Se da la serie de distribución. Ley de distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta.

En las aplicaciones de la teoría de la probabilidad, las características cuantitativas del experimento son de primordial importancia. Se llama una cantidad que puede determinarse cuantitativamente y que, como resultado de un experimento, puede tomar diferentes valores según el caso. variable aleatoria.

Ejemplos de variables aleatorias:

1. El número de veces que aparece un número par de puntos en diez lanzamientos de un dado.

2. El número de aciertos en el blanco de un tirador que realiza una serie de tiros.

3. El número de fragmentos de un proyectil que explota.

En cada uno de los ejemplos dados, la variable aleatoria sólo puede tomar valores aislados, es decir, valores que pueden numerarse utilizando una serie natural de números.

Una variable aleatoria de este tipo, cuyos posibles valores son números individuales aislados, que esta variable toma con ciertas probabilidades, se llama discreto.

El número de valores posibles de una variable aleatoria discreta puede ser finito o infinito (contable).

Ley de distribución Una variable aleatoria discreta es una lista de sus posibles valores y sus correspondientes probabilidades. La ley de distribución de una variable aleatoria discreta se puede especificar en forma de tabla (serie de distribución de probabilidad), analítica y gráficamente (polígono de distribución de probabilidad).

Al realizar un experimento, se hace necesario evaluar el valor que se está estudiando "en promedio". El papel del valor promedio de una variable aleatoria lo desempeña una característica numérica llamada expectativa matemática, que está determinada por la fórmula

Dónde X 1 , X 2 ,.. , X norte– valores de variables aleatorias X, A pag 1 ,pag 2 , ... , pag norte– las probabilidades de estos valores (tenga en cuenta que pag 1 + pag 2 +…+ pag norte = 1).

Ejemplo. El disparo se realiza al objetivo (Fig. 11).

Un acierto en I da tres puntos, en II dos puntos, en III un punto. El número de puntos anotados en un tiro por un tirador tiene una ley de distribución de la forma

Para comparar la habilidad de los tiradores, basta con comparar los valores medios de los puntos obtenidos, es decir, expectativas matemáticas METRO(X) Y METRO(Y):

METRO(X) = 1 0,4 + 2  0,2 + 3  0,4 = 2,0,

METRO(Y) = 1 0,2 + 2  0,5 + 3  0,3 = 2,1.

El segundo tirador otorga en promedio un número ligeramente mayor de puntos, es decir Dará mejores resultados cuando se dispare repetidamente.

Observemos las propiedades de la expectativa matemática:

1. La expectativa matemática de un valor constante es igual a la constante misma:

METRO(C) =C.

2. La expectativa matemática de la suma de variables aleatorias es igual a la suma de las expectativas matemáticas de los términos:

m =(X 1 + X 2 +…+ X norte)= METRO(X 1)+ METRO(X 2)+…+ METRO(X norte).

3. La expectativa matemática del producto de variables aleatorias mutuamente independientes es igual al producto de las expectativas matemáticas de los factores.

METRO(X 1 X 2 … X norte) = METRO(X 1)METRO(X 2)… METRO(X norte).

4. La negación matemática de la distribución binomial es igual al producto del número de ensayos por la probabilidad de que ocurra un evento en un ensayo (tarea 4.6).

METRO(X) = pr.

Evaluar cómo una variable aleatoria “en promedio” se desvía de su expectativa matemática, es decir Para caracterizar la dispersión de valores de una variable aleatoria en la teoría de la probabilidad, se utiliza el concepto de dispersión.

Diferencia variable aleatoria X se llama expectativa matemática de la desviación al cuadrado:

D(X) = METRO[(X - METRO(X)) 2 ].

La dispersión es una característica numérica de la dispersión de una variable aleatoria. De la definición se desprende claramente que cuanto menor es la dispersión de una variable aleatoria, más cerca se ubican sus valores posibles alrededor de la expectativa matemática, es decir, mejor se caracterizan los valores de la variable aleatoria por su expectativa matemática. .

De la definición se deduce que la varianza se puede calcular mediante la fórmula

.

Es conveniente calcular la varianza mediante otra fórmula:

D(X) = METRO(X 2) - (METRO(X)) 2 .

La dispersión tiene las siguientes propiedades:

1. La varianza de la constante es cero:

D(C) = 0.

2. El factor constante se puede sacar del signo de dispersión elevándolo al cuadrado:

D(CX) = C 2 D(X).

3. La varianza de la suma de variables aleatorias independientes es igual a la suma de la varianza de los términos:

D(X 1 + X 2 + X 3 +…+ X norte)= D(X 1)+ D(X 2)+…+ D(X norte)

4. La varianza de la distribución binomial es igual al producto del número de ensayos por la probabilidad de que ocurra o no un evento en un ensayo:

D(X) = npq.

En teoría de la probabilidad, a menudo se utiliza una característica numérica igual a la raíz cuadrada de la varianza de una variable aleatoria. Esta característica numérica se llama desviación cuadrática media y se denota con el símbolo

.

Caracteriza el tamaño aproximado de la desviación de una variable aleatoria de su valor promedio y tiene la misma dimensión que la variable aleatoria.

4.1. El tirador dispara tres tiros al objetivo. La probabilidad de dar en el blanco con cada disparo es 0,3.

Construya una serie de distribución para el número de visitas.

