Saisons

- a la forme ∑a k i x i = 0. où m > n ou m Un système homogène d'équations linéaires est toujours cohérent, puisque rangA = rangB. Il a évidemment une solution composée de zéros, appelée banal

Objet de la prestation

. Le calculateur en ligne est conçu pour trouver une solution fondamentale et non triviale au SLAE. La solution obtenue est enregistrée dans un fichier Word (voir exemple de solution).

solutions non triviales, il faut et il suffit que le rang de sa matrice soit inférieur au nombre d'inconnues.

solutions non triviales Théorème
. Un système dans le cas m=n a une solution non triviale si et seulement si le déterminant de ce système est égal à zéro.. Toute combinaison linéaire de solutions à un système est également une solution à ce système. Définition. L’ensemble des solutions d’un système d’équations linéaires homogènes est appelé

système fondamental de solutions

, si cet ensemble est constitué de solutions linéairement indépendantes et que toute solution du système est une combinaison linéaire de ces solutions.

1. Théorème. Si le rang r de la matrice système est inférieur au nombre n d'inconnues, alors il existe un système fondamental de solutions constitué de (n-r) solutions.
2. Algorithme de résolution de systèmes d'équations linéaires homogènes
3. Trouver le rang de la matrice.
4. Nous sélectionnons la mineure de base. Nous distinguons les inconnues dépendantes (de base) et libres.
5. Nous biffons les équations du système dont les coefficients ne sont pas inclus dans la base mineure, puisqu'ils sont des conséquences des autres (selon le théorème de la base mineure).
6. Nous déplaçons les termes des équations contenant des inconnues libres vers la droite. En conséquence, nous obtenons un système de r équations à r inconnues, équivalent à celui donné, dont le déterminant est non nul.
7. Nous résolvons le système résultant en éliminant les inconnues. Nous trouvons des relations exprimant des variables dépendantes à travers des variables libres.

Exemple. Trouver la base du système de vecteurs (a 1, a 2,...,a m), classer et exprimer les vecteurs en fonction de la base. Si a 1 =(0,0,1,-1), et 2 =(1,1,2,0), et 3 =(1,1,1,1), et 4 =(3,2,1 ,4), et 5 =(2,1,0,3).
Écrivons la matrice principale du système :

Un système d'équations linéaires dans lequel tous les termes libres sont égaux à zéro est appelé homogène :

Tout système homogène est toujours cohérent, puisqu'il a toujours zéro (Systèmes d'équations homogènes linéaires ) solution. La question se pose dans quelles conditions un système homogène aura-t-il une solution non triviale.

Théorème 5.2.Un système homogène a une solution non triviale si et seulement si le rang de la matrice sous-jacente est inférieur au nombre de ses inconnues.

Conséquence. Un système carré homogène a une solution non triviale si et seulement si le déterminant de la matrice principale du système n'est pas égal à zéro.

Exemple 5.6. Déterminez les valeurs du paramètre l pour lesquelles le système a des solutions non triviales et trouvez ces solutions :

Solution. Ce système aura une solution non triviale lorsque le déterminant de la matrice principale est égal à zéro :

Ainsi, le système n’est pas trivial lorsque l=3 ou l=2. Pour l=3, le rang de la matrice principale du système est 1. Alors, en ne laissant qu'une seule équation et en supposant que oui=un Et z=b, nous obtenons x=ba, c'est-à-dire

Pour l=2, le rang de la matrice principale du système est 2. Ensuite, en choisissant la mineure comme base :

nous obtenons un système simplifié

De là, nous constatons que x=z/4, y=z/2. Croire z=4un, nous obtenons

L’ensemble de toutes les solutions d’un système homogène a un rôle très important propriété linéaire : si colonnes X 1 et X 2 - solutions à un système homogène AX = 0, alors toute combinaison linéaire d'entre eux un X 1 + b X 2 sera également une solution à ce système. En effet, depuis HACHE 1 = 0 Et HACHE 2 = 0 , Que UN(un X 1 + b X 2) = un HACHE 1 + b HACHE 2 = a · 0 + b · 0 = 0. C'est à cause de cette propriété que si un système linéaire a plus d'une solution, alors il y aura un nombre infini de ces solutions.

