateral es igual a:
Superficie lateral:
73023. Calcula el área de la superficie lateral de un prisma triangular regular circunscrito a un cilindro cuyo radio base es √0,12 y altura 3.
El área de la superficie lateral de un prisma dado es igual a la suma de las áreas de las tres caras laterales (rectángulos). Para encontrar el área de la cara lateral, necesitas saber su altura y la longitud del borde de la base. La altura es tres. Encontremos la longitud del borde de la base. Considere la proyección (vista superior):
Tenemos un triángulo regular en el que está inscrita una circunferencia de radio √0,12. Del triángulo rectángulo AOC podemos encontrar AC. Y luego AD (AD=2AC). Por definición de tangente:
Esto significa AD = 2AC = 1,2 Por tanto, el área de la superficie lateral es igual a:
27066. Encuentra el área de la superficie lateral de un prisma hexagonal regular circunscrito a un cilindro cuyo radio base es √75 y altura es 1.
El área requerida es igual a la suma de las áreas de todas las caras laterales. Un prisma hexagonal regular tiene caras laterales que son rectángulos iguales.
Para encontrar el área de una cara, necesitas saber su altura y la longitud del borde de la base. La altura se conoce, es igual a 1.
Encontremos la longitud del borde de la base. Considere la proyección (vista superior):
Tenemos un hexágono regular en el que está inscrita una circunferencia de radio √75.
Considere el triángulo rectángulo ABO. Conocemos el cateto OB (este es el radio del cilindro). También podemos determinar el ángulo AOB, es igual a 300 (el triángulo AOC es equilátero, OB es bisectriz).
Usemos la definición de tangente en un triángulo rectángulo:
AC = 2AB, ya que OB es la mediana, es decir, divide a AC por la mitad, lo que significa AC = 10.
Así, el área de la cara lateral es 1∙10=10 y el área de la superficie lateral es:
76485. Encuentra el área de la superficie lateral de un prisma triangular regular inscrito en un cilindro cuyo radio base es 8√3 y altura 6.
El área de la superficie lateral del prisma especificado de tres caras del mismo tamaño (rectángulos). Para encontrar el área, necesitas saber la longitud del borde de la base del prisma (conocemos la altura). Si consideramos la proyección (vista superior), tenemos un triángulo regular inscrito en un círculo. El lado de este triángulo se expresa en términos de radio como:
Detalles de esta relación. Entonces será igual
Entonces el área de la cara lateral es: 24∙6=144. Y el área requerida:
245354. Un prisma cuadrangular regular está circunscrito a un cilindro cuyo radio base es 2. El área de la superficie lateral del prisma es 48. Encuentre la altura del cilindro.
En el plan de estudios escolar para el curso de estereometría, el estudio de figuras tridimensionales suele comenzar con un cuerpo geométrico simple: el poliedro de un prisma. El papel de sus bases lo desempeñan 2 polígonos iguales que se encuentran en planos paralelos. Un caso especial es un prisma cuadrangular regular. Sus bases son 2 cuadrángulos regulares idénticos, a los cuales los lados son perpendiculares, teniendo forma de paralelogramos (o rectángulos, si el prisma no está inclinado).
¿Cómo se ve un prisma?
Un prisma cuadrangular regular es un hexágono cuyas bases son 2 cuadrados y las caras laterales están representadas por rectángulos. Otro nombre para esta figura geométrica es paralelepípedo recto.
A continuación se muestra un dibujo que muestra un prisma cuadrangular.
También puedes ver en la imagen. Los elementos más importantes que componen un cuerpo geométrico.. Éstas incluyen:
A veces, en los problemas de geometría, puedes encontrarte con el concepto de sección. La definición será la siguiente: una sección son todos los puntos de un cuerpo volumétrico que pertenecen a un plano de corte. La sección puede ser perpendicular (interseca los bordes de la figura en un ángulo de 90 grados). Para un prisma rectangular se considera también una sección diagonal (el número máximo de secciones que se pueden construir es 2), pasando por 2 aristas y las diagonales de la base.
Si la sección se dibuja de tal forma que el plano de corte no sea paralelo ni a las bases ni a las caras laterales, el resultado es un prisma truncado.
Para encontrar los elementos prismáticos reducidos se utilizan diversas relaciones y fórmulas. Algunos de ellos se conocen del curso de planimetría (por ejemplo, para encontrar el área de la base de un prisma, basta con recordar la fórmula del área de un cuadrado).
