Solutions particulières d'un système homogène. Système de décision fondamental (exemple spécifique)

Nous continuerons à perfectionner notre technologie transformations élémentaires sur système homogène d'équations linéaires.
Sur la base des premiers paragraphes, le matériel peut sembler ennuyeux et médiocre, mais cette impression est trompeuse. En plus du développement ultérieur des techniques, il y aura beaucoup de nouvelles informations, alors essayez de ne pas négliger les exemples de cet article.

Qu'est-ce qu'un système homogène d'équations linéaires ?

La réponse se suggère. Un système d'équations linéaires est homogène si le terme libre tout le monde l'équation du système est nulle. Par exemple:

Il est absolument clair que un système homogène est toujours cohérent, c'est-à-dire qu'il a toujours une solution. Et tout d’abord, ce qui attire l’attention, c’est ce qu’on appelle banal solution . Trivial, pour ceux qui ne comprennent pas du tout le sens de l'adjectif, signifie sans frimeur. Pas académiquement, bien sûr, mais intelligible =) ...Pourquoi tourner autour du pot, voyons si ce système a d'autres solutions :

Exemple 1

Solution: pour résoudre un système homogène il faut écrire matrice du système et avec l'aide de transformations élémentaires, amenez-le à une forme par étapes. Veuillez noter qu'ici, il n'est pas nécessaire d'écrire la barre verticale et la colonne zéro des termes libres - après tout, peu importe ce que vous faites avec les zéros, ils resteront des zéros :

(1) La première ligne a été ajoutée à la deuxième ligne, multipliée par –2. La première ligne a été ajoutée à la troisième ligne, multipliée par –3.

(2) La deuxième ligne a été ajoutée à la troisième ligne, multipliée par –1.

Diviser la troisième ligne par 3 n'a pas beaucoup de sens.

Grâce à des transformations élémentaires, un système homogène équivalent est obtenu , et, en utilisant l'inverse de la méthode gaussienne, il est facile de vérifier que la solution est unique.

Répondre:

Formulons un critère évident: un système homogène d'équations linéaires a seulement une solution triviale, Si rang de la matrice du système(dans ce cas 3) est égal au nombre de variables (dans ce cas – 3 pièces).

Réchauffons-nous et accordons notre radio à la vague des transformations élémentaires :

Exemple 2

Résoudre un système homogène d'équations linéaires

Pour enfin consolider l’algorithme, analysons la tâche finale :

Exemple 7

Résolvez un système homogène, écrivez la réponse sous forme vectorielle.

Solution: écrivons la matrice du système et, à l'aide de transformations élémentaires, mettons-la sous une forme pas à pas :

(1) Le signe de la première ligne a été modifié. J'attire encore une fois l'attention sur une technique rencontrée à plusieurs reprises, qui permet de simplifier considérablement l'action suivante.

(1) La première ligne a été ajoutée aux 2ème et 3ème lignes. La première ligne, multipliée par 2, a été ajoutée à la 4ème ligne.

(3) Les trois dernières lignes sont proportionnelles, deux d'entre elles ont été supprimées.

En conséquence, une matrice d'étapes standard est obtenue et la solution continue le long de la piste moletée :

– variables de base ;
– variables libres.

Exprimons les variables de base en termes de variables libres. De la 2ème équation :

– remplacer dans la 1ère équation :

La solution générale est donc :

Puisque dans l'exemple considéré il y a trois variables libres, le système fondamental contient trois vecteurs.

Remplaçons un triple de valeurs dans la solution générale et obtenir un vecteur dont les coordonnées satisfont chaque équation du système homogène. Et encore une fois, je répète qu'il est fortement conseillé de vérifier chaque vecteur reçu - cela ne prendra pas beaucoup de temps, mais cela vous protégera complètement des erreurs.