Colonnes linéairement indépendantes E 1 , E 2 , Ek, qui sont des solutions d'un système homogène, sont appelés Définition système homogène d'équations linéaires si la solution générale de ce système peut s'écrire comme une combinaison linéaire de ces colonnes :

Si un système homogène a n variables, et le rang de la matrice principale du système est égal à r, Que k = n-r.

Exemple 5.7. Trouvez le système fondamental de solutions du système d’équations linéaires suivant :

Solution. Trouvons le rang de la matrice principale du système :

Ainsi, l’ensemble des solutions de ce système d’équations forme un sous-espace linéaire de dimension n-r= 5 - 2 = 3. Choisissons mineur comme base

Ensuite, en ne laissant que les équations de base (le reste sera une combinaison linéaire de ces équations) et les variables de base (on déplace le reste, les variables dites libres vers la droite), on obtient un système d'équations simplifié :

Croire x 3 = un, x 4 = b, x 5 = c, on trouve

Croire un= 1, b = c= 0, on obtient la première solution basique ; croire b= 1, une = c= 0, on obtient la deuxième solution basique ; croire c= 1, une = b= 0, on obtient la troisième solution basique. En conséquence, le système fondamental normal de solutions prendra la forme

En utilisant le système fondamental, la solution générale d’un système homogène peut s’écrire

X = aE 1 + être 2 + CE 3. un

Notons quelques propriétés des solutions d'un système inhomogène d'équations linéaires AX=B et leur relation avec le système d'équations homogène correspondant HACHE = 0.

Solution générale d'un système hétérogèneest égal à la somme de la solution générale du système homogène correspondant AX = 0 et d'une solution particulière arbitraire du système inhomogène. En effet, laissez Oui 0 est une solution particulière arbitraire d'un système inhomogène, c'est-à-dire AY 0 = B, Et Oui- solution générale d'un système hétérogène, c'est-à-dire AY=B. En soustrayant une égalité de l'autre, on obtient
UN(A-Y 0) = 0, c'est-à-dire A-Y 0 est la solution générale du système homogène correspondant HACHE=0. Ainsi, A-Y 0 = X, ou Oui = Oui 0 + X. Q.E.D.

Soit le système inhomogène de la forme AX = B 1 + B 2 . Alors la solution générale d’un tel système peut s’écrire X = X 1 + X 2 , où AX 1 = B 1 et AX 2 = B 2. Cette propriété exprime une propriété universelle de tout système linéaire en général (algébrique, différentiel, fonctionnel, etc.). En physique, cette propriété est appelée principe de superposition, en génie électrique et radio - principe de superposition. Par exemple, dans la théorie des circuits électriques linéaires, le courant dans n’importe quel circuit peut être obtenu comme la somme algébrique des courants provoqués séparément par chaque source d’énergie.

6.3. SYSTÈMES HOMOGÈNES D'ÉQUATIONS LINÉAIRES

Laissez maintenant dans le système (6.1).

Un système homogène est toujours cohérent. Solution () s'appelle zéro, ou Systèmes d'équations homogènes linéaires.

Un système homogène (6.1) a une solution non nulle si et seulement si son rang ( ) est inférieur au nombre d'inconnues. En particulier, un système homogène dans lequel le nombre d’équations est égal au nombre d’inconnues a une solution non nulle si et seulement si son déterminant est nul.

Parce que cette fois tout, au lieu des formules (6.6) on obtient ce qui suit :

(6.7)

Les formules (6.7) contiennent n'importe quelle solution du système homogène (6.1).

1. L'ensemble de toutes les solutions du système homogène d'équations linéaires (6.1) forme un espace linéaire.

2. Espace linéaireR.toutes les solutions du système homogène d’équations linéaires (6.1) avecninconnues et le rang de la matrice principale égal àr, a une dimensionn–r.

