Formes bilinéaires et quadratiques. Réduire une forme quadratique à une forme canonique

Étant donné une forme quadratique (2) UN(X, X) = , où X = (X 1 , X 2 , …, X n). Considérons une forme quadratique dans l'espace R. 3, c'est X = (X 1 , X 2 , X 3), UN(X, X) =
+
+
+
+
+
+ +
+
+
=
+
+
+ 2
+ 2
+ + 2
(nous avons utilisé la condition de symétrie de forme, à savoir UN 12 = UN 21 , UN 13 = UN 31 , UN 23 = UN 32). Écrivons une matrice de forme quadratique UN en base ( e}, UN(e) =
. Lorsque la base change, la matrice de forme quadratique change selon la formule UN(F) = C t UN(e)C, Où C– matrice de transition de la base ( e) à la base ( F), UN C t– matrice transposée C.

Définition11.12. La forme d'une forme quadratique avec une matrice diagonale s'appelle canonique.

Alors laisse UN(F) =
, Alors UN"(X, X) =
+
+
, Où X" 1 , X" 2 , X" 3 – coordonnées vectorielles X sur une nouvelle base ( F}.

Définition11.13. Laisser entrer n V une telle base est choisie F = {F 1 , F 2 , …, F n), dans laquelle la forme quadratique a la forme

UN(X, X) =
+
+ … +
, (3)

Où oui 1 , oui 2 , …, oui n– coordonnées vectorielles X en base ( F). L'expression (3) est appelée vue canonique forme quadratique. Coefficients  1, λ 2, …, λ n sont appelés canonique; une base dans laquelle une forme quadratique a une forme canonique est appelée base canonique.

Commentaire. Si la forme quadratique UN(X, X) est réduit à la forme canonique, donc, d'une manière générale, tous les coefficients  je sont différents de zéro. Le rang d’une forme quadratique est égal au rang de sa matrice dans n’importe quelle base.

Soit le rang de la forme quadratique UN(X, X) est égal r, Où r ≤ n. Une matrice de forme quadratique sous forme canonique a une forme diagonale. UN(F) =
, puisque son rang est égal r, puis parmi les coefficients  je il doit y avoir r, différent de zéro. Il s'ensuit que le nombre de coefficients canoniques non nuls est égal au rang de la forme quadratique.

Commentaire. Une transformation linéaire de coordonnées est une transition à partir de variables X 1 , X 2 , …, X n aux variables oui 1 , oui 2 , …, oui n, dans lequel les anciennes variables sont exprimées à travers de nouvelles variables avec des coefficients numériques.

X 1 = α11 oui 1 + α12 oui 2 + … + α 1 n oui n ,

X 2 = α2 1 oui 1 + α 2 2 oui 2 + … + α 2 n oui n ,

………………………………

X 1 = α n 1 oui 1 + α n 2 oui 2 + … + α nn oui n .

Puisque chaque transformation de base correspond à une transformation de coordonnées linéaires non dégénérées, la question de la réduction d'une forme quadratique à une forme canonique peut être résolue en choisissant la transformation de coordonnées non dégénérée correspondante.

Théorème 11.2 (théorème principal sur les formes quadratiques). Toute forme quadratique UN(X, X), spécifié dans n espace vectoriel dimensionnel V, en utilisant une transformation de coordonnées linéaires non dégénérées peut être réduit à une forme canonique.

Preuve. (Méthode Lagrange) L'idée de cette méthode est de compléter séquentiellement le trinôme quadratique de chaque variable jusqu'à obtenir un carré complet. Nous supposerons que UN(X, X) ≠ 0 et dans la base e = {e 1 , e 2 , …, e n) a la forme (2) :

UN(X, X) =
.

Si UN(X, X) = 0, alors ( un je) = 0, c'est-à-dire que la forme est déjà canonique. Formule UN(X, X) peut être transformé de telle sorte que le coefficient un 11 ≠ 0. Si un 11 = 0, alors le coefficient du carré d'une autre variable est différent de zéro, alors en renumérotant les variables il est possible de s'assurer que un 11 ≠ 0. La renumérotation des variables est une transformation linéaire non dégénérée. Si tous les coefficients des variables au carré sont égaux à zéro, alors les transformations nécessaires sont obtenues comme suit. Laissez, par exemple, un 12 ≠ 0 (UN(X, X) ≠ 0, donc au moins un coefficient un je≠ 0). Considérez la transformation

X 1 = oui 1 – oui 2 ,

X 2 = oui 1 + oui 2 ,

X je = oui je, à je = 3, 4, …, n.