Pour un triple de valeurs trouver le vecteur

Et enfin pour les trois on obtient le troisième vecteur :

Répondre: , Où

Ceux qui souhaitent éviter les valeurs fractionnaires peuvent considérer des triplets et obtenir la réponse sous forme équivalente :

En parlant de fractions. Regardons la matrice obtenue dans le problème et demandons-nous : est-il possible de simplifier la solution ultérieure ? Après tout, ici nous avons d'abord exprimé la variable de base à travers des fractions, puis à travers des fractions la variable de base, et, je dois dire, ce processus n'était ni le plus simple ni le plus agréable.

Deuxième solution:

L'idée est d'essayer choisir d'autres variables de base. Regardons la matrice et remarquons-en deux dans la troisième colonne. Alors pourquoi ne pas mettre un zéro en haut ? Effectuons encore une transformation élémentaire :

Un système d'équations linéaires dans lequel tous les termes libres sont égaux à zéro est appelé homogène :

Tout système homogène est toujours cohérent, puisqu'il a toujours zéro (banal ) solution. La question se pose dans quelles conditions un système homogène aura-t-il une solution non triviale.

Théorème 5.2.Un système homogène a une solution non triviale si et seulement si le rang de la matrice sous-jacente est inférieur au nombre de ses inconnues.

Conséquence. Un système carré homogène a une solution non triviale si et seulement si le déterminant de la matrice principale du système n'est pas égal à zéro.

Exemple 5.6. Déterminez les valeurs du paramètre l pour lesquelles le système a des solutions non triviales et trouvez ces solutions :

Solution. Ce système aura une solution non triviale lorsque le déterminant de la matrice principale est égal à zéro :

Ainsi, le système n’est pas trivial lorsque l=3 ou l=2. Pour l=3, le rang de la matrice principale du système est 1. Alors, en ne laissant qu'une seule équation et en supposant que oui=un Et z=b, on a x=ba, c'est à dire.

Pour l=2, le rang de la matrice principale du système est 2. Ensuite, en choisissant la mineure comme base :

nous obtenons un système simplifié

De là, nous constatons que x=z/4, y=z/2. Croire z=4un, on a

L’ensemble de toutes les solutions d’un système homogène a un rôle très important propriété linéaire : si colonnes X 1 et X 2 - solutions à un système homogène AX = 0, alors toute combinaison linéaire d'entre eux un X 1 + b X 2 sera également une solution à ce système. En effet, depuis HACHE 1 = 0 Et HACHE 2 = 0 , Que UN(un X 1 + b X 2) = un HACHE 1 + b HACHE 2 = a · 0 + b · 0 = 0. C'est à cause de cette propriété que si un système linéaire a plus d'une solution, alors il y aura un nombre infini de ces solutions.

Colonnes linéairement indépendantes E 1 , E 2 , E k, qui sont des solutions d'un système homogène, sont appelés système fondamental de solutions système homogène d'équations linéaires si la solution générale de ce système peut s'écrire comme une combinaison linéaire de ces colonnes :

Si un système homogène a n variables, et le rang de la matrice principale du système est égal à r, Que k = n-r.

Exemple 5.7. Trouvez le système fondamental de solutions du système d’équations linéaires suivant :

Solution. Trouvons le rang de la matrice principale du système :

Ainsi, l’ensemble des solutions de ce système d’équations forme un sous-espace linéaire de dimension n-r= 5 - 2 = 3. Choisissons mineur comme base

Ensuite, en ne laissant que les équations de base (le reste sera une combinaison linéaire de ces équations) et les variables de base (on déplace le reste, les variables dites libres vers la droite), on obtient un système d'équations simplifié :

Croire X 3 = un, X 4 = b, X 5 = c, nous trouvons

, .

Croire un= 1, b = c= 0, on obtient la première solution basique ; croire b= 1, une = c= 0, on obtient la deuxième solution basique ; croire c= 1, une = b= 0, on obtient la troisième solution basique. En conséquence, le système fondamental normal de solutions prendra la forme

En utilisant le système fondamental, la solution générale d’un système homogène peut s’écrire

X = aE 1 + être 2 + CE 3. un

Notons quelques propriétés des solutions d'un système inhomogène d'équations linéaires AX=B et leur relation avec le système d'équations homogène correspondant HACHE = 0.