Tout ensemble de (n–r) les solutions linéairement indépendantes du système homogène (6.1) constituent une base dans l'espaceR.toutes les décisions. Ça s'appelle fondamental un ensemble de solutions au système homogène d’équations (6.1). Un accent particulier est mis sur "normale" ensemble fondamental de solutions du système homogène (6.1) :

(6.8)

Par définition de la base, toute solution X un système homogène (6.1) peut être représenté sous la forme

(6.9)

Où – des constantes arbitraires.

Puisque la formule (6.9) contient toute solution du système homogène (6.1), elle donne solution générale ce système.

Exemple.

Système homogène d'équations linéaires HACHE = 0 toujours ensemble. Il a des solutions non triviales (non nulles) si r= rang UN< n .

Pour les systèmes homogènes, les variables de base (dont les coefficients forment le mineur de base) sont exprimées au travers de variables libres par des relations de la forme :

Alors n-r Les solutions vectorielles linéairement indépendantes seront :

et toute autre solution est une combinaison linéaire de celles-ci. Solutions vectorielles former un système fondamental normalisé.

Dans un espace linéaire, l'ensemble des solutions d'un système homogène d'équations linéaires forme un sous-espace de dimension n-r; - la base de ce sous-espace.

Système méquations linéaires avec n inconnu(ou, système linéaire

Ici x 1 , x 2 , …, xn un 11 , un 12 , …, une minute- les coefficients du système - et b 1 , b 2 , … bm un ijje) et inconnu ( j

Le système (1) est appelé homogèneb 1 = b 2 = … = bm= 0), sinon - hétérogène.

Le système (1) est appelé carré, si numéro méquations égales au nombre n inconnu.

Solution systèmes (1) - ensemble n Nombres c 1 , c 2 , …, c n, de telle sorte que la substitution de chacun c je au lieu de x je dans le système (1) transforme toutes ses équations en identités.

Le système (1) est appelé articulation non conjoint

Solutions c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n(1) et c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n divers

certain incertain. S’il y a plus d’équations que d’inconnues, cela s’appelle redéfini.

Résolution de systèmes d'équations linéaires

Résolution d'équations matricielles ~ Méthode de Gauss

Les méthodes de résolution de systèmes d'équations linéaires sont divisées en deux groupes :

1. des méthodes précises, qui sont des algorithmes finis de calcul des racines d'un système (résolution de systèmes par matrice inverse, règle de Cramer, méthode de Gauss, etc.),

2. méthodes itératives, qui permettent d'obtenir une solution du système avec une précision donnée grâce à des processus itératifs convergents (méthode d'itération, méthode Seidel, etc.).

En raison des arrondis inévitables, les résultats des méthodes, même exactes, sont approximatifs. Lors de l’utilisation de méthodes itératives, l’erreur de la méthode est également ajoutée.

L’utilisation efficace des méthodes itératives dépend dans une large mesure du choix réussi de l’approximation initiale et de la vitesse de convergence du processus.

Résolution d'équations matricielles

Considérez le système néquations algébriques linéaires par rapport à n inconnu X 1 , X 2 , …, xn:

.

(15)

Matrice UN, dont les colonnes sont les coefficients des inconnues correspondantes et les lignes sont les coefficients des inconnues de l'équation correspondante, s'appelle matrice du système; colonne-matrice b, dont les éléments sont les membres droits des équations du système, s'appelle matrice de droite ou juste côté droit du système. Matrice de colonnes X, dont les éléments sont les inconnues inconnues, est appelé solution système.

Si matrice UN- non spécial, c'est-à-dire det Un e est égal à 0, alors le système (13), ou l'équation matricielle (14) qui lui est équivalente, a une solution unique.

En fait, à condition que A n'est pas égal 0 il existe une matrice inverse UN-1. Multiplier les deux côtés de l'équation (14) par la matrice UN-1 on obtient :

La formule (16) donne une solution à l'équation (14) et elle est unique.

Il est pratique de résoudre des systèmes d'équations linéaires à l'aide de la fonction résoudre.

lrésoudre( A, b)

Le vecteur solution est renvoyé x tel que Oh= b.

Arguments :

UN- matrice carrée et non singulière.

b- un vecteur ayant le même nombre de lignes que de lignes dans la matrice UN .

La figure 8 montre la solution d'un système de trois équations linéaires à trois inconnues.

