¿Es un polígono una figura poligonal? Polígono regular

§ 1 El concepto de triángulo.

En esta lección te familiarizarás con formas como triángulos y polígonos.

Si tres puntos que no se encuentran en la misma recta están conectados por segmentos, se obtiene un triángulo. Un triángulo tiene tres vértices y tres lados.

Ante ti hay un triángulo ABC, tiene tres vértices (punto A, punto B y punto C) y tres lados (AB, AC y CB).

Por cierto, estos mismos lados se pueden llamar de manera diferente:

AB=BA, AC=SA, CB=BC.

Los lados del triángulo forman tres ángulos en los vértices del triángulo. En la imagen ves el ángulo A, el ángulo B, el ángulo C.

Así, un triángulo es una figura geométrica formada por tres segmentos que conectan tres puntos que no se encuentran en la misma recta.

§ 2 El concepto de polígono y sus tipos.

Además de los triángulos, existen cuadrángulos, pentágonos, hexágonos, etc. En una palabra, se les puede llamar polígonos.

En la figura ves el cuadrilátero DMKE.

Los puntos D, M, K y E son los vértices del cuadrilátero.

Los segmentos DM, MK, KE, ED son los lados de este cuadrilátero. Al igual que en el caso de un triángulo, los lados de un cuadrilátero forman cuatro ángulos en los vértices, como habrás adivinado, de ahí el nombre: cuadrilátero. Para este cuadrilátero ves en la figura el ángulo D, el ángulo M, el ángulo K y el ángulo E.

¿Qué cuadriláteros conoces ya?

¡Cuadrado y rectángulo! Cada uno de ellos tiene cuatro esquinas y cuatro lados.

Otro tipo de polígono es el pentágono.

Los puntos O, P, X, Y, T son los vértices del pentágono y los segmentos TO, OP, PX, XY, YT son los lados de este pentágono. Un pentágono tiene, respectivamente, cinco ángulos y cinco lados.

¿Cuántos ángulos y cuántos lados crees que tiene un hexágono? Así es, ¡seis! Razonando de manera similar, podemos decir cuántos lados, vértices o ángulos tiene un polígono en particular. Y podemos concluir que un triángulo también es un polígono, que tiene exactamente tres ángulos, tres lados y tres vértices.

Por lo tanto, en esta lección se familiarizó con conceptos como triángulo y polígono. Aprendimos que un triángulo tiene 3 vértices, 3 lados y 3 ángulos, un cuadrilátero tiene 4 vértices, 4 lados y 4 ángulos, un pentágono tiene 5 lados, 5 vértices, 5 ángulos, etc.

Lista de literatura usada:

1. Matemáticas 5to grado. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I. y otros. 31ª ed., borrado. - M: 2013.
2. Materiales didácticos para matemáticas grado 5. Autor - Popov M.A. - Año 2013
3. Calculamos sin errores. Trabajar con autoevaluación en matemáticas 5-6 grados. Autor - Minaeva S.S. - año 2014
4. Materiales didácticos para matemáticas grado 5. Autores: Dorofeev G.V., Kuznetsova L.V. - 2010
5. Pruebas y trabajo independiente en matemáticas 5º grado. Autores - Popov M.A. - año 2012
6. Matemáticas. 5to grado: educativo. para estudiantes de educación general. instituciones / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 9ª ed., borrada. - M.: Mnemosyne, 2009

Tipos de polígonos:

Cuadriláteros

Cuadriláteros, respectivamente, constan de 4 lados y ángulos.

Los lados y los ángulos opuestos se llaman opuesto.

Las diagonales dividen los cuadriláteros convexos en triángulos (ver imagen).

La suma de los ángulos de un cuadrilátero convexo es 360° (usando la fórmula: (4-2)*180°).

paralelogramos

Paralelogramo es un cuadrilátero convexo con lados paralelos opuestos (número 1 en la figura).

Los lados y ángulos opuestos de un paralelogramo siempre son iguales.

Y las diagonales en el punto de intersección se dividen por la mitad.

Trapecio

trapezoide- esto también es un cuadrilátero, y en trapecios Sólo dos lados son paralelos, los cuales se llaman razones. Otros lados son lados.

El trapecio de la figura tiene los números 2 y 7.

Como en un triángulo:

Si los lados son iguales, entonces el trapezoide es isósceles;

Si uno de los ángulos es recto, entonces el trapezoide es rectangular.

