Calcular límites lim ejemplos. Límite de una función: definiciones, teoremas y propiedades

En el artículo anterior puede descubrir cuál es el límite y con qué se come; esto es MUY importante. ¿Por qué? Puede que no entiendas qué son los determinantes y los resuelvas con éxito; puede que no entiendas en absoluto qué es una derivada y los encuentres con una “A”. Pero si no comprende qué es un límite, le resultará difícil resolver problemas prácticos. También sería una buena idea familiarizarse con las soluciones de muestra y mis recomendaciones de diseño. Toda la información se presenta de forma sencilla y accesible.

Y para los propósitos de esta lección necesitaremos los siguientes materiales didácticos: Límites maravillosos Y Fórmulas trigonométricas. Se pueden encontrar en la página. Es mejor imprimir los manuales; es mucho más conveniente y, además, a menudo tendrás que consultarlos sin conexión.

¿Qué tienen de especial los límites notables? Lo notable de estos límites es que fueron probados por las mentes más brillantes de matemáticos famosos, y sus agradecidos descendientes no tienen que sufrir límites terribles con un montón de funciones trigonométricas, logaritmos y potencias. Es decir, a la hora de encontrar los límites utilizaremos resultados ya preparados y probados teóricamente.

Hay varios límites maravillosos, pero en la práctica, en el 95% de los casos, los estudiantes a tiempo parcial tienen dos límites maravillosos: El primer límite maravilloso., Segundo límite maravilloso. Cabe señalar que estos son nombres históricamente establecidos, y cuando, por ejemplo, hablan de "el primer límite notable", se refieren a algo muy específico, y no a un límite aleatorio tomado del techo.

El primer límite maravilloso.

Considere la siguiente limitación: (en lugar de la letra nativa “él”, usaré la letra griega “alfa”, esto es más conveniente desde el punto de vista de la presentación del material).

Según nuestra regla para encontrar límites (ver artículo Límites. Ejemplos de soluciones) intentamos sustituir cero en la función: en el numerador obtenemos cero (el seno de cero es cero), en el denominador, obviamente, también hay cero. Nos encontramos, pues, ante una incertidumbre de forma que, afortunadamente, no es necesario revelar. En el curso del análisis matemático, se demuestra que:

Este hecho matemático se llama El primer límite maravilloso.. No daré una prueba analítica del límite, pero veremos su significado geométrico en la lección sobre funciones infinitesimales.

A menudo, en las tareas prácticas, las funciones se pueden organizar de forma diferente, pero esto no cambia nada:

- el mismo primer límite maravilloso.

¡Pero no puedes reorganizar el numerador y el denominador tú mismo! Si se da un límite en la forma , entonces se debe resolver de la misma forma, sin reordenar nada.

En la práctica, no sólo una variable puede actuar como parámetro, sino también una función elemental o una función compleja. Lo único importante es que tiende a cero..

Ejemplos:
, , ,

Aquí , , , , y todo está bien: se aplica el primer límite maravilloso.

Pero la siguiente entrada es una herejía:

¿Por qué? Como el polinomio no tiende a cero, tiende a cinco.

Por cierto, una pregunta rápida: ¿cuál es el límite? ? La respuesta se puede encontrar al final de la lección.

En la práctica, no todo es tan sencillo; casi nunca a un estudiante se le ofrece resolver un límite gratuito y obtener un pase fácil. Mmmm... Estoy escribiendo estas líneas y me vino a la mente un pensamiento muy importante: después de todo, es mejor recordar de memoria las definiciones y fórmulas matemáticas "libres", esto puede proporcionar una ayuda invaluable en la prueba, cuando la pregunta Se decide entre un “dos” y un “tres”, y el profesor decide hacerle al alumno alguna pregunta sencilla u ofrecerle resolver un ejemplo sencillo (“¡quizás todavía sepa qué?!”).

Pasemos a considerar ejemplos prácticos:

Ejemplo 1

Encuentra el límite

Si notamos un seno en el límite, esto debería llevarnos inmediatamente a pensar en la posibilidad de aplicar el primer límite destacable.

Primero, intentamos sustituir 0 en la expresión bajo el signo de límite (lo hacemos mentalmente o en un borrador):

Entonces tenemos una incertidumbre de la forma asegúrese de indicar en la toma de una decisión. La expresión bajo el signo de límite es similar al primer límite maravilloso, pero no es exactamente así, está bajo el seno, sino en el denominador.

