Plan de cours.

1. Moment organisationnel.

2. Présentation du matériel.

3. Devoirs.

4. Résumer la leçon.

Pendant les cours

I. Moment organisationnel.

II. Présentation du matériel.

Motivation.

L'expansion de l'ensemble des nombres réels consiste à ajouter de nouveaux nombres (imaginaires) aux nombres réels. L'introduction de ces nombres est due à l'impossibilité d'extraire la racine d'un nombre négatif dans l'ensemble des nombres réels.

Introduction à la notion de nombre complexe.

Les nombres imaginaires, avec lesquels on complète les nombres réels, s'écrivent sous la forme bi, Où je est une unité imaginaire, et je 2 = - 1.

Sur cette base, nous obtenons la définition suivante d'un nombre complexe.

Définition. Un nombre complexe est une expression de la forme a+bi, Où un Et b- nombres réels. Dans ce cas, les conditions suivantes sont remplies :

a) Deux nombres complexes une 1 + b 1 je Et une 2 + b 2 jeégal si et seulement si un 1 = un 2, b1 =b2.

b) L'addition de nombres complexes est déterminée par la règle :

(une 1 + b 1 je) + (une 2 + b 2 je) = (une 1 + une 2) + (b 1 + b 2) je.

c) La multiplication de nombres complexes est déterminée par la règle :

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) je.

Forme algébrique d'un nombre complexe.

Écrire un nombre complexe sous la forme a+bi est appelé la forme algébrique d'un nombre complexe, où UN– partie réelle, bi est la partie imaginaire, et b- nombre réel.

Nombre complexe a+bi est considéré comme égal à zéro si ses parties réelle et imaginaire sont égales à zéro : une = b = 0

Nombre complexe a+bià b = 0 considéré comme étant identique à un nombre réel un: une + 0i = une.

Nombre complexe a+bià une = 0 est appelé purement imaginaire et est noté bi: 0 + bi = bi.

Deux nombres complexes z = a + bi Et = a – bi, ne différant que par le signe de la partie imaginaire, sont appelés conjugués.

Opérations sur les nombres complexes sous forme algébrique.

Vous pouvez effectuer les opérations suivantes sur des nombres complexes sous forme algébrique.

1) Ajout.

Définition. Somme de nombres complexes z 1 = une 1 + b 1 je Et z 2 = une 2 + b 2 je s'appelle un nombre complexe z, dont la partie réelle est égale à la somme des parties réelles z 1 Et z 2, et la partie imaginaire est la somme des parties imaginaires des nombres z 1 Et z 2, c'est z = (une 1 + une 2) + (b 1 + b 2)je.

Nombres z 1 Et z 2 sont appelés termes.

L'addition de nombres complexes a les propriétés suivantes :

1º. Commutativité: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.

2º. Associativité : (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. Nombre complexe –a –bi appelé l'opposé d'un nombre complexe z = a + bi. Nombre complexe, opposé au nombre complexe z, noté -z. Somme de nombres complexes z Et -zégal à zéro : z + (-z) = 0

Exemple 1 : Effectuer une addition (3 – je) + (-1 + 2i).

(3 – je) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) je = 2 + 1i.

2) Soustraction.

Définition. Soustraire d'un nombre complexe z 1 nombre complexe z 2 z, Quoi z + z 2 = z 1.

Théorème. La différence entre les nombres complexes existe et est unique.

Exemple 2 : Effectuer une soustraction (4 – 2i) - (-3 + 2i).

(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) je = 7 – 4i.

3) Multiplications.

Définition. Produit de nombres complexes z 1 =a 1 +b 1 je Et z 2 =a 2 +b 2 je s'appelle un nombre complexe z, défini par l'égalité : z = (une 1 une 2 – b 1 b 2) + (une 1 b 2 + une 2 b 1)je.

Nombres z 1 Et z 2 sont appelés facteurs.

La multiplication de nombres complexes a les propriétés suivantes :

1º. Commutativité: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º. Associativité : (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Distributivité de la multiplication par rapport à l'addition :

(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º. z = (une + bi)(une – bi) = une 2 + b 2- nombre réel.

En pratique, la multiplication de nombres complexes s'effectue selon la règle de multiplication d'une somme par une somme et de séparation des parties réelles et imaginaires.

Dans l’exemple suivant, nous envisagerons de multiplier des nombres complexes de deux manières : par règle et en multipliant somme par somme.

Exemple 3 : Faire la multiplication (2 + 3i) (5 – 7i).

1 façon. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )je = 31 + je.

Méthode 2. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) Division.

Définition. Diviser un nombre complexe z 1à un nombre complexe z 2, signifie trouver un nombre aussi complexe z, Quoi z · z 2 = z 1.