Solución. El número de aciertos es una variable aleatoria discreta. X. cada valor X norte variable aleatoria X corresponde a una cierta probabilidad PAG norte .

La ley de distribución de una variable aleatoria discreta en este caso se puede especificar cerca de distribución.

en este problema X toma valores 0, 1, 2, 3. Según la fórmula de Bernoulli

,

Encontremos las probabilidades de los posibles valores de la variable aleatoria:

R 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,

R 3 (1) =0,3(0,7) 2 = 0,441,

R 3 (2) =(0,3) 2 0,7 = 0,189,

R 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.

Ordenando los valores de la variable aleatoria. X en orden creciente obtenemos la serie de distribución:

Tenga en cuenta que la cantidad

significa la probabilidad de que la variable aleatoria X tomará al menos un valor de entre los posibles, y este evento es confiable, por lo tanto

.

4.2 .Hay cuatro bolas en la urna con números del 1 al 4. Se sacan dos bolas. Valor aleatorio X– la suma de los números de las bolas. Construir una serie de distribución de una variable aleatoria. X.

Solución. Valores de variables aleatorias X son 3, 4, 5, 6, 7. Encontremos las probabilidades correspondientes. Valor de variable aleatoria 3 X se puede aceptar en el único caso cuando una de las bolas seleccionadas tiene el número 1 y la otra 2. El número de posibles resultados de la prueba es igual al número de combinaciones de cuatro (el número de posibles pares de bolas) de dos.

Usando la fórmula de probabilidad clásica obtenemos

Asimismo,

R(X= 4) =R(X= 6) =R(X= 7) = 1/6.

La suma 5 puede aparecer en dos casos: 1 + 4 y 2 + 3, entonces

.

X tiene la forma:

Encuentra la función de distribución. F(X) variable aleatoria X y trazarlo. Calcular para X su expectativa matemática y varianza.

Solución. La ley de distribución de una variable aleatoria se puede especificar mediante la función de distribución.

F(X) =P(X X).

Función de distribución F(X) es una función continua por la izquierda, no decreciente, definida en toda la recta numérica, mientras que

F (- )= 0,F (+ )= 1.

Para una variable aleatoria discreta, esta función se expresa mediante la fórmula

.

Por lo tanto en este caso

Gráfico de función de distribución F(X) es una línea escalonada (Fig.12)

Valor esperadoMETRO(X) es la media aritmética ponderada de los valores X 1 , X 2 ,……X norte variable aleatoria X con escalas ρ 1, ρ 2, …… , ρ norte y se llama valor medio de la variable aleatoria X. Según la fórmula

METRO(X)=x 1 ρ 1 +x 2 ρ 2 +……+x norte ρ norte

METRO(X) = 3·0,14+5·0,2+7·0,49+11·0,17 = 6,72.

Dispersión caracteriza el grado de dispersión de los valores de una variable aleatoria de su valor promedio y se denota D(X):

D(X)=M[(HM(X)) 2 ]= METRO(X 2) –[METRO(X)] 2 .

Para una variable aleatoria discreta, la varianza tiene la forma

o se puede calcular usando la fórmula

Sustituyendo los datos numéricos del problema en la fórmula, obtenemos:

METRO(X 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84

D(X) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.

4.4. Se lanzan dos dados dos veces al mismo tiempo. Escribe la ley binomial de distribución de una variable aleatoria discreta. X- el número de apariciones de un número total par de puntos en dos dados.

Solución. Introduzcamos un evento aleatorio.

A= (dos dados con un lanzamiento dieron como resultado un total de puntos pares).

Usando la definición clásica de probabilidad encontramos

R(A)= ,

Dónde norte - la regla determina el número de posibles resultados de la prueba

multiplicación:

norte = 6∙6 =36,

metro - Número de personas que favorecen el evento. A resultados - iguales

metro= 3∙6=18.

Por tanto, la probabilidad de éxito en un ensayo es

ρ =P(A)= 1/2.

El problema se resuelve mediante un esquema de prueba de Bernoulli. Un desafío aquí sería tirar dos dados una vez. Número de pruebas de este tipo norte = 2. Variable aleatoria X toma valores 0, 1, 2 con probabilidades

R 2 (0) =,R 2 (1) =∙,R 2 (2) =

La distribución binomial requerida de una variable aleatoria. X se puede representar como una serie de distribución:

4.5 . En un lote de seis piezas hay cuatro estándar. Se seleccionaron tres partes al azar. Construir una distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta. X– el número de piezas estándar entre las seleccionadas y encontrar su expectativa matemática.

Solución. Valores de variables aleatorias X son los números 0,1,2,3. Está claro que R(X=0)=0, ya que sólo hay dos piezas no estándar.

R(X=1) =
=1/5,

R(x= 2) =
= 3/5,

R(X=3) =
= 1/5.

Ley de distribución de una variable aleatoria. X Presentémoslo en forma de serie de distribución:

Valor esperado

METRO(X)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.

4.6 . Demuestre que la expectativa matemática de una variable aleatoria discreta X- número de ocurrencias del evento A V norte ensayos independientes, en cada uno de los cuales la probabilidad de que ocurra un evento es igual a ρ – igual al producto del número de ensayos por la probabilidad de que ocurra un evento en un ensayo, es decir, para demostrar que la expectativa matemática de la distribución binomial

METRO(X) =norte . ρ ,

y dispersión

D(X) =notario público. .

