Especificación de una función mediante varias fórmulas, explicación. Manera gráfica de especificar una función.

una función es una correspondencia entre elementos de dos conjuntos, establecida según la regla de que cada elemento de un conjunto está asociado con algún elemento de otro conjunto.

la gráfica de una función es el lugar geométrico de los puntos en el plano cuya abscisa (x) y ordenada (y) están relacionadas por la función especificada:

un punto está ubicado (o ubicado) en la gráfica de una función si y solo si.

Por tanto, la función se puede describir adecuadamente mediante su gráfica.

Método tabular. Una bastante común es especificar una tabla de valores de argumentos individuales y sus valores de función correspondientes. Este método de definir una función se utiliza cuando el dominio de definición de la función es un conjunto finito discreto.

Con el método tabular de especificar una función, es posible calcular aproximadamente los valores de la función que no están contenidos en la tabla, correspondientes a valores intermedios del argumento. Para hacer esto, use el método de interpolación.

Las ventajas del método tabular para especificar una función son que permite determinar ciertos valores específicos de inmediato, sin mediciones ni cálculos adicionales. Sin embargo, en algunos casos, la tabla no define la función completamente, sino solo para algunos valores del argumento y no proporciona una representación visual de la naturaleza del cambio en la función dependiendo del cambio en el argumento.

Método gráfico. La gráfica de la función y = f(x) es el conjunto de todos los puntos del plano cuyas coordenadas satisfacen la ecuación dada.

El método gráfico para especificar una función no siempre permite determinar con precisión los valores numéricos del argumento. Sin embargo, tiene una gran ventaja sobre otros métodos: la visibilidad. En ingeniería y física, a menudo se utiliza un método gráfico para especificar una función, y un gráfico es la única forma disponible para ello.

Para que la asignación gráfica de una función sea completamente correcta desde un punto de vista matemático, es necesario indicar el diseño geométrico exacto de la gráfica, que generalmente se especifica mediante una ecuación. Esto lleva a la siguiente forma de especificar una función.

Método analítico. Muy a menudo, la ley que establece la conexión entre argumento y función se especifica mediante fórmulas. Este método de especificar una función se llama analítico.

Este método hace posible que cada valor numérico del argumento x encuentre el valor numérico correspondiente de la función y exactamente o con cierta precisión.

Si la relación entre xey viene dada por una fórmula resuelta con respecto a y, es decir tiene la forma y = f(x), entonces decimos que la función de x está dada explícitamente.

Si los valores xey están relacionados por alguna ecuación de la forma F(x,y) = 0, es decir la fórmula no está resuelta para y, lo que significa que la función y = f(x) está dada implícitamente.

Una función se puede definir mediante diferentes fórmulas en diferentes partes de su dominio.

El método analítico es la forma más común de especificar funciones. La compacidad, la concisión, la capacidad de calcular el valor de una función para un valor arbitrario de un argumento del dominio de definición, la capacidad de aplicar el aparato de análisis matemático a una función dada son las principales ventajas del método analítico de especificar un función. Las desventajas incluyen la falta de visibilidad, que se compensa con la capacidad de crear un gráfico y la necesidad de realizar cálculos a veces muy engorrosos.

Método verbal. Este método consiste en expresar la dependencia funcional en palabras.

Ejemplo 1: la función E(x) es la parte entera de x. En general, E(x) = [x] denota el número entero más grande que no excede x. En otras palabras, si x = r + q, donde r es un número entero (puede ser negativo) y q pertenece al intervalo = r. La función E(x) = [x] es constante en el intervalo = r.

Ejemplo 2: la función y = (x) es la parte fraccionaria de un número. Más precisamente, y =(x) = x - [x], donde [x] es la parte entera del número x. Esta función está definida para todo x. Si x es un número arbitrario, entonces represéntelo como x = r + q (r = [x]), donde r es un número entero y q se encuentra en el intervalo.
Vemos que agregar n al argumento x no cambia el valor de la función.
El número más pequeño distinto de cero en n es , por lo que el período es sen 2x .

Se llama al valor del argumento en el que la función es igual a 0. cero (raíz) funciones.

Una función puede tener varios ceros.

Por ejemplo, la función y = x (x + 1)(x-3) tiene tres ceros: x = 0, x = - 1, x = 3.

Geométricamente, el cero de una función es la abscisa del punto de intersección de la gráfica de la función con el eje. X .

La Figura 7 muestra una gráfica de una función con ceros: x = a, x = b y x = c.

Si la gráfica de una función se acerca indefinidamente a una determinada recta a medida que se aleja del origen, entonces esta recta se llama asíntota.

Función inversa

Sea una función y=ƒ(x) con un dominio de definición D y un conjunto de valores E. Si cada valor yєE corresponde a un solo valor xєD, entonces la función x=φ(y) se define con a. dominio de definición E y un conjunto de valores D (ver Fig. 102).

Tal función φ(y) se llama inversa de la función ƒ(x) y se escribe de la siguiente forma: x=j(y)=f -1 (y) Las funciones y=ƒ(x) y x. =φ(y) se dice que son mutuamente inversas. Para encontrar la función x=φ(y), inversa a la función y=ƒ (x), basta con resolver la ecuación ƒ(x)=y para x (si es posible).

1. Para la función y=2x la función inversa es la función x=y/2;

2. Para la función y=x2 xє la función inversa es x=√y; tenga en cuenta que para la función y=x 2 definida en el segmento [-1; 1], lo inverso no existe, ya que un valor de y corresponde a dos valores de x (entonces, si y = 1/4, entonces x1 = 1/2, x2 = -1/2).

De la definición de una función inversa se deduce que la función y=ƒ(x) tiene una inversa si y sólo si la función ƒ(x) especifica una correspondencia uno a uno entre los conjuntos D y E. Se deduce que cualquier La función estrictamente monótona tiene una inversa. Además, si una función aumenta (disminuye), entonces la función inversa también aumenta (disminuye).

Tenga en cuenta que la función y=ƒ(x) y su inversa x=φ(y) están representadas por la misma curva, es decir, sus gráficas coinciden. Si acordamos que, como de costumbre, la variable independiente (es decir, el argumento) se denota por x, y la variable dependiente por y, entonces la función inversa de la función y=ƒ(x) se escribirá en la forma y=φ( X).