Cette transformation est non dégénérée, puisque le déterminant de sa matrice est non nul
= = 2 ≠ 0.

Puis 2 un 12 X 1 X 2 = 2 un 12 (oui 1 – oui 2)(oui 1 + oui 2) = 2
– 2
, c'est-à-dire sous la forme UN(X, X) des carrés de deux variables apparaîtront à la fois.

UN(X, X) =
+ 2
+ 2
+
. (4)

Convertissons le montant alloué sous la forme :

UN(X, X) = un 11
, (5)

tandis que les coefficients un je changer pour . Considérons la transformation non dégénérée

oui 1 = X 1 + + … + ,

oui 2 = X 2 ,

oui n = X n .

Ensuite, nous obtenons

UN(X, X) =
. (6).

Si la forme quadratique
= 0, alors la question du casting UN(X, X) à la forme canonique est résolue.

Si cette forme n'est pas égale à zéro, alors on répète le raisonnement en considérant les transformations de coordonnées oui 2 , …, oui n et sans changer les coordonnées oui 1 . Il est évident que ces transformations ne seront pas dégénérées. En un nombre fini d'étapes, la forme quadratique UN(X, X) sera réduit à la forme canonique (3).

Commentaire 1. La transformation requise des coordonnées originales X 1 , X 2 , …, X n peut être obtenu en multipliant les transformations non dégénérées trouvées dans le processus de raisonnement : [ X] = UN[oui], [oui] = B[z], [z] = C[t], Alors [ X] = UNB[z] = UNBC[t], c'est [ X] = M[t], Où M = UNBC.

Commentaire 2. Laissez UN(X, X) = UN(X, X) =
+
+ …+
, où  je ≠ 0, je = 1, 2, …, r, et  1 > 0, λ 2 > 0, …, λ q > 0, λ q +1 < 0, …, λ r < 0.

Considérons la transformation non dégénérée

oui 1 = z 1 , oui 2 = z 2 , …, oui q = z q , oui q +1 =
z q +1 , …, oui r = z r , oui r +1 = z r +1 , …, oui n = z n. Par conséquent UN(X, X) prendra la forme : UN(X, X) = + + … + – – … – qui est appelée forme normale de forme quadratique.

Exemple11.1. Réduire la forme quadratique à la forme canonique UN(X, X) = 2X 1 X 2 – 6X 2 X 3 + 2X 3 X 1 .

Solution. Parce que le un 11 = 0, utilisez la transformation

X 1 = oui 1 – oui 2 ,

X 2 = oui 1 + oui 2 ,

X 3 = oui 3 .

Cette transformation a une matrice UN =
, c'est [ X] = UN[oui] on a UN(X, X) = 2(oui 1 – oui 2)(oui 1 + oui 2) – 6(oui 1 + oui 2)oui 3 + 2oui 3 (oui 1 – oui 2) =

2– 2– 6oui 1 oui 3 – 6oui 2 oui 3 + 2oui 3 oui 1 – 2oui 3 oui 2 = 2– 2– 4oui 1 oui 3 – 8oui 3 oui 2 .

Puisque le coefficient à n'est pas égal à zéro, on peut sélectionner le carré d'une inconnue, que ce soit oui 1 . Sélectionnons tous les termes contenant oui 1 .

UN(X, X) = 2(– 2oui 1 oui 3) – 2– 8oui 3 oui 2 = 2(– 2oui 1 oui 3 + ) – 2– 2– 8oui 3 oui 2 = 2(oui 1 – oui 3) 2 – 2– 2– 8oui 3 oui 2 .

Effectuons une transformation dont la matrice est égale à B.

z 1 = oui 1 – oui 3 ,  oui 1 = z 1 + z 3 ,

z 2 = oui 2 ,  oui 2 = z 2 ,

z 3 = oui 3 ;  oui 3 = z 3 .

B =
, [oui] = B[z].