La línea media del trapezoide es igual a la mitad de la suma de las bases y es paralela a ellas.

Rombo

Rombo es un paralelogramo en el que todos los lados son iguales.

Además de las propiedades de un paralelogramo, los rombos tienen su propia propiedad especial: Las diagonales de un rombo son perpendiculares. unos a otros y bisecar las esquinas de un rombo.

En la imagen hay un rombo número 5.

Rectángulos

Rectángulo es un paralelogramo en el que cada ángulo es recto (ver figura número 8).

Además de las propiedades de un paralelogramo, los rectángulos tienen su propia propiedad especial: Las diagonales del rectángulo son iguales..

Cuadrícula

Cuadrado es un rectángulo con todos los lados iguales (No. 4).

Tiene las propiedades de un rectángulo y un rombo (ya que todos los lados son iguales).

En esta lección comenzaremos un nuevo tema e introduciremos un nuevo concepto para nosotros: "polígono". Veremos los conceptos básicos asociados con los polígonos: lados, ángulos de vértice, convexidad y no convexidad. Luego demostraremos los hechos más importantes, como el teorema de la suma de los ángulos internos de un polígono, el teorema de la suma de los ángulos externos de un polígono. Como resultado, nos acercaremos al estudio de casos especiales de polígonos, que se considerarán en lecciones posteriores.

Tema: Cuadriláteros

Lección: Polígonos

En el curso de geometría estudiamos las propiedades de las figuras geométricas y ya hemos examinado las más simples: triángulos y círculos. Al mismo tiempo, también discutimos casos especiales específicos de estas figuras, como los triángulos rectángulos, isósceles y regulares. Ahora es el momento de hablar de figuras más generales y complejas. polígonos.

Con un caso especial polígonos Ya lo sabemos: este es un triángulo (ver Fig. 1).

Arroz. 1. Triángulo

El propio nombre ya indica que se trata de una figura con tres ángulos. Por lo tanto, en polígono puede haber muchos de ellos, es decir Mas de tres. Por ejemplo, dibujemos un pentágono (ver Fig. 2), es decir figura con cinco esquinas.

Arroz. 2. Pentágono. Polígono convexo

Definición.Polígono- una figura que consta de varios puntos (más de dos) y el número correspondiente de segmentos que los conectan secuencialmente. Estos puntos se llaman picos polígono y los segmentos son fiestas. En este caso, no hay dos lados adyacentes que se encuentren en la misma línea recta y no hay dos lados no adyacentes que se crucen.

Definición.Polígono regular es un polígono convexo en el que todos los lados y ángulos son iguales.

Cualquier polígono Divide el plano en dos áreas: interna y externa. El área interna también se conoce como polígono.

Es decir, por ejemplo, cuando hablan de un pentágono se refieren tanto a toda su región interna como a su frontera. Y la región interna incluye todos los puntos que se encuentran dentro del polígono, es decir el punto también se refiere al pentágono (ver Fig. 2).

Los polígonos a veces también se denominan n-gonos para enfatizar que se considera el caso general de la presencia de un número desconocido de ángulos (n piezas).

Definición. Perímetro del polígono- la suma de las longitudes de los lados del polígono.

Ahora necesitamos familiarizarnos con los tipos de polígonos. Están divididos en convexo Y no convexo. Por ejemplo, el polígono que se muestra en la Fig. 2 es convexo, y en la Fig. 3 no convexos.

Arroz. 3. Polígono no convexo

Definición 1. Polígono llamado convexo, si al trazar una línea recta por cualquiera de sus lados, toda la polígono se encuentra sólo a un lado de esta línea recta. No convexo son todos los demás polígonos.

Es fácil imaginar que al extender cualquier lado del pentágono de la Fig. 2 todo estará a un lado de esta línea recta, es decir es convexo. Pero al trazar una línea recta que pasa por un cuadrilátero de la Fig. 3 ya vemos que lo divide en dos partes, es decir no es convexo.

Pero existe otra definición de convexidad de un polígono.

Definición 2. Polígono llamado convexo, si al elegir dos de sus puntos interiores cualesquiera y conectarlos con un segmento, todos los puntos del segmento son también puntos interiores del polígono.

Se puede ver una demostración del uso de esta definición en el ejemplo de construcción de segmentos en la Fig. 2 y 3.