Esto significa que el punto M 1 (x o;y o) de la curva y=ƒ(x) se convierte en el punto M 2 (y o;xo) de la curva y=φ(x). Pero los puntos M 1 y M 2 son simétricos con respecto a la recta y=x (ver Fig. 103). Por lo tanto, las gráficas de las funciones mutuamente inversas y=ƒ(x) e y=φ(x) son simétricas con respecto a la bisectriz del primer y tercer ángulo coordenado.

Función compleja

Definamos la función у=ƒ(u) en el conjunto D, y la función u= φ(х) en el conjunto D 1, y para  x D 1 el valor correspondiente u=φ(х) є D. Luego, en el conjunto D 1 función u=ƒ(φ(x)), que se llama función compleja de x (o superposición de funciones dadas, o función de una función).

La variable u=φ(x) se llama argumento intermedio de una función compleja.

Por ejemplo, la función y=sin2x es una superposición de dos funciones y=sinu y u=2x. Una función compleja puede tener varios argumentos intermedios.

4. Funciones elementales básicas y sus gráficas.

Las siguientes funciones se denominan funciones elementales principales.

1) Función exponencial y=a x,a>0, a ≠ 1. En la Fig. 104 muestra gráficas de funciones exponenciales correspondientes a varias bases de potencia.

2) Función de potencia y=x α, αєR. En las figuras se proporcionan ejemplos de gráficas de funciones de potencia correspondientes a varios exponentes.

3) Función logarítmica y=log a x, a>0,a≠1; en la Fig. 106.

4) Funciones trigonométricas y=senx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx; Las gráficas de funciones trigonométricas tienen la forma que se muestra en la Fig. 107.

5) Funciones trigonométricas inversas y=arcsinx, y=arccosх, y=arctgx, y=arcctgx. En la Fig. 108 muestra gráficas de funciones trigonométricas inversas.

Una función definida por una única fórmula, compuesta de funciones elementales básicas y constantes que utilizan un número finito de operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división) y operaciones para tomar una función de una función, se llama función elemental.

Ejemplos de funciones elementales son las funciones

Ejemplos de funciones no elementales son las funciones

5. Conceptos de límite de secuencia y función. Propiedades de los límites.

Límite de función (valor límite de la función) en un punto dado, que limita el dominio de definición de una función, es el valor al que tiende el valor de la función considerada a medida que su argumento tiende a un punto dado.

En matemáticas límite de la secuencia Los elementos de un espacio métrico o espacio topológico son un elemento de un mismo espacio que tiene la propiedad de “atraer” elementos de una secuencia determinada. El límite de una secuencia de elementos de un espacio topológico es un punto tal que cada vecindad del mismo contiene todos los elementos de la secuencia, a partir de un número determinado. En un espacio métrico, las vecindades se definen a través de la función de distancia, por lo que el concepto de límite se formula en el lenguaje de las distancias. Históricamente, el primero fue el concepto de límite de una secuencia numérica, que surge en el análisis matemático, donde sirve como base para un sistema de aproximaciones y es ampliamente utilizado en la construcción del cálculo diferencial e integral.

Designación:

(lee: el límite de la secuencia x-nésima cuando en tiende al infinito es un)

La propiedad de una secuencia que tiene un límite se llama convergencia: si una secuencia tiene un límite, entonces se dice que esta secuencia converge; de lo contrario (si la secuencia no tiene límite) se dice que la secuencia es diverge. En un espacio de Hausdorff y, en particular, en un espacio métrico, toda subsecuencia de una secuencia convergente converge y su límite coincide con el límite de la secuencia original. En otras palabras, una secuencia de elementos de un espacio de Hausdorff no puede tener dos límites diferentes. Sin embargo, puede resultar que la secuencia no tenga límite, pero que haya una subsecuencia (de la secuencia dada) que tenga un límite. Si se puede identificar una subsecuencia convergente a partir de cualquier secuencia de puntos en un espacio, entonces se dice que el espacio dado tiene la propiedad de compacidad secuencial (o, simplemente, compacidad, si la compacidad se define exclusivamente en términos de secuencias).

El concepto de límite de una secuencia está directamente relacionado con el concepto de punto límite (conjunto): si un conjunto tiene un punto límite, entonces hay una secuencia de elementos de este conjunto que convergen a este punto.

Definición

Sean dados un espacio topológico y una secuencia, entonces, si existe un elemento tal que.

donde es un conjunto abierto que contiene , entonces se llama límite de la secuencia. Si el espacio es métrico, entonces el límite se puede definir usando la métrica: si hay un elemento tal que

donde está la métrica, se llama límite.

· Si el espacio está equipado con una topología anti-discreta, entonces el límite de cualquier secuencia será cualquier elemento del espacio.

6. Límite de una función en un punto. Límites unilaterales.

Función de una variable. Determinación del límite de una función en un punto según Cauchy. Número b llamado límite de la función en = F(X) en X, luchando por A(o en el punto A), si para cualquier número positivo  existe un número positivo  tal que para todo x ≠ a, tal que | X – a | < , выполняется неравенство
| F(X) – a | <  .

Determinación del límite de una función en un punto según Heine. Número b llamado límite de la función en = F(X) en X, luchando por A(o en el punto A), si para cualquier secuencia ( X n ), convergiendo a A(apuntando hacia A, teniendo un número límite A), y en cualquier valor n x norte ≠ A, subsecuencia ( y norte= F(X n)) converge a b.

Estas definiciones suponen que la función en = F(X) se define en alguna vecindad del punto A, excepto, quizás, el punto en sí A.

Las definiciones de Cauchy y Heine del límite de una función en un punto son equivalentes: si el número b sirve como límite para uno de ellos, entonces esto también es válido para el segundo.

El límite especificado se indica de la siguiente manera:

Geométricamente, la existencia de un límite de una función en un punto según Cauchy significa que para cualquier número > 0 es posible indicar en el plano de coordenadas tal rectángulo con base 2 > 0, altura 2 y centro en el punto ( A; b) que todos los puntos de la gráfica de una función dada en el intervalo ( A– ; A+ ), con la posible excepción del punto METRO(A; F(A)), se encuentran en este rectángulo

Límite unilateral en análisis matemático, el límite de una función numérica, lo que implica "acercarse" al punto límite en un lado. Estos límites se denominan en consecuencia límite izquierdo(o limite a la izquierda) Y límite derecho (límite a la derecha). Sea una función numérica sobre un determinado conjunto numérico y el número sea el punto límite del dominio de definición. Existen diferentes definiciones para los límites unilaterales de una función en un punto, pero todas son equivalentes.

Concepto de función Métodos para especificar una función Ejemplos de funciones Definición analítica de una función Método gráfico para especificar una función Límite de una función en un punto Método tabular para especificar una función teorema sobre límites unicidad de un límite acotación de una función que tiene un límite transición a un límite en una desigualdad Límite de una función en el infinito Funciones infinitesimales Propiedades de funciones infinitesimales

El concepto de función es básico e inicial, al igual que el concepto de conjunto. Sea X un conjunto de números reales x. Si cada x € X, según alguna ley, está asociado a un determinado número real y, entonces se dice que se da una función en el conjunto X y se escribe la función introducida de esta forma se llama numérica. En este caso, el conjunto X se denomina dominio de definición de la función y la variable independiente x se denomina argumento. Para indicar una función, a veces usan solo el símbolo que denota la ley de correspondencia, es decir, en lugar de f(x) n y bufón simplemente /. Así, una función se especifica si 1) se especifica el dominio de definición 2) la regla /, que asigna a cada valor a: € X un cierto número y = /(x) - el valor de la función correspondiente a este valor de el argumento x. Las funciones / y g se consideran iguales si sus dominios coinciden y la igualdad f(x) = g(x) es cierta para cualquier valor del argumento x de su dominio común de definición. Así, las funciones y, no son iguales; son iguales sólo en el intervalo [O, I]. Ejemplos de funciones. 1. La secuencia (o„) es una función de un argumento entero, definida sobre el conjunto de los números naturales, tal que /(n) = an (n = 1,2,...). 2. Función y = n? (léase “en factorial”). Dado sobre el conjunto de los números naturales: cada número natural n está asociado con el producto de todos los números naturales del 1 al n inclusive: ¡y por convención asumimos 0! = 1. El signo de designación proviene de la palabra latina signum - signo. Esta función se define en toda la recta numérica; su conjunto de valores consta de tres números -1,0, I (Fig. 1). y = |x), donde (x) denota la parte entera del número real x, es decir, [x| - el mayor número entero que no exceda Leer: -y es igual a antie x” (entier francés). Esta función se especifica en toda la recta numérica y el conjunto de todos sus valores consta de números enteros (Fig. 2). Métodos para especificar una función Especificar analíticamente una función Se dice que una función y = f(x) se especifica analíticamente si se determina usando una fórmula que indica qué acciones se deben realizar en cada valor de x para obtener el valor correspondiente de y . Por ejemplo, una función se especifica analíticamente. En este caso, se entiende por dominio de definición de una función (si no se especifica de antemano) el conjunto de todos los valores reales del argumento x para los cuales la expresión analítica que define la función toma sólo valores reales y finitos. En este sentido, el dominio de definición de una función también se denomina dominio de existencia. Para una función, el dominio de definición es el segmento. Para la función y - sen x, el dominio de definición es el eje numérico completo. Tenga en cuenta que no todas las fórmulas definen una función. Por ejemplo, la fórmula no define ninguna función, ya que no hay un solo valor real de x para el cual ambas raíces escritas arriba tengan valores reales. La tarea analítica de una función puede parecer bastante complicada. En particular, una función puede definirse mediante diferentes fórmulas en diferentes partes de su dominio de definición. Por ejemplo, una función podría definirse así: 1.2. Método gráfico para especificar una función Se dice que la función y = f(x) está especificada gráficamente si se da su gráfica, es decir, un conjunto de puntos (xy/(x)) en el plano xOy, cuyas abscisas pertenecen al dominio de definición de la función, y las ordenadas son iguales a los valores correspondientes de la función (Fig. 4). No para todas las funciones su gráfica se puede representar en una figura. Por ejemplo, la función de Dirichlet si x es racional, si x es irracional, ZX \o, no permite tal imagen. La función R(x) se especifica en toda la recta numérica y el conjunto de sus valores consta de dos números 0 y 1. 1.3. Método tabular para especificar una función Una función se llama tabular si se proporciona una tabla en la que se indican los valores numéricos de la función para algunos valores de argumentos. Al especificar una función en una tabla, su dominio de definición consta únicamente de los valores x\t x2i..., xn enumerados en la tabla. §2. Límite de una función en un punto El concepto de límite de una función es fundamental para el análisis matemático. Sea la función f(x) definida en alguna vecindad Q del punto xq, excepto, quizás, en el punto de redefinición (Cauchy). Un número A se llama límite de la función f(x) en el punto xo si para cualquier número e > 0, que puede ser arbitrariamente pequeño, existe un número<5 > 0, tal que para todo iGH.i^ x0 que satisface la condición la desigualdad es verdadera Concepto de función Métodos para especificar una función Ejemplos de funciones Configuración analítica de una función Método gráfico para especificar una función Límite de una función en un punto Método tabular de especificar un teorema de función sobre límites unicidad de un límite acotación de una función que tiene un límite de transición al límite en la desigualdad Límite de una función en el infinito Funciones infinitesimales Propiedades de funciones infinitesimales Notación: Usando símbolos lógicos, esta definición se expresa de la siguiente manera Ejemplos . 1. Utilizando la definición del límite de una función en un punto, demuestre que la Función está definida en todas partes, incluido el punto zo = 1: /(1) = 5. Tome cualquiera. Para que la desigualdad |(2x + 3) - 5| tuvo lugar, se deben satisfacer las siguientes desigualdades. Por lo tanto, si tomamos, tenemos. Esto significa que el número 5 es el límite de la función: en el punto 2. Usando la definición del límite de una función, demuestre que la Función no está definida en el punto xo = 2. Considere /(x) en alguna vecindad de el punto Xq = 2, por ejemplo, en el intervalo (1, 5), que no contiene el punto x = 0, en el cual la función /(x) tampoco está definida. Tomemos un número arbitrario con > 0 y transformemos la expresión |/(x) - 2| para x φ 2 de la siguiente manera Para x b (1, 5) obtenemos la desigualdad. Está claro que si tomamos 6 = c, entonces para todo x € (1,5) sujeto a la condición la desigualdad será verdadera. el número A - 2 es el límite de una función dada en un punto. Demos una explicación geométrica del concepto de límite de una función en un punto remitiéndonos a su gráfica (Fig. 5). Para x, los valores de la función /(x) están determinados por las ordenadas de los puntos de la curva M\M, y para x > xo - por las ordenadas de los puntos de la curva MM2. El valor /(x0) está determinado por la ordenada del punto N. La gráfica de esta función se obtiene si tomamos una curva “buena” M\MMg y reemplazamos el punto M(x0, A) de la curva con el punto jV. Demostremos que en el punto xo la función f(x) tiene un límite igual al número A (la ordenada del punto M). Tome cualquier número (tan pequeño como desee) e > 0. Marque en el eje Oy los puntos con ordenadas A, A - e, A + e. Denotemos por P y Q los puntos de intersección de la gráfica de la función y. = /(x) con las rectas y = A- epy = A + e. Sean las abscisas de estos puntos x0 - Al x0 + hi, respectivamente (ht > 0, /12 > 0). De la figura se desprende claramente que para cualquier x Ф x0 del intervalo (x0 - h\, x0 + hi) el valor de la función /(x) está contenido entre ellos. para todo x ^ xo que cumpla la condición, la desigualdad es verdadera. Ponemos Entonces el intervalo estará contenido en el intervalo y, por tanto, la desigualdad o, lo que es lo mismo, se cumplirá para todo x que cumpla la condición. que Por lo tanto, la función y = /(x) tiene un límite A en el punto x0 si, no importa cuán estrecha sea la franja e entre las rectas y = A - eny = A + e, hay un 5 > 0 tal que para todo x de la vecindad perforada del punto x0, los puntos de la gráfica de la función y = /(x) se encuentran dentro de la franja electrónica especificada. Observación 1. El valor de b depende de e: 6 = 6(e). Observación 2. Al determinar el límite de una función en el punto Xq, se excluye de consideración el propio punto xo. Por tanto, el valor de la función en el punto Ho ns afecta el límite de la función en este punto. Además, es posible que la función ni siquiera esté definida en el punto Xq. Por tanto, dos funciones que son iguales en las proximidades del punto Xq, excluyendo, quizás, el propio punto xo (en el que pueden tener valores diferentes, una de ellas o ambas juntas pueden no estar definidas), tienen el mismo límite para x - Xq o ambos no tienen límite. De aquí, en particular, se sigue que para encontrar el límite de una fracción en el punto xo, es lícito reducir esta fracción a expresiones iguales que desaparecen en x = Xq. Ejemplo 1. Encontrar La función /(x) = j para todo x Ф 0 es igual a uno, pero en el punto x = 0 no está definida. Reemplazando /(x) con la función d(x) = 1 igual a ella en x 0, obtenemos el Concepto de función Métodos para especificar una función Ejemplos de funciones Configuración analítica de una función Método gráfico para especificar una función El límite de una función en un punto Método tabular para especificar una función teorema sobre límites la unicidad de un límite la acotación de una función, que tiene un límite, transición al límite en la desigualdad Límite de una función en el infinito Funciones infinitesimales Propiedades de funciones infinitesimales Ejemplo 2 Encuentre lim /(x), donde Función coincide con la función /(x) en todas partes, excluyendo el punto x = 0, y tiene en el punto x = 0 límite igual a cero: lim d(x) = 0 (¡muéstrelo! ). Por lo tanto lim /(x) = 0. Problema. Formule usando desigualdades (en el lenguaje e -6), lo que significa Definamos la función /(i) en alguna vecindad Π del punto x0, excepto, quizás, el propio punto x0. Definición (Heine). El número A se llama límite de la función /(x) en el punto x0 si para cualquier secuencia (xn) de valores del argumento x 6 P, zn / x0) que convergen al punto x0, la secuencia correspondiente de valores de la función (f(x„)) converge al número A. La definición anterior es conveniente de usar cuando es necesario establecer que la función /(x) no tiene límite en el punto x0. Para ello, basta con encontrar alguna secuencia (f(xn)) que no tenga límite, o indicar dos secuencias (f(xn)) y (f(xn)) que tengan límites diferentes. , que la función ii /(x) = sen j (Fig. 7), definida EN TODAS PARTES, excepto en el PUNTO X = O, Fig. 7, no tiene límite en el punto x = 0. Considere dos secuencias (convergiendo al punto x = 0. Los valores de secuencias correspondientes de la función /(x) convergen a diferentes límites: la secuencia (sinnTr) converge a cero y la secuencia (sin(5 + - a uno. Esto significa que la función /(x) = sen j en el punto x = 0 no tiene límite. Comentario. Ambas definiciones del límite de una función en un punto (la definición de Cauchy y la definición de Heine) son equivalentes. §3. Teoremas sobre límites Teorema 1 (unicidad del límite). Si la función f(x) tiene un límite en el punto xo, entonces este límite es único. A Sea lim /(x) = A. Demostremos que ningún número B φ A puede ser el límite x-x0 de la función /(x) en el punto x0. El hecho de que lim /(x) φ Usando los símbolos lógicos XO se formula de la siguiente manera: Usando la desigualdad que obtenemos, Tomamos e = > 0. Como lim /(x) = A, para el e > 0 elegido hay 6 > 0 tal que De la relación (1) para los valores indicados de x tenemos Por lo tanto, se ha encontrado que no importa cuán pequeños sean x Φ xQ tales que y al mismo tiempo ^ e. Se dice que una función /(x) está acotada en una vecindad del punto x0> si hay números M > 0 y 6 > 0 tales que cumplan el Teorema 2 (limitación de una función que tiene un límite). Si una función f(x) está definida en una vecindad de un punto x0 y tiene un límite finito en el punto x0, entonces está acotada en una determinada vecindad de este punto. m Sea Entonces, para cualquiera, por ejemplo, para e = 1, hay 6 > O tal que para todo x Φ x0 que satisfaga la condición la desigualdad será verdadera, teniendo en cuenta que siempre obtenemos Put. Entonces en cada punto x del intervalo tendremos Esto significa, según la definición, que la función /(x) está acotada en una vecindad. Por el contrario, de la acotación de la función /(x) en una vecindad de. el punto x0, no se sigue la existencia de un límite de la función /(x) en el punto x0. Por ejemplo, la función /(x) = sen está limitada en las proximidades de un punto pero no tiene límite en el punto x = 0. Formulemos dos teoremas más, cuyo significado geométrico es bastante claro. Teorema 3 (pasando al límite de la desigualdad). Si /(x) ^ ip(x) para todo x de alguna vecindad del punto x0, excepto, quizás, el propio punto x0, y cada una de las funciones /(x) e ip(x) en el punto x0 tiene una límite, entonces tenga en cuenta que una desigualdad estricta para funciones no implica necesariamente una desigualdad estricta para sus límites. Si estos límites existen, entonces sólo podemos afirmar que, por ejemplo, se cumple la desigualdad while para las funciones Teorema 4 (límite de una función intermedia). Si para todo x en alguna vecindad del punto Xq, excepto, quizás, el propio punto x0 (Fig. 9), y las funciones f(x) e ip(x) en el punto xo tienen el mismo límite A, entonces el la función f (x) en el punto x0 tiene un límite igual al mismo valor A. § ​​​​4 Límite de una función en el infinito Definamos la función /(x) en toda la recta numérica, o al menos para. todo x satisface la condición jx| > K para algunos K > 0. Definición. El número A se llama límite de la función f(x) cuando x tiende a infinito, y se escribe si para cualquier e > 0 existe un número jV > 0 tal que para todo x que satisface la condición |x| > lg, la desigualdad es verdadera. Reemplazando la condición en esta definición, obtenemos las definiciones De estas definiciones se deduce que si y solo si simultáneamente Ese hecho significa geométricamente lo siguiente: no importa cuán estrecha sea la franja e entre las rectas. rectas y = A-eyu = A + e, existe una recta x = N >0 tal que a la derecha la gráfica de la función y = /(x) está enteramente contenida en la tira e indicada (Fig. 10 ). En este caso, dicen que en x +oo la gráfica de la función y = /(x) se aproxima asintóticamente a la recta y = A. Ejemplo, la función /(x) = jtjj- se define en toda la recta numérica y es una fracción en la que el numerador es constante y el denominador aumenta ilimitadamente cuando |x| +oo. Es natural esperar que lim /(x)=0. Mostrémoslo. M Tomemos cualquier e > 0, sujeto a la condición Para que la relación tenga lugar, debe satisfacerse la desigualdad con o, que es igual, de donde Así. si lo tomamos lo tendremos. Esto significa que el número es el límite de una función dada en Tenga en cuenta que la expresión radical es solo para t ^ 1. En el caso en que la desigualdad c se satisface automáticamente para todos La gráfica de una función par y = - se aproxima asintóticamente a la recta Problema de línea. Formule utilizando desigualdades lo que significa §5. Funciones infinitesimales Definamos la función a(x) en alguna vecindad del punto xo, excepto, quizás, el propio punto x0. Definición. La función a(x) se llama función infinitesimal (abreviada como función infinitesimal) con x tendiendo a xo si Concepto de función Métodos para especificar una función Ejemplos de funciones Definición analítica de una función Método gráfico para especificar una función Límite de una función en un punto Método tabular para especificar una función teorema limita la unicidad del límite la acotación de una función que tiene un límite transición al límite en la desigualdad El límite de una función en el infinito Funciones infinitesimales Propiedades de funciones infinitesimales Por ejemplo, la función a(x) = x - 1 es b. m.f. en x 1, ya que lim(x-l) = 0. La gráfica de la función y = x-1 1-1 se muestra en la Fig. II. En general, la función a(x) = x-x0 es el ejemplo más simple de b. m.f. en x-»ho. Teniendo en cuenta la definición del límite de una función en un punto, definición b. m.f. se puede formular así. Definición. Se dice que una función a(x) es infinitesimal para x -* xo si, para cualquier £ > 0, existe un "5 > 0 tal que para todo x que satisfaga la condición la siguiente desigualdad es verdadera. Junto con el concepto de una función infinitesimal para x x xo, el concepto de función infinitesimal se introduce funciones en Definición. La función a(x) se llama infinitesimal para x -» oo, si entonces la función a(x) se llama infinitesimal, respectivamente, para o para Por ejemplo, la función es infinitesimal para x -» oo, ya que lim j = 0 La función a(x ) = e~x es una función infinitesimal para x -* +oo, ya que a continuación, como regla general, consideraremos todos los conceptos y teoremas relacionados con los límites de funciones solo en relación con los. caso del límite de una función en un punto, dejando al lector formular los conceptos correspondientes por sí mismo y probar teoremas similares del día en los casos en que Propiedades de funciones infinitesimales Teorema 5. Si a(x) y P(x) - b. m.f. para x -* xo, entonces su suma a(x) + P(x) también es b.m. F. para x -» xo. 4 Tome cualquier e > 0. Dado que a(x) es b.m.f. para x -* xo, entonces existe “51 > 0 tal que para todo x Φ xo que satisfaga la condición la desigualdad es verdadera. Por la condición P(x) también b.m.f. para x xo, por lo tanto existe tal que para todo x Φ xo que cumpla la condición la desigualdad es verdadera Conjunto 6 = min(«5j, 62). Entonces, para todo x Ф xo que cumpla la condición, las desigualdades (1) y (2) serán simultáneamente verdaderas. Por lo tanto, esto significa que la suma a(x) +/3(x) es b.m.f. en x xq. Comentario. El teorema sigue siendo válido para la suma de cualquier número finito de funciones, b. m. en x zo. Teorema b (producto de b.m.f. por una función acotada). Si la función a(x) es b. m.f. para x -* x0, y la función f(x) está acotada en una vecindad del punto Xo, entonces el producto a(x)/(x) es b. m.f. para x -» x0. Por condición, la función /(x) está acotada en una vecindad del punto x0. Esto significa que hay números 0 y M > 0 tales que Tome cualquier e > 0. Ya que por condición, hay 62 > 0 tales que para todo x φ x0 que satisfaga la condición |x - xol , la desigualdad será verdadera Ponga i de todo x φ x0 que cumpla la condición |x - x0|, las desigualdades serán simultáneamente verdaderas. Por lo tanto, esto significa que el producto a(x)/(x) es b. m.f. en Ejemplo. La función y = xsin - (Fig. 12) puede considerarse como el producto de las funciones a(ar) = x y f(x) = sen j. La función a(ag) es b. m.f. para x - 0, y la función f usando tres fórmulas.

Si la relación entre xey viene dada por una fórmula resuelta con respecto a y, es decir tiene la forma y = f(x), entonces dicen que la función de x está dada explícitamente, por ejemplo. Si los valores de xey están relacionados por alguna ecuación de la forma F(x,y) = 0, es decir la fórmula no se resuelve con respecto a y, entonces se dice que la función está especificada implícitamente. Por ejemplo,. Tenga en cuenta que no todas las funciones implícitas se pueden representar en la forma y =f(x); por el contrario, cualquier función explícita siempre se puede representar en la forma implícita:
. Otro tipo de especificación analítica de una función es paramétrica, cuando el argumento x y la función y son funciones de una tercera cantidad: el parámetro t:
, Dónde
, T – algún intervalo. Este método es ampliamente utilizado en mecánica y geometría.

El método analítico es la forma más común de definir una función. La compacidad, la capacidad de aplicar análisis matemático a una función determinada y la capacidad de calcular valores de función para cualquier valor de argumento son sus principales ventajas.

4. Método verbal. Este método consiste en expresar la dependencia funcional en palabras. Por ejemplo, la función E(x) es la parte entera del número x, la función de Dirichlet, la función de Riemann, n!, r(n) es el número de divisores del número natural n.

5. Método semigráfico. Aquí, los valores de la función se representan como segmentos y los valores de los argumentos se representan como números colocados en los extremos de los segmentos que indican los valores de la función. Entonces, por ejemplo, un termómetro tiene una escala con divisiones iguales con números. Estos números son los valores del argumento (temperatura). Se encuentran en el lugar que determina el alargamiento gráfico de la columna de mercurio (valor de función) debido a su expansión volumétrica como resultado de los cambios de temperatura.

¿Qué significan las palabras? ¿"establecer una función"? Quieren decir: explicar a todo el que quiera saber qué función específica estamos hablando. Además, ¡explique de forma clara e inequívoca!

¿Cómo puedo hacer eso? Cómo establecer una función?

Puedes escribir una fórmula. Puedes dibujar un gráfico. Puedes hacer una mesa. Cualquier forma es alguna regla mediante la cual podamos encontrar el valor de i para el valor de x que hemos elegido. Aquellos. "establecer función", esto significa mostrar la ley, la regla por la cual una x se convierte en una y.

Generalmente, en una variedad de tareas hay ya listo funciones. Ellos nos dan ya han sido establecidos. Decida usted mismo, sí, decida.) Pero... La mayoría de las veces, los escolares (e incluso los estudiantes) trabajan con fórmulas. Se acostumbran, ya sabes... Se acostumbran tanto que cualquier pregunta elemental relacionada con una forma diferente de especificar una función inmediatamente molesta a la persona...)

Para evitar estos casos, tiene sentido comprender diferentes formas de especificar funciones. Y, por supuesto, aplique este conocimiento a preguntas "complicadas". Es bastante simple. Si sabes qué es una función...)

¿Ir?)

Método analítico para especificar una función.

La forma más universal y poderosa. Una función definida analíticamente. esta es la función que se da fórmulas. En realidad, esta es la explicación completa). Funciones que son familiares para todos (¡quiero creer!), por ejemplo: y = 2x, o y = x 2 etc. etcétera. se especifican analíticamente.

Por cierto, no todas las fórmulas pueden definir una función. No todas las fórmulas cumplen la estricta condición de la definición de función. Es decir - por cada X solo puede haber uno igrek. Por ejemplo, en la fórmula y = ±x, Para uno valores x=2, resulta dos Valores de y: +2 y -2. Esta fórmula no se puede utilizar para definir una función única. Por regla general, en esta rama de las matemáticas, el cálculo, no trabajan con funciones multivaluadas.

¿Qué tiene de bueno la forma analítica de especificar una función? Porque si tienes una fórmula, conoces la función. ¡Todo! Puedes hacer una señal. Construye un gráfico. Explore esta característica en su totalidad. Predice exactamente dónde y cómo se comportará esta función. Todo análisis matemático se basa en este método de especificación de funciones. Digamos que tomar una derivada de una tabla es extremadamente difícil...)

El método analítico es bastante familiar y no crea problemas. Quizás existan algunas variaciones de este método que los estudiantes encuentren. Me refiero a funciones paramétricas e implícitas). Pero esas funciones se encuentran en una lección especial.

Pasemos a formas menos familiares de especificar una función.

Método tabular para especificar una función.

Como sugiere el nombre, este método es una señal simple. En esta tabla, cada x corresponde a ( se pone de acuerdo) algún significado del juego. La primera línea contiene los valores del argumento. La segunda línea contiene los valores de función correspondientes, por ejemplo:

Tabla 1.

¡Por favor pon atención! En este ejemplo, el juego depende de X. de todos modos. Se me ocurrió esto a propósito.) No hay ningún patrón. Está bien, sucede. Medio, exactamente He especificado esta función específica. Exactamente Establecí una regla según la cual una X se convierte en Y.

puedes hacer las paces otro un plato que contiene un patrón. Esta señal indicará otro función, por ejemplo:

Tabla 2.

¿Captaste el patrón? Aquí todos los valores del juego se obtienen multiplicando x por dos. Aquí está la primera pregunta “complicada”: ¿puede una función definida usando la Tabla 2 considerarse una función? y = 2x? Piensa por ahora, la respuesta estará a continuación, de forma gráfica. Ahí está todo muy claro).

Lo que es bueno ¿Método tabular para especificar una función? Sí, porque no necesitas contar nada. Todo ya está calculado y escrito en la tabla). Pero no hay nada más bueno. No sabemos el valor de la función para X, que no están en la tabla. En este método, dichos valores de x son simplemente no existe. Por cierto, esto es una pista para una pregunta complicada). No podemos descubrir cómo se comporta la función fuera de la tabla. No podemos hacer nada. Y la claridad de este método deja mucho que desear... El método gráfico es bueno para mayor claridad.

Manera gráfica de especificar una función.

En este método, la función se representa mediante una gráfica. El argumento (x) se traza a lo largo del eje de abscisas y el valor de la función (y) a lo largo del eje de ordenadas. Según el horario, también puedes elegir cualquier X y encontrar el valor correspondiente en. La gráfica puede ser cualquiera, pero... no cualquiera.) Trabajamos sólo con funciones inequívocas. La definición de tal función establece claramente: cada X se pone de acuerdo el único en. Uno un juego, no dos, ni tres... Por ejemplo, miremos el gráfico circular:

Un círculo es como un círculo... ¿Por qué no debería ser la gráfica de una función? Encontremos qué juego corresponderá al valor de X, por ejemplo, ¿6? Pasamos el cursor sobre la gráfica (o tocamos el dibujo de la tableta), y... vemos que esta x corresponde dos significados del juego: y=2 y y=6.

¡Dos y seis! Por lo tanto, dicha gráfica no será una asignación gráfica de la función. En uno x cuenta para dos juego. Esta gráfica no corresponde a la definición de función.

Pero si se cumple la condición de no ambigüedad, el gráfico puede ser absolutamente cualquier cosa. Por ejemplo:

Esta misma tortuosidad es la ley por la cual una X puede convertirse en una Y. Sin ambigüedades. Queríamos saber el significado de la función para x = 4, Por ejemplo. Necesitamos encontrar el cuatro en el eje x y ver qué juego corresponde a esta x. Pasamos el ratón sobre la figura y vemos que el valor de la función en Para x=4 es igual a cinco. No sabemos qué fórmula determina esta transformación de una X en una Y. Y no es necesario. Todo está fijado por el horario.

Ahora podemos volver a la pregunta “complicada” sobre y=2x. Tracemos esta función. Aquí está él:

Por supuesto, al dibujar este gráfico no tomamos un número infinito de valores. X. Tomamos varios valores y calculamos. y, Hizo una señal, ¡y todo está listo! ¡Las personas más alfabetizadas tomaron solo dos valores de X! Y con razón. Para una línea recta no necesitas más. ¿Por qué el trabajo extra?

Pero nosotros lo sabía con seguridad¿Qué podría ser x? alguien. Entero, fraccionario, negativo... Cualquiera. Esto es según la fórmula. y=2x se observa. Por lo tanto, conectamos audazmente los puntos del gráfico con una línea continua.

Si la función nos la da la Tabla 2, entonces tendremos que tomar los valores de x sólo de la mesa. Porque otras X (y Y) no nos son dadas y no hay dónde llevarlas. Estos valores no están presentes en esta función. El horario se resolverá desde puntos. Pasamos el mouse sobre la figura y vemos la gráfica de la función especificada en la Tabla 2. No escribí los valores x-y en los ejes, ¿lo resolverás, celda por celda?)

Aquí está la respuesta a la pregunta “complicada”. Función especificada en la Tabla 2 y función y=2x - diferente.

El método gráfico es bueno por su claridad. Puedes ver inmediatamente cómo se comporta la función y dónde aumenta. donde disminuye. En el gráfico puedes descubrir inmediatamente algunas características importantes de la función. Y en el tema de las derivadas, ¡las tareas con gráficas están por todas partes!

En general, los métodos analíticos y gráficos para definir una función van de la mano. Trabajar con la fórmula ayuda a construir una gráfica. Y el gráfico a menudo sugiere soluciones que ni siquiera notarías en la fórmula... Seremos amigos de los gráficos.)

Casi cualquier estudiante conoce las tres formas de definir una función que acabamos de ver. Pero a la pregunta: “¿¡Y el cuarto!?” - se congela completamente.)

Existe tal manera.

Descripción verbal de la función.

¡Sí Sí! La función se puede especificar claramente con palabras. ¡El gran y poderoso idioma ruso es capaz de mucho!) Digamos la función y=2x se puede especificar con la siguiente descripción verbal: Cada valor real del argumento x está asociado a su valor doble.¡Como esto! Se establece la regla, se especifica la función.

Además, puede especificar verbalmente una función que es extremadamente difícil, si no imposible, de definir mediante una fórmula. Por ejemplo: Cada valor del argumento natural x está asociado a la suma de los dígitos que componen el valor de x. Por ejemplo, si x=3, Eso y=3. Si x=257, Eso y=2+5+7=14. Etcétera. Es problemático escribir esto en una fórmula. Pero la señal es fácil de hacer. Y construye un horario. Por cierto, el gráfico parece gracioso...) Pruébalo.

El método de descripción verbal es bastante exótico. Pero a veces lo hace. Lo traje aquí para darte confianza en situaciones inesperadas e inusuales. Sólo necesitas entender el significado de las palabras. "función especificada..." Aquí está, este significado:

Si existe una ley de correspondencia uno a uno entre X Y en- Eso significa que hay una función. Qué ley, en qué forma se expresa (una fórmula, una tablilla, un gráfico, palabras, canciones, danzas) no cambia la esencia del asunto. Esta ley le permite determinar el valor correspondiente de Y a partir del valor de X. Todo.

Ahora aplicaremos este conocimiento profundo a algunas tareas no estándar). Como prometimos al comienzo de la lección.

Ejercicio 1:

La función y = f(x) viene dada por la Tabla 1:

Tabla 1.

Encuentre el valor de la función p(4), si p(x)= f(x) - g(x)

Si no puedes entender qué es qué, lee la lección anterior "¿Qué es una función?" Está escrito muy claramente sobre tales letras y corchetes). Y si solo la forma tabular lo confunde, lo resolveremos aquí.

De la lección anterior queda claro que si, p(x) = f(x) - g(x), Eso p(4) = f(4) - g(4). Letras F Y gramo Significa las reglas según las cuales a cada X se le asigna su propio juego. Para cada letra ( F Y gramo) - tuyo regla. El cual viene dado por la tabla correspondiente.

Valor de la función f(4) determinado a partir de la Tabla 1. Este será 5. Valor de función g(4) determinado de acuerdo con la Tabla 2. Esto será 8. Queda lo más difícil.)

pag(4) = 5 - 8 = -3

Esta es la respuesta correcta.

Resuelve la desigualdad f(x) > 2

¡Eso es todo! ¡Es necesario resolver la desigualdad que (en la forma habitual) está brillantemente ausente! Todo lo que queda es abandonar la tarea o darse la vuelta. Elegimos el segundo y lo discutimos.)

¿Qué significa resolver la desigualdad? Esto significa encontrar todos los valores de x en los que se cumple la condición que nos dieron. f(x) > 2. Aquellos. todos los valores de la función ( en) debe ser mayor que dos. Y en nuestro gráfico tenemos todos los juegos... Y hay más dos, y menos... ¡Y, para mayor claridad, dibujemos un límite a lo largo de estos dos! Pasamos el cursor sobre el dibujo y vemos este borde.

Estrictamente hablando, esta frontera es la gráfica de la función y=2, pero ese no es el punto. Lo importante es que ahora el gráfico muestra muy claramente dónde, en qué X, valores de función, es decir y, más de dos. Ellos son más X > 3. En X > 3 toda nuestra función pasa más alto fronteras y=2. Esa es la solución. ¡Pero es demasiado pronto para volver la cabeza!) Todavía necesito escribir la respuesta...

La gráfica muestra que nuestra función no se extiende hacia la izquierda y hacia la derecha hasta el infinito. Los puntos al final del gráfico lo indican. La función termina ahí. Por tanto, en nuestra desigualdad, todas las X que van más allá de los límites de la función no tienen significado. Para la función de estas X no existe. Y, de hecho, resolvemos la desigualdad de la función...

La respuesta correcta será:

3 < X ≤ 6

O, de otra forma:

X ∈ (3; 6]

Ahora todo es como debería ser. Tres no está incluido en la respuesta, porque la desigualdad original es estricta. Y el seis se enciende, porque y la función en seis existe y se satisface la condición de desigualdad. Hemos resuelto con éxito una desigualdad que (en la forma habitual) no existe...

Así es como algunos conocimientos y lógica elemental le salvan en casos no estándar).

Una de las definiciones clásicas del concepto “función” son las basadas en correspondencias. Presentemos una serie de tales definiciones.

Definición 1

Una relación en la que cada valor de la variable independiente corresponde a un único valor de la variable dependiente se llama función.

Definición 2

Sean dados dos conjuntos no vacíos $X$ e $Y$. Una correspondencia $f$ que empareja cada $x\in X$ con uno y solo un $y\in Y$ se llama función($f:X → Y$).

Definición 3

Sean $M$ y $N$ dos conjuntos de números arbitrarios. Se dice que una función $f$ está definida sobre $M$, tomando valores de $N$, si cada elemento $x\en X$ está asociado con uno y solo un elemento de $N$.

La siguiente definición se da a través del concepto de cantidad variable. Una cantidad variable es una cantidad que toma diferentes valores numéricos en un estudio determinado.

Definición 4

Sea $M$ el conjunto de valores de la variable $x$. Entonces, si cada valor $x\in M$ corresponde a un valor específico de otra variable $y$ es función del valor $x$ definido en el conjunto $M$.

Definición 5

Sean $X$ y $Y$ algunos conjuntos de números. Una función es un conjunto $f$ de pares ordenados de números $(x,\ y)$ tales que $x\in X$, $y\in Y$ y cada $x$ está incluido en un y solo un par de números este conjunto, y cada $y$ está en al menos un par.

Definición 6

Cualquier conjunto $f=\(\left(x,\ y\right)\)$ de pares ordenados $\left(x,\ y\right)$ tal que para cualquier par $\left(x",\ y" \right)\in f$ y $\left(x"",\ y""\right)\in f$ de la condición $y"≠ y""$ se deduce que $x"≠x""$ es llamada función o visualización.

Definición 7

Una función $f:X → Y$ es un conjunto de $f$ pares ordenados $\left(x,\ y\right)\in X\times Y$ tales que para cualquier elemento $x\in X$ hay un elemento único $y\in Y$ tal que $\left(x,\ y\right)\in f$, es decir, la función es una tupla de objetos $\left(f,\ X,\ Y\right) $.

En estas definiciones

$x$ es la variable independiente.

$y$ es la variable dependiente.

Todos los valores posibles de la variable $x$ se denominan dominio de la función, y todos los valores posibles de la variable $y$ se denominan dominio de la función.

Método analítico para especificar una función.

Para este método necesitamos el concepto de expresión analítica.

Definición 8

Una expresión analítica es el producto de todas las operaciones matemáticas posibles con cualquier número y variable.

La forma analítica de especificar una función es especificarla mediante una expresión analítica.

Ejemplo 1

$y=x^2+7x-3$, $y=\frac(x+5)(x+2)$, $y=cos5x$.

Ventajas:

1. Usando fórmulas, podemos determinar el valor de la función para cualquier valor específico de la variable $x$;
2. Las funciones definidas de esta manera se pueden estudiar utilizando aparatos de análisis matemático.

Desventajas:

1. Poca visibilidad.
2. A veces hay que hacer cálculos muy engorrosos.

Método tabular para especificar una función.

Este método de asignación consiste en anotar los valores de la variable dependiente para varios valores de la variable independiente. Todo esto se ingresa en la tabla.

Ejemplo 2

Foto 1.

Más: Para cualquier valor de la variable independiente $x$, que se ingresa en la tabla, se conoce inmediatamente el valor correspondiente de la función $y$.

Desventajas:

1. En la mayoría de los casos, no existe una especificación funcional completa;
2. Poca visibilidad.