On a UN(X, X) = 2– 2–– 8z 2 z 3. Sélectionnons les termes contenant z 2. Nous avons UN(X, X) = 2– 2(+ 4z 2 z 3) – 2= 2– 2(+ 4z 2 z 3 + 4) + + 8 – 2 = 2– 2(z 2 + 2z 3) 2 + 6.

Effectuer une transformation matricielle C:

t 1 = z 1 ,  z 1 = t 1 ,

t 2 = z 2 + 2z 3 ,  z 2 = t 2 – 2t 3 ,

t 3 = z 3 ;  z 3 = t 3 .

C =
, [z] = C[t].

A obtenu: UN(X, X) = 2– 2+ 6forme canonique d'une forme quadratique, avec [ X] = UN[oui], [oui] = B[z], [z] = C[t], d'ici [ X] = abc[t];

UNBC =


=
. Les formules de conversion sont les suivantes

X 1 = t 1 – t 2 + t 3 ,

X 2 = t 1 + t 2 – t 3 ,

Définition 10.4.Vue canonique la forme quadratique (10.1) est appelée la forme suivante : . (10.4)

Montrons que dans une base de vecteurs propres, la forme quadratique (10.1) prend une forme canonique. Laisser

Vecteurs propres normalisés correspondant aux valeurs propres λ 1 ,λ 2 ,λ 3 matrices (10.3) dans une base orthonormée. Alors la matrice de transition de l'ancienne base vers la nouvelle sera la matrice

. Dans la nouvelle base la matrice UN prendra la forme diagonale (9.7) (par la propriété des vecteurs propres). Ainsi, en transformant les coordonnées à l'aide des formules :

,

dans la nouvelle base on obtient la forme canonique d'une forme quadratique avec des coefficients égaux aux valeurs propres λ 1, λ 2, λ 3:

Remarque 1. D'un point de vue géométrique, la transformation de coordonnées considérée est une rotation du système de coordonnées, combinant les anciens axes de coordonnées avec les nouveaux.

Remarque 2. Si des valeurs propres de la matrice (10.3) coïncident, nous pouvons ajouter un vecteur unitaire orthogonal à chacune d'elles aux vecteurs propres orthonormés correspondants, et ainsi construire une base dans laquelle la forme quadratique prend la forme canonique.

Amenons la forme quadratique à la forme canonique

X² + 5 oui² + z² + 2 xy + 6xz + 2ouais.

Sa matrice a la forme Dans l'exemple abordé dans la leçon 9, on retrouve les valeurs propres et vecteurs propres orthonormés de cette matrice :

Créons une matrice de transition vers la base à partir de ces vecteurs :

(l'ordre des vecteurs est modifié pour qu'ils forment un triplet droitier). Transformons les coordonnées à l'aide des formules :

Ainsi, la forme quadratique se réduit à la forme canonique avec des coefficients égaux aux valeurs propres de la matrice de la forme quadratique.

Conférence 11.

Courbes du second ordre. Ellipse, hyperbole et parabole, leurs propriétés et équations canoniques. Réduire une équation du second ordre à une forme canonique.

Définition 11.1.Courbes du second ordre sur un plan sont appelées lignes d'intersection d'un cône circulaire avec des plans qui ne passent pas par son sommet.

Si un tel plan coupe toutes les génératrices d'une cavité du cône, alors dans la section il s'avère ellipse, à l’intersection des génératrices des deux cavités – hyperbole, et si le plan de coupe est parallèle à n'importe quelle génératrice, alors la section du cône est parabole.

Commentaire. Toutes les courbes du second ordre sont spécifiées par des équations du second degré à deux variables.

Ellipse.

Définition 11.2.Ellipse est l'ensemble des points du plan pour lesquels la somme des distances à deux points fixes est F 1 et F des trucs, est une valeur constante.

Commentaire. Quand les points coïncident F 1 et F 2, l'ellipse se transforme en cercle.