Théorème. Le quotient des nombres complexes existe et est unique si z 2 ≠ 0 + 0i.

En pratique, le quotient des nombres complexes se trouve en multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.

Laisser z 1 = une 1 + b 1 je, z 2 = une 2 + b 2 je, Alors

.

Dans l'exemple suivant, nous effectuerons une division en utilisant la formule et la règle de multiplication par le nombre conjugué au dénominateur.

Exemple 4. Trouver le quotient .

5) Élever à une puissance entière positive.

a) Pouvoirs de l'unité imaginaire.

Profiter de l’égalité je 2 = -1, il est facile de définir toute puissance entière positive de l’unité imaginaire. Nous avons:

je 3 = je 2 je = -je,

je 4 = je 2 je 2 = 1,

je 5 = je 4 je = je,

je 6 = je 4 je 2 = -1,

je 7 = je 5 je 2 = -je,

je 8 = je 6 je 2 = 1 etc.

Cela montre que les valeurs du degré dans, Où n– un entier positif, répété périodiquement à mesure que l'indicateur augmente de 4 .

Par conséquent, pour augmenter le nombre jeà une puissance entière positive, il faut diviser l'exposant par 4 et construire jeà une puissance dont l’exposant est égal au reste de la division.

Exemple 5 : Calculer : (je 36 + je 17) je 23.

je 36 = (je 4) 9 = 1 9 = 1,

je 17 = je 4 × 4+1 = (je 4) 4 × je = 1 · je = je.

je 23 = je 4 × 5+3 = (je 4) 5 × je 3 = 1 · je 3 = - je.

(je 36 + je 17) · je 23 = (1 + je) (- je) = - je + 1= 1 – je.

b) L'élévation d'un nombre complexe à une puissance entière positive s'effectue selon la règle d'élévation d'un binôme à la puissance correspondante, puisqu'il s'agit d'un cas particulier de multiplication de facteurs complexes identiques.

Exemple 6 : Calculer : (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.

14.3 Un point à l'infini comme point singulier d'une fonction d'une variable complexe

Préface

Répartir correctement le temps et les efforts lors de la préparation des parties théoriques et pratiques d'un examen ou d'une certification de module est assez difficile, d'autant plus qu'il n'y a toujours pas assez de temps pendant la session. Et comme le montre la pratique, tout le monde ne peut pas y faire face. En conséquence, lors de l'examen, certains étudiants résolvent correctement des problèmes, mais ont du mal à répondre aux questions théoriques les plus simples, tandis que d'autres peuvent formuler un théorème, mais ne peuvent pas l'appliquer.

Ces lignes directrices pour la préparation à l'examen du cours « Théorie des fonctions d'une variable complexe » (TFCP) tentent de résoudre cette contradiction et d'assurer la répétition simultanée de la matière théorique et pratique du cours. Guidés par le principe « La théorie sans pratique est morte, la pratique sans théorie est aveugle », ils contiennent à la fois des dispositions théoriques du cours au niveau des définitions et des formulations, ainsi que des exemples illustrant l'application de chaque position théorique donnée, et facilitant ainsi sa mémorisation et sa compréhension.

Le but des recommandations méthodologiques proposées est d'aider l'étudiant à se préparer à l'examen au niveau de base. En d'autres termes, un guide de travail étendu a été élaboré contenant les principaux points utilisés dans les cours du cours TFKP et nécessaires pour faire les devoirs et préparer les tests. En plus du travail indépendant des étudiants, cette publication pédagogique électronique peut être utilisée lors de la conduite de cours sous une forme interactive à l'aide d'un tableau électronique ou pour un placement dans un système d'enseignement à distance.

Veuillez noter que ce travail ne remplace ni les manuels ni les notes de cours. Pour une étude approfondie du matériel, il est recommandé de se référer aux sections pertinentes publiées par MSTU. N.E. Manuel de base Bauman.

À la fin du manuel, vous trouverez une liste de littérature recommandée et un index des sujets, qui comprend tout ce qui est mis en évidence dans le texte. gras italique termes. L'index est constitué d'hyperliens vers des sections dans lesquelles ces termes sont strictement définis ou décrits et où des exemples sont donnés pour illustrer leur utilisation.

Le manuel est destiné aux étudiants de 2e année de toutes les facultés du MSTU. N.E. Bauman.

1. Forme algébrique d'écriture d'un nombre complexe

Notation de la forme z = x + iy, où x, y sont des nombres réels, i est une unité imaginaire (c'est-à-dire i 2 = − 1)

s'appelle la forme algébrique d'écriture d'un nombre complexe z. Dans ce cas, x est appelé la partie réelle d'un nombre complexe et est noté Re z (x = Re z), y est appelé la partie imaginaire d'un nombre complexe et est noté Im z (y = Im z).