En tales casos, debemos organizar nosotros mismos el primer límite notable, utilizando una técnica artificial. La línea de razonamiento podría ser la siguiente: "bajo el seno tenemos , lo que significa que también necesitamos ingresar el denominador".
Y esto se hace de forma muy sencilla:

Es decir, el denominador se multiplica artificialmente en este caso por 7 y se divide por el mismo siete. Ahora nuestra grabación ha adquirido una forma familiar.
Cuando la tarea está trazada a mano, es recomendable marcar el primer límite destacable con un simple lápiz:

¿Qué pasó? De hecho, nuestra expresión rodeada por un círculo se convirtió en una unidad y desapareció en la obra:

Ahora solo queda deshacerse de la fracción de tres pisos:

Quien haya olvidado la simplificación de fracciones de varios niveles, actualice el material en el libro de referencia. Fórmulas calientes para el curso de matemáticas escolares. .

Listo. Respuesta final:

Si no desea utilizar marcas de lápiz, la solución se puede escribir así:

“

Usemos el primer límite maravilloso.

“

Ejemplo 2

Encuentra el límite

Nuevamente vemos una fracción y un seno en el límite. Intentemos sustituir cero en el numerador y denominador:

De hecho, tenemos incertidumbre y, por tanto, debemos intentar organizar el primer límite maravilloso. En la lección Límites. Ejemplos de soluciones Consideramos la regla de que cuando tenemos incertidumbre, debemos factorizar el numerador y el denominador. Aquí ocurre lo mismo, representaremos los grados como un producto (multiplicadores):

Al igual que en el ejemplo anterior, dibujamos con un lápiz los límites notables (aquí hay dos) e indicamos que tienden a la unidad:

En realidad, la respuesta está lista:

En los siguientes ejemplos, no haré arte en Paint, pienso cómo redactar correctamente una solución en un cuaderno; ya lo entiendes.

Ejemplo 3

Encuentra el límite

Sustituimos cero en la expresión bajo el signo de límite:

Se ha obtenido una incertidumbre que necesita ser revelada. Si hay una tangente en el límite, casi siempre se convierte en seno y coseno usando la conocida fórmula trigonométrica (por cierto, hacen aproximadamente lo mismo con la cotangente, ver material metodológico Fórmulas trigonométricas calientes En la pagina Fórmulas matemáticas, tablas y materiales de referencia.).

En este caso:

El coseno de cero es igual a uno y es fácil deshacerse de él (no olvides marcar que tiende a uno):

Por lo tanto, si en el límite el coseno es un MULTIPLICADOR, entonces, en términos generales, es necesario convertirlo en una unidad, que desaparece en el producto.

Aquí todo resultó más sencillo, sin multiplicaciones ni divisiones. El primer límite destacable también se convierte en uno y desaparece en el producto:

Como resultado, se obtiene el infinito y esto sucede.

Ejemplo 4

Encuentra el límite

Intentemos sustituir cero en el numerador y denominador:

Se obtiene la incertidumbre (el coseno de cero, como recordamos, es igual a uno)

Usamos la fórmula trigonométrica. ¡Tomar nota! Por alguna razón, los límites al utilizar esta fórmula son muy comunes.

Muevamos los factores constantes más allá del icono de límite:

Organicemos el primer límite maravilloso:

Aquí sólo tenemos un límite destacable, que se convierte en uno y desaparece en el producto:

Deshagámonos de la estructura de tres pisos:

Efectivamente el límite está resuelto, indicamos que el seno restante tiende a cero:

Ejemplo 5

Encuentra el límite

Este ejemplo es más complicado, intenta resolverlo tú mismo:

Algunos límites se pueden reducir al primer límite notable cambiando una variable; puedes leer sobre esto un poco más adelante en el artículo. Métodos para resolver límites..

Segundo límite maravilloso

En la teoría del análisis matemático se ha demostrado que:

Este hecho se llama segundo límite maravilloso.

Referencia: es un número irracional.

El parámetro puede ser no sólo una variable, sino también una función compleja. Lo único importante es que aspira al infinito..