Dérivons l'équation de l'ellipse en choisissant le système cartésien

yM(x,y) coordonnées pour que l'axe Oh coïncidait avec une ligne droite F 1 F 2, début

r 1 r 2 coordonnées – avec le milieu du segment F 1 F 2. Laissez la longueur de ceci

le segment est égal à 2 Avec, puis dans le système de coordonnées choisi

F 1 O F 2 x F 1 (-c, 0), F 2 (c, 0). Laissons le point M(x,y) se trouve sur l'ellipse, et

la somme des distances de celui-ci à F 1 et F 2 est égal à 2 UN.

Alors r 1 + r 2 = 2un, Mais ,

par conséquent, en introduisant la notation b² = un²- c² et après avoir effectué des transformations algébriques simples, on obtient équation canonique de l'ellipse: (11.1)

Définition 11.3.Excentricité d'une ellipse s'appelle la grandeur e = s/a (11.2)

Définition 11.4.Directrice D je ellipse correspondant au foyer Fi Fi par rapport à l'axe UO perpendiculaire à l'axe Ohà distance un/e de l'origine.

Commentaire. Avec un choix différent de système de coordonnées, l'ellipse peut être spécifiée non pas par l'équation canonique (11.1), mais par une équation du second degré d'un type différent.

Propriétés des ellipses :

1) Une ellipse a deux axes de symétrie mutuellement perpendiculaires (les axes principaux de l'ellipse) et un centre de symétrie (le centre de l'ellipse). Si une ellipse est donnée par une équation canonique, alors ses axes principaux sont les axes de coordonnées et son centre est l'origine. Puisque les longueurs des segments formés par l'intersection de l'ellipse avec les axes principaux sont égales à 2 UN et 2 b (2un>2b), alors l'axe principal passant par les foyers est appelé grand axe de l'ellipse, et le deuxième axe principal est appelé petit axe.

2) L'ellipse entière est contenue dans le rectangle

3) Excentricité de l'ellipse e< 1.

Vraiment,

4) Les directrices de l'ellipse sont situées à l'extérieur de l'ellipse (puisque la distance du centre de l'ellipse à la directrice est un/e, UN e<1, следовательно, a/e>a, et l'ellipse entière se trouve dans un rectangle)

5) Rapport de distance r je du point d'ellipse à la mise au point Fi au loin je de ce point à la directrice correspondant au foyer est égale à l'excentricité de l'ellipse.

Preuve.

Distances du point M(x,y) jusqu'aux foyers de l'ellipse peuvent être représentés comme suit :

Créons les équations directrices :

(D 1), (D 2). Alors D'ici r je / ré je = e, c'était ce qui devait être prouvé.

Hyperbole.

Définition 11.5.Hyperbole est l'ensemble des points du plan pour lesquels le module de la différence des distances à deux points fixes est F 1 et F 2 de cet avion, appelé des trucs, est une valeur constante.

Dérivons l'équation canonique d'une hyperbole par analogie avec la dérivation de l'équation d'une ellipse, en utilisant la même notation.

|r 1 - r 2 | = 2un, d'où Si on note b² = c² - un², à partir d'ici vous pouvez obtenir

- équation canonique de l'hyperbole. (11.3)

Définition 11.6.Excentricité une hyperbole s'appelle une quantité e = c/a.

Définition 11.7.Directrice D je hyperbole correspondant au foyer Fi, s'appelle une droite située dans le même demi-plan avec Fi par rapport à l'axe UO perpendiculaire à l'axe Ohà distance un/e de l'origine.

Propriétés d'une hyperbole :

1) Une hyperbole a deux axes de symétrie (les axes principaux de l'hyperbole) et un centre de symétrie (le centre de l'hyperbole). Dans ce cas, l'un de ces axes coupe l'hyperbole en deux points, appelés sommets de l'hyperbole. On l'appelle l'axe réel de l'hyperbole (axe Oh pour le choix canonique du système de coordonnées). L'autre axe n'a pas de points communs avec l'hyperbole et est appelé son axe imaginaire (en coordonnées canoniques - l'axe UO). Des deux côtés se trouvent les branches droite et gauche de l'hyperbole. Les foyers d'une hyperbole sont situés sur son axe réel.

2) Les branches de l'hyperbole ont deux asymptotes, déterminées par les équations

3) Parallèlement à l'hyperbole (11.3), nous pouvons considérer l'hyperbole dite conjuguée, définie par l'équation canonique

pour lequel les axes réel et imaginaire sont inversés tout en conservant les mêmes asymptotes.