Solución. Valor aleatorio X puede tomar valores 0, 1, 2..., norte. Probabilidad R(X= k) se encuentra usando la fórmula de Bernoulli:

R(X=k)= R norte(k)= ρ A (1-ρ ) norte- A

Serie de distribución de una variable aleatoria. X tiene la forma:

Dónde q= 1- ρ .

Para la expectativa matemática tenemos la expresión:

METRO(X)=ρq norte - 1 +2 ρ 2 q norte - 2 +…+.norte ρ norte

En el caso de una prueba, es decir, con norte= 1 para variable aleatoria X 1 – número de ocurrencias del evento A- la serie de distribución tiene la forma:

METRO(X 1)= 0∙q + 1 ∙ pag = pag

D(X 1) = pag – pag 2 = pag(1- pag) = pq.

Si X k – número de ocurrencias del evento A en qué prueba, entonces R(X A)= ρ Y

X=X 1 +X 2 +….+X norte .

De aquí obtenemos

METRO(X)=M(X 1 )+M(X 2)+ … +M(X norte)= nρ,

D(X)=D(X 1)+D(X 2)+ ... +D(X norte)=npq.

4.7. El departamento de control de calidad comprueba la calidad de los productos. La probabilidad de que el producto sea estándar es 0,9. Cada lote contiene 5 productos. Encuentre la expectativa matemática de una variable aleatoria discreta X- el número de lotes, cada uno de los cuales contendrá 4 productos estándar, si 50 lotes están sujetos a inspección.

Solución. La probabilidad de que haya 4 productos estándar en cada lote seleccionado al azar es constante; denotémoslo por ρ .Entonces la expectativa matemática de la variable aleatoria. X es igual METRO(X)= 50∙ρ.

Encontremos la probabilidad ρ según la fórmula de Bernoulli:

ρ=P 5 (4)== 0,94∙0,1=0,32.

METRO(X)= 50∙0,32=16.

4.8 . Se lanzan tres dados. Encuentre la expectativa matemática de la suma de los puntos eliminados.

Solución. Puedes encontrar la distribución de una variable aleatoria. X- la suma de los puntos eliminados y luego su expectativa matemática. Sin embargo, este camino es demasiado engorroso. Es más fácil utilizar otra técnica, representando una variable aleatoria. X, cuya expectativa matemática debe calcularse, en forma de una suma de varias variables aleatorias más simples, cuya expectativa matemática es más fácil de calcular. Si la variable aleatoria X i- este es el número de puntos perdidos i– los huesos ( i= 1, 2, 3), entonces la suma de puntos X se expresará en la forma

X=X 1 +X 2 +X 3 .

Para calcular la expectativa matemática de la variable aleatoria original, todo lo que queda es usar la propiedad de la expectativa matemática.

METRO(X 1 +X 2 +X 3 )= METRO(X 1 )+M(X 2)+M(X 3 ).

Es obvio que

R(X i =K)= 1/6, A= 1, 2, 3, 4, 5, 6, i= 1, 2, 3.

Por lo tanto, la expectativa matemática de la variable aleatoria X i parece

METRO(X i) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,

METRO(X) = 3∙7/2 = 10,5.

4.9. Determine la expectativa matemática de la cantidad de dispositivos que fallaron durante la prueba si:

a) la probabilidad de falla para todos los dispositivos es la misma R, y el número de dispositivos bajo prueba es igual a norte;

b) probabilidad de falla para i – del dispositivo es igual a pag i , i= 1, 2, … , norte.

Solución. Deja que la variable aleatoria X es el número de dispositivos fallidos, entonces

X=X 1 +X 2 + … + X norte ,

X i =

Está claro que

R(X i = 1)= R i , R(X i = 0)= 1– R i ,yo = 1, 2, … ,norte.

METRO(X i)= 1∙R i + 0∙(1-R i)=P i ,

METRO(X)=M(X 1)+M(X 2)+ … +M(X norte)=P 1 +P 2 + … + P norte .

En el caso “a” la probabilidad de falla del dispositivo es la misma, es decir

R i =p,yo = 1, 2, … ,norte.

METRO(X)= notario público..

Esta respuesta se podría obtener inmediatamente si notamos que la variable aleatoria X tiene una distribución binomial con parámetros ( norte, pag).

4.10. Se lanzan dos dados simultáneamente dos veces. Escribe la ley binomial de distribución de una variable aleatoria discreta. X - el número de tiradas de un número par de puntos en dos dados.

Solución. Dejar

A=(tirar un número par en el primer dado),

B =(tirando un número par en el segundo dado).

Obtener un número par en ambos dados en un solo lanzamiento se expresa mediante el producto AB. Entonces

R (AB) = R(A)∙R(EN) =
.

El resultado del segundo lanzamiento de dos dados no depende del primero, por lo que se aplica la fórmula de Bernoulli cuando

norte = 2,pag = 1/4, q = 1– pag = 3/4.