Ejemplo 6

Encuentra el límite

Cuando la expresión bajo el signo del límite está en un grado, este es el primer signo en el que debes intentar aplicar el segundo límite maravilloso.

Pero primero, como siempre, intentamos sustituir un número infinitamente grande en la expresión; el principio mediante el cual se hace esto se analiza en la lección. Límites. Ejemplos de soluciones.

Es fácil notar que cuando la base del grado es y el exponente es , es decir, hay incertidumbre de la forma:

Esta incertidumbre se revela precisamente con la ayuda del segundo límite notable. Pero, como suele suceder, el segundo límite maravilloso no está en bandeja de plata y es necesario organizarlo artificialmente. Puedes razonar de la siguiente manera: en este ejemplo el parámetro es , lo que significa que también debemos organizarnos en el indicador. Para ello elevamos la base a la potencia, y para que no cambie la expresión la elevamos a la potencia:

Cuando la tarea se completa a mano, marcamos con un lápiz:

Casi todo está listo, el terrible título se ha convertido en una bonita carta:

En este caso, movemos el propio icono de límite al indicador.:

Ejemplo 7

Encuentra el límite

¡Atención! Este tipo de límite ocurre muy a menudo, estudie este ejemplo con mucha atención.

Intentemos sustituir un número infinitamente grande en la expresión bajo el signo de límite:

El resultado es la incertidumbre. Pero el segundo límite destacable se aplica a la incertidumbre de la forma. ¿Qué hacer? Necesitamos convertir la base del grado. Razonamos así: en el denominador tenemos , lo que significa que en el numerador también necesitamos organizar .

Resolver problemas de búsqueda de límites Al resolver problemas de búsqueda de límites, debes recordar algunos límites para no volver a calcularlos cada vez. Combinando estos límites conocidos, encontraremos nuevos límites utilizando las propiedades indicadas en el § 4. Por conveniencia, presentamos los límites más frecuentes: Límites 1 lim x - a x a 2 lim 1 = 0 3 lim x- ± co X ± 00 4 lim -L, = oo X->o\X\ 5 lim sin*- l X -о X 6 lim f(x) = f(a), si f (x) es continua x a Si se sabe que la función es continua, entonces en lugar de encontrar el límite, calculamos el valor de la función. Ejemplo 1. Encuentre lím (x*-6l:+ 8). Dado que la función de términos múltiples X->2 es continua, entonces lim (x*-6x4- 8) = 2*-6-2 + 8 = 4. x-+2 x*_2x 4-1 Ejemplo 2. Hallar lím -G. . Primero, encontramos el límite del denominador: lim [xr-\-bx)= 12 + 5-1 =6; no es igual a X-Y1 cero, lo que significa que podemos aplicar la propiedad 4 § 4, entonces x™i *" + &* ~~ lim (x2 bx) - 12 + 5-1 ""6 1. El límite de el denominador X X es igual a cero, por lo tanto, la propiedad 4 del § 4 no se puede aplicar. Dado que el numerador es un número constante y el denominador es [x2x) -> -0 para x - - 1, entonces toda la fracción aumenta indefinidamente. en valor absoluto, es decir, lim " 1 X - * - - 1 x* + x Ejemplo 4. Encuentre lim\-ll*"!"" "El límite del denominador es cero: lim (xr-6lg+ 8) = 2* -6-2 + 8 = 0, por lo que la propiedad X 4 § 4 no es aplicable. Pero el límite del numerador también es igual a cero: lim (x2 - 5d; + 6) = 22 - 5-2-f 6 = 0. Entonces, los límites del numerador y del denominador son simultáneamente iguales a cero. Sin embargo, el número 2 es la raíz tanto del numerador como del denominador, por lo que la fracción se puede reducir por la diferencia x-2 (según el teorema de Bezout). De hecho, x*-5x + 6 (x-2) (x-3) x-3 x"-6x + 8~ (x-2) (x-4) ~~ x-4" por lo tanto, xr- - f- 6 g x-3 -1 1 Ejemplo 5. Encuentre lim xn (n entero, positivo). X con Tenemos xn = X* X . . X, n veces Dado que cada factor crece sin límite, el producto también crece sin límite, es decir, lim xn = oo. x oo Ejemplo 6. Encuentre lim xn(n entero, positivo). X -> - CO Tenemos xn = x x... x. Dado que cada factor crece en valor absoluto sin dejar de ser negativo, entonces, en el caso de un grado par, el producto crecerá ilimitadamente sin dejar de ser positivo, es decir, lim *n = + oo (para n par). *-* -о En el caso de un grado impar, el valor absoluto del producto aumenta, pero sigue siendo negativo, es decir, lim xn = - oo (para n impar). p -- 00 Ejemplo 7. Encuentre lim . x x-*- co * Si m>pu entonces podemos escribir: m = n + kt donde k>0. Por lo tanto xm b lim -=- = lim -=-= lim x. UP Yn x - x> A x yu Llegamos al ejemplo 6. Si ti uTL xm I lim lim lim t. X - O x -* yu A X -> co Aquí el numerador permanece constante y el denominador crece en valor absoluto, por lo que lim -ь = 0. X - *oo X* Se recomienda recordar el resultado de este ejemplo en el siguiente forma: La función de potencia crece más rápido cuanto mayor es el exponente. $хв_Зхг + 7 Ejemplo 8. Encuentra lim g L -г-= En este ejemplo x-*® «J* "Г bХ -ох-о y el numerador y el denominador aumentan sin límite. Dividamos tanto el numerador como el denominador por la potencia más alta de x, es decir, en xb, entonces 3 7_ Ejemplo 9. Calcular lira, obtenemos lira ^ = lim X CO + 3 7 3 Dado que lim -5 = 0, lim -, = 0. , entonces el límite del denominador es igual a 1. Por lo tanto, toda la fracción aumenta sin límite, es decir, t lim Calculemos el límite S del denominador, recordando que la función cos* es continua: lira (2 + cos x) = 2. + acogedor =2. Entonces x->- S lim (l-fsin*) Ejemplo 15. Encuentra lim *<*-e>2 y lim e "(X"a)\ Polo X-+ ± co X ± CO presione (l: - a)2 = z; dado que (l;-a)2 siempre crece de forma no negativa y sin límite con x, entonces para x - ±oo la nueva variable z-*oc. Por lo tanto obtenemos qt £<*-«)* = X ->± 00 s=lim ег = oo (ver nota al §5). g -*■ co De manera similar lim e~(X-a)2 = lim e~z=Q, ya que x ± oo g m - (x- a)z disminuye sin límite cuando x ->±oo (ver nota al §