Solution générale d'un système inhomogèneest égal à la somme de la solution générale du système homogène correspondant AX = 0 et d'une solution particulière arbitraire du système inhomogène. En effet, laissez Oui 0 est une solution particulière arbitraire d'un système inhomogène, c'est-à-dire AY 0 = B, Et Oui- solution générale d'un système hétérogène, c'est-à-dire AY=B. En soustrayant une égalité de l'autre, on obtient
UN(A-Y 0) = 0, c'est-à-dire A-Y 0 est la solution générale du système homogène correspondant HACHE=0. Ainsi, A-Y 0 = X, ou Oui = Oui 0 + X. Q.E.D.

Soit le système inhomogène de la forme AX = B 1 + B 2 . Alors la solution générale d’un tel système peut s’écrire X = X 1 + X 2 , où AX 1 = B 1 et AX 2 = B 2. Cette propriété exprime une propriété universelle de tout système linéaire en général (algébrique, différentiel, fonctionnel, etc.). En physique, cette propriété est appelée Principe de superposition, en génie électrique et radio - principe de superposition. Par exemple, dans la théorie des circuits électriques linéaires, le courant dans n’importe quel circuit peut être obtenu comme la somme algébrique des courants provoqués séparément par chaque source d’énergie.

Systèmes d'équations homogènes linéaires- a la forme ∑a k i x i = 0. où m > n ou m Un système homogène d'équations linéaires est toujours cohérent, puisque rangA = rangB. Il a évidemment une solution composée de zéros, appelée banal.

Objet de la prestation. Le calculateur en ligne est conçu pour trouver une solution fondamentale et non triviale au SLAE. La solution obtenue est enregistrée dans un fichier Word (voir exemple de solution).

Instructions. Sélectionnez la dimension de la matrice :

Propriétés des systèmes d'équations homogènes linéaires

Pour que le système ait solutions non triviales, il faut et il suffit que le rang de sa matrice soit inférieur au nombre d'inconnues.

Théorème. Un système dans le cas m=n a une solution non triviale si et seulement si le déterminant de ce système est égal à zéro.

Théorème. Toute combinaison linéaire de solutions à un système est également une solution à ce système.
Définition. L’ensemble des solutions d’un système d’équations linéaires homogènes est appelé système fondamental de solutions, si cet ensemble est constitué de solutions linéairement indépendantes et que toute solution du système est une combinaison linéaire de ces solutions.

Théorème. Si le rang r de la matrice système est inférieur au nombre n d'inconnues, alors il existe un système fondamental de solutions constitué de (n-r) solutions.

Algorithme de résolution de systèmes d'équations linéaires homogènes

Trouver le rang de la matrice.
Nous sélectionnons la mineure de base. Nous distinguons les inconnues dépendantes (de base) et libres.
Nous biffons les équations du système dont les coefficients ne sont pas inclus dans la base mineure, puisqu'ils sont des conséquences des autres (selon le théorème de la base mineure).
Nous déplaçons les termes des équations contenant des inconnues libres vers la droite. En conséquence, nous obtenons un système de r équations à r inconnues, équivalent à celui donné, dont le déterminant est non nul.
Nous résolvons le système résultant en éliminant les inconnues. Nous trouvons des relations exprimant des variables dépendantes à travers des variables libres.
Si le rang de la matrice n'est pas égal au nombre de variables, alors on trouve la solution fondamentale du système.
Dans le cas rang = n nous avons une solution triviale.