Méthode Gauss

La méthode gaussienne, également appelée méthode d'élimination gaussienne, consiste dans le fait que le système (13) est réduit par élimination séquentielle d'inconnues à un système équivalent à matrice triangulaire :

En notation matricielle, cela signifie que dans un premier temps (approche directe de la méthode gaussienne), par des opérations élémentaires sur les lignes, la matrice étendue du système est réduite à une forme pas à pas :

puis (l'inverse de la méthode gaussienne) cette matrice de pas est transformée de telle sorte que dans le premier n colonnes on obtient une matrice unitaire :

.

Dernier, ( n+ 1) la colonne de cette matrice contient la solution du système (13).

Dans Mathcad, les déplacements avant et arrière de la méthode gaussienne sont effectués par la fonction référence(UN).

La figure 9 montre la solution d'un système d'équations linéaires à l'aide de la méthode gaussienne, qui utilise les fonctions suivantes :

rréf( UN)

La forme étape de la matrice est renvoyée UN.

augmenter( UN, DANS)

Renvoie un tableau formé par l'emplacement UN Et DANS côte à côte. Tableaux UN Et DANS doit avoir le même nombre de lignes.

sous-matrice ( A, ir, jr, ic, jc)

Renvoie une sous-matrice composée de tous les éléments avec ir Par jr et des colonnes avec ic Par jc. Assurez-vous que ir jr Et

ic jc, sinon l'ordre des lignes et/ou des colonnes sera inversé.

Graphique 9.

Description de la méthode

Pour un système de n équations linéaires à n inconnues (sur un corps arbitraire)

avec le déterminant de la matrice système Δ différent de zéro, la solution s'écrit sous la forme

(la i-ième colonne de la matrice système est remplacée par une colonne de termes libres).
Sous une autre forme, la règle de Cramer est formulée comme suit : pour tout coefficient c1, c2, ..., cn l'égalité suivante est vraie :

Sous cette forme, la formule de Cramer est valable sans l'hypothèse que Δ est différent de zéro, il n'est même pas nécessaire que les coefficients du système soient des éléments d'un anneau intégral (le déterminant du système peut même être un diviseur de zéro dans le anneau de coefficient). On peut également supposer que soit les ensembles b1,b2,...,bn et x1,x2,...,xn, soit l'ensemble c1,c2,...,cn, ne sont pas constitués d'éléments de l'anneau des coefficients du système, mais un module au-dessus de cet anneau. Sous cette forme, la formule de Cramer est utilisée, par exemple, dans la preuve de la formule du déterminant de Gram et du lemme de Nakayama.

35) Théorème de Kronecker-Capelli

Pour qu'un système de m équations linéaires inhomogènes à n inconnues soit cohérent, il est nécessaire et suffisant que Preuve de nécessité. X 1 =α 1 , X 2 =α 2 , …, Soit le système (1.13) cohérent, c'est-à-dire qu'il existe de tels nombres x n = α n , Quoi (1.15) Soustrayons de la dernière colonne de la matrice étendue sa première colonne, multipliée par α 1, la seconde - par α 2, ..., nième - multipliée par α n, c'est-à-dire de la dernière colonne de la matrice (1.14) nous devons soustraire les côtés gauches des égalités ( 1.15). On obtient alors la matrice Cela signifie que les lignes restantes de la matrice peuvent être obtenues sous forme de combinaisons linéaires des r premières lignes, c'est-à-dire que les m-r lignes de la matrice peuvent être représentées comme les sommes des r premières lignes multipliées par quelques nombres. Mais alors les r premières équations du système (1.13) sont indépendantes et les autres sont leurs conséquences, c'est-à-dire que la solution du système des r premières équations est automatiquement une solution des équations restantes. Il y a deux cas possibles. x 1.r=n. Alors le système constitué des r premières équations a le même nombre d’équations et d’inconnues et est cohérent, et sa solution est unique. x 2.r x(1.16) « Gratuit » inconnu x 1 , x 2 , …, x r+1, X 1 , X 2 , …, X r +2 , …, n peut recevoir n’importe quelle valeur. Alors les inconnues obtiennent les valeurs correspondantes +1 =c 1 , n peut recevoir n’importe quelle valeur. Alors les inconnues obtiennent les valeurs correspondantes +2 =c 2 , …, r. Le système (1.13) dans ce cas est cohérent, mais incertain. Commentaire. Mineur non nul d'ordre r, où r x 1 (c 1 , …, r sont aussi appelés basiques, les autres sont gratuits. Le système (1.16) est dit raccourci.), x 2 (c 1 , …, r sont aussi appelés basiques, les autres sont gratuits. Le système (1.16) est dit raccourci.), …, Si les inconnues libres sont notées(c 1 , …, r sont aussi appelés basiques, les autres sont gratuits. Le système (1.16) est dit raccourci.), c 1 , c 2 , …, r sont aussi appelés basiques, les autres sont gratuits. Le système (1.16) est dit raccourci. xr