Veamos algunos ejemplos ilustrativos.

Sea x una variable numérica, X el área de su cambio. Si cada número x perteneciente a X está asociado con un determinado número y, entonces se dice que se define una función en el conjunto X y se escribe y = f(x).
El conjunto X en este caso es un plano que consta de dos ejes de coordenadas: 0X y 0Y. Por ejemplo, representemos la función y = x 2. Los ejes 0X y 0Y forman X, el área de su cambio. La figura muestra claramente cómo se comporta la función. En este caso, dicen que la función y = x 2 está definida en el conjunto X.

El conjunto Y de todos los valores parciales de una función se llama conjunto de valores f(x). En otras palabras, el conjunto de valores es el intervalo a lo largo del eje 0Y donde se define la función. La parábola representada muestra claramente que f(x) > 0, porque x2 > 0. Por tanto, el rango de valores será . Observamos muchos valores por 0Y.

El conjunto de todos los x se llama dominio de f(x). Miramos muchas definiciones por 0X y en nuestro caso el rango de valores aceptables es [-; +].

Un punto a (a pertenece a o X) se llama punto límite del conjunto X si en cualquier vecindad del punto a hay puntos del conjunto X diferentes de a.

Ha llegado el momento de entender ¿cuál es el límite de una función?

La b pura a la que tiende la función cuando x tiende al número a se llama límite de la función. Esto está escrito de la siguiente manera:

Por ejemplo, f(x) = x2. Necesitamos averiguar a qué tiende la función (a qué no es igual) en x 2. Primero, escribimos el límite:

Miremos el gráfico.

Dibujemos una línea paralela al eje 0Y que pase por el punto 2 del eje 0X. Intersectará nuestra gráfica en el punto (2;4). Dejemos caer una perpendicular desde este punto al eje 0Y y lleguemos al punto 4. Esto es lo que busca nuestra función en x 2. Si ahora sustituimos el valor 2 en la función f(x), la respuesta será la misma .