Valor aleatorio X puede tomar valores 0, 1, 2 , cuya probabilidad se puede encontrar usando la fórmula de Bernoulli:

R(x= 0)=P 2 (0) = q 2 = 9/16,

R(x= 1)=P 2 (1)=C ,R∙q = 6/16,

R(x= 2)=P 2 (2)=C , R 2 = 1/16.

Serie de distribución de una variable aleatoria. X:

4.11. El dispositivo consta de una gran cantidad de elementos que funcionan independientemente con la misma probabilidad muy pequeña de falla de cada elemento a lo largo del tiempo. t. Encuentre el número promedio de rechazos a lo largo del tiempo. t elementos, si la probabilidad de que al menos un elemento falle durante este tiempo es 0,98.

Solución. Número de personas que se negaron con el tiempo t elementos – variable aleatoria X, que se distribuye según la ley de Poisson, ya que el número de elementos es grande, los elementos funcionan de forma independiente y la probabilidad de falla de cada elemento es pequeña. Número promedio de ocurrencias de un evento en norte pruebas son iguales

METRO(X) = notario público..

Dado que la probabilidad de fracaso A elementos de norte expresado por la fórmula

R norte (A)
,

donde  = notario público., entonces la probabilidad de que ningún elemento falle durante el tiempo t llegamos a k = 0:

R norte (0)= mi -  .

Por lo tanto, la probabilidad del evento opuesto es en el tiempo. t al menos un elemento falla – igual a 1 - mi -  . Según las condiciones del problema, esta probabilidad es 0,98. De la ecuación.

1 - mi -  = 0,98,

mi -  = 1 – 0,98 = 0,02,

desde aquí  = -en 0,02  4.

Entonces, en el tiempo t funcionamiento del dispositivo, en promedio fallarán 4 elementos.

4.12 . Se lanzan los dados hasta que salga un “dos”. Calcula el número promedio de lanzamientos.

Solución. Introduzcamos una variable aleatoria. X– el número de pruebas que deben realizarse hasta que se produzca el evento que nos interesa. La probabilidad de que X= 1 es igual a la probabilidad de que durante un lanzamiento de dados aparezca un “dos”, es decir

R(x= 1) = 1/6.

Evento X= 2 significa que en la primera prueba el “dos” no apareció, pero en la segunda sí. probabilidad de evento X= 2 se encuentra mediante la regla de multiplicar las probabilidades de eventos independientes:

R(x= 2) = (5/6)∙(1/6)

Asimismo,

R(x= 3) = (5/6) 2 ∙1/6, R(x= 4) = (5/6) 2 ∙1/6

etc. Obtenemos una serie de distribuciones de probabilidad:

El número promedio de lanzamientos (ensayos) es la expectativa matemática.

METRO(X) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + A (5/6) A -1 ∙1/6 + … =

1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + A (5/6) A -1 + …)

Encontremos la suma de la serie:

Agramo A -1 = (gramo A) gramo 
.

Por eso,

METRO(X) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.

Por lo tanto, es necesario realizar una media de 6 lanzamientos de dados hasta que salga un “dos”.

4.13. Se realizan pruebas independientes con la misma probabilidad de ocurrencia del evento. A en cada prueba. Encuentre la probabilidad de que ocurra un evento. A, si la varianza del número de ocurrencias de un evento en tres ensayos independientes es 0,63 .

Solución. El número de ocurrencias de un evento en tres ensayos es una variable aleatoria X, distribuido según la ley del binomio. La varianza del número de ocurrencias de un evento en ensayos independientes (con la misma probabilidad de ocurrencia del evento en cada ensayo) es igual al producto del número de ensayos por las probabilidades de ocurrencia y no ocurrencia del evento. (problema 4.6)

D(X) = npq.

Por condición norte = 3, D(X) = 0.63, entonces puedes R encontrar a partir de la ecuación

0,63 = 3∙R(1-R),

que tiene dos soluciones R 1 = 0,7 y R 2 = 0,3.

En esta página hemos recopilado ejemplos de soluciones educativas. problemas sobre variables aleatorias discretas. Esta es una sección bastante extensa: se estudian varias leyes de distribución (binomial, geométrica, hipergeométrica, de Poisson y otras), para cada serie de distribución se estudian propiedades y características numéricas, se pueden construir representaciones gráficas: polígono (polígono) de probabilidades, función de distribución.

A continuación encontrará ejemplos de decisiones sobre variables aleatorias discretas, en las que deberá aplicar el conocimiento de las secciones anteriores de la teoría de la probabilidad para elaborar una ley de distribución y luego calcular la expectativa matemática, la dispersión, la desviación estándar, construir una función de distribución, responder. preguntas sobre el DSV, etc. P.

Ejemplos de leyes populares de distribución de probabilidad:

Calculadoras para características DSV

• Cálculo de expectativa matemática, dispersión y desviación estándar de DSV.

Problemas resueltos sobre DSV

Distribuciones cercanas a las geométricas.

Tarea 1. Hay 4 semáforos a lo largo del camino del automóvil, cada uno de los cuales prohíbe el movimiento adicional del automóvil con una probabilidad de 0,5. Encuentre la serie de distribución del número de semáforos que pasó el automóvil antes de la primera parada. ¿Cuáles son la expectativa matemática y la varianza de esta variable aleatoria?