Exemple. Le nombre complexe z = 4− 3i a une partie réelle Rez = 4 et une partie imaginaire Imz = − 3.

2. Plan numérique complexe

DANS les théories des fonctions d'une variable complexe sont considéréesplan des nombres complexes, qui est désigné par ou en utilisant des lettres désignant des nombres complexes z, w, etc.

L'axe horizontal du plan complexe s'appelle axe réel, des nombres réels z = x + 0i = x y sont placés.

L'axe vertical du plan complexe est appelé axe imaginaire ;

3. Nombres conjugués complexes

Les nombres z = x + iy et z = x − iy sont appelés Conjugaison compliquée. Sur le plan complexe, ils correspondent à des points symétriques par rapport à l'axe réel.

4. Opérations avec des nombres complexes sous forme algébrique

4.1 Ajout de nombres complexes

Ainsi, l'opération de multiplication de nombres complexes est similaire à l'opération de multiplication de binômes algébriques, en tenant compte du fait que i 2 = − 1.

Les nombres complexes sont une extension de l'ensemble des nombres réels, généralement désignés par . Tout nombre complexe peut être représenté comme une somme formelle, où et sont des nombres réels et constituent l'unité imaginaire.

L'écriture d'un nombre complexe sous la forme , , est appelée la forme algébrique d'un nombre complexe.

Propriétés des nombres complexes. Interprétation géométrique d'un nombre complexe.

Actions sur des nombres complexes données sous forme algébrique :

Considérons les règles selon lesquelles les opérations arithmétiques sont effectuées sur des nombres complexes.

Si deux nombres complexes α = a + bi et β = c + di sont donnés, alors

α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

α – β = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i. (onze)

Cela découle de la définition des opérations d'addition et de soustraction de deux paires ordonnées de nombres réels (voir formules (1) et (3)). Nous avons reçu les règles d'addition et de soustraction des nombres complexes : pour additionner deux nombres complexes, il faut additionner séparément leurs parties réelles et, par conséquent, leurs parties imaginaires ; Afin d'en soustraire un autre à un nombre complexe, il est nécessaire de soustraire respectivement leurs parties réelle et imaginaire.

Le nombre – α = – a – bi est appelé l’opposé du nombre α = a + bi. La somme de ces deux nombres est nulle : - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b)i = 0.

Pour obtenir la règle de multiplication des nombres complexes, on utilise la formule (6), c'est-à-dire le fait que i2 = -1. En tenant compte de cette relation, on trouve (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i – bd, c'est-à-dire

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i . (12)

Cette formule correspond à la formule (2), qui déterminait la multiplication de paires ordonnées de nombres réels.

Notez que la somme et le produit de deux nombres conjugués complexes sont des nombres réels. En effet, si α = a + bi, = a – bi, alors α = (a + bi)(a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2 , α + = (a + bi) + (a - bi) = ( une + une) + (b - b)je= 2une, c'est-à-dire

α + = 2a, α = a2 + b2. (13)

Lors de la division de deux nombres complexes sous forme algébrique, il faut s'attendre à ce que le quotient soit également exprimé par un nombre du même type, c'est-à-dire α/β = u + vi, où u, v R. Dérivons la règle de division des nombres complexes . Soit les nombres α = a + bi, β = c + di et β ≠ 0, c'est-à-dire c2 + d2 ≠ 0. La dernière inégalité signifie que c et d ne disparaissent pas simultanément (le cas est exclu lorsque c = 0 , d = 0). En appliquant la formule (12) et la seconde des égalités (13), on trouve :

Par conséquent, le quotient de deux nombres complexes est déterminé par la formule :

correspondant à la formule (4).

En utilisant la formule résultante pour le nombre β = c + di, vous pouvez trouver son nombre inverse β-1 = 1/β. En supposant a = 1, b = 0 dans la formule (14), nous obtenons

Cette formule détermine l'inverse d'un nombre complexe donné autre que zéro ; ce nombre est également complexe.

Par exemple : (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i ;

(6 + 5i) – (3 + 8i) = 3 – 3i ;

(5 – 4i)(8 – 9i) = 4 – 77i ;

Opérations sur les nombres complexes sous forme algébrique.

55. Argument d'un nombre complexe. Forme trigonométrique d'écriture d'un nombre complexe (dérivation).

Arg.com.numéros. – entre la direction positive de l’axe X réel et le vecteur représentant le nombre donné.

Formule Trigone. Nombres: ,