4) Excentricité de l'hyperbole e> 1.

5) Rapport de distance r je du point hyperbole au point focal Fi au loin je de ce point à la directrice correspondant au foyer est égale à l'excentricité de l'hyperbole.

La preuve peut être effectuée de la même manière que pour l'ellipse.

Parabole.

Définition 11.8.Parabole est l'ensemble des points sur le plan pour lesquels la distance à un point fixe est F ce plan est égal à la distance à une ligne droite fixe. Point F appelé se concentrer paraboles, et la ligne droite est son directrice.

Pour dériver l'équation de la parabole, nous choisissons l'équation cartésienne

système de coordonnées de sorte que son origine soit le milieu

D M(x,y) perpendiculaire FD, omis du focus sur la directive

r su, et les axes de coordonnées étaient situés parallèlement et

perpendiculaire au directeur. Laissez la longueur du segment FD

D O F x est égal à R.. Alors de l'égalité r = ré il s'ensuit que

parce que le

En utilisant des transformations algébriques, cette équation peut être réduite à la forme : oui² = 2 px, (11.4)

appelé équation canonique de la parabole. Ordre de grandeur R. appelé paramètre paraboles.

Propriétés d'une parabole :

1) Une parabole a un axe de symétrie (axe de la parabole). Le point où la parabole coupe l'axe est appelé le sommet de la parabole. Si une parabole est donnée par une équation canonique, alors son axe est l'axe Oh, et le sommet est l'origine des coordonnées.

2) La parabole entière est située dans le demi-plan droit du plan Ooh.

Commentaire. En utilisant les propriétés des directrices d’une ellipse et d’une hyperbole et la définition d’une parabole, nous pouvons prouver l’énoncé suivant :

L'ensemble des points du plan pour lesquels la relation e la distance à un point fixe à la distance à une ligne droite est une valeur constante, c'est une ellipse (avec e<1), гиперболу (при e>1) ou parabole (avec e=1).

Informations connexes.

220400 Algèbre et géométrie Tolstikov A.V.

Conférences 16. Formes bilinéaires et quadratiques.

Plan

1. Forme bilinéaire et ses propriétés.

2. Forme quadratique. Matrice de forme quadratique. Transformation de coordonnées.

3. Réduire la forme quadratique à la forme canonique. Méthode Lagrange.

4. Loi d'inertie des formes quadratiques.

5. Réduction de la forme quadratique à la forme canonique en utilisant la méthode des valeurs propres.

6. Critère de Silverst pour la définition positive d’une forme quadratique.

1. Cours de géométrie analytique et d'algèbre linéaire. M. : Nauka, 1984.

2. Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Éléments d'algèbre linéaire et de géométrie analytique. 1997.

3. Voevodine V.V. Algèbre linéaire.. M. : Nauka 1980.

4. Recueil de problèmes pour les collèges. Algèbre linéaire et principes fondamentaux de l'analyse mathématique. Éd. Efimova A.V., Demidovich B.P.. M. : Nauka, 1981.

5. Butuzov V.F., Krutitskaya N.Ch., Shishkin A.A. Algèbre linéaire en questions et problèmes. M. : Fizmatlit, 2001.

, , , ,

1. Forme bilinéaire et ses propriétés. Laisser V - n espace vectoriel dimensionnel sur un champ P.

Définition 1.Forme bilinéaire, défini sur V, une telle cartographie est appelée g: V 2 ® P., qui à chaque paire ordonnée ( X , oui ) vecteurs X , oui de met en V faire correspondre le numéro du champ P., noté g(X , oui ), et linéaire dans chacune des variables X , oui , c'est à dire. ayant des propriétés :

1) ("X , oui , z Î V)g(X + oui , z ) = g(X , z ) + g(oui , z );

2) ("X , oui Î V) (« un О P.)g(un X , oui ) = un g(X , oui );

3) ("X , oui , z Î V)g(X , oui + z ) = g(X , oui ) + g(X , z );

4) ("X , oui Î V) (« un О P.)g(X ,un oui ) = un g(X , oui ).

Exemple 1. Tout produit scalaire défini sur un espace vectoriel V est une forme bilinéaire.