Área de superficie y volumen
Para determinar el volumen de un prisma usando la fórmula, necesitas saber el área de su base y su altura:
V = Sbas h
Como la base de un prisma tetraédrico regular es un cuadrado de lado a, Puedes escribir la fórmula de forma más detallada:
V = a²·h
Si hablamos de un cubo, un prisma regular con igual largo, ancho y alto, el volumen se calcula de la siguiente manera:
Para entender cómo encontrar el área de la superficie lateral de un prisma, es necesario imaginar su desarrollo.
En el dibujo se puede ver que la superficie lateral está formada por 4 rectángulos iguales. Su área se calcula como el producto del perímetro de la base por la altura de la figura:
Lado = Posn h
Teniendo en cuenta que el perímetro del cuadrado es igual a pag = 4a, la fórmula toma la forma:
Lado = 4a h
Para cubo:
Lado = 4a²
Para calcular el área de superficie total del prisma, es necesario sumar 2 áreas de base al área lateral:
Sfull = Sside + 2Smain
En relación con un prisma regular cuadrangular, la fórmula es la siguiente:
Total = 4a h + 2a²
Para el área de superficie de un cubo:
Lleno = 6a²
Conociendo el volumen o la superficie, se pueden calcular los elementos individuales de un cuerpo geométrico.
Encontrar elementos de prisma
A menudo hay problemas en los que se da el volumen o se conoce el valor de la superficie lateral, donde es necesario determinar la longitud del lado de la base o la altura. En tales casos, se pueden derivar las fórmulas:
- longitud del lado de la base: a = Slado / 4h = √(V / h);
- altura o longitud de la costilla lateral: h = Slado / 4a = V / a²;
- área de la base: Sbas = V/h;
- área de la cara lateral: Lado gr = Lado / 4.
Para determinar cuánta área tiene la sección diagonal, necesitas saber la longitud de la diagonal y la altura de la figura. por un cuadrado re = a√2. Por lo tanto:
Sdiag = ah√2
Para calcular la diagonal de un prisma utilizamos la fórmula:
dpremio = √(2a² + h²)
Para comprender cómo aplicar las relaciones dadas, puedes practicar y resolver varias tareas sencillas.
Ejemplos de problemas con soluciones.
A continuación se muestran algunas tareas que se encuentran en los exámenes finales estatales de matemáticas.
Ejercicio 1.
Se vierte arena en una caja con forma de prisma cuadrangular regular. La altura de su nivel es de 10 cm. ¿Cuál será el nivel de arena si la colocas en un recipiente de la misma forma, pero con una base el doble de larga?
Se debe razonar de la siguiente manera. La cantidad de arena en el primer y segundo contenedor no cambió, es decir, su volumen en ellos es el mismo. Puedes denotar la longitud de la base por a. En este caso, para la primera casilla el volumen de la sustancia será:
V₁ = ha² = 10a²
Para la segunda caja, la longitud de la base es 2a, pero se desconoce la altura del nivel de arena:
V₂ = h (2a)² = 4ha²
Porque el V₁ = V₂, podemos igualar las expresiones:
10a² = 4ha²
Después de reducir ambos lados de la ecuación en a², obtenemos:
Como resultado, el nuevo nivel de arena será h = 10 / 4 = 2,5 cm.
Tarea 2.
ABCDA₁B₁C₁D₁ es un prisma correcto. Se sabe que BD = AB₁ = 6√2. Encuentra la superficie total del cuerpo.
Para que sea más fácil entender qué elementos se conocen, puedes dibujar una figura.
Como estamos hablando de un prisma regular, podemos concluir que en la base hay un cuadrado con una diagonal de 6√2. La diagonal de la cara lateral tiene el mismo tamaño, por lo tanto, la cara lateral también tiene forma de cuadrado igual a la base. Resulta que las tres dimensiones (largo, ancho y alto) son iguales. Podemos concluir que ABCDA₁B₁C₁D₁ es un cubo.
La longitud de cualquier arista se determina mediante una diagonal conocida:
a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6
El área total de la superficie se encuentra usando la fórmula para un cubo:
Lleno = 6a² = 6 6² = 216
Tarea 3.