Exemple. Trouver la base du système de vecteurs (a 1, a 2,...,a m), classer et exprimer les vecteurs en fonction de la base. Si a 1 =(0,0,1,-1), et 2 =(1,1,2,0), et 3 =(1,1,1,1), et 4 =(3,2,1 ,4), et 5 =(2,1,0,3).
Écrivons la matrice principale du système :

Multipliez la 3ème ligne par (-3). Ajoutons la 4ème ligne à la 3ème :

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
3	2	1	4
2	1	0	3

Multipliez la 4ème ligne par (-2). Multiplions la 5ème ligne par (3). Ajoutons la 5ème ligne à la 4ème :
Ajoutons la 2ème ligne à la 1ère :
Trouvons le rang de la matrice.
Le système avec les coefficients de cette matrice est équivalent au système original et a la forme :
-x3 = -x4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
En utilisant la méthode d'élimination des inconnues, nous trouvons une solution non triviale :
Nous avons obtenu des relations exprimant les variables dépendantes x 1 , x 2 , x 3 à travers les variables libres x 4 , c'est-à-dire que nous avons trouvé une solution générale :
x3 = x4
x2 = -x4
x1 = -x4

Un système homogène est toujours cohérent et a une solution triviale
. Pour qu’une solution non triviale existe, il faut que le rang de la matrice était inférieur au nombre d'inconnues :

Système fondamental de solutions système homogène
appeler un système de solutions sous forme de vecteurs colonnes
, qui correspondent à la base canonique, c'est-à-dire base dans laquelle des constantes arbitraires
sont alternativement mis à un, tandis que les autres sont mis à zéro.

Alors la solution générale du système homogène a la forme :

Où
- des constantes arbitraires. En d’autres termes, la solution globale est une combinaison linéaire du système fondamental de solutions.

Ainsi, des solutions de base peuvent être obtenues à partir de la solution générale si les inconnues libres reçoivent tour à tour la valeur un, mettant toutes les autres égales à zéro.

Exemple. Trouvons une solution au système

Acceptons , alors nous obtenons une solution sous la forme :

Construisons maintenant un système fondamental de solutions :

La solution générale s’écrira :

Les solutions d'un système d'équations linéaires homogènes ont les propriétés suivantes :

En d’autres termes, toute combinaison linéaire de solutions pour former un système homogène est à nouveau une solution.

Résolution de systèmes d'équations linéaires à l'aide de la méthode de Gauss

La résolution de systèmes d’équations linéaires intéresse les mathématiciens depuis plusieurs siècles. Les premiers résultats ont été obtenus au XVIIIe siècle. En 1750, G. Kramer (1704-1752) publie ses travaux sur les déterminants des matrices carrées et propose un algorithme pour trouver la matrice inverse. En 1809, Gauss a présenté une nouvelle méthode de résolution connue sous le nom de méthode d’élimination.

La méthode de Gauss, ou méthode d'élimination séquentielle des inconnues, consiste dans le fait qu'à l'aide de transformations élémentaires, un système d'équations est réduit à un système équivalent de forme échelonnée (ou triangulaire). De tels systèmes permettent de trouver séquentiellement toutes les inconnues dans un certain ordre.

Supposons que dans le système (1)
(ce qui est toujours possible).

(1)

En multipliant la première équation une par une par ce qu'on appelle numéros appropriés

et en ajoutant le résultat de la multiplication avec les équations correspondantes du système, on obtient un système équivalent dans lequel dans toutes les équations sauf la première il n'y aura pas d'inconnue X 1

(2)

Multiplions maintenant la deuxième équation du système (2) par des nombres appropriés, en supposant que

et en l'ajoutant aux plus bas, on élimine la variable de toutes les équations, à partir de la troisième.

Poursuivre ce processus, après
étape on obtient :

(3)

Si au moins un des chiffres
n'est pas égal à zéro, alors l'égalité correspondante est contradictoire et le système (1) est incohérent. A l’inverse, pour tout système de numérotation commun
sont égaux à zéro. Nombre n'est rien de plus que le rang de la matrice du système (1).

La transition du système (1) à (3) est appelée tout droit Méthode de Gauss et recherche des inconnues de (3) – en marche arrière .

Commentaire : Il est plus pratique d'effectuer des transformations non pas avec les équations elles-mêmes, mais avec la matrice étendue du système (1).

Exemple. Trouvons une solution au système