Tarea 2. El cazador dispara al juego hasta el primer golpe, pero no logra disparar más de cuatro tiros. Elabore una ley de distribución del número de fallos si la probabilidad de dar en el blanco con un solo disparo es 0,7. Encuentra la varianza de esta variable aleatoria.

Tarea 3. El tirador, que dispone de 3 cartuchos, dispara al objetivo hasta el primer impacto. Las probabilidades de acierto del primer, segundo y tercer disparo son 0,6, 0,5 y 0,4, respectivamente. SV $\xi$ - número de cartuchos restantes. Compile una serie de distribución de una variable aleatoria, encuentre la expectativa matemática, la varianza y la desviación estándar de la variable aleatoria, construya la función de distribución de la variable aleatoria, encuentre $P(|\xi-m| \le \sigma$.

Tarea 4. La caja contiene 7 piezas estándar y 3 defectuosas. Sacan las piezas secuencialmente hasta que aparece la estándar, sin devolverlas. $\xi$ es el número de piezas defectuosas recuperadas.
Elaborar una ley de distribución para una variable aleatoria discreta $\xi$, calcular su expectativa matemática, varianza, desviación estándar, dibujar un polígono de distribución y una gráfica de la función de distribución.

Tareas con eventos independientes.

Tarea 5. 3 estudiantes se presentaron al reexamen de teoría de la probabilidad. La probabilidad de que la primera persona apruebe el examen es de 0,8, la segunda de 0,7 y la tercera de 0,9. Encuentre la serie de distribución de la variable aleatoria $\xi$ del número de estudiantes que aprobaron el examen, grafique la función de distribución, encuentre $M(\xi), D(\xi)$.

Tarea 6. La probabilidad de dar en el blanco con un solo disparo es de 0,8 y disminuye con cada disparo en 0,1. Elabora una ley de distribución del número de impactos en un objetivo si se disparan tres tiros. Encuentre el valor esperado, la varianza y el S.K.O. esta variable aleatoria. Dibuja una gráfica de la función de distribución.

Tarea 7. Se disparan 4 tiros al objetivo. La probabilidad de acierto aumenta de la siguiente manera: 0,2, 0,4, 0,6, 0,7. Encuentre la ley de distribución de la variable aleatoria $X$: el número de aciertos. Encuentre la probabilidad de que $X \ge 1$.

Tarea 8. Se lanzan dos monedas simétricas y se cuenta el número de escudos de armas en ambas caras superiores de las monedas. Consideramos una variable aleatoria discreta $X$: el número de escudos de armas en ambas monedas. Escriba la ley de distribución de la variable aleatoria $X$, encuentre su expectativa matemática.

Otros problemas y leyes de distribución de DSV.

Tarea 9. Dos jugadores de baloncesto hacen tres tiros a la canasta. La probabilidad de acertar para el primer jugador de baloncesto es 0,6, para el segundo – 0,7. Sea $X$ la diferencia entre el número de tiros exitosos del primer y segundo jugador de baloncesto. Encuentre la serie de distribución, la moda y la función de distribución de la variable aleatoria $X$. Construya un polígono de distribución y una gráfica de la función de distribución. Calcule el valor esperado, la varianza y la desviación estándar. Encuentra la probabilidad del evento $(-2 \lt X \le 1)$.

Problema 10. El número de barcos no residentes que llegan diariamente para cargar a un determinado puerto es una variable aleatoria $X$, dada de la siguiente manera:
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
A) asegúrese de que se especifica la serie de distribución,
B) encuentre la función de distribución de la variable aleatoria $X$,
C) si llegan más de tres barcos en un día determinado, el puerto asume los costos debido a la necesidad de contratar conductores y cargadores adicionales. ¿Cuál es la probabilidad de que el puerto incurra en costos adicionales?
D) encuentre la expectativa matemática, la varianza y la desviación estándar de la variable aleatoria $X$.

Problema 11. Se lanzan 4 dados. Encuentra la expectativa matemática de la suma del número de puntos que aparecerán en todos los lados.

Problema 12. Los dos se turnan para lanzar una moneda hasta que aparece por primera vez el escudo de armas. El jugador que obtuvo el escudo de armas recibe 1 rublo del otro jugador. Encuentre la expectativa matemática de ganar para cada jugador.

Variable aleatoria Se denomina variable a aquella variable que, como resultado de cada prueba, toma un valor previamente desconocido, dependiendo de razones aleatorias. Las variables aleatorias se indican con letras latinas mayúsculas: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Según su tipo, las variables aleatorias pueden ser discreto Y continuo.

Variable aleatoria discreta- se trata de una variable aleatoria cuyos valores no pueden ser más que contables, es decir, finitos o contables. Por contabilidad queremos decir que los valores de una variable aleatoria se pueden numerar.

Ejemplo 1 . A continuación se muestran ejemplos de variables aleatorias discretas:

a) el número de impactos en el objetivo con $n$ disparos, aquí los valores posibles son $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) la cantidad de emblemas que se caen al lanzar una moneda, aquí los valores posibles son $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) el número de barcos que llegan a bordo (un conjunto contable de valores).

d) el número de llamadas que llegan a la centralita (conjunto contable de valores).