La habitación está siendo renovada. Se sabe que su piso tiene forma de cuadrado con una superficie de 9 m². La altura de la habitación es de 2,5 m. ¿Cuál es el coste más bajo de empapelar una habitación si 1 m² cuesta 50 rublos?
Dado que el suelo y el techo son cuadrados, es decir, cuadrángulos regulares, y sus paredes son perpendiculares a superficies horizontales, podemos concluir que se trata de un prisma regular. Es necesario determinar el área de su superficie lateral.
La longitud de la habitación es un = √9 = 3 metro.
El área se cubrirá con papel tapiz. Lado = 4 3 2,5 = 30 m².
El costo más bajo de papel tapiz para esta habitación será 50·30 = 1500 rublos
Así, para resolver problemas que involucran un prisma rectangular, basta con saber calcular el área y el perímetro de un cuadrado y un rectángulo, así como conocer las fórmulas para encontrar el volumen y el área de la superficie.
Cómo encontrar el área de un cubo
Definición. Prisma es un poliedro, todos cuyos vértices están ubicados en dos planos paralelos, y en estos mismos dos planos se encuentran dos caras del prisma, que son polígonos iguales con lados correspondientemente paralelos, y todas las aristas que no se encuentran en estos planos son paralelas.
Dos caras iguales se llaman bases de prisma(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).
Todas las demás caras del prisma se llaman caras laterales(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).
Todas las caras laterales se forman superficie lateral del prisma .
Todas las caras laterales del prisma son paralelogramos. .
Las aristas que no se encuentran en las bases se llaman aristas laterales del prisma ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).
prisma diagonal es un segmento cuyos extremos son dos vértices de un prisma que no se encuentran en la misma cara (AD 1).
La longitud del segmento que conecta las bases del prisma y perpendicular a ambas bases al mismo tiempo se llama altura del prisma .
Designación:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Primero, en orden transversal, se indican los vértices de una base, y luego, en el mismo orden, los vértices de otra; los extremos de cada borde lateral se designan con las mismas letras, solo se designan los vértices que se encuentran en una base por letras sin índice, y en el otro - con índice)
El nombre del prisma está asociado con la cantidad de ángulos en la figura que se encuentran en su base, por ejemplo, en la Figura 1 hay un pentágono en la base, por eso el prisma se llama prisma pentagonal. Pero porque tal prisma tiene 7 caras, entonces heptaedro(2 caras - las bases del prisma, 5 caras - paralelogramos, - sus caras laterales)
Entre los prismas rectos destaca un tipo particular: los prismas regulares.
Un prisma recto se llama correcto, si sus bases son polígonos regulares.
Paralelepípedo
Paralelepípedo es un prisma cuadrangular, en cuya base se encuentra un paralelogramo (un paralelepípedo inclinado). paralelepípedo derecho- un paralelepípedo cuyos bordes laterales son perpendiculares a los planos de la base.Paralelepípedo rectangular- un paralelepípedo recto cuya base es un rectángulo.
Propiedades y teoremas:
Algunas propiedades de un paralelepípedo son similares a las propiedades conocidas de un paralelogramo. Un paralelepípedo rectangular que tiene iguales dimensiones se llama. cubo
.Todas las caras de un cubo son cuadrados iguales El cuadrado de la diagonal es igual a la suma de los cuadrados de sus tres dimensiones. 
,
donde d es la diagonal del cuadrado;
a es el lado del cuadrado.
Una idea de prisma viene dada por:
- diversas estructuras arquitectónicas;
- Juguetes de los niños;
- cajas de embalaje;
- artículos de diseño, etc.
El área de la superficie total y lateral del prisma.
Superficie total del prisma es la suma de las áreas de todas sus caras Superficie lateral se llama suma de las áreas de sus caras laterales. Las bases del prisma son polígonos iguales, luego sus áreas son iguales. Es por esoS completo = lado S + 2S principal,
Dónde S lleno- superficie total, lado S-superficie lateral, base S- área de la base
El área de la superficie lateral de un prisma recto es igual al producto del perímetro de la base por la altura del prisma..
lado S= P básico * h,
Dónde lado S-área de la superficie lateral de un prisma recto,
P principal - perímetro de la base de un prisma recto,
h es la altura del prisma recto, igual al borde lateral.
Volumen del prisma
El volumen de un prisma es igual al producto del área de la base por la altura.