Definición. Diagonal de un polígono es cualquier segmento que conecta dos vértices no adyacentes.

Para describir las propiedades de los polígonos, existen dos teoremas más importantes sobre sus ángulos: teorema sobre la suma de los ángulos interiores de un polígono convexo Y teorema sobre la suma de los ángulos exteriores de un polígono convexo. Mirémoslos.

Teorema. Sobre la suma de los ángulos interiores de un polígono convexo (norte-gón).

¿Dónde está el número de sus ángulos (lados)?

Prueba 1. Representemos en la Fig. 4 n-gon convexo.

Arroz. 4. N-gon convexo

Desde el vértice trazamos todas las diagonales posibles. Dividen un n-gon en triángulos, porque cada uno de los lados del polígono forma un triángulo, excepto los lados adyacentes al vértice. Es fácil ver en la figura que la suma de los ángulos de todos estos triángulos será exactamente igual a la suma de los ángulos internos del n-gón. Dado que la suma de los ángulos de cualquier triángulo es , entonces la suma de los ángulos internos de un n-gón:

Q.E.D.

Prueba 2. Es posible otra prueba de este teorema. Dibujemos un n-gon similar en la Fig. 5 y conecta cualquiera de sus puntos interiores con todos los vértices.

Arroz. 5.

Hemos obtenido una partición del n-gón en n triángulos (tantos lados como triángulos hay). La suma de todos sus ángulos es igual a la suma de los ángulos interiores del polígono y la suma de los ángulos en el punto interior, y este es el ángulo. Tenemos:

Q.E.D.

Probado.

Según el teorema probado, está claro que la suma de los ángulos de un n-gón depende del número de sus lados (en n). Por ejemplo, en un triángulo, la suma de los ángulos es . En un cuadrilátero, y la suma de los ángulos es, etc.

Teorema. Sobre la suma de los ángulos externos de un polígono convexo (norte-gón).

Donde es el número de sus ángulos (lados), y ,…, son los ángulos externos.

Prueba. Representaremos un n-gon convexo en la Fig. 6 y designe sus ángulos internos y externos.

Arroz. 6. N-gon convexo con ángulos externos designados

Porque La esquina exterior está conectada a la interior como adyacente, luego y lo mismo para el resto de las esquinas exteriores. Entonces:

Durante las transformaciones utilizamos el teorema ya probado sobre la suma de los ángulos internos de un n-gón.

Probado.

Un hecho interesante se desprende del teorema probado de que la suma de los ángulos externos de un n-gon convexo es igual a sobre el número de sus ángulos (lados). Por cierto, a diferencia de la suma de ángulos internos.

Bibliografía

1. Alejandrov A.D. y otros. Geometría, 8vo grado. - M.: Educación, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometría, 8vo grado. - M.: Educación, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometría, 8vo grado. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. narod.ru ().
3. Xvatit.com ().

Tarea

Propiedades de los polígonos

Un polígono es una figura geométrica, generalmente definida como una línea discontinua cerrada sin intersecciones (un polígono simple (Fig. 1a)), pero a veces se permiten intersecciones (entonces el polígono no es simple).

Los vértices del polígono se llaman vértices del polígono y los segmentos se llaman lados del polígono. Los vértices de un polígono se llaman adyacentes si son los extremos de uno de sus lados. Los segmentos que unen vértices no adyacentes de un polígono se llaman diagonales.

El ángulo (o ángulo interior) de un polígono convexo en un vértice dado es el ángulo formado por sus lados que convergen en este vértice, y el ángulo se calcula a partir del lado del polígono. En particular, el ángulo puede superar los 180° si el polígono no es convexo.

El ángulo exterior de un polígono convexo en un vértice dado es el ángulo adyacente al ángulo interior del polígono en este vértice. En general, un ángulo exterior es la diferencia entre 180° y un ángulo interior. De cada vértice del -gón para > 3 hay 3 diagonales, por lo que el número total de diagonales del -gón es igual.

Un polígono con tres vértices se llama triángulo, con cuatro, cuadrilátero, con cinco, pentágono, etc.

Polígono con norte llamados vértices norte- cuadrado.

Un polígono plano es una figura que consta de un polígono y una parte finita del área limitada por él.