1. Ley de distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta.

Una variable aleatoria discreta $X$ puede tomar valores $x_1,\dots ,\ x_n$ con probabilidades $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. La correspondencia entre estos valores y sus probabilidades se llama ley de distribución de una variable aleatoria discreta. Como regla general, esta correspondencia se especifica mediante una tabla, cuya primera línea indica los valores $x_1,\dots ,\ x_n$, y la segunda línea contiene las probabilidades $p_1,\dots ,\ p_n$ correspondientes a estos valores.

$\begin(matriz)(|c|c|)
\hline
X_i y x_1 y x_2 ​​y \puntos y x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \puntos & p_n \\
\hline
\end(matriz)$

Ejemplo 2 . Sea la variable aleatoria $X$ el número de puntos obtenidos al lanzar un dado. Tal variable aleatoria $X$ puede tomar los siguientes valores: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Las probabilidades de todos estos valores son iguales a $1/6$. Entonces la ley de distribución de probabilidad de la variable aleatoria $X$:

$\begin(matriz)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(matriz)$

Comentario. Dado que en la ley de distribución de una variable aleatoria discreta $X$ los eventos $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ forman un grupo completo de eventos, entonces la suma de las probabilidades debe ser igual a uno, es decir, $ \suma(p_i)=1$.

2. Expectativa matemática de una variable aleatoria discreta.

Expectativa de una variable aleatoria establece su significado “central”. Para una variable aleatoria discreta, la expectativa matemática se calcula como la suma de los productos de los valores $x_1,\dots,\ x_n$ y las probabilidades $p_1,\dots,\ p_n$ correspondientes a estos valores, es decir : $M\izquierda(X\derecha)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. En la literatura en inglés, se utiliza otra notación $E\left(X\right)$.

Propiedades de la expectativa matemática$M\izquierda(X\derecha)$:

1. $M\left(X\right)$ se encuentra entre los valores más pequeño y más grande de la variable aleatoria $X$.
2. La expectativa matemática de una constante es igual a la constante misma, es decir $M\izquierda(C\derecha)=C$.
3. El factor constante se puede sacar del signo de la expectativa matemática: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. La expectativa matemática de la suma de variables aleatorias es igual a la suma de sus expectativas matemáticas: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. La expectativa matemática del producto de variables aleatorias independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Ejemplo 3 . Encontremos la expectativa matemática de la variable aleatoria $X$ del ejemplo $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\sobre (6))+4\cdot ((1)\sobre (6))+5\cdot ((1)\sobre (6))+6\cdot ((1 )\sobre (6))=3.5.$$

Podemos notar que $M\left(X\right)$ se encuentra entre los valores más pequeño ($1$) y más grande ($6$) de la variable aleatoria $X$.

Ejemplo 4 . Se sabe que la expectativa matemática de la variable aleatoria $X$ es igual a $M\left(X\right)=2$. Encuentre la expectativa matemática de la variable aleatoria $3X+5$.

Usando las propiedades anteriores, obtenemos $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=$11.

Ejemplo 5 . Se sabe que la expectativa matemática de la variable aleatoria $X$ es igual a $M\left(X\right)=4$. Encuentre la expectativa matemática de la variable aleatoria $2X-9$.

Usando las propiedades anteriores, obtenemos $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ punto 4 -9=-1$.

3. Dispersión de una variable aleatoria discreta.

Los valores posibles de variables aleatorias con expectativas matemáticas iguales pueden dispersarse de manera diferente alrededor de sus valores promedio. Por ejemplo, en dos grupos de estudiantes la puntuación promedio en el examen de teoría de la probabilidad resultó ser 4, pero en un grupo todos resultaron ser buenos estudiantes, y en el otro grupo solo hubo estudiantes C y estudiantes excelentes. Por lo tanto, existe la necesidad de una característica numérica de una variable aleatoria que muestre la dispersión de los valores de la variable aleatoria alrededor de su expectativa matemática. Esta característica es la dispersión.

Varianza de una variable aleatoria discreta$X$ es igual a:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

En la literatura inglesa se utiliza la notación $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Muy a menudo la varianza $D\left(X\right)$ se calcula usando la fórmula $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ izquierda(X \derecha)\derecha))^2$.

Propiedades de dispersión$D\izquierda(X\derecha)$:

1. La varianza es siempre mayor o igual a cero, es decir $D\izquierda(X\derecha)\ge 0$.
2. La varianza de la constante es cero, es decir $D\izquierda(C\derecha)=0$.
3. El factor constante se puede sacar del signo de la dispersión siempre que esté al cuadrado, es decir $D\izquierda(CX\derecha)=C^2D\izquierda(X\derecha)$.
4. La varianza de la suma de variables aleatorias independientes es igual a la suma de sus varianzas, es decir $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. La varianza de la diferencia entre variables aleatorias independientes es igual a la suma de sus varianzas, es decir $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Ejemplo 6 . Calculemos la varianza de la variable aleatoria $X$ del ejemplo $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3.5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3.5\right))^2+ \dots +( (1)\sobre (6))\cdot (\left(6-3.5\right))^2=((35)\sobre (12))\aproximadamente 2,92.$$

Ejemplo 7 . Se sabe que la varianza de la variable aleatoria $X$ es igual a $D\left(X\right)=2$. Encuentra la varianza de la variable aleatoria $4X+1$.

Usando las propiedades anteriores, encontramos $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ izquierda(X\derecha)=16\cdot 2=32$.