Ahora antes de pasar a calculo de limites, introduzcamos definiciones básicas.

Introducido por el matemático francés Augustin Louis Cauchy en el siglo XIX.

Supongamos que la función f(x) está definida en un intervalo determinado que contiene el punto x = A, pero no es en absoluto necesario que se defina el valor de f(A).

Entonces, según la definición de Cauchy, límite de la función f(x) será un cierto número B con x tendiendo a A si para cada C > 0 existe un número D > 0 para el cual

Aquellos. si la función f(x) en x A está limitada por el límite B, esto se escribe en la forma

Límite de secuencia se llama un cierto número A si para cualquier número positivo arbitrariamente pequeño B > 0 hay un número N para el cual todos los valores en el caso n > N satisfacen la desigualdad

Este límite parece .

Una sucesión que tiene límite la llamaremos convergente; si no, la llamaremos divergente.

Como ya habrás notado, los límites se indican mediante el ícono lim, bajo el cual se escribe alguna condición para la variable y luego se escribe la función misma. Dicho conjunto se leerá como “el límite de una función sujeta a...”. Por ejemplo:

- el límite de la función cuando x tiende a 1.

La expresión “acercarse a 1” significa que x toma sucesivamente valores que se aproximan a 1 infinitamente cercanos.

Ahora queda claro que para calcular este límite basta con sustituir x por el valor 1:

Además de un valor numérico específico, x también puede tender al infinito. Por ejemplo:

La expresión x significa que x aumenta constantemente y se acerca al infinito sin límite. Por lo tanto, sustituyendo infinito en lugar de x, resulta obvio que la función 1-x tenderá a , pero con el signo opuesto:

De este modo, calculo de limites Se reduce a encontrar su valor específico o un área determinada en la que cae la función limitada por el límite.

De lo anterior se deduce que al calcular los límites es importante utilizar varias reglas:

Comprensión esencia del límite y reglas básicas cálculos de límites, obtendrá información clave sobre cómo resolverlos. Si algún límite le causa dificultades, escriba los comentarios y definitivamente lo ayudaremos.

Nota: La jurisprudencia es la ciencia de las leyes que ayuda en conflictos y otras dificultades de la vida.

Tema 4.6. Cálculo de límites

El límite de una función no depende de si está definida en el punto límite o no. Pero en la práctica de calcular los límites de funciones elementales, esta circunstancia es de gran importancia.

1. Si la función es elemental y si el valor límite del argumento pertenece a su dominio de definición, entonces calcular el límite de la función se reduce a una simple sustitución del valor límite del argumento, porque límite de la función elemental f (x) en x luchando porA , que está incluido en el dominio de definición, es igual al valor parcial de la función en x = A, es decir. lím f(x)=f( a) .

2. Si x tiende al infinito o el argumento tiende a un número que no pertenece al dominio de definición de la función, entonces, en cada uno de esos casos, encontrar el límite de la función requiere una investigación especial.

A continuación se muestran los límites más simples basados en las propiedades de los límites que se pueden utilizar como fórmulas:

Casos más complejos de encontrar el límite de una función:

cada uno se considera por separado.

Esta sección describirá las principales formas de revelar incertidumbres.

1. El caso cuando x luchando porA la función f(x) representa la relación de dos cantidades infinitesimales

a) Primero debes asegurarte de que el límite de la función no se puede encontrar por sustitución directa y, con el cambio indicado en el argumento, representa la razón de dos cantidades infinitesimales. Se realizan transformaciones para reducir la fracción por un factor que tiende a 0. Según la definición del límite de una función, el argumento x tiende a su valor límite, sin coincidir nunca con él.

En general, si buscamos el límite de una función en x luchando porA , entonces debes recordar que x no toma valor A, es decir. x no es igual a a.

b) Se aplica el teorema de Bezout. Si buscas el límite de una fracción cuyo numerador y denominador son polinomios que desaparecen en el punto límite x = A, entonces, según el teorema anterior, ambos polinomios son divisibles por x- A.

c) La irracionalidad en el numerador o denominador se destruye multiplicando el numerador o denominador por el conjugado a la expresión irracional, luego después de simplificar la fracción se reduce.

d) Se utiliza el 1er límite destacable (4.1).

e) Se utiliza el teorema de la equivalencia de infinitesimales y los siguientes principios:

2. El caso cuando x luchando porA la función f(x) representa la relación de dos cantidades infinitamente grandes

a) Dividir el numerador y denominador de una fracción por la potencia más alta de la incógnita.

b) En general, puedes usar la regla.