x n = c n - r
Système méquations linéaires avec n inconnu(ou, système linéaire, alors les inconnues de base en dépendront, c'est-à-dire que la solution d'un système de m équations avec n inconnues aura la forme X = (

Ici x 1 , x 2 , …, xn c n - r un 11 , un 12 , …, une minute xr b 1 , b 2 , … bm) T , où T signifie transposer. un ij Cette solution du système est dite générale. je) et inconnu ( j 36) certitude, incertitude

Le système (1) est appelé homogène) en algèbre linéaire est un système d'équations de la forme b 1 = b 2 = … = bm- des inconnues à déterminer. hétérogène.

Le système (1) est appelé articulation- les coefficients du système - et non conjoint- les membres libres - sont supposés connus. Indices de coefficients (

) les systèmes désignent les numéros d'équation (

Solutions c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n(1) et c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n), auquel se situe respectivement ce coefficient. divers, si tous ses termes libres sont égaux à zéro (

= 0), sinon - certain, s'il a au moins une solution, et incertain

, si elle n’a pas de solution unique.

Un système commun de type (1) peut avoir une ou plusieurs solutions.

Matrice UN(2) les systèmes communs de la forme (1) sont appelés b, si au moins une des égalités est violée :

Un système commun de la forme (1) est appelé

, s'il a une solution unique ; s'il a au moins deux solutions différentes, alors on l'appelle 37) Résolution de systèmes d'équations linéaires à l'aide de la méthode de Gauss Laissez le système d'origine ressembler à ceci est appelée la matrice principale du système,.

- colonne de membres gratuits.

La condition ci-dessus pour tous peut être formulée comme une condition nécessaire et suffisante de compatibilité :

Rappelons que le rang d'un système joint est le rang de sa matrice principale (ou matrice étendue, puisqu'elles sont égales).

Algorithme

Description

L'algorithme de résolution des SLAE par la méthode gaussienne est divisé en deux étapes.

§ Dans la première étape, le mouvement dit direct est effectué lorsque, grâce à des transformations élémentaires sur les rangées, le système est amené à une forme étagée ou triangulaire, ou qu'il est établi que le système est incompatible. À savoir, parmi les éléments de la première colonne de la matrice, sélectionnez-en un différent de zéro, déplacez-le vers la position la plus haute en réorganisant les lignes et soustrayez la première ligne résultante des lignes restantes après le réarrangement, en la multipliant par une valeur égal au rapport du premier élément de chacune de ces lignes au premier élément de la première ligne, mettant ainsi à zéro la colonne en dessous. Une fois les transformations indiquées terminées, la première ligne et la première colonne sont mentalement barrées et continuées jusqu'à ce qu'il reste une matrice de taille nulle. Si à une itération il n'y a aucun élément non nul parmi les éléments de la première colonne, passez à la colonne suivante et effectuez une opération similaire.

§ À la deuxième étape, ce qu'on appelle le mouvement inverse est effectué, dont l'essence est d'exprimer toutes les variables de base résultantes en termes de variables non fondamentales et de construire un système fondamental de solutions, ou, si toutes les variables sont de base, puis exprimer numériquement la seule solution du système d'équations linéaires. Cette procédure commence par la dernière équation, à partir de laquelle la variable de base correspondante est exprimée (et il n'y en a qu'une) et substituée aux équations précédentes, et ainsi de suite, en remontant les « échelons ». Chaque ligne correspond exactement à une variable de base, donc à chaque étape sauf la dernière (la plus haute), la situation répète exactement le cas de la dernière ligne.

