Rappelons les informations nécessaires sur les nombres complexes.
Nombre complexe est une expression de la forme un + bi, Où un, b sont des nombres réels, et je- soi-disant unité imaginaire, un symbole dont le carré est égal à –1, soit je 2 = –1. Nombre un appelé partie réelle, et le numéro b - partie imaginaire nombre complexe z = un + bi. Si b= 0, alors à la place un + 0je ils écrivent simplement un. On voit que les nombres réels sont un cas particulier des nombres complexes.
Les opérations arithmétiques sur les nombres complexes sont les mêmes que sur les nombres réels : ils peuvent être additionnés, soustraits, multipliés et divisés les uns par les autres. L'addition et la soustraction s'effectuent selon la règle ( un + bi) ± ( c + di) = (un ± c) + (b ± d)je, et la multiplication suit la règle ( un + bi) · ( c + di) = (ca – bd) + (annonce + avant JC)je(ici on utilise que je 2 = –1). Nombre = un – bi appelé Conjugaison compliquéeÀ z = un + bi. Égalité z · = un 2 + b 2 permet de comprendre comment diviser un nombre complexe par un autre nombre complexe (non nul) :
(Par exemple, 
.)
Les nombres complexes ont une représentation géométrique pratique et visuelle : le nombre z = un + bi peut être représenté par un vecteur de coordonnées ( un; b) sur le plan cartésien (ou, ce qui revient presque au même, un point - la fin d'un vecteur avec ces coordonnées). Dans ce cas, la somme de deux nombres complexes est représentée comme la somme des vecteurs correspondants (qui peuvent être trouvés à l'aide de la règle du parallélogramme). Selon le théorème de Pythagore, la longueur du vecteur de coordonnées ( un; b) est égal à . Cette quantité est appelée module nombre complexe z = un + bi et est noté | z|. L'angle que fait ce vecteur avec la direction positive de l'axe des x (compté dans le sens inverse des aiguilles d'une montre) est appelé argument nombre complexe z et est noté Arg z. L'argument n'est pas défini de manière unique, mais seulement jusqu'à l'ajout d'une valeur multiple de 2 π
radians (ou 360°, si compté en degrés) - après tout, il est clair qu'une rotation d'un tel angle autour de l'origine ne changera pas le vecteur. Mais si le vecteur de longueur r forme un angle φ
avec la direction positive de l'axe des x, alors ses coordonnées sont égales à ( r parce que φ
; r péché φ
). À partir de là, il s'avère notation trigonométrique nombre complexe: z = |z| · (cos(Arg z) + je péché(Arg z)). Il est souvent pratique d’écrire des nombres complexes sous cette forme, car cela simplifie grandement les calculs. Multiplier des nombres complexes sous forme trigonométrique est très simple : z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (cos(Arg z 1 + Arg z 2) + je péché(Arg z 1 + Arg z 2)) (lors de la multiplication de deux nombres complexes, leurs modules sont multipliés et leurs arguments sont ajoutés). De là, suivez Les formules de Moivre: z n = |z|n· (cos( n· (Arg. z)) + je péché( n· (Arg. z))). À l’aide de ces formules, il est facile d’apprendre à extraire des racines de n’importe quel degré à partir de nombres complexes. nième racine de z- c'est un nombre complexe w, Quoi w n = z. Il est clair que 
, Et où k peut prendre n'importe quelle valeur de l'ensemble (0, 1, ..., n- 1). Cela signifie qu'il y a toujours exactement n racines nème degré d'un nombre complexe (sur le plan ils sont situés aux sommets du nombre régulier n-gon).