2 . Fonction h(X , oui ) = 2X 1 oui 1 - X 2 oui 2 +X 2 oui 1 où X = (X 1 ,X 2), oui = (oui 1 ,oui 2)О R. 2, forme bilinéaire sur R. 2 .

Définition 2. Laisser v = (v 1 , v 2 ,…, v n V.Matrice de forme bilinéaireg(X , oui ) par rapport à la basev appelé matrice B=(b je)n ´ n, dont les éléments sont calculés par la formule b je = g(v je, v j):

Exemple 3. Matrice bilinéaire h(X , oui ) (voir exemple 2) par rapport à la base e 1 = (1,0), e 2 = (0,1) est égal à .

Théorème 1. LaisserX, Y - coordonnées des colonnes de vecteurs respectivementX , oui dans la basev, B - matrice de forme bilinéaireg(X , oui ) par rapport à la basev. Alors la forme bilinéaire peut s’écrire

g(X , oui )=X t PAR. (1)

Preuve. Des propriétés de la forme bilinéaire on obtient

Exemple 3. Forme bilinéaire h(X , oui ) (voir exemple 2) peut s'écrire sous la forme h(X , oui )=.

Théorème 2. Laisser v = (v 1 , v 2 ,…, v n), toi = (toi 1 , toi 2 ,…, toi n) - deux bases d'espace vectorielV, T - matrice de transition de la basev à la basetoi. Laisser B= (b je)n ´ n Et AVEC=(avec ij)n ´ n - matrices bilinéairesg(X , oui ) respectivement par rapport aux basesv ettoi. Alors

AVEC=T t BT.(2)

Preuve. Par définition de la matrice de transition et de la matrice de forme bilinéaire, on trouve :



Définition 2. Forme bilinéaire g(X , oui ) est appelé symétrique, Si g(X , oui ) = g(oui , X ) pour toute X , oui Î V.

Théorème 3. Forme bilinéaireg(X , oui )- symétrique si et seulement si une matrice de forme bilinéaire est symétrique par rapport à n'importe quelle base.

Preuve. Laisser v = (v 1 , v 2 ,…, v n) - base de l'espace vectoriel V, B= (b je)n ´ n- matrices de forme bilinéaire g(X , oui ) par rapport à la base v. Soit la forme bilinéaire g(X , oui ) - symétrique. Alors par définition 2 pour tout je, j = 1, 2,…, n nous avons b je = g(v je, v j) = g(v j, v je) = b ji. Alors la matrice B- symétrique.

A l’inverse, laissez la matrice B- symétrique. Alors BT= B et pour tous les vecteurs X = X 1 v 1 + …+ xn v n =vX, oui = oui 1 v 1 + oui 2 v 2 +…+ o n v n =vY Î V, d'après la formule (1), on obtient (on prend en compte que le nombre est une matrice d'ordre 1, et ne change pas lors de la transposition)

g(X , oui ) =g(X , oui )t = (X t PAR)t = YtBtX = g(oui , X ).

2. Forme quadratique. Matrice de forme quadratique. Transformation de coordonnées.

Définition 1.Forme quadratique défini sur V, appelé cartographie F:V® P., qui pour tout vecteur X depuis V est déterminé par l'égalité F(X ) = g(X , X ), Où g(X , oui ) est une forme bilinéaire symétrique définie sur V .

Propriété 1.D'après une forme quadratique donnéeF(X )la forme bilinéaire se trouve uniquement par la formule

g(X , oui ) = 1/2(F(X + oui ) - F(X )-F(oui )). (1)

Preuve. Pour tous les vecteurs X , oui Î V on obtient des propriétés de la forme bilinéaire

F(X + oui ) = g(X + oui , X + oui ) = g(X , X + oui ) + g(oui , X + oui ) = g(X , X ) + g(X , oui ) + g(oui , X ) + g(oui , oui ) = F(X ) + 2g(X , oui ) + F(oui ).

De là découle la formule (1). 

Définition 2.Matrice de forme quadratiqueF(X ) par rapport à la basev = (v 1 , v 2 ,…, v n) est la matrice de la forme bilinéaire symétrique correspondante g(X , oui ) par rapport à la base v.