La méthode gaussienne nécessite de l'ordre Ô(n 3) actions.

Cette méthode s'appuie sur :

38)Théorème de Kronecker-Capelli.
Un système est cohérent si et seulement si le rang de sa matrice principale est égal au rang de sa matrice étendue.

Pour comprendre ce que c'est système de décision fondamental vous pouvez regarder un didacticiel vidéo pour le même exemple en cliquant. Passons maintenant à la description proprement dite de tous les travaux nécessaires. Cela vous aidera à comprendre plus en détail l'essence de ce problème.

Comment trouver le système fondamental de solutions d’une équation linéaire ?

Prenons par exemple le système d'équations linéaires suivant :

Trouvons la solution à ce système linéaire d'équations. Pour commencer, nous vous devez écrire la matrice des coefficients du système.

Transformons cette matrice en une matrice triangulaire. Nous réécrivons la première ligne sans modifications. Et tous les éléments qui se trouvent sous $a_(11)$ doivent être mis à zéro. Pour faire un zéro à la place de l'élément $a_(21)$, vous devez soustraire le premier de la deuxième ligne et écrire la différence sur la deuxième ligne. Pour faire un zéro à la place de l'élément $a_(31)$, vous devez soustraire le premier de la troisième ligne et écrire la différence sur la troisième ligne. Pour faire un zéro à la place de l'élément $a_(41)$, vous devez soustraire le premier multiplié par 2 de la quatrième ligne et écrire la différence sur la quatrième ligne. Pour faire un zéro à la place de l'élément $a_(31)$, vous devez soustraire le premier multiplié par 2 de la cinquième ligne et écrire la différence sur la cinquième ligne.

Nous réécrivons les première et deuxième lignes sans modifications. Et tous les éléments qui se trouvent sous $a_(22)$ doivent être mis à zéro. Pour faire un zéro à la place de l'élément $a_(32)$, vous devez soustraire le deuxième multiplié par 2 de la troisième ligne et écrire la différence sur la troisième ligne. Pour faire un zéro à la place de l'élément $a_(42)$, vous devez soustraire la seconde multipliée par 2 de la quatrième ligne et écrire la différence sur la quatrième ligne. Pour faire un zéro à la place de l'élément $a_(52)$, vous devez soustraire la seconde multipliée par 3 de la cinquième ligne et écrire la différence sur la cinquième ligne.

Nous voyons que les trois dernières lignes sont les mêmes, donc si vous soustrayez le troisième du quatrième et du cinquième, ils deviendront nuls.

D'après cette matrice écrire un nouveau système d'équations.

Nous voyons que nous n’avons que trois équations linéairement indépendantes et cinq inconnues, donc le système fondamental de solutions sera constitué de deux vecteurs. Alors nous nous devons déplacer les deux dernières inconnues vers la droite.

Maintenant, nous commençons à exprimer ces inconnues qui sont du côté gauche à travers celles qui sont du côté droit. Nous commençons par la dernière équation, nous exprimons d'abord $x_3$, puis nous substituons le résultat résultant dans la deuxième équation et exprimons $x_2$, puis dans la première équation et ici nous exprimons $x_1$. Ainsi, nous avons exprimé toutes les inconnues qui se trouvent du côté gauche à travers les inconnues qui se trouvent du côté droit.

Ensuite, au lieu de $x_4$ et $x_5$, nous pouvons remplacer n'importe quel nombre et trouver $x_1$, $x_2$ et $x_3$. Chacun de ces cinq nombres sera les racines de notre système d’équations original. Pour trouver les vecteurs inclus dans FRS nous devons remplacer 1 au lieu de $x_4$, et remplacer 0 au lieu de $x_5$, trouver $x_1$, $x_2$ et $x_3$, et vice versa $x_4=0$ et $x_5=1$.