3. El caso cuando x luchando porA la función f (x) representa el producto de una cantidad infinitesimal y una infinitamente grande

La fracción se transforma a una forma cuyo numerador y denominador tienden simultáneamente a 0 o al infinito, es decir el caso 3 se reduce al caso 1 o al caso 2.

4. El caso cuando x luchando porA la función f (x) representa la diferencia de dos cantidades positivas infinitamente grandes

Este caso se reduce al tipo 1 o 2 de una de las siguientes maneras:

a) llevar fracciones a un denominador común;

b) convertir una función a una fracción;

c) deshacerse de la irracionalidad.

5. El caso cuando x luchando porA la función f(x) representa una potencia cuya base tiende a 1 y exponente al infinito.

La función se transforma de tal manera que se utiliza el segundo límite destacable (4.2).

Ejemplo. Encontrar .

Porque x tiende a 3, entonces el numerador de la fracción tiende al número 3 2 +3 *3+4=22, y el denominador tiende al número 3+8=11. Por eso,

Ejemplo

Aquí el numerador y denominador de la fracción son x tendiendo a 2 tiende a 0 (incertidumbre de tipo), factorizamos el numerador y el denominador, obtenemos lim(x-2)(x+2)/(x-2)(x-5)

Ejemplo

Multiplicando el numerador y el denominador por la expresión conjugada al numerador, tenemos

Abriendo los paréntesis en el numerador, obtenemos

Ejemplo

Nivel 2. Ejemplo. Pongamos un ejemplo de la aplicación del concepto de límite de una función en los cálculos económicos. Consideremos una transacción financiera ordinaria: prestar una cantidad S 0 con la condición de que después de un período de tiempo t el importe será reembolsado CALLE. Determinemos el valor. r crecimiento relativo fórmula

r=(S T -S 0)/S 0 (1)

El crecimiento relativo se puede expresar como porcentaje multiplicando el valor resultante. r por 100.

A partir de la fórmula (1) es fácil determinar el valor CALLE:

CALLE= S 0 (1 + r)

Al calcular préstamos a largo plazo que cubren varios años completos, se utiliza un esquema de interés compuesto. Consiste en que si durante el 1er año el monto S 0 aumenta a (1 + r) veces, luego por segundo año en (1 + r) veces la suma aumenta S 1 = S 0 (1 + r), eso es S 2 = S 0 (1 + r) 2 . Resulta de manera similar S 3 = S 0 (1 + r) 3 . De los ejemplos anteriores, podemos derivar una fórmula general para calcular el crecimiento del monto de norte años cuando se calcula utilizando el esquema de interés compuesto:

sn= S 0 (1 + r) norte.

En los cálculos financieros, se utilizan esquemas en los que el interés compuesto se calcula varias veces al año. En este caso se estipula tarifa anual r Y número de acumulaciones por año k. Como regla general, las acumulaciones se realizan a intervalos iguales, es decir, la duración de cada intervalo tk forma parte del año. Luego, para el período en t años (aquí t no necesariamente un número entero) cantidad CALLE calculado por la fórmula

(2)

¿Dónde está la parte entera del número que coincide con el número mismo, si, por ejemplo, t? entero.

Sea la tasa anual r y se produce norte devengos por año a intervalos regulares. Luego para el año la cantidad S 0 se incrementa a un valor determinado por la fórmula

(3)

En el análisis teórico y en la práctica de la actividad financiera, a menudo se encuentra el concepto de "intereses devengados continuamente". Para pasar a intereses acumulados continuamente, debe aumentar indefinidamente en las fórmulas (2) y (3), respectivamente, los números k Y norte(es decir, dirigir k Y norte al infinito) y calcular hasta qué límite tenderán las funciones CALLE Y S 1 . Apliquemos este procedimiento a la fórmula (3):

Tenga en cuenta que el límite entre llaves coincide con el segundo límite destacable. De ello se deduce que a una tasa anual r con intereses devengados continuamente, el importe S 0 en 1 año aumenta el valor S 1 *, que se determina a partir de la fórmula