Un polígono se llama convexo si se cumple una de las siguientes condiciones (equivalentes):

• 1. se encuentra a un lado de cualquier línea recta que conecte sus vértices vecinos. (es decir, las extensiones de los lados del polígono no intersecan sus otros lados);
• 2. es la intersección (es decir, la parte común) de varios semiplanos;
• 3. cualquier segmento que termine en puntos pertenecientes al polígono pertenece íntegramente a éste.

Un polígono convexo se llama regular si todos los lados son iguales y todos los ángulos son iguales, por ejemplo, un triángulo equilátero, un cuadrado y un pentágono.

Se dice que un polígono convexo está circunscrito a un círculo si todos sus lados tocan algún círculo.

Un polígono regular es un polígono en el que todos los ángulos y todos los lados son iguales.

Propiedades de los polígonos:

1 Cada diagonal de un -gón convexo, donde >3, lo descompone en dos polígonos convexos.

2 La suma de todos los ángulos de un triángulo convexo es igual.

D-vo: Demostraremos el teorema mediante el método de inducción matemática. En = 3 es obvio. Supongamos que el teorema es verdadero para un -gón, donde <, y pruébalo para -gon.

Sea el polígono dado. Dibujemos la diagonal de este polígono. Según el teorema 3, un polígono se descompone en un triángulo y un triángulo convexo (Fig. 5). Por la hipótesis de la inducción. Por otro lado, . Sumando estas igualdades y teniendo en cuenta que (- viga en ángulo interno ) Y (- viga en ángulo interno ), obtenemos. Cuando obtenemos: .

3 Alrededor de cualquier polígono regular se puede describir un círculo, y sólo uno.

D-vo: Sea un polígono regular, y y las bisectrices de los ángulos, y (Fig. 150). Desde entonces, por lo tanto, * 180°< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке ACERCA DE. Probemos que oh = OA 2 = ACERCA DE =… = OA PAG . Triángulo ACERCA DE isósceles, por lo tanto ACERCA DE= ACERCA DE. Según el segundo criterio para la igualdad de triángulos, por tanto, ACERCA DE = ACERCA DE. De la misma manera, se demuestra que ACERCA DE = ACERCA DE etc. Entonces el punto ACERCA DE es equidistante de todos los vértices del polígono, por lo que un círculo con centro ACERCA DE radio ACERCA DE está circunscrita al polígono.

Demostremos ahora que sólo existe un círculo circunscrito. Consideremos unos tres vértices de un polígono, por ejemplo, A 2 , . Dado que solo un círculo pasa por estos puntos, entonces alrededor del polígono … Es imposible describir más de un círculo.

• 4 Puedes inscribir un círculo en cualquier polígono regular, y sólo uno.
• 5 Un círculo inscrito en un polígono regular toca los lados del polígono en sus puntos medios.
• 6 El centro de un círculo circunscrito a un polígono regular coincide con el centro de un círculo inscrito en el mismo polígono.
• 7 simetría:

Dicen que una figura tiene simetría (simétrica) si existe tal movimiento (no idéntico) que traduce esta figura en sí misma.

• 7.1. Un triángulo general no tiene ejes ni centros de simetría; Un triángulo isósceles (pero no equilátero) tiene un eje de simetría: la bisectriz perpendicular a la base.
• 7.2. Un triángulo equilátero tiene tres ejes de simetría (bisectrices perpendiculares a los lados) y simetría rotacional alrededor del centro con un ángulo de rotación de 120°.

7.3 Cualquier n-gón regular tiene n ejes de simetría, todos ellos pasan por su centro. También tiene simetría rotacional con respecto al centro con un ángulo de rotación.

Incluso cuando norte Algunos ejes de simetría pasan por vértices opuestos, otros por los puntos medios de lados opuestos.

por extraño norte cada eje pasa por la parte superior y media del lado opuesto.

El centro de un polígono regular de número par de lados es su centro de simetría. Un polígono regular con un número impar de lados no tiene centro de simetría.

8 Similitud:

Con semejanza y -gon entra en -gon, semiplano en semiplano, por lo tanto convexo norte-el ángulo se vuelve convexo norte-gon.

Teorema: Si los lados y ángulos de polígonos convexos satisfacen las igualdades:

¿Dónde está el coeficiente del podio?

entonces estos polígonos son similares.

• 8.1 La relación de los perímetros de dos polígonos similares es igual al coeficiente de similitud.
• 8.2. La relación de las áreas de dos polígonos similares convexos es igual al cuadrado del coeficiente de similitud.

teorema del perímetro del triángulo polígono

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