Ejemplo 8 . Se sabe que la varianza de la variable aleatoria $X$ es igual a $D\left(X\right)=3$. Encuentre la varianza de la variable aleatoria $3-2X$.

Usando las propiedades anteriores, encontramos $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ izquierda(X\derecha)=4\cdot 3=12$.

4. Función de distribución de una variable aleatoria discreta.

El método de representar una variable aleatoria discreta en forma de una serie de distribución no es el único y, lo más importante, no es universal, ya que una variable aleatoria continua no se puede especificar mediante una serie de distribución. Hay otra forma de representar una variable aleatoria: la función de distribución.

Función de distribución La variable aleatoria $X$ se llama función $F\left(x\right)$, que determina la probabilidad de que la variable aleatoria $X$ tome un valor menor que algún valor fijo $x$, es decir, $F\ izquierda(x\derecha)=P\izquierda(X< x\right)$

Propiedades de la función de distribución.:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. La probabilidad de que la variable aleatoria $X$ tome valores del intervalo $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ es igual a la diferencia entre los valores de la función de distribución en los extremos de este intervalo: $P\izquierda(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - no decreciente.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \derecha)=1\ )$.

Ejemplo 9 . Encontremos la función de distribución $F\left(x\right)$ para la ley de distribución de la variable aleatoria discreta $X$ del ejemplo $2$.

$\begin(matriz)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(matriz)$

Si $x\le 1$, entonces, obviamente, $F\left(x\right)=0$ (incluso para $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Si $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Si $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Si $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Si $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Si $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Si $x > 6$, entonces $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Entonces $F(x)=\left\(\begin(matriz)
0,\ en\ x\le 1,\\
1/6, en\ 1< x\le 2,\\
1/3,\ en\ 2< x\le 3,\\
1/2,en\ 3< x\le 4,\\
2/3,\ en\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ en\ 4< x\le 5,\\
1,\ para\ x > 6.
\end(matriz)\right.$

Uno de los conceptos más importantes en la teoría de la probabilidad es el concepto variable aleatoria.

Aleatorio llamado tamaño, que como resultado de las pruebas adquiere ciertos valores posibles que se desconocen de antemano y dependen de razones aleatorias que no se pueden tener en cuenta de antemano.

Las variables aleatorias se designan con letras mayúsculas del alfabeto latino. X, Y, z etc. o en letras mayúsculas del alfabeto latino con un índice inferior derecho, y los valores que pueden tomar las variables aleatorias, en las letras minúsculas correspondientes del alfabeto latino X, y, z etc.

El concepto de variable aleatoria está estrechamente relacionado con el concepto de evento aleatorio. Conexión con un evento aleatorio. radica en el hecho de que la adopción de un determinado valor numérico por una variable aleatoria es un evento aleatorio caracterizado por la probabilidad .

En la práctica, existen dos tipos principales de variables aleatorias:

1. Variables aleatorias discretas;

2. Variables aleatorias continuas.

Una variable aleatoria es una función numérica de eventos aleatorios.

Por ejemplo, una variable aleatoria es el número de puntos obtenidos al lanzar un dado, o la altura de un estudiante seleccionado aleatoriamente de un grupo de estudio.

Variables aleatorias discretas Se llaman variables aleatorias que toman sólo valores distantes entre sí que pueden enumerarse de antemano.

Ley de distribución(función de distribución y serie de distribución o densidad de probabilidad) describen completamente el comportamiento de una variable aleatoria. Pero en una serie de problemas basta con conocer algunas características numéricas de la cantidad en estudio (por ejemplo, su valor medio y su posible desviación) para responder a la pregunta planteada. Consideremos las principales características numéricas de las variables aleatorias discretas.

Ley de distribución de una variable aleatoria discreta. cada relación se llama , establecer una conexión entre los valores posibles de una variable aleatoria y sus probabilidades correspondientes .

La ley de distribución de una variable aleatoria se puede representar como mesas:

La suma de las probabilidades de todos los valores posibles de una variable aleatoria es igual a uno, es decir

La ley de distribución se puede representar. gráficamente: los posibles valores de una variable aleatoria se trazan a lo largo del eje de abscisas y las probabilidades de estos valores se trazan a lo largo del eje de ordenadas; los puntos resultantes están conectados por segmentos. La polilínea construida se llama polígono de distribución.

Ejemplo. Un cazador con 4 cartuchos dispara a la pieza hasta que da el primer golpe o agota todos los cartuchos. La probabilidad de acertar en el primer disparo es 0,7, con cada disparo posterior disminuye en 0,1. Elaborar una ley de distribución del número de cartuchos gastados por un cazador.

Solución. Dado que un cazador, al tener 4 cartuchos, puede disparar cuatro tiros, entonces la variable aleatoria X- el número de cartuchos gastados por el cazador puede tomar los valores 1, 2, 3, 4. Para encontrar las probabilidades correspondientes, introducimos los eventos:

- "golpeado con i - oh tiro”, ;

- “extraño cuando i - om shot”, y los eventos y son independientes por pares.

Según las condiciones del problema tenemos:

,

Usando el teorema de la multiplicación para eventos independientes y el teorema de la suma para eventos incompatibles, encontramos:

(el cazador dio en el blanco con el primer disparo);

(el cazador dio en el blanco con el segundo disparo);

(el cazador dio en el blanco con el tercer disparo);

(el cazador dio en el blanco con el cuarto disparo o falló las cuatro veces).