S 1 * = S 0 e r (4)

Vamos ahora la suma S 0 se proporciona como préstamo con intereses devengados norte una vez al año a intervalos regulares. denotemos re Tasa anual a la que al final del año el importe S 0 se incrementa al valor S 1 * de la fórmula (4). En este caso diremos que re- Este tasa de interés anual norte una vez al año, equivalente al interés anual r con acumulación continua. De la fórmula (3) obtenemos

S* 1 =S 0 (1+r e /n) n

Igualando los lados derechos de la última fórmula y la fórmula (4), suponiendo en esta última t= 1, podemos derivar relaciones entre las cantidades r Y re:

Estas fórmulas se utilizan ampliamente en los cálculos financieros.

Límite de función- número a será el límite de alguna cantidad variable si, en el proceso de su cambio, esta cantidad variable se acerca indefinidamente a.

O en otras palabras, el número A es el límite de la función y = f(x) en el punto x0, si para cualquier secuencia de puntos del dominio de definición de la función, no es igual x0, y que converge al punto x 0 (lím x n = x0), la secuencia de valores de función correspondientes converge al número A.

La gráfica de una función cuyo límite, dado un argumento que tiende al infinito, es igual a l:

Significado A es límite (valor límite) de la función f(x) en el punto x0 en caso de cualquier secuencia de puntos , que converge a x0, pero que no contiene x0 como uno de sus elementos (es decir, en la zona perforada x0), secuencia de valores de función converge a A.

Límite de una función de Cauchy.

Significado A será límite de la función f(x) en el punto x0 si para cualquier número no negativo tomado por adelantado ε se encontrará el número no negativo correspondiente δ = δ(ε) tal que para cada argumento X, satisfaciendo la condición 0 < | x - x0 | < δ , la desigualdad quedará satisfecha | f(x)A |< ε .

Será muy sencillo si comprendes la esencia del límite y las reglas básicas para encontrarlo. ¿Cuál es el límite de la función? f (X) en X luchando por a es igual A, está escrito así:

Además, el valor al que tiende la variable X, puede ser no solo un número, sino también infinito (∞), a veces +∞ o -∞, o puede que no haya ningún límite.

para entender como encontrar los límites de una función, lo mejor es mirar ejemplos de soluciones.

Es necesario encontrar los límites de la función. f (x) = 1/X en:

X→ 2, X→ 0, X→ ∞.

Busquemos una solución al primer límite. Para hacer esto, simplemente puedes sustituir X el número al que tiende, es decir 2, obtenemos:

Encontremos el segundo límite de la función.. Aquí sustituya 0 puro en su lugar. X es imposible, porque No puedes dividir por 0. Pero podemos tomar valores cercanos a cero, por ejemplo, 0,01; 0,001; 0,0001; 0.00001 y así sucesivamente, y el valor de la función. f (X) aumentará: 100; 1000; 10000; 100.000 y así sucesivamente. Así, se puede entender que cuando X→ 0 el valor de la función que está bajo el signo de límite aumentará sin límite, es decir esforzarse hacia el infinito. Lo que significa:

Respecto al tercer límite. Misma situación que en el caso anterior, no es posible sustituir ∞ en su forma más pura. Necesitamos considerar el caso de aumento ilimitado. X. Sustituimos 1000 uno por uno; 10000; 100000 y así sucesivamente, tenemos que el valor de la función f (x) = 1/X disminuirá: 0,001; 0,0001; 0,00001; y así sucesivamente, tendiendo a cero. Es por eso:

Es necesario calcular el límite de la función.

Al comenzar a resolver el segundo ejemplo, vemos incertidumbre. Desde aquí encontramos el grado más alto del numerador y denominador: esto es x3, lo sacamos de los corchetes en el numerador y denominador y luego lo reducimos por:

Respuesta

El primer paso en encontrar este límite, sustituye el valor 1 en su lugar X, lo que genera incertidumbre. Para resolverlo, factoricemos el numerador y hagamos esto usando el método de encontrar las raíces de una ecuación cuadrática. x2 + 2x - 3:

D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4

x 1,2 = (-2±4)/2→ x1 = -3;x2= 1.

Entonces el numerador será:

Respuesta