Théorème 1. LaisserX= (X 1 ,X 2 ,…, xn)t- colonne de coordonnées du vecteurX dans la basev, B - matrice de forme quadratiqueF(X ) par rapport à la basev. Alors la forme quadratiqueF(X )

Réduction des formes quadratiques

Considérons la méthode la plus simple et la plus souvent utilisée en pratique pour réduire une forme quadratique à une forme canonique, appelée méthode Lagrange. Elle consiste à isoler un carré complet sous forme quadratique.

Théorème 10.1(Théorème de Lagrange). Toute forme quadratique (10.1) :

l'utilisation d'une transformation linéaire non spéciale (10.4) peut être réduite à la forme canonique (10.6) :

,

□ Nous démontrerons le théorème de manière constructive, en utilisant la méthode de Lagrange pour identifier les carrés complets. La tâche consiste à trouver une matrice non singulière telle que la transformation linéaire (10.4) aboutisse à une forme quadratique (10.6) de forme canonique. Cette matrice sera obtenue progressivement comme le produit d'un nombre fini de matrices d'un type particulier.

Point 1 (préparatoire).

1.1. Parmi les variables, sélectionnons celle qui est à la fois incluse sous la forme quadratique au carré et à la puissance première (appelons-la variable principale). Passons au point 2.

1.2. S'il n'y a pas de variables principales sous la forme quadratique (pour tous : ), alors nous sélectionnons une paire de variables dont le produit est inclus dans la forme avec un coefficient non nul et passons à l'étape 3.

1.3. Si dans une forme quadratique il n'y a pas de produits de variables opposées, alors cette forme quadratique est déjà représentée sous forme canonique (10.6). La preuve du théorème est complète.

Point 2 (sélection d'un carré complet).

2.1. En utilisant la variable principale, nous sélectionnons un carré complet. Sans perte de généralité, supposons que la variable principale soit . En regroupant les termes contenant , on obtient

.

Sélection d'un carré parfait par variable dans , on a

.

Ainsi, en isolant le carré complet avec une variable, nous obtenons la somme des carrés de la forme linéaire

qui inclut la variable principale et la forme quadratique à partir de variables , dans lesquelles la variable principale n'est plus incluse. Faisons un changement de variables (introduisons de nouvelles variables)

on obtient une matrice

() transformation linéaire non singulière, à la suite de laquelle la forme quadratique (10.1) prend la forme suivante

Avec forme quadratique Faisons la même chose qu'au point 1.

2.1. Si la variable principale est la variable , alors vous pouvez le faire de deux manières : soit sélectionner un carré complet pour cette variable, soit effectuer renommer (renumérotation) variables :

avec une matrice de transformation non singulière :

.

Point 3 (création d'une variable principale). Nous remplaçons la paire de variables sélectionnée par la somme et la différence de deux nouvelles variables, et remplaçons les anciennes variables restantes par les nouvelles variables correspondantes. Si, par exemple, au paragraphe 1, le terme a été mis en évidence

alors le changement de variables correspondant a la forme

et sous forme quadratique (10.1) la variable principale sera obtenue.

Par exemple, dans le cas de changements de variables :

la matrice de cette transformation linéaire non singulière a la forme

.

Grâce à l'algorithme ci-dessus (application séquentielle des points 1, 2, 3), la forme quadratique (10.1) sera réduite à la forme canonique (10.6).

A noter qu'à la suite des transformations effectuées sur la forme quadratique (sélection d'un carré complet, renommage et création d'une variable leader), nous avons utilisé des matrices élémentaires non singulières de trois types (ce sont des matrices de transition de base en base). La matrice requise de la transformation linéaire non singulière (10.4), sous laquelle la forme (10.1) a la forme canonique (10.6), est obtenue en multipliant un nombre fini de matrices élémentaires non singulières de trois types. ■

Exemple 10.2. Donner une forme quadratique

à la forme canonique par la méthode de Lagrange. Indiquez la transformation linéaire non singulière correspondante. Effectuer une vérification.

Solution. Choisissons la variable principale (coefficient). En regroupant les termes contenant , et en sélectionnant un carré complet, on obtient

où indiqué

Faisons un changement de variables (introduisons de nouvelles variables)

Exprimer les anciennes variables en fonction des nouvelles :

on obtient une matrice