Verifique: - verdadero.

Por tanto, la ley de distribución de una variable aleatoria. X tiene la forma:

Ejemplo. Un trabajador opera tres máquinas. La probabilidad de que dentro de una hora la primera máquina no requiera ajuste es de 0,9, la segunda - 0,8 y la tercera - 0,7. Elaborar una ley de distribución del número de máquinas que requerirán ajuste en una hora.

Solución. Valor aleatorio X- el número de máquinas que requerirán ajuste en una hora puede tomar los valores 0,1, 2, 3. Para encontrar las probabilidades correspondientes, introducimos los eventos:

- “i- la máquina deberá ajustarse en el plazo de una hora” ;

- “i- la máquina no necesitará ningún ajuste en una hora.”

Según las condiciones del problema tenemos:

, .

aleatorio discreto Las variables son variables aleatorias que toman sólo valores distantes entre sí y que se pueden enumerar de antemano.
Ley de distribución
La ley de distribución de una variable aleatoria es una relación que establece una conexión entre los posibles valores de una variable aleatoria y sus correspondientes probabilidades.
La serie de distribución de una variable aleatoria discreta es la lista de sus posibles valores y las probabilidades correspondientes.
La función de distribución de una variable aleatoria discreta es la función:
,
determinando para cada valor del argumento x la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor menor que este x.

Expectativa de una variable aleatoria discreta
,
¿Dónde está el valor de una variable aleatoria discreta? - la probabilidad de que una variable aleatoria acepte valores X.
Si una variable aleatoria toma un conjunto contable de valores posibles, entonces:
.
Expectativa matemática del número de ocurrencias de un evento en n ensayos independientes:
,

Dispersión y desviación estándar de una variable aleatoria discreta.
Dispersión de una variable aleatoria discreta:
o .
Varianza del número de ocurrencias de un evento en n ensayos independientes
,
donde p es la probabilidad de que ocurra el evento.
Desviación estándar de una variable aleatoria discreta:
.

Ejemplo 1
Elaborar una ley de distribución de probabilidad para una variable aleatoria discreta (DRV) X: el número de k apariciones de al menos un "seis" en n = 8 lanzamientos de un par de dados. Construya un polígono de distribución. Encuentre las características numéricas de la distribución (modo de distribución, expectativa matemática M(X), dispersión D(X), desviación estándar s(X)). Solución: Introduzcamos la notación: evento A – “al lanzar un par de dados, apareció un seis al menos una vez”. Para encontrar la probabilidad P(A) = p del evento A, es más conveniente encontrar primero la probabilidad P(Ā) = q del evento opuesto Ā - “al lanzar un par de dados, nunca apareció un seis”.
Dado que la probabilidad de que no aparezca un "seis" al lanzar un dado es 5/6, entonces, de acuerdo con el teorema de la multiplicación de probabilidades
P(Ā) = q = = .
Respectivamente,
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
Las pruebas del problema siguen el esquema de Bernoulli, por lo que d.s.v. magnitud X- número k la aparición de al menos un seis al lanzar dos dados obedece a la ley binomial de la distribución de probabilidad:

donde = es el número de combinaciones de norte Por k.

Los cálculos realizados para este problema se pueden presentar convenientemente en forma de tabla:
Distribución de probabilidad d.s.v. X º k (norte = 8; pag = ; q = )

Polígono (polígono) de distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta. X mostrado en la figura:

Arroz. Polígono de distribución de probabilidad d.s.v. X=k.
La línea vertical muestra la expectativa matemática de la distribución. METRO(X).

Encontremos las características numéricas de la distribución de probabilidad de d.s.v. X. El modo de distribución es 2 (aquí PAG 8(2) = 0,2932 máximo). La expectativa matemática por definición es igual a:
METRO(X) = = 2,4444,
Dónde xk = k– valor tomado por d.s.v. X. Diferencia D(X) encontramos la distribución usando la fórmula:
D(X) = = 4,8097.
Desviación estándar (RMS):
s( X) = = 2,1931.

Ejemplo2
Variable aleatoria discreta X dado por la ley de distribución

Solución. Si, entonces (tercera propiedad).
Si entonces. En realidad, X puede tomar el valor 1 con probabilidad 0,3.
Si entonces. De hecho, si satisface la desigualdad
, entonces es igual a la probabilidad de un evento que puede ocurrir cuando X tomará el valor 1 (la probabilidad de este evento es 0,3) o el valor 4 (la probabilidad de este evento es 0,1). Dado que estos dos eventos son incompatibles, según el teorema de la suma, la probabilidad de un evento es igual a la suma de las probabilidades 0,3 + 0,1 = 0,4. Si entonces. De hecho, el evento es cierto, por lo tanto su probabilidad es igual a uno. Entonces, la función de distribución se puede escribir analíticamente de la siguiente manera:

Gráfica de esta función:
Encontremos las probabilidades correspondientes a estos valores. Por condición, las probabilidades de falla de los dispositivos son iguales: entonces las probabilidades de que los dispositivos funcionen durante el período de garantía son iguales:




La ley de distribución tiene la forma: