Mouvement d'un corps en cercle avec une vitesse absolue constante- il s'agit d'un mouvement dans lequel un corps décrit des arcs identiques à des intervalles de temps égaux.
La position du corps sur le cercle est déterminée vecteur de rayon\(~\vec r\) tiré du centre du cercle. Le module du rayon vecteur est égal au rayon du cercle R.(Fig. 1).
Pendant le temps Δ t corps se déplaçant à partir d'un point UN exactement DANS, rend un déplacement \(~\Delta \vec r\) égal à la corde UN B, et parcourt un chemin égal à la longueur de l'arc je.
Le rayon vecteur tourne d'un angle Δ φ . L'angle est exprimé en radians.
La vitesse \(~\vec \upsilon\) du mouvement d'un corps le long d'une trajectoire (cercle) est dirigée tangente à la trajectoire. On l'appelle vitesse linéaire. Le module de vitesse linéaire est égal au rapport de la longueur de l'arc de cercle jeà l'intervalle de temps Δ t pour lequel cet arc est complété :
\(~\upsilon = \frac(l)(\Delta t).\)
Une grandeur physique scalaire, numériquement égale au rapport de l'angle de rotation du rayon vecteur à la période de temps pendant laquelle cette rotation s'est produite, est appelée vitesse angulaire:
\(~\omega = \frac(\Delta \varphi)(\Delta t).\)
L'unité SI de vitesse angulaire est le radian par seconde (rad/s).
Avec un mouvement uniforme dans un cercle, la vitesse angulaire et le module de vitesse linéaire sont des quantités constantes : ω = const; υ = const.
La position du corps peut être déterminée si le module du rayon vecteur \(~\vec r\) et l'angle φ , qu'il compose avec l'axe Bœuf(coordonnée angulaire). Si au moment initial t 0 = 0 coordonnée angulaire est φ 0 , et à l'heure t c'est égal φ , alors l'angle de rotation Δ φ le rayon vecteur pour le temps \(~\Delta t = t - t_0 = t\) est égal à \(~\Delta \varphi = \varphi - \varphi_0\). Alors à partir de la dernière formule on peut obtenir équation cinématique du mouvement d'un point matériel le long d'un cercle:
\(~\varphi = \varphi_0 + \omega t.\)
Il permet de déterminer la position du corps à tout moment t. En considérant que \(~\Delta \varphi = \frac(l)(R)\), on obtient \[~\omega = \frac(l)(R \Delta t) = \frac(\upsilon)(R) \Flèche droite\]
\(~\upsilon = \omega R\) - formule pour la relation entre la vitesse linéaire et angulaire.
Intervalle de temps Τ pendant laquelle le corps fait un tour complet s'appelle période de rotation:
\(~T = \frac(\Delta t)(N),\)
Où N- nombre de tours effectués par le corps pendant le temps Δ t.
Pendant le temps Δ t = Τ le corps parcourt le chemin \(~l = 2 \pi R\). Ainsi,
\(~\upsilon = \frac(2 \pi R)(T); \ \omega = \frac(2 \pi)(T) .\)
Ordre de grandeur ν , l'inverse de la période, indiquant le nombre de tours qu'un corps fait par unité de temps, est appelé vitesse de rotation:
\(~\nu = \frac(1)(T) = \frac(N)(\Delta t).\)
Ainsi,
\(~\upsilon = 2 \pi \nu R; \\omega = 2 \pi \nu .\)
Littérature
Aksenovich L. A. Physique au lycée : Théorie. Tâches. Tests : Manuel. avantages pour les établissements dispensant un enseignement général. environnement, éducation / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino ; Éd. KS Farino. - Mn. : Adukatsiya i viakhavanne, 2004. - P. 18-19.
Loi. Tous les mouvements se produisent de la même manière dans des systèmes de référence au repos ou se déplaçant les uns par rapport aux autres à une vitesse constante. Il s'agit du principe d'identité ou d'équivalence des référentiels inertiels ou du principe d'indépendance de Galilée.
Lois générales du mouvement
1 Loi. Si le corps n’est pas sollicité par d’autres corps, il maintient un état de repos ou un mouvement rectiligne uniforme. C'est la loi de l'inertie, la première loi de Newton.
3 Loi. Tous les mouvements d’un corps matériel se produisent indépendamment les uns des autres et s’additionnent sous forme de quantités vectorielles. Ainsi, tout corps sur Terre participe simultanément au mouvement du Soleil avec les planètes autour du centre de la Galaxie à une vitesse d'environ 200 km/s, au mouvement de la Terre en orbite à une vitesse d'environ 30 km/s, en la rotation de la Terre autour de son axe à une vitesse allant jusqu'à 400 m/sec et éventuellement dans d'autres mouvements. Le résultat est une trajectoire curviligne très complexe !
Si un corps est projeté avec une vitesse initiale Vo, sous un angle a par rapport à l'horizon, alors la distance de vol –S est calculée par la formule :
S = 2 V*SIN(a) * COS(a) / g = V*SIN(2a) / g
Portée maximale à = 45 degrés. L'altitude maximale de vol –h est calculée par la formule :
h = V* PÉCHÉ(a)/2g
Ces deux formules peut être obtenu en tenant compte du fait que la composante verticale Vo*SIN(a), et Vo horizontal * COS(a), V =g*t, t =V/g.
Faisons une substitution dans la formule de base pour la hauteur
h = g t/2 = g* (V/g)/2 = V/2g = V* PÉCHÉ(a)/2g.
C'est la formule requise. La hauteur maximale lorsqu'il est lancé verticalement vers le haut, tandis que
a =90 degrés, SIN(a) =1 ; h = V*/2g
Pour dériver la formule de la portée de vol, vous devez multiplier la composante horizontale par deux fois le temps de chute d'une hauteur h. Si l'on prend en compte la résistance de l'air, le chemin sera plus court. Pour un projectile, par exemple, presque le double. À la même distance correspondront deux angles de lancer différents.
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Fig. 11 Trajectoires de vol d'un corps projeté obliquement par rapport à l'horizon. Le dessin de droite est un mouvement en cercle.
w- Vitesse angulaire d'un corps en rotation ; radians/s
b - Position angulaire du corps tournant ; radians ou degrés autour d’un axe. Le radian est l'angle sous lequel un arc égal au rayon du cercle est visible depuis le centre du cercle, respectivement rad = 360/6,28 = 57,32 degrés
L'accélération angulaire a est mesurée en rad/sec 2
b = bo + w * t, Mouvement angulaire de bo.
S = b *R - Mouvement linéaire le long d'un cercle de rayon R.
w =(b - bo)/(t –à); - Vitesse angulaire . V = w* R – Vitesse circonférentielle
T = 2*p/w =2*p*R/V Donc V = 2*p*R/T
une =ao + w/t – Accélération angulaire. L'accélération angulaire est déterminée par la force tangentielle et en son absence, le corps se déplacera uniformément en cercle. Dans ce cas, le corps est affecté par l’accélération centripète, qui modifie la vitesse d’un facteur 2*p lors d’un tour. Sa valeur est déterminée par la formule. a =DV/T =2*p*V/2*p*R/V =V/R
Les valeurs moyennes de vitesse et d'accélération ne permettent pas de calculer la position du corps lors de mouvements inégaux. Pour ce faire, il est nécessaire de connaître les valeurs de vitesse et d'accélération sur des périodes courtes ou des valeurs instantanées. Les valeurs instantanées sont déterminées par des dérivées ou des différentiels.
Lors de la description du mouvement d'un point le long d'un cercle, nous caractériserons le mouvement du point par l'angle Δφ , qui décrit le rayon vecteur d'un point au fil du temps Δt. Déplacement angulaire dans un laps de temps infinitésimal dt désigné par dφ.
Le déplacement angulaire est une quantité vectorielle. La direction du vecteur (ou ) est déterminée par la règle de la vrille : si vous faites tourner la vrille (vis avec un filetage à droite) dans le sens du mouvement de la pointe, la vrille se déplacera dans la direction du vecteur de déplacement angulaire. En figue. 14 le point M se déplace dans le sens des aiguilles d'une montre si vous regardez le plan de mouvement d'en bas. Si vous tournez la vrille dans cette direction, le vecteur sera dirigé vers le haut.
Ainsi, la direction du vecteur déplacement angulaire est déterminée par le choix du sens de rotation positif. Le sens de rotation positif est déterminé par la règle de la vrille du filetage à droite. Cependant, avec le même succès, on pourrait prendre une vrille avec un fil à gauche. Dans ce cas, la direction du vecteur déplacement angulaire serait opposée.
Lorsqu'on considère des grandeurs telles que la vitesse, l'accélération, le vecteur déplacement, la question du choix de leur direction ne se pose pas : elle est déterminée naturellement par la nature des grandeurs elles-mêmes. De tels vecteurs sont appelés polaires. Les vecteurs similaires au vecteur de déplacement angulaire sont appelés axial, ou pseudovecteurs. La direction du vecteur axial est déterminée en choisissant le sens de rotation positif. De plus, le vecteur axial n'a pas de point d'application. Vecteurs polaires, que nous avons considéré jusqu'à présent, sont appliqués à un point en mouvement. Pour un vecteur axial, vous ne pouvez indiquer que la direction (axe, axe - latin) selon laquelle il est dirigé. L'axe le long duquel est dirigé le vecteur déplacement angulaire est perpendiculaire au plan de rotation. Typiquement, le vecteur déplacement angulaire est tracé sur un axe passant par le centre du cercle (Fig. 14), bien qu'il puisse être tracé n'importe où, y compris sur un axe passant par le point en question.
Dans le système SI, les angles sont mesurés en radians. Un radian est un angle dont la longueur de l'arc est égale au rayon du cercle. Ainsi, l'angle total (360 0) est de 2π radians.
Mouvement d'un point dans un cercle
Vitesse angulaire– grandeur vectorielle, numériquement égale à l'angle de rotation par unité de temps. La vitesse angulaire est généralement désignée par la lettre grecque ω. Par définition, la vitesse angulaire est la dérivée d'un angle par rapport au temps :
. (19)
La direction du vecteur vitesse angulaire coïncide avec la direction du vecteur déplacement angulaire (Fig. 14). Le vecteur vitesse angulaire, tout comme le vecteur déplacement angulaire, est un vecteur axial.
La dimension de la vitesse angulaire est rad/s.
La rotation à vitesse angulaire constante est dite uniforme, avec ω = φ/t.
La rotation uniforme peut être caractérisée par la période de rotation T, qui est comprise comme le temps pendant lequel le corps fait un tour, c'est-à-dire tourne d'un angle de 2π. Puisque l'intervalle de temps Δt = T correspond à l'angle de rotation Δφ = 2π, alors
(20)
Le nombre de tours par unité de temps ν est évidemment égal à :
(21)
La valeur de ν est mesurée en hertz (Hz). Un hertz équivaut à un tour par seconde, ou 2π rad/s.
Les notions de période de révolution et de nombre de tours par unité de temps peuvent également être conservées pour une rotation non uniforme, en comprenant par valeur instantanée T le temps pendant lequel le corps ferait un tour s'il tournait uniformément avec une valeur instantanée donnée. de vitesse angulaire, et par ν signifiant le nombre de tours qu'un corps ferait par unité de temps dans des conditions similaires.
Si la vitesse angulaire change avec le temps, alors la rotation est dite inégale. Dans ce cas, saisissez accélération angulaire de la même manière que l'accélération linéaire a été introduite pour le mouvement rectiligne. L'accélération angulaire est la variation de la vitesse angulaire par unité de temps, calculée comme la dérivée de la vitesse angulaire par rapport au temps ou la dérivée seconde du déplacement angulaire par rapport au temps :
(22)
Tout comme la vitesse angulaire, l’accélération angulaire est une quantité vectorielle. Le vecteur accélération angulaire est un vecteur axial, en cas de rotation accélérée il est dirigé dans le même sens que le vecteur vitesse angulaire (Fig. 14) ; dans le cas d'une rotation lente, le vecteur accélération angulaire est dirigé à l'opposé du vecteur vitesse angulaire.
Avec un mouvement de rotation uniformément variable, des relations similaires aux formules (10) et (11), qui décrivent un mouvement rectiligne uniformément variable, ont lieu :
ω = ω 0 ± εt,
.
Mouvement uniforme autour d'un cercle- c'est l'exemple le plus simple. Par exemple, l’extrémité d’une aiguille d’horloge se déplace en cercle autour d’un cadran. La vitesse d'un corps se déplaçant en cercle s'appelle vitesse linéaire.
Avec un mouvement uniforme d'un corps dans un cercle, le module de la vitesse du corps ne change pas avec le temps, c'est-à-dire v = const, et seule la direction du vecteur vitesse change dans ce cas, il n'y a pas de changement (a r = ; 0), et le changement du vecteur vitesse en direction est caractérisé par une quantité appelée accélération centripète() un n ou un CS. En chaque point, le vecteur accélération centripète est dirigé vers le centre du cercle le long du rayon.
Le module d'accélération centripète est égal à
une CS = v 2 / R
Où v est la vitesse linéaire, R est le rayon du cercle
Riz. 1.22. Mouvement d'un corps en cercle.
Pour décrire le mouvement d'un corps dans un cercle, nous utilisons angle de rotation du rayon– l'angle φ par lequel, pendant le temps t, tourne le rayon tracé depuis le centre du cercle jusqu'au point où se trouve le mobile à cet instant. L'angle de rotation est mesuré en radians. égal à l'angle entre deux rayons d'un cercle dont la longueur de l'arc est égale au rayon du cercle (Fig. 1.23). Autrement dit, si l = R, alors
1 radian = l / R
Parce que circonférenceégal à
l = 2πR
360 o = 2πR / R = 2π rad.
Ainsi
1 rad. = 57,2958 o = 57 o 18'
Vitesse angulaire le mouvement uniforme d'un corps dans un cercle est la valeur ω, égale au rapport de l'angle de rotation du rayon φ à la durée pendant laquelle cette rotation s'effectue :
ω = φ / t
L'unité de mesure de la vitesse angulaire est le radian par seconde [rad/s]. Le module de vitesse linéaire est déterminé par le rapport de la longueur du trajet parcouru l à l'intervalle de temps t :
v = l/t
Vitesse linéaire avec un mouvement uniforme autour d'un cercle, il est dirigé le long d'une tangente en un point donné du cercle. Lorsqu'un point se déplace, la longueur l de l'arc de cercle parcouru par le point est liée à l'angle de rotation φ par l'expression
l = Rφ
où R est le rayon du cercle.
Alors, dans le cas d'un mouvement uniforme du point, les vitesses linéaires et angulaires sont liées par la relation :
v = l / t = Rφ / t = Rω ou v = Rω
Riz. 1.23. Radian.
Période de diffusion– c'est la période de temps T pendant laquelle le corps (le point) fait un tour autour du cercle. Fréquence– c'est l'inverse de la période de révolution – le nombre de tours par unité de temps (par seconde). La fréquence de circulation est désignée par la lettre n.
n=1/T
Sur une période, l'angle de rotation φ d'un point est égal à 2π rad, donc 2π = ωT, d'où
T = 2π/ω
Autrement dit, la vitesse angulaire est égale à
ω = 2π / T = 2πn
Accélération centripète peut être exprimé en termes de période T et de fréquence de circulation n :
une CS = (4π 2 R) / T 2 = 4π 2 Rn 2
Mouvement d'un corps en cercle est un cas particulier de mouvement curviligne. Parallèlement au vecteur déplacement, il convient de considérer mouvement angulaire Δφ (ou angle de rotation), mesuré en radians(Fig. 1.6.1). La longueur de l'arc est liée à l'angle de rotation par la relation
Aux petits angles de rotation Δ je ≈ Δ s.
Vitesse angulaire ω du corps en un point donné de la trajectoire circulaire est appelé la limite (à Δ t→0) rapport du petit déplacement angulaire Δφ au petit intervalle de temps Δ t:
La vitesse angulaire est mesurée en rad/s.
Relation entre le module de vitesse linéaire υ et la vitesse angulaire ω :
Avec un mouvement uniforme d'un corps en cercle, les quantités υ et ω restent inchangées. Dans ce cas, lors du déplacement, seule la direction du vecteur change
Le mouvement uniforme d’un corps en cercle est un mouvement avec accélération. Accélération
dirigé radialement vers le centre du cercle. C'est ce qu'on appelle normal ou accélération centripète . Le module de l'accélération centripète est lié aux vitesses linéaires υ et angulaires par les relations suivantes :
Pour prouver cette expression, considérons le changement du vecteur vitesse 
dans un court laps de temps Δ t. Par définition de l'accélération
Vecteurs et points de vitesse UN Et B dirigé tangentiellement au cercle en ces points. Les modules de vitesse sont les mêmes υ UN =υ B = υ.
De la similitude des triangles OAB Et BCD(Fig. 1.6.2) suit :
Aux petits angles Δφ = ωΔ t distance | UN B| =Δ s ≈ υΔ t. Depuis | O.A.| = R. et | CD| = Δυ, d'après la similarité des triangles de la Fig. 1.6.2 on obtient :
Aux petits angles Δφ la direction du vecteur se rapproche de la direction du centre du cercle. Par conséquent, en passant à la limite en Δ t→0, on obtient :
Lorsque la position du corps sur le cercle change, la direction vers le centre du cercle change. Lorsqu'un corps se déplace uniformément en cercle, le module d'accélération reste inchangé, mais la direction du vecteur d'accélération change avec le temps. Le vecteur accélération en tout point du cercle est dirigé vers son centre. Par conséquent, l’accélération lors d’un mouvement uniforme d’un corps dans un cercle est appelée centripète.
Sous forme vectorielle, l’accélération centripète peut s’écrire
où est le rayon vecteur d'un point d'un cercle dont l'origine est en son centre.
Si un corps se déplace de manière inégale autour d’un cercle, alors tangente(ou tangentiel) composante d'accélération (voir 1.1) :
Dans cette formule Δυ τ = υ 2 - υ 1 - changement du module de vitesse sur une période de temps Δ t.
Direction du vecteur d'accélération totale 
est déterminé en chaque point de la trajectoire circulaire par les valeurs des accélérations normales et tangentielles (Fig. 1.6.3).
